Σύνδεση του ΕΓΣΑ87 µε τα σύγχρονα γεωκεντρικά συστήµατα αναφοράς

Transcript

1 HEPOS Project (ΤΕ.ΒΟ ΑΠΘ) Σύνδεση του ΕΓΣΑ87 µε τα σύγχρονα γεωκεντρικά συστήµατα αναφοράς τύπου-itrf/etrf Χριστόφορος Κωτσάκης Τµήµα Αγρονόµων & Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Το έργο της Τεχνικής Βοήθειας για το HEPOS εντάσσεται στο µέτρο 5.3 του Ε.Π. «Κοινωνία της Πληροφορίας» και συγχρηµατοδοτείται σε ποσοστό 80% από το Ευρωπαϊκό Ταµείο Περιφερειακής Ανάπτυξης και 20% από εθνικούς πόρους. Ηµερίδα HEPOS Ένα ενιαίο σύστηµα εντοπισµού θέσης για την Ελλάδα Αθήνα, 6 εκεµβρίου 2007

2 Που είµαι; ETRF ΕΓΣΑ87 Η =? ITRF HEPOS/GPS-based positioning

3 Αντικείµενο µελέτης Προσδιορισµός αµφίδροµων µοντέλων µετασχηµατισµού (και της ακρίβειας τους) µεταξύ του ΕΓΣΑ87 και του γεωκεντρικού πλαισίου αναφοράς συντεταγµένων στο οποίο θα λειτουργεί το σύστηµα HEPOS. ΕΓΣΑ87 ETRFxx t o (φ, λ) (X, Y, Z)

4 Ποιές είναι οι συντεταγµένες στο ΕΓΣΑ87; HEPOS/GPS-based horizontal positioning

5 Ένταξη της υπάρχουσας υποδοµής χωρικών πληροφοριών σε ένα σύγχρονο 3 πλαίσιο αναφοράς (INSPIRE, ) ΕΓΣΑ87 Κτηµατολόγιο Γεωδαισία Τοπογραφία ίκτυα Υποδοµής Υδρολογία Γεωδυναµική Εφαρµογές GIS ιαχείριση περιβάλλοντος... Πλαίσιο αναφοράς του HEPOS

6 Ποιό είναι το υψόµετρο από τη ΜΣΘ; HEPOS/GPS-based vertical positioning

7 Συνδυασµός δεδοµένων GPS/HEPOS και υψοµέτρων γεωειδούς για τον άµεσο προσδιορισµό ορθοµετρικών υψοµέτρων

8 Ευθύς µετασχηµατισµός ETRF2005 ΕΓΣΑ87 Χρήση HEPOS για τη γεωδαιτική υποστήριξη των µελετών κτηµατογράφησης του Ελληνικού Κτηµατολογίου στο ΕΓΣΑ87 Υποστήριξη γεωδαιτικών/τοπογραφικών εφαρµογών µε χρήση GPS για το πλαίσιο αναφοράς του ΕΓΣΑ87 Προβλήµατα HEPOS (3D) ΕΓΣΑ87 (2D) Συστηµατικές οριζοντιογραφικές παραµορφώσεις στο ΕΓΣΑ87

9 Σύνδεση Συστηµάτων Αναφοράς Θεωρώντας διαφορές σε: θέση/προσανατολισµό/κλίµακα/eeπ ΕΕΠ (x, y, z) (φ, λ, h) α, f Χαρτογρ. (E, N) ΓΣΑ1 προβολή 3 µετασχηµατισµός οµοιότητας (7 παράµετροι) 3 µετασχηµατισµός οµοιότητας + πιθανή αλλαγή ΕΕΠ (9 παράµετροι) ΕΕΠ (x', y', z') (φ', λ', h') (E', N') ΓΣΑ2 α', f' Χαρτογρ. προβολή

10 Σύνδεση Συστηµάτων Αναφοράς Θεωρώντας διαφορές σε: θέση/προσανατολισµό/κλίµακα/eeπ ΕΕΠ (x, y, z) (φ, λ, h) α, f Χαρτογρ. (E, N) ETRFxx προβολή 3 µετασχηµατισµός οµοιότητας (7 παράµετροι) 3 µετασχηµατισµός οµοιότητας + πιθανή αλλαγή ΕΕΠ (9 παράµετροι) GRS80 (x', y', z') (φ', λ', h') (E', N') ΕΓΣΑ87 α', f' Χαρτογρ. προβολή

11 3D ΕΓΣΑ (?) Γιατί είναι προβληµατική η 3 -ποίηση του ΕΓΣΑ87: h ΕΓΣΑ 87 = H + N - θα πρέπει να έχω µοντέλο γεωειδούς (Ν) µε πολύ καλή ακρίβεια και διακριτική ανάλυση, το οποίο να αναφέρεται ήδη στο ΕΓΣΑ87! - η χρήση των διαθέσιµων παγκόσµιων µοντέλων γεωειδούς (Ν) απαιτεί την εξ αρχής γνώση των παραµέτρων µετασχη- µατισµού µεταξύ του ΕΓΣΑ87 και του γεωκεντρικού ΓΣΑ στο οποίο αναφέρονται τα µοντέλα αυτά! - οι τιµές των ορθοµετρικών υψοµέτρων (Η) δεν πρέπει να είναι επηρεασµένες από συστηµατικά σφάλµατα και θα πρέπει να είναι συµβατές µε το µοντέλο γεωειδούς που επιλέγεται!

12 Γενικό σχεδιάγραµµα ETRF05 x i, y i, z i GRS80 ETRF05 φ i, λ i, h i Παράµετροι 3 µετασχηµατισµού µετάθεσης/στροφής - Ενιαίος µετασχηµατισµός για όλη (σχεδόν) την Ελλάδα - υνατότητα εκτίµησης της ακρίβειας για τις µετασχ/νες συντεταγµένες σε κάθε σηµείο φ i, λ i (Ε i,ν i ) φ i, λ i (Ε i,ν i ) EΓΣΑ87 (µε µέση ακρίβεια > 50 cm) Πρόσθετες διορθώσεις µέσω 2 σηµειακής παρεµβολής από καννάβους συστηµατικών παραµορφώσεων του ΕΓΣΑ87 EΓΣΑ87 (µε µέση ακρίβεια < 10 cm)

13 ίκτυο κοινών σηµείων 2470 σηµεία (!) (φ,λ) ΕΓΣΑ87 (X,Y,Z) ETRF05, t= H ΓΥΣ, Ν EGM07

14 Προβληµατικά σηµεία Από το σύνολο των 2470 κοινών σηµείων αφαιρέθηκαν συνολικά 39 σηµεία ως προβληµατικά: τα 4 σηµεία ΠΜΣ στο Καστελόριζο, τα οποία παρουσιάζουν ένα a-posteriori σφάλµα της τάξης των 300 m! 1 σηµείο ΠΜΣ στην Κίµωλο, το οποίο παρουσιάζει ένα a-posteriori σφάλµα της τάξης των 330 m! άλλα 34 σηµεία ΠΜΣ σε διάφορες περιοχές της Ελλάδας, τα οποία παρουσιάζουν υψηλές τιµές στα a-posteriori σφάλµατα τους ή/και εµφανίζουν έντονα ανοµοιογενή συµπεριφορά σε σχέση µε γειτονικά τους σηµεία (µετά από ένα 3 µετασχηµατισµό µετάθεσης/στροφής)

15 23 προβληµατικά σηµεία Κωδικός Ονοµασία ΤΑ φ λ Residual (m) 2007 ΚΑΣΤΡΟ ΙΙΙ ~ ΧΑΡΠΙ Α IV ~ ΛΙΟΡΙΤΣΙ IV ~ ΛΕΥΚΑ IV ~ ΕΚΚΕΝ. Ι (ΑΝΤΙΠ) Ι ~ ΠΕΝΤΑΛΩΝΙ ΙΙΙ ~ ΣΠΙΤΙ ΚΑΜΙΝΑΚΙΑ IV ~ ΜΗΛΙΟΣ IV ~ ΑΣΤΡ. ΣΤΑΘΜΟΣ II ~ ΠΡΟΦ. ΗΛΙΑΣ IV ~ ΑΓ. ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΧΑΝ IV ~ ΜΕΣΤΑ II ~ ΚΟΛΟΚΟΤΡΩΝΗΣ IV ~ ΞΙΦΑ ΟΥΡΑ ΙV ~ ΚΟΛΟΚΟΤΡΩΝΑ IV ~ ΣΠΕΛΑ IV ~ ΑΚΡ. ΚΑΛΑΜΟΣ IV ~ ΜΝ. ΧΟΝ ΡΟΥ IV ~ ΑΡΜΟΙ IV ~ ΠΛΑΓΙΑ IV ~ ΑΝΩΝΥΜΟΝ IV ~ ΠΡΟΦ. ΗΛΙΑΣ III ~ ΚΕΡΑΜΙ ΑΡΙΟ IV ~ 5.2

16 Προβληµατικά σηµεία (συνέχ.) # # #11026

17 Προβληµατικά σηµεία (συνέχ.) # #61046 # #173119

18 Προβληµατικά σηµεία (συνέχ.) #233054

19 Προβληµατικά σηµεία (συνέχ.) # #73088

20 2431 µη-προβληµατικά σηµεία 2198 κοινά σηµεία (*) βάση των οποίων θα προσδιοριστούν τα αµφίδροµα µοντέλα µετασχηµατισµού µεταξύ του ETRF05 και του ΕΓΣΑ κοινά σηµεία (*) βάση των οποίων θα ελεχθεί εξωτερικά η ακρίβεια των αµφίδροµων µοντέλων µετασχηµατισµού µεταξύ του ETRF05 και του ΕΓΣΑ87

21 Μοντέλο συνόρθωσης Υπολογισµός των παραµέτρων για τον 3 µετασχηµατισµό µετάθεσης/στροφής µεταξύ του ΕΓΣΑ87 και του ETRF05, µέσω συνόρθωσης του γενικού µοντέλου: ϕ = ϕ + f ( t, t, t, ε, ε, ε, δs, δa, δf, ϕ, λ, h) x y z x y z λ = λ + f ( t, t, t, ε, ε, ε, δs, δa, δf, ϕ, λ, h) x y z x y z δs=0 δa= 0 δf = 0 (*) ο υπολογισµός των γεωδαιτικών συντεταγµένων (φ, λ, h), ως προς το ETRF05, έγινε µε βάση τις παραµέτρους του ελλειψοειδούς αναφοράς GRS80.

22 Σενάρια συνόρθωσης (*) Σενάριο 1 (t x, t y, t z ) Σενάριο 2 (t x, t y, t z, ε x ) Σενάριο 3 (t x, t y, t z, ε y ) Σενάριο 4 (t x, t y, t z, ε z ) Σενάριο 5 (t x, t y, t z, ε x, ε y ) Σενάριο 6 (t x, t y, t z, ε x, ε z ) Σενάριο 7 (t x, t y, t z, ε y, ε z ) Σενάριο 8 (t x, t y, t z, ε x, ε y, ε z ) (*) ως προς τον συνδυασµό των άγνωστων παραµέτρων µετάθεσης & στροφής που χρησιµοποιούνται...

23 Εκτιµήσεις των παραµέτρων Με βάση τα αποτελέσµατα της συνόρθωσης στο δίκτυο των 2198 κοινών σηµείων t x t y t z ε x ε y ε z Σενάριο Σενάριο Σενάριο Σενάριο Σενάριο Σενάριο Σενάριο Σενάριο (*) όλες οι τιµές σε m/arcsec

24 Παράµετροι 3 µετάθεσης t x t y t z BTS87 ΕΓΣΑ87 (Βέης 1987) WGS84 ΕΓΣΑ ETRF05 ΕΓΣΑ87 (3 µεταθέσεις µόνο) ETRF05 ΕΓΣΑ87 (3 µεταθέσεις + 3 στροφές) (*) όλες οι τιµές σε m

25 Συσχετίσεις παραµέτρων Σενάριο 1 (3 παράµετροι µετάθεσης) t x = (± 0.195) m t y = (± 0.085) m t z = (± 0.171) m t x t x t y t z t y t z Σχεδόν απόλυτες συσχετίσεις µεταξύ των παραµέτρων µετάθεσης! (*) µε βάση τα αποτελέσµατα της συνόρθωσης στο δίκτυο των 2198 κοινών σηµείων

26 Συσχετίσεις παραµέτρων Σενάριο 5 (3 παράµετροι µετάθεσης + 2 γωνίες στροφής) t x = (± 4.905) m t y = (± 2.189) m ε x = -4".483 (± 0".114) ε y = 9".357 (± 0".256) t z = (± 6.786) m t x t y t z ε x ε y t x t y t z ε x ε y (*) µε βάση τα αποτελέσµατα της συνόρθωσης στο δίκτυο των 2198 κοινών σηµείων

27 Συσχετίσεις παραµέτρων Σενάριο 8 (3 παράµετροι µετάθεσης + 3 γωνίες στροφής) t x = (± 6.233) m t y = (± 8.312) m t z = (± 6.793) m ε x = -4".105 (± 0".195) ε y = 9".564 (± 0".270) ε z = -0".540 (± 0".225) t x t y t z ε x ε y ε z t x t y t z ε x ε y ε z (*) µε βάση τα αποτελέσµατα της συνόρθωσης στο δίκτυο των 2198 κοινών σηµείων

28 Στατιστική αξιολόγηση ακρίβειας ϕ ΕΓΣΑ87 ~ ϕetrf05+ f (ˆ t, tˆ, tˆ, εˆ, εˆ, εˆ, ϕetrf05, λetrf05, hetrf05) λ x y z x ~ λetrf05+ f (ˆ t, tˆ, tˆ, εˆ, εˆ, εˆ, ϕetrf05, λetrf05, ETRF05) x y ΕΓΣΑ87 h z x y y z z EΕΓΣΑ87 NΕΓΣΑ E 87 ΕΓΣΑ87 N ΕΓΣΑ 87 original values ~ Transformed values Residual vector: δr 2 = ( EΕΓΣΑ 87 EΕΓΣΑ87) + ( ΝΕΓΣΑ 87 ΝΕΓΣΑ87) 2 δε δν

29 Στατιστική αξιολόγηση ακρίβειας Μέγεθος µετατοπίσεων δr (στο δίκτυο των 2198 κοινών σηµείων) Max Min Mean σ RMS t x, t y, t z t x, t y, t z, ε x t x, t y, t z, ε y t x, t y, t z, ε z t x, t y, t z, ε x, ε y t x, t y, t z, ε x, ε z t x, t y, t z, ε y, ε z t x, t y, t z ε x, ε y, ε z (*) όλες οι τιµές σε m

30 Στατιστική αξιολόγηση ακρίβειας Μέγεθος µετατοπίσεων δr (στο δίκτυο των 233 κοινών σηµείων) Max Min Mean σ RMS t x, t y, t z t x, t y, t z, ε x t x, t y, t z, ε y t x, t y, t z, ε z t x, t y, t z, ε x, ε y t x, t y, t z, ε x, ε z t x, t y, t z, ε y, ε z t x, t y, t z ε x, ε y, ε z (*) όλες οι τιµές σε m

31 Residuals δr Χάρτης των διανυσµάτων δr (στο δίκτυο των 2198 κοινών σηµείων, σενάριο 8) Έντονα συστηµατικά σφάλµατα στο ΕΓΣΑ87!

32

33 Χάρτης των µετατοπίσεων δν (στο δίκτυο των 2198 κοινών σηµείων, σενάριο 8) max = m min = m µ = m σ = m

34 Χάρτης των µετατοπίσεων δe (στο δίκτυο των 2198 κοινών σηµείων, σενάριο 8) max = m min = m µ = m σ = m

35 (1)

36 (1)

37 (2)

38 (2)

39 (3)

40 (3)

41 (5)

42 (5)

43 (6)

44 (6)

45 (7)

46 (7)

47 Συµπέρασµα Η εφαρµογή ενός 3 µετασχηµατισµού µετάθεσης & στροφής για τη µετάβαση από το ETRF05 στο ΕΓΣΑ87 προσφέρει µία µέση ακρίβεια για την οριζοντιογραφική σύνδεση των δύο αυτών συστηµάτων αναφοράς της τάξης των cm, µε µέγιστες δυνατές αποχές που µπορούν να φτάσουν µέχρι 2.5 m!

48 Κανναβοποίηση των συστηµατικών παραµορφώσεων του ΕΓΣΑ87 & εφαρµογή συµπληρωµατικού µετασχηµατισµού (ETRF05 ΕΓΣΑ87)

49 Γιατί ; Προκειµένου να επιτύχουµε την οριζοντιογραφική σύνδεση του ETRF05 µε το ΕΓΣΑ87, µε µία µέση ακρίβεια της τάξης των µερικών εκατοστών (*), θα πρέπει να εφαρµόσουµε έναν επιπλέον µετασχηµατισµό ( διόρθωση ) στις συντεταγµένες φ και λ που προκύπτουν από τον αρχικό 3 µετασχηµατισµό µετάθεσης/στροφής... (*) η ακρίβεια αυτή αναφέρεται στο πόσο καλά προσαρµόζεται ένα δίκτυο σηµείων µε δεδοµένο γεωµετρικό σχήµα ως προς το ETRF05, στο αντίστοιχο γεωµετρικό σχήµα του ίδιου δικτύου ως προς το ΕΓΣΑ87.

50 ιαδικασία µετασχηµατισµού ETRF2005 ΕΓΣΑ87 φ ΕΓΣΑ87 λ ΕΓΣΑ87 = φ ETRF05 + δφ + δφ' = λ ETRF05 + δλ + δλ' Βασικές εξισώσεις µετασχηµατισµού φ ETRF05, λ ETRF05 δφ, δλ δφ', δλ' από µετρήσεις GPS (HEPOS) Μετασχηµατισµός λόγω 3 µετάθεσης και στροφής Πρόσθετες διορθώσεις µέσω σηµειακής παρεµβολής των κανναβοποιηµένων «παραµορφώσεων» του ΕΓΣΑ87

51 ιαδικασία µετασχηµατισµού ETRF2005 ΕΓΣΑ87 φ ΕΓΣΑ87 = φ ETRF05 + δφ + δφ' λ ΕΓΣΑ87 = λ ETRF05 + δλ + δλ' 2 σηµειακή παρεµβολή Κάνναβος διορθώσεων (interpolation algorithm) δφ' = f(δφ i ', δφ j ', δφ k ', ) δλ' = f(δλ i ', δλ j ', δλ k ', ) δφ j ' (φ j,λ j ) δλ j ' (φ j,λ j ) j δφ' δλ' k i δφ i ' (φ i,λ i ) δλ i ' (φ i,λ i ) δφ k ' (φ k,λ k ) δλ k ' (φ k,λ k ) Σηµείο υπολογισµού (φ, λ) ETRF05

52 Προσδιορισµός καννάβων δλ i ' δφ i ' Σε κάθε κορυφή του δικτύου των 2198 κοινών σηµείων υπολογίζουµε τις εξής τιµές (residuals): δ ϕ = ϕ ϕ + ΕΓΣΑ i [ f (ˆ t, tˆ, tˆ, εˆ, εˆ, εˆ )] 87 ETRF05 x y z x y z [ λ f (ˆ t, tˆ, tˆ, εˆ, εˆ, εˆ )] i = λ ΕΓΣΑ87 ETRF05 x y z x y z δ λ + (*) οι τιµές αυτές αντιστοιχούν στα συνορθωµένα σφάλµατα κλεισίµατος του 3 µετασχηµατισµού µετάθεσης και στροφής

53 Προσδιορισµός καννάβων δλ' n,m δφ' n,m δλ i ' δφ i ' Μέσω των διαθέσιµων τιµών {δφ i '} και {δλ i '} δηµιουργούµε δύο ορθογωνικούς καννάβους {δφ' n,m } και {δλ' n,m } µε τη χρήση κατάλληλου αλγόριθµου gridding: Sandwell D.T. "Biharmonic Spline Interpolation of GEOS-3 and SEASAT Altimeter Data", Geophysical Research Letters, 2, , 1987.

54 Προσδιορισµός καννάβων δφ' n,m δλ' n,m δφ i ' δλ i ' Grid coverage: φ max = λ max = φ min = λ min =

55 Προσδιορισµός καννάβων δφ' n,m δλ' n,m δφ i ' δλ i ' Grid resolution Grid size values (for each grid) kb (for each grid, ASCII in single prec) values (for each grid) 1785 kb (for each grid, ASCII in single prec) values (for each grid) 449 kb (for each grid, ASCII in single prec) values (for each grid) 113 kb (for each grid, ASCII in single prec)

56 Κάνναβος για δφ Κάνναβος για δλ arcsec arcsec Με βάση τα αποτελέσµατα της συνόρθωσης στο δίκτυο των 2198 κοινών σηµείων & του αντίστοιχου gridding των residuals

57 ΕΓΣΑ87 Στατιστική αξιολόγηση ακρίβειας λ ~ λ + f (ˆ tx, tˆ y, tˆ z, εx εy εz λ h + δλ ΕΓΣΑ ˆ, ˆ, ˆ, ϕ,, ) 87 ETRF05 ETRF05 ETRF05 ETRF05 ϕ ϕ + f (ˆ t, tˆ, tˆ, εˆ, εˆ, εˆ, ϕ, λ, h ) + δϕ ~ ETRF05 ETRF05 ETRF05 ETRF05 x y z x y z EΕΓΣΑ87 NΕΓΣΑ E 87 ΕΓΣΑ87 N ΕΓΣΑ 87 original values ~ Transformed values Residual vector: δr 2 = ( EΕΓΣΑ 87 EΕΓΣΑ87) + ( ΝΕΓΣΑ 87 ΝΕΓΣΑ87) 2

58 Στατιστική αξιολόγηση ακρίβειας Μέγεθος µετατοπίσεων δr (στο δίκτυο των 2198 κοινών σηµείων) Χρήση grid Max Min Mean σ RMS (*) όλες οι τιµές σε m

59 Στατιστική αξιολόγηση ακρίβειας Μέγεθος µετατοπίσεων δr (στο δίκτυο των 233 κοινών σηµείων) Χρήση grid Max Min Mean σ RMS (*) όλες οι τιµές σε m

60 Residuals δr Ιστόγραµµα των τιµών των µετατοπίσεων δr (στο δίκτυο των 2198 κοινών σηµείων) (µέσω καννάβου διορθώσεων )

61

62 Residuals δr Ιστόγραµµα των τιµών των µετατοπίσεων δr (στο δίκτυο των 233 κοινών σηµείων) (µέσω καννάβου διορθώσεων )

63

64 Συµπέρασµα Η εφαρµογή ενός 3 µετασχηµατισµού µετάθεσης & στροφής (µε την ταυτόχρονη πρόσθετη διόρθωση µέσω κανναβοποιηµένων «συστηµατικών παραµορφώσεων») για τη µετάβαση από το ETRF05 στο ΕΓΣΑ87 προσφέρει µία µέση ακρίβεια για την οριζοντιογραφική σύνδεση των δύο αυτών συστηµάτων αναφοράς καλύτερη των 10 cm, µε µέγιστες δυνατές αποχές που µπορούν να φτάσουν µέχρι 25 cm!

65 Υπό ολοκλήρωση... «Κάνναβοι ακρίβειας» για το συνολικό µοντέλο µετασχηµατισµού ETRF05 ΕΓΣΑ87 Προσδιορισµός αντίστροφου µετασχηµατισµού ΕΓΣΑ87 ETRF05 «Κάνναβοι ακρίβειας» για το συνολικό µοντέλο µετασχηµατισµού ΕΓΣΑ87 ETRF05 ηµιουργία ολοκληρωµένου software για την εκτέλεση των αµφίδροµων οριζοντιογραφικών µετασχηµατισµών

66 Ανοικτά ζητήµατα Αναβάθµιση των µοντέλων µετασχηµατισµού µεταξύ ΕΓΣΑ87 και HEPOS (βελτίωση της ακρίβειας οριζοντιογραφικής σύνδεσης µε πύκνωση των κοινών σηµείων σε προβληµατικές περιοχές και εκ νέου υπολογισµού των διορθωτικών καννάβων) HEPOS και µοντέλο ταχυτήτων (γιατί; πως; επιπτώσεις; δυναµικοί µετασχηµατισµοί;) HEPOS και υψοµετρικός προσδιορισµός θέσης (προσδιορισµός ορθοµετρικών υψοµέτρων µέσω µετρήσεων GPS και πληροφορίας γεωειδούς, µε ακρίβεια < 10 cm, οπουδήποτε στην Ελλάδα)

67 Residuals h H N PGM2007A (2190) 3 EGM96 (360) o N 42 o N o N 40 o N 0 38 o N 38 o N o N o N 20 o E 22 o E 24 o E 26 o E 28 o E 20 o E 22 o E 24 o E 26 o E 28 o E -4 µ = m σ = m µ = m σ = m

68 Χ. Κωτσάκης : kotsaki@topo.auth.gr