Θεωρητική Επιστήμη Υλικών
|
|
- Ἅβελ Αργυριάδης
- 4 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Θεωρητική Επιστήμη Υλικών Διαγώνισμα Προόδου 6// Θέμα Κάποιο σωματιδιο βρισκεται στη θεμελιώδη σταθμη του, κοντά στο ελάχιστο της δυναμικής του ενέργειας. Μετράται ότι x= Å. Πόση ενέργεια πρέπει να του δοθεί για να διεγερθεί; (Υπόδειξη: αφού πρώτα το δικαιολογησετε, πάρτε δυναμικό αρμονικού ταλαντωτή). Θέμα Σωματιδιο σε αρμονικό ταλαντωτή περιγραφεται τη στιγμή t = από την κυματοσυνάρτηση ψ(x) = N( x)e x /, στο σύστημα μονάδων = m = ω =. N είναι κατάλληλη σταθερά ώστε η ψ να είναι κανονικοποιημένη. (α) Δείξτε ότι η ψ σχετίζεται με τις ιδιοσυναρτήσεις του συστήματος με την ψ = 3 ψ 3 ψ. (β) Υπολογιστε την αβεβαιότητα θέσης σαν συνάρτηση του χρονου. Θέμα 3 (α) Αποδειξτε γενικά ότι για δυο τυχούσες κβαντικές καταστάσεις ισχύει Tr( a b ) = b a. (δείτε και την υπόδειξη στο επόμενο θέμα). (β) Υπολογίστε το δεξί και αριστερο μέλος της παραπάνω σχέσης για δυο (μη τετριμένα) τριδιάστατα διανύσματα της επιλογής σας.
2 Θέμα 4 Ο πίνακας πυκνότητας (density matrix) δίνεται από την ρ = ψ ψ, όπου ψ το κανονικοποιημένο ket του συστήματος. Αποδειξτε τις παρακάτω ιδιότητες του ρ: (α) Tr(ρ) =. (β) Για τυχόντα τελεστη A είναι A = Tr(Aρ) = Tr(ρA). (γ) ρ = ρ. (δ) i dρ = [H, ρ]. dt (ε) Για τυχούσα κατάσταση χ είναι χ ρ χ. (Υπόδειξη: Το ίχνος ειναι ανεξάρτητο από την επιλογή βάσης. Είναι Tr(A) = n A n, n αρκεί να ισχυει η σχέση πληροτητας n n n =.
3 Θεωρητική Επιστήμη Υλικών Λύστε οποιαδήποτε 4 θέματα. Νοεμβρίου Θέμα. (α) Δείξτε ότι η παρακάτω συνάρτηση αντιστοιχεί σε ιδιοκατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή (m = = ω = ) και βρείτε την αντίστοιχη ιδιοτιμή της Χαμιλτωνιανής: ψ = (x 3 3x)e x / (β) Βρείτε τις ιδιοκαταστάσεις που έχουν την αμέσως μικρότερη και αμέσως μεγαλύτερη ιδιοτιμή (μην κάνετε κανονικοποίηση). Θέμα. Η Χαμιλτωνιανή. H, σε κάποιο κβαντικό σύστημα έχει δυο ιδιοκαταστάσεις, την και την με αντίστοιχες ιδιοτιμές ϵ = και ϵ = ω. Για t = το σύστημα είναι στην, και αρχίζει να αλληλεπιδρά με εξωτερικό πεδίο V για το οποίο δίνεται ότι V = V = και V = ω. Η χαμιλτωνιανή είναι δηλαδή H = H + V. (α) Γράψτε τους πίνακες που αναπαριστούν τους H, H, V. Βρείτε τις ιδοτιμές και ιδιοκαταστάσεις της H. (β) Να υπολογιστεί η πιθανότητα ο σύστημα να βρεθεί πάλι στην μετά από χρόνο t. Θέμα 3. Δυο ηλεκτρόνια βρίσκονται στην ίδια κατάσταση, ψ a (r) με αντιπαράλληλα σπιν και ολική κυματοσυνάρτηση ψ(r, r ). Η πυκνότητα ορίζεται ως n(r) = ψ(r, r ) d 3 r = ψ(r, r) d 3 r. (α) Εξηγήστε την δευτερη ισότητα στην παραπάνω σχέση. Αποδειξτε ότι n(r) = ψ a (r) (β) Έστω ότι τα δυο ηλεκτρονια έλκονται από πυρήνα με δυναμικό V (r). Αποδειξτε ότι η μέση δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι V = n(r)v (r)d 3 r. (γ) Υπολογίστε την μέση δυναμική ενέργεια V στο He στην θεμελιώδη στάθμη, s.
4 Θέμα 4. (α) Υπολογίστε το l z στο Υδρογόνο όταν ψ = N(ψ + i ψ + ψ 33 ). (β) Σωμάτιο με σπιν / βρίσκεται στην κατάσταση ψ = α + + β. Υπολογίστε την μέση τιμή του διανύσματος του σπιν, s, και του μέτρου του, s. Θέμα 5. Η κατάσταση σωματιδίου σε απειρόβαθο πηγάδι περιγράφεται από την ψ(x) = N sin 3 πx L. (α) Μετράμε την ενέργεια του σωματιδίου. Ποια είναι τα δυνατά αποτελέσματα και με ποιες πιθανότητες; Ποια η μέση τιμή και η αβεβαιότητα των μετρήσεων σε ev για L = nm; Δίνεται ότι a B = 4πϵ =.5 Å, και E me = = 7 ev. ma B (β) Έστω ότι η μέτρηση έδωσε την χαμηλότερη δυνατή τιμή. Αμέσως μετά, μετράμε την θέση του σωματιδίου. Ποια η πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο σε θέσεις από L 5 έως 3L 5 ; Υπόδειξη: χρησιμοποιήστε την ταυτότητα e ia = cos a + i sin a για να εκφράσετε την ψ(x) σαν γραμμικό συνδυασμό ιδιοσυναρτήσεων. Λύστε οποιαδήποτε 4 θέματα.
5 Θεωρία Υλικών, Εξέταση Προόδου της // Θέμα ( =4.) Σωμάτιο το οποίο είναι περιορισμένο να κινείται από x = έως x = L έχει κυματοσυνάρτηση ψ(x) = A sin( πx L ) cos(πx L ), όπου A κατάλληλη θετική πραγματική σταθερά. (α) Βρείτε την κυματοσυνάρτηση μετά από χρόνο t. (β) Βρείτε την μέση τιμή και αβεβαιότητα της ενέργειας σε χρόνο t. (γ) Βρείτε την μέση θέση σε χρόνο t. (δ) Στο (γ) θα έπρεπε να βρείτε ότι η μέση θέση δεν αλλάζει με τον χρόνο. Σχολιάστε το θεώρημα του Ehrenfest. Υπόδειξη: (α) sin x cos y = sin(x + y) + sin(x y) και (β) π Θέμα (.5) Αποδείξτε ότι για τρεις τυχόντες τελεστές A, B, C ισχύει [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] =. x sin xdx = π 4 Θέμα 3 ( =3.5) Σωματίδιο κινείται σε τρεις διαστάσεις με κυματοσυνάρτηση (για = και m = ): ψ(x, y, z) = Axe (x +y +z )/. Υπολογίστε την θετική πραγματική σταθερά A. Υπολογίστε την μέση τιμή και αβεβαιότητα (α) της θέσης x (β) της ορμής p y (γ) της στροφορμής l z. Υπόδειξη: x k e x dx = (k)! π. k+ k! Θέμα 4 ( ) (α) Υπολογίστε την ακτινική πυκνότητα πιθανότητας, p(r) = π π ψ(r, θ, ϕ) r sin θdθdϕ για την κατάσταση n =, l =, m = του υδρογόνου. (β) Βρείτε σε ποια απόσταση η p(r) γίνεται μέγιστη. (γ) Βρείτε την μέση τιμή και την αβεβαιότητα της απόστασης r. Υπόδειξη: π sin 3 xdx = 4 3.
6
7
8 Θεωρία Υλικών Εξέταση Προόδου της 3//3 Θέμα (.) Υπολογίστε τα στοιχεία l z, l +, l + l, l l z l +. Οι lm ειναι οι κοινές ιδιοκαταστάσεις των l και l z. Θέμα (.) Μια προσέγγιση της περιστροφικής κίνησης του μορίου HI είναι να θεωρήσουμε ότι το Η περιστρέφεται ελεύθερα στον χώρο γύρω από το ακίνητο Ι σε απόσταση d =.6Å. Η Χαμιλτωνιανή του προβλήματος ειναι H = l. m p d (α) Βρείτε τις τρεις χαμηλότερες ιδιοτιμές της σε ev. (β) Δώστε την κυματοσυνάρτηση της θεμελιώδους και της πρώτης διεγερμένης κατάστασης. (γ) Υπολογίστε την μέση τιμή και την αβεβαιότητα του cos θ = z/r στην θεμελιώδη στάθμη. (δ) Αν το μόριο είναι στην θεμελιώδη κατάσταση, ποιο ειναι το μέγιστο μήκος κύματος φωτονίου που απαιτειται για να διεγερθεί; Θέμα 3 (3.) Οι ταλαντωτικές κινήσεις του ΗΙ μπορούν να προσεγγιστούν ως ταλάντωση του Η με συχνότητα ω = Hz και απόσταση ισορροπίας d =.6Å, ενώ το πολύ βαρυτερο Ι είναι ακίνητο. Η κίνηση γίνεται σε μια διάσταση με Χαμιλτωνιανή H = p m p + m pω (d d ). (α) Βρείτε τις τρεις χαμηλότερες ιδιοτιμές της σε ev. (β) Δώστε την κυματοσυνάρτηση της θεμελιώδους και της πρώτης διεγερμένης κατάστασης (βάλτε αριθμητικές τιμές για μήκη μετρημένα σε Å). (γ) Υπολογίστε την μέση τιμή και την αβεβαιότητα του d στην θεμελιώδη στάθμη. (δ) Αν το μόριο είναι στην θεμελιώδη κατάσταση, ποιο ειναι το μέγιστο μήκος κύματος φωτονίου που απαιτειται για να διεγερθεί; (ε) Σε ένα δειγμα 3 μοριων τα οποία είναι όλα στην θεμελιώδη στάθμη, πόσα έχουν απόσταση Η-Ι μεταξύ.6å και.6å; Θεωρήστε ότι η κυματοσυνάρτηση είναι σταθερή στο διάστημα [.6Å,.6Å] και ίση με την τιμή της για d =.6Å.
9 Θέμα 4 (3.) (α) Δείξτε ότι στον αρμονικό ταλαντωτή με ħ = m = ω =, οι πίνακες που δινουν τους τελεστές x και p στην βάση των ιδιοκαταστάσεων της Χαμιλτωνιανής και αποτελούνται από στοιχεια n x m και n p m, n, m =,,, 3,... είναι : x = p = i Υπόδειξη: χρησιμοποιήστε τους τελεστές δημιουργιας και καταστροφής. Στα επόμενα ερωτήματα, κρατήστε από τους παραπάνω άπειρους πίνακες μόνο τις πάνω αριστερά κομμάτι 3 3, δηλαδή περιοριστείτε σε m, n. (β) Υπολογίστε τους πίνακες x = xx, p = pp, x 4 = x x, H = x + p και H = x4 + p. (γ) Βρειτε τις ιδιοτιμές του H. Θέμα 5 (μπόνους +.5) Τα παρακάτω ερωτήματα αφορούν το θέμα 4. Μπορούν να απαντηθούν χωρίς καθόλου πράξεις. (α) Ποια θα ήταν η μορφή του H αν δεν έιχαμε περιοριστει σε m, n ; (β) Αν δεν είχατε περιοριστεί σε m, n, θα είχατε βρει την θεμελιώδη και την πρώτη διεγερμένη στάθμη του H να έχουν ενέργειες E =.53 και E =.9. Γιατί το σφάλμα του υπολογισμού σας ειναι πολύ μεγαλύτερο για το E από ό,τι είναι για το E ; a (γ) Έστω ότι = b είναι η κανονικοποιημένη η ιδιοκατάσταση της H που αντιστοιχεί στην E. Δειξτε οτι ) b = και ) a >> c c. Aτομικές μονάδες: α B = 4πϵ ħ =.59 Å, E me = ħ = 7. ev, u ma = B ω = πu α B =.6 7 Hz, P = E a 3 B E =87.77 km/s, m = 94 GPa, T = E k B = K, Σταθερές: bar = 5 N m, m e = 9. 3 kgr, e =.6 9 C, ħ =.5 34 J s, c = 3. 8 m/s, N A = 6. 3 mol, cal = 4.8 J, ϵ = 8.85 F/m, k B =.38 3 J K, m p = 836.m e, hc = 398 ev Å, k B = 65 K/eV. Ολοκληρωματα: e ax dx = π (a > ) a e ax e bx dx = π e b a (a > ) a xe a(x b) dx = b π (Re(a) > ) a x e ax dx = π (a > ) a { (k ) π x n (n = k, k integer, a > ) e ax dx = k+ a k a k! (n = k +, k integer, a > ) a k+
10 Θεωρία Υλικών Εξέταση Προόδου της 5//4 Θέμα (α) Θεωρήστε σωμάτιο σε αρμονικό ταλαντωτή με ħ = m = ω = του οποίου η κυματοσυνάρτηση ψ(x) ειναι κανονικοποιημένη, άρτια και πραγματική. Δείξτε οτι η μέση ενέργειά του ισούται με E = ψ (x)dx + x ψ (x)dx. (β) Υπολογίστε με τον παραπάνω τύπο την ελάχιστη τιμή της E ως προς την παράμετρο a (a > ) για την ψ(x) = Ae ax. Υπόδειξη: κάντε κανονικοποίηση για να βρείτε το A. Βρείτε την E(a) από τον τύπο του (α) ερωτήματος. Βρείτε τo ελάχιστο από την E (a ) =. Ελάχιστη τιμή είναι E = E(a ). (γ) Το ίδιο για ψ(x) = A x + a. (δ) (μπόνους) Γιατί η ενέργεια E στο (γ) προκύπτει μεγαλύτερη από την E του (β); Υπάρχει κυματοσυνάρτηση ψ για την οποία η E να προκύπτει μικρότερη από /; Θέμα Ηλεκτρόνιο αλληλεπιδρά με δυο μαγνητικά πεδια: το πρώτο έχει ένταση T και κατέυθυνση ẑ και το δεύτερο έχει ένταση.5 Τ και κατεύθυνση ˆx. (α) Γράψτε τον πίνακα που αναπαριστά την Χαμιλτονιανή για την κίνηση του σπιν. Τα στοιχεία πίνακα να ειναι σε μονάδες 4 J με τρια σημαντικά ψηφία. (β) Βρείτε τις ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις της Χαμιλτονιανής με τρια σημαντικά ψηφια. (γ) Η προβολή του σπιν στον ŷ ισούται με ħ/ κάθε χρονική περιοδο T. Βρείτε την T. Υπόδειξη: θεωρήστε για t = ότι Ψ() είναι η ιδιοκατάσταση του s y με ιδιοτιμή ħ/ και βρείτε την Ψ(t) και την πιθανότητα P (t) = Ψ(t) Ψ(). Βρείτε την περίοδο της P (t). Θέμα 3 Σώμα κινείται στην επιφάνεια σφαίρας με κβαντικό αριθμό στροφορμής l =. (α) Βρείτε την κυματοσυνάρτησή του, ψ(θ, ϕ) η οποία ειναι ιδιοκατάσταση του l x με ιδιοτιμή. (β) Το ίδιο ερώτημα για ιδιοτιμή ħ. (γ) Δείξτε ότι οι συναρτήσεις που βρηκατε στα (α) και (β) έχουν τις παρακάτω συμμετρίες τις οποίες θα πρέπει να έχουν όλες οι ιδιοκαταστάσεις του l x :. z z: ψ(θ, ϕ) = ψ(π θ, ϕ).. y y: ψ(θ, ϕ) = ψ(θ, π ϕ). 3. x x: ψ(θ, ϕ) = ψ(θ, π ϕ). (δ) (μπόνους) Δώστε πρόχειρο σκίτσο των ψ(θ, ϕ) των ερωτημάτων (α) και (β). Σε ποια περιοχη ειναι πιο πιθανό να βρεθεί το σώμα σε κάθε περίπτωση;
11 Aτομικές μονάδες: α B = 4πϵ ħ =.59 Å, E me = ħ = 7. ev, u ma = B ω = πu α B =.6 7 Hz, P = E a 3 B E =87.77 km/s, m = 94 GPa, T = E k B = K, Σταθερές: bar = 5 N m, m e = 9. 3 kgr, e =.6 9 C, ħ =.5 34 J s, c = 3. 8 m/s, N A = 6. 3 mol, cal = 4.8 J, ϵ = 8.85 F/m, k B =.38 3 J K, m p = 836.m e, hc = 398 ev Å, k B = 65 K/eV. Ολοκληρωματα: π π e ax dx = (a > ) e ax e bx dx = a a e b a (a > ) π xe a(x b) dx = b (Re(a) > ) x e ax dx = π (a > ) a a { (k ) π x n (n = k, k integer, a > ) e ax dx = k+ a k a k! (n = k +, k integer, a > ) a k+ x + a dx = π a (a > ) x (x + a ) dx = a (a > ) 5π dx = (x + a ) 4 3a 7 (a > ) x n (x + a ) (x + a ) dx = π (a > ) 4a 3 x (a > ) (x + a ) dx = π 4a x (x + a ) dx = π (a > ) 4 3a 5 ( 3... (n ))( 3... ((m n) ))π dx = a >, m > n. m+ m+ m!a (m n)+ x n+ (m n )!n! dx = a >, m > n. (x + a ) m+ m!a (m n) Σφαιρικές αρμονικές: Y, (θ, ϕ) = 4 e iϕ 5 π sin θ Y, (θ, ϕ) = 5 ( π cos θ) Y, (θ, ϕ) = eiϕ 5 cos θ sin θ Y π Y, (θ, ϕ) = e iϕ 5 cos θ sin θ π,(θ, ϕ) = 4 eiϕ 5 π sin θ ( ) a b Ο πίνακας έχει ιδιοτιμές ± a b a + b και ιδιοανύσματα ( a± a +b b )
12 Θεωρία Υλικών Εξέταση Προόδου της 6//5 Choose any four problems Θέμα The vibrations of the O molecule can be described as the motion of a particle with mass m =.4 6 kg that has potential energy equal to V (d) = V ( e a(d d) ) where d is the O-O distance and d =. Å, V = 5. ev and a =.4 Å. The system is at its ground state and the Taylor expansion, e z + z, can be applied. (a) Calculate the uncertainty, d. (b) Calculate the minimum energy, E required to excite the molecule to the first excited state. e =.6 9 C, ħ =.5 34 J s. ( ) Θέμα Operator l z = iħ y x has three different eigenfunctions of the general x y form ψ(x, y) = ax + by + c with eigenvalues mħ. Find them. Θέμα 3 The spin operators for a particle with spin are s x = ħ, s y = ħ i i i, s z = ħ, i a A particle has spin s = and is at state d ψ = b, where a, b, c are real and and c a + b + c =. Calculate a, b, c given that if one measures s x, the probability of finding is P = % and that if one measures s z, the probability of finding ħ is P =%. Θέμα 4 Consider s x, s y and s z that are the matrices that represent the spin components for fixed spin s in the same representation we used for s = /. Show that (a) s z has non-zero elements only along the main diagonal. (b) s x and s y have non-zero elements only along the diagonals right above and right below the main diagonal. (c) s x and s z have real elements while s y has imaginary elements. Θέμα 5 A particle an one-dimensional box of length L has wavefunction ψ(x) = a + bx + cx, where a, b, c are real. Take L =, m =, ħ =. (a) Find a,b,c so that ψ is normalized and ψ() = ψ() =. (b) Calculate the uncertainties x and p.
13 Μεταφράσεις:. Οι ταλαντώσεις του μοριου O περιγράφονται σαν κίνηση σώματος μάζας m το οποίο έχει δυναμική ενέργεια V (d), όπου d ειναι η απόσταση Ο-Ο. Το σύστημα ειναι στην θεμελιώδη στάθμη και μπορει να εφαρμοστει το ανάπτυγμα Taylor της e z. (α) Υπολογιστε την αβεβαιότητα d και την ελάχιστη ενέργεια που απαιτείται για να διεγερθεί το μόριο στην πρώτη διεγερμένη κατάσταση.. Ο τελεστής l z έχει τρεις διαφορετικές ιδιοσυναρτήσεις της γενικής μορφής ψ =... με ιδιοτιμές mħ. Βρείτε τις. 3. Σώμα με σπιν s = ειναι στην κανονικοποιημένη κατάσταση ψ όπου a, b, c θετικοί πραγματικοί αριθμοι με a +b +c =. Υπολογίστε τα a, b, c με δεδομένα ότι ) αν μετρηθεί η s x η πιθανότητα να βρεθέι ειναι P = % και ) αν μετρηθεί η s z, η πιθανότητα να βρεθεί ħ ειναι P =%. 4. Οι πίνακες s x, s y, s z αναπαριστούν τις συνιστώσες του σπιν για δεδομένο σπιν s στην ίδια αναπαράσταση που χρησιμοποιήσαμε για την μελέτη του s = /. Δειξτε οτι (α) s z έχει μη μηδενικά στοιχεια μόνο στην κύρια διαγώνιο (β) οι s x, s y έχουν μη μηδενικά στοιχεία μόνο στις διαγωνίους πάνω και κάτω από την κύρια και (c) οι s x, s z έχουν πραγματικά στοιχεία ενώ ο s y έχει φανταστικά στοιχεία. 5. Σώμα σε μονοδιάστατο κουτί μήκους L έχει κυματοσυνάρτηση ψ(x) με a, b, c πραγματικούς. Πάρτε L =, m =, ħ =. (a) Βρείτε τα a, b, c ώστε η ψ να είναι κανονικοποιημένη και ψ() = ψ() =. (b) Υπολογίστε τις αβεβαιότητες x και p.
14
15 Θεωρία Υλικών Εξέταση Προόδου της //6 Θέμα Αποδείξτε ότι οι αβεβαιότητες θέσης και ορμής για την κατάσταση με κβαντικό αριθμό n στο απειρόβαθο πηγάδι είναι (ħ = m = L = ):. x = Αποδείξτε ότι ισχύει η αρχή του Heisenberg. π n και p = πn l Θέμα Σώμα μάζας m κινείται ελεύθερα στην επιφάνεια σφαίρας ακτίνας R. Η Χαμιλτονιανή είναι H =, όπου l το μέτρο της στροφορμής. Πάρτε ħ = m = R =. Η mr κυματοσυνάρτηση του σώματος είναι ψ(θ, ϕ) = ay ((θ, ϕ) + by (θ, ϕ), με με a, b θετικούς πραγματικούς αριθμούς και η μέση ενέργεια του σώματος είναι E =. Υπολογίστε τις μέσες τιμές cos ϕ και cos θ. Θέμα 3 Σώμα σε αρμονικό ταλαντωτή (με ħ = m = ω = ) έχει κυματοσυνάρτηση ψ(x) = για x > και ψ(x) = cos πx για x. () Αν μετρήσουμε την ενέργεια του σώματος, τι τιμές μπορεί να προκύψουν; () ποια θα είναι η πιθανότερη από αυτές τις τιμές και γιατί; (3) Επαναλάβετε το ερώτημα () στην περίπτωση που o τύπος της ψ είχε sin αντί για cos. Θέμα 4 Σώμα με μάζα M, φορτίο Q και σπιν βρίσκεται σε μαγνητικό πεδίο. Η Χαμιλτονιανή του είναι H = gq M Bs z (g= σταθερά). Για t = το σώμα έχει ψ =. e iωt () Αποδείξτε ότι ψ(t) =. Πόσο είναι το ω ; () Αποδέιξτε ότι < s x >= cos ωt. (3) Αποδείξτε ότι < s y >= sin ωt. (4) Eπιβεβαιώστε ότι ισχύει το θεώρημα Ehrenfest για την χρονική παράγωγο των μέσων τιμών στα αποτελέσματα () και (3). s x = ħ, s y = ħ i i i, s z = ħ i,
16 Θεωρία Υλικών Εξέταση Προόδου της 7//7 Θέμα (5.) Σωματίδιο { ( έχει ) σπιν s = ( /. )} Θεωρήστε ως βάση του χώρου τις ιδιοκαταστάσεις του s z : + =, =. Η Χαμιλτωνιανή του συστήματος είναι ( ) + i H = ħω. i (α) Αποδείξτε ότι η H έχει ιδιοτιμές ħω, ħω. Βρείτε τις ιδιοκαταστάσεις της. (β) Βρείτε τον πίνακα που περιγράφει τον τελεστή Σ = (s x + s y ). Δείξτε ότι έχει ιδιοτιμές ±ħ/. Βρείτε τις ιδιοκαταστάσεις του. (γ) Δείξτε ότι ο τελεστής s y έχει ιδιοτιμές ±ħ/. Βρείτε τις ιδιοκαταστάσεις του. (δ) Μετράμε την τιμή του s y και βρίσκουμε τιμή ħ/. Αμέσως μετά την μέτρηση, μετράται ο Σ. Ποιές τιμές μπορεί να προκύψουν από την μέτρηση, με ποιες πιθανότητες, ποια η αναμενόμενη (μέση) τιμή και ποια η αβεβαιότητα των μετρήσεων; (ε) Βρείτε την ψ του συστήμτος σε χρόνο t = 5π/ω και σε χρόνο t = π/ω. Θέμα (.5) Σώμα βρίσκεται σε κατάσταση με κυματοσυνάρτηση {, x < ψ(x) = Axe x, x Υπολογίστε το A και εν συνεχεία την αβεβαιότητα θέσης, x. Θέμα 3 (.5) Θεωρήστε το σύστημα της στροφορμής με ħ = και τις καταστάσεις lm για τις οποίες ισχύει l lm = ħ l(l + ) lm και l z lm = ħm lm. (α) Βρείτε τις ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις του τελεστή A = l + l + l l. (β) Βρείτε τις ιδιοτιμές και ιδιοκαστάσεις του τελεστή B = Θέμα 4 (.5) Θεωρήστε το σύστημα του αρμονικού ταλαντωτή με ħ =, m =, ω = και ιδιοκαταστάσεις της Χαμιλτωνιανής n. (α) Βρείτε τις ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις του τελεστή C = aaa a. 3 (β) Υπολογίστε την αβεβαιότητα ορμής, p, στην κατάσταση ψ = 4.
Θεωρητική Επιστήμη Υλικών
Θεωρητική Επιστήμη Υλικών 1ο διαγώνισμα, 6/10/015. Find the eigenvalues and the eigenvectors of the matrix: 1 0 i 0 1 1 i 1 0 Make sure that eigenvectors are normalized i.e ψ ψ = 1. Bonus: check if eigenvectors
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υλικών, 11/2/2011
Θεωρία Υλικών, // Θέμα (.5) Για τα στοιχειακό μέταλλο Al δίνεται ότι η πυκνότητα είναι ρ M =.7 g/cm 3 και το ατομικό του βάρος 6.98. Η ηλεκτρονική δομή του ατόμου του Al είναι [Ne]3s p. α) Να βρεθεί ο
Διαβάστε περισσότερα. Να βρεθεί η Ψ(x,t).
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει
ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις
Διαβάστε περισσότερακαι χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.
Διαβάστε περισσότερα1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική Ι Λύσεις προόδου. Άσκηση 1
Κβαντομηχανική Ι Λύσεις προόδου Άσκηση 1 ψ(x) = A Sin (k x), < x < α) Sin (k x) = eikx e ikx i Mε πιθανές τιμές ορμής p = ± ħk, από τον τύπο του De Broglie. Kαθεμιά έχει πιθανότητα 50%. b) p = ψ p ψ =
Διαβάστε περισσότεραx όπου Α και a θετικές σταθερές. cosh ax [Απ. Οι 1, 2, 5] Πρόβλημα 3. Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται στο πεδίο δυναμικής ενέργειας ( x) exp
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ (Υποχρεωτικό 4 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ. Σκαρλάτος Προβλήματα Σειρά # 5 : Η εξίσωση Schrödinger και η επίλυσή της σε απλά κβαντικά συστήματα
Διαβάστε περισσότεραΔομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου
Κεντρικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Ακτινική Συνιστώσα Ορμής Έστω Χαμιλτονιανή
Διαβάστε περισσότεραETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα
Διαβάστε περισσότεραSpin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής
Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Εξάρτηση του πυρηνικού δυναμικού από άλλους παράγοντες (πλην της απόστασης) Η συνάρτηση του δυναμικού
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες.
ΘΕΜΑ [5575] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Αυγούστου ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης,5 ώρες (α) Να αποδειχθεί ότι για οποιοδήποτε µη εξαρτώµενο από τον χρόνο τελεστή Α, ισχύει d A / dt = A,
Διαβάστε περισσότεραETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι (Τµήµα Α. Λαχανά) 1 Φεβρουαρίου 2010
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τµήµα Α Λαχανά) Φεβρουαρίου ΘΕΜΑ : Θεωρήστε τις δύο περιπτώσεις όπου η κυµατική συνάρτηση ψx) που περιγράφει µονοδιάστατη κίνηση σωµατιδίου σε απειρόβαθο πηγάδι δυναµικού µε τα τοιχώµατα
Διαβάστε περισσότεραKΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Κυματική εξίσωση Schrödiger Η δυνατότητα ενός σωματιδίου να συμπεριφέρεται ταυτόχρονα και ως κύμα, δηλαδή να είναι εντοπισμένο
Διαβάστε περισσότερα21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1 3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση
Διαβάστε περισσότεραΤο Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας
Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Δομή Διάλεξης Χρονική εξέλιξη Gaussian κυματοσυνάρτησης σε μηδενικό δυναμικό (ελέυθερο σωμάτιο): Μετατόπιση και Διασπορά Πείραμα διπλής οπής: Κροσσοί συμβολής για
Διαβάστε περισσότερα= + =. cos ( ) sin ( ) ˆ ˆ ˆ. Άσκηση 4.
Άσκηση 4 Θεωρείστε και πάλι το σύστημα της άσκησης Τη χρονική στιγμή το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση a (η οποία δεν είναι ιδιοκατάσταση της amilonian) Ποιά είναι η πιθανότητα, μετά από χρόνο, να βρεθεί
Διαβάστε περισσότεραŜ y, για σπιν ½, όπου. και. 1/2 x 1/2,
ΣΕΤ 10 6/1/18 (1) (α) Βρείτε τα ιδιοδυανύσματα των Ŝ z, 1 Ŝ z 0 Ŝx και 0 0 1 0 i, Ŝ x, και Ŝ y 1 1 0 i 0 (β) Συνεπώς, εκφράστε τις καταστάσεις καταστάσεων 1/ z και 1/ z 1/ x, Ŝ y, για σπιν ½, όπου 1/ x,
Διαβάστε περισσότεραΑρμονικός Ταλαντωτής
Αρμονικός Ταλαντωτής Δομή Διάλεξης Η χρησιμότητα του προβλήματος του αρμονικού ταλαντωτή Η Hamiltonian και οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής Το φάσμα ιδιοτιμών της Hamiltonian Οι ιδιοκαταστάσεις
Διαβάστε περισσότεραÂ. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή
ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΕΝΟΣ ΕΡΜΙΤΙΑΝΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ Έστω ο ερμιτιανός τελεστής Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή Â μια χρονική στιγμή, που αυθαίρετα, αλλά χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε χρονική στιγμή μηδέν, όπου
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές κβαντικής θεωρίας
Εφαρμογές κβαντικής θεωρίας Στοιχειώδες μαθηματικό υπόβαθρο Σχέση Euler Χρησιμοποιώντας τη σχέση Euler, ένα αρμονικό κύμα της μορφής Acos(kx) (πραγματική συνάρτηση), μπορεί να γραφτεί ως Re[Ae ikx ] που
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότερα( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Γενάρη ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες ΘΕΜΑ [555555553] Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα που περιγράφεται από την Χαµιλτονιανή H 3ε µ iε µε ιδιοσυναρτήσεις κάποιου
Διαβάστε περισσότεραˆ ˆ. (τελεστής καταστροφής) (τελεστής δημιουργίας) Το δυναμικό του συστήματός μας (αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι
ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΕ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Ξεκινώντας από τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής
Διαβάστε περισσότεραΔομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής
Τροχιακή Στροφορμή Δομή Διάλεξης Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής Ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις της L
Διαβάστε περισσότεραPLANCK 1900 Προκειμένου να εξηγήσει την ακτινοβολία του μέλανος σώματος αναγκάστηκε να υποθέσει ότι η ακτινοβολία εκπέμπεται σε κβάντα ενέργειας που
ΑΤΟΜΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ PLANCK 1900 Προκειμένου να εξηγήσει την ακτινοβολία του μέλανος σώματος αναγκάστηκε να υποθέσει ότι η ακτινοβολία εκπέμπεται σε κβάντα ενέργειας που είναι ανάλογα με τη συχνότητα (f). PLANCK
Διαβάστε περισσότεραψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2
Σπουδές στις Φυσικές Επιστήµες ΦΥΕ 40 Κβαντική Φυσική 014-015 ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Υπόδειξη λύσεων ΑΣΚΗΣΗ 1 Η άρτια κυµατοσυνάρτηση θα δίνεται από (x) = A 3 e γ x x < a b / A cos(kx) B sin(kx) a b / < x < b / A
Διαβάστε περισσότεραPLANCK 1900 Προκειμένου να εξηγήσει την ακτινοβολία του μέλανος σώματος αναγκάστηκε να υποθέσει ότι η ακτινοβολία εκπέμπεται σε κβάντα ενέργειας που
ΑΤΟΜΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ PLANCK 1900 Προκειμένου να εξηγήσει την ακτινοβολία του μέλανος σώματος αναγκάστηκε να υποθέσει ότι η ακτινοβολία εκπέμπεται σε κβάντα ενέργειας που είναι ανάλογα με τη συχνότητα (f). PLANCK
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5
Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 53 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 )
vs of Io vs of Io D of Ms Scc & gg Couo Ms Scc ική Θεωλης ική Θεωλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 746 dok@cc.uo.g cs.s.uo.g/dok ομηχ ομηχ δ ά τρεις διαστ Εξίσωση Schödg σε D Σε μία διάσταση Σε τρείς
Διαβάστε περισσότεραμαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα x
Σπιν μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα ) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο με κατεύθυνση στα θετικά του άξονα, δηλαδή e,
Διαβάστε περισσότεραΗ Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)
Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Δομή Διάλεξης Το παρατηρήσιμο μέγεθος της θεσης και τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας (συνεχές φάσμα ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων) Οι τελεστές της θέσης
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1. Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli
Άσκηση 1 Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli Άσκηση 2 Βρείτε την δράση των τελεστών του spin S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις του S z +1/2>, =1/2> Η αναπαράσταση των S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση το άτομο του υδρογόνου ΔΕΝ είναι προς εξέταση
Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2017-18) Τμήμα T2: Κ. Κορδάς & Δ. Σαμψωνίδης Μάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση
Διαβάστε περισσότεραΑπό τι αποτελείται το Φως (1873)
Από τι αποτελείται το Φως (1873) Ο James Maxwell έδειξε θεωρητικά ότι το ορατό φως αποτελείται από ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι η ταυτόχρονη διάδοση, μέσω της ταχύτητας του φωτός
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική Ι 1o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1
Χειμερινό εξάμηνο 16-17 Κβαντομηχανική Ι 1o Σετ Ασκήσεων ) ψ(x) dx Άσκηση 1 ψ ο (x) = Α (α x ), < x < = A (α x ) dx = 1 (α x ) dx = (α 4 x + x 4 )dx = α 4 dx x dx = 5 45 3 A ( 5 45 + 5 3 5 + x 4 dx + 5
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7.
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 01. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΕΦ. 2. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΕΦ.
Διαβάστε περισσότεραΠοια απο τις παρακάτω είναι η σωστή µορφή του πραγµατικού µέρους της κυµατοσυνάρτησης του
Τίτλος: Κυµατοσυνάρτηση-Φράγµα δυναµικού Χρόνος: min. Σωµάτιο προσπίπτει απο αριστερά στο παρακάτω φράγµα δυναµικού. Ποια απο τις παρακάτω είναι η σωστή µορφή του πραγµατικού µέρους της κυµατοσυνάρτησης
Διαβάστε περισσότερα1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)
. Μετάπτωση Larmor (γενικά) Τι είναι η μετάπτωση; Μετάπτωση είναι η αλλαγή της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου. Αν ο άξονας περιστροφής ενός αντικειμένου περιστρέφεται
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τελική (επί πτυχίω) Εξέταση: 17 Ιούνη 2013 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ΘΕΜΑ 1[ ]
ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τελική (επί πτυχίω Εξέταση: 17 Ιούνη 13 ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής ΘΕΜΑ 1[1515] Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα που περιράφεται από την Χαµιλτονιανή, ε H 4ε 1 1 3i 1 1, µε 1, ιδιοσυναρτήσεις κάποιου
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013
ΘΕΜΑ 1: ( 3 µονάδες ) Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 Ηλεκτρόνιο κινείται επάνω από µία αδιαπέραστη και αγώγιµη γειωµένη επιφάνεια που
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 2012 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες.
ΘΕΜΑ 1[1] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 1 ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες Ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε δυναµικό απειρόβαθου πηαδιού και περιράφεται από την 1 πx πx κυµατοσυνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραNobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική
Spin Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Δομή Διάλεξης Το πείραμα Stern-Gerlach: Πειραματική απόδειξη spin Ο δισδιάστατος χώρος καταστάσεων spin του ηλεκτρονίου: οι πίνακες Pauli Χρονική εξέλιξη
Διαβάστε περισσότεραETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα
Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2011-12) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα Κώστας
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική σε μία διάσταση
vrsy of Io Dr of Mrls Scc & grg Couol Mrls Scc κή Θεωρία της Ύλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 76 ldor@cc.uo.gr csl.rls.uo.gr/ldor σταση Μία ιάσ ανική σε Μ κή Θεωρ ρία της Ύλης: Κβα αντομηχα Κβαντομηχανική
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4
ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 1/ 45 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων ακαδηµαικό
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1
Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 39 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 38 Κβαντική Μηχανική
Κεφάλαιο 38 Κβαντική Μηχανική Περιεχόμενα Κεφαλαίου 38 Κβαντική Μηχανική Μια καινούργια Θεωρία Η κυματοσυνάρτηση και η εξήγησή της. Το πείραμα της διπλής σχισμής. Η αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών Βασικά σημεία της κβαντομηχανικής Διδάσκων : Επίκουρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα
Διαβάστε περισσότεραΑτομική δομή. Το άτομο του υδρογόνου Σφαιρικά συμμετρικές λύσεις ψ = ψ(r) Εξίσωση Schrodinger (σφαιρικές συντεταγμένες) ħ2. Εξίσωση Schrodinger (1D)
Ατομική δομή Το άτομο του υδρογόνου Σφαιρικά συμμετρικές λύσεις ψ = ψ(r) Εξίσωση Schrodinger (1D) Εξίσωση Schrodinger (σφαιρικές συντεταγμένες) ħ2 2m 2 ψ + V r ψ = Εψ Τελεστής Λαπλασιανής για σφαιρικές
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις
Διάλεξη : Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Βασικές Αρχές της Κβαντομηχανικής H κατάσταση ενός φυσικού συστήματος περιγράφεται από την κυματοσυνάρτησή του και αποτελεί το πλάτος πιθανότητας να βρεθεί
Διαβάστε περισσότεραΕλληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Ενδεικτικές Λύσεις Θεµάτων Τελικών εξετάσεων στη Θεµατική Ενότητα ΦΥΕ34
Σύγχρονη Φυσική ΦΥΕ 6/7/8 Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Ενδεικτικές Λύσεις Θεµάτων Τελικών εξετάσεων στη Θεµατική Ενότητα ΦΥΕ Ιούλιος 8 Θέµα ο (Μονάδες:.5) ΣΥΓΧΡΟΝΗ ιάρκεια: λεπτά Για x η κυµατοσυνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΗ κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. 8 Δεκεμβρίου 2017
Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. siroskonstantogiannis@gmail.com 8 Δεκεμβρίου 7 8//7 Coyrigt Σπύρος Κωνσταντογιάννης, 7. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος.
Διαβάστε περισσότεραΚυματική φύση της ύλης: ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης:
Κυματική φύση της ύλης: ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης: Κινούμενα ηλεκτρόνια συμπεριφέρονται σαν κύματα (κύματα de Broglie)
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να ολοκληρώσει την εφαρμογή της
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 8: Ερωτήσεις και Ασκήσεις (Ασκήσεις προς Λύση) Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ενότητα 8: Ερωτήσεις και Ασκήσεις (Ασκήσεις προς Λύση) Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Οι ασκήσεις που ακολουθούν είναι προς επίλυση από
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 2-Απρίλη-2016
ΦΥΣ. 211 2 η ΠΡΟΟΔΟΣ 2-Απρίλη-2016 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 2-Απρίλη-2016
ΦΥΣ. 211 2 η ΠΡΟΟΔΟΣ 2-Απρίλη-2016 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Τροχιακή Στροφορμή (Ορισμοί Τελεστών) Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα
ΘΕΜΑ 1: Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ Εξετάσεις 1ης Ιουλίου 13 Τµήµα Α. Λαχανά) Α ) Για την πρώτη διεγερµένη κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου µε τροχιακή στροφορµή l = 1 να προσδιορισθουν οι αποστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική Ι 3o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1
Χειμερινό εξάμηνο 016-017 Κβαντομηχανική Ι 3o Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 Οι λύσεις του αρμονικού ταλαντωτή, με V = x είναι της μορφής ψ n (x) = ( mω π )1/4 1 n n! H n (x)e x /, n = 0,1, (1) Με Η n τα πολυώνυμα
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία
Μοντέρνα Φυσική Κβαντική Θεωρία Ατομική Φυσική Μοριακή Φυσική Πυρηνική Φυσική Φασματοσκοπία ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης:
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 12: Ασκήσεις. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 12: Ασκήσεις Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Άσκηση 12.1 Να υπολογιστεί η μέση ενέργεια σωματιδίου που περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση ψ x = 1 3 ψ 1
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραS ˆz. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α. 2αβ
Άσκηση 4. Έστω σωμάτιο με spin /. Να προσδιορίσετε την κατάστασή του αν είναι γνωστές οι S ˆ, S ˆ και μόνο το πρόσημο της S ˆ. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α ψ = α
Διαβάστε περισσότερα3. Το πρότυπο του Bohr εξήγησε το ότι το φάσμα της ακτινοβολίας που εκπέμπει το αέριο υδρογόνο, είναι γραμμικό.
ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑ 16 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΠΡΟΤΥΠΟ BOHR ΟΜΑΔΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος και να αιτιολογήσετε αυτές που είναι λάθος : 1.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται
Διαβάστε περισσότεραΧρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα
Άσκηση. (Βοήθημα θεωρίας) Εάν ένα κλασικό άνυσμα r μετατοπισθεί κατά a, θα προκύψει το άνυσμα r = r + a. a Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα r
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής
ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής Re Im V r V r i V r, όπου οι συναρτήσεις Re,Im V r V r είναι πραγματικές συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραPhys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)
Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts
Διαβάστε περισσότεραP(n 1, n 2... n k ) = n 1!n 2! n k! pn1 1 pn2 2 pn k. P(N L, N R ) = N! N L!N R! pn L. q N R. n! r!(n r)! pr q n r, n! r 1!r 2! r k!
Ασκήσεις Πιθανοτήτων - Στατιστικής Πρόβλημα 1 (Η Πολυωνυμική Κατανομή). Στο πρόβλημα αυτό θα μελετήσουμε μία γενίκευση της διωνυμικής κατανομής που συναντήσαμε στο μάθημα. Συγκεκριμένα, θα δούμε τί συμβαίνει
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις
Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις Δομή Διάλεξης Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών: Γενική Μέθοδος για την αντιμετώπιση των απειρισμών λόγω εκφυλισμού Εφαρμογή σε διεγερμένη κατάσταση υδρογόνου
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 9 ου Set Ασκήσεων Κβαντομηχανικής Ι
Λύσεις 9 ου Set Ασκήσεων Κβαντομηχανικής Ι Disclaimer: Οι δυο ασκήσεις ζητούν τις κυματοσυναρτήσεις, τις ενέργειες, τις τιμές (x 1 x 2 ) 2 των διαφόρων καταστάσεων και τη διόρθωση από διαταραχή, για μποζόνια
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών
Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών Δομή Διάλεξης Γενική μέθοδος μελέτης συστημάτων με χρονοεξαρτώμενο μέρος Χαμιλτονιανής. Εύρεση πιθανότητας μετάβασης Απλό παράδειγμα με ακριβή λύση: Σύστημα δύο καταστάσεων
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά
Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöing για κεντρικά δυναμικά Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03 Κεντρικά δυναμικά Εξάρτηση δυναμικού
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 1: Γενική διατύπωση της Κβαντικής Μηχανικής Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ενότητα 1: Γενική διατύπωση της Κβαντικής Μηχανικής Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 2/ 39 Περιεχόµενα 1ης
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό γ) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών
Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2011-12) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 2 Σεπτεμβρίου 2010
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I Σεπτεμβρίου 00 Απαντήστε και στα 0 ερωτήματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις εκτιμώνται ιδιαιτέρως. Καλή σας επιτυχία.. Ένας
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ η ΕΡΓΑΣΙΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 4 9-1 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Προθεσµία παράδοσης 4/5/1 //1 Άσκηση 1 Οι µετρήσεις πρέπει να υπακούουν την εξίσωση του φωτοηλεκτρικού φαινοµένου hc 14( ev. nm) Ve = φ φ( ev) λ = λ(
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι Ιανουαρίου, 9 Καλή σας επιτυχία. Πρόβλημα Α Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται υπό την επίδραση του πεδίου δύο σημειακών ελκτικών κέντρων, το ένα εκ των οποίων
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 26: Ολοκλήρωση της αλγεβρικής μεθόδου για την μελέτη του αρμονικού ταλαντωτή
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 6: Ολοκλήρωση της αλγεβρικής μεθόδου για την μελέτη του αρμονικού ταλαντωτή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να ολοκληρώσει
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα 4 θέματα με σαφήνεια συντομία. Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα. Καλή
Διαβάστε περισσότεραΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ
ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Ξεκινώντας από τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής
Διαβάστε περισσότερα3/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΟ ΣΠΙΝ
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΤΟ ΣΠΙΝ ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Εισαγωγή Η ενδογενής στροφορμή ή αλλιώς σπιν αποτελεί ένα θεμελιώδες χαρακτηριστικό των σωματιδίων διότι
Διαβάστε περισσότερα16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 φάση Η έννοια των ταυτόσημων σωματιδίων Ταυτόσημα αποκαλούνται όλα τα σωματίδια
Διαβάστε περισσότεραΓενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & DEPARTMENT OF PHYSICS ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ZOGRAFOU CAMPUS ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 157 80 ATHENS -
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης.
Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Φυσικής Κβαντοµηχανική Ι Α Καρανίκας και Π Σφήκας Άσκηση 1 Η Hamiltonian ενός συστήµατος έχει τη γενική µορφή Δείξτε ότι Υπόδειξη: Ξεκινείστε από τον ορισµό της αναµενόµενης τιµής,
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 38 +)
ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 38 +) Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 17 Φεβρουαρίου 2015
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 17 Φεβρουαρίου 2015 Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου Απαντήστε και στα 4 προβλήματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις στα ερωτήματα εκτιμώνται
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Προθεσµία παράδοσης 6/5/08
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 7-8 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ Προθεσµία παράδοσης 6/5/8 5//8 Άσκηση Α) Από τον νόµο µετατόπισης του Wien (σχέση (.6) σελ. 5 του βιβλίου των Serwy-Moses-Moyer) έχουµε
Διαβάστε περισσότεραSecond Order Partial Differential Equations
Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y
Διαβάστε περισσότεραμαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης
Σπιν 1 μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης 1) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο B B ˆ ˆ ˆ 0xex B0 yey B0 zez, όπου B0 x, B0
Διαβάστε περισσότερα2( ) ( ) ψ είναι οι ιδιοκαταστάσεις του τελεστή. ψ x, θα πάρουµε
ΟΙ Ι ΙΟΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ ΩΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΣΥΝΟΧΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ (COHERENT STATES) ΤΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ Στην προηγούµενη ανάρτηση, δείξαµε ότι στην αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ασκήσεις
ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ασκήσεις Ενότητα 8 Ατομικά Τροχιακά Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Άσκηση 1 Να υπολογιστεί η πιθανότερη ακτίνα, *, στην οποία θα βρίσκεται
Διαβάστε περισσότεραΚίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά
Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Τετραγωνικό Πηγάδι Δυναμικού: Δέσμιες καταστάσεις - ιδιοτιμές Οριακές Περιπτώσεις: δ δυναμικό, άπειρο βάθος Σκέδαση σε μια διάσταση: Σκαλοπάτι
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Μοριακή Δομή ΙΙ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγxρονη Φυσική Μοριακή Δομή ΙΙ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Coons. Για
Διαβάστε περισσότερα