ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΝΑΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑΣ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΉΣ ΘΕΩΡΊΑ ΦΕΡΟΥΣΏΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΏΝ

Transcript

1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΝΑΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑΣ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΉΣ ΘΕΩΡΊΑ ΦΕΡΟΥΣΏΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΏΝ

2 Γενικά. Στροβιλότητα Στο κεφάλαιο αυτό συνοψίζουμε τα βασικά στοιχεία της θεωρίας πεδιου στροβιλότητας που θα χρησιμοποιήσουμε στην θεωρία φερουσών επιφανειών. Η στροβιλότητα (vortcty) ω ορίζεται από την σχέση ω = u. Από φυσικής πλευράς η στροβιλότητα είναι ίση με το διπλάσιο της γωνιακής ταχύτητας σωματιδίου ρευστού γύρω από το κέντρο μάζας του. Από τον ορισμό έχουμε ότι ω = u = (.) Δηλαδή η στροβιλότητα είναι διάνυσμα με μηδενική απόκλίση. Κατά αντιστοιχία με τις γραμμές ροής, ορίζουμε τις γραμμές στροβιλότητας (vorte les), σαν γραμμές των οποίων η εφαπτομένη σε κάθε σημείο είναι παράλληλη προς το διάνυσμα της στροβιλότητας. Η επιφάνεια που δημιουργείται από όλες τις γραμμές στροβιλότητας που περνούν από τα σημεία μιάς καμπύλης C λέγεται επιφάνεια στροβιλότητας (vorte surface). Εάν η καμπύλη C είναι κλειστή, η επιφάνεια λάγεται σωλήνας στροβιλότητας (vorte tube). Εστω Α μια οποιαδήποτε διατομή ενός σωλήνα στροβιλότητας που περατώνεται σε μια κλειστή καμπύλη C. Η εκροή της στροβιλότητας διαμέσου της επιφάνειας Α ορίζεται σαν το επιφάνειακό ολοκλήρωμα Γ= ω da A (.) όπου είναι το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο προς την στοιχειώδη επιφάνεια da, Χρησιμοποιώντας την εξισωση (.) μπορούμε να αποδείξουμε ότι η εκροή είναι ' ' '' '' ανεξάρτητη από την διατομή Α. Πράγματι έστω ότι da και da είναι απειροστά ' '' στοιχεία δύο επιφανειών A, A που περατώνονται πάνω στον σωλήνα στροβιλότητας ' '' (όπου τα διανύσματα, έχουν την ίδια φορά ως προς τον σωλήνα στροβιλότητας). Εφαρμόζουμε το θεώρημα της απόκλισης στην όγκο που περικλείεται από τις δύο αυτές επιφάνειες και την επιφάνεια του σωλήνα στροβιλότητας που τις συνδέει. Επειδή ω = πάνω στην τελευταία, έχουμε ότι ' A '' ' ' ' '' '' ω da ω da = ωdv = '' A V Η ποσότητα Γ επειδή είναι ανεξάρτητη από την διατομή πάνω στην οποία υπολογίζεται λέγεται ένταση (stregth) του σωλήνα στροβιλότητας. Συνέπεια της σταθερότητας της έντασης Γ είναι ότι ένας σωλήνας στροβιλότητας δεν μπορεί να σταματά στο εσωτερικό του ρευστού.

3 Στην είδική περίπτωση που ο σωλήνας στροβιλότητας έχει απειροστή διατομή da, μιλάμε γιά νήμα στροβιλότητας (vorte flamet). Τότε η στροβιλότητα μπορεί να θεωρηθεί σταθερή πάνω στην διατομή και η ένταση είναι ίση με ω da = ωda, αφού το διάνυσμα της στροβιλότητας είναι παράλληλο προς το μοναδιαίο διάνυσμα. Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Stokes σε μιά οποιαδήποτε τομή του σωλήνα στροβιλότητας έχουμε ότι: A ω da = u l dl =Γ C όπου C είναι η καμπύλη στην οποία περατώνεται η επιφάνεια Α και l είναι το μοναδιαίο διάνυσμα που εφάπτεται στην καμπύλη C. Η ένταση του σωλήνα στροβιλότητας είναι κατά συνέπεια ίση με την κυκλοφορία γύρω από οποιαδήποτε τομή του σωλήνα στροβιλότητας.. Γιά μη συνεκτικό ρευστό ισχύουν οι τρεις νόμοι του Helmholt: Σωματίδια του ρευστού που έχουν αρχικά μηδενική στροβιλότητα έχουν πάντότε μηδενική στροβιλότητα. Οι γραμμές στροβιλότητας είναι υλικές γραμμές (κινούνται με το ρευστό). Η ένταση των σωλήνων στροβιλότητας παραμένει σταθερή χρονικά. Νόμος Bot-Savart Ως γνωστόν οποιοδήποτε συνεχές διανυσματικό πεδίο μπορεί να γραφεί σαν το άθροισμα ενός διανυσματικού πεδίου μηδενικής απόκλισης και ενος πεδίου μηδενικής περιστροφής (αστρόβιλου). Εφαρμόζοντας αυτό το θεώρημα γιά την ταχύτητα του ρευστού έχουμε: όπου u = u + u (.3) u =, u = (.4) Το διανυσματικό πεδίο u, του οποίου η περιστροφή είναι ίση με την στροβιλότητα του πεδίου ροής, λέγεται επαγόμενη ταχύτητα (duced velocty). Η επαγόμενη ταχύτητα μπορεί να προσδιοριστεί από την στροβιλότητα με την βοηθεια του νόμου Bot-Savart, (που παραθετουμε χωρις απόδειξη): ωξ ( ) ( ξ) u ( ) = dv ( ξ ) (.5) 3 4 π ξ V Όπου V είναι η περιοχή του πεδίου ροής μέσα στην οποία η στροβιλότητα έχει μη μηδενική τιμή. Η εξίσωση (.3) λέγεται νόμος Bot-Savart κατ αναλογία με τον ηλεκτρομαγνητισμό, όπου η ταχύτητα αναλογεί με την μαγνητική επαγωγή και η στροβιλότητα με το ηλεκτρικό ρεύμα. Η απόδειξη της (.5) μπορεί να βρεθεί σε οποιοδήποτε βιβλίο διανυσματικής ανάλυσης. 3

4 Κατά την εφαρμογή του νόμου Bot-Savart η συνάρτηση που ολοκληρώνεται απειρίζεται γιά ξ = όταν το σημείο που αντιστοιχεί στο διάνυσμα βρίσκεται μέσα στο πεδίο V. Στην περίπτωση αυτή το ολοκλήρωμα κατά Remma δεν ορίζεται και παίρνουμε την κύρια τιμή του ολοκληρώματος. Ιδιόμορφη γραμμή δίνης Πολλά πεδία ροής χαρακτηρίζονται από το ότι οι τιμές της στροβιλότητας σε μιά περιοχή γύρω από μιά καμπύλη είναι πολύ μεγαλύτερες από ότι στο υπόλοιπο ρευστό. Από φυσικής πλευράς το ρευστό εκτελεί μιά περιστροφική κίνηση γύρω από αυτή την καμπύλη (π.χ. ανεμοστρόβιλοι). Μιά χρήσιμη μαθηματική εξιδανίκευση αυτής της ροής προκύπτει αν θεωρήσουμε ότι ένα νήμα στροβιλότητας με ω συρρικνώνεται σε μιά καμπύλη μηδενικής διατομής αλλά ότι η ένταση του νήματος Γ παραμένει σταθερή. Αυτή η οριακή διαδικασία συνεπάγεται ότι η στροβιλότητα είναι παντού μηδέν εκτός από την ίδια την καμπύλη όπου απειρίζεται. Μιά τέτοια καμπύλη λέγεται ιδιόμορφη γραμμή δίνης (sgular vorte le). Η επαγόμενη ταχύτητα από ιδιόμορφη γραμμή δίνης έντασης Γ δίνεται από την ακόλουθη σχέση: Γ l ( ξ ) u ( ) = dl( ξ ) (.6) 3 4 π ξ C όπου C είναι ο άξονας της ιδιόμορφης γραμμής δίνης, l είναι το μοναδιαίο διάνυσμα που εφάπτεται στον άξονα C, και το άκρο του διανύσματος ξ είναι πάνω στην καμπύλη C. Όταν το σημείο που αντιστοιχεί στο διάνυσμα βρίσκεται πάνω στον άξονα C το αριστερό μέλος της εξίσωσης λέγεται αυτο-επαγόμενη ταχύτητα (selfduced velocty). Η αυτο-επαγόμενη ταχύτητα προκαλεί παραμόρφωση της ιδιόμορφης γραμμής δίνης. Η απόδειξη της (.6) μπορεί να γίνει ως εξής: Εφαρμόζουμε τον νόμο Bot-Savart για ένα νήμα στροβιλότητας. Θεωρούμε πρώτα ότι το σημείο που αντιστοιχεί στο διάνυσμα βρίσκεται πολύ μακριά από τον άξονα του νήματος, δηλαδή ότι ξ είναι πολύ μεγαλύτερο από την εγκάρσια διάσταση του νήματος στροβιλότητας, οπότε η έκφραση ξ στην εξίσωση (.5) μπορεί να αντικατασταθεί από ξ, όπου το άκρο του διανύσματος ξc βρίσκεται πάνω στον άξονα του νήματος στροβιλότητας. Τότε η (.5) γράφεται ως εξής: ( ξ) ωξ ( ) ( ξ) u ( ) = dadl = dl ωda 4π 4 c c 3 3 C δa ξc π C ξc δa Οπου C είναι ο άξονας του νήματος, dl είναι απειροστό μήκος πάνω στον άξονα και δ A η διατομή του νήματος κάθετα προς τον άξονα. Δεδομένου ότι η τελευταία είναι μικρή, το διάνυσμα της στροβιλότητας είναι σε κάθε σημείο παράλληλο προς την εφαπτομένη του άξονα C, και μπορούμε να γράψουμε ότι ω = ωl, όπου l είναι το c 4

5 μοναδιαίο διάνυσμα εαφαπτόμενο στον άξονα C, και ω = ω l. Κατά συνέπεια έχουμε ότι: δa ωda = ωl da = l Γ δa Οπου Γ είναι η ένταση του νήματος στροβιλότητας. Θεωρώντας τώρα ότι δ A αλλά με Γ=σταθερό παίρνουμε την εξίσωση (.6). Σημειώνουμε ότι στην ειδική περίπτωση που ο άξονας της δίνης C είναι ευθεία γραμμή η εξίσωση (.6) μας δίνει το πεδίο ταχυτήτων επίπεδης σημείακής δίνης. Πράγματι χωρίς απώλεια γενικότητας μπορούμε να επιλέξουμε ο άξονας της δίνης να συμπιπτει με ένα από τους άξονες του συστήματος αναφοράς, π.χ. τον άξονα. Τότε ξ=η=, και οι τρεις συνιστώσες της επαγόμενης ταχύτητας δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις: Γ ( yd ) ζ Γ y u = 4 π = (( + y + ( ζ) ) π + y 3/ Γ dζ Γ v = 4 π = (( + y + ( ζ) ) π + y 3/ w = Οι άνωτέρω σχέσεις είναι το πεδίο ταχυτήτων σημειακής δίνης στο επίπεδο ( y., ) Οι αυτοεπαγόμενες ταχύτητες (κυρια τιμή των άνωτέρω ολοκληρωμέτων όταν =y=) είναι μηδενικές. Αυτό προκύπτει θέτοντας = y = πριν από την ολοκλήρωση. Όταν ο άξονας C δεν είναι ευθεία, οι αυτοεπαγόμενες ταχύτητες απειρίζονται. Οι αυτοεπαγόμενες ταχύτητες μπορούν να ομαλοποιηθούν με την χρήση της έννοιας του πυρήνα δίνης. Θεωρούμε δηλαδή ότι οι ταχύτητες δίνονται από τον νόμο Bot-Savart όταν η απόσταση του σημείου που υπολογίζουμε την ταχύτητα είναι μεγαλύτερη από κάποια τιμή r που είναι η ακτίνα του πυρήνα. Για απόστάσεις μικρότερες από r, (μέσα στον «πυρήνα» της δίνης) θεωρούμε ότι το ρευστό περιστρέφεται σαν στερεό σώμα γύρω από τον άξονα C. Ιδιόμορφα φύλλα στροβιλότητας Ροές στις οποίες το μέτρο της στροβιλότητας είναι μεγάλο μόνο σε μιά περιοχή πολύ μικρού πάχους γύρω από μιά επιφάνεια Α στον χώρο επίσης παρατηρούνται σε πολλές εφαρμογές, όπως η ροή γύρα από μιά πτέρυγα, Το διάνυσμα της στροβιλότητας είναι κατ ανάγκη παράλληλο προς την επιφάνεια Α Οπως κάναμε και με την ιδιόμορφη γραμμή δίνης μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η περιοχή αυτή με μεγάλη στροβιλότητα συρρικνώνεται στην επιφάνεια Α. Η επιφάνεια Α λέγεται τότε ιδιόμορφο φύλλο δινών, ή ιδιόμορφη επιφάνεια δινών, (sgular vorte sheet). Η επαγόμενη ταχύτητα φύλλου δινών δίνεται από την σχέση: 5

6 u γ ( ξ) = da( ξ ) (.7) 3 4 π ξ A Το διάνυσμα γ είναι παράλληλο προς την επιφάνεια Α (έχει διαστάσεις ταχύτητας) και λέγεται πυκνότητα στροβιλότητας του ιδιόμορφου φύλλου δινών. Η πυκνότητα στροβιλότητας είναι χαρακτηριστικό μέγεθος του ιδιόμορφου φύλλου στροβιλότητας και συνδέεται με την διαφορά της ταχύτητας του ρευστού στις δυο πλευρές του φύλλου στροβιλότητας. Γιά την απόδειξη της (.7) εργαζομαστε ως εξής: Θεωρούμε ότι η στροβιλότητα είναι μη μηδενική σε μιά περιοχή πολύ μικρού πάχους γύρω από την επιφάνεια Α. Το δίάνυσμα της στροβιλότητας πρέπει να είναι παράλληλο προς την επιφάνεια Α. Εστω δ s το τοπικό πάχος της περιοχής μετρημένο κάθετα προς την επιφάνεια. Εφαρμόζοντας την (.6) έχουμε ότι η επαγόμενη ταχύτητα δίνεται από την σχέση ( ξ) ωξ ( ) u ( ) = da( ξ) dηξ ( ) 3 4 π ξ Aδ s Θεωρώντας ότι ξ είναι πού μεγαλύτερο από το πάχος της περιοχής μπορούμε να γράψουμε ότι ξ ξa, όπου το άκρο του διανύσματος ξ A βρίσκεταο πάνω στην επιφάνεια Α. Επομένως έχουμε ότι: ξ A u ( ) = da ωξ ( ) dη (.8) 3 4 π ξ A Τώρα αν πάρουμε το όριο όταν δ s, αλλά κρατώντας τη ποσότητα ωξ ( ) d η σταθερή, προκύπτει η εξίσωση (.7). Η ύπαρξη ενός ιδιόμορφου φύλλου δινών συνεπάγεται ασυνέχεια της συνιστώσας της ταχύτητας παράλληλης προς την επιφάνεια Α. Εστω u u η ταχύτητα του ρευστού στην άνω πλευρά της επιφάνειας, και u l η ταχύτητα του ρευστού στην κάτω πλευρά της επιφάνειας. Αποδεικνύεται ότι: A δ s γ = ( u u ) (.9) u όπου είναι το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο προς το ιδιόμορφο φύλλο δινών. Η απόδειξη της (.9) είναι απλή όταν το φύλλο δινών είναι επίπεδο (τότε είναι μιά απλή επέκταση των αντίστοιχων σχέσεων που είδαμε γιά κατανομές σημειακών δινών σε διδιάστατες ροές), αλλά κάπως πιο περίπλοκη όταν η επιφάνεια γίνει καμπύλη. Η απόδειξη στην γενική περίπτωση γίνεται λοιπόν ως εξής: l δ s 6

7 Σχήμα : Σχεδιάγραμμα γιά την απόδειξη της εξίσωσης (.9) Θεωρούμε την κυκλοφορία γύρω από ένα μικρό ορθογώνιο του οποίου οι πλευρές AB και CD είναι κάθετες προς το διάνυσμα γ και βρίσκονται εκατέρωθεν του φύλλου δινών, Το ορθογώνιο τέμνει το φύλλο δινών στα σημεία E και F. Επειδή οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι μικρές μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το τμήμα του φύλλου δινών που περικλείεται από το ABCD είναι επίπεδο και ότι η πυκνότητα στροβιλότητας είναι σταθερή πάνω σε αυτό. Παρομοίως η ταχύτητα του ρευστού μπορεί να θεωρηθεί σταθερή σε κάθε πλευρά του φύλλου δινών, Από το θεώρημα του Stokes έχουμε ότι: u dl = ω da = γ( EF) ABCD Η μετάβαση από τη μιά μορφή του δεξιού μέλους στην άλλη μπορεί να αιτιολογηθεί πιό συστηματικά με την ίδια οριακή διαδικασία με την οποία αποδείξαμε τον τύπο της επαγόμενης ταχύτητας. Γιά το αριστερό μέλος παρατηρούμε ότι το ολοκλήρωμα πάνω στην πλευρά EA αναιρείται από αυτό στην BF, και οκοίως το ολοκλήρωμα πάνω στην FC αναιρείται από αυτό στην DE. Οπότε αν με l συμβολίσουμε το μοναδιαίο διάνυσμα παράλληλο προς την επιφάνεια και κάθετο προς την πυκνότητα στροβιλότητας γ, καταλήγουμε στην σχέση ( u l + u l )( EF) =γ ( EF) u l Από όπου προκύπτει ότι υπάρχει ασυνέχεια στην συνιστώσς της ταχύτητας του ρευστού παράλληλα με το διάνυσμα l, και η ασυνέχεια αυτή είναι ίση με την πυκνότητα στροβιλότητας. Υπάρχει δηλαδή ασυνέχεια στην συνιστώσα της ταχύτητας κάθετης προς την πυκνότητα στροβιλότητας γ ίση με γ, 7

8 Αντίστοιχα, αν θεωρήσουμε ένα ορθογώνιο ABCD παράλληλο προς την πυκνότητα στροβιλότητας γ, με την ίδια ακριβώς διαδικασία βρίσκουμε ότι δεν υπάρχει ασυνέχεια της ταχύτητας σε αυτή την κατεύθυνση. Συμπεραίνουμε ότι τα διανύσματα γ και uu ul, τα οποία ανήκουν και τα δύο σε επίπεδο κάθετο προς το διάνυσμα, έχουν ίσα μέτρα και είναι κάθετα μεταξύ τους. Επομένως το μοναδιαίο διάνυσμα παράλληλο προς το γ, το μοναδιαίο διάνυσμα παράλληλο προς το uu ul, και το διάνυσμα σχηματίζουν ορθοκανονική τριάδα. Αυτό ολοκληρώντει την απόδειξη της (,9)., και μας δίνει επί πλέον ότι u u = γ u l (.) Σημειώνουμε ότι στην ειδική περίπτωση που το φύλλο στροβιλότητας είναι επίπεδο με σταθερή ένταση η εφαπτομενική συνιστώσα της ταχύτητας στην άνω πλευρά του φύλλου είναι ίση και αντίθετη με τήν εφαπτομενική συνιστώσα της ταχύτητας στην κάτω πλευρά. Αυτό προκύπτει μάλλον απλά από την εξίσωση (.8) αλλά γενικά δεν ισχύει αν το φύλλο στροβιλότητας είναι καμπυλωμένο,. Θεωρία φερουσών επιφανειών Φέρουσες επιφάνειες είναι λεπτές επιφάνειες με μικρή κυρτότητα, που αναπτύσσουν δυναμική άνωση. Οι φέρουσες επιφάνειες μπορεί να είναι σχεδόν επίπεδες, όπως το πηδάλιο του πλοίου, η στρεβλωμένες, όπως η πτέρυγα του αεροπλάνου. Η υδροδυναμική θεωρία των φερουσών επιφανειών απότελεί επέκταση της θεωρίας των λεπτών υδροτομών που είδαμε στα προήγούμένα. Επειδή η ροή γύρω από φέρουσα επιφάνεια είναι τριδιάστατη, δεν είναι δυνατή η χρήση της θεωρίας των μιγαδικών συναρτήσεων, η οποία είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στην θεωρία των λεπτών υδροτομών. s U 8

9 Σχήμα : Σύστημα συντεταγμένων για πτέρυγα. Ο άξονας y είναι κάθετος προς το επίπεδο του σχήματος. Θεωρούμε ροή γύρω από πτέρυγα. Το σύστημα συντεταγμένων,y, ορίζεται με τον άξονα παράλληλο προς την ροή, τον άξονα κατά το άνοιγμα (spa) της πτέρυγας, και τον άξονα y κάθετο προς το επίπεδο y και με διεύθυνση προς τα άνω. Οπως στις λεπτές υδροτομές ορίζουμε την ακμή πρόσπτωσης, την ακμή εκφυγής, το μέγιστο βέλος κυρτότητας και την γωνία πρόσπτωσης α. Τα δύο ακραία σημεία της πτέρυγας λέγονται ακροπτερύγια, και η απόσταση ανάμεσά τους s λέγεται άνοιγμα (spa). Ο λόγος AR = s / A λέγεται λόγος επιμήκους (aspect rato) όπου Α είναι η επιφάνεια της πτέρυγας. Στην ειδική περίπτωση που το σχήμα της πτέρυγας είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, ο λόγος επιμήκους είναι ίσος προς τον λόγο του ανοίγματος προς την χορδή. Τέλος συμβολίζουμε με L( ) και T ( ) τις προβολές της ακμής πρόσπτωσης και εκφυγής, αντίστοιχα, στο επίπεδο -y. Οι πτέρυγες είναι συνήθως συμμετρικές ως προς το επίπεδο = και μπορούμε να επιλέξουμε σαν αρχή των αξόνων την προβολή του μέσου της χορδής της κεντρικής τομής της πτέρυγας. Αν τα μέσα όλων των προβολών της πτέρυγας βρίσκονται σε ευθεία γραμμή, λέμε ότι η πτέρυγα είναι ευθεία, αλλοιώς λάμε ότι η πτέρυγα έχει οριζόντια κλίση. Αν η γωνία πρόσπτωσης δεν παραμένει σταθερή κατά το άνοιγμα της πτέρυγας λέμε ότι η πτέρυγα έχει συστροφή. 3. Ροή ιδανικού ρευστού γύρω από πτέρυγα Η βασική υδροδυναμική λειτουργία της πτέρυγας είναι η δημιουργία άνωσης (δηλ. δύναμης κάθετη προς την ταχύτητα της ροής). Κατά συνέπεια η κάτω πλευρά της πτέρυγας έχει μεγαλύτερη πίεση από την άνω πλευρά. Στο περίγραμμα της πτέρυγας, όπου η άνω και η κάτω πλευρά συναντώνται, οι πιέσεις των δύο πλευρών εξισώνονται. 9

10 Σχήμα 3: Σε ροή γύρω από πτέρυγα οι γραμμές ροής στρεβλώνονται προς το μέσο της πτέρυγας στην άνω πλευρά (συνεχής γραμμή), και προς το ακροπτερύγιο στην κάτω πλευρά (διακεκομμένη γραμμή) της πτέρυγας. Απαραίτητη συνθήκη γιά την δημιουργία άνωσης είναι η ροή να εγκαταλείπει την πτέρυγα ομαλά στο άκρο εκφυγής (όπως και στη θεωρία λεπτών υδροτομών). Οταν αυτό συμβαίνει (και μόνο τότε) ικανοποιητικά αποτελέσματα για τις δυνάμεις πάνω στην πτέρυγα μπορούν να παραχθουν με την θεωρία ιδανικού ρευστού, Οπως και στην διδιάστατη θεωρία λεπτών υδροτομών αναπτύσσεται υπερπίεση στην κάτω πλευρά της πτέρυγας και υποπίεση στην άνω πλευρά. Το γεγονός όμως ότι η πτέρυγα έχει πεπερασμένο άνοιγμα συνεπάγεται ότι η διαφορά πίεσης ανάμεσα στην άνω και στην κάτω πλευρά της πτέρυγας προκαλεί ροή γύρω από τα δύο ακροπτερύγια με φορά από την κάτω πλευρά προς την άνω. Λόγω της ροής αυτής οι γραμμές ροής που περνούν από την γραμμή ανακοπής στην ακμή πρόσπτωσης παύουν να είναι παράλληλες προς την εξωτερική ροή. Οι γραμμές ροής στην άνω πλευρά της πτέρυγας αποκλίνουν προς το μέσο της πτέρυγας, ενώ οι γραμμές ροής στην κάτω πλευρά απόκλίνουν προς τα ακροπτερύγια. Οι απόκλίσεις αυτές είναι ισχυρότερες κοντά στα ακροπτερύγια και ασθενέστερες κοντά στο μέσο της πτέρυγας. Σε κάθε σημείο της ακμής εκφυγής καταλήγουν δύο γραμμές ροής οι οποίες προέρχονται από δύο διαφορετικά σημεία της ακμής προσπτώσεως. Η ταχύτητα του ρευστού στην μία γραμμή ροής έχει διαφορετική κατεύθυνση από την ταχύτητα στην άλλη γραμμή ροής. Κατά συνέπεια, παρότι οι δύο ταχύτητες έχουν το ίδιο μέτρο (από την αρχή του Beroull), στην ακμή εκφυγής ξεκινά μιά επιφάνεια ασυνέχειας της ταχύτητας λόγω της διαφορετικής κατεύθυνσης των δύο ταχυτήτων. Η ταχύτητα των σωματιδίων του ρευστού στην άνω πλευρά της επιφάνειας είναι διαφορετική από την ταχύτητα των σωματιδίων στην κάτω πλευρά της επιφάνειας. Η επιφάνεια αυτή λέγεται όπως είδαμε ιδιόμορφο φύλλο δινών. Η πτέρυγα συνοδεύεται δηλαδή από ένα ιδιόμορφο φύλλο δινών που ξεκινά από την ακμή εκφυγής και εκτείνεται θεωρητικά μέχρι το άπειρο. Το φύλλο δινών είναι ένα απλουστευμενο μοντελο του ομόρρου της πτέρυγας, συμφωνο με το οποιο η ροή είναι αστρόβιλη παντού εκτός από το ίδιο το φύλλο δινών το οποιο έχει μηδενικο παχος. Στην πραγματικότητα ομως αμέσως μόλις τα σωματίδια του ρευστού εγκαταλείψουν την ακμή εκφυγής οι τάσεις λόγω συνεκτικότητας του ρευστού εξομαλύνουν την ασυνέχεια της ταχύτητας, και ο ομόρρους της πτέρυγας (δηλαδή η περιοχη του ρευστού πίσω από την πτέρυγα όπου η στροβιλότητα δεν είναι μηδεν) έχει πεπερασμενο παχος. Το ιδιόμορφο φύλλο δινών αναδιπλωνεται λόγω υδροδυναμιής ασταθειας γύρω από τις γραμμές δινών των ακροπτερυγιων. Σχηματιζονται έτσι οι δύο δινες ακροπτερυγιων οι οποίες αυξανονται κατά την κατεύθυνση παράλληλα με την ροή καθώς όλο και μεγαλύτερο μέρος του φύλλου δινών αναδιπλώνεται γύρω τους. Συμφωνα με την θεωρία ιδανικου ρευστού το φύλλο στροβιλότητας με τις δινες ακροπτερυγιων εκτεινεται μέχρι το άπειρο. Στην πραγματικότητα βεβαια οι δίνες ακροπτερυγίου αλλα και το φύλλο στροβιλότητας εκμηδενιζονται βαθμιαία από τις δυνάμεις συνεκτικότητας του ρευστού.

11 4. Σχέση ανάμεσα στην πυκνότητα στροβιλότητας και στην διαφορά πίεσης γιά μόνιμη ροή Θεωρούμε μια επιφάνεια ασυνέχειας της ταχύτητας σε παράλληλη ροή. Η επιφάνεια αυτή μπορεί να είναι ιδιόμορφο φύλλο δινών, οπότε η πίεση θα είναι συνεχης, η μπορεί να είναι λεπτή πλάκα, οπότε θα υπαρχει και διαφορά πίεσης ανάμεσα στις δύο πλευρές της επιφάνειας. Στο κεφάλαιο αυτό συζητάμε την σχέση ανάμεσα στην πυκνότητα στροβιλότητας και στην διαφορά πίεσης μιας επιφάνειας ασυνέχειας της ταχύτητας. Παριστάνουμε με uu, ul την ταχύτητα του ρευστού στην άνω και στην κάτω πλευρά αντίστοιχα. Ορίζουμε την μέση ταχύτητα u m και την διαφορά ταχυτήτων u d από τις ακόλουθες σχέσεις: u m = ( u u + u l ) (4.) u = u u d u l (4.) Οπως είδαμε στο κεφάλαιο, η διαφορετική ταχύτητα στις δύο πλευρές μιας επιφάνειας συνδέεται με την επιφανειακή πυκνότητα στροβιλότητας γ με την ακόλουθη την σχέση (.): u = γ d (4.3) όπου είναι το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο προς το ιδιόμορφο φύλλο δινών. Κατά συνέπεια έχουμε ότι γ =. u d Από τον ορισμό της μέσης ταχύτητας και της διαφοράς ταχυτήτων έχουμε τις ακόλουθες σχέσεις: u = u + u u m d u = u u l m d (4.4) (4.5) Από όπου προκύπτει ότι: u u u u = u u (4.6) u u l l m d Τα διανύσματα uu, ul βρίσκονται σε επίπεδο που εφάπτεται της επιφάνειας στροβιλότητας, και επομένως στο ίδιο επίπεδο βρίσκονται και τα διανύσματα u m και

12 u d. Από τον ορισμό της η πυκνότητα στροβιλότητας είναι κάθετη στο διάνυσμα και επομένως βρίσκεται και αυτή στο ίδιο επίπεδο. Μπρορουμε λοιπον να αναλύσουμε την πυκνότητα στροβιλότητας σε μια συνιστώσα γ παράλληλη προς την μέση ταχύτητα και μια συνιστώσα γ b κάθετη προς την μέση ταχύτητα. Εστω m το μοναδιαίο διάνυσμα παράλληλο προς την μέση ταχύτητα (προφανώς m= um / um ) και l το μοναδιαίο διάνυσμα τετοιο ωστε ( ml,, ) να συνιστούν μια δεξιόστροφη τριάδα. Τότε έχουμε ότι: l = m, m= l, = l m Το μέγεθος της συνιστώσας γ b είναι ισο με το εσωτερικό γινόμενο γ l, δηλαδή έχουμε: ud um γb = l γ = l ( ud) = ud ( l ) = ud m= (4.7) u Εφαρμόζουμε τώρα την εξίσωση Beroull, πρώτα ανάμεσα στο σημείο στην άνω πλευρά του φύλλου δινών και σε σημείο στο άπειρο, και ύστερα ανάμεσα στο σημείο στην κάτω πλευρά του φύλλου δινών και σε σημείο στο άπειρο, και ρησιμοποωντας τις εξισώσεις (4.6) και (4.7) καταλήγουμε στην ακόλουθη εξίσωση: p p = ρ u γ (4.8) l u m b Καταλήγουμε δηλαδή στο συμπέρασμα ότι η διαφορά πίεσης είναι ανάλογη προς την συνιστώσα της πυκνότητας στροβιλότητας που είναι κάθετη προς την μέση ταχύτητα. Η συνιστώσα γ b λεγεται προσδεδεμένη πυκνότητα στροβιλότητας (boud vortcty) και έχει μη μηδενική τιμή μόνο αν η επιφάνεια ασυνέχειας της ταχύτητας είναι η πτέρυγα. Αν η επιφάνεια ασυνέχειας της ταχύτητας είναι ιδιόμορφο φύλλο δινών, η συνθήκη συνέχειας της πίεσης στο φύλλο δινών επιβαλλει τον μηδενισμό της προσδεδεμένης πυκνότητας στροβιλότητας. Η συνιστώσα γ f λεγεται ελευθερη στροβιλότητα (free vortcty) και έχει μη μηδενική τιμή για οποιαδήποτε επιφάνεια ασυνέχειας της ταχύτητας. f m 5. Γραμμική θεωρία φερουσών επιφανειών Στην γραμμική θεωρία φερουσών επιφανειών υποθέτουμε ότι () Τα υδροδυναμικά μεγέθη πάνω στην πτέρυγα (ταχύτητες, πιέσεις) μπορούν να αντικατασταθούν με τις τιμές τους πάνω στο επίπεδο - () Το ιδιόμορφο φύλλο δινών καταλαμβάνει μια γνωστή εκ των προτέρω θέση πίσω από την πτέρυγα, και ότι η θέση αυτή είναι ένα επίπεδο παράλληλο προς την ροή. (3) Υποθέτουμε επι πλεον ότι η μέση ταχύτητα είναι ίση με την ταχύτητα της ροής, δηλαδή um = U, όπου είναι το μοναδιαίο διάνυσμα παράλληλο με τον άξονα των. Το λάθος που εισαγεται με τις παραδοχές

13 αυτές είναι τοσο μικρότερο οσο μεγαλύτερος είναι ο λόγος επιμήκους της πτέρυγας και οσο μικρότερη η γωνία πρόσπτωσης. U Σχημα 4: Επιπεδη πτέρυγα και το ιδιόμορφο φύλλο δινών Λόγω των παραδοχών () και (), η ελευθερη στροβιλότητα έχει κατεύθυνση παράλληλη με τον άξονα των, και η προσδεδεμένη στροβιλότητα έχει κατεύθυνση παράλληλη με τον άξονα των. Μπορούμε να γραψουμε δηλαδή ότι γ f γ και ότι γ γ b Ως γνωστόν το διάνυσμα της στροβιλότητας έχει μηδενική απόκλιση. Για την πυκνότητα στροβιλότητας φύλλου στροβιλότητας που συμπίπτει με το επίπεδο αυτό συνεπάγεται την ακόλουθη σχέση: γ γ + = (5.) Γιά το ελεύθερο φύλλο στροβιλότητας που ακολουθεί την πτέρυγα γ =, οπότε η εξίσωση (5.) συνεπάγεται ότι η πυκνότητα γ παραμένει σταθερή και ίση με την τιμή που έχει όταν εγκαταλείπει την πτέρυγα. Θα δούμε τώρα την σχέση ανάμεσα σε προσδεδεμένη και ελεύθερη στροβιλότητα πάνω στην πτέρυγα. Θεωρούμε πρώτα ένα απειροστό τριγωνικό στοιχείο με πλευρές d, d, dl, όπου η πλευρά dl αποτελεί μέρος της ακμής πρόσπτωσης. Ολοκληρώνουμε την ανωτέρω εξίσωση στο εσωτερικο του τριγωνου και χρησιμοποιώντας το θεώρημα της απόκλισης και το γεγονός ότι η πυκνότητα στροβιλότητας είναι μηδενική στην ακμή πρόσπτωσης έχουμε: γ d = γ d Παίρνουμε το όριο όταν d (οπότε d dl ) και καταλήγουμε ότι: 3

14 dl γ ( L, ) = γ ( L, ) (5.) d Στην συνέχεια, αν επαναλάβουμε την διαδικασία για ένα απειροστό τριγωνικό στοιχείο με πλευρές d, d, dl, όπου η πλευρά dl αποτελεί μέρος της ακμής εκφυγής καταλήγουμε στην ακόλουθη σχέση: + dt γ ( T, ) γ ( T, ) = γ ( T, ) (5.3) d + όπου γ ( T, ) είναι η ελευθερη στροβιλότητα αμέσως μετα την ακμή εκφυγής, και γ (, ) είναι η ελευθερη στροβιλότητα αμέσως πριν την ακμή εκφυγής. T Ολοκληρώνοντας τώρα την εξίσωση (5.) ως προς, και Με χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (5.) και (5.3) μπορούμε να εκφράσουμε την ελευθερη στροβιλότητα ως εξής: (α) Γιά L < < T dl γ γ (, ) = γ ( L, ) ( ξ, d ) ξ (5.4) d L ( ) (β) Γιά > T T ( ) dl γ dt (, ) ( L, ) (, d ) ( T, ) d d L ( ) γ = γ ξ ξ γ = T ( ) d dγ( ) = γ (, ) d (5.5) d = d L ( ) όπου L ( ) Γ ( ) = γ (, ) d είναι η συνολική κυκλοφορία γύρω από τομή της T ( ) πτέρυγας από επίπεδο σταθερόυ. Επίσης για να καταλήξουμε στην (5.5) μεταχειριστήκαμε τον τύπο του Lebc: b( ) b( ) d f (, ) db da f (, ) d d f ( b( ), ) f ( a( ), ) d = + d d a( ) a( ) Οι εξισώσεις (5.4) και (5.5) εκφράζουν την ελεύθερη στροβιλότητα συναρτήσει της προσδεδεμένης. Τώρα θα εκφράσουμε την συνιστώσα της ταχύτητας που είναι κάθετη στην επιφάνεια της πτέρυγας συναρτήσει των συνιστωσών της πυκνότητας στροβιλότητας. Αυτό θα 4

15 μας χρειαστεί στο να προσδιορίσουμε την κυρτότητα της πτέρυγας που θα δημιουργήσει μια συγκεκριμένη (επιθυμητή) διαφορά πιέσεων. Και οι δύο συνιστώσες της πυκνότητας στροβιλότητας συνεισφέρουν στην τιμή της κάθετης ταχύτητας πάνω στην πτέρυγα. Θεωρούμε πρώτα την συνεισφορά της προσδεδεμένης στροβιλότητας. Από τον νόμο Bot-Savart, όπως έχει εξειδικευτεί γιά φύλλα στροβιλότητας (εξ..8), έχουμε ότι η επαγόμενη ταχύτητα από την προσδεδεμένη στροβιλότητα δίνεται από την εξής σχέση: s / T ( ζ ) b γ ( ξζ, )( ξ) v (, ) = dξdζ (5.6) 3/ 4 π (( ξ) + ( ζ) ) s/ L ( ζ ) Αντίστοιχα η κάθετη επαγόμενη ταχύτητα από την ελευθερη στροβιλότητα είναι ίση με: s / f γ ( ξζ, )( ζ) v (, ) = dξdζ (5.7) 3/ 4 π (( ξ) + ( ζ) ) s/ L ( ζ ) Η συνολική κάθετη επαγόμενη ταχύτητα είναι ίση με το άθροισμα των δύο ανωτέρω εκφράσεων: v = v + v b f (5.8) Η κατανομή της στροβιλότητας πρέπει να είναι τέτοια ώστε να ικανοποείται η οριακή συνθήκη πάνω στην πτέρυγα. Αν ονομάσουμε ( uvw,, ) την ταχύτητα που προκαλεί η παρουσία τηε πτέρυγας η ταχύτητα του ρευστού είναι ( u+ Uvw,, ). Εστω y= yc (, ) η εξίσωση της πτέρυγας (θεωρώντας ότι έχει αμελητέο πάχος). Η οριακή συνθήκη πάνω στην πτέρυγα είναι: yc yc ( u+ U) v+ w = Γραμμικοποιούμε το πρόβλημα όπως κάναμε και στις λεπτές υδροτομές: () Κρατάμε μόνο πρώτης τάξης όρους, δηλαδή αγνοούμε γινόμενα όπως uy c / και () εφαρνόζουμε την οριακή συνθήκη στην γραμμικοποιημένη θέση της πτέρυγας y = ±, όπου το θετικό πρόσημο αναφέρεται στην άνω πλευρά της πτέρυγας και το αρνητικό στην κάτω πλευρά. Τότε η γραμμικοποιημένη οριακή συνθήκη είναι: y c v= U, y = ± (5.9) Εχουμε επί πλέον την συνθήκη Kutta στην ακμή εκφυγής. Δεδομένου ότι η πτέρυγα έχει αμελητέο πάχος, το αριστερό μέλος της (5.9) είναι ίσο με την συνολική επαγόμενη ταχύτητα (5.8). Οι εξισώσεις (5.), (5.8) και (5.9) και η συνθήκη Kutta στο άκρο εκφυγής συνιστούν το γραμμικό πρόβλημα ροής γύρω από πτέρυγα, 5

16 Είναι διδακτικό να θεωρήσουμε την περίπτωση λεπτής διδιάστατης υδροτομής. Στην περίπτωση αυτή s =, L, T είναι σταθερές με T L = c, όπου c είναι η χορδή, γ =, και γ είναι ανεξάρτητη του. Κατά συνέπεια έχουμε ότι: T T b = 3/ 4 ξ ζ = (( ) ( ) ) L L γ ( ξ)( ξ) γ ( ξ) v(, ) d d dξ (5.) π ξ + ζ π ξ Όπου μεταχειριστήκαμε τον μετασχηματισμο ζ = ( ξ ) ψ και το ότι 3/ dψ /( + ψ ) =. Το πρόβλημα ανάγεται δηλαδή (μαζί με την συνθήκη Kutta ) στο γραμμικό διδιάστατο πρόβλημα ροής γύρω από λεπτή υδροτομή. Επιστρέφοντας στο τριδιαστατο προβλημα, παρατηρούμε οτι, παρά την απλοποίηση που επέφερε η γραμμικοποίηση του προβλήματος, επίλυση των ανωτέρω εξισώσεων είναι δυνατή μόνο αριθμητικά. Αυτό έχει γίνει στο παρελθόν από διάφορους ερευνητές αλλά είναι πέρα από τα όρια του παρόντος μαθήματος. Θα συζητήσουμε μια απλούστερη θεωρία, την θεωρία της φέρουσας γραμμής, η οποία ανάγει το πρόβλημα της ροής γύρω από πτέρυγα στην επίλυση μιας σειράς διδιάστατων προβλημάτων ροής γύρω από λεπτές υδροτομές. Το βασικό πλεονέκτημα της θεωρίας αυτής είναι ότι καταλήγει σε απλές σχέσεις γιά την άνωση και την επαγόμενη αντίσταση, που δίνουν ταυτόχρονα και ικανοποιητική ακρίβεια 6. Θεωρία της φέρουσας γραμμής Θεωρούμε μια πτέρυγα με κατανομή κυκλοφορίας Γ ( ) κατά το άνοιγμά της. Η θεωρία της φέρουσας γραμμής εισάγει τις εξής επιπλέον παραδοχές: (επιπλέον από αυτές της γραμμικής θεωρίας): Για τον υπολογισμό της επαγόμενης ταχύτητας από την προσδεδεμένη στροβιλότητα σε τομή παράλληλη με το επίπεδο -y ( = l ) υποθέτουμε ότι είναι ίση με την επαγόμενη ταχύτητα διδιάστατης υδροτομής με χορδή ίση με την τοπική χορδή ( ) ( ). Από την εξίσωση (5.6) έχουμε κατά συνέπεια ότι: T l L l v u( l) b γ ξ l = π ξ L( l) (, ) dξ (6.) Για την υπολογισμό της επαγόμενης ταχύτητας από την ελευθερη στροβιλότητα, υποθέτουμε ότι η ελευθερη στροβιλότητα αποκτά απότομα την τελική της τιμή dγ ( )/ d για θετικες τιμές του, ενω έχει μηδενική τιμή για αρνητικες τιμές του, δηλαδή: γ (, ) =, < dγ =, d 6

17 Για την επαγόμενη ταχύτητα που υπολογίζεται με βάση την προηγούμενη παραδοχή υποθέτουμε επι πλεον ότι δεν μεταβάλλεται σημαντικά κατά το μήκος της χορδής. Μπορούμε να υποθέσουμε επομένως ότι η επαγόμενη ταχύτητα είναι σταθερή σε όλη την χορδή και ίση με την τιμή της στην θέση = : f f v (, ) = v (, ) Η τελευταία παραδοχή σημαίνει ότι η μοναδικη επιδραση της ελευθερης στροβιλότητας είναι η εκτροπή της εξωτερικής ροής με την προσθηκη μιας μικρής συνιστώσας της ταχύτητας στην y κατεύθυνση v ίσης με την επαγόμενη f ταχύτητα. v (, ) Η συνισταμένη εξωτερική ταχύτητα, που προκύπτει από το διανυσματικό άθροισμα της εξωτερικής ροής U και της επαγόμενης ταχύτητας από την ελευθερη στροβιλότητα, έχει συνιστώσες κατά ( y,, ) αντίστοιχα ( Uv,,). Επειδή v << U, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το μέτρο της ταχύτητας της εξωτερικής ροής είναι ισο με U, αλλα το διάνυσμα της είναι κεκλιμμένο ως προς τον άξονα καυα την γωνία εκτροπής α : v ( ) α ( ) = (6.) U Το αρνητικό πρόσημο στην (6.) χρησιμοποείται γιά να έχουμε θετική γωνία εκτροπής. Επομένως η γωνία πρόσπτωσης της διατομής α της πτέρυγας θα υποστεί μια μείωση κατά το ανωτέρω ποσό και θα γινει α α. (Σημειώνουμε ότι η κάθετη επαγόμενη ταχύτητα v λεγεται κατώρευμα (dowwash)). Κατά συνέπεια έχουμε να λύσουμε μια σειρά από διδιάστατα προβλήματα και η συνολική δύναμη L θα υπολογιστεί ολοκληρώνοντας ως προς την εξίσωση: dl = ρuγ d ( ) (6.3) Η κυκλοφορία Γ λεγεται γι αυτό τον λογο και «φόρτιση» της πτέρυγας. Η συνολική δύναμη L είναι κάθετη προς την συνισταμένη ταχύτητα. ( Uv, ). Αναλύουμε την συνολική δύναμη L σε μια συνιστώσα κατά τον άξονα των y, που συμβολίζουμε με L, και μια κατά τον άξονα των, που συμβολίζουμε με D Επειδή η γωνία εκτροπής είναι μικρή έχουμε ότι:: dl = dl, dd = dl α (6.4) Η συνιστώσα L, που είναι κάθετη προς την ταχύτητα στο άπειρο, είναι η δυναμική άνωση, και η συνιστώσα D, που είναι παράλληλη προς την ταχύτητα στο άπειρο λεγεται επαγόμενη αντίσταση. Ενεργειακά η ύπαρξη της επαγόμενης αντίστασης 7

18 εξηγειται από το ότι η ισχυς που παράγει η τελευταία ( DU ) διατίθεται για την δημιουργία του φύλλου δινών πίσω από την πτέρυγα. 7. Υπολογισμός της επαγόμενης ταχύτητας Εφαρμόζοντας τις απλοποιητικές παραδοχές της θεωρίας φέρουσας γραμμής στην εξίσωση (5.7) η κάθετη επαγόμενη ταχύτητα λόγω της ελευθερης στροβιλότητας δίνεται από την ακόλουθη σχέση: s / dγ( ζ ) v ( )( d ) d 3/ dζ ( ξ + ( ζ)) s / = ζ ξ ζ = s / dγ( ζ ) = dζ (7.) 4π dζ ζ s / Για τον υπολογισμό του ανωτέρω ολοκληρώματος κάνουμε τις εξής αντικαταστάσεις: s s = cos θ, ζ = cos φ (7.) όπου θ και φ μεταβάλλονται μεταξύ και π. Με τις αντικαταστάσεις αυτές έχουμε: v π dγ = dφ πs dφ cosθ cosϕ (7.3) Θεωρώντας την κυκλοφορία Γ σαν συνάρτηση της μεταβλητής φ μπορούμε να την παραστήσουμε με μια ημιτονική σειρά Fourer στο διάστημα εως π: Γ ( φ) = Us a s φ (7.4) = όπου a, =,,... είναι οι συντελεστές της σειράς. Επιλέξαμε ημιτονική σειρά Fourer αντί γιά συνημιτονική επειδή η κυκλοφορία Γ μηδενίζεται στα δύο ακροπτερύγια. Η ποσότητα Us έχει εισαχθεί γιά να είναι οι συντελεστές της σειράς αδιάστατα μεγέθη. Οι συντελεστές a συνδέονται με την κυκλοφορία με την σχέση: a π = Γ( φ)s φdφ πus Η κυκλοφορία Γ είναι άγνωστη, οπότε και οι συντελεστές της σειράς Fourer είναι επίσης άγνωστοι. 8

19 Αντικαθιστούμε την έκφραση για την κυκλοφορία Γ στο ολοκλήρωμα γιά την επαγόμενη ταχύτητα και έχουμε: π π U U cos φ v acos d a d π = cosθ cosφ π = cosθ cosφ = φ φ = φ = = U = a s θ sθ (7.5) Γιά να καταλήξουμε στην εξίσωση (7.5) μεταχειριστήκαμε τα ολοκληρώματα Glauert, που είχαμε συναντήσει και στην θεωρία λεπτών υδροτομών: π cos φ s θ dφ = π cosθ cosφ sθ Από την κάθετη επαγόμενη ταχύτητα βρισκουμε και την γωνία εκτροπής της ροής α : v α = = a U = s θ sθ (7.6) Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιαζει η περίπτωση όταν a = για, οπότε η μεταβολή της φόρτισης είναι ημιτονοειδής ως προς την μεταβλητή θ, ή, ισοδυναμα ελλειπτική ως προς την μεταβλητή. Τότε οι εκφράσεις γιά την κάθετη επαγόμενη ταχύτητα και την γωνία εκτροπής απλοποιούνται ως εξής: v = Ua = σταθερη (7.7) α = a = σταθερη (7.8) Βλέπουμε δηλαδή ότι η γωνία εκτροπής της ροής είναι στην περίπτωση σταθερη σε όλο το άνοιγμα της πτέρυγας. αυτή 8. Υπολογισμός της δυναμικής άνωσης και της επαγόμενης αντίστασης Η ολική άνωση βρίσκεται με ολοκλήρωση της τοπικής άνωσης ανά μονάδα πλάτους κατά το άνοιγμα της πτέρυγας: s / π π s s s s s / = L = ρuγ d = ρu Γ θdθ = ρu s a θ θdθ Απ όπου προκύπτει ότι: 9

20 π a L= ρ U s (8.) καθώς μόνο ο όρος =της σειράς δινει μη μηδενικό ολοκλήρωμα. Ο συντελεστής άνωσης της πτέρυγας CL δίνεται από την ακόλουθη σχέση: L s CL = = a = a AR /ρu A A π π ( ) (8.) όπου Α είναι η επιφάνεια και (AR) είναι ο λόγος επιμήκους της πτέρυγας. Η επαγόμενη αντίσταση της πτέρυγας μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: s/ s/ π s θ = Γ = Γ = / / sθ s s = = D ( ρu ) α d ρv d ρu s ( a )( a s θ)sθdθ Αναπτύσσοντας το γινόμενο και έναλλάσσοντας ολοκλήρωση με άθροιση, καταλήγουμε στην ακόλουθη σχέση: π ρu = ρ m θ θ θ = π = m= = D U s a a s s m d a (8.3) Όπου μεταχειριστήκαμε την σχέση: π π s φs md φ φ =, αν m= =, αν m Ο συντελεστής επαγόμενης αντίστασης, C D, δίνεται από την εξίσωση: D CD = = a ( AR)( a ) (8.4) /ρu A π + = Εκφράζουμε τον συντελεστη a συναρτήσει του C L και αντικαθιστωντας παίρνουμε την ακόλουθη έκφραση για τον συντελεστής επαγόμενης αντίστασης: C D CL π ( AR) = + ( a ) (8.5) = Από τις παραπάνω σχέσεις έπεται ότι η ελλειπτική κατανομή της φόρτισης κατά το άνοιγμα δινει τον ελάχιστο συντελεστή επαγόμενης αντίστασης για δεδομένο συντελεστή άνωσης. Η ελλειπτική φόρτίση είναι κατά συνέπεια η βέλτιστη.

21 9. Συσχέτιση του τριδιάστατου με τον διδιάστατο συντελεστή άνωσης Θεωρούμε πτέρυγα με σταθερη γωνία πρόσπτωσης σε όλο της το άνοιγμα. Μιά τέτοια πτέρυγα λεγεται ευθύγραμμή. Θεωρούμε επίσης ότι όλες οι τομές της πτέρυγας από επίπεδα =σταθερό είναι γεωμετρικά όμοιες (δηλ. Προέρχονται από την ίδια αδιαστατη διατομή), οπότε εχουν ολες την ίδια γωνία μηδενικής άνωσης α. Σύμφωνα με τις υποθέσεις της θεωρίας φέρουσας γραμμής, η τοπική άνωση σε καθε τομή της πτέρυγας μπορεί να υπολογιστει από την διδιάστατη θεωρία λεπτών υδροτομών, αλλά με την εξωτερική ροή τροποποιημένη κατά την γωνία α. Από την διδιάστατη θεωρία λεπτών υδροτομών ξέρουμε ότι ο τοπικός συντελεστής άνωσης C L δίνεται από την ακόλουθη σχέση: v CL = πα ( α + α) = πα ( α ) (9.) U Επειδή η τοπική άνωση είναι ίση με τοπικό συντελεστή άνωσης: ρuγ έχουμε την έναλλακτική έκφραση για τον C ρuγ Γ = = /ρu c Uc L (9.) όπου c= T( ) L( ) είναι η τοπική χορδή της πτέρυγας. Εξισώνουμε τις εκφράσεις στις (9.),(9.) και αντικαθιστούμε τις εκφράσεις γιά την φόρτιση και την γωνία εκτροπής από το προήγουμενο κεφάλαιο, και καταλήγουμε στην ακόλουθη σχέση: 4s c a s θ a s θ= πα ( α) (9.3) sθ = = Η εξίσωση (9.3) ισοδυναμεί με ένα συστημα από απειρες γραμμικες εξισώσεις για τους συντελεστές a.στην γενική περίπτωση πρέπει να εκφράσουμε και τη χορδή c σαν σειρά Fourer, να αντοκαταστήσουμε στην (9.3) και να εξισώσουμε τους συντελεστές των δύο πλευρών. Αν κρατήσουμε τους Ν πρώτους όρους της σειράς θα έχουμε Ν εξισώσεις γιά τους Ν συντελεστές. Το πρόβλημα απλοποιείται πολύ για την περίπτωση που c= c sθ όπου c είναι η μέγιστη χορδή της πτέρυγας, για την περίπτωση δηλαδή που η πτέρυγα έχει ελλειπτικό σχήμα με άξονες sc., Τότε η εξίσωση (9.3) γίνεται: 4s c a s θ = π(( α a )sθ a s θ) = = Εξισώνουμε τους συντελεστές των ημιτόνων στα δύο μέλη και καταλήγουμε στις εξής σχέσεις:

22 4s a c = πα ( α + a ) (9.4) 4 s a, (9.5) = a c Από τις (9.4), (9.5) προκύπτει οτι πα ( α) a = 4 s/ c + π (9.6) a =, (9.7) Βλέπουμε δηλαδή ότι για το είδος της πτέρυγας που θεωρούμε σε αυτό το κεφάλαιο ελλειπτικό σχήμα συνεπάγεται και ελλειπτική φόρτιση. Αντικαθιστούμε την τιμή του a στην εξίσωση που βρηκαμε στο προήγούμενο κεφάλαιο για τον ολικό συντελεστή άνωσης και καταλήγουμε στην ακόλουθη έκφραση: C L πα ( α) = + /( AR) (9.8) Βλέπουμε ότι ο συντελεστής άνωσης τριδιάστατης πτέρυγας είναι μικρότερος από τον συντελεστη διδιάστατης πτέρυγας. Η μειωση οφειλεται στο κατώρευμα που προκαλεί το φύλλο στροβιλότητας που ακολουθει την πτέρυγα. Η επιφάνεια Α πτέρυγας ελλειπτικού σχήματος είναι ίση με π cs /4, οπότε ο λόγος επιμήκους δίνεται από την σχέση: 4 s ( AR) = π c Ο συντελεστής επαγόμενης αντίστασης μπορεί τώρα να υπολογιστει από την εξίσωση (8.5). Σημειώνουμε ομως ότι η εξίσωση (9.8) ισχύει με αρκετά καλή ακρίβεια και για μη ελειπτικά σχήματα. Για παράδειγμα, για ορθογωνική πτέρυγα με λόγο επιμήκους ίσο με 5, η εξίσωση (9.8) προβλέπει συντελεστή άνωσης ισο με 4.48( α α) ενω η «ακριβής τιμή», που προκύπτει από την επίλυση του συστήματος (9.3), είναι 4.3( α α ), έχουμε δηλαδή ένα λάθος γύρω στο 4%.