Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος IΙ)

Transcript

1 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο Ακαδημαϊκό Έτος Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος IΙ Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή ΑΠΘ

2 Περιεχόμενα Μεταβλητότητες συνορθωμένων συντ/νων και διαστήματα εμπιστοσύνης. Απόλυτη έλλειψη σφάλματος. Άλλοι δείκτες σημειακής ακρίβειας. Σχετική έλλειψη σφάλματος. Δείκτες μέσης ή συνολικής ακρίβειας δικτύου. Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

3 Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017 Πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων συνορθωμένων συντεταγμένων ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( C Συμμετρ. Σημείο Σημείο

4 Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017 Μεταβλητότητες συνορθωμένων συντεταγμένων ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( C Συμμετρ.

5 Μεταβλητότητες συνορθωμένων συντ/νων Εκφράζουν την ακρίβεια εκτίμησης της θέσης του εκάστοτε σημείου μεμονωμένα για κάθε μία από τις βασικές διευθύνσεις του ΣΑ. διαστήματα εμπιστοσύνης (1-α % za / ( za / ( za / ( za / ( (* αγνοείται η συσχέτιση μεταξύ των δύο συντεταγμένων. Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

6 Μεταβλητότητες συνορθωμένων συντ/νων Εκφράζουν την ακρίβεια εκτίμησης της θέσης του εκάστοτε σημείου μεμονωμένα για κάθε μία από τις βασικές διευθύνσεις του ΣΑ. π.χ. για 95 % πιθανότητα ( ( ( ( Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

7 Μεταβλητότητες συνορθωμένων συντ/νων Εκφράζουν την ακρίβεια εκτίμησης της θέσης του εκάστοτε σημείου μεμονωμένα για κάθε μία από τις βασικές διευθύνσεις του ΣΑ. π.χ. για 99 % πιθανότητα ( ( ( ( Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

8 Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017 Τα παραπάνω διαστήματα εμπιστοσύνης χρησιμοποιούνται όταν η ακρίβεια των παρατηρήσεων του δικτύου θεωρείται απόλυτα γνωστή. Στην περίπτωση αυτή ο πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων των συνορθωμένων συντεταγμένων δεν διορθώνεται μέσω πολλαπλασιασμού με την a-posteror εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς (βλέπε μέρος Ι. Προσοχή! ( ( / / a a z z ( ( / / a a z z

9 Προσοχή! t / ( t / ( a f t / ( t / ( a f a f a f Τα παραπάνω διαστήματα εμπιστοσύνης χρησιμοποιούνται όταν η ακρίβεια των παρατηρήσεων του δικτύου δεν θεωρείται απόλυτα γνωστή (σ ο άγνωστο. Στην περίπτωση αυτή ο πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων των συνορθωμένων συντεταγμένων διορθώνεται μέσω πολλαπλασιασμού με την a-posteror εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς (βλέπε μέρος Ι. Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

10 Παράδειγμα 99 % πιθανότητα ( ( ( ( a/ z 99 % πιθανότητα ( ( ( ( για δίκτυο με f = 10 a/ t f Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

11 Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017 Εκφράζουν την ακρίβεια εκτίμησης της θέσης του εκάστοτε σημείου μεμονωμένα για κάθε μία από τις βασικές διευθύνσεις του ΣΑ. Μεταβλητότητες συνορθωμένων συντ/νων διάστημα εμπιστοσύνης (1-α % H 0 Ĥ ( ( / / a a H t H H H t H f f ( ( / / a a H z H H H z H ή

12 Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017 Απόλυτες ελλείψεις σφάλματος ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( C Σημείο Σημείο Συμμετρ.

13 Απόλυτη έλλειψη σφάλματος Περιγράφει την ακρίβεια εκτίμησης της θέσης του εκάστοτε σημείου προς όλες τις δυνατές διευθύνσεις σε σχέση με το σύστημα αναφοράς του δικτύου. (* λαμβάνει υπόψη τη συσχέτιση μεταξύ των συνορθωμένων συντεταγμένων κάθε σημείου. Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

14 Απόλυτη έλλειψη σφάλματος Καθορίζει τις διευθύνσεις μέγιστης και ελάχιστης ακρίβειας για την εκτίμηση της θέσης κάθε σημείου του δικτύου σε σχέση με το σύστημα αναφοράς. a ma ελάχιστη ακρίβεια θέσης b mn μέγιστη ακρίβεια θέσης Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

15 Απόλυτη έλλειψη σφάλματος Βασικοί τύποι: a b ( ( ( ( ( 4( ( ( ( ( ( ( 4( ( ψ 1 arctan ( ( ( Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

16 Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017 Αντιστοιχούν στις τετραγωνικές ρίζες των ιδιοτιμών του συμμετρικού υπο-πίνακα που περιγράφει την ακρίβεια του σημείου ma a mn b ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( C Απόλυτη έλλειψη σφάλματος

17 Απόλυτη έλλειψη σφάλματος Ορίζει μια περιοχή εμπιστοσύνης για την άγνωστη αληθινή θέση κάθε σημείου με πιθανότητα ~ 39%. (ανεξάρτητα για κάθε σημείο του δικτύου! Αληθινή θέση του σημείου Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

18 Απόλυτη έλλειψη εμπιστοσύνης Ορίζει μια περιοχή εμπιστοσύνης για την άγνωστη αληθινή θέση κάθε σημείου με ένα προκαθορισμένο επίπεδο πιθανότητας (1-α %. a p a b p b p F ( a f ή p ( a Αληθινή θέση του σημείου Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

19 Προσοχή! Χρήση του συντελεστή όταν η ακρίβεια των παρατηρήσεων του δικτύου είναι απόλυτα γνωστή. Στις περιπτώσεις αυτές ο πίνακας συμ-μεταβλητ. των συνορθωμένων συντεταγμένων δεν διορθώνεται μέσω του πολλαπλασιασμού του με την a-posteror εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς (βλέπε μέρος Ι. Χρήση του συντελεστή p p F ( a ( a f όταν η ακρίβεια των παρατηρήσεων δεν είναι απόλυτα γνωστή. Στις περιπτώσεις αυτές ο πίνακας συμ-μεταβλητ. των συνορθωμένων συντεταγμένων διορθώνεται μέσω του πολλαπλασιασμού του με την a-posteror εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς (βλέπε μέρος Ι. Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

20 p F ( a f p ( a Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

21 Έλλειψη σφάλματος/εμπιστοσύνης // 99% έλλειψη εμπιστοσύνης 95% έλλειψη εμπιστοσύνης Έλλειψη σφάλματος (~39% εμπιστοσύνη ŷ ( // Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

22 Προσανατολισμός έλλειψης σφάλματος 1 ( ψ arctan ( ( ( 0 ( 0 ( ( ( ( Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

23 Ειδικές περιπτώσεις ( ( ( 0 R ( ( ( 0 Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

24 Ειδικές περιπτώσεις ( ( ( 0 ( ( ( 0 Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

25 Παράδειγμα Σημεία 11 και 1 σταθερά Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

26 Παράδειγμα Σημεία 11 και 14 σταθερά Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

27 Παράδειγμα Εσωτερικές δεσμεύσεις Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

28 Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

29 Άλλοι σημαντικοί δείκτες σημειακής ακρίβειας DRMS (Dstance Root Mean Square - D radal error (ακτινικό σφάλμα θέσης - D mean square poston error (μέσο τετραγωνικό σφάλμα θέσης DRMS = ( ( DRMS Το επίπεδο πιθανότητας κυμαίνεται μεταξύ 63% και 77% Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

30 Άλλοι σημαντικοί δείκτες σημειακής ακρίβειας DRMS (Dstance Root Mean Square - D radal error (ακτινικό σφάλμα θέσης - D mean square poston error (μέσο τετραγωνικό σφάλμα θέσης -DRMS = ( ( -DRMS Το επίπεδο πιθανότητας κυμαίνεται μεταξύ 95% και 98% Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

31 Άλλοι σημαντικοί δείκτες σημειακής ακρίβειας CEP (Crcular Error Probable Είναι η ακτίνα κύκλου μέσα στον οποίο βρίσκεται η αληθινή θέση του σημείου με πιθανότητα 50% CEP CEP = 0.59 ( ( (με καλή προσέγγιση: ± 3% Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

32 Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017 Σχετικές Ελλείψεις Σφάλματος ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( C Συμμετρ. Σημείο Σημείο Βάση -

33 Ακρίβεια βάσης δικτύου ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ŷ Εκφράζουν την ακρίβεια του διανύσματος ως προς το ΣΑ Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

34 Σχετική έλλειψη σφάλματος Εκφράζει την ακρίβεια εκτίμησης της σχετικής θέσης δύο σημείων του δικτύου. (* λαμβάνει υπόψη τη συσχέτιση μεταξύ των συνορθωμένων συντ/νων διαφορετικών σημείων. Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

35 Σχετική έλλειψη σφάλματος Βασικοί τύποι: a ( ( ( ( ( 4( ( b ( ( ( ( ( 4( ( ψ 1 arctan ( ( ( Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

36 Παράδειγμα Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

37 Να θυμάστε ότι Οι σχετικές ελλείψεις σφάλματος είναι ένα ιδιαίτερα χρήσιμο εργαλείο για την εποπτική διάγνωση της ακρίβειας ενός δικτύου. Σε αντίθεση με τις απόλυτες ελλείψεις οι σχετικές ελλείψεις σφάλματος επηρεάζονται σε μικρότερο βαθμό από τον τρόπο ορισμού του ΣΑ του δικτύου. (* σε δίκτυα GPS με ελάχιστες δεσμεύσεις οι σχετικές ελλείψεις είναι ανεπηρέαστες από τον ορισμό του ΣΑ. Για περισσότερες λεπτομέρειες βλέπε συζήτηση στην τάξη.. Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

38 Γραμμική ακρίβεια δικτύου Εκφράζει την ακρίβεια των συνορθωμένων αποστάσεων για τις πλευρές του δικτύου. ( s ( sn a ( cosa ( sn acos a σχετική γραμμική ακρίβεια: ( s 1cm s m ( s s (σε ppm ( s 8.3 ppm s // α s Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

39 Ακρίβεια προσανατολισμού δικτύου Εκφράζει την ακρίβεια των συνορθωμένων αζιμουθίων για τις πλευρές του δικτύου. (a ( cos a ( sn a ( sn a cos a S (* εξαρτάται άμεσα από τον τρόπο ορισμού του ΣΑ κατά την συνόρθωση του δικτύου (δηλαδή από την επιλογή των δεσμεύσεων. // Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5ο εξάμηνο α s CK 017

40 Υψομετρική ακρίβεια δικτύου Εκφράζει την ακρίβεια των συνορθωμένων υψομετρικών διαφορών για πλευρές του δικτύου. ( H PQ ( H P ( H Q ( H P H Q σχετική υψομετρική ακρίβεια: ( H (σε mm/km L (* ανεξάρτητη από τον ορισμό του ΣΑ αν έχουν επιλεγεί ελάχιστες δεσμεύσεις για την συνόρθωση του δικτύου. ΔΗ Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5ο εξάμηνο L Η=0 CK 017

41 Αξιολόγηση της συνολικής ακρίβειας ενός δικτύου Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

42 Ανάλυση ακρίβειας δικτύου Δείκτες αξιολόγησης της συνολικής ή μέσης ακρίβειας του συνορθωμένου δικτύου: - ίχνος του πίνακα συμ-μεταβλητοτήτων των συνορθωμένων συντεταγμένων. - ορίζουσα του πίνακα συμ-μεταβλητοτήτων των συνορθωμένων συντεταγμένων. - Ιδιοτιμές (ma mn του πίνακα συμ- μεταβλητοτήτων των συνορθωμένων συντεταγμένων. Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

43 Μέση μεταβλητότητα σημείων δικτύου Αριθμητικός μέσος όρος των μεταβλητοτήτων για όλες τις συντεταγμένες των κορυφών του δικτύου: 1 N trace C (Δ δίκτυο Μέσο σημειακό σφάλμα P Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

44 Μέση μεταβλητότητα σημείων δικτύου Αριθμητικός μέσος όρος των μεταβλητοτήτων για όλες τις συντεταγμένες των κορυφών του δικτύου: 1 N trace C (1Δ δίκτυο Μέσο σημειακό σφάλμα P Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

45 Μέση μεταβλητότητα σημείων δικτύου Η χρήση της μέσης μεταβλητότητας για την αξιολόγηση της ακρίβειας ενός δικτύου μπορεί να εξομοιώσει τελείως διαφορετικά αποτελέσματα συνόρθωσης. Π.χ. (Α συνόρθωση (Α συνόρθωση (Β (Β Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

46 Γενικευμένη μεταβλητότητα σημείων δικτύου Η γενικευμένη μεταβλητότητα ορίζεται για τον καλύτερο διαχωρισμό περιπτώσεων παρόμοιων με αυτών του προηγούμενου παραδείγματος. ~ (N det C (Δ δίκτυο Η τιμή της είναι ανάλογη του εμβαδού που καλύπτουν οι ελλείψεις σφάλματος των σημείων του δικτύου. Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

47 Γενικευμένη μεταβλητότητα σημείων δικτύου Η γενικευμένη μεταβλητότητα ορίζεται για τον καλύτερο διαχωρισμό περιπτώσεων παρόμοιων με αυτών του προηγούμενου παραδείγματος. ~ ( N det C (1Δ δίκτυο Η τιμή της είναι ανάλογη του εύρους που έχουν τα διαστήματα εμπιστοσύνης για τα συνορθωμένα υψόμετρα όλων των σημείων του δικτύου. Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017

48 Ακρίβεια χρήσης του δικτύου Έστω κάποιο μέγεθος q που είναι συνάρτηση των συντεταγμένων των κορυφών του δικτύου: q at q T a ( q a T C a Εύρος ακρίβειας για το παράγωγο μέγεθος (Ralegh crteron: λ mn a T a ( q λ ma όπου λ ma και λ mn είναι η μέγιστη και ελάχιστη ιδιοτιμή του πίνακα. C a T a Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο CK 017