Παράδειγμα συνόρθωσης υψομετρικού δικτύου

Transcript

1 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος Παράδειγμα συνόρθωσης υψομετρικού δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ

2 Δίνεται το παρακάτω υψομετρικό δίκτυο στο οποίο έχουν μετρηθεί μέσω διπλής γεωμετρικής χωροστάθμησης οι υψομετρικές διαφορές όλων των πλευρών του. ΔΗ ΔΗ 13 ΔΗ 3 Ζητείται η συνόρθωση του δικτύου (για διάφορα σενάρια δεσμεύσεων) χρησιμοποιώντας τα δεδομένα που δίνονται στους επόμενους πίνακες.

3 Προσεγγιστικά υψόμετρα i i (m) Παρατηρήσεις δικτύου ΔΗ ΔΗ 13 ΔΗ 3 i j ΔΗ ij (m) L ij (km) Ασυσχέτιστες παρατηρήσεις. Ακρίβεια παρατηρήσεων: ομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας ( ) ij Η ακρίβεια του χωροβάτη θεωρείται άγνωστη. L ij

4 Στοχαστικό μοντέλο μετρήσεων Ακρίβεια μέτρησης υψομετρικής διαφοράς: ( ) ij L ij i L ij j L ij αναφέρεται στην απόσταση μεταξύ των σημείων i και j κατά μήκος της χωροσταθμικής όδευσης. Η γνώση του L ij δεν είναι απαραίτητη με μεγάλη ακρίβεια. π.χ. αν έχουμε 4 mm /km τότε ένα σφάλμα 30 m στην τιμή του L ij θα έχει αμελητέα επίδραση (~ 0.3 mm) στον καθορισμό της ακρίβειας του ΔΗ ij.

5 Δημιουργία εξισώσεων παρατηρήσεων b Aδx v 1 v ~ ( 0, P ) Θα έχουμε αναλυτικά, b mm A δx mm v v v v mm

6 Δημιουργία εξισώσεων παρατηρήσεων b Aδx v 1 v ~ ( 0, P ) Θα έχουμε αναλυτικά, C v L L L 13 mm P 1/ L / L / L 13 km 1 mm / km km Λαμβάνοντας υπόψη ότι τα στοιχεία του διανύσματος v είναι εκφρασμένα σε mm, θα έχουμε: σˆ ˆ ˆ v Pv f ομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας mm / km

7 Δημιουργία κανονικών εξισώσεων ˆ ( A PA) δx N A Pb u Κάνοντας απλές πράξεις πινάκων, θα έχουμε: N u

8 Δημιουργία κανονικών εξισώσεων ( A PA) δx N ˆ A Pb u Κάνοντας απλές πράξεις πινάκων, θα έχουμε: N (*) αντικαθιστώντας τον παραπάνω πίνακα στο MALAB μπορείτε να επιβεβαιώσετε ότι: det (N) = Ιδιοτιμές πίνακα Ν λ 1 = ομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Αδυναμία βαθμού 1 λ = λ 3 =

9 Σενάρια συνόρθωσης δικτύου Αρχικά θα υπολογίσουμε και θα συγκρίνουμε τρεις διαφορετικές λύσεις με ελάχιστες δεσμεύσεις: Λύση Λύση ( ) ΔΗ 1 ΔΗ 3 Λύση i i1 i1 i 1 3 ΔΗ 13

10 Σενάρια συνόρθωσης δικτύου Αρχικά θα υπολογίσουμε και θα συγκρίνουμε τρεις διαφορετικές λύσεις με ελάχιστες δεσμεύσεις: Αλγόριθμος για ελάχιστες δεσμεύσεις 1 ˆ ( ) ( ) δx N u c ˆ ˆ x x δx ΔΗ 1 ΔΗ 3 Θα πρέπει να δούμε τι μορφή θα έχουν ο πίνακας Η και το διάνυσμα c για κάθε μία από τις 3 περιπτώσεις δεσμεύσεων. 1 3 ΔΗ 13

11 Σενάρια συνόρθωσης δικτύου Λύση 1 Ελάχιστες δεσμεύσεις 1 1 Πίνακας σχεδιασμού δεσμεύσεων Σταθερό διάνυσμα δεσμεύσεων c mm Ανηγμένη ψευδοπαρατήρηση Τιμή ψευδοπαρατήρησης ΔΗ ΔΗ 13 ΔΗ 3

12 Σενάρια συνόρθωσης δικτύου Λύση Ελάχιστες δεσμεύσεις ( ) Πίνακας σχεδιασμού δεσμεύσεων c Σταθερό διάνυσμα δεσμεύσεων 3.0 mm Ανηγμένη ψευδοπαρατήρηση m Τιμή ψευδοπαρατήρησης ΔΗ ΔΗ m ΔΗ 3

13 Σενάρια συνόρθωσης δικτύου Λύση 3 Ελάχιστες δεσμεύσεις Πίνακας σχεδιασμού δεσμεύσεων c E Σταθερό διάνυσμα δεσμεύσεων i i 0 mm i1 i1 Ανηγμένη ψευδοπαρατήρηση 3 3 i i1 i1 ΔΗ ΔΗ 13 i Τιμή ψευδοπαρατήρησης ΔΗ 3

14 Δημιουργία (νέων) κανονικών εξισώσεων Λύση 1 και N det (N+Η Τ Η) = Ιδιοτιμές πίνακα (N+Η Τ Η) λ 1 = λ = λ3 = 1.30 Λύση 3 NE E det (N+Ε Τ Ε) = λ = λ3 = Ιδιοτιμές πίνακα (N+Ε Τ Ε) ομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας λ 1 = 0.48

15 Δημιουργία (νέων) κανονικών εξισώσεων Λύση 1 u c c Λύση u c c Λύση 3 u E c E c

16 Υπολογισμός λύσεων ΛΥΣΗ 1 ΛΥΣΗ ΛΥΣΗ 3 δη mm 3.00 mm mm δη mm 5.51 mm 7.55 mm δη mm mm mm Η m m m Η m m m Η m m m 1 ˆ ( ) ( ) δx N u c xˆ x δxˆ

17 Υπολογισμός λύσεων ΛΥΣΗ 1 ΛΥΣΗ ΛΥΣΗ 3 δη mm 3.00 mm mm δη mm 5.51 mm 7.55 mm δη mm mm mm Η m m m Η m m m Η m m m 1 ˆ ( ) ( ) δx N u c xˆ x δxˆ Μ.Ο = m Μ.Ο προσεγγ. υψομ. = m

18 Υπολογισμός λύσεων ΛΥΣΗ 1 ΛΥΣΗ ΛΥΣΗ 3 δη mm 3.00 mm mm δη mm 5.51 mm 7.55 mm δη mm mm mm Η m m m Η m m m Η m m m ομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας δη = 3. cm Οι τρεις λύσεις ελαχίστων δεσμεύσεων διαφέρουν μεταξύ τους κατά μία σταθερή μετάθεση! δη = -1.8 cm

19 Υπολογισμός σφαλμάτων και συνορθωμένων παρατηρήσεων ΛΥΣΗ 1 ΛΥΣΗ ΛΥΣΗ 3 v ΔΗ mm mm mm v ΔΗ mm mm mm v ΔΗ mm mm mm ΔΗ m m m ΔΗ m m m ΔΗ m m m vˆ b Aδxˆ ˆ ˆ y y Aδx

20 Εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς ΛΥΣΗ 1 ΛΥΣΗ ΛΥΣΗ 3 v ΔΗ mm mm mm v ΔΗ mm mm mm v ΔΗ mm mm mm ˆ ˆ σˆ v Pv mm /km f Τι εκφράζει αυτή η (μεγάλη) τιμή ;

21 Εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς ΛΥΣΗ 1 ΛΥΣΗ ΛΥΣΗ 3 v ΔΗ mm mm mm v ΔΗ mm mm mm v ΔΗ mm mm mm ˆ ˆ σˆ v Pv mm /km f Εκφράζει την εκτίμηση της άγνωστης ακρίβειας των μετρήσεων στο δίκτυο, δηλαδή περίπου cm ανά km (θεωρώντας ότι δεν υπάρχουν συστηματικά ή χονδροειδή σφάλματα).

22 Η λύση 1 θα μπορούσε εναλλακτικά να υπολογιστεί μέσω της μεθοδολογίας «4 ου εξαμήνου»

23 Δημιουργία εξισώσεων παρατηρήσεων b Aδx v Θα έχουμε αναλυτικά, b 1 v ~ ( 0, P ) mm A Λύση δx mm v v v v mm

24 Δημιουργία κανονικών εξισώσεων ˆ ( A PA) δx N A Pb u Λύση Κάνοντας απλές πράξεις πινάκων, θα έχουμε N u ομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας δxˆ N u mm ˆ ˆ x x δx

25 Οι λύσεις & 3 δεν μπορούν να υπολογιστούν μέσω της μεθοδολογίας «4 ου εξαμήνου»...

26 (Επιπλέον) σενάρια συνόρθωσης δικτύου Θα υπολογίσουμε και θα συγκρίνουμε δύο διαφορετικές λύσεις με πλεονάζουσες δεσμεύσεις. Λύση 4 Λύση m m Απόλυτες δεσμεύσεις m m Δεσμεύσεις με βάρη cm cm ΔΗ ΔΗ 13 ΔΗ 3

27 (Επιπλέον) σενάρια συνόρθωσης δικτύου Θα υπολογίσουμε και θα συγκρίνουμε δύο διαφορετικές λύσεις με πλεονάζουσες δεσμεύσεις. Γενικός αλγόριθμος συνόρθωσης δικτύου 1 ˆ ( ) ( ) δx N W u Wc ˆ ˆ x x δx ΔΗ 1 ΔΗ 3 Θα πρέπει να δούμε τι μορφή θα έχουν οι πίνακες Η και W, και το διάνυσμα c για κάθε μία από τις περιπτώσεις δεσμεύσεων. 1 3 ΔΗ 13

28 (Επιπλέον) σενάρια συνόρθωσης δικτύου Πίνακας σχεδιασμού δεσμεύσεων Λύσεις 4 & 5 Σταθερό διάνυσμα δεσμεύσεων (ανηγμένες ψευδοπαρατηρήσεις) c mm Λύσεις 4 & 5 Πίνακας βάρους δεσμεύσεων W 1/ / Λύση 4 Λύση mm 50 mm

29 Προσοχή Για τον αριθμητικό υπολογισμό της λύσης συνόρθωσης με απόλυτες πλεονάζουσες δεσμεύσεις (W, λύση 4) βλέπε το σχετικό ειδικό τυπολόγιο που έχει δοθεί σε προηγούμενη παρουσίαση.

30 Υπολογισμός και σύγκριση λύσεων ΛΥΣΗ 1 ΛΥΣΗ 4 ΛΥΣΗ 5 δη mm mm.86 mm δη mm mm mm δη mm -63. mm -3.9 mm Η m m m Η m m m Η m m m Ελάχιστες δεσμεύσεις Πλεονάζουσες δεσμεύσεις (απόλυτες) Πλεονάζουσες δεσμεύσεις (με βάρη)

31 Υπολογισμός και σύγκριση λύσεων ΛΥΣΗ 1 ΛΥΣΗ 4 ΛΥΣΗ 5 δη mm mm.86 mm δη mm mm mm δη mm -63. mm -3.9 mm Η m m m 1 Η m m m Η m m m Ελάχιστες δεσμεύσεις Πλεονάζουσες δεσμεύσεις (απόλυτες) Πλεονάζουσες δεσμεύσεις (με βάρη)

32 Υπολογισμός και σύγκριση λύσεων ΛΥΣΗ 1 ΛΥΣΗ 4 ΛΥΣΗ 5 δη mm mm.86 mm δη mm mm mm δη mm -63. mm -3.9 mm Η m m m Η m m m Η m m m Οι διάφορες λύσεις δεν διαφέρουν μεταξύ τους κατά μία σταθερή μετάθεση (δηλ. υπάρχει σχετική παραμόρφωση μεταξύ των λύσεων)

33 Υπολογισμός σφαλμάτων και συνορθωμένων παρατηρήσεων ΛΥΣΗ 1 ΛΥΣΗ 4 ΛΥΣΗ 5 v ΔΗ mm 5.99 mm -3.8 mm v ΔΗ mm mm mm v ΔΗ mm mm mm ΔΗ m m m ΔΗ m m m ΔΗ m m m Ελάχιστες δεσμεύσεις ομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Πλεον. δεσμεύσεις (απόλυτες) Πλεον. δεσμεύσεις (με βάρη)

34 Εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς Λύση 1 Λύση 4 Λύση 5 Βαθμοί ελευθερίας 1 vˆ P vˆ A-psteriri εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς σˆ ˆ ˆ v Pv f Ελάχιστες δεσμεύσεις Πλεονάζουσες δεσμεύσεις (απόλυτες) Πλεονάζουσες δεσμεύσεις (με βάρη)

35 Εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς Λύση 1 Λύση 4 Λύση 5 Βαθμοί ελευθερίας 1 vˆ P vˆ A-psteriri εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς σˆ ˆ ˆ v Pv f ομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Ελάχιστες δεσμεύσεις (*) εξαιρετικά χαμηλοί βαθμοί ελευθερίας στο συγκεκριμένο πρόβλημα συνόρθωσης Πλεονάζουσες δεσμεύσεις (απόλυτες) Πλεονάζουσες δεσμεύσεις (με βάρη)

36 Εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς Λύση 1 Λύση 4 Λύση 5 Βαθμοί ελευθερίας 1 vˆ P vˆ A-psteriri εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς Ποια από τις 3 τιμές της μεταβλητότητας αναφοράς θα εμπιστευόσασταν περισσότερο ως εκτίμηση της άγνωστης ακρίβειας των μετρήσεων στο δίκτυο, και γιατί ;