Άλυτες ασκήσεις από το βιβλίο «Επιχειρησιακή Έρευνα» του καθηγητή Π. Υψηλάντη

Transcript

1 3.1) Για την κατασκευή µεταλλικών βαλβίδων απαιτείται ένα µείγµα 3 µετάλλων σιδήρου, νικελίου και χρωµίου. Για να εξασφαλιστούν ορισµένεs φυσικέs ιδιότητες (όπωs αντοχή, ελαστικότητα κ.λ.π.) οι ακόλουθεs προδιαγραφέs πρέπει να τηρηθούν. Το µείγµα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον 10% χρώµιο. Η συνολική - ποσότητα νικελίου και χρωµίου πρέπει να είναι τουλάχιστον 40% τns ποσότητας του σιδήρου. Τα ποσοστά ακαθάρτων ουσιών στα τρία µέταλλα είναι 1% για το σίδερο, 0,3% για το νικέλιο και 2% για το χρώµιο. Η συνολική ποσότητα α/iiiθάρτων υλών στο µείγµα δεν πρέπει να ξεπερνά το 0,75%. Το κόστος των μετάλλων είναι 100, 500 και 700 ευρώ το κιλό αντίστοιχα. Διατυπώστε το παραπάνω πρόβληµα ωs πρόβληµα Γραµµικού Προγραµµατισµού. Στη συνέχεια, λύστε το µε τη βοήθεια του LINDO. 3.2) Ένα επενδυτικό γραφείο έλαβε εντολή από έναν πελάτη του να επενδύσει για. λογαριασµό του έως 500 χιλιάδεs ευρώ για ένα χρόνο. Ο πελάτηs έχει εµπιστoσύνη στο επενδυτικό γραφείο ωs προς τις επιλογέs που θα κάνει, αλλά έχει θέσει ορισµένουs περιορισµούs: - Τουλάχιστον 20% του κεφαλαίου θα πρέπει να επενδυθεί σε οµόλογα. - Τουλάχιστον 40% θα πρέπει να επενδυθεί σε µετοχέs εταιρειών ηλεκτρονικών προϊόντων και τηλεπικοινωνιών. - Το ποσό που θα επενδυθεί σε εταιρείεs κατασκευών να µην ξεπερνά το 50% του ποσού που θα επενδυθεί σε οµόλογα. Το επενδυτικό γραφείο µετά από έρευνα κατέληξε στις εξήs επιλογέs: Είδοs Επένδυσηs Απόδοση Οµόλογα Δηµοσίου 16% Οµόλογα Δηµοσίων Επιχειρήσεων 17% ΑΛΦΑ Ηλεκτρονική ΑΕΒΕ 18% TELECOM 19% ΟΤΕ 18.5% TELESTAT 17% ΘΕΣΣΑΛΙΚΟ ΜΕΤΡΟ 20% 1. Διατυπώστε ένα πρόβληµα Γραµµικού Προγραµµατισµού µε στόχο τη µεγιστοποίηση τns απόδοσηs του επενδυτικού φακέλου. 3.3) Ο υπεύθυνοs του εστιατορίου ενόs πανεπιστηµίου πρέπει να εκπονήσει ένα πρόγραµµα διατροφήs των φοιτητών. Κάθε µεσηµεριανό γεύµα θα πρέπει (1) να κυµαίνεται µεταξύ 900 και 1500 θερµίδων, (2) θα παρέχει τουλάχιστον 4 milligrams σιδήρου, (3) δεν θα περιέχει περισσότερο από 50 γραµµάρια ζωικών λιπών, (4) θα περιέχει τουλάχιστον 26 γραµµάρια πρωτεϊνών, και (5) δεν θα περιέχει

2 περισσότερο από 50 γραµµάρια υδατανθράκων. Για κάποια συγκεκριµένη ηµέρα υπάρχουν διαθέσιµα τα παρακάτω υλικά: Υλικό Θερµίδε /Κιλό Σίδηροs Λίποs mgr/kgr gr/kgr ΠρωτεϊΎη Υδατανθ. Κόστοs gr/kgr gr/kgr /Kgr Γάλα 590 0, Κιµάs , Ο 7 Κοτόπουλ 792 8, Ο 5 Ψάρι 716 6, Ο 9 Φασόλια 256 6,4 1, Σπανάκι ,2 2, Πατάτεs 558 4, Διατυπώστε ένα πρόβληµα Γραµµικού Προγραµµατισµού που θα προσδιορίζει το συνδυασµό τροφών που θα ικανοποιεί τις διαιτητικέs απαιτήσειs µε το ελάχιστο κόστοs. 3.5) Εταιρεία δηµοσκοπήσεων ανέλαβε µια δηµοσκόπηση σχετικά µε τη δηµοτικότητα ενόs υπουργού. Η έρευνα θα γίνει σε δείγµα νοικοκυριών απ' όλη την Ελλάδα µε τη µέθοδο τηs προσωπικήs συνέντευξηs µε τον αρχηγό του νοικοκυριού. Οι στατιστικοί τηs εταιρείαs χώρισαν τη Χώρα σε δύο γεωγραφικέs περιοχέs (αστική και αγροτική) και στη συνέχεια τουs ερωτηθέντεs ανάλογα µε την ηλικία τους (µέχρι και 30 ετών, από 31 έωs 50 ετών και από 51 ετών και άνω). Επιπλέον, για τη στατιστική εγκυρότητα του δείγµατοs εκτίµησαν ότι πρέπει: Τουλάχιστον 2300 νοικοκυριά να συµπεριληφθούν στο δείγµα. Τουλάχιστον 1000 από τα νοικοκυριά να έχουν αρχηγό το πολύ 30 ετών. Τουλάχιστον 600 από τα νοικοκυριά να έχουν αρχηγό µεταξύ 31 και 50 ετών. Τουλάχιστον 15% των νοικοκυριών να προέρχονται από την αστική περιοχή τηs χώραs. Το πολύ 20% των νοικοκυριών του δείγµατοs µε αρχηγό ηλικίαs µεγαλύτερηs ή ίσηs των 51 ετών να προέρχονται από την αστική περιοχή. Ο πίνακαs που ακολουθεί περιέχει το εκτιµώµενο κόστοs ανά συνέντευξη ανάλογα µε τις δύο περιοχέs τηs χώραs και τις τρειs κατηγορίεs ηλικίαs. Κόστοs ανά συνέντευξη (σε ) Ηλικία έωs και Ηλικία 31 έωs και 50 Ηλικία 51 και άνω Αστική 7,5 6,8 5,5 Αγροτική 6,9 7,25 6,1 Διαμορφώστε ένα π.γ.π. με στόχο την ελαχιστοποίηση του κόστουs δειγµατοληψίαs και λύστε το με τη βοήθεια του Lindo. 3.6) Η εταιρεία ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΑΕ παράγει για λογαριασµό κατασκευαστών τηλεοράσεων 4 διαφορετικά εξαρτήµατα. Κάθε εξάρτηµα πρέπει να επεξεργαστεί από 4 διαφορετικά τµήµατα: Ενσυρµάτωσηs, Διάτρησηs, Συναρµολόγησηs και Ποιοτικού Ελέγχου. Ο απαιτούµενοs χρόνοs εργασίαs ανά µονάδα προϊόντοs σε κάθε τµήµα για κάθε τύπο εξαρτήµατοs δίνεται στον παρακάτω πίνακα:

3 Τµήµα Επεςεργασίαs Προϊόν Ενσυρµάτωσ Διάτρηση Συναρµο- Ποιοτικόs Κέρδοs (ώρεs) (ώρεs) λόγηση Έλεγχοs ανά (ώρεs) (ώρεs) τεµάxιο XJ20l 0, ,5 90 ΧΜ897 1, TR29 1, ,5 150 BR ,5 110 Οι διαθέσιµεs ώρεs σε κάθε τµήµα παραγωγήs κάθε µήνα και οι ελάχιστεs ποσότητεs παραγωγήs δίνονται στους 2 παρακάτω πίνακεs: Τµήµα Επεςεργασίαs Διαθέσιµεs Ώρεs Προϊόν Ελάχιστη Ποσότητα Παραγωγήs Παραγωγήs Ενσυρµάτωση XJ20l 150 Διάτρηση ΧΜ Συναρµολόγη TR Ποιοτ BR Ο Διευθυντήs Παραγωγήs πρέπει να καθορίσει τα µηνιαία επίπεδα παραγωγήs έτσι ώστε να µεγιστοποιηθεί το συνολικό κέρδοs. Διατυπώστε το παραπάνω πρόβληµα ωs πρόβληµα Γραµµικού Προγραµµατισµού και λύστε το. 3.7) As θεωρήσουµε ένα πρόβληµα σχεδιασµού παραγωγήs στο οποίο το τελικό προϊόν προκύπτει από τη συναρµολόγηση δύο πλαστικών εξαρτηµάτων, ΑΒΓ και ΧΥΖ. Για την παραγωγή των εξαρτηµάτων Α και Β χρησιµοποιούνται δύο τύποι πρώτηs ύληs: πλαστικό σε κόκκουs και σε σκραπ. Η παραγωγή των δύο πλαστικών εξαρτηµάτων ΑΒΓ και ΧΥΖ γίνεται από δύο διαφορετικέs πρέσεs, οι οποίεs χρησιµοποιούν διαφορετικέs ποσότητεs από το κάθε είδοs τnς πρώτηs ύληs και παράγουν διαφορετικέs ποσότητεs από το κάθε εξάρτηµα σε κάθε κύκλο παραγωγήs. Τα δεδοµένα ανάλωσηs πρώτων υλών και παραγωγήs για κάθε πρέσα είναι ωs εξήs: Πρέσα Ι Πρέσα ΙΙ Πρώτεs Ύλεs: Κόκκοs 3 κιλά 6 κιλά Σκράπ 8 κιλά 4 κιλά Παραγωγή: Εξάρτηµα ΑΒΓ 6 τεµάχια 5 τεµάχια Εξάρτηµα ΒΧΥΖ 4 τεµάχια 6 τεµάχια Οι ποσότητεs πρώτων υλών που είναι διαθέσιµεs ανέρχονται σε 300 κιλά πλαστικού σε κόκκουs και 400 κιλά σε σκραπ. Διατυπώστε το πρόβληµα ωs πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού µε στόχο τη µεγιστοποίηση τnς συνολικήs παραγωγήs του τελικού προϊόντοs και λύστε το. 3.8) Σε ένα από τα εστιατόρια του αεροδροµίου που είναι ανοικτό επί εικοσιτετραώρου βάσεωs, οι σερβιτόροι εργάζονται οκτάωρεs βάρδιεs που ξεκινούν κάθε 4 ώρεs, δηλαδή µεσάνυχτα, 4:00 πµ, 8:00 πµ, 12:00 µεσηµέρι, 4:00 µµ και 8:00 µµ. Σύµφωνα µε την καθηµερινή κίνηση του εστιατορίου, ο ελάχιστοs αριθµόs των σερβιτόρων που απαιτούνται ανά τετράωρο είναι:

4 Περίοδος Ώρες από-έως Ελάχιστος αριθμός σερβιτόρων 1 00:00-04: :00-08: :00-12: :00-16: :00-20: :00-24:00 10 Δεδοµένου ότι κάθε σερβιτόροs που αρχίζει σε µία βάρδια, πρέπει να εργαστεί ένα οκτάωρο (δηλαδή δύο συνεχόµενεs βάρδιεs), πόσουs σερβιτόρουs πρέπει να προσλάβει ο διευθυντήs του εστιατορίου έτσι ώστε ο συνολικόs αριθµόs σε ηµερήσια βάση να είναι ο µικρότεροs δυνατόs. Διατυπώστε το πρόβληµα ωs πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού. Βρείτε τη βέλτιστη ακέραια λύση του προβλήµατοs µε τη βοήθεια του LINDO. 3.9) Η ΣΑΡΩΘΡΟΝ Ο.Ε. είναι µια µικρή επιχείρηση που κατασκευάζει σκούπεs από άχυρο. Η γραµµή παραγωγήs τηs είναι οργανωµένη έτσι ώστε σε ηµερήσια βάση να διαθέτει στην αγορά την απλή κλασική σκούπα και την ενισχυµένη επαγγελµατική. Υπάρχει απεριόριστη δυνατότητα διάθεσηs και των δύο τύπων σκούπαs στην αγορά. Για την παραγωγή τους χρησιµοποιεί άχυρο, το οποίο προµηθεύεται από ένα γειτονικό αγρόκτηµα. Το αγρόκτηµα µπορεί να προµηθεύει καθηµερινά µέχρι και 350 κιλά άχυρο στην τιµή του 1,5 ανά κιλό. Και στους δύο τύπουs σκούπαs η ΣΑΡΩΘΡΟΝ χρησιµοποιεί τυποποιηµένο σκουπόξυλο, το οποίο το προµηθεύεται από ένα εργοστάσιο ξυλείαs. Το εργοστάσιο μπορεί να προμηθεύει καθημερινά τη ΣΑΡΩΘΡΟΝ με 300 σκουπόξυλα και το κόστοs για τη ΣΑΡΩΘΡΟΝ ανέρχεται στο ποσό των 225 για τα 300 αυτά σκουπόξυλα. Η επιχείρηση διαθέτει 10 εργαζόµενουs αποκλειστικήs απασχόλησηs, οι οποίοι μπορούν δουλέψουν καθημερινά μέχρι 80 ώρες. Οι απαιτήσειs για την παραγωγή των δύο τύπων σκούπαs δίνονται από τον παρακάτω πίνακα:

5 Τύποs Άχυρο Σκουπόξυλο Χρόνοs Τιµή Πώλnσηs (σε κιλά) (σε τεµάχια) (σε ώρεs) (σε ) απλή κλασική 1 1 0,25 12,75 ενισχυµένη επαγγελµατική 1,5 1,2 0,40 18,00 Δεδοµένου ότι η επιχείρηση ακολουθεί τη γραµµή παραγωγήs µε την οποία µεγιστοποιει τα συνολικά τnς έσοδα, να διαμορφώσετε και να λύσετε το πρόβλημα.