ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Ασκήσεις

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Ασκήσεις Αθήνα, Νοέμβριος 2011

2 Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & Διοίκησης σελ. 1 Α. Δέντρα αποφάσεων Άσκηση 1 Μια εργολαβική εταιρεία σκέπτεται να συμμετάσχει σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή ενός δημόσιου έργου. Σύμφωνα με την προμελέτη που έχει κάνει έχει εκτιμήσει το κόστος για την κατασκευή του έργου σε ευρώ. Το πρόβλημα των ειδικών της εταιρείας είναι ο καθορισμός του ποσοστού του κέρδους της. Υπάρχουν τρεις εναλλακτικές λύσεις με ποσοστά 15%, 20%, 25%, ενώ από παρόμοιους διαγωνισμούς οι ειδικοί εκτιμούν ότι η πιθανότητα να κατακυρωθεί στην εταιρεία το έργο είναι 0.80, 0.60 και 0.30 αντίστοιχα. Στους όρους του διαγωνισμού περιλαμβάνεται ποινική ρήτρα ευρώ για την περίπτωση που δεν παραδοθεί το έργο στον καθορισμένο χρόνο με υπαιτιότητα της εταιρείας. Η κατασκευή του έργου μπορεί να γίνει από την εταιρεία μόνη της με πιθανότητα 0.70 να έχει τελειώσει στον καθορισμένο χρόνο, ή να χρησιμοποιηθεί ένας υπεργολάβος με επιβάρυνση 5% του συνολικού κόστους και πιθανότητα 0.90 να τελειώσει εμπρόθεσμα το έργο, ή 2 υπεργολάβοι με επιβάρυνση 8% του συνολικού κόστους οπότε σίγουρα θα παραδοθεί το έργο στην καθορισμένη προθεσμία. Η πολιτική της εταιρείας για τον καθορισμό της δράσης της σε παρόμοια έργα είναι η χρησιμοποίηση του κριτηρίου της προσδοκιτής χρηματικής αξίας. Ζητείται με βάση το κριτήριο αυτό η βέλτιστη πολιτική της εταιρείας για τη συμμετοχή στο διαγωνισμό και την κατασκευή του έργου αν της ανατεθεί. Άσκηση 2 Η ΠΕΤΡΟΛ έχει αγοράσει το δικαίωμα γεώτρησης σε μια περιοχή. Το δικαίωμα είναι βραχυχρόνιο και λήγει μέσα στις επόμενες δύο εβδομάδες, εάν δεν έχει αρχίσει η γεώτρηση μέχρι τότε. Δεν υπάρχει δυνατότητα μεταφοράς του δικαιώματος. Η ΠΕΤΡΟΛ αντιμετωπίζει τρεις εναλλακτικές δυνατότητες: 1. Έναρξη γεωτρήσεων. 2. Ανάθεση μιας σεισμολογικής έρευνας και απόφαση για έναρξη των γεωτρήσεων σε συνάρτηση με τα αποτελέσματα της έρευνας. 3. Καμιά δράση μέχρι να λήξει το δικαίωμα γεώτρησης. Η εκτίμηση για ύπαρξη πετρελαίου στην περιοχή που θα γίνει η γεώτρηση είναι Η αξιοπιστία της σεισμολογικής έρευνας δηλαδή η πιθανότητα το αποτέλεσμα της έρευνας να συμπίπτει με την ύπαρξη ή όχι πετρελαίου δίνεται στον παρακάτω πίνακα. Η ανάθεση αυτής της γεώτρησης σε υπεργολάβο θα κοστίσει στην ΠΕΤΡΟΛ , η ανάθεση σεισμολογικής έρευνας , ενώ το κέρδος από την πώληση του δικαιώματος αξιοπιστίας του κοιτάσματος πετρελαίου εφόσον βρεθεί είναι Ζητείται να προσδιορίσετε τη δράση εκείνη που εξασφαλίζει στην ΠΕΤΡΟΛ τη μέγιστη προσδοκιτή τιμή της περιουσιακής της κατάστασης. Αποτέλεσμα Καταστάσεις της Φύσης Σεισμολογικής Έρευνας Υπάρχει Πετρέλαιο Δεν Υπάρχει Πετρέλαιο Θετικό Αρνητικό

3 Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & Διοίκησης σελ. 2 Άσκηση 3 Σε ένα χρηματιστή μετάλλων παρουσιάζεται μια πολύ καλή ευκαιρία αγοράς τόνων σιδήρου από μια ξένη χώρα προς 50 τον τόνο, τιμή που είναι πολύ πιο χαμηλή από τις τρέχουσες τιμές της αγοράς μετάλλων. Επειδή και άλλοι χρηματιστές ενδιαφέρονται, πρέπει να πάρει μια απόφαση γρήγορα. Ο χρηματιστής είναι σίγουρος ότι μπορεί να πουλήσει το μέταλλο 80 τον τόνο, αλλά υπάρχει ένα πρόβλημα. Η κυβέρνηση της χώρας του μπορεί να αρνηθεί να εγκρίνει την αίτηση εισαγωγής και αν συμβεί αυτό θα ακυρωθεί το συμβόλαιο και θα επιβληθεί πρόστιμο 10 τον τόνο. Από την εμπειρία του σε παρόμοιες περιπτώσεις ο χρηματιστής εκτιμά ότι περίπου οι μισές αιτήσεις εγκρίνονται και οι άλλες μισές απορρίπτονται. Ο χρηματιστής σκέφτεται ακόμα δύο εναλλακτικές λύσεις: να περιμένει να αποφασίσει πρώτα η κυβέρνηση αν θα επιτραπεί η εισαγωγή ή να προσλάβει ένα σύμβουλο. Αν περιμένει πρώτα την απόφαση της κυβέρνησης τότε εκτιμά ότι υπάρχει πιθανότητα 70% να κλείσει κάποιος άλλος τη συμφωνία. Αν προσλάβει τον σύμβουλο τότε αυτός ζητά αμοιβή ευρώ και η αναφορά του θα είναι είτε θετική (που σημαίνει ότι κατά πάσα πιθανότητα η κυβέρνηση θα εγκρίνει την αίτηση εισαγωγής) είτε αρνητική, χωρίς εγγύηση για την έγκριση της αναφοράς. Ο χρηματιστής εκτιμά ότι στην περίπτωση που η αίτηση πρόκειται να εγκριθεί, η αναφορά του συμβούλου θα είναι θετική με πιθανότητα 90%. Όμως στην περίπτωση που πρόκειται να απορριφθεί οι πληροφορίες του συμβούλου δεν είναι αρκετές και η πιθανότητα η αναφορά του να είναι αρνητική είναι 60%. Ζητούνται τα εξής: 1. Δεδομένου ότι ο χρηματιστής συμφωνεί ότι το κριτήριο Bayes (μέσης τιμής) είναι το καλύτερο για την περίπτωση, ποια είναι η βέλτιστη απόφαση; 2. Πόσα το πολύ θα ήταν διατεθειμένος να πληρώσει ο χρηματιστής για την «Πλήρη Πληροφορία» σχετικά με την απόφαση της κυβέρνησης; 3. Ποιοι άλλοι παράγοντες κατά τη γνώμη σας μπορούν να επηρεάσουν την απόφαση και θα έπρεπε να ληφθούν υπόψη στο πρόβλημα αυτό; Άσκηση 4 Ένας κατασκευαστής παράγει τεμάχια ενός υλικού το οποίο στη συνέχεια προωθεί στην αγορά. Το προϊόν αυτό συσκευάζεται σε παρτίδες των 150 τεμαχίων. Επειδή το προϊόν είναι πολύ ευαίσθητο η παρτίδα μπορεί να φθάσει στον προορισμό της ελαττωματική με πιθανότητα 20%. Υπάρχει ωστόσο η δυνατότητα το υλικό να υποστεί κατεργασία ώστε να φθάσει στην αγορά άθικτο, αλλά καθώς ο κατασκευαστής δεν έχει τα κατάλληλα μηχανήματα θα πρέπει να πληρώσει σε τρίτο 2 ανά τεμάχιο για την κατεργασία. Το κόστος παραγωγής χωρίς την ειδική κατεργασία είναι 6 ανά τεμάχιο, και σε περίπτωση που η παρτίδα είναι άθικτη η τιμή πώλησής της είναι 1.500, διαφορετικά η παρτίδα δεν πωλείται. Επειδή η ειδική κατεργασία χρειάζεται κάποιο χρόνο προετοιμασίας, η απόφαση για το αν θα γίνει κατεργασία στην παρτίδα θα πρέπει να ληφθεί 2 ημέρες πριν. Ωστόσο υπάρχει η δυνατότητα, πριν ληφθεί η απόφαση για την κατεργασία, να γίνει προηγουμένως δειγματοληπτικός έλεγχος με πλήρη ποιοτικό έλεγχο ενός τεμαχίου. Εκτιμάται ότι η πιθανότητα το τεμάχιο να μην είναι ελαττωματικό είναι πάλι 80%. Η εξέταση αυτή κοστίζει 150 και δίνει αξιόπιστα αποτελέσματα για όλη την παρτίδα σε ποσοστό 90%. Ερώτημα 1ο Ερώτημα 2ο Ερώτημα 3ο Ερώτημα 4ο Να σχεδιασθεί το δέντρο αποφάσεων του προβλήματος. Να βρεθεί η βέλτιστη πολιτική επενδύσεων που πρέπει να ακολουθηθεί σύμφωνα με το κριτήριο Bayes. Να προσδιορισθεί η αξία της δειγματοληπτικής πληροφορίας. Να προσδιορισθεί η αξία της πλήρους πληροφορίας. Ακαδημαϊκό Έτος

4 Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & Διοίκησης σελ. 3 Άσκηση 5 Μια ασφαλιστική εταιρεία ετοιμάζεται να υποβάλλει μια προσφορά σε ένα διαγωνισμό για την ασφάλιση του φορτίου ενός πλοίου αξίας ευρώ. Η εταιρία μπορεί να ασφαλίσει όλο το εμπόρευμα πληρώνοντας το 100% της ζημιάς με ασφάλιστρα ευρώ ή μόνο το 50% της ζημιάς με ασφάλιστρα ευρώ. Μπορεί επίσης να μην συμμετάσχει καθόλου στο διαγωνισμό. Ο διευθυντής της εταιρείας πιστεύει ότι η πιθανότητα να καταστραφεί ολόκληρο το φορτίο ( 100% ζημιά) είναι 0.1, η πιθανότητα για μερική καταστροφή (κατά 50%) είναι 0.3, ενώ το άλλο ενδεχόμενο είναι να μη συμβεί καμία ζημιά. Η ασφαλιστική εταιρεία εξετάζει ακόμα την περίπτωση να αναθέσει στο αρμόδιο τμήμα της την εκπόνηση αναλυτικής μελέτης συνολικού κόστους ευρώ. Η αξιοπιστία της μελέτης, δηλ. η πιθανότητα να πετύχει στην πρόβλεψή της, δίνεται στον ακόλουθο πίνακα: Κατάσταση Φύσης Εκτίμηση Μελέτης Ολική Ζημιά Μερική Ζημιά Όχι Ζημιά Ολική Ζημιά Μερική Ζημιά Όχι Ζημιά Ερώτημα 1 ο : Ερώτημα 2 ο : Να σχεδιασθεί το δέντρο αποφάσεων για το παραπάνω πρόβλημα, να προσδιοριστεί η βέλτιστη πολιτική σύμφωνα με το κριτήριο Bayes καθώς και η αξία της δειγματοληπτικής πληροφορίας. Ποιο ποσό είναι διατεθειμένη να πληρώσει η εταιρεία για να αποκτήσει την πλήρη πληροφορία.

5 Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & Διοίκησης σελ. 4 Β. Δυναμικός Προγραμματισμός Άσκηση 6 Μια μεγάλη εταιρεία σκοπεύει να μπει δυναμικά στην αγορά αναψυκτικών της χώρας διαθέτοντας συνολικά 7 μονάδες κεφαλαίου. Το πρόβλημα που αντιμετωπίζει είναι αν πρέπει να κατασκευάσει ένα κεντρικό εργοστάσιο σε κάποιο σημείο όπου θα παράγεται όλη η ποσότητα αναψυκτικών, ή περισσότερα μικρά εργοστάσια που θα βρίσκονται πιο κοντά στον τόπο κατανάλωσης. Το επιτελείο της εταιρείας μετά από έρευνα της αγοράς, του κόστους μεταφορών και αποθήκευσης, των αναπτυξιακών νόμων και άλλων στοιχείων, κατέληξε στο ότι μπορούν να δημιουργηθούν μέχρι 5 εργοστάσια σε διαφορετικές περιοχές της χώρας, ενώ το όφελος από κάθε εργοστάσιο εξαρτάται από τις μονάδες κεφαλαίου που θα επενδυθούν σε κάθε ένα και δίνεται στον παρακάτω πίνακα: Μονάδες Κεφαλαίου Εργοστάσια Ζητείται να προσδιορισθούν ποια εργοστάσια πρέπει να κατασκευασθούν και πόσες ακέραιες μονάδες κεφαλαίου να επενδυθούν σε καθένα, έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το συνολικό κέρδος της επιχείρησης. Άσκηση 7 Ένα εργοστάσιο δέχεται μια μεγάλη παραγγελία ενός από τα προϊόντα που παράγει. Η τιμή πώλησης του προϊόντος είναι πολύ συμφέρουσα με την προϋπόθεση ότι ο χρόνος παράδοσης θα είναι ιδιαίτερα μικρός. Μετά από σύσκεψη του επιτελείου αποφασίσθηκε να δοθεί απόλυτη προτεραιότητα στην παραγωγή του προϊόντος αυτού. Ο διευθυντής παραγωγής του εργοστασίου αφού εξέτασε το πρόβλημα βρήκε ότι το χρονικό πρόβλημα της παραγγελίας είναι στο τμήμα συναρμολόγησης των επιμέρους κομματιών του προϊόντος. Έτσι αποφάσισε να ενισχύσει τις τέσσερις σειρές συναρμολόγησης του εργοστασίου με 6 επιπλέον εργαζόμενους. Από στοιχεία για την λειτουργία των γραμμών που είχε στο αρχείο του υπολόγισε το χρονικό όφελος σε ώρες, για το συνολικό χρόνο κατασκευής της παραγγελίας που εξαρτάται από τον αριθμό των επιπλέον εργαζομένων σε κάθε σειρά συναρμολόγησης και το κατέγραψε στον παρακάτω πίνακα. Ζητείται η βέλτιστη κατανομή των εργαζομένων σε κάθε σειρά παραγωγής έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το συνολικό χρονικό όφελος για την κατασκευή της παραγγελίας.

6 Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & Διοίκησης σελ. 5 Επιπλέον Εργαζόμενοι Σειρά Συναρμολόγησης Άσκηση 8 Ένας κατασκευαστής πρέπει να παράγει προϊόν σε ποσότητες που να ικανοποιούν δεδομένη ζήτηση στους πέντε μήνες. Η παραγωγή του μπορεί να προγραμματίζεται σε μερίδες μεταβαλλόμενου μεγέθους με την προϋπόθεση να παράγεται μόνο μια κάθε μήνα. Το κόστος παραγωγής κάθε μερίδας αποτελείται: 1. Από μια σταθερή συνιστώσα που εκφράζει το κόστος προετοιμασίας της παραγωγής. 2. Από μια μεταβλητή συνιστώσα ανάλογη με τον αριθμό τεμαχίων της παραγωγής. Έτσι το κόστος παραγωγής της μερίδας δίνεται από τη σχέση: C = C Z * δ + C A * X = 11δ + 10X (σε ευρώ) όπου: δ=0 για X=0 και δ=1 για X>0 και Χ ο αριθμός τεμαχίων κάθε μερίδας που πρέπει να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 10 και μικρότερος από 50. Υπάρχει δυνατότητα αποθήκευσης προϊόντων προκειμένου να πωληθούν σε επόμενους μήνες. Το κόστος αποθήκευσης είναι 0.1 ευρώ ανά τεμάχιο και μήνα. Το τεμάχιο επιβαρύνεται με κόστος αποθήκευσης μόνο όταν βρίσκεται στην αποθήκη στο τέλος του μήνα. Τεμάχια πωλούμενα κατά τον μήνα παραγωγής τους δεν επιβαρύνονται με δαπάνη αποθήκευσης. Η μέγιστη δυναμικότητα της αποθήκης είναι 30 τεμάχια. Το απόθεμα στην αρχή και το τέλος της περιόδου είναι μηδέν. Ζητείται η βέλτιστη πολιτική παραγωγής και αποθέματος όταν πρέπει να ικανοποιηθεί ζήτηση 10, 20, 30, 20 και 10 τεμαχίων για καθένα από τους πέντε μήνες αντίστοιχα. Άσκηση 9 Η εταιρεία UNISOFT σχεδιάζει να προωθήσει στην αγορά τρία νέα λογισμικά πακέτα Διαχείρισης Επιχειρησιακών Πόρων (ERP), ERP1, ERP2 και ERP3 διαφορετικών δυνατοτήτων και λειτουργιών που αναμένεται να καλύψουν πολλές από τις ανάγκες των μικρομεσαίων επιχειρήσεων. Το τμήμα marketing της εταιρείας, αφού διεξήγαγε έρευνα διαφημιστικών μέσων, αποφάσισε να διαθέσει ευρώ για την αποτελεσματική προώθηση και διαφήμιση των νέων αυτών προϊόντων προσδιορίζοντας ότι έχει τη δυνατότητα να διαθέσει ακέραιο αριθμό χιλιάδων ανά δεκάδα (δηλ. 0, 10, 20, 30, 40, 50) για κάθε ένα από τα νέα λογισμικά πακέτα που προωθεί. Παράλληλα, με την βοήθεια ερευνών Αποδοχής και δυνατοτήτων του νέου προϊόντος καθώς και έρευνας πωλήσεων και δυνατοτήτων της αγοράς, υπολόγισε τα αναμενόμενα κέρδη της εταιρείας από κάθε προϊόν σε κάθε περίπτωση.

7 Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & Διοίκησης σελ. 6 Τα αποτελέσματα δίνονται από τον ακόλουθο πίνακα: Λογισμικό πακέτο Δαπάνη διαφήμισης σε χιλιάδες ευρώ ERP ERP ERP Ερώτημα 1: Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του δυναμικού προγραμματισμού, προσδιορίστε τη βέλτιστη πολιτική κατανομής των δαπανών διαφήμισης στα τρία νέα προϊόντα, έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος της εταιρείας UNISOFT Ερώτημα 2: Ποια η βασική διαφορά των προβλημάτων που αντιμετωπίζονται από αυτά που αντιμετωπίζονται με πιθανοτικό δυναμικό προγραμματισμό;

8 Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & Διοίκησης σελ. 7 Γ. Γραμμικός Προγραμματισμός Άσκηση 10 Μια νοικοκυρά με σύγχρονες ιδέες επιθυμεί να καταρτίσει για κάθε μέλος της οικογένειας το βέλτιστο ημερήσιο διαιτολόγιο έτσι ώστε να τηρούνται ορισμένες προδιαγραφές για τις βιταμίνες A, B, C, D που πρέπει να προσλαμβάνει κάθε άτομο ημερήσια. Αφού συμβουλεύτηκε τον οικογενειακό γιατρό κατάρτισε τον επόμενο πίνακα για την περιεκτικότητα σε βιταμίνες των 5 βασικών τροφών Τ1, Τ2, Τ3, Τ4, Τ5 σε mg / Kgr. Τροφή Βιταμίνες Τ1 Τ2 Τ3 Τ4 Τ5 A B C D Τιμή Πώλησης (ευρώ / Kg) 0,45 1,35 1,25 1 0,85 Ο γιατρός της είπε επίσης ότι η ελάχιστη ημερήσια ποσότητα πρόσληψης των βιταμινών A, B, C, D είναι 20 mg, 35 mg, 25 mg, και 15 mg αντίστοιχα. Ζητείται η κατάρτιση γραμμικού υποδείγματος για την βελτιστοποίηση του προβλήματος. Άσκηση 11 Ένας επιχειρηματίας διαθέτει μια αποθήκη που εκμεταλλεύεται ως εξής: αγοράζει ποσότητες εποχιακού προϊόντος, που η τιμή του μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια του έτους, όταν η τιμή του βρίσκεται σε χαμηλά επίπεδα, τις αποθηκεύει και μετά τις μεταπωλεί σε εποχή ανόδου της τιμής. Η χωρητικότητα της αποθήκης ανέρχεται σε 1000 μονάδες του προϊόντος. Η τιμή που μπορεί να διατεθεί το προϊόν κατά τη διάρκεια του έτους είναι: 1 ο Τρίμηνο: 15 ευρώ / μονάδα 2 ο Τρίμηνο: 19 ευρώ / μονάδα 3 ο Τρίμηνο: 11 ευρώ / μονάδα 4 ο Τρίμηνο: 13 ευρώ / μονάδα Σε κάθε τρίμηνο ο επιχειρηματίας αγοράζει και πωλεί το προϊόν στην ίδια τιμή. Το κόστος αποθήκευσης ανέρχεται σε 2 ευρώ / μονάδα προϊόντος σε κάθε τρίμηνο και στην αρχή του έτους υπάρχει απόθεμα 500 μονάδων. Ζητείται η κατάρτιση γραμμικού υποδείγματος για την βελτιστοποίηση του προβλήματος.

9 Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & Διοίκησης σελ. 8 Άσκηση 12 Η διεύθυνση μικρής μηχανουργικής βιομηχανίας ειδικευμένης στην παραγωγή 3 τύπων οδοντωτών τροχών, τους 1, 2, 3 επιθυμεί να καταρτίσει το πρόγραμμα παραγωγής του επόμενου μήνα. Η επιχείρηση διαθέτει δύο τμήματα κατεργασίας οδοντωτών τροχών: το τμήμα Α όπου περιλαμβάνονται οι γραναζοκόπτες και το τμήμα Β όπου περιλαμβάνονται τα λειαντικά μηχανήματα. Την πρώτη ύλη (κυλίνδρους από χάλυβα έτοιμους να υποστούν κατεργασία από γραναζοκόπτη) η επιχείρηση προμηθεύεται από το εμπόριο. Στο τμήμα κατεργασίας Α (γραναζοκόπτες) υπάρχουν δύο τύποι μηχανών: μηχανές τύπου Α1 και μηχανές τύπου Α2. Στο τμήμα κατεργασίας Β υπάρχουν επίσης δύο τύποι μηχανών: μηχανές τύπου Β1 και μηχανές τύπου Β2. Για να κατασκευασθεί ένας τροχός οποιουδήποτε τύπου, απαιτείται κατεργασία σε δύο μόνο μηχανές: ένα γραναζοκόπτη και ένα λειαντικό μηχάνημα. Ειδικότερα: Ο τροχός τύπου 1 απαιτεί κατεργασία σε οποιονδήποτε τύπο γραναζοκόπτη και σε οποιονδήποτε τύπο λειαντικού μηχανήματος. Ο τροχός τύπου 2 απαιτεί κατεργασία στον γραναζοκόπτη τύπου Α1 και το λειαντικό μηχάνημα τύπου Β1. Ο τροχός τύπου 3 απαιτεί κατεργασία στον γραναζοκόπτη τύπου Α2 και το λειαντικό μηχάνημα τύπου Β2. Στον πίνακα δεδομένων περιέχονται: Οι απαιτούμενοι χρόνοι κατεργασίας σε ώρες. Ο συνολικός αριθμός διαθέσιμων ωρών μηχανής για κάθε τύπο μηχανής σε περίοδο 1 μήνα. Το κόστος της πρώτης ύλης σε ευρώ. Η τιμή πώλησης για κάθε τύπο προϊόντος σε ευρώ. Οι μεταβλητές δαπάνες λειτουργίας για κάθε τύπο μηχανής σε ευρώ/ ώρα λειτουργίας. Προκειμένου να προσδιορισθεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής για την περίοδο του 1 μήνα, ζητούνται: 1. Η ανάλυση της δράσης της επιχείρησης σε παραγωγικές δραστηριότητες. 2. Τα διανύσματα των δραστηριοτήτων. 3. Οι περιορισμοί που πρέπει να ικανοποιούνται από κάθε πρόγραμμα δραστηριοτήτων. 4. Η οικονομική συνάρτηση που πρέπει να μεγιστοποιηθεί. Για τον προσδιορισμό της συνάρτησης δεχθείτε ότι το μεταβλητό κόστος παραγωγής κάθε προϊόντος περιλαμβάνει μόνο το κόστος της πρώτης ύλης και το κόστος λειτουργίας κάθε μηχανής όπου κατεργάζεται το προϊόν. Το κόστος λειτουργίας κάθε μηχανής είναι ανάλογο με τον χρόνο απασχόλησης αυτής. Τύπος Μηχανής χρόνος κατεργασίας τεμαχίου σε ώρες Συνολικός αριθμός διαθ. ωρών μηχ. Μεταβλητό κόστος λειτουργίας μηχανής ΩΡΕΣ ΕΥΡΩ / ΩΡΑ Α Α Β Β Κόστος πρώτης ύλης Τιμή πώλησης

10 Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & Διοίκησης σελ. 9 Άσκηση 13 Δίνεται το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: maxz = 3x x 2 με τους περιορισμούς: 3x 1 + 5x x 1 + 4x 2 28 x x x 1, x 2 0 Να λυθεί γραφικά το πρόβλημα. Να διερευνηθεί πόσο ευαίσθητη είναι η βέλτιστη λύση στις μεταβολές των διαφόρων παραμέτρων. Άσκηση 14 Δίνεται το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: minz = 12x x 2 με τους περιορισμούς: x 1 10 x 1 + x 2 22 x 1 15 x 2 15 x 1, x 2 0 Να λυθεί γραφικά το πρόβλημα. Να διερευνηθεί πόσο ευαίσθητη είναι η βέλτιστη λύση στις μεταβολές των διαφόρων παραμέτρων. Άσκηση 15 Επέκταση του προβλήματος της εταιρείας DEWAG Το μοντέλο του γραμμικού προγραμματισμού της εταιρείας DEWAG όπως αναφέρθηκε στις ασκήσεις του μαθήματος είναι: maxz = 9000x x 2 με τους περιορισμούς: x x (Ι) τμήμα ψυχρής εξέλασης x x (ΙΙ) τμήμα συναρμολόγησης μηχανών x (ΙΙΙ) τμήμα τελικής συναρμολόγησης DW x (IV) τμήμα τελικής συναρμολόγησης DW-502 Ζητούνται: 1. Η βέλτιστη λύση του προβλήματος. 2. Αν αυξηθεί 1% η δυναμικότητα του τμήματος ψυχρής εξέλασης πόσο είναι το κέρδος της εταιρίας; 3. Μέχρι πόσο μπορεί να αυξηθεί η δυναμικότητα του τμήματος ψυχρής εξέλασης έτσι ώστε να ισχύει η τιμή που υπολογίστηκε στο 2; 4. Αν αυξηθεί 1% η δυναμικότητα του τμήματος συναρμολόγησης μηχανών πόσο είναι το κέρδος της εταιρείας; 5. Μέχρι πόσο μπορεί να αυξηθεί η δυναμικότητα του τμήματος συναρμολόγησης μηχανών, έτσι ώστε να ισχύει η τιμή που υπολογίστηκε στο 4;

11 Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & Διοίκησης σελ Αν αυξηθεί η δυναμικότητα του τμήματος συναρμολόγησης αυτοκινήτων DW-501 κατά 1%, πόσο θα αυξηθεί το κέρδος της εταιρείας; 7. Αν αυξηθεί η δυναμικότητα του τμήματος συναρμολόγησης αυτοκινήτων DW-502 κατά 1%, πόσο θα αυξηθεί το κέρδος της εταιρείας; 8. Το τμήμα συναρμολόγησης μηχανών μπορεί να αυξήσει την δυναμικότητά του κατά 10% με υπερωρίες των εργαζομένων. Το κόστος της υπερωριακής εργασίας για την αύξηση αυτή είναι $. Συμφέρει την εταιρεία η αύξηση αυτή; 9. Η DEWAG σκοπεύει να παράγει ένα νέο μοντέλο αυτοκινήτου το DW-503. Το τμήμα ψυχρής εξέλασης μπορεί να παράγει 6000 αυτοκίνητα DW-503, ενώ το τμήμα συναρμολόγησης μηχανών Το DW-503 μπορεί να συναρμολογηθεί μόνο στο τμήμα τελικής συναρμολόγησης του DW-501 και κάθε αυτοκίνητο DW-503 απαιτεί τη μισή ώρα από όση απαιτεί το DW-501. Το καθαρό εισόδημα από την πώληση ενός αυτοκινήτου DW-503 είναι 7000$. 10. Διαμορφώστε το μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού με τα τρία αυτοκίνητα. 11. Διαπιστώστε ότι δεν συμφέρει η παραγωγή αυτοκινήτου DW Ποιο πρέπει να είναι το καθαρό εισόδημα από την πώληση ενός αυτοκινήτου DW-503 έτσι ώστε να συμφέρει η παραγωγή του; 13. Διαμορφώστε το δυαδικό πρόβλημα της εταιρείας DEWAG. 14. Προσδιορίστε τη βέλτιστη λύση του δυαδικού προβλήματος. Άσκηση 16 Μια νοικοκυρά επιθυμεί να καταρτίσει για κάθε μέλος της οικογένειάς της το βέλτιστο ημερήσιο διαιτολόγιο, έτσι ώστε να τηρούνται ορισμένες προδιαγραφές για την ημερήσια λαμβανόμενη ποσότητα των βιταμινών Α και Β, που την ενδιαφέρουν περισσότερο. Για το λόγο αυτό εξετάζει συνδυασμούς από 5 βασικές τροφές Τ1, Τ2, Τ3, Τ4 και Τ5. Η περιεκτικότητα κάθε τροφής σε βιταμίνες, το κόστος των τροφών καθώς και η ποσότητα κάθε βιταμίνης που πρέπει να λαμβάνεται, φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί: Τροφή Αναγκαία Τ1 Τ2 Τ3 Τ4 Τ5 ποσότητα βιταμινών σε Βιταμίνες mg Α Β Τιμή Πώλησης (ευρώ/ Kg) Ακόμα είναι γνωστό ότι η νοικοκυρά μπορεί να βρει τις παραπάνω βιταμίνες στο φαρμακείο της γειτονιάς της με τη μορφή δισκίων των 100 mg (100 mg βιταμίνης ανά δισκίο). Ζητείται: 1. Να διατυπωθεί το μοντέλο Γραμμικού Προγραμματισμού για τη λύση του παραπάνω προβλήματος. 2. Να διατυπωθεί και να λυθεί το δυαδικό του παραπάνω προβλήματος. 3. Να βρεθεί σε ποια τιμή είναι η νοικοκυρά διατεθειμένη να αγοράσει δισκία βιταμινών Α και Β από το φαρμακείο. 4. Να βρεθούν οι βέλτιστες ποσότητες τροφών του διαιτολογίου της νοικοκυράς.

12 Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & Διοίκησης σελ. 11 Άσκηση 17 Σε ένα νησί υπάρχουν δύο μονάδες αφαλάτωσης νερού ΑΦ1 και ΑΦ2 οι οποίες τροφοδοτούν με νερό τις τρεις μεγαλύτερες πόλεις του νησιού, ΠΟ1, ΠΟ2, και ΠΟ3. Για μία συγκεκριμένη χρονική περίοδο, η μονάδα ΑΦ1 διαθέτει ταμιευτήρα με δυνατότητα αποθήκευσης 24 ΜΟΝ, και η μονάδα ΑΦ2 με δυνατότητα αποθήκευσης 16 ΜΟΝ. Η πόλη ΠΟ1 απαιτεί 16 ΜΟΝ, η πόλη ΠΟ2 14 ΜΟΝ και η πόλη ΠΟ3 10 ΜΟΝ. Τα κόστη μεταφοράς, σε χρηματικές μονάδες ανά ΜΟΝ, από κάθε ταμιευτήρα νερού σε κάθε πόλη είναι τα ακόλουθα: ΠΟ1 ΠΟ2 ΠΟ3 ΑΦ ΑΦ Ερώτημα 1 ο Ερώτημα 2 ο Ερώτημα 3 o Ερώτημα 4 ο Να διατυπωθεί το μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού που επιλύει το πρόβλημα: Ποιος ταμιευτήρας θα τροφοδοτήσει πόσες μονάδες όγκου νερού σε ποια πόλη, ώστε το συνολικό κόστος μεταφοράς να είναι ελάχιστο. Να διατυπωθεί και να ερμηνευθεί το δυαδικό πρόβλημα. Υποθέστε ότι αρχικά οι ταμιευτήρες είναι πλήρεις και μετά την κάλυψη όλων των αναγκών των τριών πόλεων, μένουν άδειοι. Να επιλυθεί το αρχικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού του ερωτήματος 1. Να βρεθούν τα οριακά καθαρά έσοδα των πόρων του προβλήματος του ερωτήματος 3. Πως ερμηνεύονται αυτά;

13 Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & Διοίκησης σελ. 12 Δ. Προσομοίωση Άσκηση 18 Η «Οικοδομική Α.Ε.», μία εταιρία κατασκευής οικιστικών συγκροτημάτων, έχει τη δυνατότητα να ολοκληρώσει ένα καινούριο έργο είτε κατασκευάζοντάς το η ίδια εξ ολοκλήρου, είτε αναθέτοντας μέρος αυτού σε κάποιον υπεργολάβο. Οι εκτιμήσεις των στελεχών της επιχείρησης για τους χρόνους αποπεράτωσης του έργου φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Υποθέτοντας ότι τα κόστη και η ποιότητα κατασκευής είναι η ίδια και για τις δύο εναλλακτικές λύσεις, η διοίκηση της εταιρείας θέλει να επιλέξει τη λύση εκείνη που θα δώσει το μικρότερο χρόνο κατασκευής. 1. Να γραφεί ένα διάγραμμα ροής για μοντέλο προσομοίωσης που θα υπολογίζει το χρόνο αποπεράτωσης του έργου για τις δύο εναλλακτικές λύσεις. 2. Να εκτελεσθεί ένα πείραμα προσομοίωσης με 15 δοκιμές και να αξιολογηθούν οι δύο εναλλακτικές λύσεις της επιχείρησης Αρχή έργου Τέλος έργου Σχέδιο Α Σχέδιο Β Υπεργολαβία Άσκηση 19 Κάποια τεχνική εταιρεία αντιμετωπίζει πρόβλημα συντήρησης μίας συγκεκριμένης συσκευής. Η συσκευή αυτή περιέχει 4 λυχνίες, οι οποίες «καίγονται» σχετικά συχνά, προκαλώντας έτσι διακοπή στη λειτουργία της συσκευής για όσο χρόνο διαρκεί η αντικατάσταση της καμένης λυχνίας. Η τακτική που ακολουθεί η επιχείρηση είναι να αντικαθιστά κάποια λυχνία αμέσως μόλις καεί. Εκτός αυτού έχει γίνει και κάποια πρόταση για αντικατάσταση και των τεσσάρων λυχνιών της συσκευής όποτε μία από αυτές καεί, έτσι ώστε να μειωθεί η συχνότητα διακοπής στη λειτουργία της συσκευής. Αντικειμενικός στόχος είναι η σύγκριση των δύο εναλλακτικών λύσεων. Τα δεδομένα που έχει στη διάθεσή της η επιχείρηση είναι τα εξής: Η διάρκεια ζωής κάθε λυχνίας ακολουθεί κατά προσέγγιση ομοιόμορφη κατανομή μεταξύ 1000 και 2000 ωρών. Η συσκευή πρέπει να μείνει εκτός λειτουργίας για μία ώρα προκειμένου να αντικατασταθεί μία λυχνία, ή για δύο ώρες προκειμένου να αντικατασταθούν και οι 4 λυχνίες. Το κόστος του κλεισίματος αυτού της συσκευής είναι 6 ευρώ/ώρα, ενώ το κόστος κάθε λυχνίας είναι 3 ευρώ. Ξεκινώντας με 4 καινούριες λυχνίες, να προσομοιωθεί η λειτουργία της συσκευής για κάθε μία από τις δύο εναλλακτικές λύσεις. Η διάρκεια προσομοίωσης να είναι 5000 ώρες.