ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ

Transcript

1 ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΜΗΤΡΟΥ Καθηγητής, ΕΜΠ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο

2

3 ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΜΗΤΡΟΥ Καθηγητής, ΕΜΠ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο

4

5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Συγγραφή Νικόλαος Μήτρου Κριτικός αναγνώστης Σεραφείμ Καραμπογιάς Συντελεστές έκδοσης Γλωσσική Επιμέλεια: Κονάχος Δημήτρης ISBN: Copyright ΣΕΑΒ, 5 Το παρόν έργο αδειοδοτείται υπό τους όρους της άδειας Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή 3.. Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτής επισκεφτείτε τον ιστότοπο ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΩΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 578 Ζωγράφου

6

7 Πίνακας συντομεύσεων Ακρωνύμια Ξενόγλωσσος όρος Ελληνόγλωσσος όρος BER Bit Error Rate ρυθμός εσφαλμένων bits BFSK Binary Frequency Shift Keying δυαδική διαμόρφωση συχνότητας BPSK Binary Phase Shift Keying δυαδική διαμόρφωση φάσης BSC Binary Symmetric Channel δυαδικό συμμετρικό κανάλι CP- BFSK Continuous Phase Binary Frequency Shift Keying διαμόρφωση δυαδικής συχνότητας συνεχούς φάσης D/A Digital-to-Analog αναλογικό-σε-ψηφιακό DFT Discrete Fourier Transform διακριτός μετασχηματισμός Fourier DSB Double Side Band διπλή πλευρική ζώνη DTFT Discrete-Time Fourier Transform μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου DVB-T Digital Video Broadcasting-Terrestrial επίγεια ευρυεκπομπή ψηφιακής τηλεόρασης FFT Fast Fourier Transforms ταχύς/γρήγορος μετασχηματισμός Fourier FM FSK Frequency Modulation Frequency Shift Keying διαμόρφωση συχνότητας, διαμόρφωση κατά συχνότητα ψηφιακή διαμόρφωση συχνότητας, ψηφιακή μεταλλαγή συχνότητας FT Fourier Transform μετασχηματισμός Fourier FIR Finite Impulse Response πεπερασμένης διάρκειας κρουστική απόκριση GMSK Gaussian Minimum Shift Keying γκαουσιανή ελάχιστη μεταλλαγή συχνότητας IIR Infinite Impulse Response άπειρης διάρκειας κρουστική απόκριση IFFT Inverse Fast Fourier Transform αντίστροφος ταχύς μετασχηματισμός Fourier LPF Low-Pass Filter βαθυπερατό φίλτρο LSB Lower Side Band κάτω πλευρική ζώνη LTI Linear Time Invariant γραμμικά χρονικά αμετάβλητα MFSK Multiple Frequency-Shift keying πολλαπλή μεταλλαγή συχνότητας, Μ-δική ψηφιακή διαμόρφωση συχνότητας MPSK Multiple Phase-Shift keying διαμόρφωση πολλαπλής μεταλλαγής φάσης, Μ- δική ψηφιακή διαμόρφωση φάσης MQAM Multiple Quadrature Amplitude Modulation πολλαπλή εγκάρσια διαμόρφωση πλάτους, Μ- δική εγκάρσια διαμόρφωση πλάτους MSK Minimum Shift Keying ελάχιστη μεταλλαγή συχνότητας NBFM Narrow Band Frequency Modulation διαμόρφωση συχνότητας στενής ζώνης NBPM Narrow Band Phase Modulation διαμόρφωση φάσης στενής ζώνης OFDM Orthogonal Frequency Division Multiplexing ορθογώνια πολυπλεξία διαίρεσης συχνότητας QAM Quadrature Amplitude Modulation εγκάρσια διαμόρφωση πλάτους QPSK Quadrature Phase Shift Keying τετραφασική διαμόρφωση

8 PRS Partial Response Signaling σήματα μερικής απόκρισης PSD Power Spectral πυκνότητα φάσματος ισχύος PSK Phase Shift Keying ψηφιακή διαμόρφωση φάσης SER Symbol Error Rate πιθανότητα εσφαλµένης ανίχνευσης συµβόλου SSB Single Side Band μονή πλευρική ζώνη VSB Vestigial Side Band υπολειπόμενη πλευρική ζώνη WLAN Wireless Local Area Network ασύρματο τοπικό δίκτυο υψηλού ρυθμού ΚΔ channel coding Κωδικοποίηση Διαύλου ΣΠΦ coherent matched filter Σύμφωνο Προσαρμοσμένο Φίλτρο

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : Η Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος στις Τηλεπικοινωνίες Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται μια γενική εισαγωγή στην ψηφιοποίηση και την ψηφιακή επεξεργασία σημάτων, στο πλαίσιο των τηλεπικοινωνιών. Αναδεικνύονται τα βασικά ζητήματα της μετάβασης από το συνεχές πεδίο στο διακριτό, μέσω της δειγματοληψίας, όπως η δημιουργία φασματικών ειδώλων και το πρόβλημα της επικάλυψης (aliasing). Παρουσιάζεται ο Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier, ως η φασματική παράσταση σημάτων διακριτού χρόνου στο πεδίο διακριτής συχνότητας και εισάγεται ο αναγνώστης στο σχεδιασμό και την υλοποίηση ψηφιακών φίλτρων. Παρέχονται παραδείγματα και εργαστηριακές ασκήσεις στην ψηφιακή φασματική ανάλυση και τα ψηφιακά φίλτρα. Σε παραρτήματα, δίνονται, υπό μορφή πινάκων, βασικά θεωρήματα και ιδιότητες των μετασχηματισμών Fourier, συνεχούς και διακριτού χρόνου.

10 - Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Περιεχόμενα Κεφαλαίου. Εισαγωγή Δειγματοληψία Ψηφιοποίηση Σήματα διακριτού χρόνου Ανακατασκευή του σήματος συνεχούς χρόνου Μετατροπή D/A Σφάλμα Επικάλυψης (Aliasing error) Δειγματοληψία ζωνοπερατών σημάτων Διακριτή Παρεμβολή & Αραίωση Πολυρυθμικά συστήματα (multirate systems) Δειγματοληψία στο πεδίο συχνότητας Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) Ο Μετασχηματισμός Ζ Σχέση μετασχηματισμών FT-DTFT-DFT-Ζ Ψηφιακά Φίλτρα Μαθηματική περιγραφή και υλοποίηση Φίλτρα FIR και IIR Σχεδιασμός FIR φίλτρων Υλοποίηση FIR φίλτρων....4 Ψηφιακή Φασματική Ανάλυση....5 Επεξεργασμένα Παραδείγματα Παράδειγμα.: Παραγωγή και μέτρηση θορύβου Παράδειγμα.: Ψηφιακά φίλτρα FIR, σχεδιασμός με παράθυρα Παράδειγμα.3: Δειγματοληψία ζωνοπερατών σημάτων Εργαστηριακές ασκήσεις προς εκτέλεση Άσκηση. (Φασματική ανάλυση) Άσκηση. (Ψηφιακό φίλτρο ζώνης διέλευσης) Παραρτήματα Παράρτημα Π.: Σειρές Fourier Μετασχηματισμός Fourier (συνεχούς χρόνου) Παράρτημα Π.: Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου (DTFT) Παράρτημα Π.3 Υπολογισμός ενέργειας και ισχύος σημάτων στο διακριτό πεδίο 4 Βιβλιογραφία Αναφορές... 4 Πλαίσια Κεφαλαίου Πλαίσιο.: Διάταξη συστήματος ψηφιακής επικοινωνίας... 4 Πλαίσιο.: Δειγματοληψία παράσταση διακριτού χρόνου... 5 Πλαίσιο.3: Ανακατασκευή σήματος συνεχούς χρόνου από την παράσταση διακριτού χρόνου... 6 Πλαίσιο.4: (α) Δειγματοληψία και ανακατασκευή αναλογικού σήματος με παρεμβολή συνεχούς χρόνου, (β) Φάσμα σήματος διακριτού χρόνου... 8 Πλαίσιο.5: Επικάλυψη aliasing: (α) πεδίο χρόνου σφάλμα επικάλυψης, (β) πεδίο συχνότητας (με «είδωλο» φάσματος στη βασική ζώνη)... 9 Πλαίσιο.6: (α),(β),(γ): Δειγματοληψία ζωνοπερατού σήματος, (δ) Το πρόβλημα του θορύβου... Πλαίσιο.7: Πύκνωση κατά πλέγματος δειγματοληψίας σήματος...

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ψηφιακή επεξεργασία σήματος στις τηλεπικοινωνίες -3 Πλαίσιο.8: Αλλαγή πλέγματος δειγματοληψίας συνδυασμός πύκνωσης και αραίωσης3 Πλαίσιο.9: DTFT και DFT... 4 Πλαίσιο.: Δομή άμεσης υλοποίησης φίλτρου με συνάρτηση μεταφοράς όπως στην εξίσωση (.9)... 7 Πλαίσιο.: Περικομμένη κρουστική απόκριση βαθυπερατού φίλτρου και απόκριση συχνότητας... 8 Πλαίσιο.: Κρουστική απόκριση και απόκριση συχνότητας βαθυπερατού φίλτρου, σχεδιασμένου με παράθυρο hamming... 9 Πλαίσιο.3: Έξοδος FIR φίλτρου, ως η συνέλιξη της (πεπερασμένης) κρουστικής του απόκρισης, h[n], με το σήμα εισόδου, s[n]... Πλαίσιο.4: Διαγράμματα διασκορπισμού θορυβώδους αναλυτικού σήματος QAM... 3 Πλαίσιο.5: Βαθυπερατά FIR φίλτρα ορθογ. παραθύρου, διαφόρων μηκών (α) κρουστικές αποκρίσεις (β) αποκρίσεις συχνότητας... 7 Πλαίσιο.6: Βαθυπερατό FIR φίλτρο, τάξης 65, με διάφορα παράθυρα (α) κρουστικές αποκρίσεις (β) αποκρίσεις συχνότητας... 7 Πλαίσιο.7: Φασματική πυκνότητα σήματος (α) αρχικό (β) μετά από βαθυπερατό φίλτρο ορθογ. παραθύρου (γ) μετά από βαθυπερατό φίλτρο παραθύρου Kaiser... 8 Πλαίσιο.8: Φασματική πυκνότητα θορυβώδους σήματος δύο ημιτονικών: (α) δειγματοληψία πυκνού πλέγματος, (β) δειγματοληψία πλησίον Nyquist, (γ), (δ) μετά από ζωνοπερατό φιλτράρισμα, (ε) απόκριση ζωνοπερατού φίλτρου ισοϋψών κυματώσεων (Parks-MacClellan)... 3 Πλαίσιο.9: Φασματική πυκνότητα στη βασική ζώνη, μετά από υποδειγμάτιση του ζωνοπερατού σήματος: (α) χωρίς ζωνοπερατό φιλτράρισμα, (β) με ζωνοπερατό φιλτράρισμα στο πυκνό πλέγμα, (γ) με ζωνοπερατό φιλτράρισμα στο πλέγμα Nyquist... 3 Πλαίσιο.: Ανάλυση και σύνθεση αρμονικών Πλαίσιο.: (α),(β) Εκθετική και τριγωνομετρική σειρά Fourier περιοδικών συναρτήσεων, (γ) Αυξάνοντας την περίοδο Πλαίσιο.: Βασικές σχέσεις μετασχηματισμού Fourier Πλαίσιο.3: Παραδείγματα ζευγών μετασχηματισμού Fourier Πλαίσιο.4: Βασικά θεωρήματα & ιδιότητες DTFT Κώδικας προγραμματισμού Κεφαλαίου Κώδικας.: Παραγωγή και επίδειξη θορυβώδους ημιτονικού σήματος... Κώδικας.: Παραγωγή αναλυτικού σήματος QAM (βασικής ζώνης)... 3 Κώδικας.3: Ψηφιακά φίλτρα FIR Παράδειγμα Κώδικας.4: Δειγματοληψία ζωνοπερατών σημάτων... 3

12 -4 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : Η Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος στις Τηλεπικοινωνίες. Εισαγωγή Ο χώρος και ο χρόνος όπου εξελίσσονται τα φυσικά φαινόμενα είναι συνεχής, τουλάχιστον στη μακροκλίμακα την οποία αντιλαμβάνονται τα αισθητήριά μας. Ωστόσο, η παράσταση και επεξεργασία των φυσικών μεγεθών σε διακριτές θέσεις ή στιγμές είναι περισσότερο κατάλληλη της αντίστοιχης στο συνεχές πεδίο. Το κύριο πλεονέκτημα μιας παράστασης διακριτού χώρου-χρόνου είναι η δυνατότητα αποθήκευσης, επεξεργασίας και αναπαραγωγής αυτών των φυσικών μεγεθών υπό μορφή πεπερασμένου πλήθους δειγμάτων με τη χρήση ψηφιακών μηχανών. Σύνθετοι αλγόριθμοι επεξεργασίας καθίστανται δυνατοί, επιτρέποντας όχι μόνο αυξημένη ποιότητα, σε σχέση προς τις αντίστοιχες «αναλογικές» τεχνικές, αλλά και εντελώς νέες διεργασίες, όπως, για παράδειγμα, την κρυπτογράφηση και τη συμπίεση του όγκου των δεδομένων. Επιπλέον, η οικονομία κλίμακας που επιτυγχάνεται με τη χρήση ψηφιακών μηχανών (όμοιων σε πολλά πεδία εφαρμογών) μειώνει ταυτόχρονα και το απαιτούμενο κόστος. Εξειδικεύοντας τις παραπάνω παρατηρήσεις στην περιοχή των τηλεπικοινωνιών, θα πρέπει να τονίσουμε τη σύγχρονη τάση για πλήρως ψηφιακά συστήματα επικοινωνίας, με μόνα αναλογικά μέρη τις μονάδες «δίπλα» στις κεραίες εκπομπής/λήψης και «δίπλα» στις πηγές/προορισμούς της φερόμενης πληροφορίας (δηλαδή τις μονάδες μετατροπής μεταξύ αναλογικού σήματος και ψηφιακής παράστασής του A/D και D/A και της τελικής ενίσχυσης ή προενίσχυσης, εάν απαιτείται), όπως δείχνεται στο Πλαίσιο.. Για τον μηχανικό τηλεπικοινωνιακού υλικού αυτό σημαίνει ότι δεν χρειάζεται να ασχοληθεί με τη μελέτη και τον σχεδιασμό εξειδικευμένου και δύσκολου hardware. Αρκεί πλέον να γνωρίζει ψηφιακή επεξεργασία σήματος και τη θεωρία, βεβαίως, των τηλεπικοινωνιακών συστημάτων. Γεννήτρια σήματος RF (up-converter Ενισχυτής) Προενισχυτής down-converter Ψηφιοποιητής σήματος RF Μονάδα ψηφιακής επεξεργασίας Μονάδα ψηφιακής επεξεργασίας Ψηφιοποιητής (A/D) - Κάρτα εξόδου (D/A) - Πλαίσιο.: Διάταξη συστήματος ψηφιακής επικοινωνίας

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ψηφιακή επεξεργασία σήματος στις τηλεπικοινωνίες -5. Δειγματοληψία Ψηφιοποίηση Δειγματοληψία είναι η διαδικασία κατά την οποία ένα συνεχώς μεταβαλλόμενο μέγεθος στον χρόνο ή τον χώρο (πίεση, θερμοκρασία, φωτεινή ένταση) απεικονίζεται σε ένα σύνολο δειγμάτων-τιμών σε διακριτές θέσεις του πεδίου ορισμού του εν λόγω φυσικού μεγέθους. Το πλέγμα των σημείων δειγματοληψίας επιλέγεται συνήθως ομοιόμορφο (ομοιόμορφη δειγματοληψία). Το σύνολο των δειγμάτων αποτελεί το σήμα διακριτού χρόνου (ή χώρου). Επειδή το πεδίο τιμών των δειγμάτων είναι εν γένει συνεχές επίσης, για την ψηφιοποίηση χρειάζεται ένα ακόμη βήμα: αυτό της κβάντισης των δειγμάτων. Άρα, δειγματοληψία και κβάντιση είναι τα δύο απαραίτητα βήματα της ψηφιοποίησης. Ο όρος «αναλογικό σήμα» αναφέρεται σε σήματα συνεχούς χρόνου (ή χώρου), ενώ το «ψηφιακό σήμα» συγχέεται πολλές φορές εσφαλμένα με το σήμα διακριτού χρόνου (ή χώρου)... Σήματα διακριτού χρόνου Περιοριζόμαστε στην εξέταση χρονικών σημάτων, ωστόσο τα ίδια ισχύουν και για χωρικά σήματα. Η δειγματοληψία δίνει σήματα διακριτού χρόνου, απαρτιζόμενα από δείγματα σήματος κατά τις χρονικές στιγμές nt s, όπου n ακέραιος και Τ s η περίοδος δειγματοληψίας. Για τη φασματική τους παράσταση (στο πεδίο συχνοτήτων) χρησιμοποιούνται οι εναλλακτικές προσεγγίσεις του Πλαισίου.. Στην (α), παραμένουμε στον συνεχή χρόνο και θεωρούμε μάζες σήματος (κρουστικές) στο διακριτό πλέγμα {nt s}. Ο μετασχηματισμός Fourier (συμβολικά ) του σήματος αυτού προκύπτει ως η περιοδική επανάληψη του φάσματος του αρχικού σήματος στο πλέγμα συχνοτήτων {k/t s}, k ακέραιος, όπως φανερώνουν οι παρακάτω σχέσεις: ' s n Ts t j n T s x ( t) x( t) ( t nt ) x( t) e n ' k X ( f ) X ( f ) (.α) T T s k s x(t) x' ( t) x = t T s * -/T s = f f /T s t (α) F s=/t s f x[n] n (β) DTFT: X ( e ) jf D jnf D n x[ n] e fd=f/fs Πλαίσιο.: Δειγματοληψία παράσταση διακριτού χρόνου

14 -6 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Εξάλλου, λόγω της πρώτης ισότητας για το σήμα x' ( t) στην (.α) είναι: jft jnfts { x'( t)} { x[ n] ( t nts )} x[ n] ( t nts ) e dt x[ n] e (.β) n n n Οι παραπάνω σχέσεις (.α) και (.β) εγκαθιδρύουν την ισοδυναμία μεταξύ του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου του σήματος (σειράς κρουστικών δειγμάτων σήματος) και του Μετασχηματισμού Fourier Διακριτού Χρόνου (Discrete-Time Fourier Transform DTFT) της ακολουθίας (τιμών δειγμάτων σήματος), όπως φαίνεται στο σχήμα.(β) και ορίζεται στις παρακάτω σχέσεις. x[n] x' ( t) DTFT: jf D jnf D ) x[ n] e n / j f D jnf D [ ) e d fd X ( e, IDTFT: x n] X ( e (.) / Μεταξύ των συχνοτήτων συνεχούς και διακριτού πεδίου ισχύει η απλή κανονικοποίηση f D=fT s=f/f s. Στο Παράρτημα Π. συνοψίζονται οι βασικότερες ιδιότητες του DTFT... Ανακατασκευή του σήματος συνεχούς χρόνου Μετατροπή D/A Η διαδικασία ανακατασκευής του αναλογικού σήματος από το ψηφιακό του ισοδύναμο δείχνεται στο παρακάτω σχήμα. Ένας μετατροπέας Digital-to-analog (D/A) παράγει στενούς παλμούς (ιδανικά, κρουστικές συναρτήσεις) ενέργειας ανάλογης των τιμών του σήματος διακριτού χρόνου. Η διέλευση της παραγόμενης παλμοσειράς μέσω βαθυπερατού φίλτρου (Low-Pass Filter LPF) κατάλληλου εύρους διέλευσης W ( f W / ) δίνει το αρχικό αναλογικό σήμα. x[n] o F s n ΙΔΑΝΙΚΟΣ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΑΣ D/A x' ( t) F s=/t s T s t fo f xˆ ( t) ΒΑΘΥΠ. ΦΙΛΤΡΟ f t f f Πλαίσιο.3: Ανακατασκευή σήματος συνεχούς χρόνου από την παράσταση διακριτού χρόνου

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ψηφιακή επεξεργασία σήματος στις τηλεπικοινωνίες -7 Μαθηματικά η διαδικασία αυτή αναλύεται ως εξής: Η κρουστική απόκριση βαθυπερατού φίλτρου συχνότητας αποκοπής W είναι η συνάρτηση δειγματοληψίας (sampling function) με πρώτο μηδενισμό στη θέση /(W) LPF sin( tw ) ( t) hw ( t) A (.3) tw Λόγω της γραμμικής και χρονικά σταθερής συμπεριφοράς του βαθυπερατού φίλτρου, η απόκρισή του στην παλμοσειρά είναι μια σειρά από sampling functions αντίστοιχων υψών. Αν επιλέξουμε τη συχνότητα αποκοπής του φίλτρου ίση με F s/=/τ s, τότε είναι: x' ( t) x sin[ ( t nt s )/ Ts ] ( t nt s ) x[ n] s ( t nt ) / T ˆ( t) x[ n] hf / n n s s (.4) Η σχέση (.4) περιγράφει μια εξιδανικευμένη ανακατασκευή του αρχικού σήματος με παρεμβολή (interpolation) συνεχούς χρόνου, όπως φαίνεται σχηματικά στο παράδειγμα του σχ..4 της επομένης παραγράφου. Δύο είναι οι εξιδανικεύσεις στο Πλαίσιο.3: οι κρουστικές συναρτήσεις στην έξοδο του D/A και το ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο. Συναφείς είναι επίσης οι διαδικασίες της παρεμβολής διακριτού χρόνου ή πύκνωσης του πλέγματος δειγματοληψίας, και της αραίωσης (decimation) που εξετάζονται σε επόμενη παράγραφο...3 Σφάλμα Επικάλυψης (Aliasing error) Από το σχήμα του Πλαισίου. γίνεται φανερό ότι: αν η δειγματοληψία γίνει με συχνότητα μικρότερη του διπλασίου της ανώτερης συχνότητας f o του σήματος (υποδειγμάτιση undersampling, κάτω, δηλαδή, της συχνότητας Nyquist f f ), τότε εμφανίζονται στην περιοχή συχνοτήτων του σήματος «είδωλα» φάσματος από ανώτερες συχνότητες και δεν επιτρέπουν την ακριβή αποκατάσταση του αρχικού σήματος συνεχούς χρόνου. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται επικάλυψη (aliasing), το δε σφάλμα κατά την αποκατάσταση του αρχικού σήματος σφάλμα επικάλυψης (aliasing error). Ως παράδειγμα, ας θεωρήσουμε το σήμα δύο ημιτονικών στις συχνότητες f =/5 Hz και f =/3 Hz x( t) cos( t /5).5sin(t /3) Η υψηλότερη συχνότητα του σήματος αυτού είναι η f o=f =/3. Επομένως, επιλέγοντας συχνότητα δειγματοληψίας F s= Hz (>f o), μπορούμε να ανακτήσουμε χωρίς σφάλμα το αρχικό σήμα από τα δείγματά του, με βάση τη σχέση αναλογικής παρεμβολής (.4), όπως φαίνεται και στο σχήμα (α) του Πλαισίου.4 (η μικρή απόκλιση στην αρχή και στο τέλος του διαστήματος οφείλεται στις οριακές συνθήκες μηδενισμού του σήματος έξω από το εν λόγω διάστημα). N o

16 -8 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Δειγματοληψία και ανακατασκευή (D/A) με παρεμβολή, σήμα δύο ημιτονικών f=.66667, f=.33333, Fs= (>fο).5.5 αρχικό σήμα από τα δείγματα εκ παρεμβολής t (sec) (α) Φάσμα διακριτού χρόνου δύο ημιτονικών f=.66667, f=.33333, Fs= f f f f f (Hz) (β) Πλαίσιο.4: (α) Δειγματοληψία και ανακατασκευή αναλογικού σήματος με παρεμβολή συνεχούς χρόνου (β) Φάσμα σήματος διακριτού χρόνου Εάν, αντί της F s=, επιλεγεί συχνότητα δειγματοληψίας ίση με.5 Hz (<f o), οι συνθήκες Nyquist δεν ικανοποιούνται πλέον, με αποτέλεσμα να παρατηρείται σφάλμα επικάλυψης (aliasing) κατά την ανακατασκευή του σήματος [Πλαίσιο.5(α)]. Στο πεδίο συχνότητας εμφανίζονται είδωλα φάσματος εντός της βασικής ζώνης [,F s/)= [,.5). Συγκεκριμένα, παραμένει η χαμηλή συχνότητα f =.666, εμφανίζεται όμως και η f =.5-f =.666, ενώ η f βρίσκεται πλέον εκτός βασικής ζώνης.

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ψηφιακή επεξεργασία σήματος στις τηλεπικοινωνίες -9 Δειγματοληψία και ανακατασκευή (D/A) με παρεμβολή, σήμα δύο ημιτονικών f=.66667, f=.33333, Fs=.5 (<fο).5.5 αρχικό σήμα από τα δείγματα εκ παρεμβολής t (sec) (α) Φάσμα διακριτού χρόνου δύο ημιτονικών f=.66667, f=.33333, Fs=.5 f f f f f (Hz) (β) Πλαίσιο.5: Επικάλυψη aliasing: (α) πεδίο χρόνου σφάλμα επικάλυψης, (β) πεδίο συχνότητας (με «είδωλο» φάσματος στη βασική ζώνη)

18 - Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο..4 Δειγματοληψία ζωνοπερατών σημάτων Ως ζωνοπερατά σήματα ορίζονται εκείνα των οποίων το φάσμα περιορίζεται σε μια ζώνη συχνοτήτων μακράν της μηδενικής. Τέτοια σήματα προκύπτουν με διαμόρφωση άλλων, βασικής ζώνης, προκειμένου αυτά να μεταδοθούν σε συγκεκριμένο, διαθέσιμο δίαυλο. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να διακριτοποιήσουμε το ζωνοπερατό σήμα s bp(t), εύρους ζώνης W=f h-f l, αρκετά στενού σε σχέση με την ανώτερη συχνότητα f h, δηλαδή: f h nw, n (.5) Μπορούμε να υποθέσουμε, πιο συγκεκριμένα, ότι το s bp(t) προήλθε από σήμα βασικής ζώνης [, W] με διαμόρφωση πλάτους μονής πλευρικής (SSB), η οποία απλώς μετατοπίζει το φάσμα του στην περιοχή [F c=f l, f h ] [Πλαίσιο.6(α)]. Για ένα οποιοδήποτε σήμα του οποίου το φάσμα εκτείνεται μέχρι τη συχνότητα f h η απαιτούμενη συχνότητα δειγματοληψίας, f s, προκειμένου να μην υπάρχει επικάλυψη (aliasing), θα έπρεπε να είναι ίση με τουλάχιστον f h [Πλαίσιο.6(β)]. Στη συγκεκριμένη όμως περίπτωση αρκεί συχνότητα ίση με W, για να δώσει μη επικαλυπτόμενα είδωλα φάσματος, ένα εκ των οποίων εμπίπτει στην αρχική περιοχή βασικής ζώνης, όπως φαίνεται στο Πλαίσιο.6(γ). Ας επισημανθεί ότι το n της σχέσης (.5) πρέπει να είναι περιττό, έτσι ώστε στη βασική ζώνη να έχουμε κανονικό είδωλο φάσματος, και όχι κατοπτρικό, όπως συμβαίνει με άρτιο n. Στο παράδειγμα του σχήματος.6 είναι n=9. Μια τέτοια υποδειγμάτιση ζωνοπερατών σημάτων είναι εξαιρετικά χρήσιμη στις περιπτώσεις διαμόρφωσης στην περιοχή των GHz, όπως των σημάτων κινητών επικοινωνιών, ιδιαίτερα τρίτης γενιάς και πλέον (.8 GHz), και των συστημάτων WiFi και WiMAX (>.4 GHz). Η κανονική δειγματοληψία Nyquist αυτών των σημάτων θα έδινε Gigasamples per second, τα οποία θα ήταν αδύνατον να διαχειριστούμε (ήτοι να αποθηκεύσουμε ή και επεξεργαστούμε). Υπάρχει ωστόσο ένα πρόβλημα: αυτό του θορύβου. Εάν το φάσμα του θορύβου εκτείνεται σε όλη τη ζώνη [, f h], τότε η υποδειγμάτιση με συχνότητα f s=w=f h/n θα προκαλέσει την υπέρθεση στη βασική ζώνη n ειδώλων θορύβου, με αποτέλεσμα τη χειροτέρευση της σηματοθορυβικής σχέσης κατά logn, όπως φαίνεται και στο Πλαίσιο.6(δ). Αυτό σημαίνει ότι θα πρέπει να προηγηθεί της δειγματοληψίας κατάλληλο ζωνοπερατό φιλτράρισμα του σήματος στην περιοχή f h-f l (βλ. σχετικό επεξεργασμένο παράδειγμα.3). [AKOS999], [VAUG99]

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ψηφιακή επεξεργασία σήματος στις τηλεπικοινωνίες - S( f ) F s=/t W S bp ( f ) f SSB (α) f l f h f sampling μ f h (β) f l fs fh f fs f h (γ) f s fl fh f f s W αύξηση πυκνότητας θορύβου κατά τον παράγοντα n = f h / W f W f s W f l f h (δ) f Πλαίσιο.6: (α),(β),(γ): Δειγματοληψία ζωνοπερατού σήματος, (δ) Το πρόβλημα του θορύβου

20 - Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο..5 Διακριτή Παρεμβολή & Αραίωση Πολυρυθμικά συστήματα (multirate systems) Πολλές φορές υπάρχει η ανάγκη αλλαγής της πυκνότητας του πλέγματος δειγματοληψίας, είτε προς τα πάνω (πύκνωση) είτε προς τα κάτω (αραίωση). Αυτό μπορεί να γίνει απευθείας στο ψηφιακό σήμα, χωρίς την ενδιάμεση ανακατασκευή του σήματος συνεχούς χρόνου. Παράδειγμα πύκνωσης κατά δύο (παρεμβολής, δηλαδή, ενός δείγματος μεταξύ γειτονικών δειγμάτων του αρχικού σήματος) δείχνεται στο Πλαίσιο.7, με τις αντίστοιχες φασματικές μεταβολές στη δεξιά πλευρά του σχήματος. Αξίζει να σημειωθεί ότι το «ψηφιακό» φάσμα του σήματος x i[n] [μετά την παρεμβολή, ζεύγος (δ) στο Πλαίσιο.7] είναι συμπιεσμένο στο μισό σε σχέση με αυτό του αρχικού σήματος, λόγω της αναγωγής ως προς διπλάσια συχνότητα δειγματοληψίας. ' x ( t) T t (α) f o Fs f '' x ( t) T t (β) f o Fs f '' x [ n] n (γ).5 fd=f/fs ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ (Ψηφιακό, fcutoff=/4) [n] x i t n (δ).5 fd Πλαίσιο.7: Πύκνωση κατά δύο πλέγματος δειγματοληψίας σήματος Αντίστροφη είναι η διαδικασία της αραίωσης (decimation), κατά την οποία παραλείπονται δείγματα από το αρχικό σήμα, με την προϋπόθεση ότι το νέο αραιωμένο πλέγμα δεν δημιουργεί σφάλμα επικάλυψης, διαφορετικά θα πρέπει να προηγηθεί κατάλληλο βαθυπερατό φιλτράρισμα. Η διαδικασία του Πλαισίου.7 γενικεύεται για πύκνωση κατά L>, με παρεμβολή L- δειγμάτων μεταξύ γειτονικών του αρχικού σήματος. Το βαθυπερατό φίλτρο που θα δώσει το [HARR4], [MITR6]

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ψηφιακή επεξεργασία σήματος στις τηλεπικοινωνίες -3 τελικό σήμα x i[n] είναι ένα L th -band φίλτρο (half-band, για L=, όπως στο Πλαίσιο.7) εκ του γεγονότος ότι έχει συχνότητα αποκοπής /L. Μια ειδική κατηγορία τέτοιων φίλτρων, τα οποία δεν αλλοιώνουν τα δείγματα του αρχικού σήματος, είναι τα φίλτρα Nyquist. Η κρουστική απόκριση αυτών των φίλτρων έχει μηδενική τιμή στα σημεία του αρχικού πλέγματος (ή στα σημεία kl του τελικού πλέγματος). Τα φίλτρα Nyquist θα τα ξανασυναντήσουμε κατά τη συζήτηση της μετάδοσης παλμών με μηδενική παρεμβολή μεταξύ τους. Τέλος, μπορεί να γίνει αλλαγή της πυκνότητας πλέγματος κατά οποιονδήποτε ρητό παράγοντα L/M (αλλαγή, δηλαδή, της συχνότητας δειγματοληψίας από F s σε F s L M ), με συνδυασμό πύκνωσης κατά L και αραίωσης κατά M, όπως δείχνει το Πλαίσιο.8. Πρακτική εφαρμογή τέτοιων διατάξεων έχουμε στα λεγόμενα πολυρυθμικά συστήματα (multirate systems). x[n] L ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ Ηu(z), fcut=/l ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ Ηd(z), fcut=/m M ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ: Η(z)=H u(z)h d(z), f cut=min{/l, /M} Πλαίσιο.8: Αλλαγή πλέγματος δειγματοληψίας συνδυασμός πύκνωσης και αραίωσης..6 Δειγματοληψία στο πεδίο συχνότητας Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) Είδαμε ότι η δειγματοληψία σήματος συνεχούς χρόνου δημιουργεί στο πεδίο συχνοτήτων άπειρα είδωλα φάσματος σε αποστάσεις ίσες με τη συχνότητα δειγματοληψίας F s. Υπό συγκεκριμένες συνθήκες (Nyquist), τα είδωλα αυτά δεν επικαλύπτονται, και η αντίστροφη διαδικασία D/A δίνει το αρχικό σήμα χωρίς σφάλμα επικάλυψης. Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) συσχετίζει το διακριτό σήμα με το φάσμα του στη βασική περιοχή συχνοτήτων, που σε ανηγμένη (ως προς F s) κλίμακα είναι το διάστημα [-½, ½]. Για μια πλήρως ψηφιοποιημένη διαδικασία υπολογισμών, απαιτείται ψηφιοποίηση και στο πεδίο συχνοτήτων. Κατ αναλογία προς τη δειγματοληψία στο πεδίο του χρόνου, η δειγματοληψία στο πεδίο συχνότητας σε πλέγμα σημείων {k/τ s} προκαλεί τη δημιουργία ειδώλων σήματος σε χρονικό πλέγμα {kτ s}. Για να μην υπάρξει επικάλυψη (στο πεδίο του χρόνου πλέον), θα πρέπει η διάρκεια του σήματος, έστω τ, να είναι πεπερασμένη και μάλιστα μικρότερη του τ s (τ<τ s). Ο μετασχηματισμός που συνδέει τα δύο διακριτά πεδία είναι ο Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform- DFT) και ορίζεται ως εξής:

22 -4 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο DFT: X[ k] IDFT: N N j jkn/ N nk N x[ n] e x[ n] WN, k [, N ], WN e (.6α) n n k j N N nk x[ n] X[ k] WN, n [, N ], WN e (.6β) N Είναι προφανές ότι ο DFT συνίσταται στη δειγματοληψία του DTFT σε Ν ισαπέχοντα σημεία στην (ανηγμένη) περιοχή συχνοτήτων [,): DFT DTFT f D k / N : X[ k] X ( e jf D ) k f D N N n x[ n] e j f n D k f D N (.6γ) Σχηματικά, η δειγματοληψία του DTFT και η σχέση του με τον DFT δείχνεται στο Πλαίσιο.9. N 6 X[ k] X ( e k j n N ) N δείγματα DTFT j / W e 6.5 f D x[n] δειγματοληψία N όροι περιοδική επανάληψη n Πλαίσιο.9: DTFT και DFT Ο υπολογισμός του DFT (και του αντιστρόφου του IDFT) απαιτεί εν γένει Ν μιγαδικούς πολλαπλασιασμούς και Ν(Ν-) μιγαδικές προσθέσεις. Όμως έχουν αναπτυχθεί αλγόριθμοι γρήγορου υπολογισμού (με Νlog N πράξεις) που ονομάζονται Fast Fourier Transforms (FFT). Πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι για σήματα πραγματικών τιμών υπάρχει συμμετρία ως προς το μηδέν στο πεδίο συχνότητας, και, στις περιπτώσεις αυτές, αρκούν μόνο Ν/ (μιγαδικά) δείγματα.

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ψηφιακή επεξεργασία σήματος στις τηλεπικοινωνίες Ο Μετασχηματισμός Ζ Ο μετασχηματισμός Ζ είναι κατά βάση μια γενίκευση του DTFT, μετασχηματίζοντας το διακριτού χρόνου σήμα σε μια μιγαδική συνάρτηση με πεδίο ορισμού όλο το μιγαδικό επίπεδο, και όχι μόνο την μοναδιαία περιφέρεια e jπf. Συγκεκριμένα ορίζεται ως Μετασχηματισμός Ζ: n ( z) x[ n z (.7α) n X ] j fn και προφανώς X ( z) j f x[ n] e DTFT{ x[ n]} z e (.7β) n Ο μετασχηματισμός Ζ αποτελεί ένα χρήσιμο εργαλείο για την παράσταση και υλοποίηση διακριτών συστημάτων και σημάτων. Έτσι ένα ψηφιακό φίλτρο δίνεται με τη συνάρτηση μεταφοράς του στο πεδίο Ζ, όπως θα αναλυθεί περαιτέρω στην επόμενη παράγραφο...8 Σχέση μετασχηματισμών FT-DTFT-DFT-Ζ Συνοψίζοντας τη σχέση των μετασχηματισμών Fourier, Discrete-Time Fourier, Discrete Fourier και Ζ έχουμε: Ο μετασχηματισμός Fourier συσχετίζει τα δύο συνεχή πεδία. Δίνει, δηλαδή, το συνεχές φάσμα συνεχών σημάτων. Δειγματοληψία στο πεδίο του χρόνου στο πλέγμα {nt s} δίνει περιοδική επανάληψη του συνεχούς φάσματος στο πλέγμα {n/t s}. Δεν έχουμε επικάλυψη στο πεδίο συχνοτήτων όταν το φάσμα του σήματος περιορίζεται σε συχνότητες κάτω της /(T s). O DTFT συσχετίζει το διακριτό πεδίο χρόνου με το συνεχές πεδίο συχνοτήτων, στην κανονικοποιημένη περιοχή [,). Προκύπτει δηλαδή από τον FT του διακριτοποιημένου σήματος, αφού τεθεί Τ s=. Δειγματοληψία στο πεδίο συχνοτήτων στο πλέγμα {k/τ s} δίνει περιοδική επανάληψη στο πεδίο του χρόνου στο πλέγμα {kτ s}. Δεν έχουμε επικάλυψη στο πεδίο του χρόνου αν το σήμα είναι πεπερασμένης διάρκειας μικρότερης του τ s. Ο DFT συσχετίζει τα δύο διακριτά πεδία: σήμα Ν δειγμάτων με φάσμα Ν δειγμάτων (δειγματοληψίας του DTFT). Οι FFT είναι αλγόριθμοι γρήγορου υπολογισμού του DFT. Για την αντίστροφη μετάβαση, δηλαδή από τους διακριτούς μετασχηματισμούς (DTFT και DFT) στον μετασχηματισμό Fourier φυσικής κλίμακας χρόνου και συχνότητας, αρκεί να καθοριστεί επιπλέον η συχνότητα δειγματοληψίας F s=/t s, οπότε καθορίζεται τόσο η διάρκεια σήματος, τ=ντ s, όσο και το εύρος συχνοτήτων του φάσματός του, (, F s). Ο DTFT προκύπτει από τον υπολογισμό του μετασχηματισμού Ζ στη μοναδιαία D μιγαδική περιφέρεια ( j z e f ), και ο DFT σε Ν διακριτά σημεία επί της jk / N περιφέρειας αυτής ( z e ). Ο DTFT προκύπτει από τον DFT με παρεμβολή, όπως ακριβώς και το συνεχές σήμα από τα δείγματά του.

24 -6 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο.3 Ψηφιακά Φίλτρα Φίλτρο στην ορολογία των σημάτων και συστημάτων είναι οποιοσδήποτε μηχανισμός ή σύστημα, σε υλικό ή λογισμικό, που σκοπό έχει την απόρριψη ανεπιθύμητων σημάτων ή απλώς τον διαχωρισμό σημάτων. Αν και ο ορισμός αυτός είναι γενικός, συνήθως οι προδιαγραφές διαχωρισμού ή απόρριψης τίθενται στο πεδίο συχνοτήτων, με αποτέλεσμα να έχουμε τις γνωστές κατηγορίες φίλτρων: βαθυπερατά, υψιπερατά, ζώνης διέλευσης ή ζώνης αποκλεισμού. Από τις πρώτες εφαρμογές της ψηφιακής τεχνολογίας ήταν η υλοποίηση ψηφιακών φίλτρων, τα οποία δέχονται στην είσοδό τους ψηφιοποιημένα σήματα και δίνουν στην έξοδο «φιλτραρισμένα» σήματα, πάλι σε ψηφιακή μορφή. Ο σχεδιασμός και η υλοποίηση ψηφιακών φίλτρων κάθε κατηγορίας είναι πλέον ένας καλά εδραιωμένος τομέας της επεξεργασίας σημάτων [MITR6], [OPEN998]..3. Μαθηματική περιγραφή και υλοποίηση Κατ αντιστοιχία της περιγραφής των αναλογικών φίλτρων μέσω διαφορικών εξισώσεων, η γενική μαθηματική περιγραφή ενός γραμμικού, χρονικά σταθερού (Linear Time Invariant LTI) ψηφιακού φίλτρου είναι μέσω μιας γραμμικής εξίσωσης διαφορών με σταθερούς συντελεστές: N k M y[ n] d y[ n k] p x[ n k] (.8) k ή, ισοδύναμα, της συνάρτησης μεταφοράς στο πεδίο του μετασχηματισμού Z: M k k k k pk z Z{ y} k H( z) N (.9) Z{ x} k d z Για την (.9) πρέπει να διασφαλιστούν κατάλληλες συνθήκες ευστάθειας: οι πόλοι της πρέπει να βρίσκονται εντός του μοναδιαίου κύκλου. Όπως αναφέρθηκε και στη σχετική παράγραφο για τον μετασχηματισμό Z, η απόκριση συχνότητας του φίλτρου προκύπτει από τον υπολογισμό της Η(z) πάνω στη μοναδιαία περιφέρεια (αν θέσουμε, δηλαδή, όπου z το e jπf ). Αυτό σημαίνει ότι η μοναδιαία περιφέρεια θα πρέπει να βρίσκεται εντός της περιοχής σύγκλισης της Η(z), ήτοι να περικλείει τους πόλους της. Αν έχουμε διαθέσιμη την εξίσωση διαφορών (.8), η υλοποίηση του φίλτρου είναι προφανής, σε λογισμικό είτε σε υλικό, όπως δείχνεται στο Πλαίσιο.. Άλλες εναλλακτικές υλοποιήσεις που βελτιστοποιούν επιμέρους χαρακτηριστικά είναι δυνατές [3, sec. 8.4]. Στην πράξη, όμως, η (.8) δεν είναι γνωστή. Όπως προαναφέρθηκε, δίνονται συνήθως φασματικές προδιαγραφές πλάτους (ενίσχυσης ή απόσβεσης περιοχών συχνοτήτων) και ο σχεδιαστής καλείται να βρει μια εξίσωση στη μορφή (.8) ή μια συνάρτηση του τύπου (.9) που να τις προσεγγίζει, όπως σκιαγραφείται στις επόμενες παραγράφους. k

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ψηφιακή επεξεργασία σήματος στις τηλεπικοινωνίες -7 x[n] p + + y[n] z p + + -d z z z : z p M- p M : + : + -d N- -d N : z Πλαίσιο.: Δομή άμεσης υλοποίησης φίλτρου με συνάρτηση μεταφοράς όπως στην εξίσωση (.9).3. Φίλτρα FIR και IIR Τα ψηφιακά φίλτρα κατηγοριοποιούνται γενικά σε φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης (Finite Impulse Response FIR) και σε φίλτρα άπειρης κρουστικής απόκρισης (Infinite Impulse Response IIR). Σύμφωνα με την τυποποίηση των σχέσεων (.8) και (.9), η συνάρτηση μεταφοράς των FIR έχει παρονομαστή (απουσιάζει το δεξιό μισό τμήμα στη δομή του σχήματος.), επομένως η έξοδος είναι απλά ένας γραμμικός συνδυασμός πεπερασμένου αριθμού δειγμάτων εισόδου. Εξ αυτού, το μεγάλο πλεονέκτημα των FIR φίλτρων είναι η διασφαλισμένη ευστάθεια και η απολύτως γραμμική φάση (εφόσον η κρουστική απόκριση είναι συμμετρική ή αντισυμμετρική ως προς το μέσον της), ιδιότητες στις οποίες οφείλεται και η ευρεία χρήση τους στα τηλεπικοινωνιακά συστήματα. Μειονέκτημα αποτελεί η ανάγκη για μεγάλο μήκος φίλτρου (άρα η αυξημένη υπολογιστική ισχύς και η μεγάλη καθυστέρηση ομάδας, ίση με το μισό μήκος του φίλτρου) για επιθυμητή προσέγγιση της απόκρισης πλάτους. Τα IIR, αντίθετα, μπορούν να πετύχουν πολύ καλή προσέγγιση της επιθυμητής απόκρισης πλάτους με μικρό σχετικά μέγεθος [μικρά Ν και Μ στην εξίσωση (.8)], όμως δεν έχουν εξασφαλισμένη ευστάθεια ούτε γραμμική φάση, με αποτέλεσμα να εισάγουν παραμορφώσεις..3.3 Σχεδιασμός FIR φίλτρων Τα ιδανικά φίλτρα διέλευσης/αποκοπής ζωνών συχνότητας (βαθυπερατά, ζωνοπερατά κ.λπ.) είναι μη πραγματοποιήσιμα. Γενικά, είναι γνωστό ότι δεν είναι δυνατόν να έχουμε ζεύγη μετασχηματισμού Fourier πεπερασμένου μήκους και στα δύο πεδία [CARL9, ch. 3.4]. Ξεκινώντας, λοιπόν, από ιδανικές προδιαγραφές διέλευσης/αποκοπής, οδηγούμαστε σε απείρου μήκους κρουστικές απoκρίσεις, πράγμα το οποίο σημαίνει ότι μόνο προσεγγιστικές FIR υλοποιήσεις μπορούμε να έχουμε.

26 -8 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο.3.3. Σχεδιασμός FIR φίλτρων με τη μέθοδο των παραθύρων Εάν γνωρίζουμε την κρουστική απόκριση ενός ιδανικού φίλτρου (π.χ. αναλυτικά ή μέσω του αντίστροφου μετασχηματισμού), ένας εύκολος τρόπος FIR υλοποίησης είναι με άμεση περικοπή της διαθέσιμης κρουστικής απόκρισης σε πεπερασμένο μήκος L, συμμετρικά ως προς το μηδέν. Επειδή, βεβαίως, ένα πραγματικό σύστημα είναι και αιτιατό (έχει μηδενική έξοδο πριν την εφαρμογή οποιασδήποτε διέγερσης), εισάγουμε μια καθυστέρηση ομάδας (group delay), με ολίσθηση της κρουστικής απόκρισης προς τα δεξιά κατά το μισό της μήκος. Αυτό, στο πεδίο συχνότητας, ισοδυναμεί με πολλαπλασιασμό της προσεγγιζόμενης συνάρτηση πλάτους με τον όρο e jπf(l-)/. Στο Πλαίσιο. δείχνεται περικομμένη η κρουστική απόκριση ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου (F cutoff =.5F s) και η αντίστοιχη απόκριση συχνότητας. Παρατηρούμε υψηλούς πλευρικούς λοβούς, πράγμα που αποτελεί και το βασικό μειονέκτημα αυτής της μεθόδου. Η εξήγηση είναι απλή: περικοπή της κρουστικής απόκρισης είναι πρακτικά πολλαπλασιασμός της με ορθογωνικό χρονικό παράθυρο. Στο πεδίο συχνότητας αυτό ισοδυναμεί με συνέλιξη της προσεγγιζόμενης ιδανικής συνάρτησης με τη συνάρτηση δειγματοληψίας, sin L f L f, της οποίας πράγματι οι πλευρικοί λοβοί παραμένουν για μεγάλο διάστημα υψηλοί, και αυτό αντανακλάται, μέσω της συνέλιξης, και στην τελική απόκριση συχνότητας του φίλτρου καθυστέρηση ομάδας (group delay) Κρουστική απόκριση βαθυπερατού φίλτρου Πλάτος (db) Πλάτος Fc Κανονικοποιημένη συχνότητα (ως προς Fs/) -.5 Φάση (μοίρες) Χρόνος (x Ts) Κανονικοποιημένη συχνότητα (ως προς Fs/) Πλαίσιο.: Περικομμένη κρουστική απόκριση βαθυπερατού φίλτρου και απόκριση συχνότητας Ένας τρόπος διόρθωσης του παραπάνω μειονεκτήματος των περικομμένων ιδανικών κρουστικών αποκρίσεων είναι η χρήση άλλων παραθύρων, αντί του ορθογωνικού. Πολλά δε τέτοια έχουν προταθεί και χρησιμοποιούνται στην πράξη: hamming, Kaiser κ.ά. Στο Πλαίσιο. δείχνονται οι αποκρίσεις (χρόνου και συχνότητας) του βαθυπερατού φίλτρου του Πλαισίου., τώρα σχεδιασμένου με παράθυρο hamming. Στο αριστερό σχήμα έχει υπερτεθεί η συνάρτηση παραθύρου hamming (κωδωνοειδής). Ο σχεδιασμός με παράθυρο Kaiser, ειδικότερα, είναι βέλτιστος, υπό την έννοια ότι η λαμβανόμενη πεπερασμένη κρουστική απόκριση έχει τη μικρότερη ενέργεια πέραν μιας ορισμένης συχνότητας. Οι παρακάτω σχέσεις (.) δίνουν έναν εμπειρικό, παραμετρικό τρόπο υπολογισμού της τάξης του φίλτρου (μήκους κρουστικής απόκρισης) L, με βάση το ανεκτό εύρος μετάβασης f f s f, τη σχετική απόσβεση των πλευρικών λοβών α, p καθώς και την παράμετρο β που υπεισέρχεται στην αναλυτική σχέση υπολογισμού του παραθύρου w k[n].

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ψηφιακή επεξεργασία σήματος στις τηλεπικοινωνίες -9.5 Κρουστική απόκριση βαθυθπερατού φίλτρου, παράθυρο hamming 5 Απόκριση συχνότητας..5 καθυστέρηση ομάδας (group delay) παράθυρο hamming Πλάτος (db) -5 - Πλάτος Κανονικοποιημένη συχνότητα (x Fs/) -.5 Φάση (μοίρες) Χρόνος (x Ts) Κανονικοποιημένη συχνότητα (x Fs/) Πλαίσιο.: Κρουστική απόκριση και απόκριση συχνότητας βαθυπερατού φίλτρου, σχεδιασμένου με παράθυρο hamming a 8 L.85 ( f s f ) (.α) a log p.( a 8.7) a ( a ).7886( a ) a 5 (.β) a w [ n] k I o ( [n /( L )] ), I ( ) o L n L (.γ) όπου Ι ο(x) η τροποποιημένη συνάρτηση Bessel μηδενικής τάξης Σχεδιασμός FIR ισοϋψών κυματώσεων (equiripple design) Μια άλλη μέθοδος σχεδιασμού FIR φίλτρων, η οποία και έχει γίνει λίγο πολύ de facto standard, είναι αυτή των ισοϋψών κυματώσεων, γνωστή και ως Parks-McClellan (από τα ονόματα των εμπνευστών της). Οδηγεί σε βέλτιστα φίλτρα κατά την έννοια της μέσης τετραγωνικής απόκλισης από την επιθυμητή απόκριση. Τα φίλτρα που προκύπτουν παρουσιάζουν ισοϋψείς κυματώσεις τόσο στις ζώνες διέλευσης, όσο και στις ζώνες αποκοπής. Το μήκος των φίλτρων Parks-McClellan δύο ζωνών (π.χ. βαθυπερατών ή υψιπερατών) προσδιορίζεται από την παρακάτω εμπειρική σχέση: L log ( ) 3,.34 ( f s f p ) (.) όπου δ και δ τα σχετικά ύψη των κυματώσεων στις δύο ζώνες.

28 - Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Όλα τα γνωστά πακέτα σχεδιασμού ψηφιακών φίλτρων, του MATLAB συμπεριλαμβανόμενου, διαθέτουν έτοιμες συναρτήσεις παραθύρων και άλλων μεθόδων σχεδιασμού FIR φίλτρων. Στο εργαστηριακό μέρος του κεφαλαίου αυτού δίνονται επεξεργασμένα παραδείγματα με σχεδιασμό και χρήση τέτοιων φίλτρων..3.4 Υλοποίηση FIR φίλτρων Εφόσον έχει προσδιοριστεί η κρουστική απόκριση ενός φίλτρου και είναι πεπερασμένη, η έξοδος για συγκεκριμένο σήμα εισόδου δίνεται από τη συνέλιξη κρουστικής απόκρισης και εισόδου, όπως δείχνει το σχήμα του Πλαισίου.3. h[l-m] είσοδος s[n] y[33] group delay=(l-)/ 33 n s[ n] h[33 n] έξοδος y[n] Πλαίσιο.3: Έξοδος FIR φίλτρου, ως η συνέλιξη της (πεπερασμένης) κρουστικής του απόκρισης h[n], με το σήμα εισόδου s[n] Πρακτικά, είναι άμεσα εφαρμόσιμη η γενική δομή υλοποίησης του σχήματος του Πλαισίου. (περιορισμένη, βεβαίως, στο αριστερό μισό της). Άλλες υλοποιήσεις είναι επίσης δυνατές, όπως σε τμήματα σειράς (cascade form), αφού προηγηθεί παραγοντοποίηση της συνάρτησης μεταφοράς H(z) σε πρωτοβάθμιους και δευτεροβάθμιους παράγοντες [MITR6, ενότ. 8.3, σ. 43]. Τα φίλτρα FIR γραμμικής φάσης, ειδικότερα, έχουν κρουστική απόκριση συμμετρική ή αντισυμμετρική ως προς το μέσον της. Ισχύει δηλαδή: h[ n] h[ L n], ή h[ n] h[ L n] (.) Για τα φίλτρα αυτά, οι ίσοι (ή αντίθετοι) όροι της κρουστικής απόκρισης συνδυάζονται ανά δύο, με αποτέλεσμα να μειώνεται στο μισό ο αριθμός των απαιτούμενων πολλαπλασιαστών. Η καθυστέρηση ομάδας (group delay) που εισάγουν τα φίλτρα αυτά είναι ίση με το μισό του μήκους τους, (L-)/, όπως έχει ήδη αναφερθεί. Στο MATLAB, η συνάρτηση conv(s,h) δίνει τη συνέλιξη μεταξύ των διανυσμάτων s και h, υλοποιώντας έτσι το φίλτρο κρουστικής απόκρισης h στο σήμα s.

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ψηφιακή επεξεργασία σήματος στις τηλεπικοινωνίες -.4 Ψηφιακή Φασματική Ανάλυση Η φασματική ανάλυση σήματος συνίσταται στην επεξεργασία εκείνη που δίνει την κατανομή της ενέργειας του σήματος στις συχνότητες. Σε πρακτικό επίπεδο, οι αλγόριθμοι FFT αποτελούν το κατάλληλο εργαλείο της φασματικής ανάλυσης με ψηφιακό τρόπο. Χρειάζεται, ωστόσο, προσοχή, τόσο κατά την ψηφιοποίηση όσο και κατά τη μετέπειτα επεξεργασία, ώστε να μην εξαχθούν εσφαλμένα συμπεράσματα. Στο Παράρτημα Π.3 δίνονται βασικές σχέσεις υπολογισμού της ενέργειας ή της ισχύος (αναλόγως της κατηγορίας του σήματος) στο διακριτό πεδίο. Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται ένα σήμα του οποίου ζητείται το φάσμα. Εάν δεν γνωρίζουμε το εύρος ζώνης του σήματος, θα πρέπει να το περάσουμε από αναλογικό βαθυπερατό φίλτρο, αλλιώς υπάρχει ο κίνδυνος aliasing κατά τη δειγματοληψία, με εμφάνιση ειδώλων φάσματος από ανώτερες συχνότητες στη βασική ζώνη ενδιαφέροντος. Στη συνέχεια μπορούμε να προχωρήσουμε στην ψηφιοποίηση και την περαιτέρω επεξεργασία. Ο απευθείας υπολογισμός του FFT σε όλο το μήκος του σήματος παρουσιάζει ορισμένα προβλήματα: Πρώτον, για μεγάλα μήκη, είναι δαπανηρός σε υπολογιστική ισχύ και άλλους πόρους (μνήμη). Δεύτερον, δεν ενδείκνυται για επεξεργασία on-line, δηλαδή κατά τη στιγμή λήψης του σήματος και πριν αυτό είναι διαθέσιμο στην ολότητά του. Τέλος, ως εκτιμητής της φασματικής πυκνότητας δεν συγκλίνει, δεν μειώνεται δηλαδή η μεταβλητότητα (variance) της εκτίμησης σε συγκεκριμένη συχνότητα αυξανομένου του αριθμού των δειγμάτων σήματος. Για όλα τα προηγούμενα, και με την υπόθεση ότι οι στατιστικές ιδιότητες του υπό μελέτη σήματος δεν αλλάζουν με τον χρόνο (το σήμα είναι εργοδικό), η μέθοδος που ακολουθείται συνήθως είναι αυτή του τεμαχισμού του σήματος σε τμήματα συγκεκριμένης διάρκειας (σε δύναμη του, ώστε να διευκολυνθεί ο FFT), ο υπολογισμός του φάσματος κάθε τμήματος (περιοδογράμματος) και ο υπολογισμός της μέσης τιμής του φάσματος των τμημάτων. Επειδή, όμως, ο τεμαχισμός είναι στην ουσία πολλαπλασιασμός του σήματος με ορθογωνικό χρονικό παράθυρο, έχουμε στο πεδίο της συχνότητας όλα τα ανεπιθύμητα παρεπόμενα της συνέλιξης της ζητούμενης φασματικής απόκρισης με την sampling function, τα οποία είδαμε και κατά τη μελέτη των ψηφιακών φίλτρων. Το κυριότερο πρόβλημα είναι η «φασματική διαρροή» (spectral leakage), ο συνυπολογισμός δηλαδή στην ισχύ μιας συχνότητας και μέρους της ισχύος γειτονικών συχνοτήτων, στις οποίες απλώνονται οι υψηλοί πλευρικοί λοβοί της sampling function. Το πρόβλημα αυτό αμβλύνεται με τη χρήση κατάλληλων συναρτήσεων παραθύρων, όπως ακριβώς και κατά τον σχεδιασμό ψηφιακών φίλτρων. Το τίμημα βεβαίως είναι ότι, λόγω του ευρύτερου κυρίου λοβού των μη ορθογωνικών παραθύρων, μειώνεται η διακριτική ικανότητα (ο διαχωρισμός, δηλαδή, πολύ κοντινών συχνοτήτων) σε σχέση με το ορθογωνικό παράθυρο. Όλα τα πακέτα ψηφιακής επεξεργασίας σημάτων διαθέτουν συναρτήσεις φασματικής ανάλυσης. Η pwelch() του MATLAB είναι μια τέτοια συνάρτηση. Τεμαχίζει το σήμα σε επικαλυπτόμενα τμήματα, για τα οποία υπολογίζει το φάσμα, αφού κάνει χρήση κατάλληλης (ή υποδεικνυόμενης) συνάρτησης παραθύρου. Στο τέλος υπολογίζει τη μέση τιμή των φασμάτων των τμημάτων [WELC967].

30 - Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο.5 Επεξεργασμένα Παραδείγματα.5. Παράδειγμα.: Παραγωγή και μέτρηση θορύβου Ζητούμενο Α. Σε ημιτονικό σήμα να υπερτεθεί λευκός γκαουσιανός θόρυβος ώστε SNR=db. Να σχεδιαστεί το ιστόγραμμα των δειγμάτων θορύβου, καθώς και τμήμα του θορυβώδους σήματος. Να επαληθευτεί η καθορισθείσα σηματοθορυβική σχέση. Να υπολογιστεί και σχεδιαστεί επίσης η φασματική πυκνότητα του θορυβώδους σήματος (α) με απευθείας υπολογισμό του DFT (FFT), (β) με χρήση της συνάρτησης pwelch() του MATLAB. Τι παρατηρείτε ως προς τις δύο προσεγγίσεις; Β. Να παραχθεί στοχαστικό, μιγαδικό σήμα QAM 6 σημείων, u ~ [ n] x[ n] jy[ n ], x [ n], y[ n] {, 3}, ομοιόμορφης κατανομής. Να υπερτεθεί λευκός γκαουσιανός θόρυβος και να δειχτεί το θορυβώδες σήμα στο μιγαδικό επίπεδο με τη βοήθεια της συνάρτησης scatterplot() του MATLAB για (α) SNR=db, (β) SNR=db. Απάντηση N Α. Η ισχύς διανύσματος σήματος x[n], μήκους έστω Ν, είναι Px x[ n]. Συνεπώς, η N n ισχύς ισομήκους διανύσματος θορύβου που ζητείται να παραχθεί θα πρέπει να είναι ίση με SNR P n P x, ή [ P x ( dbw) SNR( db) ] dbw. Το παρακάτω τμήμα προγράμματος MATLAB υλοποιεί τις ζητούμενες λειτουργίες.. % Παραγωγή και επίδειξη θορυβώδους ημιτονικού σήματος. % καθορισμένου SNR 3. % 4. close all; clear all; 5. f=; % συχνότητα σήματος 6. Fs=8; % συχνότητα δειγματοληψίας 7. t=:/fs:; % χρονικό πλέγμα δειγματοληψίας, διάρκειας sec 8. N=length(t); 9. x=sqrt()*sin(*pi*f*t); % διάνυσμα δειγμάτων ημιτονικού σήματος. Px=sum(x.^)/N % ισχύς σήματος: περίπου watt( dbw). n=wgn(,n,-); % διάνυσμα δειγμάτων λευκού γκαουσιανού θορύβου. Pn= sum(n.^)/length(n) % ισχύς θορύβου: περίπου. (- dbw) 3. % Υπολογισμός και σχεδίαση ιστογράμματος 4. [m,h]=hist(n,3); 5. figure; bar(h,m/length(n)); 6. y=x+n; % το θορυβώδες σήμα 7. figure; 8. plot(t(:5),y(:5)); % Σχεδίαση τμήματος θορυβώδους σήματος 9. % Φασματική ανάλυση θορυβώδους σήματος. figure; pwelch(y,[],[],[],fs);. h=fft(y)/sqrt(n);. figure; plot(*log(abs(h))); Κώδικας.: Παραγωγή και επίδειξη θορυβώδους ημιτονικού σήματος

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ψηφιακή επεξεργασία σήματος στις τηλεπικοινωνίες -3 Β. Το παρακάτω τμήμα προγράμματος (Κώδικας.) παράγει αναλυτικό σήμα QAM με δείγματα ομοιόμορφα κατανεμημένα σε 6 σημεία του μιγαδικού επιπέδου {(±, ±3)+j(±, ±3)}, καθώς και λευκό γκαουσιανό θόρυβο για το ζητούμενο SNR, τον οποίο και υπερθέτει στο σήμα. Ας σημειωθεί ότι οι ισχύες των δύο συνιστωσών (συμφασικής και εγκάρσιας), σήματος ή θορύβου, δίνουν αθροιζόμενες τη συνολική ισχύ του μιγαδικού σήματος (ή θορύβου, αντίστοιχα). Το αποτέλεσμα, δηλαδή, της γραμμής του κώδικα ισούται με το άθροισμα των αποτελεσμάτων των γραμμών 9 και. Ως αποτέλεσμα αυτού, η σηματοθορυβική σχέση ισχύει η ίδια τόσο για την καθεμιά συνιστώσα χωριστά, όσο και για το μιγαδικό σήμα.. % Παραγωγή αναλυτικού σήματος QAM (βασικής ζώνης). % 3. clear all; close all; 4. N=3; % αριθμός δειγμάτων σήματος 5. SNR=; % SNR για κάθε μια από τις δύο εγκάρσιες συνιστώσες 6. x=*randint(,n,4)-3; % τυχαίοι ακέραιοι από τους {-3,-,,3} 7. y=*randint(,n,4)-3; % " 8. u=x+i*y; % αναλυτικό σήμα QAM 9. Px=sum(x.^)/length(x) % ισχύς συμφασικής συνιστώσας (in-phase). Py=sum(y.^)/length(y) % ισχύς εγκάρσιας συνιστώσας (quadrature). Pu=u*u'/length(u) % ισχύς μιγαδικού σήματος. nx=wgn(,length(x),*log(px)-snr); 3. ny=wgn(,length(x),*log(py)-snr); 4. n=nx+i*ny; % σήμα μιγαδικού θορύβου 5. Pn=n*n'/length(n); 6. % η πραγματική σηματοθορυβική σχέση του μιγαδ. σήματος (σε db) 7. SNRcomplex=*log(Pu/Pn) 8. unoisy=u+n; % το μιγαδικό θορυβώδες σήμα 9. scatterplot(unoisy(:)); % διάγραμμα διασκορπισμού. title(['διάγραμμα διασκορπισμού, SNR=',numstr(SNR)]); Κώδικας.: Παραγωγή αναλυτικού σήματος QAM (βασικής ζώνης) Διάγραμμα διασκορπισμού, SNR= Διάγραμμα διασκορπισμού, SNR= 5 Quadrature Quadrature In-Phase In-Phase Πλαίσιο.4: Διαγράμματα διασκορπισμού θορυβώδους αναλυτικού σήματος QAM

32 -4 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο.5. Παράδειγμα.: Ψηφιακά φίλτρα FIR, σχεδιασμός με παράθυρα Ζητούμενο Να σχεδιαστούν και υλοποιηθούν βαθυπερατά φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης (FIR) με τις μεθόδους που παρουσιάστηκαν στο παρόν Κεφάλαιο (των παραθύρων και των ισοϋψών κυματώσεων). Στη συνέχεια, τα φίλτρα να εφαρμοστούν σε ένα πραγματικό σήμα. Η μέθοδος των παραθύρων να ακολουθήσει τα δύο παρακάτω διακριτά βήματα: Α. Αφού υπολογιστεί η κρουστική απόκριση ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου συχνότητας αποκοπής.5f s για ένα μεγάλο σχετικά μήκος (π.χ. L=^3+), στη συνέχεια, αυτή να περικοπεί σε μήκη 3+, 64+ και 8+ δειγμάτων και να σχεδιαστούν οι αντίστοιχες αποκρίσεις συχνότητας. Β. Να τροποποιηθεί μία από τις περικομμένες κρουστικές αποκρίσεις (π.χ. αυτή με μήκος 64+) με παράθυρα hamming και Kaiser και να σχεδιαστούν οι αντίστοιχες αποκρίσεις συχνότητας. Απάντηση Ο Κώδικας.3 υλοποιεί τις ζητούμενες λειτουργίες. Όπως ζητείται, ακολουθούνται δύο εναλλακτικοί τρόποι σχεδιασμού FIR φίλτρων: α) Η μέθοδος των παραθύρων και β) η μέθοδος των ισοϋψών κυματώσεων Οδηγίες για την εκτέλεση του κώδικα Για την εκτέλεση του κώδικα, τον αντιγράφουμε σε ένα αρχείο M-file (αρχείο κειμένου, με κατάληξη.m) ή τον κατεβάζουμε από τη δοσμένη ιστοθέση του βιβλίου, και τον αποθηκεύουμε στο φάκελο εργασίας μας (π.χ. My Documents\MATLAB). Κατεβάζουμε και αποθηκεύουμε στον ίδιο φάκελο το αρχείο sima.mat. Τα αρχεία με κατάληξη.mat χρησιμοποιούνται στο MATLAB για την αποθήκευση μεταβλητών του χώρου εργασίας (workspace) και δεν πρέπει να συγχέονται με τα M-files, που περιέχουν εντολές MATLAB. Η φόρτωση ενός.mat αρχείου πραγματοποιείται με την εντολή load filename, όπου filename το όνομα του αρχείου χωρίς την κατάληξη.mat ή εναλλακτικά από το Open 3 στην καρτέλα Home. Το sima.mat περιέχει δύο μεταβλητές: το διάνυσμα s που περιέχει ένα ηχητικό σήμα, το φάσμα του οποίου εκτείνεται μέχρι περίπου τα 4 KHz, και την τιμή της μεταβλητής F s, που είναι η συχνότητα με την οποία έγινε η δειγματοληψία του ηχητικού σήματος. Παρατηρούμε ότι, στον κώδικα του παραδείγματος, προηγείται η φόρτωση του sima.mat (γραμμή 6), γεγονός που επιτρέπει τη χρήση των μεταβλητών s, F s στο υπόλοιπο τμήμα του (γραμμές 7-44). Η μέθοδος των παραθύρων Η μέθοδος των παραθύρων εφαρμόζεται στις γραμμές 8-38 του κώδικα. Πρώτο βήμα αποτελεί ο ορισμός της απόκρισης συχνότητας H ενός ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου με συχνότητα αποκοπής F s/8 (γραμμή 9), μέσω ενός διανύσματος μήκους Ν = F s, γεγονός που οδηγεί σε ανάλυση συχνότητας f ο = F s /N = Hz. Το διάνυσμα H αποτελείται από μια αλληλουχία μονάδων και μηδενικών που δημιουργούνται από την κλήση των συναρτήσεων ones και zeros, αντίστοιχα. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με αυτές τις συναρτήσεις μπορούμε να συμβουλευτούμε την τεκμηρίωση του MATLAB, πληκτρολογώντας 3 Στην έκδοση Rb μενού File Open.

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ψηφιακή επεξεργασία σήματος στις τηλεπικοινωνίες -5 doc function_name στο παράθυρο εντολών, όπου function_name το όνομα της συνάρτησης. Τα F s/8 πρώτα στοιχεία του H, που αντιστοιχούν στις συχνότητες [,F s/8), είναι μονάδες, ακολουθούν 3F s/4 μηδενικά και άλλες F s/8 μονάδες που αντιστοιχούν στη ζώνη συχνοτήτων 4 [ F s/8, ). Επόμενο βήμα είναι ο υπολογισμός του αντίστροφου διακριτού μετασχηματισμού Fourier (IDFT), που υπολογίζεται από τη συνάρτηση ifft του MATLAB (γραμμή ). Ακολουθεί μια αναδιάταξη του αποτελέσματος του αντίστροφου DFT (γραμμές 3-4), που ισοδυναμεί με ολίσθηση της κρουστικής απόκρισης του φίλτρου κατά το μισό της μήκος. Στη συνέχεια, η κρουστική απόκριση h περικόπτεται σε μήκη 3+, 64+ και 8+ δειγμάτων (γραμμές 5-7). Με τη βοήθεια του wvtool (Window Visualization Tool), απεικονίζονται στο ίδιο διάγραμμα η κρουστική απόκριση και η απόκριση συχνότητας του βαθυπερατού φίλτρου και για τα 3 παραπάνω μήκη (Πλαίσιο.5). Το wvtool χρησιμεύει για την οπτικοποίηση παραθύρων στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας (παρόμοιο είναι το εργαλείο wintool). Παρατηρούμε ότι όσο μεγαλύτερο το μήκος του φίλτρου τόσο μικρότεροι είναι οι πλευρικοί λοβοί στην απόκριση συχνότητας. Για να μειωθούν ακόμα περισσότερο αυτοί οι πλευρικοί λοβοί και οι επιπτώσεις του ορθογωνικού παραθύρου, κατασκευάζονται παράθυρα Hamming και Kaiser (μέσω των συναρτήσεων hamming και kaiser αντίστοιχα, γραμμές 4-5). Τα δύο παράθυρα σχεδιάζονται (γραμμή 6 σχήμα (γ) Πλαισίου.6) και στη συνέχεια εφαρμόζονται στο φίλτρο μήκους 64+ σημείων h64 (γραμμές 7-3). Παρατηρούμε μέσω του wvtool (γραμμή 3 σχήματα (α) και (β) του Πλαισίου.6) τη σαφώς χαμηλότερη στάθμη των πλευρικών λοβών στην απόκριση συχνότητας των παραθύρων Hamming και Kaiser σε σχέση με το ορθογωνικό. Τέλος, το ηχητικό σήμα s φιλτράρεται με καθένα από τα τρία φίλτρα (ορθογωνικό, Hamming, Kaiser), χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση conv που υπολογίζει τη συνέλιξη μεταξύ του σήματος και της κρουστικής απόκρισης του εκάστοτε φίλτρου (γραμμές 33-38). Παράλληλα, υπολογίζεται και σχεδιάζεται η πυκνότητα φάσματος ισχύος κατά Welch με τη βοήθεια της συνάρτησης pwelch. Το αποτέλεσμα δείχνει εμφανώς τη ραγδαία μείωση της φασματικής ισχύος για συχνότητες άνω της F s/8. Μέθοδος ισοϋψών κυματώσεων Η μέθοδος των ισοϋψών κυματώσεων εφαρμόζεται στις γραμμές 4-44 του κώδικα για την κατασκευή ενός φίλτρου Parks-McClellan (μήκους 64+). Η κατασκευή του φίλτρου πραγματοποιείται με την κλήση της συνάρτησης firpm (γραμμή 4). Για τον ορισμό των παραμέτρων εισόδου της firpm μπορούμε να συμβουλευτούμε την τεκμηρίωση του MATLAB. Η εφαρμογή του φίλτρου στο σήμα γίνεται όπως και στην προηγούμενη μέθοδο, με χρήση της συνάρτησης conv (γραμμή 43). Με τις εντολές 45 και 46 μπορούμε να ακούσουμε τα δύο ηχητικά σήματα (το αρχικό,s, και το φιλτραρισμένο, s_lp, αντίστοιχα). 4 Όπως είδατε, η δειγματοληψία στο πεδίο του χρόνου προκαλεί περιοδική επανάληψη του φάσματος του σήματος με περίοδο F s.

34 -6 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο. clear all; close all;. % Το αρχείο "sima.mat" περιέχει το σήμα s και τη συχνότητα 3. % δειγματοληψίας Fs. Το φάσμα του σήματος εκτείνεται σχεδόν σε όλη την 4. % περιοχή συχνοτήτων μέχρι 4 KHz. Πάνω από KHz, όμως, είναι θόρυβος 5. % και πρέπει να φιλτραριστεί. 6. load sima; 7. figure; pwelch(s,[],[],[],fs); 8. % Ορίζεται η ιδανική βαθυπερατή συνάρτηση Η, με συχνότ. αποκοπ. Fs/8 9. H=[ones(,Fs/8) zeros(,fs-fs/4) ones(,fs/8)];. % Υπολογίζεται η κρουστική απόκριση με αντίστροφο μετασχ. Fourier. % Εναλλακτικά, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η αναλυτική σχέση Sa(x). h=ifft(h,'symmetric'); 3. middle=length(h)/; 4. h=[h(middle+:end) h(:middle)]; 5. h3=h(middle+-6:middle+7); 6. h64=h(middle+-3:middle+33); 7. h8=h(middle+-64:middle+65); 8. % figure; stem([:length(h64)-],h64); grid; 9. % figure; freqz(h64,); % σχεδιάζουμε την απόκριση συχνότητας της h64. wvtool(h3,h64,h8); % αποκρίσεις συχνότητας των περικομμένων h. % Οι πλευρικοί λοβοί είναι υψηλοί!. % Πολλαπλασιάζουμε την περικομμένη κρουστική απόκριση με κατάλληλο 3. % παράθυρο. Χρησιμοποιούμε την h64 και παράθυρα hamming και kaiser 4. wh=hamming(length(h64)); 5. wk=kaiser(length(h64),5); 6. figure; plot(:64,wk,'r',:64,wh,'b'); grid; 7. h_hamming=h64.*wh'; 8. % figure; stem([:length(h64)-],h_hamming); grid; 9. % figure; freqz(h_hamming,); 3. h_kaiser=h64.*wk'; 3. wvtool(h64,h_hamming,h_kaiser); 3. % Φιλτράρουμε το σήμα μας με καθένα από τα τρία φίλτρα 33. y_rect=conv(s,h64); 34. figure; pwelch(y_rect,[],[],[],fs); 35. y_hamm=conv(s,h_hamming); 36. figure; pwelch(y_hamm,[],[],[],fs); 37. y_kais=conv(s,h_kaiser); 38. figure; pwelch(y_kais,[],[],[],fs); 39. % 4. % Βαθυπερατό Parks-MacClellan 4. hpm=firpm(64, [..5.5]*, [ ]); 4. % figure; freqz(hpm,); 43. s_pm=conv(s,hpm); 44. figure; pwelch(s_pm,[],[],[],fs); 45. sound(*s); % ακούμε το αρχικό σήμα, s 46. sound(*s_lp); % ακούμε το φιλτραρισμένο σήμα, s_lp Κώδικας.3: Ψηφιακά φίλτρα FIR Παράδειγμα.

35 Ύψος Πλάτος (db) ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ψηφιακή επεξεργασία σήματος στις τηλεπικοινωνίες -7 Βάρος.5 Πεδίο χρόνου Πεδίο συχνότητας Δείγματα (α) Κανονικοποιημένη συχνότητα (ως προς Fs/) (β) Πλαίσιο.5: Βαθυπερατά FIR φίλτρα ορθογωνικού παραθύρου, διαφόρων μηκών: (α) κρουστικές αποκρίσεις, (β) αποκρίσεις συχνότητας.5 Πεδίο χρόνου Πεδίο συχνότητας..5 - Ύψος..5 Πλάτος (db) Δείγματα (α) Κανονικοποιημένη συχνότητα (ως προς Fs/) (β) Δείγμα (γ) Πλαίσιο.6: Βαθυπερατό FIR φίλτρο, τάξης 65, με διάφορα παράθυρα (α) κρουστικές αποκρίσεις, (β) αποκρίσεις συχνότητας, (γ) Συναρτήσεις παραθύρων (Kaiser: κόκκινο, Hamming: πράσινο)

36 -8 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο -6 Φάσμα σήματος, εκτίμηση με Welch -7 Φασματική πυκνότητα (db/hz) Συχνότητα (khz) (α) -6 Φάσμα σήματος, εκτίμηση με Welch -7-8 φασματική πυκνότητα (db/hz) Συχνότητα (khz) (β) -6 Φάσμα σήματος, εκτίμηση με Welch -7-8 Φασματική πυκνότητα (db/hz) Συχνότητα (khz) (γ) Πλαίσιο.7: Φασματική πυκνότητα σήματος: (α) αρχικό, (β) μετά από βαθυπερατό φίλτρο ορθογ. παραθύρου, (γ) μετά από βαθυπερατό φίλτρο παραθύρου Kaiser

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ψηφιακή επεξεργασία σήματος στις τηλεπικοινωνίες Παράδειγμα.3: Δειγματοληψία ζωνοπερατών σημάτων Σε περιβάλλον MATLAB να γίνουν τα ακόλουθα: Α. Να παραχθεί ζωνοπερατό σήμα δύο ημιτονικών, σε συχνότητες f =8 Hz και f = Ηz. Να υπερτεθεί λευκός γκαουσιανός θόρυβος συγκεκριμένης στάθμης και να σχεδιαστεί η πυκνότητα φάσματος ισχύος: (α) με πυκνό πλέγμα δειγματοληψίας f s=8*56 Hz, (β) με πλέγμα f s=56 Hz (περίπου Nyquist). Β. Να γίνει υποδειγμάτιση του παραπάνω ζωνοπερατού σήματος στη συχνότητα 56/7 Hz και να επιδειχτεί και ερμηνευτεί η άνοδος της φασματικής πυκνότητας ισχύος θορύβου. Γ. Να επαναληφθεί το (Β), αφού προηγηθεί ζωνοπερατό φιλτράρισμα στην περιοχή [5, 3] Hz. Απάντηση Ο Κώδικας.4 υλοποιεί τις ζητούμενες λειτουργίες. Σύντομη περιγραφή του κώδικα Καταρχήν σχηματίζεται το διακριτό σήμα των δύο ημιτονικών στο πυκνό πλέγμα σημείων 8*56 Hz. Προστίθεται στη συνέχεια θόρυβος με τη βοήθεια της έτοιμης συνάρτησης awgn(), έτσι ώστε SNR= db. Η πυκνότητα φάσματος ισχύος του θορυβώδους σήματος δείχνεται στο Πλαίσιο.8(α) με τον θόρυβο στο επίπεδο των -43 db. Πράγματι, αφού η ισχύς του σήματος είναι ( +.5 )/=.53, η ισχύς θορύβου για το ζητούμενο SNR θα πρέπει να είναι ίση με.53/. Αλλά η ισχύς αυτή, για το εύρος ζώνης των 8*56/ Hz (μονόπλευρο), είναι ίση με Ν ο*8*56/. Οπότε: Ν ο*8*56/=.53, ή Ν ο=.53/4-43 db Στη συνέχεια, γίνεται υποδειγμάτιση του θορυβώδους σήματος στο πλέγμα Nyquist, 56 Hz. Η πυκνότητα φάσματος ισχύος θορύβου για το πλέγμα αυτό ανεβαίνει πλέον κατά log8 9 db, δηλαδή στα -34 db, όπως πράγματι φαίνεται στο σχήμα του Πλαισίου.8(β). Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, δίνεται χρήσιμο εύρος ζώνης 8 Hz στην περιοχή [5, 3] Hz. Κατά τη θεωρία, η υποδειγμάτιση του ζωνοπερατού αυτού σήματος σε πλέγμα 56/7 (n=7), οδηγεί σε αύξηση του επιπέδου θορύβου κατά log7=,3 db. Αυτό επιβεβαιώνεται από το σχήμα (γ) του Πλαισίου.9, όπου η πυκνότητα θορύβου είναι πράγματι γύρω στα -db, db υψηλότερη του σχήματος (β) στο Πλαίσιο.8. Αν, ωστόσο, πριν την υποδειγμάτιση φιλτράρουμε τον εκτός χρήσιμης ζώνης [5-3]Hz θόρυβο με τη βοήθεια κατάλληλου ζωνοπερατού φίλτρου, τότε στη βασική ζώνη θα εμφανιστεί μόνο ένα είδωλο φάσματος θορύβου, φασματικής πυκνότητας ίσης με αυτήν του ζωνοπερατού (Πλαίσιο.). Το σχήμα (ε) του Πλαισίου.9 δείχνει την απόκριση του φίλτρου ισοϋψών κυματώσεων (Parks-McClellan), τόσο στο πεδίο του χρόνου, όσο και στο πεδίο συχνότητας, προϊόν της εντολής 36 (wvtool()) του Κώδικα.4.

38 -3 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο. % Υποδειγμάτιση ζωνοπερατού σήματος. % % Εύρος ζώνης W=7.5 Hz στην περιοχή γύρω από τη συχνότητα 9 Hz 4. % Σήμα: δύο ημιτονικές + θόρυβος 5. clear all; close all; 6. f=8; f=; % οι συχνότητες των δύο ημιτονικών 7. Fs=56; Ts=/Fs; % συχνότητα και περίοδος δειγματοληψίας - περίπου Nyquist 8. N=^4; % αριθμός δειγμάτων στο πλέγμα Nyquist 9. nsamp=8; Dt=Ts/nsamp; t=dt*[::n*nsamp]; % πυκνό πλέγμα, 8*Nyquist. SNR=; % σηματοθορυβική σχέση db. x=cos(*pi*f*t)+.5*sin(*pi*f*t); % πυκνή δειγματοληψία. xn=awgn(x,snr,'measured'); % προσθήκη θορύβου 3. td=t(:nsamp:length(t)); % πλέγμα Nyquist 4. xd=xn(:nsamp:length(xn)); % διακριτό σήμα, με θόρυβο, πλέγμα Nyquist 5. figure; pwelch(x,[],[],[],fs*nsamp); % fig: χωρίς θόρυβο, πυκνό πλέγμα 6. figure; pwelch(xn,[],[],[],fs*nsamp); % fig: με θόρυβο, πυκνό πλέγμα 7. figure; pwelch(xd,[],[],[],fs); % fig3: με θόρυβο, πλέγμα Nyquist 8. % 9. % ζωνοπερατό φιλτράρισμα στο πυκνό πλέγμα. f=f-3; f=f-; f=f+; f=f+3;. order=56*nsamp;. fpts=[ [f f f f]/fs/nsamp.5]*; 3. mag=[ ]; 4. wt=[ ]; 5. b = firpm(order,fpts,mag,wt); a=; % FIR filter Parks McClellan 6. yn=filter(b,a,xn); 7. % fig4: φάσμα μετά το ζωνοπερατό φιλτράρισμα, πυκνό πλέγμα 8. figure; pwelch(yn,[],[],[],fs*nsamp); 9. % 3. % ζωνοπερατό φιλτράρισμα στο πλέγμα Nyquist 3. order=56; 3. fpts=[ [f f f f]/fs.5]*; 33. mag=[ ]; 34. wt=[ ]; 35. b = firpm(order,fpts,mag,wt); a=; 36. wvtool(b); % απόκριση ζωνοπερατού φίλτρου Parks-McClellan 37. yd=filter(b,a,xd); 38. % fig5: φάσμα μετά το ζωνοπερατό φιλτράρισμα, πλέγμα Nyquist 39. figure; pwelch(yd,[],[],[],fs); 4. % 4. % υποδειγμάτιση σήματος πριν και μετά το ζωνοπερατό φιλτράρισμα 4. sub=7; Fs=Fs/sub; Ts=/Fs; % 43. td=t(:sub*nsamp:length(t)); % πλέγμα υποδειγμάτισης 44. xd=xn(:sub*nsamp:length(xn)); 45. % fig6: φάσμα σήματος χωρίς ζωνοπερατό φιλτράρισμα, 46. % πλέγμα υποδειγμάτισης 47. figure; pwelch(xd,[],[],[],fs); 48. yd=yn(:sub*nsamp:length(yn)); 49. % fig7: φάσμα σήματος μετά ζωνοπερατό φιλτράρισμα (στο πυκνό πλέγμα), 5. % πλέγμα υποδειγμάτισης 5. figure; pwelch(yd,[],[],[],fs); 5. yd3=yd(:sub:length(yd)); 53. % fig8: φάσμα σήματος μετά ζωνοπερατό φιλτράρισμα (στο πλέγμα Nyquist), 54. % πλέγμα υποδειγμάτισης 55. figure; pwelch(yd3,[],[],[],fs); 56. figure; pwelch(yd,[],[],[],fs); 57. yd3=yd(:sub:length(yd)); 58. % fig9: φάσμα σήματος μετά ζωνοπερατό φιλτράρισμα (στο πλέγμα Nyquist), 59. % πλέγμα υποδειγμάτισης 6. figure; pwelch(yd3,[],[],[],fs); Κώδικας.4: Δειγματοληψία ζωνοπερατών σημάτων

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ψηφιακή επεξεργασία σήματος στις τηλεπικοινωνίες -3 Πυκνότητα ισχύος (db/hz) Πυκνότητα ισχύος (db/hz) Φάσμα (δύο ημιτονικές + AWGN), δειγματοληψία με συχνότητα 48 Hz Φάσμα (δύο ημιτονικές + AWGN), δειγματοληψία με συχνότητα 56 Hz Πυκνότητα ισχύος (db/hz) Πυκνότητα φάσματος (db/hz) Συχνότητα (khz) (α) Συχνότητα (Hz) (β) Φάσμα ( ημιτονικές + AWGN), μετά από ζωνοπερατό φιλτράρισμα σε πυκνό πλέγμα (48 Hz) Φάσμα ( ημιτονικές +AWGN), μετά από ζωνοπερατό φιλτράρισμα [5, 3] Hz Συχνότητα(kHz) (γ) Συχνότητα (Hz) (δ).5 Πεδίο χρόνου Πεδίο συχνότητας Ύψος -. Πλάτος (db) Δείγματα (ε) Κανονικοποιημένη συχνότητα (ως προς Fs/ = 8 Hz) Πλαίσιο.8: Φασματική πυκνότητα θορυβώδους σήματος δύο ημιτονικών: (α) με δειγματοληψία πυκνού πλέγματος, (β) με δειγματοληψία πλησίον Nyquist, (γ), (δ) μετά από ζωνοπερατό φιλτράρισμα, (ε) Απόκριση ζωνοπερατού φίλτρου ισοϋψών κυματώσεων (Parks-MacClellan)

40 Πυκνότητα ισχύος (db/hz) -3 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Φάσμα ( ημιτονικές + AWGN) υποδειγμάτιση κατά 5, χωρίς ζωνοπερατό φιλτράρισμα Φάσμα, μετά από ζωνοπερατό φιλτράρισμα σε πυκνό πλέγμα και υποδειγμάτιση 5 - Πυκνότητα φάσματος (db/hz) Συχνότητα (Hz) (α) Συχνότητα (Hz) (β) Φάσμα, μετά απο ζωνοπερατό φιλτράρισμα (στο πλέγμα Nyquist) και υποδειγμάτιση - Πυκνότητα ισχύος (db/hz) Συχνότητα (Hz) (γ) Πλαίσιο.9: Φασματική πυκνότητα στη βασική ζώνη, μετά από υποδειγμάτιση του ζωνοπερατού σήματος: (α) χωρίς ζωνοπερατό φιλτράρισμα, (β) με ζωνοπερατό φιλτράρισμα στο πυκνό πλέγμα, (γ) με ζωνοπερατό φιλτράρισμα στο πλέγμα Nyquist

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ψηφιακή επεξεργασία σήματος στις τηλεπικοινωνίες Εργαστηριακές ασκήσεις προς εκτέλεση.6. Άσκηση. (Φασματική ανάλυση) Ζητούμενο Να γραφεί σε MATLAB συνάρτηση φασματικής ανάλυσης, παρόμοια με την pwelch(): θα δέχεται ως είσοδο διάνυσμα πραγματικού σήματος καθώς και τη συχνότητα δειγματοληψίας, F s, και θα σχεδιάζει τη μονόπλευρη φασματική πυκνότητα του σήματος στην περιοχή [,F s/). Το σήμα θα τεμαχίζεται σε τμήματα μήκους ίσου με τη δύναμη του την πλησιέστερη στο /8 του συνολικού του μήκους, αλλά όχι μικρότερου από 56. Τα τμήματα θα είναι επικαλυπτόμενα κατά 5%. Το τελευταίο τμήμα, εάν υπολείπεται σε μήκος των άλλων, θα αγνοείται. Θα υπολογίζεται με FFT το φάσμα κάθε τμήματος και θα λαμβάνεται η μέση τιμή όλων των τμημάτων. Η συνάρτηση να δοκιμαστεί με το σήμα του παραδείγματος. και να συγκριθεί το αποτέλεσμα με το αντίστοιχο της pwelch(). Παραδοτέο Ένα έγγραφο word ή open office με τον κώδικα MATLAB της εφαρμογής, καθώς και τα σχήματα με τη φασματική πυκνότητα του σήματος, υπολογισμένη () με την pwelch()του MATLAB, () με τη δική σας συνάρτηση. Στον τίτλο των σχημάτων να είναι τυπωμένο (μέσα από τον κώδικα MATLAB) και το ονοματεπώνυμό σας..6. Άσκηση. (Ψηφιακό φίλτρο ζώνης διέλευσης) Ζητούμενο Να σχεδιαστεί και υλοποιηθεί ψηφιακό φίλτρο ζώνης διέλευσης, τέτοιο ώστε εφαρμοζόμενο στο σήμα του παραδείγματος. να αποκόβει κάθε συνιστώσα κάτω των 6 Hz και άνω των 9 Hz. Να δοκιμαστούν δύο προσεγγίσεις σχεδιασμού: (α) Υπολογισμός της κρουστικής απόκρισης του φίλτρου, με αφετηρία την απόκριση συχνότητας, αντίστροφο FFT (όπως στον Κώδικα.3, εντολές 9-5) και εφαρμογή παραθύρου (π.χ. Kaiser). (β) Σχεδιασμός ισοϋψών κυματώσεων, με χρήση της εντολής MATLAB firpm(). Παραδοτέο Ένα έγγραφο word ή open office με τον κώδικα MATLAB της εφαρμογής, καθώς και τα εξής σχήματα: () Απόκριση συχνότητας των δύο φίλτρων, () Φασματική πυκνότητα του σήματος, πριν και μετά το φιλτράρισμα, με τις δύο μεθόδους. Στον τίτλο των σχημάτων να είναι τυπωμένο (μέσα από τον κώδικα MATLAB) και το ονοματεπώνυμό σας.

42 -34 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο.7 Παραρτήματα.7. Παράρτημα Π.: Σειρές Fourier Μετασχηματισμός Fourier (συνεχούς χρόνου) Η πληροφορία μεταφέρεται από σύστημα σε σύστημα εγγραφόμενη σε αναγνώσιμα χαρακτηριστικά ενός κατάλληλου μέσου. Προκειμένου για μετάδοση, γίνεται εγγραφή σε κατάλληλο σήμα που μπορεί να ταξιδέψει υπό μορφή κύματος από τον πομπό στον δέκτη. Η παράσταση των σημάτων στο πεδίο κάποιου μετασχηματισμού (Fourier, Laplace, Ζ) διευκολύνει τη μαθηματική τους ανάλυση και τον σχεδιασμό των συστημάτων που τα παράγουν, τα μεταφέρουν ή και τα επεξεργάζονται. Ειδικά για τα τηλεπικοινωνιακά συστήματα, χρησιμοποιείται κυρίως το μιγαδικό πεδίο μετασχηματισμού Fourier (πεδίο συχνοτήτων: σειρές Fourier, μετασχηματισμός Fourier). Ας θεωρήσουμε ένα απλό ημιτονικό σήμα πολύ μεγάλης (θεωρητικά άπειρης) διάρκειας. Περιγράφεται με τρείς παραμέτρους: πλάτος, συχνότητα και φάση. Με χρήση της ταυτότητας Euler: e jθ =cosθ+jsinθ, μπορεί επίσης να γραφεί με τη βοήθεια ενός μιγαδικού phasor που κινείται με σταθερή κυκλική συχνότητα αντίστροφα προς τη φορά των δεικτών του ωρολογίου. Στο επίπεδο συχνότητας περιγράφεται από το πλάτος και την αρχική φάση του phasor στη συγκεκριμένη συχνότητα περιστροφής του. Το ίδιο αποτέλεσμα θα πάρουμε αν θεωρήσουμε δύο συζυγείς phasors μισού πλάτους που κινούνται (αντίστροφα ο ένας του άλλου) με την ίδια συχνότητα. Έτσι έχουμε την παράσταση δίπλευρου φάσματος. Για πραγματικά σήματα (συζυγείς phasors), λοιπόν, το φάσμα είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν: το μεν πλάτος έχει άρτια συμμετρία, η δε φάση περιττή [βλ. Πλαίσιο.(α)]. Μπορούμε να συνθέσουμε σήματα με υπέρθεση πολλών απλών ημιτονικών σημάτων. Τα σήματα αυτά είναι γραμμικού φάσματος, αφού η ενέργειά τους είναι εκ κατασκευής συγκεντρωμένη σε διακριτές συχνότητες [Πλαίσιο.(β)]. Αντίστροφα, οποιοδήποτε περιοδικό σήμα (ισχύος) μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα απλών ημιτονικών σημάτων, ως σειρά Fourier (Πλαίσιο.). (t)

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ψηφιακή επεξεργασία σήματος στις τηλεπικοινωνίες -35 A To f o o A f o A f o t phasor A f o συζυγείς phasors ( t) Acos( t ) o ( t) Re{ Ae j e jfot } = A e e A e e j jf ot j jf ot πλάτος A πλάτος A/ φάση f o f o μονόπλευρο φάσμα f f f o f o φάση f o f o δίπλευρο φάσμα f f (α) πλάτος t φάση π f π s( t) cos(.6 t ).4cos( t ).cos(.4 t ) (β) Πλαίσιο.: Ανάλυση και σύνθεση αρμονικών: (α) σήμα μιας αρμονικής, (β) σήμα τριών αρμονικών

44 -36 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο ( t) ( t To ), t υ(t) πραγματικό ( t) c n T o To c e n n j nfot ( t) e j nfot n,,,... dt (Εκθετική) Σειρά Fourier, fo T o c * n c n c n e j n ( t) c o n c n cos( nf t ) Τριγωνομετρική Σειρά Fourier o n (α) (t) T o c n Af o sinc( f ) t f o f / / j f sin( ) ot A nfo cn Ae dt T T nf / o o o (β) (t) T o Αυξάνοντας την περίοδο: c n t f o / f (t) To / c n t f / (γ) Πλαίσιο.: (α),(β) Εκθετική και τριγωνομετρική σειρά Fourier περιοδικών συναρτήσεων, (γ) Αυξάνοντας την περίοδο

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ψηφιακή επεξεργασία σήματος στις τηλεπικοινωνίες -37 Στο Πλαίσιο.(γ), ειδικότερα, παρατηρούμε ότι: Ξεκινώντας από ένα περιοδικό σήμα διακριτών παλμών (π.χ. ορθογωνικών παλμών), αν αυξήσουμε την περίοδό του χωρίς να αλλάξουμε το μέγεθος των παλμών, οι γραμμές του φάσματος θα πυκνώσουν, παραμένοντας εντός μιας σταθερής περιβάλλουσας που εξαρτάται μόνο από τον απλό παλμό. Στο όριο, καθώς η περίοδος τείνει στο άπειρο, η περιβάλλουσα «γεμίζει». Η περιβάλλουσα αυτή είναι ο μετασχηματισμός Fourier του παλμού. Ορισμός μετασχηματισμού Fourier και αντιστρόφου: FT: IFT: jft h(t) e h( t) dt H ( f ) - jft H(f) e H ( f ) ds h( t) υπέρθεση αλλαγή κλίμακας ολίσθηση συχνότητας καθυστέρηση h (t) H( f ) ah ( t) bh ( t) ah( f ) bh( f ) f h(at) H a a jfct e h( t) H ( f fc ) j f h ( t ) e H ( f ) j j διαμόρφωση h( t)cos(f c t ) [ H ( f fc) e H ( f fc) e ] n d h( t) n διαφόριση ( jf ) H ( f ) n dt t ολοκλήρωση H ( f ) H () ( f ) h ( u) du jf n t n n d H( f ) πολλαπλασιασμός επι t n h(t) ( j ) n df συνέλιξη h ( u) g( t u) du H ( f ) G( f ) Πλαίσιο.: Βασικές σχέσεις μετασχηματισμού Fourier Ενεργειακές σχέσεις Θεωρήματα Parseval & Rayleigh Integral rheorem: u ( t) v*( t) dt U ( f ) V *( f ) df

46 -38 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Θεώρημα Parseval: P T o T o ( t) dt n c n Θεώρημα Rayleigh: E h( t) dt H ( f ) dt Στο Πλαίσιο.3 συνοψίζονται ζεύγη μετασχηματισμού Fourier, τα οποία παίζουν ιδιαίτερο ρόλο στην ψηφιοποίηση των σημάτων και στις επικοινωνίες. Πλαίσιο.3: Παραδείγματα ζευγών μετασχηματισμού Fourier

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ψηφιακή επεξεργασία σήματος στις τηλεπικοινωνίες Παράρτημα Π.: Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου (DTFT) Ο Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου ορίζεται από τις σχέσεις (ευθεία και αντίστροφη): Ορισμός DTFT: jf D jf D ) x[ n] e n X ( e, x n] X ( e / j f D jnfd [ ) e dfd / (Π.) Θεώρημα Πεδίο διακριτού χρόνου x[n] y[n] Πεδίο συχνότητας X ( e Y ( e jf D j f D Γραμμικότητα ax[ n] by[ n] jf D jf D ax ( e ) by( e ) Χρονική αντιστροφή Χρονική ολίσθηση Ολίσθηση συχνότητας Διαφόριση συχνότητα κατά e x x[ n] [ n no j f on nx[n] ] x[ n] X ( e ) ) j f D X ( e ) jfno jf e X ( e j ( f D fo ) dx e ( j df D ) ) jf D ) Συνέλιξη x [ n]* y[ n] j fd jfd X ( e ) Y ( e ) Διαμόρφωση x [ n] y[ n] j fd j f D X e ) Y ( e ) df / / ( D Πεδίο διακριτού χρόνου Πεδίο συχνότητας [n], n u [ n] ( f k D k) jf D, n e a n e j f o k u[ n], a ( f f k) D ae j f D o Πεδίο διακριτού χρόνου Πεδίο συχνότητας jf x[ n] x [ n] x [ n] D jf D jf D X( e ) X ( e ) jx ( e ) ev x [ n] x ev od [ n] od Ιδιότητες συμμετρίας X ( e X X re im ( e ( e X ( e jf D jf D jf D jf D re X ( e X re im ) X ( e * ) X jf D ) X jf D ( e re ) X ( e ( e ) ) jf D ( e jf D im jf D jf D X ( e ) X ( e ) im ) jf D ) ) jf D ) Πλαίσιο.4: Βασικά θεωρήματα & ιδιότητες DTFT

48 -4 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο.7.3 Παράρτημα Π.3 Υπολογισμός ενέργειας και ισχύος σημάτων στο διακριτό πεδίο Για τον υπολογισμό της ενέργειας ή ισχύος μιας κυματομορφής x(t), ανάλογα με την περίπτωση σήματος, ισχύει: EX x ( t) dt X ( f ) df X T / lim ( ) X( ) T T T / P x t dt S f df όπου για σήματα ισχύος S Χ(f) είναι η πυκνότητα φάσματος ισχύος (Power Spectral Density PSD) της x(t). Για σήματα διακριτού χρόνου που προκύπτουν από δειγματοληψία της x(t) με περίοδο T s, οι αντίστοιχες σχέσεις υπολογισμό της ενέργειας ή ισχύος γίνονται: EX Ts x n n [ ] P x n X N lim [ ] N N nn Ένας απλός τρόπος να εκτιμηθεί η πυκνότητα φάσματος ισχύος της κυματομορφής x(t) είναι να ληφθεί ο DTFT των δειγμάτων του σήματος και μετά να υψωθεί στο τετράγωνο το μέτρο του αποτελέσματος. Αυτός ο εκτιμητής αποκαλείται περιοδόγραμμα (periodogram). Το περιοδόγραμμα ενός πεπερασμένου μήκους L σήματος x[n] ορίζεται ως: P ( f) xx X ( f / f ) d fl s s όπου X d(f) o DTFT του σήματος. Με το μήκος L να τείνει στο άπειρο, το περιοδόγραμμα P xx(f) τείνει στην πυκνότητα φάσματος ισχύος S Χ(f). Ο υπολογισμός του περιοδογράμματος σε πεπερασμένο πλήθος συχνοτήτων kf s/ν, k=,,, Ν δίνει X k Pxx[ k], k,,..., N fl s όπου X k και ο DFT της πεπερασμένου μήκους L σειράς δειγμάτων του σήματος. Η ισχύς του σήματος είναι τότε: P X f X x N N L X k o k n fsl k NL k L n όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει από το θεώρημα Parseval, που για την περίπτωση του DFT εκφράζεται ως: x X N N n n N k k

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ψηφιακή επεξεργασία σήματος στις τηλεπικοινωνίες -4 Στην ειδική περίπτωση περιοδικών σημάτων έχουμε: S ( f ) X [ k] ( f k / T ) P X X k k X [ k] o όπου X[k] οι συντελεστές του αναπτύγματος σε σειρά Fourier και T o η περίοδος του σήματος.

50 -4 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Βιβλιογραφία Αναφορές [AKOS999] Akos, D. M., Stockmaster, M., Tsui, J. B. Y. and Caschera, J., Direct Bandpass Sampling of Multiple Distinct RF Signals, IEEE Transactions on Communications, vol. 47,, no. 7, pp , July 999. [CARL9] Carlson, A. B. and Crilly, P. B., Communication Systems, An Introduction to Signals and Noise in Electrical Communication, 5 th ed., McGraw-Hill, 9. [HARR978] Harris, F., On the use of windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform, Proceedings of the IEEE, vol. 66, no., 978. [HARR4] Harris, F., Multirate Signal Processing, Prentice Hall, 4. [MITR6] Mitra, S. K., Digital Signal Processing, 3 rd ed., McGraw-Hill, 6. [OPEN998] Openheim, A. V., Schafer R. W. and Bruck, J. R., Discrete-Time Signal Processing, nd ed., Prentice Hall, 998. [SKLA] Sklar, B., Ψηφιακές Επικοινωνίες, η έκδοση, Παπασωτηρίου,. (πρωτότυπη έκδοση: Digital Communications, nd ed., Prentice Hall ). [VAUG99] Vaughan, R. G., Scott, N. L. and White D. R., The Theory of Bandpass Sampling, IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 39, pp , Sept. 99. [WELC967] Welch, P. D., The use of Fast Fourier Transform for the estimation of power spectra: A method based on time averaging over short, modified periodograms, IEEE Trans. Audio Electroacoust., vol. AU-5, pp. 7-73, June 967.

51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : Εξομοίωση Ψηφιακή Υλοποίηση Αναλογικών Διαμορφώσεων Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνονται παραδείγματα και ασκήσεις ψηφιακής υλοποίησης βασικών σχημάτων αναλογικής διαμόρφωσης, όπως ΑΜ, SSB, VSB και FM, με στόχο τόσο την εμπέδωση της σχετικής θεωρίας όσο και την εξοικείωση με τις τεχνικές ψηφιακής επεξεργασίας τηλεπικοινωνιακών σημάτων (φιλτράρισμα, μορφοποίηση φάσματος), γνώσεις δηλαδή και δεξιότητες απαραίτητες για την υλοποίηση συστημάτων ψηφιακής επικοινωνίας. Σε παραρτήματα, παρουσιάζονται σχήματα διαμόρφωσης-αποδιαμόρφωσης με τη χρήση του μετασχηματισμού Hilbert και συνοψίζονται οι βασικές πράξεις επεξεργασίας και οπτικοποίησης τηλεπικοινωνιακών σημάτων.

52 - Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Περιεχόμενα Κεφαλαίου. Εισαγωγή Απλή διαμόρφωση ΑΜ (DSB) Πλέγμα δειγματοληψίας Σύντομη θεωρία [PROA5, 3.., 3..], [CARL9, 4.] Παράδειγμα.: Διαμόρφωση ΑΜ (DSB) σήματος Ψηφιακή υλοποίηση διαμόρφωσης (SSB) Σύντομη θεωρία [PROA5, 3..3], [CARL9, 4.4] Παράδειγμα.: Διαμόρφωση SSB σήματος διακριτών τόνων Ψηφιακή υλοποίηση διαμόρφωσης (VSB) Παράδειγμα.3: Φίλτρο VSB Διαμόρφωση VSB Παράδειγμα.4: Σύγκριση SSB-VSB σε διαμόρφωση με σήμα συνεχούς φάσματος Ψηφιακή υλοποίηση διαμόρφωσης FM Σύντομη θεωρία των εκθετικών διαμορφώσεων (PM, FM) [PROA5, 4], [CARL9, 5.] Διαμόρφωση PM και FM με σήμα διακριτών τόνων Παράδειγμα.5: Διαμόρφωση FM με σήμα διακριτών τόνων Παράδειγμα.6: Διαμόρφωση FM με σήμα συνεχούς φάσματος Παραρτήματα Παράρτημα Π.: Ο Μετασχηματισμός HILBERT στις τηλεπικοινωνίες Παράρτημα Π.: Σταχυολόγηση κώδικα MATLAB επεξεργασίας/οπτικοποίησης τηλεπικοινωνιακών σημάτων... 3 Βιβλιογραφία - Αναφορές Πλαίσια Κεφαλαίου Πλαίσιο.: Διαμόρφωση DSB... 3 Πλαίσιο.: Γραφήματα του παραδείγματος. (DSB)... 6 Πλαίσιο.3: Εναλλακτικές υλοποιήσεις SSB: (α) DSBLP (ή ΗP), (β) Τύπου Hartley, (γ) Ισοδύναμο του (β) (για SSB άνω πλευρικής)... 8 Πλαίσιο.4: SSB σήματος τριών τόνων... Πλαίσιο.5: Υλοποίηση VSB-LSB... Πλαίσιο.6: VSB σήματος διακριτών τόνων... 5 Πλαίσιο.7: Σύγκριση SSB-VSB σε σήμα συνεχούς φάσματος... 7 Πλαίσιο.8: Συναρτήσεις Bessel ου είδους... Πλαίσιο.9: FM στενής και ευρείας ζώνης σήματος δύο τόνων... 3 Πλαίσιο.: FM στενής και ευρείας ζώνης σήματος συνεχούς φάσματος... 7 Πλαίσιο.: Ο Μετασχηματισμός Hilbert στις τηλεπικοινωνίες: (α) Κρουστική απόκριση φίλτρου Hilbert (β) Απόκριση συχνότητας (γ) Απόκριση σε τετραγωνικό παλμό (δ) Διαμορφωτής SSB-USB (ε) Αποδιαμορφωτής περιβάλλουσας DSB, (στ) Αποδιαμορφωτής FM... 9 Πλαίσιο.: Σταχυολόγηση κώδικα MATLAB επεξεργασίας/οπτικοποίησης τηλεπικοινωνιακών σημάτων... 3 Κώδικες Κεφαλαίου Κώδικας.: Παράδειγμα διαμόρφωσης DSB... 5 Κώδικας.: Διαμόρφωση SSB με σήμα διακριτών τόνων... 9 Κώδικας.3: Φίλτρο VSB-LSB... 3 Κώδικας.4: Υλοποίηση VSB Σήμα τριών τόνων... 4 Κώδικας.5: Διαμόρφωση FM με σήμα δύο τόνων... Κώδικας.6: Διαμόρφωση FM με σήμα συνεχούς φάσματος... 6

53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων -3. Εισαγωγή Όπως τονίστηκε και στο εισαγωγικό κεφάλαιο, η ψηφιακή τεχνολογία τείνει να εξοβελίσει τις αναλογικές τεχνικές από τα συστήματα των σύγχρονων τηλεπικοινωνιών. Ήδη και τα τελευταία «φρούρια» της αναλογικής τεχνολογίας, η τηλεόραση και το ραδιόφωνο, μεταβαίνουν στην εποχή της ψηφιακής εκπομπής. Ωστόσο, το τελευταίο μέρος ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος (RF up-converter και ενισχυτής εξόδου) είναι κατ ανάγκη αναλογικό, αφού τελικά ένα αναλογικό σήμα θα δημιουργηθεί προς εκπομπή στον διαθέσιμο τηλεπικοινωνιακό δίαυλο. Πέραν αυτού, τόσο το θεωρητικό υπόβαθρο όσο και επιμέρους διαδικασίες της ψηφιακής διαμόρφωσης δανείζονται από τα κλασικά σχήματα της αναλογικής διαμόρφωσης (QAM, VSB, FM), ενώ και η ανάλυση θορύβου βασίζεται θεωρητικά στις στοχαστικές ανελίξεις συνεχούς χρόνου. Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιαστούν ασκήσεις ψηφιακής υλοποίησης βασικών σχημάτων αναλογικής διαμόρφωσης, όπως SSB, VSB και FM, με στόχο τόσο την εμπέδωση της σχετικής θεωρίας όσο και την εξοικείωση με τις τεχνικές ψηφιακής επεξεργασίας τηλεπικοινωνιακών σημάτων (φιλτράρισμα, μορφοποίηση φάσματος), δεξιότητες απαραίτητες για την υλοποίηση συστημάτων ψηφιακής επικοινωνίας.. Απλή διαμόρφωση ΑΜ (DSB) Πλέγμα δειγματοληψίας.. Σύντομη θεωρία [PROA5, 3.., 3..], [CARL9, 4.] Η απλούστερη διαμόρφωση είναι η Διαμόρφωση Πλάτους Διπλής Πλευρικής Ζώνης (ΑΜ Double Side Band DSB). Συνίσταται στον πολλαπλασιασμό ενός ημιτονικού σήματος (φέροντος) με το προς μετάδοση σήμα, υπό τη συνθήκη ότι η συχνότητα φέροντος fc είναι τουλάχιστον διπλάσια του εύρους ζώνης W του σήματος. Το αποτέλεσμα της διαμόρφωσης αυτής είναι η ολίσθηση του φάσματος του σήματος στην περιοχή της συχνότητας του φέροντος (Πλαίσιο.). W f cosπf ct -f c f c -W fc fc+w Πλαίσιο.: Διαμόρφωση DSB Είναι φανερό από το σχήμα. ότι, για να έχουμε σωστή ψηφιακή αναπαράσταση του διαμορφωμένου σήματος (χωρίς σφάλματα επικάλυψης), θα πρέπει το πλέγμα δειγματοληψίας να είναι τόσο πυκνό όσο το διπλάσιο τουλάχιστον της υψηλότερης Στη συμβατική ΑΜ το σήμα ανυψώνεται (με την προσθήκη μιας σταθεράς), ώστε να έχει μόνο θετικές τιμές. Αυτό, στο φάσμα, συνεπάγεται την εμφάνιση μιας κρουστικής στη φέρουσα συχνότητα

54 -4 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο συχνότητας fc+w. Εάν λοιπόν το αρχικό πλέγμα δειγματοληψίας δεν είναι επαρκώς πυκνό (π.χ. είναι κοντά στη συχνότητα Nyquist του αρχικού σήματος βασικής ζώνης), θα πρέπει να γίνει κατάλληλη πύκνωσή του, σύμφωνα με τη μέθοδο που περιγράφηκε στο Κεφ.. Στο παράδειγμα που ακολουθεί, σήμα βασικής ζώνης, εύρους περίπου KHz (για την ακρίβεια, το σήμα έχει φιλτραριστεί με συχνότητα αποκοπής f=.3 KHz, βλ. σχετικό Παράδειγμα.), διαμορφώνει κατά πλάτος φέρον συχνότητας fc=4f. Η αρχική συχνότητα δειγματοληψίας του σήματος είναι Fs=89 Hz. Επειδή (fc+f)=88 > Fs, η συχνότητα δειγματοληψίας δεν επαρκεί για να παρασταθεί σωστά το διαμορφωμένο σήμα και, για τον λόγο αυτόν, γίνεται κατάλληλη πύκνωση πλέγματος... Παράδειγμα.: Διαμόρφωση ΑΜ (DSB) σήματος Σε περιβάλλον MATLAB, να διαβαστεί διάνυσμα σήματος από το σχετικό αρχείο (μαζί διαβάζονται η συχνότητα δειγματοληψίας Fs, καθώς και οι οριακές συχνότητες ζώνης μετάβασης και ζώνης αποκοπής fc(:) του σήματος), και να γίνουν επ αυτού τα ακόλουθα: α) πύκνωση πλέγματος κατά τον παράγοντα 4, β) διαμόρφωση ΑΜ-DSB με συχνότητα φέροντος Fc=4fc(), γ) αποδιαμόρφωση και σύγκριση (τμήματος) του τελικού σήματος με το αρχικό. Σε κάθε στάδιο (α, β, γ) να σχεδιαστεί το φάσμα του αντίστοιχου σήματος. Υλοποίηση Σχολιασμός κώδικα Ο Κώδικας. υλοποιεί τα ζητούμενα του παραδείγματος. Αφού φορτωθεί το σήμα και οι παράμετροι συχνότητας από το αρχείο sima_lp (γραμμή 6), σχεδιάζεται η φασματική πυκνότητα του σήματος (γραμμή 9). Στη συνέχεια γίνεται πύκνωση του πλέγματος δειγματοληψίας και υπολογίζονται οι ανηγμένες τιμές των συχνοτήτων στο νέο πλέγμα (γραμμές, ). Η συνάρτηση upsample απλώς παρεμβάλλει μηδενικά δείγματα (εδώ, τρία ανά ένα δείγμα σήματος), ο δε συντελεστής <4> χρησιμοποιείται για να διατηρήσει τη φασματική πυκνότητα του σήματος στα αρχικά επίπεδα (όχι την ισχύ του, η οποία τετραπλασιάζεται). Έτσι, μετά και το βαθυπερατό φιλτράρισμα που γίνεται στη συνέχεια (υπολογισμός φίλτρου: γραμμή 4, φιλτράρισμα: γραμμή ), η κλίμακα του σήματος παραμένει η ίδια (ας σχεδιαστούν και συγκριθούν για επιβεβαίωση αντίστοιχα τμήματα σήματος, πριν και μετά την πύκνωση του πλέγματος). Στα επόμενα τμήματα κώδικα ακολουθούν: η διαμόρφωση (γραμμή 7), η αποδιαμόρφωση (γραμμές 3-34) και η επαναφορά στο αρχικό πλέγμα (αραίωση κατά 4, γραμμή 37). Τέλος συγκρίνονται αντίστοιχα τμήματα του αρχικού και του τελικού σήματος. Σε καθένα από τα παραπάνω στάδια επεξεργασίας σχεδιάζεται το φάσμα του αντίστοιχου σήματος. Στο Πλαίσιο. συμπεριλαμβάνονται τα αντίστοιχα γραφήματα.

55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων -5. clear all; close all;. %%%% Φόρτωση σήματος και πύκνωση του πλέγματος δειγματολήψίας 3. % Φορτώνεται το σήμα βασικής ζώνης, sima_lp, η συχνότητα 4. % δειγματοληψίας Fs και το διάνυσμα των συχνοτήτων της 5. % ζώνης μετάβασης fc=[f f], ανηγμένων ως προς Fs 6. load sima_lp; 7. F = fc(); % οριακή συχνότητα ζώνης διέλευσης 8. F = fc(); % οριακή συχνότητα ζώνης αποκοπής 9. figure; pwelch(sima_lp, [], [], [], Fs);. s_dense=4*upsample(sima_lp,4); Fs=Fs*4; % πύκνωση πλέγματος. F=F/4; F=F/4; % οι συχνότητες αποκοπής στο νέο πλέγμα. figure; pwelch(s_dense, [], [], [], Fs); 3. % Βαθυπερατό φίλτρο PM 4. order=56; hpm=firpm(order, [ F F.5]*, [ ]); 5. [H,F] = FREQZ(hpm,,5,Fs); % απόκριση συχνότητας του φίλτρου 6. figure; subplot(,,); plot(f,*log(abs(h))); grid; 7. title('απόκριση συχνότητας βαθυπερατού φίλτρου'); 8. subplot(,,); plot(f,phase(h)); grid; 9. %. s=conv(s_dense,hpm); s=s(order/+(:length(s_dense)));. clear s_dense;. figure; pwelch(s, [], [], [], Fs); 3. % add a dc component for conventional AM 4. % s=s+*max(abs(s)); 5. %%%% Διαμόρφωση DSB 6. Fc=4*F; % συχνότητα φέροντος 7. s_dsb=sqrt()*s.*cos(*pi*fc*[:length(s)]'); 8. figure; pwelch(s_dsb, [], [], [], Fs); 9. %%%% Αποδιαμόρφωση DSB 3. s_dsb_dm=sqrt()*s_dsb.*cos(*pi*fc*[:length(s_dsb)]'); 3. figure; pwelch(s_dsb_dm, [], [], [], Fs); 3. % 33. s_dsb_lp=conv(s_dsb_dm,hpm); 34. s_dsb_lp=s_dsb_lp(order/+(:length(s))); 35. figure; pwelch(s_dsb_lp, [], [], [], Fs); 36. %%%% Επαναφορά στο αρχικό πλέγμα 37. s_dsb_lp=downsample(s_dsb_lp,4); Fs=Fs/4; 38. figure; pwelch(s_dsb_lp, [], [], [], Fs); 39. %%%% Σύγκριση με το αρχικό σήμα 4. n=[:4]; 4. t=[:length(sima_lp)]'/fs; 4. figure; plot(t(n),sima_lp(n),t(n),s_dsb_lp(n),':'); grid; 43. axis([min(t(n)) max(t(n)).*min(sima_lp(n)) *max(sima_lp(n))]); 45. legend('αρχικό σήμα',' τελικό σήμα'); Κώδικας.: Παράδειγμα διαμόρφωσης DSB

56 -6 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο -6 Φάσμα αρχικού σήματος -6 Σήμα, μετά την παρεμβολή μηδενικών δειγμάτων στο πυκνό πλέγμα (x4) Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) upsampling Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Συχνότητα (khz) Συχνότητα (khz) -6 Φάσμα σήματος, μετά την πύκνωση του πλέγματος δειγματοληψίας LP Απόκριση συχνότητας βαθυπερατού φίλτρου, order=56, F s =3768 Hz Φασματική πυκνότητα ισςχύος (db/hz) Ενίσχυση (db) Φάση Συχνότητα (khz) Συχνότητα (Hz) modulation - DSB -7 Σήμα DSB, F c =495 Hz, F s =3768 Hz -6 Σήμα κατά την αποδιαμόρφωση, πριν το φίλτρο LP -8-7 Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) demodulation Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Συχνότητα (khz) Συχνότητα (khz) -6 Φάσμα τελικού σήματος (μετά mod-dem DSB) LP & downsampling -7 Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Συχνότητα (khz) x -3 8 Αρχικό σήμα τελικό σήμα 6 4 Πλάτος Χρόνος (sec) Πλαίσιο.: Γραφήματα του παραδείγματος. (DSB)

57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων -7.3 Ψηφιακή υλοποίηση διαμόρφωσης (SSB).3. Σύντομη θεωρία [PROA5, 3..3], [CARL9, 4.4] Όπως διαπιστώθηκε και πειραματικά στην προηγούμενη παράγραφο, η διαμόρφωση ΑΜ στην απλή μορφή της Διπλής Πλευρικής Ζώνης (Double Side-Band DSB με ή χωρίς τη φέρουσα) παράγει φάσμα εύρους διπλάσιου αυτού του αρχικού (πραγματικού) σήματος, με δύο συμμετρικές συνιστώσες, πάνω και κάτω από τη συχνότητα φέροντος fc. Είναι φανερό ότι γίνεται σπατάλη φάσματος, η οποία αίρεται με δύο εναλλακτικές διαμορφώσεις: (i) διαμόρφωση QAM, κατά την οποία εκπέμπονται στην ίδια ζώνη συχνοτήτων δύο ανεξάρτητα σήματα, ως το πραγματικό και φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού σήματος (για το οποίο δεν υφίσταται πλέον συμμετρία φάσματος ως προς fc), (ii) διαμόρφωση Μονής Πλευρικής Ζώνης (Single Side-Band SSB). H SSB διατηρεί και μεταδίδει τη μία μόνο πλευρική ζώνη φάσματος (πάνω ή κάτω από τη συχνότητα φέροντος). Δύο εναλλακτικές υλοποιήσεις SSB σε ψηφιακή μορφή δείχνονται στο Πλαίσιο.3: (α) με παραγωγή σήματος DSB σε πρώτο στάδιο και φιλτράρισμα αυτού, στη συνέχεια, με βαθυπερατό ή υψιπερατό φίλτρο, συχνότητας αποκοπής fc, (β) ως QAM του σήματος και του Hilbert μετασχηματισμού αυτού (δομή διαμορφωτή Hartley). Στο κάτω μέρος του Πλαισίου.3 δείχνεται μια δομή ισοδύναμη με αυτήν του (β)..3. Παράδειγμα.: Διαμόρφωση SSB σήματος διακριτών τόνων Α. Να σχηματιστεί σήμα τριών τόνων, s( t) a cos(f t) a cos(f t) a3 cos(f 3t), και στη συνέχεια εκείνο της διαμόρφωσης SSB-LSB (Single Side-Band Lower Side Band) για δοσμένη συχνότητα φέροντος fc, με τις εξής τεχνικές: α) QAM του σήματος s(t) και του μετασχηματισμού Hilbert,, αυτού: ssb _ lsb s( t)cos(f t) sˆ( t)sin(f t) (διαμορφωτής SSB τύπου Hartley), c c sˆ ( t) β) με βαθυπερατό φιλτράρισμα του σήματος DSB-SC με συχνότητα αποκοπής την fc. Β. Να γίνει η αποδιαμόρφωση και να συγκριθεί το λαμβανόμενο σήμα με το αρχικό (τμήμα αυτών). Γ. Σε κάθε στάδιο των Α και Β παραπάνω να σχεδιαστεί το αντίστοιχο φάσμα. Υλοποίηση Κώδικας., με αποτελέσματα στο Πλαίσιο.4.

58 -8 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Διαμόρφωση απλής πλευρικής ζώνης (SSB) W f -fc fc -fc fc cosπfct fc ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ -fc (α) s(t) Μετ/σμός Hilbert cosπfct sˆ ( t) (β) sinπfct με αφαίρεση παίρνουμε την άνω πλευρική W f W f -f f c f c c+w f σήμα s(t) MATLAB: hilbert(s) st () s( t) jsˆ ( t) σήμα SSB-USB + e x j( fct) Re(.) Μετα/σμός HILBERT x j st ˆ( ) (γ) Η συνάρτηση hilbert() του MATLAB, επιστρέφει απευθείας το μιγαδικό σήμα. Πλαίσιο.3: Εναλλακτικές υλοποιήσεις SSB: (α) DSBLP (ή ΗP), (β) Τύπου Hartley, (γ) Ισοδύναμο του (β) (για SSB άνω πλευρικής)

59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων -9. %% Παραγωγή σήματος τριών τόνων και διαμόρφωση SSB. % 3. clear all; close all; 4. %% σήμα βασικής ζώνης - τριών τόνων 5. f=; f=3; f3=; 6. Fs=8; % συχνότητα δειγματοληψίας 7. order=56; % τάξη FIR φίλτρων 8. Fc=3; % συχνότητα φέροντος 9. t=[:/fs:]'; % πλέγμα δειγματοληψίας. s=4*cos(*pi*f*t)+8*cos(*pi*f*t)+*cos(*pi*f3*t);. % φάσμα σήματος βασικής ζώνης. figure; pwelch(s,[],[],[],fs); 3. %% Φίλτρο μετασχηματισμού Hilbert και αναλυτικό σήμα 4. % κρουστική απόκριση φίλτρου (FIR) 5. b=firpm(order,[..99], [ ], 'Hilbert'); 6. a=; 7. figure; stem(b(order/-8:order/+9)); grid; 8. % απόκριση συχνότητας φίλτρου 9. [H,F] = freqz(b,a,5,fs);. figure;. subplot(,,); plot(f,*log(abs(h))); grid;. title('απόκριση συχνότητας φίλτρου μετασχ. Hilbert'); 3. subplot(,,); plot(f,phase(h)); grid; 4. % 5. u=[zeros(,order/) zeros(,order/)]; % φίλτρο καθυστέρησης 6. s=conv(s,u); % αρχικό σήμα, καθυστερημένο κατά order/ 7. s=conv(s,b); % ο μετασχηματισμός Hilbert του σήματος 8. s = s(order/+(:length(s))); % περικοπή ουρών 9. s = s(order/+(:length(s))); % " 3. % 3. %% Εναλλακτική υλοποίηση φίλτρου Hilbert με τη μέθοδο παραθύρων 3. % 33. % order=4*64; % πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του % h(order/+)=; 35. % for i=:order/4 36. % h(order/++*i)=; h(order/+-*i)=; 37. % h(order/+*i)=/pi/(*i-); 38. % h(order/-*i)=/pi/(*i-); 39. % end 4. % freqz(h); % παρατηρήστε τις κυματώσεις κοντά στις οριακές συχν 4. % wk=kaiser(length(h),5); hw=h.*wk ; 4. % freqz(hw); % τώρα είναι καλύτερα! 43. % Κώδικας.: Διαμόρφωση SSB με σήμα διακριτών τόνων (συνεχίζεται)

60 - Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο (συνέχεια) 44. %% Διαμόρφωση SSB κάτω πλευρικής ζώνης (τύπου Hartley) 45. ssb=sqrt()*(s.*cos(*pi*fc*t)+s.*sin(*pi*fc*t)); 46. % άνω πλευρική SSB 47. % ssb=sqrt()*s.*cos(*pi*fc*t)-s.*sin(*pi*fc*t); 48. figure; pwelch(ssb,[],[],[],fs); % φάσμα σήματος SSB 49. %% Εναλλακτική παραγωγή σήματος ssb: dsb -->lp--> ssb 5. dsb=sqrt()*s.*cos(*pi*fc*t); % σήμα ΑΜ (DSB-SC) 5. figure; pwelch(dsb,[],[],[],fs); % φάσμα σήματος DSB-SC 5. fpts=[ Fc-.98*f Fc+.98*f Fs/]*/Fs; 53. b = firpm(order,fpts,[ ], [ ]); 54. ssb=conv(dsb,b); ssb=ssb(order/+(:length(s))); 55. ssb=*ssb; % διόρθωση κλίμακας για το ssb 56. figure; pwelch(ssb,[],[],[],fs); % φάσμα σήματος ssb 57. % 58. clear z z z; 59. %% αποδιαμόρφωση z=sqrt()*ssb.*cos(*pi*fc*t); 6. figure; pwelch(z,[],[],[],fs); 6. % Βαθυπερατό φίλτρο Parks-McClellan 63. F=.*f3/Fs; F=.5*F; 64. fpts=[ F F.5]*; 65. mag=[ ]; 66. wt=[ ]; 67. b = firpm(order,fpts,mag,wt); 68. a=; 69. % απόκριση βαθυπερατού φίλτρου 7. % [H,F] = freqz(b,a,5,'whole',fs); 7. figure; freqz(b,a,5,fs); 7. % Βαθυπερατό φιλτράρισμα 73. z_lp=conv(z,b); z_lp=z_lp(order/+(:length(s))); 74. figure; pwelch(z_lp,[],[],[],fs); 75. figure; 76. n=[:3]; t=t(n)*; 77. subplot(,,); plot(t,s(n)); 78. maxs=max(s); mins=min(s); 79. axis([min(t) max(t) mins*. maxs*.]); 8. title('αρχικό σήμα '); 8. grid; 8. subplot(,,); plot(t, z_lp(n)); 83. axis([min(t) max(t) mins*. maxs*.]); 84. xlabel('χρόνος (msec)'); 85. title('σήμα μετά την αποδιαμόρφωση'); 86. grid; Κώδικας.: (συνέχεια) Διαμόρφωση SSB Σήμα διακριτών τόνων

61 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων - Φάσμα σήματος βασικής ζώνης, τριών τόνων -- f =, f =3, f 3 = Φάσμα DSB σήματος τριών τόνων, f =, f =3, f 3 =, F c =3, F s =8 3 Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) DSB-SC Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Συχνότητα (Hz) Συχνότητα (Hz).8.6 Κρουστική απόκριση φίλτρου μετασχηματισμού Hilbert LP.4. 3 Φάσμα SSB-LSB σήματος τριών τόνων, f =, f =3, f 3 =, F c =3, F s =8 Πλάτος Φάση Απόκριση συχνότητας φίλτρου μετασχ. Hilbert, order=56, F s =8 SSB με διαμορφωτή τύπου Hartley Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Συχνότητα (Hz) demodulation Συχνότητα (Hz) 3 Φάσμα, αποδιαμορφωμένου SSB, πριν το βαθυπερατό φιλτράρισμα Πλάτος (db) Απόκριση συχνότητας βαθυπερατού φίλτρου Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Φάση (μοίρες) Συχνότητα (Hz) LP Συχνότητα (Hz) Φάσμα, αποδιαμορφωμένου SSB, μετά το βαθυπερατό φιλτράρισμα - αρχικό σήμα Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) σήμα μετά την αποδιαμόρφωση Συχνότητα (Hz) χρόνος (msec) Πλαίσιο.4: SSB σήματος τριών τόνων

62 - Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο.4 Ψηφιακή υλοποίηση διαμόρφωσης (VSB) Το πλεονέκτημα της SSB είναι η εξοικονόμηση εύρους ζώνης, αφού χρησιμοποιεί το ελάχιστο δυνατό (ίσο με αυτό του σήματος βασικής ζώνης). Ωστόσο, το φίλτρο που χρησιμοποιεί, είτε το βαθυπερατό του σχήματος.3(α) (μετά την DSB) είτε του μετασχηματισμού Hilbert [Πλαίσιο.3(γ)], θα είναι πάντα μια προσέγγιση του ιδανικού και, σε κάθε περίπτωση, θα παραποιεί (σε μικρότερο ή μεγαλύτερο βαθμό) το φάσμα του αρχικού σήματος κοντά στη μηδενική συχνότητα. Όσο αυστηρότερες είναι οι προδιαγραφές του φίλτρου αυτού, τόσο «ακριβότερη» γίνεται και η υλοποίηση του διαμορφωτή. Δεν είναι, λοιπόν, η SSB η πλέον κατάλληλη διαμόρφωση για σήματα που έχουν σημαντικό ενεργειακό περιεχόμενο στις χαμηλές συχνότητες, όπως συμβαίνει π.χ. με το σήμα τηλεόρασης. Η διαμόρφωση υπολειπόμενης πλευρικής ζώνης (Vestigial Side-Band VSB) είναι ένας συμβιβασμός μεταξύ DSB και SSB. Στέλνει τη μια πλευρική ζώνη (άνω ή κάτω) με κατάλοιπο της άλλης. Το φίλτρο που χρησιμοποιεί παρουσιάζει μια αντισυμμετρία πλάτους ακριβώς στη συχνότητα φέροντος, με αποτέλεσμα μετά την αποδιαμόρφωση το φάσμα σήματος βασικής ζώνης να αποκαθίσταται χωρίς παραμορφώσεις (Πλαίσιο.5). DSB W f -fc fc LP (VSB) -fc fc cosπf ct -fc fc ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟ VSB ΦΙΛΤΡΟ Πλαίσιο.5: Υλοποίηση VSB-LSB.4. Παράδειγμα.3: Φίλτρο VSB Διαμόρφωση VSB A. Να γραφεί συνάρτηση MATLAB για τον υπολογισμό FIR φίλτρου VSB γραμμικής πτώσης, με τις εξής παραμέτρους εισόδου: συχνότητα φέροντος, συχνότητα δειγματοληψίας, συντελεστή εξάπλωσης (roll-off), καθυστέρηση ομάδας (εναλλακτικά, τάξη) του φίλτρου. Να επιστρέφει τη χρονική απόκριση (συντελεστές FIR) του φίλτρου. Να σχεδιαστεί η απόκριση χρόνου και συχνότητας του εν λόγω φίλτρου για τιμές παραμέτρων της επιλογής σας. B. Με χρήση του φίλτρου του ερωτήματος Α, να επαναληφθούν τα ερωτήματα του παραδείγματος., τώρα για διαμόρφωση VSB-LSB.

63 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων -3 Υλοποίηση Σχολιασμός κώδικα Α. Ο υπολογισμός των συντελεστών του ζητούμενου FIR φίλτρου γίνεται από τη συνάρτηση vsb_lb_fltr() του Κώδικα.3. Ξεκινάει με τη λήψη δειγμάτων της επιθυμητής απόκρισης πλάτους, μιας συνάρτησης σε μορφή ισοσκελούς τραπεζίου, με τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών στις θέσεις -fc, fc (όπως δείχνει και το σχήμα στο Πλαίσιο.5) και κλίση πτώσης από τη ζώνη διέλευσης στη ζώνη αποκοπής προσδιοριζόμενη από τον συντελεστή εξάπλωσης (roll-off). Στη συνέχεια, υπολογίζεται η κρουστική απόκριση του φίλτρου ως ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier αυτών των δειγμάτων (με τη βοήθεια της σχετικής συνάρτησης ifft() του MATLAB, και επιβολή συμμετρίας κατά την αντιστροφή). Η δειγματοληψία της απόκρισης συχνότητας γίνεται σε ένα πυκνό πλέγμα σημείων (*delay*dense), για λόγους ακρίβειας. Η λαμβανόμενη κρουστική απόκριση περικόπτεται τελικά στο επιθυμητό μήκος (*delay), πολλαπλασιάζεται με παράθυρο kaiser και κανονικοποιείται σε μοναδιαία ισχύ.. % function vsb_lb_filter VSB-LSB filter. % 3. function vsb_lb_fltr=vsb_lb_filter(fc,fs,rolloff,delay) 4. F = Fc/Fs; 5. % υπερδειγμάτιση της απόκρισης συχνότητας, για ακρίβεια 6. dense=3; 7. a = rolloff; F=F*(-a); F=F*(+a); % ακραίες συχνότητες 8. M = *delay*dense; % αριθμός δειγμάτων συχνότητας 9. for k=:m/. f=(k-)/m;. if (f<f) Ho(k)=;. elseif (f>f) Ho(k)=; 3. else Ho(k)=max(,-(f-F)/(F-F)); 4. end 5. Ho(M/+)=; Ho(M+-k)=Ho(k); 6. end 7. H=Ho.*exp(j*pi*(M+)/(M+)*[:M]); 8. % stem([:m], abs(ho)); 9. h=ifft(h,'symmetric');. % περικοπή ουρών. N=M/dense;. for k=-n/:n/ 3. vsb_lb(k+n/+)=h(m/++k); 4. end 5. % παράθυρο Kaiser και κανονικοποίηση 6. wk=kaiser(length(vsb_lb)); 7. vsb_lb =vsb_lb.*wk'; 8. vsb_lb_fltr=vsb_lb/sqrt(sum(vsb_lb.^)); 9. end Κώδικας.3: Φίλτρο VSB-LSB Β. Η υλοποίηση του διαμορφωτή VSB (Κώδικας.4) δεν παρουσιάζει κάποια ιδιαιτερότητα. Σχηματίζεται, καταρχήν, το σήμα βασικής ζώνης τριών τόνων (όπως και στο παράδειγμα., Κώδικας.), το οποίο διαμορφώνει κατά DSB φέρον

64 -4 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο συχνότητας fc και, στη συνέχεια, φιλτράρεται με φίλτρο VSB, όπως αυτό υπολογίζεται με κλήση της συνάρτησης του Κώδικα.3. Η αποδιαμόρφωση είναι όμοια με αυτήν των DSB και SSB.. clear all; close all;. f=; f=3; f3=; 3. Fc=3; Fs=8; order=56; 4. t=[:/fs:]; 5. s=4*cos(*pi*f*t)+8*cos(*pi*f*t)+*cos(*pi*f3*t); 6. figure; pwelch(s, [], [], [], Fs); 7. dsb=sqrt()*s.*cos(*pi*fc*t); 8. figure; pwelch(dsb, [], [], [], Fs); 9. delay=order/8; rolloff=.;. vsb_lb_fltr=vsb_lb_filter(fc, Fs, rolloff, delay);. %. % απόκριση συχνότητας & χρόνου του φίλτρου vsb 3. [H,f]=freqz(vsb_lb_fltr,,4); 4. H=H/max(abs(H)); f=f*fs//pi; 5. figure; 6. subplot(,,); 7. stem(vsb_lb_fltr(delay-3:delay+3)); 8. title('κρουστική απόκριση φίλτρου vsb '); 9. subplot(,,);. plot(f, abs(h));. axis([ Fs/.]); grid;. xlabel('συχνότητα (Hz)'); 3. title('απόκριση συχνότητας (πλάτος) φίλτρου vsb '); 4. hold off; 5. %% Φιλτράρισμα με το φίλτρο VSB 6. vsb_lb=conv(dsb,vsb_lb_fltr); 7. % vsb_lb = awgn(vsb_lb,5,'measured'); % πρόσθεση θορύβου 8. vsb_lb=vsb_lb(delay+(:length(s))); 9. figure; pwelch(vsb_lb, [], [], [], Fs); 3. % 3. %% demodulation 3. s_dm=sqrt()*vsb_lb.*cos(*pi*fc*t); 33. figure; pwelch(s_dm, [], [], [], Fs); 34. %% Βαθυπερατό φιλτράρισμα και γραφήματα τελικού σήματος 35. hpm=firpm(order, [ f3*.5/fs f3*/fs.5]*, [ ]); 36. s_pm=conv(s_dm,hpm); s_pm=s_pm(order/+(:length(s))); 37. figure; pwelch(s_pm, [], [], [], Fs); 38. figure; 39. n=[:3]; t=t(n)*; 4. subplot(,,); plot(t,s(n)); 4. maxs=max(s); mins=min(s); 4. axis([min(t) max(t) mins*. maxs*.]); 43. title('αρχικό σήμα'); grid; 44. subplot(,,); plot(t, s_pm(n)); 45. axis([min(t) max(t) mins*. maxs*.]); 46. xlabel('χρόνος (msec)'); 47. title(τελικό σήμα'); grid; Κώδικας.4: Υλοποίηση VSB σήμα τριών τόνων

65 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων DSB-SC κρουστική απόκριση φίλτρου vsb VSB filtering απόκριση συχνότητας (πλάτος) φίλτρου vsb συχνότητα (Hz) Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Συχνότητα (Hz) 3 Φάσμα, VSB σήματος 3 τόνων, f =, f =3, f 3 =, F c =3, F s =8 demodulation Φάσμα, μετά την αποδιαμόρφωση (VSB-LSB), πριν το LP φίλτρο Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) αρχικό σήμα τριών τόνων Συχνότητα (Hz) LP σήμα μετά την αποδιαμόρφωση (VSB) Χρόνος (msec) Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Φάσμα τελικού σήματος 3 τόνων (μετά την διαμ.-αποδιαμ. VSB) Συχνότητα (Hz) Πλαίσιο.6: VSB σήματος διακριτών τόνων

66 -6 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο.4. Παράδειγμα.4: Σύγκριση SSB-VSB σε διαμόρφωση με σήμα συνεχούς φάσματος Να επαναληφθούν τα του παραδείγματος., για διαμόρφωση SSB και VSB με το σήμα συνεχούς φάσματος. Να συγκριθούν οι δύο διαμορφώσεις, όσον αφορά την αναπαραγωγή του φάσματος στην περιοχή χαμηλών συχνοτήτων. Υλοποίηση Σχολιασμός γραφημάτων Ο κώδικας υλοποίησης βασίζεται στα αντίστοιχα τμήματα των Κωδίκων.,. και.4: Διαβάζει καταρχήν το αρχείο σήματος και πυκνώνει το πλέγμα δειγματοληψίας (γραμμές 6-6 Κώδικα.). Στη συνέχεια κάνει τις διαμορφώσεις, αφενός κατά SSB- LSB, αφετέρου κατά VSB-LSB και σχεδιάζει τα αντίστοιχα γραφήματα φάσματος (Πλαίσιο.7, β-β). Συνεχίζει με τις αντίστοιχες αποδιαμορφώσεις και βαθυπερατό φιλτράρισμα, και παράγει τα αντίστοιχα γραφήματα φάσματος (Πλαίσιο..7, δ-δ) και χρόνου (Πλαίσιο.7, ε-ε) του τελικού σήματος. Η σύγκριση των γραφημάτων α & δ δείχνει την παραμόρφωση φάσματος στην περιοχή χαμηλών συχνοτήτων που προκαλεί η SSB (βλ. ένθετη μεγέθυνση), ενώ αντίστοιχη παραμόρφωση δεν παρατηρείται με τη VSB (γραφήματα α & δ). Τα παραπάνω φαίνονται και στο πεδίο του χρόνου: το τελικό σήμα αποκλίνει του αρχικού στην περίπτωση της SSB (γράφημα ε), ενώ τα δύο σήματα σχεδόν ταυτίζονται, στην περίπτωση της VSB (γράφημα ε).

67 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων -7 SSB VSB -6 Φάσμα αρχικού σήματος -6 Φάσμα αρχικού σήματος, πυκνότερο πλέγμα δειγματοληψίας Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Συχνότητα (khz) α Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Συχνότητα (khz) α Φάσμα σήματος SSB-LSB, F c =4.9 KHz, F s =3.77 KHz Φάσμα σήματος VSB-LSB, F c =4.9 KHz, F s =3.77 KHz Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Συχνότητα (khz) β Συχνότητα (khz) β -6 Φάσμα, μετά την αποδιαμόρφωση (SSB-LSB), πριν το LP φίλτρο -6 Φάσμα, μετά την αποδιαμόρφωση (VSB-LSB), πριν το LP φίλτρο -7-7 Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Συχνότητα (khz) γ Συχνότητα (khz) γ -6 Φάσμα, μετά την αποδιαμόρφωση (SSB-LSB), αρχικό πλέγμα δειγματοληψίας -6 Φάσμα, μετα την αποδιαμόρφωση (VSB-LSB), αρχικό πλέγμα δειγματοληψίας -7-7 Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Συχνότητα (khz) δ Συχνότητα (khz) δ x -3 Σύγκριση αρχικού και τελικου (διαμόρφωση-αποδιαμόρφωση SSB) σήματος x -3 Σύγκριση αρχικού και τελικού (διαμόρφωση-αποδιαμόρφωση VSB) σήματος 8 Αρχικό σήμα σήμα μετά την αποδιαμόρφωση 8 Original signal Recovered signal Πλάτος Πλάτος Χρόνος (sec) ε ε Χρόνος (sec) ε ε Πλαίσιο.7: Σύγκριση SSB-VSB σε σήμα συνεχούς φάσματος

68 -8 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο.5 Ψηφιακή υλοποίηση διαμόρφωσης FM.5. Σύντομη θεωρία των εκθετικών διαμορφώσεων (PM, FM) [PROA5, 4], [CARL9, 5.] Σε αντίθεση με τις διαμορφώσεις πλάτους όλων των εκδοχών, τις ονομαζόμενες και γραμμικές διαμορφώσεις (αν και η διαμόρφωση, αυστηρά θεωρούμενη, δεν είναι γραμμική πράξη), στις εκθετικές διαμορφώσεις ή διαμορφώσεις γωνίας το προς μετάδοση σήμα διαμορφώνει τη φάση ή τη συχνότητα του φέροντος: Οι σταθερές x(t) x( t), ( PM) s( t) A cos[ f t ( t)], ( t) t c c (.) f x( ) d, ( FM) και f f c ονομάζονται απόκλιση φάσης (phase deviation) και απόκλιση συχνότητας (frequency deviation) αντίστοιχα. Το πλάτος του εκ διαμορφώσεως ζωνοπερατού σήματος είναι σταθερό, όπως και η μέση ισχύς του, ίση με P s A c s(t), ανεξάρτητα από την ισχύ του σήματος βασικής ζώνης. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να αυξηθεί η ισχύς του σήματος (με αντίστοιχη βελτίωση της σηματοθορυβικής σχέσης, αλλά και αύξηση του απαιτούμενου εύρους ζώνης, όπως θα φανεί παρακάτω), χωρίς να αυξηθεί και η ισχύς του εκπεμπόμενου σήματος (SNR-to-bandwidth trade-off). s(t) Η ακριβής φασματική ανάλυση του διαμορφωμένου σήματος δεν μπορεί να διεξαχθεί αναλυτικά στη γενική μορφή της (.). Είναι δυνατή στην περίπτωση σήματος διακριτών τόνων, ή προσεγγιστικά υπό συνθήκες μικρών γωνιακών αποκλίσεων (διαμόρφωση γωνίας στενής ζώνης). x(t) x(t) PM και FM στενής ζώνης Η σχέση (.) μπορεί να γραφεί στη μορφή: s( t) A cos[ ( t)] cos(f t) A sin[ ( t)]sin( f t) (.) c c c Αναπτύσσονται τα cos[ ( t)] και sin[ ( t)] σε σειρά Taylor και υπό τη συνθήκη μικρών αποκλίσεων φάσης, δηλαδή: ( t) rad (.3α) κρατείται ο πρώτος όρος της κάθε σειράς ( και (t), αντίστοιχα), οπότε η (.) γράφεται: s( t) A cos( f t) A ( t)sin( f t). (.3β) c c c c Στην περίπτωση αυτή, το φάσμα του διαμορφωμένου σήματος s(t) δίνεται ως: c

69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων -9 S f ) Ac [ ( f fc) ( f fc) ( f fc) j( f f )], (.4α) ( c όπου X ( f ), PM ( f ) { ( t)} (.4β) jf X ( f ) / f, FM Παρατηρούμε ότι υπό τη συνθήκη (.3α), η διαμόρφωση φάσης στενής ζώνης (Narrow Band Phase Modulation NBPM) προσεγγίζει τη διαμόρφωση πλάτους, πέραν μιας ολίσθησης 9 ο και στις δύο πλευρικές, όπως δηλώνει ο συντελεστής j. Στη διαμόρφωση συχνότητας στενής ζώνης (Narrow Band Frequency Modulation NBFM) παρατηρείται ολίσθηση 8 ο στην κάτω πλευρική ζώνη (λόγω του αρνητικού προσήμου), ενώ συμβαίνει και μια ενίσχυση (έμφαση) των χαμηλών συχνοτήτων, λόγω του παράγοντα /f..5. Διαμόρφωση PM και FM με σήμα διακριτών τόνων Έστω ότι το σήμα βασικής ζώνης είναι ένας απλό τόνος, συχνότητας fm και, για κοινή τυποποίηση των PM και FM, υποθέτουμε συγκεκριμένα ότι: am sin f mt PM x ( t), οπότε η (.) δίνει: am cosf mt FM ( t) sin f t, με m am PM f (.5) am FM f m Η παράμετρος ονομάζεται δείκτης διαμόρφωσης (modulation index) σε PM ή FM απλού τόνου, το δε διαμορφωμένο σήμα της (.) γράφεται τώρα ως εξής: s ( t) A [cos( sin f t)cosf t sin( sin f t)sin f ]. (.6) c m c m ct Χρησιμοποιούμε τις μαθηματικές ταυτότητες των συναρτήσεων Bessel πρώτου είδους για να αναπτύξουμε τη (.6) σε άθροισμα απλών τριγωνομετρικών όρων: cos( sin f mt) J ( ) sin( sin f t) m n J n n ά J n ( )sin nf ( )cosnf m t m t (.7) με n θετικό και J j( sin n ) n( ) e d, (.8) c n c m n οπότε: s ( t) A J ( )cos ( f nf ) (.9)

70 - Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Η (.9) είναι στην επιθυμητή μορφή, αφού εύκολα δίνει το φάσμα του σήματος ως ένα σύνολο φασματικών γραμμών. Αυτές βρίσκονται δεξιά και αριστερά της fc σε αποστάσεις-ακέραια πολλαπλάσια της fm και βάρη τις τιμές των αντίστοιχων συναρτήσεων Bessel με όρισμα το δοσμένο. Στο Πλαίσιο.8 έχουν σχεδιαστεί οι συναρτήσεις Bessel πρώτου είδους, τάξης έως 8 και για τιμές του από έως (σε λογαριθμική κλίμακα, για να παρατηρηθεί η περιοχή μικρών τιμών έως ). Στο ίδιο σχήμα έχει σκιαγραφηθεί η περιοχή τιμών (-.5,.5). Παρατηρούμε ότι για τιμές του μέχρι και.5, όλοι οι συντελεστές ( ) J n της (.9) παραμένουν κατ απόλυτη τιμή κάτω του.5, πλην των δύο πρώτων (για n= και ), κάτι που εξηγεί την προσέγγιση στενής ζώνης. Για μεγάλες τιμές του πολλοί όροι του αθροίσματος.9 είναι σημαντικοί, π.χ. για, οκτώ όροι του αθροίσματος (έως και ο ) έχουν τιμή μεγαλύτερη του.5. J 7 ( ) 5 Jn(β).5 n= n= n= n= Δείκτης διαμόρφωσης, β Πλαίσιο.8: Συναρτήσεις Bessel ου είδους Η σχέση (.9) γενικεύεται για σήματα πολλών διακριτών τόνων. Παραδείγματος χάριν, για σήμα δύο τόνων στις συχνότητες f και f και αντίστοιχους δείκτες διαμόρφωσης a f / f, a f / f, το διαμορφωμένο σήμα δίνεται από τη σχέση: ( t) Ac J n ( ) J m( )cos ( fc nf mf n m s ) t (.)

71 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων Παράδειγμα.5: Διαμόρφωση FM με σήμα διακριτών τόνων Α. Να παραχθεί σήμα δύο τόνων, των οποίων οι συχνότητες διαφέρουν σημαντικά (π.χ. ) και είναι πρώτες μεταξύ τους. Να παραχθεί στη συνέχεια σήμα διαμόρφωσης FM συγκεκριμένης συχνότητας φέροντος (π.χ. fc f ) (α) στενής ζώνης (π.χ. απόκλισης συχνότητας f f / 5 ), (β) ευρείας ζώνης (π.χ. απόκλιση συχνότητας ). Και για τις δύο περιπτώσεις διαμόρφωσης, (α) και (β), να προστεθεί στο διαμορφωμένο σήμα FM λευκός γκαουσιανός θόρυβος για συγκεκριμένη τιμή σηματοθορυβικής σχέσης (π.χ. SNR=5). Σε κάθε στάδιο να σχεδιαστεί το φάσμα του αντίστοιχου σήματος. Να υπολογιστεί και σχεδιαστεί επίσης το θεωρητικώς αναμενόμενο φάσμα του σήματος FM. f f f f Β. Για τις δύο περιπτώσεις διαμόρφωσης του προηγούμενου θέματος, να γίνει η αποδιαμόρφωση και να συγκριθούν αντίστοιχα τμήματα, του αρχικού και του τελικού σήματος. Σε κάθε στάδιο να σχεδιαστεί και πάλι το φάσμα του αντίστοιχου σήματος. Να παρατηρηθεί το trade-off μεταξύ εύρους ζώνης και επίδρασης θορύβου. Υλοποίηση Κώδικας.5, με αποτελέσματα στο Πλαίσιο.9.

72 - Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο. %% Διαμόρφωση FM με σήμα δύο τόνων. clear all; close all; 3. Fs = ; % Συχνότητα δειγματοληψίας 4. t = [:*Fs+]'/Fs; % πλέγμα δειγματοληψίας 5. F=9; F=4; A=.; A=; 6. %% μικροί σχετικά δείκτες διαμόρφωσης 7. freqdev=f/5; 8. b=a*freqdev/f; b=a*freqdev/f; 9. x = A*cos(*pi*F*t) + A*cos(*pi*F*t);. figure; pwelch(x,[],[],[],fs);. Fc = *F; % συχνότητα φέροντος. % διαμόρφωση FM 3. y=cos(*pi*fc*t+b*sin(*pi*f*t)+b*sin(*pi*f*t)); 4. % εναλλακτικά, με χρήση της fmmod 5. % y = fmmod(x,fc,fs,freqdev); % Modulate. 6. figure; pwelch(y,[],[],[],fs); 7. y = awgn(y,5,'measured'); % πρόσθεση θορύβου 8. figure; pwelch(y,[],[],[],fs); 9. z = fmdemod(y,fc,fs,freqdev); % Demodulate.. figure; pwelch(z,[],[],[],fs);. % Βαθυπερατό φίλτρο Parks-McClellan. f=f/fs; f=.5*f; 3. order=4; 4. fpts=[ f f.5]*; 5. mag=[ ]; 6. wt=[ ]; 7. b = firpm(order,fpts,mag,wt); 8. a=; 9. % σχεδιασμός απόκρισης φίλτρου 3. [H,F] = FREQZ(b,a,5,Fs); 3. figure; plot(f,*log(abs(h))); 3. % LP filtering 33. z_lp=conv(z,b); z_lp=z_lp(order/+(:length(x))); 34. figure; pwelch(z_lp,[],[],[],fs); 35. % Γράφημα αρχικού και τελικού σήματος 36. n=[4:6]; 37. figure; plot(t(n),x(n),'k-',t(n),z_lp(n),'r'); grid; 38. axis([min(t(n)) max(t(n)).*min(x(n)).*max(x(n))]); 39. legend('αρχικό σήμα','τελικό σήμα'); 4. % Θεωρητικός υπολογισμός φασματικών γραμμών 4. z=[]; f=[]; 4. for j=-4:4 43. for i=-5:5 44. f=[f Fc+j*F+i*F]; 45. z=[z besselj(j,b)*besselj(i,b)]; 46. end 47. end 48. logz=+*log((z.^)/); 49. figure; stem(f,logz); 5. axis([ Fs/ max(logz)-8 max(logz)+]); grid %% ΑΣΚΗΣΗ: Για F=9, F=4, Α=., Α=, Fs=, % freqdev=f/5 (στενής ζώνης) ή freqdev=f*5 (ευρείας ζώνης), % (α) Να προσαρμοστούν κατάλληλα τα όρια του βρόχου 4-47 % (β) Να βρεθεί το εύρος ζώνης (-5db)πειραματικά και % θεωρητικά και να συγκριθεί με αυτό του κανόνα Carson Κώδικας.5: Διαμόρφωση FM με σήμα δύο τόνων

73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων -3 Σήμα τόνων - Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Συχνότητα (khz) Σήμα τόνων, FM-narrow, f =9, f =4, f Δ =8, F c =4 K, F s = K - Σήμα τόνων, FM-wide, f =9, f =4, f Δ =8, F c =4 K, F s = K -3 - Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Συχνότητα (khz) Συχνότητα (khz) Φασματικές γραμμές, σήμα FM-narrow δύο τόνων - θεωρητικός υπολογισμός Σήμα τόνων, FM-wide, φασματικές γραμμές, θεωρητικός υπολογισμός Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Συχνότητα (Hz) Συχνότητα (Hz) Σήμα τόνων FM-narrow+noise(SNR=5 db), f =9, f =4, f Δ =8, F c =4 K - Σήμα τόνων, FM-wide-plus-noise(SNR=5 db) -5 - Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Συχνότητα (khz) Συχνότητα (khz) Πλαίσιο.9: FM στενής και ευρείας ζώνης σήματος δύο τόνων (συνεχίζεται)

74 -4 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο (συνέχεια) Σήμα τόνων, FM-narrow-plus-noise (SNR=5 db)-demodulated (πριν LP) Σήμα τόνων, FM-wide-plus-noise (SNR=5 db), demodulated (πριν LP) - - Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Συχνότητα (khz) Συχνότητα (khz) 5 Απόκριση συχνότητας βαθυπερατού φίλτρου -5 - Πλάτος (db) Συχνότητα (Hz) Σήμα τόνων, FM-narrow-plus-noise (SNR=5)-demodulated (μετά LP) Σήμα τόνων, FM-wide-plus-noise(SNR=5 db), demodulated (μετά LP) Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Συχνότητα (khz) Συχνότητα (khz) 5 4 αρχικό σήμα μετά την αποδιαμόρφωση 4 3 αρχικό σήμα μετά την αποδιαμ χρόνος χρόνος Πλαίσιο.9: (συνέχεια) FM στενής και ευρείας ζώνης σήματος δύο τόνων

75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων Παράδειγμα.6: Διαμόρφωση FM με σήμα συνεχούς φάσματος Να επαναληφθούν τα (Α) και (Β) του παραδείγματος.5 για δοσμένο σήμα βασικής ζώνης, συνεχούς φάσματος (π.χ. το sima_lp των παραδειγμάτων. και.4). Να δοκιμαστούν, ειδικότερα, δύο διαφορετικές τιμές σηματοθορυβικής σχέσης (SNR=5, SNR=4), και να διερευνηθεί η χρησιμότητα ζωνοπερατού φιλτραρίσματος πριν την αποδιαμόρφωση. Να επαληθευτούν οι προσεγγιστικές σχέσεις υπολογισμού του εύρους ζώνης FM: DR B FM ( DR ) W, (κανόνας του Carson) DR ή B FM ( DR ) W, DR, όπου DR=fΔ /W, ο λόγος απόκλισης και W το εύρος ζώνης του αρχικού σήματος. Υλοποίηση Κώδικας.6, με αποτελέσματα στο Πλαίσιο..

76 -6 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο. %% Διαμόρφωση FM σήματος συνεχούς φάσματος. clear all; close all; 3. %% Φορτώνεται το αρχείο με το σήμα βασικής ζώνης, τη συχνότητα 4. % δειγματοληψίας Fs και το διάνυσμα των συχνοτήτων 5. % της ζώνης μετάβασης fc=[f f], ανηγμένων ως προς Fs 6. load sima_lp; 7. F = fc(); % οριακή συχνότητα ζώνης διέλευσης 8. F = fc(); % οριακή συχνότητα ζώνης αποκοπής 9. figure; pwelch(sima_lp,[],[],[],fs);. % Γίνεται πύκνωση του πλέγματος δειγματοληψίας (xd). D=8;. sima_lp=upsample(sima_lp,d); Fs=Fs*D; 3. sima_lp=sima_lp/max(sima_lp); 4. F=F/D; F=F/D; % οι συχνότητες αποκοπής στο νέο πλέγμα 5. t=[:length(sima_lp)]'/fs; 6. % Βαθυπερατό φιλτράρισμα 7. order=d*64; % πρέπει να αυξάνει ανάλογα του D 8. hpm=firpm(order, [ F F.5]*, [ ]); 9. s=conv(sima_lp,hpm); s=s(order/+(:length(sima_lp)))/max(s);. figure; pwelch(s, [], [], [], Fs);. Fc = *F*Fs; % carrier frequency for SSB modulation. %% Διαμόρφωση FM 3. % (α) Μικρής απόκλισης συχνότητας: freqdev=fs*f/5 4. freqdev=f*fs/5; 5. y = fmmod(s,fc,fs,freqdev); % Modulate. 6. figure; pwelch(y,[],[],[],fs); 7. y = awgn(y,5,'measured'); % προσθήκη θορύβου 8. figure; pwelch(y,[],[],[],fs); 9. %% Ζωνοπερατό φιλτράρισμα πριν την αποδιαμόρφωση 3. DR=freqdev/(F*Fs); 3. fl=fc/fs-(dr+)*f; fh=fc/fs+(dr+)*f; % Carson's rule 3. M=8; 33. hpm=firpm(m, [ fl*.95 fl*. fh*.98 fh*.5.5]*, [ ]); 35. figure; freqz(hpm,,5,fs); 36. y=conv(y,hpm); y=y(m/+(:length(sima_lp))); 37. figure; pwelch(y, [], [], [], Fs); 38. %% 39. z = fmdemod(y,fc,fs,freqdev); % Demodulate. 4. figure; pwelch(z,[],[],[],fs); 4. % Βαθυθπερατό φίλτράρισμα Parks-McClellan 4. f=f; f=.*f; order=64*d; 43. fpts=[ f f.5]*; 44. mag=[ ]; wt=[ ]; 45. b = firpm(order,fpts,mag,wt); 46. z_lp=conv(z,b); z_lp=z_lp(order/+(:length(s))); 47. figure; pwelch(z_lp,[],[],[],fs); 48. % Plot the original and recovered signals. 49. n=[4*d:4*d+6]; 5. figure; plot(t(n),s(n),'k-',t(n),z_lp(n),'r'); 5. grid; axis([min(t(n)) max(t(n)).*min(s(n)).*max(s(n))]); 5. legend('αρχικό σήμα','τελικό σήμα'); 53. figure; pwelch(downsample(z_lp,d),[],[],[],fs/d); 54. %% Επαναλαμβάνονται τα παραπάνω με μεγαλύτερη απόκλιση 55. % συχνότητας (β) freqdev=f*fs* 56. % Να παρατηρηθεί το trade-off μεταξύ εύρους ζώνης και 57. % συμπεριφοράς στον θόρυβο (μικρό SNR=5, μεγάλο SNR=4) 58. % Να γίνουν τα παραπάνω με και χωρίς το ζωνοπερατό φιλτράρισμα 59. % και να παρατηρηθεί η επίδραση του εύρους ζώνης του διαύλου: 6. % *(DR+)*F, για μεγάλο DR, *DR*F, για μικρό DR Κώδικας.6: Διαμόρφωση FM με σήμα συνεχούς φάσματος

77 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων -7-6 Φάσμα αρχικού σήματος -4 Φάσμα αρχικού σήματος, 8-πλάσια πυκνότητα πλέγματος δειγματοληψίας Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Συχνότητα (khz) Συχνότητα (khz) FM-narrow FM-wide FM-narrow σήματος εύρους ζώνης W=.3 KHz, F c =W, f Δ =W/5, F s = Hz FM-wide σήματος εύρους ζώνης W=.3 KHz, F c =W, f Δ =W, F s = Hz - - Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Συχνότητα (khz) Συχνότητα (khz) - FM-narrow-plus-noise (SNR=5 db) - FM-wide-plus-noise (SNR=5 db) - - Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Συχνότητα (khz) Συχνότητα (khz) 5 Απόκριση συχνότητας ζωνοπερατού φίλτρου 5 Απόκριση συχνότητας ζωνοπερατού φίλτρου Πλάτος (db) -5 Πλάτος (db) x x 4 Φάση (degrees) Συχνότητα (Hz) x 4 Φάση (degrees) Συχνότητα (Hz) x 4 Πλαίσιο.: FM στενής και ευρείας ζώνης σήματος συνεχούς φάσματος (συνεχίζεται)

78 -8 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο (συνέχεια) FM-narrow FM-wide Φάσμα σήματος (FM-narrow-plus-noise SNR=5db), μετά το ζωνοπερατό φίλτρο Φάσμα σήματος FM-wide μετά το ζωνοπερατό φίλτρο - - Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Συχνότητα (khz) Συχνότητα (khz) -4 Σήμα μετά την αποδιαμόρφωση (FM-narrow-plus-noise SNR=5db), πυκνό πλέγμα -4 Σήμα μετά την αποδιαμόρφωση (FM-wide-plus-noise), πυκνό πλέγμα -5-5 Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) Συχνότητα (khz) Συχνότητα (khz) Αχικό και τελικό σήμα (τμήμα) FM-narrow-plus-noise (SNR=5 db), f Δ =W/5 Αρχικό και τελικό σήμα (τμήμα), FM-wided-plus-noise (SNR=5db), f Δ =W. αρχικό σήμα τελικό σήμα. αρχικό σήμα τελικό σήμα Πλάτος Πλάτος Χρόνος (sec) x Χρόνος (sec) x -3 Αρχικό και τελικό σήμα (τμήμα), FM-narrow-plus-noise (SNR=4db), f Δ =W/5 Αρχικό και τελικό σήμα (τμήμα), FM-wide-plus-noise (SNR=4 db), f Δ =W. αρχικό σήμα τελικό σήμα. αρχικό σήμα τελικό σήμα Πλάτος Πλάτος Χρόνος (sec) x Χρόνος (sec) x -3 Πλαίσιο.: (συνέχεια) FM στενής και ευρείας ζώνης σήματος συνεχούς φάσματος

79 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων -9.6 Παραρτήματα.6. Παράρτημα Π.: Ο Μετασχηματισμός HILBERT στις τηλεπικοινωνίες Φίλτρο μετασχηματισμού Hilbert (ή εγκάρσιο φίλτρο quadrature filter), [CARL9, 3.5] Αναλογικό: Ψηφιακό: Magnitude (db) Phase (degrees) x Normalized Frequency rad/sample) ( Normalized Frequency rad/sample) ( (α) (β) (γ) σήμα s(t) MATLAB: hilbert(g) Μετα/σμός HILBERT st ˆ( ) x j + st () s( t) jsˆ ( t) e x j( fct) Re(.) σήμα SSB-USB σήμα AM g( t) ( m( t) A ). cos( f t) c c MATLAB: hilbert(g) Μετα/σμός HILBERT gˆ ( t) x j + abs αποδιαμ/νο σήμα g h ( t) m( t) Ac g( t) jgˆ( t) (δ) gˆ( t) ( m( t) A )sin( f t) c abs g t g t gˆ t m t A ( ( )) ( ) ( ) ( ) h (ε) c c σήμα FM MATLAB: hilbert(g) g( t) cos( f t ( t)) c + e x j( f ct) angle (.) π Μετα/σμός HILBERT gˆ ( t) x j g ( t) h g( t) jgˆ( t) e j(fct ( t)) ' ( t) αποδιαμ/νο σήμα (στ) (Δείτε π.χ.: [CΗΕΝ]) Πλαίσιο.: Ο Μετασχηματισμός Hilbert στις τηλεπικοινωνίες: (α) Κρουστική απόκριση φίλτρου Hilbert (β) Απόκριση συχνότητας (γ) Απόκριση σε τετραγωνικό παλμό (δ) Διαμορφωτής SSB-USB (ε) Αποδιαμορφωτής περιβάλλουσας AM, (στ) Αποδιαμορφωτής FM

80 Amplitude Amplitude Magnitude (db) Magnitude (db) Frequency (Hz) Welch Power Spectral Density Estimate Welch Power Spectral Density Estimate Frequency (Hz) -3 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο.6. Παράρτημα Π.: Σταχυολόγηση κώδικα MATLAB επεξεργασίας/οπτικοποίησης τηλεπικοινωνιακών σημάτων Σήματα-επεξεργασία. Σήμα πληροφορίας, x (xn) Υπολογισμός ισχύος σήματος, Px Υπολογισμός πυκνότητας φάσματος ισχύος σήματος (psd) Παράδειγμα Κώδικα υλοποίησης/οπτικοποίησης %% Σήμα βασικής ζώνης - δύο τόνων clear all; close all; f=; f=; Fs=8; % συχνότητα δειγματοληψίας t=[:/fs:4]; % πλέγμα δειγματοληψίας x=*cos(*pi*f*t)+5*cos(*pi*f*t); % Οπτικοποίηση σήματος & 6 πρώτων δειγμάτων figure; plot(t(:6),x(:6),'r'); hold on; stem(t(:6),x(:6)); hold off; %% Υπολογισμός ισχύος & πυκν. φασμ. ισχύος (psd) Px=x*x'/length(x) % Px~6.55 [θεωρ.=(^+5^)/] Px=sum(x.^)/length(x) % εναλλακτικός υπολογισμός Pxdb=*log(Px); % η ισχύς σε dbw % Υπολογισμός & οπτικοποίηση psd figure; pwelch(x,[],[],[],fs); Power/frequency (db/hz) Οπτικοποιημένο αποτέλεσμα Frequency (Hz). Σήμα λευκού, γκαουσιανού θορύβου, n, ισχύος Pn (dbw): Pxdb- Pndb=SNR(db) Ενθόρυβο σήμα, xn, SNR (db) %% Σήμα λευκού, γκαουσιανού θορύβου, ισχύος Pn, % έτσι ώστε Px/Pn->SNR db SNR=5; Pndb=Pxdb-SNR; Pn=^(Pndb/); n=wgn(,length(x),pndb); % Μέση πυκνότητα φάσματος ισχύος θορύβου n_psd=pndb-*log(fs/); % =-3.58 dbw % Ενθόρυβο σήμα και οπτικοποίηση psd xn=x+n; figure; pwelch(xn,[],[],[],fs);hold on; % xn=awgn(x,snr,'measured'); % εναλλακτικά f=(:fs/:fs/); p=n_psd*ones(,length(f)); plot(f,p,'r');axis([ Fs/ -5 3]); hold off; Power/frequency (db/hz) Welch Power Spectral Density Estimate Frequency (Hz) n _ psd log Pn F / s 3. Συνέλιξη - φιλτράρισμα Βαθυπερατό φίλτρο %% Συνέλιξη φιλτράρισμα σημάτων % Υπολογισμός κρουστικής απόκρ. βαθυπ. φίλτρου f=[ 3 Fs/]/(Fs/); mag=[ ]; h_lp=firpm(8,f,mag); %FIR Parks-MacClellan wvtool(h_lp) % απόκριση χρόνου & συχνότητας % freqz(h_lp);% απόκριση συχνότητας φίλτρου xn_lp=conv(xn,h_lp,'same');%εφαρμογή φίλτρου figure; pwelch(xn_lp,[],[],[],fs); Time domain Samples Frequency domain Power/frequency (db/hz) Normalized Frequency ( rad/sample) 4. Συνέλιξη - φιλτράρισμα Ζωνοπερατό φίλτρο %% Συνέλιξη - φιλτράρισμα σημάτων (συνέχεια) % Υπολογισμός κρουστικής απόκρ. ζωνοπ. φίλτρου f=[ 4 Fs/]/(Fs/); mag=[ ]; h_bp=firpm(8,f,mag); % FIR Parks-MacClellan wvtool(h_bp) % απόκριση χρόνου & συχνότητας xn_bp=conv(xn,h_bp, 'same'); % Εφαρμογή φίλτρου figure; pwelch(xn_bp,[],[],[],fs); Time domain Samples Frequency domain Normalized Frequency ( rad/sample) Power/frequency (db/hz) Welch Power Spectral Density Estimate

81 Power/frequency (db/hz) Power/frequency (db/hz) ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων Πύκνωση-αραίωση πλέγματος δειγματοληψίας %% Πύκνωση-αραίωση πλέγματος δειγματοληψίας x_4=interp(x,4); % πύκνωση κατά 4 figure; pwelch(x_4,[],[],[],4*fs); x_back=decimate(x_4,4);%αραίωση κατά 4 (επαναφορά) figure; pwelch(x_back,[],[],[],fs); Power/frequency (db/hz) Welch Power Spectral Density Estimate Frequency (Hz) 6. Διαμόρφωση DSB %% Διαμόρφωση DSB Fc=4*f; % συχνότητα φέροντος % Γίνεται χρήση του πυκνού πλέγματος Fs_4=4*Fs; t_4=[:length(x_4)]/fs_4; x_plus=x_4+*max(abs(x_4)); %σήμα θετικών τιμών s_dsb=sqrt()*x_plus.*cos(*pi*fc*t_4); % DSB s_dsb_n=awgn(s_dsb,snr, 'measured'); figure; pwelch(s_dsb_n, [], [], [], Fs_4); Welch Power Spectral Density Estimate Frequency (Hz) 7. Αποδιαμόρφωση DSB Φωρατής περιβάλλουσας %% Φωρατής περιβάλλουσας % Το αναλυτικό ζωνοπερατό σήμα s_dsb_n_h=hilbert(s_dsb_n)/sqrt(); % Η περιβάλλουσα dsb_n_dm=abs(s_dsb_n_h); dsb_n_dm=(dsb_n_dm-mean(dsb_n_dm)); % Βαθυπερατό φιλτράρισμα και αραίωση dsb_n_lp=decimate(dsb_n_dm,4); figure; pwelch(dsb_n_lp, [], [], [], Fs); Power/frequency (db/hz) Welch Power Spectral Density Estimate Frequency (Hz) 8. Διαμόρφωση SSB ος τροπος: x DSB-SC (bp) SSB ος τρόπος: μέσω του αναλυτικού σήματος %% Διαμόρφωση SSB % ος τροπος: x --> DSB-SC -->(bp) SSB Fc=4*f; % συχνότητα φέροντος dsb_sc=sqrt()*x_4.*cos(*pi*fc*t_4); % DSB-SC figure; pwelch(dsb_sc,[],[],[],fs_4); fpts=[ Fc-.98*f Fc+.98*f Fs_4/]*/Fs_4; b = firpm(5,fpts,[ ], [ ]); ssb=*conv(dsb_sc,b,'same'); ssb_n=awgn(ssb,snr,'measured'); figure; pwelch(ssb_n,[],[],[],fs_4); % ssb psd % ος τρόπος: μέσω του αναλυτικού σήματος % (η άνω πλευρική λαμβάνεται με θετικό εκθέτη) ssb=sqrt()*real(hilbert(x_4).*exp(- i**pi*fc*t_4)); ssb_n=awgn(ssb,snr,'measured'); % θορυβώδες figure; pwelch(ssb_n,[],[],[],fs_4); % ssb psd Power/frequency (db/hz) Welch Power Spectral Density Estimate Frequency (Hz) LPF Welch Power Spectral Density Estimate + noise Frequency (Hz) 9. Αποδιαμόρφωση SSB %% Αποδιαμόρφωση SSB % ssb_n: θορυβώδες σήμα SSB κάτω πλευρικής ζώνης ssb_n_dm=sqrt()*ssb_n.*exp(-i**pi*fc*t_4); ssb_n_lp=decimate(ssb_n_dm,4); % LPF & αραίωση ssb_n_lp=real(ssb_n_lp); figure; pwelch(ssb_n_lp, [], [], [], Fs); Power/frequency (db/hz) Welch Power Spectral Density Estimate Frequency (Hz)

82 -3 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο. Διαμόρφωση FM Power/frequency (db/hz) %% Διαμόρφωση FM freqdev=5; % απόκλιση συχνότητας xmax=max(abs(x_4)); kf=freqdev/xmax; D=freqdev/f; % λόγος διαμόρφωσης % BT: Εύρος ζώνης κατά Carson if and(d>,d<) BT=*(D+)*f; else BT=*(D+)*f; end fm = fmmod(x_4,fc,fs_4,kf); % modulate. fm_n=awgn(fm,snr,'measured'); % πρόσθεση θορύβου figure; pwelch(fm_n,[],[],[],fs_4); Power/frequency (db/hz) Welch Power Spectral Density Estimate Frequency (Hz). Αποδιαμόρφωση FM ος τρόπος: με χρήση της συνάρτησης fmdemod() ος τρόπος: μέσω της μιγαδικής περιβάλλουσας %% Αποδιαμόρφωση FM % ος τρόπος: με χρήση της συνάρτησης fmdemod() fm_n_dm = fmdemod(fm_n,fc,fs_4,kf); % demodulate fm_n_dm=decimate(fm_n_dm,4); % φιλτράρισμα&αραίωση % figure; pwelch(fm_n_dm,[],[],[],fs); % ος τρόπος: μέσω της μιγαδικής περιβάλλουσας phi= angle(hilbert(fm_n).*exp(-j**pi*fc*t_4)); phi=unwrap(phi); %για συνεχή συνάρτηση γωνίας fm_n_dm=/(*pi*kf)*diff(phi)*fs_4; % παράγωγος fm_n_dm=decimate(fm_n_dm,4); % φιλτράρισμα & αραίωση figure; pwelch(fm_n_dm,[],[],[],fs); Power/frequency (db/hz) Welch Power Spectral Density Estimate Frequency (Hz) Αποδιαμόρφωση FM 3 ος τρόπος: με κύκλωμα κλίσης & φωρατή περιβάλλουσας %% Αποδιαμόρφωση FM % 3ος τρόπος: με κύκλωμα κλίσης & φωρατή περιβάλ. % Κύκλωμα κλίσης Parks-McClellan f_sl=(fc-bt/)/fs_4; f_sl=(fc+bt/)/fs_4; fpts=[.98*f_sl f_sl f_sl.*f_sl.5]*; mag=[ ]; wt=[ ]; order=5; b = firpm(order,fpts,mag,wt); a=; % οπτικοποίηση απόκρισης φίλτρου [H,F] = freqz(b,a,order,fs_4); figure; subplot(,,); plot(f,abs(h)); subplot(,,); plot(f,phase(h)); fm_n=min(, fm_n); fm_n=max(-, fm_n); fm_n_am=conv(fm_n,b,'same'); % φωρατής περιβάλλουσας fm_n_h=hilbert(fm_n_am)/sqrt(); fm_n_dm=abs(fm_n_h); fm_n_dm=(fm_n_dm-mean(fm_n_dm)); fm_n_lp=decimate(fm_n_dm,4); figure; pwelch(fm_n_lp, [], [], [], Fs); Frequency (Hz) Welch Power Spectral Density Estimate Frequency (Hz) Πλαίσιο.: Σταχυολόγηση κώδικα MATLAB επεξεργασίας/οπτικοποίησης τηλεπικοινωνιακών σημάτων

83 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων -33 Βιβλιογραφία - Αναφορές [CARL9] Carlson, A. B. and Crilly, P. B., Communication Systems, An Introduction to Signals and Noise in Electrical Communication, 5 th ed., McGraw-Hill, 9. [CHEN] Chen, G. et. al, Implementation and Comparison of Demodulation Methods in AM and FM, Master s Degree Thesis, Blekinge Institute of Technology, $file/bthlinchen.pdf [PROA5] Proakis, J. and Salehi, M., Συστήματα Τηλεπικοινωνιών, η Έκδοση, Fountas, 5, (πρωτότυπη έκδοση: Foundamentals of Communication Systems, nd edition, Pearson, 4).

84

85 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 o : Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η μέθοδος της βέλτιστης αναγνώρισης παλμών, οι οποίοι φέρουν ψηφιακά δεδομένα και έχουν αλλοιωθεί κατά τη μετάδοση με λευκό, αθροιστικό θόρυβο. Η μέθοδος υλοποιείται με το ονομαζόμενο «προσαρμοσμένο φίλτρο» (matched filter), το οποίο είναι κατά βάση ένας συσχετιστής σημάτων (correlator). Στο δέκτη, μια σειρά από προσαρμοσμένα φίλτρα (αντίστοιχα των διαφορετικών, γραμμικώς ανεξάρτητων παλμών του συμφωνημένου ρεπερτορίου μετάδοσης) υπολογίζουν τη συσχέτιση του παλμού τους με κάθε εισερχόμενο παλμό (γινόμενο και ολοκλήρωμα στη βασική περίοδο, Τ). Το φίλτρο με τη μεγαλύτερη τιμή εξόδου υποδεικνύει τον παλμό με τη μέγιστη «πιθανοφάνεια» (δηλ. τη μεγαλύτερη πιθανότητα να έχει εκπεμφθεί, υπό τη συνθήκη του ληφθέντος σήματος). Αφού παρουσιαστούν τα βασικά χαρακτηριστικά των προσαρμοσμένων φίλτρων, γίνεται γενίκευση στους Ν-διάστατους γραμμικούς σηματικούς χώρους. Γίνεται εν συντομία η ανάλυση σφάλματος και δίνονται επεξεργασμένα παραδείγματα αναγνώρισης ημιτονικών παλμών (FSK) και παλμών διαμορφωμένων κατά πλάτος (PAM ή ASK).

86 3- Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Περιεχόμενα Κεφαλαίου 3 3. Εισαγωγή Ορισμός και ιδιότητες του Σύμφωνου Προσαρμοσμένου Φίλτρου (ΣΠΦ) Ορισμός ΣΠΦ Χρονική απόκριση του ΣΠΦ Το προσαρμοσμένο φίλτρο ως συσχετιστής Βελτίωση της σηματοθορυβικής σχέσης με το ΣΠΦ Προσαρμοσμένα Φίλτρα στον Ν-διάστατο σηματικό χώρο Ο γραμμικός σηματικός χώρος Αλγόριθμος ορθογωνοποίησης Gram-Schmidt (Gram-Schmidt orthogonalization) Το πρόβλημα της αναγνώρισης στον Ν-διάστατο χώρο Αναγνώριση μέγιστης πιθανοφάνειας σε αθροιστικό γκαουσιανό θόρυβο Ανάλυση σφάλματος Σύμφωνα και Ασύμφωνα συστήματα αναγνώρισης Επίδραση θορύβου στον ασύμφωνο δέκτη Επεξεργασμένα παραδείγματα Παράδειγμα 3.: Δυαδική μετάδοση με ημιτονικούς παλμούς και αναγνώριση ΣΠΦ Παράδειγμα 3.: Πιθανότητα εσφαλμένης ανίχνευσης συμβόλων L-ASK Ασκήσεις προς εκτέλεση Παράρτημα Π Βιβλιογραφία Αναφορές... 34

87 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-3 Πλαίσια Κεφαλαίου 3 Πλαίσιο 3.: Σύμφωνο Προσαρμοσμένο Φίλτρο ΣΠΦ: (α) ορισμός, (β) πεδίο διακριτού χρόνου, (γ) ενεργειακές σχέσεις... 6 Πλαίσιο 3.: Απόκριση ΣΠΦ στο πεδίο του χρόνου: (α) θορυβώδες σήμα, (β) συνέλιξη με g(τ), (γ) έξοδος... 7 Πλαίσιο 3.3: Αλγόριθμος ορθογωνοποίησης Gram-Schmidt... Πλαίσιο 3.4: Πομπός και δέκτης στον Ν-διάστατο σηματικό χώρο: (α) κατασκευή παλμού στον πομπό, (β )βέλτιστη αναγνώριση στον δέκτη... Πλαίσιο 3.5: Το θεώρημα του Bayes στον υπολογισμό των εκ των υστέρων πιθανοτήτων... 3 Πλαίσιο 3.6: Συναρτήσεις πιθανοφάνειας (προοπτικό και ισοϋψείς), περίπτωση αθροιστικού γκαουσιανού θορύβου στον δισδιάστατο σηματικό χώρο... 4 Πλαίσιο 3.7: (α) Γενετήρια διανύσματα σηματικού χώρου ΒFSK (Ν=Μ=, f i =i/t), i=, (β) Έξοδος προσαρμοσμένων φίλτρων συναρτήσει της άγνωστης φάσης θ 8 Πλαίσιο 3.8: Μετάβαση από τον σύμφωνο (α) στον ασύμφωνο (β,γ) δέκτη... Πλαίσιο 3.9: Συνέλιξη και περιβάλλουσά της... Πλαίσιο 3.: Εξαγόμενα Κώδικα 3.: (α) θορυβώδες σήμα εισόδου, (β) αποκρίσεις προσαρμοσμένων φίλτρων... 4 Πλαίσιο 3.: Αστερισμός L συγγραμμικών σημείων και συναρτήσεις πιθανοφάνειας... 7 Πλαίσιο 3.: Πιθανότητα εσφαλμένου bit για την L-ASK με ορθογωνικούς παλμούς... 3 Κώδικας προγραμματισμού Κεφαλαίου 3 Κώδικας 3.: Εξομοίωση προσαρμοσμένων φίλτρων για θορυβώδη ημιτονικά σήματα μιας και δύο περιόδων... 3 Κώδικας 3.: Εκτίμηση της βελτίωσης της σηματοθορυβικής σχέσης με χρήση προσαρμοσμένου φίλτρου... 5 Κώδικας 3.3: Υπολογισμός πιθανότητας εσφαλμένου συμβόλου σύμφωνης ASK, με ορθογωνικούς παλμούς... 9 Κώδικας 3.4: Συνάρτηση εκτίμησης λαθών καλείται από το bertool... 3

88 3-4 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 3. Εισαγωγή Η μετάδοση ψηφιακών δεδομένων (ακολουθιών ψηφίων ή άλλων διακριτών συμβόλων) απó την πηγή πληροφορίας στον προορισμό γίνεται με απεικόνισή τους σε ακολουθίες στοιχειωδών διακριτών κυματομορφών, κατάλληλων για μετάδοση μέσω του διαθέσιμου διαύλου επικοινωνίας. Τα στοιχειώδη αυτά σήματα θα ονομάζουμε συμβατικά παλμούς, τις δε ακολουθίες των παλμών παλμοσειρές. Εκτός από τις παλμοσειρές αυτές καθαυτές, στον δέκτη είναι απαραίτητη και η πληροφορία χρονισμού για την οριοθέτηση των παλμών. Τις περισσότερες φορές η πληροφορία αυτή ενυπάρχει στις ίδιες τις παλμοσειρές από τον ειδικό τρόπο κατασκευής τους. Οι παλμοσειρές (μαζί με την πληροφορία χρονισμού τους) θα ονομάζονται ψηφιακές κυματομορφές (παρά την κάποια αντίφαση του όρου). Αν ο δίαυλος ήταν ιδανικός, δεν αλλοίωνε δηλαδή καθόλου τις μεταδιδόμενες κυματομορφές, ή οι όποιες αλλοιώσεις ήταν ντετερμινιστικές και άρα προβλέψιμες, θα ήταν εύκολο για τον δέκτη να ανεύρει μέσα στις λαμβανόμενες κυματομορφές τα μεταδιδόμενα δεδομένα. Το πρόβλημα έγκειται ακριβώς στο γεγονός ότι οι εκπεμπόμενες κυματομορφές αλλοιώνονται κατά τρόπο στοχαστικό (λόγω θορύβου ή άλλης στοχαστικής συμπεριφοράς του διαύλου), και η αναγνώρισή τους στον δέκτη γίνεται με κάποια πιθανότητα λάθους. Τα δύο βασικά προβλήματα που ανακύπτουν εδώ είναι:. Σχεδιασμός του πομπού, σχεδιασμός δηλαδή κυματομορφών κατάλληλων για το διαθέσιμο είδος διαύλου με γνωστές ατέλειες.. Σχεδιασμός του δέκτη. Ο δέκτης θα πρέπει να εφοδιαστεί με λειτουργίες αποκατάστασης και αναγνώρισης (detection) ή εκτίμησης (estimation), οι οποίες θα ανακτούν τα ψηφιακά δεδομένα από τις ψηφιακές κυματομορφές. Βασικό κριτήριο επίλυσης των παραπάνω δύο προβλημάτων είναι η ελαχιστοποίηση της πιθανότητας λάθους αναγνώρισης στον δέκτη. Για τον λόγο αυτόν ξεκινάμε στο παρόν κεφάλαιο με τη μελέτη των βασικών λειτουργιών αναγνώρισης ή εκτίμησης, καταρχήν μεμονωμένων κυματομορφών (παλμών). Στο επόμενο κεφάλαιο η μελέτη επεκτείνεται σε ακολουθίες τέτοιων παλμών (παλμοσειρές), όπου έρχεται στο προσκήνιο η επίδραση του εύρους ζώνης του διαύλου. Για τα προσαρμοσμένα φίλτρα υπάρχει εκτενής βιβλιογραφία. Ο αναγνώστης ενδεικτικά παραπέμπεται στο [HAYK, ενότ. 8.].

89 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα Ορισμός και ιδιότητες του Σύμφωνου Προσαρμοσμένου Φίλτρου (ΣΠΦ) Τα προσαρμοσμένα φίλτρα (matched filters) χρησιμοποιούνται στους δέκτες συστημάτων ψηφιακής επικοινωνίας, με σκοπό την ελαχιστοποίηση της πιθανότητας λανθασμένης αναγνώρισης των εκπεμπόμενων συμβόλων, όταν τα σήματα-παλμοί που τα μεταφέρουν αλλοιώνονται κατά την εκπομπή ή και κατά την επεξεργασία τους στον δέκτη (φιλτράρισμα, ενίσχυση) με λευκό αθροιστικό θόρυβο. 3.. Ορισμός ΣΠΦ Έστω G(f) η συνάρτηση μεταφοράς γραμμικού φίλτρου στον δέκτη συστήματος εκπομπής-λήψης παλμών, όπως στη διάταξη του σχ. 3.α. Αν ο εκπεμπόμενος παλμός h(t) [διάρκειας Τ, ενέργειας Εh] αλλοιώνεται με λευκό αθροιστικό θόρυβο w(t), έστω πυκνότητας (δίπλευρου) φάσματος ισχύος Νο/, τότε η σηματοθορυβική σχέση στην έξοδο του φίλτρου κατά τη στιγμή δειγματοληψίας t=t μεγιστοποιείται όταν: συνάρτηση μεταφοράς προσαρμοσμένου φίλτρου G( f ) ch * ( f ) e jft (3.) όπου H(f) ο μετασχηματισμός Fourier του παλμού h(t) και c οποιαδήποτε σταθερά. Απόδειξη της (3.): Κατά τη στιγμή δειγματοληψίας t=t η σηματοθορυβική σχέση στην έξοδο του φίλτρου είναι j ft [ { ( )} ] G( f ) H ( f ) e Sout ho ( T ) Ho f tt N out Ewo ( T ) Sn( f ) df N o G( f ) df Εφαρμόζοντας στον αριθμητή της παραπάνω σχέσης την ανισότητα Schwartz U ( f ) V ( f ) df U ( f ) df V ( f ) df df U ( f ), V ( f ) C, * με την ισότητα να ισχύει όταν U ( f ) cv ( f ) (δηλαδή U(f) και V(f) ευθυγραμμισμένες aligned), παίρνουμε Sout H( f ) df h ( t) dt E N out N o / N o / N o max h όταν G( f ) * jft ch ( f ) e

90 3-6 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο (α) h(t) w(t) r(t)= ro(t)= h(t)+w(t) ho(t)+wo(t) Δίαυλος No/ ΣΠΦ G(f) nt -Fs / Fs / f wo(t) σwο (β) T Ν s δείγματα ho(t) T (γ) ΠΟΜΠΟΣ ΔΙΑΥΛΟΣ ΔΕΚΤΗΣ Πλαίσιο 3.: Σύμφωνο Προσαρμοσμένο Φίλτρο ΣΠΦ: (α) ορισμός, (β) πεδίο διακριτού χρόνου, (γ) ενεργειακές σχέσεις 3.. Χρονική απόκριση του ΣΠΦ Στο πεδίο του χρόνου η (3.) γράφεται: κρουστική απόκριση προσαρμοσμένου φίλτρου g( t) c. h( T t) (3.) Η χρονική απόκριση του φίλτρου στον παλμό h(t) δίνεται από τη συνέλιξή του με την g(t) της (3.): h o ( t) g( ) h( t ) d c h( T ) h( t ) d (3.3) Η χρονική απόκριση του φίλτρου (συνέλιξη με g(t)) στο θορυβώδες σήμα r(t)=h(t)+w(t) δείχνεται στο σχήμα 3.(γ).

91 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-7 (α) r( t) h( t) w( t) t' T t (β) r ( t' ) g( ) t' T τ (γ) h o ( T ) h ( ) d r o ( t') g( ) r( t' ) d t' T t Πλαίσιο 3.: Απόκριση ΣΠΦ στο πεδίο του χρόνου: (α) θορυβώδες σήμα, (β) συνέλιξη με g(τ), (γ) έξοδος 3..3 Το προσαρμοσμένο φίλτρο ως συσχετιστής Το προσαρμοσμένο φίλτρο λειτουργεί στην πραγματικότητα ως συσχετιστής, αφού η έξοδός του κατά τη στιγμή δειγματοληψίας (στο τέλος της περιόδου Τ) είναι η συσχέτιση <h,r> του λαμβανόμενου θορυβώδους σήματος με τον εν λόγω παλμό. Προφανώς, απαιτείται συγχρονισμός για να γίνει σωστά η συσχέτιση και η δειγματοληψία στον δέκτη, όπως εξηγείται αναλυτικότερα στην παράγραφο 3.3.6, εξού και το όνομα σύμφωνη αναγνώριση και Σύμφωνο Προσαρμοσμένο Φίλτρο ΣΠΦ). T T T h( t) r( t) dt h ( t) dt h( t) w( t) dt ro [ T ] h, r (3.4) N s Ns Ns h[ n] r[ n] h [ n] h[ n] w[ n] n n n

92 3-8 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 3..4 Βελτίωση της σηματοθορυβικής σχέσης με το ΣΠΦ Η σηματοθορυβική σχέση κατά τη στιγμή δειγματοληψίας στην έξοδο του ΣΠΦ γίνεται μέγιστη, ίση με: έξοδος ΣΠΦ για t=t S N out out max ho [ T] Eh Sin (3.5) Ew T N N o [ ] o o T Και είναι ανεξάρτητη από το εύρος ζώνης Fs του θορύβου που έχει υπερτεθεί. Με την υπόθεση σταθερής φασματικής πυκνότητας θορύβου, η ισχύς θορύβου είναι ανάλογη της συχνότητας δειγματοληψίας Fs, και η σηματοθορυβική σχέση αντιστρόφως ανάλογη αυτής. Ωστόσο, στην έξοδο του ΣΠΦ η σηματοθορυβική σχέση παραμένει σταθερή, σύμφωνα με τη σχέση (3.5), και υπό αυτήν την έννοια το ΣΠΦ παρέχει βελτίωση της σηματοθορυβικής σχέσης κατά τον παράγοντα. F s T Στο πεδίο διακριτού χρόνου, αυτό μπορεί να δειχτεί εύκολα, ως εξής: N s s (3.4) N out E h[ n] w[ n] E w k h n N n { [ ]} [ ] n in Sin N s N S out h [ n] ( Sin N s ) από όπου προκύπτει n SNR SNR out in N N F T (3.6) s s Συμπερασματικά, στην έξοδο του ΣΠΦ έχουμε ένα ισοδύναμο εύρος ζώνης θορύβου ίσο με το Baud Rate /T, και όχι ίσο με τη συχνότητα δειγματοληψίας. Ένα σύστημα ψηφιακής μετάδοσης χρησιμοποιεί Μ διακριτούς παλμούς, σε καθέναν από τους οποίους κωδικοποιεί logμ bits πληροφορίας. Εν γένει απαιτούνται Μ διαφορετικά προσαρμοσμένα φίλτρα, ένα για κάθε παλμό. Κατά την αποδιαμόρφωση επιλέγεται (στο τέλος κάθε περιόδου Τ) εκείνος ο παλμός του οποίου το αντίστοιχο φίλτρο δίνει τη μεγαλύτερη έξοδο. Η γενική προσέγγιση της επόμενης παραγράφου, ωστόσο, αποδεικνύει ότι απαιτούνται τόσα προσαρμοσμένα φίλτρα όση η διάσταση του γραμμικού σηματικού χώρου.

93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα Προσαρμοσμένα Φίλτρα στον Ν-διάστατο σηματικό χώρο Σύμφωνα με τη σχέση (3.4), η έξοδος του προσαρμοσμένου φίλτρου κατά τη στιγμή δειγματοληψίας δίνει τη συσχέτιση (correlation) του λαμβανόμενου σήματος με τον παλμό στον οποίο είναι προσαρμοσμένο το φίλτρο ή, αλλιώς, το εσωτερικό γινόμενο των δύο αυτών σημάτων, θεωρούμενων ως διανυσμάτων στον γραμμικό, μετρικό χώρο με μέτρο την τετραγωνική ρίζα της ενέργειας των σημάτων. Στον χώρο αυτόν (που ονομάζεται και σηματικός χώρος signal space) κάθε παλμός αντιστοιχεί σε ένα σημείο, το δε σύνολο των σημείων-παλμών αποτελεί τον σηματικό αστερισμό (signal constellation) του συστήματος ψηφιακής μετάδοσης. Οι χρησιμοποιούμενοι παλμοί δεν είναι κατ ανάγκη όλοι γραμμικά ανεξάρτητοι, οπότε το μέγεθος του σηματικού αστερισμού Μ μπορεί να είναι μεγαλύτερο από τη διάσταση του σηματικού χώρου Ν. Τυπικά παραδείγματα τέτοιας περίπτωσης είναι όλα τα συστήματα PSK και QAM, των οποίων ο σηματικός χώρος είναι δισδιάστατος (Ν=). Στη συνέχεια διατυπώνεται συνοπτικά το πρόβλημα της κωδικοποίησης διαμόρφωσης και βέλτιστης αναγνώρισης στον Ν-διάστατο σηματικό χώρο. Θα καταστεί φανερό ότι αρκούν Ν (και όχι Μ, αν Μ>Ν) προσαρμοσμένα φίλτρα, δηλ. τόσα, όση η διάσταση του σηματικού χώρου Ο γραμμικός σηματικός χώρος Ο χώρος των Μ διαφορετικών κυματομορφών-παλμών, { s i ( t), i,... M}, εφοδιασμένος με την πράξη της συσχέτισης και το αντίστοιχο μέτρο (λαμβανόμενο από τη συσχέτιση σήματος με τον εαυτό του), είναι ένας γραμμικός μετρικός χώρος ο οποίος μπορεί να παραχθεί ( be spanned ) από Ν ορθοκανονικά σήματα { ( t), j,... N}, N M. Ο χώρος διέπεται, συνεπώς, από τις παρακάτω σχέσεις: j T si, s j si ( t) s j ( t) dt, si si, si s ( t) dt i (3.7), i j i, j, i j (3.8) s ( t) i s i N j N j ( t), a s, ij j ij i N j j T (3.9), s s ( ) (3.) ij i k ij jk Για τα ισοδύναμα σήματα βασικής ζώνης, ο χώρος αυτός ταυτίζεται με το μιγαδικό επίπεδο πλατών φάσεων (βλ. και το σχετικό παράδειγμα).

94 3- Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο j Με γνωστά τα { ( t), j,... N} (= βάση του γραμμικού χώρου), κάθε σήμασημείο του χώρου μπορεί να δοθεί από τις Ν συντεταγμένες του, {, j,... N}. ij Παράδειγμα: Τα σήματα, γραφόμενα και ως, απαρτίζουν δισδιάστατο σηματικό χώρο με βάση: και συντεταγμένες: ( t) T t sin( ) T ( t) i T (t) s i t cos( ) T 3.3. Αλγόριθμος ορθογωνοποίησης Gram-Schmidt (Gram-Schmidt orthogonalization) Για κάθε σύνολο διανυσμάτων {, i,... M} (άρα και για τον σηματικό αστερισμό s i { s i ( t), i,... M} ) μπορεί να βρεθεί ένα ορθοκανονικό σύστημα { j, j,... N} Ν Μ, με τον γνωστό αλγόριθμο ορθογωνοποίησης Gram-Schmidt [STRA988]: Με αφετηρία το u s, επιλέγουμε διαδοχικά u s, i,3,..., N, κάθε φορά από το σύνολο των απομεινάντων s, έτσι ώστε να προκύπτει μη μηδενικό i j i u u u,,, u u u, 3 u3 u3, u3, u u, u, 3 3 3,... μέχρι, για όλα τα εναπομείναντα s, ή αν Ν=Μ. N s N s N j j j (δείτε, π.χ., [STRA993], σ. ) Πλαίσιο 3.3: Αλγόριθμος ορθογωνοποίησης Gram-Schmidt Στη συνέχεια, η ανεξάρτητη μεταβλητή χρόνου t για τα σήματα του σηματικού αστερισμού και τα ορθοκανονικά σήματα μπορεί να παραλείπεται και οι συμβολισμοί si(t) και si θα χρησιμοποιούνται ως ταυτόσημοι Το πρόβλημα της αναγνώρισης στον Ν-διάστατο χώρο Υποθέτουμε ότι ένας εκπεμπόμενος παλμός s i αλλοιώνεται από ανεξάρτητο, αθροιστικό θόρυβο και εκείνο που λαμβάνει ο δέκτης είναι κυματομορφή r, η οποία απέχει από την εκπεμφθείσα κατά τον όρο θορύβου w:

95 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3- r s i w (3.) Υποθέτουμε, επίσης, ότι τα σήματα w και, συνεπώς, τα r ανήκουν στον σηματικό μας χώρο, αφού κάθε άλλη συνιστώσα θα αποκοπεί από τα φίλτρα εισόδου του δέκτη. Έτσι: N r j j, j r, j j (3.) Η (3.) υλοποιείται ως μια συστοιχία Ν συσχετιστών (προσαρμοσμένων φίλτρων) που δίνουν τις προβολές του ληφθέντος σήματος r στα Ν ορθοκανονικά διανύσματασήματα, όπως σχηματικά δείχνεται στο σχήμα 3.4(β). Το σχήμα 3.4(α) δίνει την κατασκευή του σήματος si στον πομπό, σύμφωνα με τη σχέση (3.9). σύμβολο m i ΠΡΟΣΔΙΟ- ΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕ- ΣΤΩΝ i i.. in N Χ Χ Σ si w Δίαυλος r Χ (α) r.. N Χ Χ Χ T dt T dt T dt.. N ΑΝΙΧΝΕΥΤΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ m i προσαρμοσμένο φίλτρο στο N (β) Πλαίσιο 3.4: Πομπός και δέκτης στον Ν-διάστατο σηματικό χώρο: (α) κατασκευή παλμού στον πομπό, (β )βέλτιστη αναγνώριση στον δέκτη

96 3- Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Το πρόβλημα της αναγνώρισης μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Πρόβλημα αναγνώρισης (detection) Από την εκτίμηση των συντελεστών { j, j,... N } στον δέκτη (προβολές του λαμβανόμενου σήματος r στα γενετήρια διανύσματα του σηματικού χώρου) να βρεθεί ποιος από τους παλμούς { s i, i,... M } έχει τη μεγαλύτερη πιθανότητα να έχει εκπεμφθεί από τον πομπό. Αναζητούμε, λοιπόν, εκείνο το i για το οποίο μεγιστοποιείται η πιθανότητα να έχει εκπεμφθεί το si δεδομένου του r, ήτοι:? max p( s r) i i (3.3) Οι εκ των υστέρων πιθανότητες (a posteriori probabilities) της σχέσης (3.3) μπορούν να αναχθούν στις πιο εύχρηστες εκ των προτέρων πιθανότητες (a priori probabilities) με τη βοήθεια του θεωρήματος του Bayes (εδώ εκφρασμένου για διακριτούς και συνεχείς δειγματικούς χώρους): f r r si psi r p( si ) (3.4) f ( r) r όπου f r s ) η υπό συνθήκη (το si) συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας r ( i (probability density function) του r και f r (r) η αντίστοιχη συνάρτηση χωρίς συνθήκη (βλέπε σχετικό Πλαίσιο 3.5). Λόγω της (3.4), και με την πρόσθετη υπόθεση ότι οι παλμοί si εκπέμπονται με ίδια πιθανότητα, δηλ. p(si)=/μ, η μεγιστοποίηση της p( s i r) στην (3.3) ισοδυναμεί με μεγιστοποίηση της f r s ) ως προς i (η συνάρτηση f r (r) είναι ανεξάρτητη του i). r ( i Οι συναρτήσεις { fr ( r si ), i,... M } ονομάζονται συναρτήσεις πιθανοφάνειας (likelihood functions), η δε αναγνώριση που βασίζεται στην εύρεση της μέγιστης εξ αυτών για ληφθέν r ονομάζεται αναγνώριση μέγιστης πιθανοφάνειας (maximum likelihood detection).

97 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-3 Το θεώρημα (ή ο κανόνας) του Bayes συνδέει τις πιθανότητες δύο ενδεχομένων, Α και Β (με και χωρίς συνθήκη), ως εξής: Pr{ A} Pr{ A B} Pr{ B A} Pr{ B} Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα εφαρμογής του με το ακόλουθο πείραμα: Επιλέγουμε με ίσες πιθανότητες ένα από 4 ζάρια, εκ των οποίων το ένα δεν είναι καθαρό και φέρνει το με πιθανότητα /3. Ας συμβολίσομε το ζάρι αυτό με K, από το Κάλπικο. Ζητάμε την πιθανότητα Pr{" " ""}, δηλαδή την πιθανότητα να είχαμε διαλέξει το K, με δεδομένο ότι φέραμε. Pr{"K"} / 4 Είναι Pr{" " ""} Pr{"" "K"} Pr{""} 3 (/ 4)(/ 3) (3/ 4)(/ 6) 5 Στην περίπτωσή μας, επειδή ο δειγματικός χώρος των s i είναι διακριτός, ενώ του r συνεχής, εργαζόμαστε με στοιχειώδεις πιθανότητες ως εξής: Pr{ r r} f r ( r) r και Pr{ r r s } f ( r s ) r Εξάλλου, λόγω Bayes, Pr{ si} Pr{ si r r} Pr{ r r si} Pr{ r r} από όπου λαμβάνεται η (3.4). i r i r Πλαίσιο 3.5: Το θεώρημα του Bayes στον υπολογισμό των εκ των υστέρων πιθανοτήτων Αναγνώριση μέγιστης πιθανοφάνειας σε αθροιστικό γκαουσιανό θόρυβο Όταν ο θόρυβος είναι αθροιστικός, τύπου Gauss, οι συναρτήσεις πιθανοφάνειας είναι κανονικές κατανομές με κέντρα τα αντίστοιχα si στον Ν-διάστατο χώρο. Για μονοδιάστατους αστερισμούς (διαμόρφωσης πλάτους) είναι rsi ( rsi ) No e e f r ( r si ) (3.5α) N o όπου έχει ληφθεί υπόψη ότι στην έξοδο του προσαρμοσμένου φίλτρου και για ισχύ σήματος ανάλογη του i s η αντίστοιχη ισχύς θορύβου σ είναι ανάλογη του Νο/. Στον Ν-διάστατο χώρο οι γκαουσιανές συναρτήσεις πιθανοφάνειας εκφράζονται ως

98 3-4 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο r i r si N o N N o e f ( r s ) (3.5β) Στο Πλαίσιο 3.6 δείχνονται σχηματικά τέτοιες συναρτήσεις για Ν= si s 4 s Πλαίσιο 3.6: Συναρτήσεις πιθανοφάνειας (προοπτικό και ισοϋψείς), περίπτωση αθροιστικού γκαουσιανού θορύβου στον δισδιάστατο σηματικό χώρο Αντί για τη μεγιστοποίηση των ίδιων των συναρτήσεων πιθανοφάνειας, μπορούμε, ισοδύναμα, να μεγιστοποιήσουμε τους φυσικούς τους λογαρίθμους:? max{ln f ( r s )} (3.6) i r i Η (3.6), συνδυαζόμενη με την (3.5) για γκαουσιανές συναρτήσεις πιθανοφάνειας, ισοδυναμεί με ελαχιστοποίηση αποστάσεων στον Ν-διάστατο χώρο:

99 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-5 (3.5) & (3.6) min{ r s, i,... M} (3.7α) i i N ή, ισοδύναμα, min{ ( a a ), i,... M} i n in n (3.7β) Επιλέγουμε, δηλαδή, εκείνο το si που βρίσκεται πλησιέστερα (πάντα κατά την έννοια της συσχέτισης) στο ληφθέν r. Έτσι ο σηματικός χώρος μπορεί να διαμεριστεί σε περιοχές απόφασης, μία για κάθε σημείο si, το δε πρόβλημα μπορεί να αναχθεί σε γεωμετρικό Ανάλυση σφάλματος Ας συμβολίσουμε με S i την περιοχή απόφασης του παλμού si και με συμπληρωματική της στον σηματικό μας χώρο, S. Έτσι είναι: S i την i S i S, S S S (3.8) i i Η πιθανότητα εσφαλμένης ανίχνευσης συμβόλου Pe δίνεται από τη σχέση: P e M i Pr{ s r S } i i M i η οποία, για ισοπίθανα si, γίνεται: Pr{ s }Pr{ r S i i s } i M i Pr{ s } i Si f ( r s ) dr r i P e M M i Si f ( r s ) dr r i (3.9) Η δυσκολία με τη σχέση (3.9) έγκειται στο ότι η ολοκληρούμενη ποσότητα είναι, για γκαουσιανό θόρυβο, της μορφής και δεν ολοκληρώνεται σε κλειστή μορφή. Σε ειδικές περιπτώσεις (π.χ. για μονοδιάστατο σηματικό χώρο) μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια της συμπληρωματικής συνάρτησης λάθους (complementary error function), η οποία ορίζεται ως: y erfc( x) e dy (3.) x και δίνεται σε πίνακες ή με προσεγγιστικούς τύπους (βλ. Παράρτημα Π3.). e x Για σηματικό αστερισμό δύο σημείων, με s s d και s s E d / (αντίποδα σήματα) και γκαουσιανές συναρτήσεις πιθανοφάνειας όπως στη σχέση (3.5α), η (3.9) γίνεται: Πιθανότητα εσφαλμένου d E PeM ( ) erfc erfc (3.) συμβόλου, αντίποδα σήματα N N o o

100 3-6 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Στο παράδειγμα 3. θα υπολογιστεί η πιθανότητα λάθους για σηματικό αστερισμό L> σημείων σε μονοδιάστατο σηματικό χώρο (L-ASK). Υπολογισμός άνω φράγματος της πιθανότητας λάθους στον Ν-διάστατο χώρο Είναι δυνατόν να υπολογίσουμε ένα άνω φράγμα της (3.9) με βάση τις σχέσεις M Pr{ r S k s } i M Pr{ r s r s s } erfc k k k i k i k i k i S f ( r s ) dr r i k i i M d ik N o οπότε M M d ik Pe erfc (3.) M N i k o ki με την ισότητα να ισχύει όταν Μ=, ταυτιζόμενη με τη σχέση (3.). Τέλος, μπορούμε να αντικαταστήσουμε τις αποστάσεις dik στην (3.) με την ελάχιστη εξ αυτών dmin, και να πάρουμε ένα ακόμη απλούστερο (όμως χονδροειδέστερο) άνω φράγμα της πιθανότητας λάθους: P M d erfc N min e o (3.3) Από τη σχέση (3.3) είναι φανερό ότι, για δεδομένη πυκνότητα ισχύος θορύβου Νο, έχουμε ελαχιστοποίηση της πιθανότητας λάθους (ή, έστω, ενός άνω φράγματος αυτής) όταν μεγιστοποιηθεί η ελάχιστη απόσταση μεταξύ των σημείων του σηματικού αστερισμού. Για δεδομένη ισχύ πομπού (δηλαδή δεδομένη μέγιστη απόσταση των σημείων από την αρχή των αξόνων), αυτό συμβαίνει όταν τα σημεία κατανεμηθούν ομοιόμορφα στην υπερσφαίρα που αντιστοιχεί στην ισχύ αυτή Σύμφωνα και Ασύμφωνα συστήματα αναγνώρισης Το επικοινωνιακό σύστημα του Πλαισίου 3.4 βασίζεται στην υπόθεση ότι στον δέκτη υπάρχει η δυνατότητα της απόλυτα πιστής αναπαραγωγής των ορθοκανονικών σημάτων (t), που χρησιμοποιούνται στον πομπό ως συναρτήσεις βάσης των j κυματομορφών (t). Η υπόθεση αυτή δικαιολογείται για όλες τις παραμέτρους s i εκτός της καθυστέρησης ή αντίστοιχα της φάσης των αρμονικών συναρτήσεων που είτε χρησιμοποιούνται αυτούσιες είτε συμβάλλουν στη δημιουργία των (t), σε j

101 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-7 σχέση με τις λαμβανόμενες κυματομορφές. Η καθυστέρηση, έστω μόνο λόγω διάδοσης, μεταξύ πομπού-δέκτη είναι κατά κανόνα άγνωστη και μεταβλητή λόγω πολλαπλών ανακλάσεων, διακυμάνσεων των διηλεκτρικών και διαμαγνητικών σταθερών του μέσου κ.λπ. Όπως θα φανεί ευθύς αμέσως, το σύστημα του Πλαισίου 3.4 αποδίδει μόνο με την προϋπόθεση πιστής αναπαραγωγής της φάσης των στον δέκτη και ονομάζεται για τον λόγο αυτόν σύμφωνο. Η αναπαραγωγή αυτή γίνεται με διάφορες τεχνικές, η απλούστερη των οποίων είναι η παράλληλη εκπομπή σήματος-πιλότου που διέρχεται ακριβώς από τον ίδιο δίαυλο και μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως αναφορά στον δέκτη. Εν γένει το πρόβλημα της συμφωνίας στον δέκτη είναι δύσκολο και «ακριβό» στις τεχνικές επίλυσής του. Αφού λοιπόν δούμε στην παρακάτω κάπως ειδικότερη περίπτωση πώς η λειτουργία του σύμφωνου δέκτη πραγματικά καταρρέει με την ασυμφωνία της φάσης, θα εξετάσουμε τις εναλλακτικές υλοποιήσεις ασύμφωνου δέκτη, καθώς και την αναπόφευκτη αυξημένη επίδραση του θορύβου που τη συνοδεύει. Στο σχήμα 3.7(α) (Πλαίσιο 3.7) δίνονται τα γενετήρια διανύσματα j, j, j (t) ενός συστήματος Δυαδικής Μεταλλαγής Συχνότητας (Binary Frequency Shift Keying-BFSK), για το οποίο είναι Μ=Ν=. Ας υποθέσουμε ότι τα δύο σήματα που κατασκευάζει ο πομπός κατά το σχήμα 3.5(α) είναι συγγραμμικά των και. Υποθέτουμε επιπλέον ότι τα σήματα αυτά φθάνουν στον δέκτη με άγνωστη ή/και τυχαία μεταβαλλόμενη φάση θ στο διάστημα [, π], ενώ αγνοούμε προς το παρόν την επίδραση του θορύβου, δηλαδή E ri ( t) cos( fit ), i,, t T (3.4) T Για τον δέκτη ΣΠΦ του σχήματος 3.5(β) έχουμε E T ij cos( f it )cos( f jt) dt, i,, j, (3.5) T Οι συντελεστές ij εξαρτώνται από το θ, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.7(β), και είναι φανερό ότι η άγνοια ή/και τυχαία μεταβολή της φάσης θ καταστρέφει τη λειτουργία του δέκτη. Οι καμπύλες του σχ. 3.7(β) αναφέρονται στη μέση τιμή των συντελεστών Ε{ ij }, για να καλύψουν και την περίπτωση παρουσίας αθροιστικού θορύβου.

102 3-8 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο ( t) ( t) (α) α π/ a a E α E{ }, i j ij E{ } π π (β) ii Πλαίσιο 3.7: (α) Γενετήρια διανύσματα σηματικού χώρου ΒFSK ( Ν=Μ=, f i =i/t), i=, (β) Έξοδος προσαρμοσμένων φίλτρων συναρτήσει της άγνωστης φάσης θ Είναι φανερό ότι το κλείδωμα και ως εκ τούτου ο συσχετισμός του σήματος με τους παλμούς αναφοράς του δέκτη δεν είναι εύκολα σε κλίμακα του διαστήματος [,Τ]. Η (3.4) γράφεται και ως E ri ( t) [cos cos( f it) sin sin( fit)], i,, t T (3.6) T και η σύμφωνη διάταξη του συσχετιστή διασπάται τώρα στην ασύμφωνη που περιέχει δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες jd, jq για το σήμα αναφοράς j, όπως στο σχήμα 3.8(β). Με τον εγκάρσιο (quadrature) αυτόν συσχετιστή του δέκτη παίρνουμε σαν ολοκληρώματα στο διάστημα [,Τ] τις ποσότητες E / T cos και E / T sin, από όπου εύκολα παίρνουμε ως υποτείνουσα την ποσότητα E που εξαρτάται μόνο από την ενέργεια Ε του σήματος, χωρίς καμία επίδραση της φάσης. Η ερμηνεία των παραπάνω με αναφορά στο σχήμα 3.7β είναι ότι: για τις τεταγμένες a και a οποιωνδήποτε σημείων με απόσταση π/ ισχύει η σχέση E (ανεξάρτητο του θ). Εύκολα επίσης συνάγεται ότι, για την άλλη συχνότητα, ο

103 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-9 εγκάρσιος συσχετιστής δίνει. Με αυτόν τον τρόπο, βλέπομε ότι ο εγκάρσιος (ασύμφωνος non-coherent) συσχετιστής λύνει το πρόβλημα της άγνωστης φάσης θ. Η ισοδυναμία συσχετιστή και προσαρμοσμένου φίλτρου, όπως παρατηρήθηκε στην ενότητα 3. για το ΣΠΦ, ισχύει και εδώ, έτσι ώστε οι δύο εγκάρσιοι συσχετιστές του σχήματος 3.8(β) να μπορούν να αντικατασταθούν με προσαρμοσμένα φίλτρα. Πιο ενδιαφέρουσα είναι η ισοδυναμία σε κλίμακα όχι του καθαυτό σήματος αλλά της περιβάλλουσάς του, με το λεγόμενο ασύμφωνο προσαρμοσμένο φίλτρο (noncoherent matched filter) κατά το σχήμα 3.8(γ). Με κρουστική απόκριση g ( t) / T cos[ f ( T t)], που είναι προσαρμοσμένη μόνο για τη φάση θ=, και j j είσοδο ri ( t) E/ T cos( f t ) παίρνουμε ως απόκριση του φίλτρου: i yij ( t) T όπου Y( t)cos( fi ), i j E cos fit cosf j ( T t) (3.7α), i j t E, t T T t Y ( t) E ( ), T t T (3.7β) T, t T Για τις παραπάνω σχέσεις έχουμε υποθέσει ότι T f k, k. Σχηματικά, η διαδικασία της συνέλιξης της σχέσης (3.7α) φαίνεται στο σχήμα 3.9: η γραμμική αύξηση/μείωση της περιβάλλουσας της συνάρτησης είναι αυτή που ενδιαφέρει, και προέρχεται από την πεπερασμένη διάρκεια των ταλαντώσεων της εισόδου και της κρουστικής απόκρισης. Για t=t η περιβάλλουσα παίρνει τη μέγιστη τιμή. Εξάλλου, η έξοδος της διάταξης του σχήματος 3.8(β) είναι: i Y ( T ) I ij, E, i j i j (3.8) Αρκεί λοιπόν η ανίχνευση της περιβάλλουσας του σήματος (3.7) (ανόρθωση και βαθυπερατό φίλτρο, μαζί με δειγματισμό της στο μέγιστο t=t), έτσι ώστε η χρήση του ασύμφωνου προσαρμοσμένου φίλτρου να αποτελεί μια ισοδύναμη δυνατότητα πραγματοποίησης του δέκτη κατά το σχήμα 3.8(γ). Toνίζεται εδώ ότι καθεμία από τις διατάξεις του Πλαισίου 3.6 αντιστοιχεί μόνο σε έναν κλάδο, τον j, του δέκτη στο σχήμα 3.5(γ).

104 3- Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο j ( t) cosf jt T (t) r i Χ T dt ij (α) Συσχετιστής σε σύμφωνο δέκτη j ( t) cosf jt T (t) r i Χ / T dt y d (. ) Σ E, j i, j i Χ T dt y q (. ) (β) Εγκάρσια διάταξη συσχετιστή σε ασύμφωνο δέκτη (t) r i Φίλτρο, κρ. απ. g( t) j ( T t) Ανιχνευτής περιβάλλουσας δειγμάτιση t T E, j i, j i (γ) Ασύμφωνο προσαρμοσμένο φίλτρο Πλαίσιο 3.8: Μετάβαση από τον σύμφωνο (α) στον ασύμφωνο (β, γ) δέκτη

105 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3- r ( t) cos(f t ) i i ( t) ( t) r ( t) ( T t) i i Πλαίσιο 3.9: Συνέλιξη και περιβάλλουσά της Επίδραση θορύβου στον ασύμφωνο δέκτη Είδαμε ότι ο ασύμφωνος δέκτης είναι τεχνολογικά απλούστερος, καθόσον δεν απαιτεί εκπομπή σήματος αναφοράς ή κατ άλλο τρόπο ανακατασκευή της φάσης της εκπεμπόμενης κυματομορφής. Ως επακόλουθο όμως της λιγότερης πληροφορίας που χρειάζεται ή λαμβάνεται υπόψη στον δέκτη, έχουμε δυσμενέστερη συμπεριφορά του δέκτη ως προς τον θόρυβο, όπως θα φανεί καθαρά με τη σύγκριση των σχημάτων (σύμφωνης) BPSK και ασύμφωνης BFSK σε επόμενο κεφάλαιο. Η ανάλυση της επίδοσης του ασύγγρονου δέκτη παρουσία θορύβου [ΗΑΥΚ88, κεφ. 7] δίνει τα εξής άνω φράγματα για την πιθανότητα εσφαλμένου συμβόλου, κατ αντιστοιχία των σχέσεων (3.) και (3.3): Πιθανότητα εσφαλμένου συμβόλου Ασύμφωνης Δυαδικής FSK (3.9) P e e E N o Άνω φράγμα πιθανότητας εσφαλμένου συμβόλου Ασύμφωνης MFSK P e E N o M e (3.3)

106 3- Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 3.4 Επεξεργασμένα παραδείγματα 3.4. Παράδειγμα 3.: Δυαδική μετάδοση με ημιτονικούς παλμούς και αναγνώριση ΣΠΦ Έστω ότι χρησιμοποιούνται δύο ημιτονικοί παλμοί, s και s, μίας και δύο πλήρων περιόδων αντίστοιχα (δυαδική μεταλλαγή συχνότητας). Α. Να γραφεί πρόγραμμα με την εξής λειτουργία: I. Για δεδομένη ακολουθία δυαδικών ψηφίων b[k], k=,...κ=, παράγει παλμοσειρά S[ k] [ si ], i {, }, σύμφωνα με την αντιστοιχία s, s. Η II. III. S[k] είναι πίνακας [ N s xk ], του οποίου κάθε στήλη είναι παλμός si στο διακριτό πεδίο (δείγματα πλήθους Ns). Παράγει και υπερθέτει στην ψηφιακή παλμοσειρά λευκό γκαουσιανό θόρυβο, για δεδομένη σηματοθορυβική σχέση. Υπολογίζει και σχεδιάζει τις αποκρίσεις των προσαρμοσμένων φίλτρων στη θορυβώδη παλμοσειρά εισόδου, με ενδείξεις επί του σχήματος για τις χρονικές στιγμές δειγματοληψίας, καθώς και τα κωδικοποιημένα δυαδικά ψηφία. Αυτό να γίνει για δύο τιμές σηματοθορυβικής σχέσης: (α) SNR= db, (b) SNR=-db. Β. Μιά άλλη έκδοση του παραπάνω προγράμματος και για μια μεγάλη ακολουθία εισόδου b[k] (μήκους π.χ. Κ=5) να επαληθεύσει ότι η βελτίωση της σηματοθορυβικής σχέσης ισούται με το πλήθος Ns των δειγμάτων των παλμών si (εντός της βασικής περιόδου Τ). Υλοποίηση Κώδικες 3. και 3..

107 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-3 Α. 3 % Απόκριση Προσαρμοσμένων Φίλτρων - 4 % Δυαδική μετάδοση με ημιτονικούς παλμούς διαφορετικών συχνοτήτων 5 clear all; close all; 6 b=[ ]; % η δυαδική ακολουθία προς μετάδοση 7 t=[:.:*pi]'; % το χρονικό πλέγμα μιας βασικής περιόδου, Τ 8 Ns=length(t); 9 s=sin(t); s=sin(*t); % οι δύο παλμοί E=sum(s.^); E=sum(s.^); % η ενέργεια των παλμών for i=:ns- g(ns-i)=s(i+); % προσαρμοσμένο # 3 g(ns-i)=s(i+); % προσαρμοσμένο # 4 end 5 SNRdb=5; SNRin=^(SNRdb/); % επιθυμητό SNR 6 Sin=/*(E+E)/Ns; % (μέση) ισχύς σήματος εισόδου 7 Nin=Sin/SNRin; % ισχύς θορύβου 8 for k=:length(b) % για κάθε bit εισόδου επίλεξε αντίστοιχο παλμό 9 if b(k)== s=s; else s=s; end w=wgn(ns,,*log(nin)); % λευκός γκαουσ. θορύβος ισχύος Nin 3 r=s+w; % θορυβώδες σήμα 4 S(:,k)=s; R(:,k)=r; 5 ho=conv(g,r); Ho(:,k)=ho(:Ns); 6 ho=conv(g,r); Ho(:,k)=ho(:Ns); 7 clear s ho; 8 end 9 %%%%% plots 3 m=max([max(max(ho)); max(max(ho))]); 3 Ho=3*Ho/m; Ho=3*Ho/m; 3 figure; ylim([-3,3]); hold; 33 for k=:length(b) 34 t=t//pi+(k-); 35 tmax=t(length(t)); 36 line(t,s(:,k),'color','black','linewidth', ); 37 plot(t,r(:,k),'k'); 38 line([tmax,tmax], 39 [-3,3],'Color','black','Linestyle',':','Linewidth',); 4 text(tmax-.5,,intstr(b(k)),'fontsize',4); 4 end 4 title(['θορυβώδες σήμα εισόδου -- SNRin=',numstr(SNRdb), ' db']); 43 xlabel('xt','fontsize',); 44 hold; figure; 45 ylim([-4,4]); hold; 46 for k=:length(b) 47 t=t//pi+(k-); 48 tmax=t(length(t)); 49 plot(t,ho(:,k),'color', 'black','linewidth',); 5 plot(t,ho(:,k),'color', 'black','linestyle','--','linewidth',); 5 line([tmax,tmax],[-3,3], 'Color', 5 'black','linestyle',':','linewidth',); 53 text(tmax-.5,,intstr(b(k)),'fontsize',4); 54 text(t(length(t)-3),3.,'\downarrow','fontsize',); 55 end 56 text(t(length(t))/,3.7,'στιγμές δειγματοληψίας','fontsize',8); 57 title(['έξοδος προσαρμοσμένων φίλτρων -- SNRin=',numstr(SNRdb), ' db']); 58 xlabel('xt','fontsize',); 59 hold; Κώδικας 3.: Εξομοίωση προσαρμοσμένων φίλτρων για θορυβώδη ημιτονικά σήματα μίας και δύο περιόδων

108 3-4 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 3 Θορυβώδες σήμα εισόδου -- SNRin= db 4 Έξοδος προσαρμοσμένων φίλτρων -- SNRin= db στιγμές δειγματοληψίας xt xt 3 Θορυβώδες σήμα εισόδου -- SNRin=- db 4 Έξοδος προσαρμοσμένων φίλτρων -- SNRin=- db στιγμές δειγματοληψίας 3 / xt (α) xt (β)!!! λάθος Πλαίσιο 3.: Εξαγόμενα Κώδικα 3.: (α) θορυβώδες σήμα εισόδου, (β) αποκρίσεις προσαρμοσμένων φίλτρων

109 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-5 Β. 3 % Εκτίμηση βελτίωσης SNR προσαρμοσμένου φίλτρου 4 clear all; 5 b=randint(,5); % το δυαδικό σήμα προς μετάδοση 6 t=[:.:*pi]; % χρονικό πλέγμα βασικής περιόδου, T 7 Ns=length(t); 8 s=sin(t); % παλμός # 9 s=sin(*t); % παλμός # E=sum(s.^); % ενέργεια παλμού # E=sum(s.^); % ενέργεια παλμού # SNRdb=; % επιθυμητό SNR εισόδου, σε db 3 SNRin=^(SNRdb/); 4 Sin=/*(E+E)/Ns; % μέση ισχύς σήματος εισόδου 5 Nin=Sin/SNRin; % ισχύς θορύβου εισόδου 6 for k=:length(b) % για κάθε bit εισόδου επίλεξε αντίστοιχο παλμό 7 if b(k)== s=s; 8 else s=s; 9 end w=randn(,ns)*sqrt(nin); % θόρυβος εισόδου W(k)=sum(w.^)/Ns; r=s+w; 3 Ho(k)=sum(s.^); % σήμα εξόδου ho(t) σε χρόνους t=kt 4 Wo(k)=sum(s*r')-Ho(k); % θόρυβος εξόδου 5 clear s w; 6 end 7 Nin_measured=sum(W)/length(W); 8 SNRout=sum(Ho.^)/sum(Wo.^); 9 SNRin_measured=*log(Sin/Nin_measured) 3 SNR_improvement=SNRout/SNRin 3 Ns Κώδικας 3.: Εκτίμηση της βελτίωσης της σηματοθορυβικής σχέσης με χρήση προσαρμοσμένου φίλτρου Με τα δεδομένα του παραπάνω παραδείγματος παίρνουμε απόκριση παρόμοια με την ακόλουθη: SNRin_measured =.46 SNR_improvement = Ns =63 (db) Κάθε ανεξάρτητη εκτέλεση του προγράμματος θα μας δίνει ενδεχομένως ελαφρώς διαφοροποιημένα αποτελέσματα. Αυτό είναι φυσικό, λόγω των διαφορετικών κάθε φορά στιγμιότυπων θορύβου. Επαληθεύεται συνεπώς ότι η βελτίωση του σηματοθορυβικού λόγου με το ΣΠΦ είναι περίπου ίση με το Νs. Ας σημειωθεί ότι δεν απαιτείται η συνθήκη γκαουσιανής κατανομής για την αλήθεια του συμπεράσματος αυτού, παρά μόνο ότι ο θόρυβος είναι λευκός, αθροιστικός, στατιστικά ανεξάρτητος του σήματος (θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί, π.χ., ομοιόμορφη κατανομή).

110 3-6 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 3.4. Παράδειγμα 3.: Πιθανότητα εσφαλμένης ανίχνευσης συμβόλων L- ASK Α. Έστω αστερισμός L σημείων, κείμενων επί ευθείας γραμμής στις θέσεις E, 3 E,..., ( L E. ) Για ισοπίθανα σύμβολα, να υπολογιστεί θεωρητικά η πιθανότητα εσφαλμένης ανίχνευσης συμβόλου (ή το Symbol Error Rate - SER) για λευκό αθροιστικό θόρυβο Gauss, συναρτήσει των L και E b, av. N o Β. Να γραφεί πρόγραμμα-συνάρτηση σε MATLAB με την εξής λειτουργία: a) Παράγει σήμα εκ τυχαίων συμβόλων, με ορθογωνικούς παλμούς διάρκειας Τ και πλάτους εκ του συνόλου A, 3A,..., ( L ) A, και υπερθέτει θόρυβο AWGN συγκεκριμένου ανηγμένου σηματοθορυβικού λόγου E b, av b) Εξομοιώνει δέκτη σύμφωνου προσαρμοσμένου φίλτρου για τη φώραση της ως άνω παλμοσειράς και υπολογίζει τον ρυθμό εσφαλμένων συμβόλων (SER). Γ. Να σχεδιαστούν θεωρητικές καμπύλες BER για L=4,8,6 και, με χρήση της συνάρτησης εξομοίωσης του ερωτήματος Β.b και του bertool του MATLAB, να N o. υπολογιστούν και υπερτεθούν σημεία εξομοίωσης για διάφορες τιμές του στην περιοχή,... db. E b, av N o Υλοποίηση: Α. Στο Πλαίσιο 3. έχει σχεδιαστεί ο σηματικός χώρος συγγραμμικών σημείων και έχουν υπερτεθεί γκαουσιανές συναρτήσεις πιθανοφάνειας. Λόγω του αθροιστικού (ανεξάρτητου από το σήμα) θορύβου, οι συναρτήσεις αυτές είναι ίδιου εύρους και, συνεπώς, τέμνονται στα μεσοδιαστήματα των σημείων του αστερισμού, ορίζοντας έτσι ίσα διαστήματα απόφασης γύρω από τα σημεία.

111 3-7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα Πλαίσιο 3.: Αστερισμός L συγγραμμικών σημείων και συναρτήσεις πιθανοφάνειας Με τους συμβολισμούς: i p : η πιθανότητα εκπομπής του συμβόλου si, i=,, L i e p, : η πιθανότητα σφάλματος, υπό συνθήκη ότι εστάλη το σύμβολο si η πιθανότητα εσφαλμένου συμβόλου Pe εκφράζεται ως εξής: o L i o o L i i e i e N E erfc L L N E erfc N E erfc L p p P, (3.3) Η μέση ενέργεια συμβόλου εκφράζεται, συναρτήσει των Ε και L, ως εξής: Μέση ενέργεια συμβ. L-ASK 3 ) ( ) ( / L E i L E E i p E L i L i i av και ανηγμένη ανά bit 3 log log, L L E L E E av av b. (3.3) Λύνοντας την τελευταία σχέση ως προς Ε και αντικαθιστώντας στην (3.3), παίρνουμε: Πιθανότητα Εσφαλμένου Συμβόλου L-ASK (3.33) o av b e N E L L erfc L L P, 3log -(L-) - 3 (L-) x περιοχή απόφασης

112 3-8 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο B. Η ζητούμενη συνάρτηση MATLAB δίνεται από τον Κώδικα 3.3. Σε σχέση με τη γενικότερη διατύπωση του ερωτήματος (Α) και με τους εξής πρόσθετους συμβολισμούς: Τ: η διάρκεια κάθε παλμού, nsamp: ο αριθμός δειγμάτων σήματος στη διάρκεια Τ ενός παλμού, εδώ είναι Ε=Α Τ. Στον Κώδικα 3.3, και χωρίς βλάβη της γενικότητας, έχει ληφθεί το πλάτος του μικρότερου παλμού Α ίσο με. Αφού παραχθεί διάνυσμα συμβόλων (τυχαίων τιμών, ομοιόμορφα κατανεμημένων στα L πλάτη), έστω x(xκ), δημιουργείται αντίστοιχο διάνυσμα σήματος ορθογωνικών παλμών y(xnsamp.k), με επανάληψη κάθε συμβόλου του x, nsamp φορές [με χρήση της rectpulse(x,nsamp)]. Η ισχύς θορύβου, που πρέπει να προστεθεί σε κάθε δείγμα του y ώστε να εξασφαλιστεί συγκεκριμένη τιμή ανηγμένου σηματοθορυβικού λόγου Eb,av/No, υπολογίζεται ως εξής, λαμβανομένου υπόψη ότι το μέγιστο εύρος ζώνης (σήματος και θορύβου) είναι ίσο με τη συχνότητα δειγματοληψίας Fsamp/: No No No Nonsamp N Fsamp, T T / nsamp T samp η δε σηματοθορυβική σχέση είναι S ST E E av log L b, av. N N nsamp N nsamp nsamp N o o o Δεδομένου ότι η ισχύς της παλμοσειράς είναι (λόγω της 3.5): L S E / T A, av 3 ο συνδυασμός των παραπάνω σχέσεων δίνει: Ισχύς διακριτού θορύβου (προστίθεται σε κάθε δείγμα) A ( L ) / 3 N log L E b, av nsamp N o Η συνάρτηση του Κώδικα 3.3 μπορεί να κληθεί για διάφορες τιμές των k και EbNo για τον υπολογισμό και σχεδιασμό καμπυλών BER<->Eb/No. Αυτό μπορεί να γίνει και μέσω του ειδικού εργαλείου του MATLAB, bertool, με τη βασική του συνάρτηση υπολογισμού του ΒΕR να διαμορφώνεται όπως στον Κώδικα 3.4. Με bold δείχνονται τα τμήματα κώδικα που εισάγονται στο έτοιμο template του bertool, το μεν (Α) για την αρχικοποίηση των παραμέτρων (k, Nsymb, nsamp), το δε (Β) για την κλήση της συνάρτησης υπολογισμού των λαθών (ask_errors του Κώδικα 3.3) για συγκεκριμένη ακολουθία συμβόλων. Η συνάρτηση αυτή καλείται επαναληπτικά, έως ότου είτε ο σωρρευτικός αριθμός των λαθών που έχουν καταμετρηθεί ξεπεράσει ένα ελάχιστο όριο (maxnumerrs) είτε ο αριθμός των bits που

113 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-9. function errors=ask_errors(k,m,nsamp,ebno). % Η συνάρτηση αυτή εξομοιώνει την παραγωγή και αποκωδικοποίηση 3. % θορυβώδους σήματος L-ASK και μετρά τον αριθμό των εσφαλμένων συμβόλων. 4. % Υπολογίζει επίσης τη θεωρητική πιθανότητα εσφαλμένου συμβόλου, Pe. 5. % Επιστρέφει τον αριθμό των εσφαλμένων συμβόλων, καθώς και τον συνολικό 6. % αριθμό των συμβόλων που παρήχθησαν. 7. % k είναι ο αριθμός των bits/σύμβολο, ώστε L=^k, 8. % M ο αριθμός των παραγόμενων συμβόλων (μήκος ακολουθίας L-ASK) 9. % nsamp ο αριθμός των δειγμάτων ανά σύμβολο (oversampling ratio). % EbNo είναι ο λόγος Eb/No, σε db. L=^k;. SNR=EbNo-*log(nsamp//k); % SNR ανά δείγμα σήματος 3. % Διάνυσμα τυχαίων ακεραίων {±, ±3,... ±(L-)}. Να επαληθευτεί 4. x=*floor(l*rand(,m))-l+; 5. Px=(L^-)/3; % θεωρητική ισχύς σήματος 6. sum(x.^)/length(x); % μετρούμενη ισχύς σήματος (για επαλήθευση) 7. y=rectpulse(x,nsamp); 8. n=wgn(,length(y),*log(px)-snr); 9. ynoisy=y+n; % θορυβώδες σήμα. y=reshape(ynoisy,nsamp,length(ynoisy)/nsamp);. matched=ones(,nsamp);. z=matched*y/nsamp; 3. l=[-l+::l-]; 4. for i=:length(z) 5. [m,j]=min(abs(l-z(i))); 6. z(i)=l(j); 7. end 8. err=not(x==z); 9. errors=sum(err); 3. end Κώδικας 3.3: Υπολογισμός πιθανότητας εσφαλμένου συμβόλου σύμφωνης ASK με ορθογωνικούς παλμούς «έτρεξαν» με την εξομοίωση φθάσει ένα μέγιστο όριο (maxnumbits). Και τα δύο όρια τίθενται εξαρχής στο ειδικό GUI του bertool. Οι λαμβανόμενες καμπύλες δείχνονται στο σχ. 3. (οι θεωρητικές παίρνονται με την επιλογή PAM από το bertool). Ας σημειωθεί ότι για κωδικοποίηση Gray ισχύει SER BER, k log L k : αριθμός bit ανά σύμβολο. Πρέπει να διευκρινιστεί επίσης ότι αυτό που υπολογίζεται στην πραγματικότητα είναι η πιθανότητα εσφαλμένου συμβόλου ή εσφαλμένου bit που εκ παραδρομής έχει επικρατήσει να ονομάζεται SER ή BER. Για να πάρουμε ρυθμό λαθών, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τις ως άνω πιθανότητες με τον αντίστοιχο ρυθμό εκπομπής (συμβόλων ή δ.ψ.).

114 3-3 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο function [ber,numbits] = ask_ber_func(ebno, maxnumerrs, maxnumbits) % Import Java class for BERTool. import com.mathworks.toolbox.comm.bertool; % Initialize variables related to exit criteria. toterr = ; % Number of errors observed numbits = ; % Number of bits processed % Α. --- Set up parameters. --- % --- INSERT YOUR CODE HERE. k=3; % number of bits per symbol Nsymb=; % number of symbols in each run nsamp=6; % oversampling,i.e. number of samples per T % Simulate until number of errors exceeds maxnumerrs % or number of bits processed exceeds maxnumbits. while((toterr < maxnumerrs) && (numbits < maxnumbits)) % Check if the user clicked the Stop button of BERTool. if (BERTool.getSimulationStop) break; end % Β. --- INSERT YOUR CODE HERE. errors=ask_errors(k,nsymb,nsamp,ebno); % Assume Gray coding: symbol error ==> bit error toterr=toterr+errors; numbits=numbits + k*nsymb; end % End of loop % Compute the BER ber = toterr/numbits; Κώδικας 3.4: Συνάρτηση εκτίμησης λαθών καλείται από το bertool Πλαίσιο 3.: Πιθανότητα εσφαλμένου bit για την L-ASK με ορθογωνικούς παλμούς

115 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα Ασκήσεις προς εκτέλεση Άσκηση 3. (να εκτελεστεί στο εργαστήριο) I. Να επαληθευτεί, με υπολογισμό και προβολή σχετικού ιστογράμματος, ότι τα στοιχεία του διανύσματος x της εντολής 4 του Κώδικα 3.3 ακολουθούν πράγματι την ομοιόμορφη κατανομή στο σύνολο των ακεραίων {±, ±3,... ±(L- )}. Χρησιμοποιήστε k=mod(nnnnn,3)+, όπου nnnnn το τελευταίο 5-ψήφιο τμήμα του αριθμού μητρώου σας. Υπόδειξη: Να παραχθούν (με την εντολή 4) τουλάχιστον τυχαίοι ακέραιοι, και να χρησιμοποιηθεί η εντολή hist(x,a) για τον υπολογισμό και την προβολή του ιστογράμματος, όπου Α το διάνυσμα των L διαφορετικών τιμών αυτών των ακεραίων. Υποβολή: Να γραφούν σε αρχείο (word ή συμβατό) οι γραμμές κώδικα που θα χρησιμοποιήσετε, καθώς και το σχήμα ιστογράμματος που θα παραχθεί. Ονομάστε το αρχείο σας lab3_nnnnn.doc, όπου nnnnn τα 5 τελευταία ψηφία του αριθμού μητρώου σας. Στο ίδιο αρχείο θα γραφούν οι απαντήσεις και των υπόλοιπων ερωτημάτων της άσκησης. II. Να εξηγηθεί η λειτουργία του βρόχου 4-7 του Κώδικα 3.3 ως ανιχνευτή ελάχιστης απόστασης για την L-ASK. Υποβολή: Γράψτε την απάντησή σας στο αρχείο lab3_nnnnn.doc. III. Να επαληθευτεί η καμπύλη του σχήματος στο Πλαίσιο 3. των σημειώσεων για την L-ASK, με L= k, k=mod(nnnnn,3)+, όπου nnnnn το τελευταίο 5-ψήφιο τμήμα του αριθμού μητρώου σας, με κλήση της συνάρτησης ask_errors() του Kώδικα 3.3. Το παραπάνω να γίνει με δύο τρόπους: (α) μέσα από δικό σας κύριο πρόγραμμα, (β) μέσα από το bertool του MATLAB. Να υπερτεθεί και η θεωρητική καμπύλη, τόσο με χρήση της σχέσης (3.33) των σημειώσεων και την προσέγγιση BER Pe/logL, όσο και με το bertool. Υποδείξεις: (α) Καλέστε την ask_errors(), μία φορά για κάθε διαφορετική τιμή του EbNo, με επαρκώς υψηλή τιμή του Μ (π.χ. ) και υπολογίστε τη συχνότητα λαθών. (β) Στο current folder (ή σε folder το οποίο βρίσκεται στο path) του MATLAB πρέπει να έχετε τόσο το αρχείο ask_errors.m, όσο και το ask_ber_func.m με τον κώδικα 3.4. Ο τελευταίος θα πρέπει να τροποποιηθεί για την τιμή του k που θα χρησιμοποιήσετε. Στο bertool (καλείται με bertool από το command line) θα πρέπει να επιλέξετε: υπολογισμό Theoretical (για τη θεωρητική καμπύλη) ή Monte Carlo (για εξομοίωση), Channel type AWGN, Modulation type PAM (είναι το ASK), και κατάλληλο Modulation order (ίσο με L). Υποβολή: Να γράψετε στο αρχείο απαντήσεων (lab3_nnnnn.doc) τόσο τον κώδικά σας του ερωτήματος (α) όσο και το σχήμα ή τα σχήματα που θα παραγάγετε στα ερωτήματα (α) και (β). Να υποβάλετε το αρχείο σας στο site του μαθήματος.

116 3-3 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Άσκηση 3. Να διατυπωθούν αναλυτικά οι κρουστικές αποκρίσεις των δύο ΣΠΦ του παραδείγματος 3., καθώς και η απόκριση του καθενός στον αντίστοιχο παλμό (στον οποίο είναι προσαρμοσμένο). Άσκηση 3.3 Δίνεται σηματικός αστερισμός 4 σημείων (QPSK) ως εξής: s i ( t) Acos( f ct i ), i, (8), 3 6 a) Να βρεθεί και σχεδιαστεί σαν συνάρτηση της γωνίας θ μια καλή προσέγγιση της πιθανότητας εσφαλμένου συμβόλου Pe, με την υπόθεση λευκής ακολουθίας εισόδου, δέκτη προσαρμοσμένου φίλτρου και λευκό αθροιστικό θόρυβο, με ανηγμένο σηματοθορυβικό λόγο Εb/Νο 6 db. b) Με τα δεδομένα του ερωτήματος (a) να βρεθούν τα ακρότατα (μέγιστο και ελάχιστο) της Pe και οι αντίστοιχες τιμές της γωνίας θ. Άσκηση 3.4 Εξειδικεύοντας το Παράδειγμα 3.4. με L=4, να υποτεθεί ότι τα μεγαλύτερα κατ απόλυτη τιμή πλάτη εμφανίζονται με πιθανότητα /8 το καθένα, ενώ τα άλλα δύο με πιθανότητα 3/8, αντίστοιχα. Εξάλλου, η ισχύς θορύβου κατά τη μετάδοση των δύο μεγαλύτερων πλατών είναι διπλάσια αυτής που αντιστοιχεί στα άλλα δύο πλάτη (Νο, έναντι Νο), ενώ σε κάθε περίπτωση ο θόρυβος είναι λευκός, αθροιστικός. (Ι) Να προσδιοριστούν οι περιοχές απόφασης στον σηματικό χώρο. (ΙΙ) Να εκφραστεί η πιθανότητα λάθους συναρτήσει του. (ΙΙΙ) Να εξομοιωθεί ο δέκτης ΣΠΦ και να εκτιμηθεί το SER. N o

117 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα Παράρτημα Π3. Συνάρτηση λάθους (error function) erf ( x) x e z dz Συμπληρωματική συνάρτηση λάθους (complementary error function): erfc( x) x e z dz erf ( x) Η συμπληρωματική συνάρτηση λάθους erfc(x) μπορεί να βρεθεί από πίνακες ή με χρήση προσεγγιστικών αναπτυγμάτων σε σειρές. erfc( x) x e x x.3 (x ).3.5 (x ) 3 Για μεγάλα θετικά x, μπορούμε να πάρουμε τα άνω φράγματα: erfc( x) e x x e x u erf(u) u erf(u)

118 3-34 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Βιβλιογραφία Αναφορές [HAYK] Haykin, S. and Moher, M., Συστήματα Επικοινωνιών, Παπασωτηρίου, (πρωτότυπη έκδοση: Communication Systems, John Wiley 9). [SKLA] Sklar, B., Ψηφιακές Επικοινωνίες, η έκδοση, Παπασωτηρίου,, (πρωτότυπη έκδοση: Digital Communications, nd ed., Prentice Hall ). [STRA993] Strang, G., Γραμμική Άλγεβρα και Εφαρμογές, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 993, (πρωτότυπη έκδοση: Linear Algebra and its Applications, 3 rd edition, Academic Press, 988).

119 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : Φασματικά χαρακτηριστικά ψηφιακών κυματομορφών Μορφοποίηση με φίλτρα Nyquist Σύνοψη Μελετώνται τα φασματικά χαρακτηριστικά παλμοσειρών (ψηφιακών κυματομορφών). Για στατικές ακολουθίες παλμών διαμορφωμένων κατά πλάτος, η πυκνότητα φάσματος ισχύος εξαρτάται από: (α) το μετασχηματισμό Fourier των (ντετερμινιστικών) παλμών και (β) την αυτοσυσχέτιση της διακριτής ακολουθίας πλατών διαμόρφωσης. Στην κατηγορία αυτή εμπίπτουν άμεσα οι ψηφιακές διαμορφώσεις πλάτους (ASK), φάσης (PSK) και εγκάρσιες (QAM). Για τις δύο τελευταίες οι ακολουθίες πλατών είναι, προφανώς, μιγαδικοί αριθμοί. Για λευκές (εντελώς τυχαίες) ακολουθίες πλατών, τα φασματικά χαρακτηριστικά των παλμοσειρών προσδιορίζονται αποκλειστικά από τη μορφή και τη διάρκεια των χρησιμοποιούμενων παλμών. Παρουσιάζονται, επίσης, στο κεφάλαιο αυτό και αναλύονται φίλτρα μορφοποίησης παλμών, τα οποία ελαχιστοποιούν το απαιτούμενο εύρος ζώνης, διασφαλίζοντας παράλληλα μηδενική παρεμβολή μεταξύ των παλμών της ακολουθίας (φίλτρα Nyquist). Μια παρεμφερής κατηγορία φίλτρων επιτρέπει ελεγχόμενη παρεμβολή, με δυνατότητα αναίρεσης στο δέκτη (σήματα μερικής απόκρισης partial response signaling)

120 4- Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Περιεχόμενα Κεφαλαίου 4 Εισαγωγή Φασματικά Χαρακτηριστικά Παλμοσειρών βασικής ζώνης Φασματικά Χαρακτηριστικά της ψηφιακής κυματομορφής u(t) Επιλογή της H(f) ο κριτήριο Nyquist Φίλτρα Nyquist Σήματα Μερικής Απόκρισης (Partial Response Signaling) Διπλοδυαδικά σήματα (duobinary signals) Τροποποιημένα διπλοδυαδικά σήματα (modified duobinary signals). 4.3 Επεξεργασμένα Παραδείγματα Παράδειγμα 4.: Υλοποίηση φίλτρων Nyquist γραμμικής πτώσης και... ανυψωμένου συνημιτόνου Παράδειγμα 4.: Μορφοποίηση παλμών με φίλτρο Nyquist Παράδειγμα 4.3: Υλοποίηση διπλοδυαδικού φίλτρου Παράδειγμα 4.4: Φασματικά χαρακτηριστικά κυματομορφών βασικής ζώνης Ασκήσεις προς εκτέλεση... 3 Βιβλιογραφία Αναφορές... 3

121 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Φασματικά χαρακτηριστικά Φίλτρα Nyquist 4-3 Πλαίσια Κεφαλαίου 4 Πλαίσιο 4. Σύστημα μορφοποίησης και βέλτιστης αναγνώρισης παλμών... 5 Πλαίσιο 4. Αποκρίσεις φίλτρων Nyquist γραμμικής πτώσης: (α) απόκριση συχνότητας, (β) κρουστική απόκριση... 7 Πλαίσιο 4.3 Αποκρίσεις φίλτρων Nyquist ανυψωμένου συνημιτόνου: (α) απόκριση συχνότητας, (β) κρουστική απόκριση... 8 Πλαίσιο 4.4 Διπλοδυαδικό φίλτρο: (α) συνάρτηση μεταφοράς, (β) κρουστική απόκριση Πλαίσιο 4.5 Τροποποιημένο διπλοδυαδικό φίλτρο: (α) συνάρτηση μεταφοράς, (β) κρουστική απόκριση... Πλαίσιο 4.6 Φίλτρο γραμμικής πτώσης: (α),(β) κρουστικές αποκρίσεις h lr και h o,lr, (γ) έλεγχος κριτηρίου Nyquist: k H o, ( f kf ) Πλαίσιο 4.7 Φίλτρο γραμμικής πτώσης: (α),(β) κρουστικές αποκρίσεις h rc και h o,rc, (γ) έλεγχος κριτηρίου Nyquist: k Ho, rc ( f kfd ).... 7? Πλαίσιο 4.8 Επίδοση (BER-E b/n o) βέλτιστης αναγνώρισης παλμοσειράς L-ASK, μορφοποιημένης με φίλτρα Nyquist... Πλαίσιο 4.9 Έξοδος προσαρμοσμένου φίλτρου (rcosine, oversampling=4, Κώδικας 4.3) για στιγμιότυπο παλμών 8-ASK. Υπερτίθενται τα δείγματα εισόδου στον πομπό (μαύρες κουκίδες), τα οποία, απουσία θορύβου, συμπίπτουν με τα αντίστοιχα δείγματα εξόδου στον δέκτη.... Πλαίσιο 4. Αποκρίσεις διπλοδυαδικού φίλτρου: (α) χρόνου, (β) συχνότητας... 4 Πλαίσιο 4. (α) Κυματομορφές βασικής ζώνης, (β) Συντελεστές και παλμοί στην ακολουθία περιγραφής των κυματομορφών του (α)... 5 Πλαίσιο 4. Φασματική πυκνότητα κυματομορφών βασικής ζώνης... 8 Πλαίσιο 4.3 Δείγματα στο πεδίο του χρόνου και φασματική πυκνότητα κυματομορφών βασικής ζώνης εξομοίωση... 3 lr d? Κώδικας προγραμματισμού Κεφαλαίου 4 Κώδικας 4. Υλοποίηση FIR φίλτρου «ρίζας γραμμικής πτώσης»... 4 Κώδικας 4. Παραγωγή, αποκωδικοποίηση και μέτρηση σφαλμάτων θορυβώδους ακολουθίας συμβόλων L-ASK, με χρήση φίλτρων square-root-nyquist σε πομπό και δέκτη... Κώδικας 4.3 Επίδειξη μορφοποίησης παλμών L-ASK με φίλτρα Nyquist... Κώδικας 4.4 Υλοποίηση διπλοδυαδικού φίλτρου... 3

122 4-4 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Εισαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο η μελέτη εντοπίστηκε σε μεμονωμένους παλμούς και στη βέλτιστη αναγνώρισή τους στον δέκτη. Οι παλμοί που εξετάστηκαν είχαν διάρκεια ίση με τη βασική περίοδο εκπομπής, ώστε να μην παρεμβάλλονται σε γειτονικούς τους και αλλοιώνουν το αποτέλεσμα της αναγνώρισης. Ωστόσο, παλμοί πεπερασμένης διάρκειας χρειάζονται μεγάλο (θεωρητικά άπειρο) εύρος ζώνης για τη μετάδοσή τους. Στο παρόν κεφάλαιο θα επιτρέψουμε τη χρήση παλμών διάρκειας μεγαλύτερης της βασικής περιόδου, ξεκινώντας από το πεδίο συχνοτήτων και περιορίζοντας το φάσμα τους εντός δοσμένης ζώνης. Μια πρόσθετη, λοιπόν, απαίτηση είναι ο μηδενισμός των παλμών αυτών στα σημεία δειγματοληψίας (πλην του κεντρικού) στην έξοδο του προσαρμοσμένου φίλτρου, ώστε να εξασφαλίζεται μηδενική παρεμβολή σε γειτονικούς παλμούς. Τα φίλτρα που παράγουν τέτοιους παλμούς λέγονται Φίλτρα Nyquist. Να θυμηθούμε ότι φίλτρο Nyquist χρησιμοποιήθηκε και για την ανακατασκευή του συνεχούς σήματος από τα δείγματά του (Κεφ., παρ...,..5). Στην επόμενη παράγραφο δίνεται η φασματική πυκνότητα παλμοσειρών οι οποίες προκύπτουν ως διαμόρφωση πλάτους ενός βασικού παλμού, με πραγματικά ή μιγαδικά βάρη. Στη συνέχεια, εξετάζονται συγκεκριμένου τύπου παλμοί, περιορισμένου εύρους ζώνης, με μηδενική παρεμβολή στα σημεία δειγματοληψίας (παλμοί Nyquist) ή με παρεμβολή γνωστή, άρα ελεγχόμενη στον δέκτη (παλμοί duobinary ή modified duobinary). Για εκτενέστερη μελέτη δείτε: [SKLA, κεφ. 3], [PROA5, κεφ. ]. 4. Φασματικά Χαρακτηριστικά Παλμοσειρών βασικής ζώνης Υιοθετούνται οι παρακάτω συμβολισμοί και σχέσεις (βλ. Σχ. 4.): {bk}: η ακολουθία συμβόλων προς εκπομπή, F / : η συχνότητα εκπομπής συμβόλων (Baud Rate), d T d F / s T s s s : η συχνότητα δειγματοληψίας των σημάτων, N F / F > (oversampling): ο αριθμός δειγμάτων εντός περιόδου Td, u i d (t) : σειρά κρουστικών στο χρονικό πλέγμα {ktd}, με βάρη τα αντίστοιχα bk, u i [n]: η ακολουθία {bk} στις θέσεις kns του χρονικού πλέγματος {nts} (τα ενδιάμεσα Ns- δείγματα είναι μηδέν), h(t), h[n]: η κρουστική απόκριση του φίλτρου πομπού (συνεχής και διακριτή στο πλέγμα {nts}, αντίστοιχα), H( f ) { h( t)} : η συνάρτηση μεταφοράς (συνεχούς χρόνου) του φίλτρου πομπού Ας θυμηθούμε: περιορισμός στο εύρος ζώνης συνεπάγεται μεγάλη διάρκεια. Και αντίστροφα: περιορισμένη διάρκεια συνεπάγεται μεγάλο εύρος ζώνης

123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Φασματικά χαρακτηριστικά Φίλτρα Nyquist 4-5 Ho(f)=H(f)G(f): η συνολική συνάρτηση μεταφοράς πομπού-δέκτη. Για δέκτη Σύμφωνου Προσαρμοσμένου Φίλτρου είναι H o ( f ) H( f ). 4.. Φασματικά Χαρακτηριστικά της ψηφιακής κυματομορφής u(t) Με την υπόθεση ότι η ακολουθία των προς εκπομπή συμβόλων {bk} είναι στατική υπό την ευρεία έννοια με συνάρτηση αυτοσυσχέτισης και φασματική πυκνότητα ( f bb ), όπου: bb [m] * bb[ m] E{ bkbk m}, jfm bb ( f ) { bb[ m]} bb[ m] e, (4.) m η πυκνότητα φάσματος ισχύος της u(t) δίνεται από τη σχέση: Φuu ( f ) = H( f ) Φbb( f ) (4.) T d Αν η ακολουθία των προς εκπομπή συμβόλων είναι λευκή, δηλ. ( f bb ) =σταθερό (συνθήκη που συνήθως επιβάλλεται με τη χρήση Τυχαιοποιητών Randomizers), τότε το φάσμα της u(t) εξαρτάται αποκλειστικά από το (ντετερμινιστικό) φάσμα των χρησιμοποιούμενων παλμών, δηλ. την H(f). Ho(f) ΦΙΛΤΡΟ ΠΟΜΠΟΥ h(t) H(f) T d Δίαυλος * * delay Τ d order = τ ΣΠΦ ΔΕΚΤΗ h(τ-t) G(f)= H * (f) δειγματοληψία t=kt d x delay Πλαίσιο 4.: Σύστημα μορφοποίησης και βέλτιστης αναγνώρισης παλμών

124 4-6 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 4.. Επιλογή της H(f) ο κριτήριο Nyquist Δύο είναι οι απαιτήσεις για την H(f): (α) Πρέπει να περιορίζεται σε συγκεκριμένη ζώνη συχνοτήτων, έστω (-Β,Β). (β) Οι παλμοί ho(t) στην έξοδο του φίλτρου του δέκτη πρέπει να μηδενίζονται στα σημεία δειγματοληψίας t=ktd, k = ±, ±,... (πλην του k=). Η συνθήκη (α) προδιαγράφει ένα βαθυπερατό φίλτρο. Η συνθήκη (β) εξασφαλίζεται με το παρακάτω κριτήριο: ο Κριτήριο του Nyquist n ho ( ktd ), k,,... H o ( f ) ό (4.3) T n d Με την υπόθεση χρήσης Σύμφωνου Προσαρμοσμένου Φίλτρου στον δέκτη, το πλάτος της H(f) προσδιορίζεται ως: 4..3 Φίλτρα Nyquist H( f ) H ( f ) (4.4) o Οι σχέσεις (4.3) και (4.4) προσδιορίζουν μια οικογένεια φίλτρων που είναι γνωστά ως φίλτρα Nyquist. (Α) Απόκριση γραμμικής πτώσης (linear roll-off) Μια προφανής περίπτωση φίλτρων Nyquist είναι τα βαθυπερατά φίλτρα με γραμμική πτώση στη ζώνη μετάβασης, εφόσον η κεντρική συχνότητα της ζώνης μετάβασης Fo τεθεί στο ήμισυ του Baud Rate. Για τα φίλτρα αυτά είναι: και H o, lr F ( f ) F, o o, f F, F F F f f F F f F (4.5α) sin( Fot) sin( Fot) ho, lr, (4.5β) F t F t o o όπου F F ), F F ( ), (,). (4.6) o ( o

125 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Φασματικά χαρακτηριστικά Φίλτρα Nyquist 4-7 (Β) Απόκριση ανυψωμένου συνημιτόνου Τα πλέον γνωστά και ευρέως χρησιμοποιούμενα φίλτρα Nyquist είναι τα φίλτρα ανυψωμένου συνημιτόνου (raised cosine), με απόκριση συχνότητας H o, rc, Fo ( f ) cos ( f 4Fo Fo a, F o ( a)), F f f F (4.7α) F f F και κρουστική απόκριση cos( Fot) sin(f ot) ho, rc 6 Fo t, (4.7β) F ot με την ισχύ και πάλι της (4.6). Το α ονομάζεται συντελεστής πτώσης (ή συντελεστής εξάπλωσης roll-off factor) και προσδιορίζει τον ρυθμό πτώσης (μικρότερη τιμή, ταχύτερη πτώση). Οριακή περίπτωση των ως άνω κατηγοριών (με α=) είναι, βεβαίως, το ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο. Στα Πλαίσια 4. και 4.3 δείχνονται οι αποκρίσεις (συχνότητας και χρονικές) των παραπάνω φίλτρων Nyquist για τρεις τιμές του α: τις οριακές και και την τιμή.5. H o,lr(f) α= α=.5 α= (α) f/f d h o,lr(t) α= α= α=.5 (β) t/t d Πλαίσιο 4.: Αποκρίσεις φίλτρων Nyquist γραμμικής πτώσης: (α) απόκριση συχνότητας, (β) κρουστική απόκριση

126 4-8 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο H o,rc(f) α= α=.5 α= (α) f/f d h o,rc(t) α= α=.5 α= (β) t/t d Πλαίσιο 4.3: Αποκρίσεις φίλτρων Nyquist ανυψωμένου συνημιτόνου: (α) απόκριση συχνότητας, (β) κρουστική απόκριση Σχόλια για την υλοποίηση της H(f) Για την υλοποίηση φίλτρων «τετραγωνικής ρίζας συναρτήσεων Nyquist», με συνολική συνάρτηση μεταφοράς Ho(f) των κατηγοριών (4.5) ή (4.7), μπορούν να χρησιμοποιηθούν γνωστές τεχνικές σχεδίασης και υλοποίησης βαθυπερατών φίλτρων FIR ή IIR. Οι υλοποιήσεις FIR αποτελούν σημαντική κατηγορία ψηφιακών φίλτρων, όπως σχολιάστηκε στο ο κεφάλαιο, με τα εξής ιδιαίτερα χαρακτηριστικά:. Παρουσιάζουν μηδενική παραμόρφωση φάσης (η φάση είναι γραμμική συνάρτηση της συχνότητας).. Απαιτούν μεγάλη σχετικά τάξη τ (= μήκος κρουστικής απόκρισης) για να επιτύχουν ικανοποιητική προσέγγιση. 3. Το χαρακτηριστικό () συνεπάγεται και μεγάλη καθυστέρηση ομάδας (group delay), η οποία είναι ίση με τ/, στο πλέγμα nts. Επειδή, σύμφωνα με το σχήμα 4., έχουμε δύο φίλτρα, ένα στον πομπό και ένα στον δέκτη, με συνάρτηση μεταφοράς H( f ) H ( f ) το καθένα, η συνολική καθυστέρηση θα είναι ίση με την τάξη τ των φίλτρων στο πλέγμα nts (ή ττd/ns σε απόλυτο χρόνο). Ένα άνω ανεκτό όριο αυτής της καθυστέρησης μπορεί να μας δώσει το τ. Το τ είναι και το διάστημα ολοκλήρωσης του συσχετιστή στη λειτουργία του ΣΠΦ. o

127 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Φασματικά χαρακτηριστικά Φίλτρα Nyquist 4-9 Ειδικότερα για τα φίλτρα «(τετραγωνικής) ρίζας ανυψωμένου συνημιτόνου» (root raised cosine), που είναι και τα πιο ευρέως χρησιμοποιούμενα στην πράξη: To MATLAB έχει έτοιμες συναρτήσεις (π.χ. rcosine) για φίλτρα αυτής της κατηγορίας. Ωστόσο, είναι και αναλυτικά διατυπώσιμη η κρουστική απόκριση h rc ( t) { H o, rc ( f ) } cos ( cos ) /. Συγκεκριμένα είναι: H h rc rc F ( f ) F, o o,, για την Ho,rc(f) της (4.7), με χρήση της ταυτότητας f F cos ( f F o ( )), F f F (4.8α) 4Fo f F Fo sin[f ( ) t] 4 ( t) cos[ F ( ) t] o o (8F ) ot F ot (4.8β) Μπορούμε λοιπόν να έχουμε μια άμεση υλοποίηση FIR με δειγμάτιση της hrc της παραπάνω σχέσης στο πλέγμα {nts} και εφαρμογή ορθογωνικού παραθύρου εύρους τ (άλλοι τύποι παραθύρων δεν ενδείκνυνται, διότι αλλοιώνουν τη συνθήκη μηδενικής παρεμβολής). Παράδειγμα τέτοιας υλοποίησης δίνεται στην επόμενη παράγραφο. Άσκηση Να αποδειχτεί η σχέση (4.8β)

128 4- Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 4. Σήματα Μερικής Απόκρισης (Partial Response Signaling) Σήματα τα οποία επεκτείνονται πέραν της βασικής περιόδου Td εκπομπής συμβόλου και προκαλούν μη μηδενική, ωστόσο ελεγχόμενη, παρεμβολή, ονομάζονται σήματα μερικής απόκρισης. Υπό την ευρεία έννοια, και οι παλμοί Nyquist είναι μερικής απόκρισης, όμως δεν κατατάσσονται στην κατηγορία αυτή, αφού τελικά η διαπαλμική παρεμβολή κατά τις στιγμές δειγματοληψίας είναι μηδενική. Χαρακτηριστικές (και πρακτικές) περιπτώσεις σημάτων μερικής απόκρισης είναι τα διπλοδυαδικά (duobinary) και τα τροποποιημένα διπλοδυαδικά (modified duobinary). Το φάσμα τους περιορίζεται στην ελάχιστη ζώνη συχνοτήτων [-/(Τd), /(Td)], χωρίς όμως να πληρούν το ο κριτήριο του Nyquist (η μόνη απόκριση συχνότητας Nyquist που περιορίζεται στην ελάχιστη ζώνη είναι η ιδανική βαθυπερατή). Κατά την παρουσίαση της GMSK σε επόμενο κεφάλαιο θα συναντήσουμε και άλλη περίπτωση σημάτων μερικής απόκρισης. 4.. Διπλοδυαδικά σήματα (duobinary signals) Όπως φαίνεται στο σχετικό σχήμα του Πλαισίου 4.4, ψηφιακό φίλτρο με συνάρτηση μεταφοράς (στο πεδίο μετασχηματισμού Z) ίση με A(z)=+z -, ακολουθούμενο από ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο συχνότητας αποκοπής /(Td), είναι ισοδύναμο με βαθυπερατή συνάρτηση μεταφοράς Hdu(f), στην ίδια ζώνη, σχήματος μισής περιόδου συνημιτόνου, αφού H du ( f ) e jft H lp ( f ) T cos( ftd ), f T, ύ d (4.9) Η συνάρτηση Hdu(f) ορίζει ένα διπλοδυαδικό φίλτρο. Η χρονική απόκριση του φίλτρου αυτού είναι ένας διπλός παλμός sampling σε απόσταση Td (διπλοδυαδικός παλμός), όπως δείχνεται στο κάτω μέρος του Πλαισίου 4.4.

129 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Φασματικά χαρακτηριστικά Φίλτρα Nyquist 4- +z - Hlp(f) D/A Hdu(f) A(z) D/A (α) Συνάρτηση μεταφοράς διπλοδυαδικού φίλτρου υλοποίησή του με απλό ψηφιακό φίλτρο (+z - ) εν σειρά με βαθυπερατό φίλτρο Hdu(f) D/A t (xtd) (β) Κρουστική απόκριση διπλοδυαδικού φίλτρου Πλαίσιο 4.4: Διπλοδυαδικό φίλτρο: (α) συνάρτηση μεταφοράς, (β) κρουστική απόκριση b i Για ακολουθία [ k] { }, η οποία κωδικοποιεί δυαδική ακολουθία εισόδου bk, στον επόμενό του και κάθε διπλοδυαδικός παλμός δημιουργεί παρεμβολή ίση με μηδέν σε όλους τους άλλους (στο πλέγμα δειγματοληψίας {ktd}). Η δειγμάτιση στην έξοδο θα δώσει, συνεπώς, τιμές bo[k] όπως στον παρακάτω πίνακα (το x είναι ή - ): b i[k-] b i[k] b o[k] x -x Αν δε η δυαδική ακολουθία bk προέλθει από προκωδικοποίηση πρωτογενούς προς μετάδοση δυαδικής ακολουθίας ak ως εξής: b k ak bk (το συμβολίζει το exclusive or), εύκολα επαληθεύεται ο πίνακας: a k b k- b k b o[k] -

130 4- Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Οπότε ο κανόνας αποκωδικοποίησης είναι:, bo[ k] ak (4.), bo[ k] 4.. Τροποποιημένα διπλοδυαδικά σήματα (modified duobinary signals) Είναι παρόμοια των (κανονικών) διπλοδυαδικών που είδαμε πιο πάνω, με συνάρτηση μεταφοράς και χρονική απόκριση όπως στα σχήματα (α) και (β) του Πλαισίου 4.5. Το πλεονέκτημα έναντι των κανονικών διπλοδυαδικών είναι η μηδενική dc συνιστώσα. +z - Hlp(f) D/A H md (f) A(z) D/A (α) Συνάρτηση μεταφοράς τροποποιημένου διπλοδυαδικού φίλτρου υλοποίησή με απλό ψηφιακό φίλτρο (-z - ) εν σειρά με βαθυπερατό φίλτρο D/A Hmd(f) t (x T d) (β) Κρουστική απόκριση τροποποιημένου διπλοδυαδικού φίλτρου Πλαίσιο 4.5: Τροποποιημένο διπλοδυαδικό φίλτρο: (α) συνάρτηση μεταφοράς, (β) κρουστική απόκριση

131 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Φασματικά χαρακτηριστικά Φίλτρα Nyquist Επεξεργασμένα Παραδείγματα 4.3. Παράδειγμα 4.: Υλοποίηση φίλτρων Nyquist γραμμικής πτώσης και ανυψωμένου συνημιτόνου Να δοθούν FIR υλοποιήσεις φίλτρων «τετραγωνικής ρίζας συνάρτησεων Nyquist»: (α) γραμμικής πτώσης, (β) ανυψωμένου συνημιτόνου, με παραμέτρους (i) τον συντελεστή υπερδειγμάτισης Ns (σε σχέση με το Baud Rate), (ii) τον συντελεστή πτώσης, α, και (iii) την καθυστέρηση (group delay) του φίλτρου. Για το (α), να γραφεί MATLAB function που, μετά από κατάλληλο μετασχηματισμό των παραμέτρων στο πεδίο του DTFT, να κάνει δειγματοληψία της Hlr(f) και να υπολογίζει την κατάλληλη hlr[n] με χρήση του IFFT. Για το (β), να αποδειχτεί καταρχήν θεωρητικά η (4.8β) και να ληφθεί η hrc[n] με κατάλληλη δειγμάτιση και χρήση ορθογωνικού παραθύρου. Και για τις δύο περιπτώσεις, να σχεδιαστούν οι h[n] και hο[n]=conv(h[n], h[n]), και να ελεγχθεί κατά πόσο η hο[n] ικανοποιεί το ο κριτήριο του Nyquist, για συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων. Υλοποίηση (α) Φίλτρα FIR «ρίζας γραμμικής πτώσης» Για τον προσδιορισμό (της h[n]) του φίλτρου ακολουθούνται τα εξής βήματα: Επιλέγονται (εάν δεν δίνονται) οι τιμές των βασικών παραμέτρων: o Ns (oversampling), οπότε F F N, όπου Fd το baud rate. o α (roll-off) o group_delay, π.χ. σε πολλαπλάσιο του s d s T / F Λαμβάνεται ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier της H( f ) H ( f ), με την Ho(f) όπως στην (4.5α). Μπορεί να γίνει χρήση του IFFT σε ένα σχετικά πυκνό πλέγμα σημείων f / [,.5), με F F /(N ) και άρτια F s d d o / s s συμμετρία. Περικόπτεται (ή και υποδειγματίζεται) δεόντως η h σε τάξη τ=nsgroup_delay (μήκος τ+). Η συνάρτηση του Κώδικα 4. δίνει μια υλοποίηση τέτοιου φίλτρου, όπου nsamp=ns. o

132 4-4 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο % function rtrapezium -- square root trapezium (Nyquist filter) % function [rtrfilter Ho]=rtrapezium(nsamp,rolloff,delay) F = //nsamp; % % Υπερδειγμάτιση, για λόγους ακρίβειας dense=3; nsamp=nsamp*dense; a = rolloff; F=F*(-a); F=F*(+a); % ακραίες συχνότητες N = *delay*nsamp; % τάξη φίλτρου, εδώ μήκος κρουστικής απόκρισης for k=:n/ f=(k-)/n; if (f<f) Ho(k)=; elseif (f>f) Ho(k)=; else Ho(k)=max(,-(f-F)/(F-F)); end Ho(N/+)=; Ho(N+-k)=Ho(k); end H=sqrt(Ho).*exp(j*pi*(N+)/(N+)*[:N]); h=ifft(h,'symmetric'); % περικοπή ουράς (ορθ. παράθυρο) M=N/dense; for k=-m/:m/ rtrfilter(k+m/+)=h(n/++k); end % κανονικοποίηση rtrfilter=rtrfilter/sqrt(sum(rtrfilter.^)); end Κώδικας 4.: Υλοποίηση FIR φίλτρου «ρίζας γραμμικής πτώσης» Στο σχήμα 4.6(α) δείχνεται η hlr[n] που έχει παραχθεί με τη συνάρτηση του Κώδικα 4., με τις εξής παραμέτρους: o Ns=4, άρα: Fs=4Fd =8Fo και δειγματοληψία στους χρόνους t=nts=n/(8fo), o α=.5, o group_delay=3td= (δείγματα), άρα τάξη φίλτρου τ=4.

133 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Φασματικά χαρακτηριστικά Φίλτρα Nyquist 4-5 Κρουστική απόκριση h lr[n] φίλτρου γρ. πτώσης N s=4, rolloff=.5, group_delay=3t d n (δείγματα, στο πλέγμα T s) (α) Συνολική κρουστική απόκριση hο,lr[n] φίλτρου γρ. πτώσης N s=4, rolloff=.5, group_delay=x3t d n (δείγματα, στο πλέγμα T s) (β) H d(f)= DTFT της υποδειγματισμένης h o,lr, (μαύρα δείγματα) ανηγμένη συχνότητα f/f s (γ) Πλαίσιο 4.6: Φίλτρο γραμμικής πτώσης: (α),(β) κρουστικές αποκρίσεις h lr και h o,lr, (γ) έλεγχος κριτηρίου Nyquist: k H o, lr ( f kfd ).?

134 4-6 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο (β) Φίλτρα FIR «τετραγωνικής ρίζας ανυψωμένου συνημιτόνου» Στο σχήμα 4.7(α) δείχνεται μια τέτοια υλοποίηση για τιμές παραμέτρων όπως και στο παράδειγμα του φίλτρου γραμμικής πτώσης. Το ίδιο αποτέλεσμα δίνει και η κλήση της συνάρτησης MATLAB rcosine(), ως εξής: Ns=4; rolloff=.5; delay=3; h=rcosine(,ns,'fir/sqrt',rolloff,delay); Και για τα δύο είδη φίλτρων Nyquist που υλοποιήθηκαν στην παράγραφο αυτή (δηλ. γραμμικής πτώσης και ανυψωμένου συνημιτόνου), η συνολική κρουστική απόκριση πομπού-δέκτη δίνεται προφανώς από τη συνέλιξη της h με τον εαυτό της, δηλαδή h conv( h, h), o και αυτή δείχνεται στα σχ. 4.8β και 4.9β. Να παρατηρήσουμε ότι η h δεν μηδενίζεται στα σημεία δειγματοληψίας {ktd}, αφού η H(f) δεν είναι η ίδια συνάρτηση Nyquist, όπως ισχύει για την Ho(f). Έναν έλεγχο του κριτηρίου του Nyquist για την ho των φίλτρων που σχεδιάσαμε δίνουν τα σχήματα 4.6(γ) και 4.7(γ). Αυτά ελήφθησαν ως ο Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου (DTFT) της ho, των σχημάτων 4.6(β) και 4.7(β), υποδειγματισμένης κατά Ns=4, με τις παρακάτω γραμμές κώδικα: ho = conv(h,h); hd = downsample(ho,ns); [Hd,f] = freqz(hd,,,'whole'); Hd = Hd/max(abs(Hd)); f=f//pi; figure; plot(f,abs(hd)); axis([.]); Παρατηρούμε ότι υπάρχει μια μικρή διακύμανση της Hd(f) [αντί της σταθερής συνάρτησης που προβλέπει η (4.3)], λόγω της περικοπής της θεωρητικής κρουστικής απόκρισης h με χρονικό παράθυρο πεπερασμένης διάρκειας τ. Στην επόμενη παράγραφο θα δοθεί επεξεργασμένο παράδειγμα χρήσης φίλτρων Nyquist τύπου FIR, τόσο γραμμικής πτώσης όσο και ανυψωμένου συνημιτόνου.

135 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Φασματικά χαρακτηριστικά Φίλτρα Nyquist 4-7 Κρουστική απόκριση h rc[n] φίλτρου ανυψ. συνημιτόνου N s=4, rolloff=.5, group_delay=3t d n (δείγματα, στο πλέγμα T s) (α) Συνολική κρουστική απόκριση h ο,rc[n] φίλτρου γρ. πτώσης N s=4, rolloff=.5, group_delay=x3t d n (δείγματα, στο πλέγμα T s) (β) H d(f)= DTFT της υποδειγματισμένης h o,rc, (μαύρα δείγματα) ανηγμένη συχνότητα f/f s (γ) Πλαίσιο 4.7: Φίλτρο γραμμικής πτώσης: (α),(β) κρουστικές αποκρίσεις h rc και h o,rc (γ) έλεγχος κριτηρίου Nyquist: H ( f kf ). k o, rc d?

136 4-8 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 4.3. Παράδειγμα 4.: Μορφοποίηση παλμών με φίλτρο Nyquist A. Να επαναληφθεί το παράδειγμα 3.Β (για παραγωγή, εκπομπή σε θορυβώδη δίαυλο και αναγνώριση ΣΠΦ παλμών L-ASK), με μορφοποίηση τώρα των παλμών με φίλτρο Nyquist (α) γραμμικής πτώσης (β) ανυψωμένου συνημιτόνου. Πιο συγκεκριμένα, να υπολογιστούν οι παράμετροι του φίλτρου μορφοποίησης, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, και να εκτελεστούν πειράματα υπολογισμού του SER για τα εξής δεδομένα: Διαθέσιμο εύρος ζώνης Β=.5 MHz Baud Rate Fd= Msymbols/s Μέγιστη συνολική καθυστέρηση φίλτρων πομπού-δέκτη dmax=8 μs B. Για έναν μικρό αριθμό συμβόλων 8-ASK (π.χ. ), χρήση φίλτρων ανυψωμένου συνημιτόνου και μηδενικό θόρυβο, να σχεδιαστεί η έξοδος του (προσαρμοσμένου) φίλτρου του δέκτη ως δείγματα στο πλέγμα nts και να επιδειχθεί (με υπέρθεση στο ίδιο σχήμα) ότι στις θέσεις ktd τα δείγματα αυτά όντως ταυτίζονται με τα δείγματα εισόδου. Να χρησιμοποιηθεί συντελεστής υπερδειγμάτισης nsamp=4. Υλοποίηση Α. Σύνδεση με τη θεωρία: Σύμφωνα με την ανάλυση της προηγούμενης παραγράφου, οι παλμοί που πρόκειται να χρησιμοποιηθούν εδώ, μορφοποιημένοι με φίλτρα Nyquist, θα είναι μεγαλύτερης διάρκειας (πολλαπλάσιας της βασικής περιόδου Td που αντιστοιχεί στο baud rate) αλλά περιορισμένου εύρους ζώνης. Αφού οι παλμοί εξακολουθούν να εκπέμπονται με ρυθμό Fd=/Td, είναι προφανές ότι θα υπάρχει αλληλοδιείσδυση σε ένα βάθος που εξαρτάται από τη διάρκειά τους. Όμως στα σημεία δειγματοληψίας η παρεμβολή θα είναι ακριβώς μηδέν, ως εκ κατασκευής των φίλτρων Nyquist. Η συνάρτηση ask_errors(), που χρησιμοποιήθηκε στο παράδειγμα 3., θα τροποποιηθεί εδώ ώστε αφενός να υλοποιεί το φίλτρο του πομπού, κρουστικής απόκρισης h[n], αφετέρου να υλοποιεί το ΣΠΦ όχι ως συσχετιστή αλλά ως γραμμικό φίλτρο (δηλαδή λαμβάνοντας τη συνέλιξη του θορυβώδους σήματος με την κρουστική συνάρτηση του ΣΠΦ και κάνοντας τελικά δειγματοληψία στο πλέγμα ktd, όπως ακριβώς δείχνει το Πλαίσιο 4.). Αυτό συμβαίνει επειδή, λόγω της αλληλοδιείσδυσης των παλμών, αυτοί δεν είναι δυνατόν να απομονωθούν, και να υπολογιστεί η συσχέτισή τους. Υπολογισμός και υλοποίηση των φίλτρων πομπού και δέκτη Σύμφωνα με το παράδειγμα 4., τα παραπάνω δεδομένα δίνουν: Fd= Msymbols_per_second, ή Td=.5 μs και group_delay =8Td για καθένα από τα φίλτρα πομπού και δέκτη.

137 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Φασματικά χαρακτηριστικά Φίλτρα Nyquist 4-9 Επιλέγοντας μια τιμή για το Ns, π.χ. 8 (=Fs/Fd : oversampling, σε σχέση με την Fd), η τάξη (=αριθμός δειγμάτων κρουστικής απόκρισης) κάθε φίλτρου είναι τ= x group_delay x Ns = 8. Η συνάρτηση ask_nyq_filter(k,nsymb,nsamp,ebno) του Κώδικα 4., αντίστοιχη της ask_errors του παραδείγματος 3., δημιουργεί ακολουθία k -ASK τυχαίων συμβόλων, μήκους Nsymb, και τη φιλτράρει με φίλτρο τετραγωνικής ρίζας απόκρισης Nyquist. Το φίλτρο αυτό, με κρουστική απόκριση rnyquist στον Κώδικα 4., μπορεί να είναι είτε ανυψωμένου συνημιτόνου, παραγόμενο από τη συνάρτηση rcosine του MATLAB (γραμμή 9 του Κώδικα 4.), είτε γραμμικής πτώσης, υπολογιζόμενο από τη συνάρτηση rtrapezium του Κώδικα 4. (γραμμή 4 του Κώδικα 4., αφού φύγει το %). Σε κάθε περίπτωση, πριν γίνει το φιλτράρισμα του σήματος μέσω της συνέλιξής του με την κρουστική απόκριση rnyquist, πρέπει να γίνει υπερδειγμάτισή του κατά nsamp, με παρεμβολή nsamp- μηδενικών δειγμάτων (γραμμές 8-9 Κώδικα 4.).

138 4- Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο. function errors=ask_nyq_filter(k,nsymb,nsamp,ebno). % Η συνάρτηση αυτή εξομοιώνει την παραγωγή και αποκωδικοποίηση 3. % θορυβώδους ακολουθίας L-ASK και μετρά τα λαθεμένα σύμβολα, 4. % με μορφοποίηση παλμών μέσω φίλτρου τετρ. ρίζας Nyquist. 5. %%%%%% ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ %%%%%%% 6. % k είναι ο αριθμός των bits ανά σύμβολο, έτσι L=^k 7. % Nsymb είναι το μήκος της εξομοιούμενης ακολουθίας συμβόλων L-ASK 8. % nsamp είναι ο συντελεστής υπερδειγμάτισης, δηλ. #samples/td 9. % EbNo είναι ο ανηγμένος σηματοθορυβικός λόγος, Εb/No, σε db. L=^k;. SNR=EbNo-*log(nsamp//k); % SNR ανά δείγμα σήματος. % Διάνυσμα τυχαίων ακεραίων από το σύνολο {±, ±3,... ±(L-)} 3. x=*floor(l*rand(,nsymb))-l+; 4. %% Ορισμός παραμέτρων φίλτρου 5. delay = 8; % Group delay (# of input symbols) 6. filtorder = delay*nsamp*; % τάξη φίλτρου 7. rolloff =.5; % Συντελεστής πτώσης -- rolloff factor 8. % κρουστική απόκριση φίλτρου τετρ. ρίζας ανυψ. συνημιτόνου 9. rnyquist= rcosine(,nsamp,'fir/sqrt',rolloff,delay);. % % Για φίλτρο γραμμικής πτώσης να χρησιμοποιηθεί η επόμενη εντολή. % (με την rtrapezium του Κώδικα 4. στο current directory) 3. % Πρέπει delay>5 για καλά αποτελέσματα στην αναγνώριση. 4. % rnyquist=rtrapezium(nsamp,rolloff,delay); 5. % %% ΕΚΠΕΜΠΟΜΕΝΟ ΣΗΜΑ 7. % Υπερδειγμάτιση και εφαρμογή φίλτρου rnyquist 8. y=upsample(x,nsamp); 9. ytx = conv(y,rnyquist); 3. % Διάγραμμα οφθαλμού για μέρος του φιλτραρισμένου σήματος 3. % eyediagram(ytx(:),nsamp*); 3. ynoisy=awgn(ytx,snr,'measured'); % θορυβώδες σήμα 33. % %% ΛΑΜΒΑΝΟΜΕΝΟ ΣΗΜΑ 35. % Φιλτράρισμα σήματος με φίλτρο τετρ. ρίζας ανυψ. συνημ. 36. yrx=conv(ynoisy,rnyquist); 37. yrx = downsample(yrx,nsamp); % Υποδειγμάτιση 38. yrx = yrx(*delay+:end-*delay); % περικοπή, λόγω καθυστέρησης 39. % Ανιχνευτής ελάχιστης απόστασης L πλατών 4. l=[-l+::l-]; 4. for i=:length(yrx) 4. [m,j]=min(abs(l-yrx(i))); Κώδικας 4.: Παραγωγή, αποκωδικοποίηση και μέτρηση σφαλμάτων θορυβώδους ακολουθίας συμβόλων L-ASK, με χρήση φίλτρων square-root-nyquist σε πομπό και δέκτη

139 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Φασματικά χαρακτηριστικά Φίλτρα Nyquist 4- H συνάρτηση του Κώδικα 4. μπορεί να κληθεί μέσα από το BERTOOL για διάφορες τιμές των k και EbNo για την εξομοίωση και τον σχεδιασμό καμπυλών BER-Eb/No, κατά το παράδειγμα 3. του Κεφαλαίου 3. Αποτελέσματα τέτοιας εξομοίωσης δείχνονται στο παρακάτω σχήμα του Πλαισίου 4.8. BER L-ASK, με φίλτρα μορφοποίησης Nyquist γραμμικής πτώσης και ανυψωμένου συνημιτόνου BER σημείων -3-4 Θεωρητική Εξομοίωση γραμμ. πτώσης 4 σημείων 8 σημείων -5 Εξομοίωση Raised cosine Πλαίσιο 4.8: Επίδοση (BER-Eb/No) βέλτιστης αναγνώρισης παλμοσειράς L-ASK, μορφοποιημένης με φίλτρα Nyquist

140 4- Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο B.. %% Επίδειξη μορφοποίησης παλμών L-ASK με φίλτρο Nyquist. %% και φιλτραρίσματος με το αντίστοιχο προσαρμ. φίλτρο 3. clear all; close all; 4. k=3; Nsymb=; nsamp=4; 5. L=^k; 6. % Διάνυσμα τυχαίων ακεραίων από το σύνολο {±, ±3,... ±(L-)} 7. x=*floor(l*rand(,nsymb))-l+; 8. % Ορισμός παραμέτρων φίλτρου 9. delay = 4; % Group delay (# of input symbols). filtorder = delay*nsamp*; % τάξη φίλτρου. rolloff =.5; % Συντελεστής πτώσης -- rolloff factor. % κρουστική απόκριση φίλτρου τετρ. ρίζας ανυψ. συνημιτόνου 3. rnyquist = rcosine(,nsamp,'fir/sqrt',rolloff,delay); 4. % %% ΕΚΠΕΜΠΟΜΕΝΟ ΣΗΜΑ 6. % Υπερδειγμάτιση και εφαρμογή φίλτρου rnyquist 7. y=upsample(x,nsamp); 8. ytx = conv(y,rnyquist); clear y; 9. %% Λαμβανόμενο σήμα: ytx (χωρίς παραμόρφωση). % Φιλτράρισμα σήματος με φίλτρο τετρ. ρίζας ανυψ. συνημ.. yrx=conv(ytx,rnyquist);. % yrx=yrx(*delay*nsamp+:end-*delay*nsamp); %Περικοπή-λόγω καθυστέρησης 4. % Σχεδίαση yrx και υπέρθεση x 5. stem(yrx); hold; 6. stem([:nsamp:nsamp*nsymb],x,'filled'); 7. grid; Κώδικας 4.3: Επίδειξη μορφοποίησης παλμών L-ASK με φίλτρα Nyquist Πλαίσιο 4.9: Έξοδος προσαρμοσμένου φίλτρου (rcosine, oversampling=4, Κώδικας 4.3) για στιγμιότυπο παλμών 8-ASK. Υπερτίθενται τα δείγματα εισόδου στον πομπό (μαύρες κουκίδες), τα οποία, απουσία θορύβου, συμπίπτουν με τα αντίστοιχα δείγματα εξόδου στον δέκτη.

141 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Φασματικά χαρακτηριστικά Φίλτρα Nyquist Παράδειγμα 4.3: Υλοποίηση διπλοδυαδικού φίλτρου Να γραφεί συνάρτηση MATLAB, παρόμοια με την rtrapezium() του Κώδικα 4., που να υλοποιεί φίλτρο τετραγωνικής ρίζας duobinary. Να σχεδιαστούν οι αποκρίσεις χρόνου και συχνότητας του συνολικού φίλτρου πομπού-δέκτη. Η συνάρτηση δίνεται στον Κώδικα 4.4. % function rtrapezium -- square root trapezium (Nyquist filter) % function rdufilter=rduobinary(nsamp,delay) %το nsamp πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 4 F = //nsamp; % υπερδειγμάτιση, για λόγους ακρίβειας dense=3; nsamp=nsamp*dense; N = (*delay+)*nsamp; % filter order % Ορισμός απόκρισης συχνότητας φίλτρου for k=:n/ f=(k-)/n; if (f<f) Ho(k)=*nsamp*cos(pi*f//F); else Ho(k)=; end Ho(N+-k)=Ho(k); end H=sqrt(Ho).*exp(-j*pi*[:N-]); % Αντίστροφος FFT h=ifft(h,'symmetric'); % κατάλληλη περικοπή ουρών (ορθογωνικό παράθυρο) M=N/dense; % η τάξη του φίλτρου στο πλέγμα nsamp for k=:m rdufilter(k)=h(n/-m/+nsamp/4+k); end % un-comment the following lines to plot and check responses % y=conv(rdufilter,rdufilter); % stem([:length(y)-],y); % xo=*delay*nsamp; % line([xo,xo],[,max(y)], 'color','black'); % line([,length(y)],[,], 'color','black'); % figure; % [Hd,f]=freqz(y,,4,'whole'); % f=f/max(f); % semilogy(f,abs(hd)); % axis([f() f(length(f)) max(abs(hd))*.]); % title(['frequency response of duobinary filter']); % xlabel('normalised frequency','fontsize',); % y=downsample(y,nsamp); % ideally, only two non-zero (unity) samples % figure; % stem([:length(y)-],y); end Κώδικας 4.4: Υλοποίηση διπλοδυαδικού φίλτρου

142 4-4 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Σε σχέση με την rtrapezium, πέραν της διαφορετικής απόκρισης συχνότητας, χρησιμοποιείται εδώ φίλτρο άρτιας τάξης h[n], n=:m-, όπου M=(*delay+)*nsamp. Και εδώ, όπως και στην rtrapezium, με nsamp παριστάνεται ο συντελεστής υπερδειγμάτισης (αριθμός δειγμάτων ανά βασική περίοδο Τd) και με delay η καθυστέρηση του FIR φίλτρου, σε αριθμό περιόδων Τd. Να παρατηρηθεί ότι η συνολική καθυστέρηση του συνδυασμένου φίλτρου πομπούδέκτη είναι και πάλι *delay*τ d, όπως και στα φίλτρα Nyquist, ενώ η συνολική διάρκεια του φίλτρου είναι τώρα κατά Τd μεγαλύτερη, λόγω της ειδικής κατασκευής του. Το σχ. 4.α δείχνει τη χρονική απόκριση hdu[n] του συνδυασμένου φίλτρου πομπούδέκτη, όπου τονίζονται τα δείγματα στο πλέγμα {kτd}. Ιδανικά, στο πλέγμα αυτό, θα είχαμε μόνο δύο μη μηδενικά (ίσα με τη μονάδα) δείγματα, στις θέσεις *delay και *delay+. Παρατηρούνται, όμως, μικρές αποκλίσεις, λόγω προσεγγίσεων της διαδικασίας σχεδιασμού. h du [n].4. *delay*nsamp= (α) 6 8 n H du (f) Απόκριση συχνότητας διπλοδυαδικού φίλτρου (συνολική, πομπού-δέκτη) oversampling=4, delay= Ανηγμένη συχνότητα f/f s (β) Πλαίσιο 4.: Αποκρίσεις διπλοδυαδικού φίλτρου: (α) χρόνου, (β) συχνότητας

143 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Φασματικά χαρακτηριστικά Φίλτρα Nyquist Παράδειγμα 4.4: Φασματικά χαρακτηριστικά κυματομορφών βασικής ζώνης Στο άνω μέρος (α) του Πλαισίου 4. δείχνονται συνήθεις κυματομορφές βασικής ζώνης, χρησιμοποιούμενες για επικοινωνία μικρών αποστάσεων ή εγγραφή σε μαγνητικά μέσα. Ειδικότερα, η κωδικοποίηση Manchester χρησιμοποιείται ευρέως, λόγω της ευκολίας συγχρονισμού που παρέχει στη συσκευή λήψης ή ανάγνωσης. Με την υπόθεση λευκής δυαδικής ακολουθίας εισόδου, να υπολογιστεί θεωρητικά, σχεδιαστεί και επαληθευτεί με εξομοίωση η φασματική πυκνότητα καθεμιάς από τις τρεις κυματομορφές. NRZ Polar A NRZ Bipolar -A A Manchester -A A -A (α) Τύπος κωδικοποίησης NRZ Polar NRZ Bipolar Συντελεστής b k στην ακολουθία u ( t) b h( t kt ) b k b k A, A, k k bit ό bit ό A, A, bit ό, bit ό d Παλμός h(t) T Manchester b k A, A, bit ό bit ό T d (β) Πλαίσιο 4.: (α) Κυματομορφές βασικής ζώνης, (β) Συντελεστές και παλμοί στην ακολουθία περιγραφής των κυματομορφών του (α)

144 4-6 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Απάντηση Στον πίνακα (β) του Πλαισίου 4. δίνονται οι συντελεστές των παλμοσειρών u(t), καθώς και οι παλμοί h(t) για τις εν λόγω κυματομορφές, σύμφωνα με την τυποποίηση της παραγράφου 4... Τα φασματικά τους χαρακτηριστικά προκύπτουν με άμεση εφαρμογή των σχέσεων (4.) και (4.), όπως παρακάτω. Φασματικά Χαρακτηριστικά Κυματομορφών ΝRZ Polar Για τις κυματομορφές αυτού του τύπου είναι b k λευκή ακολουθία τιμών Α και -Α, και h( t) ορθογωνικός παλμός ύψους και διάρκειας Td. Σύμφωνα με την τυποποίηση της παραγράφου 4.. είναι:, m b, b A, bb ( m) A, m και H ( f ) Οπότε, σύμφωνα με τη σχέση (4.), sin( ft d ) T d ftd uu ( f ) A sin( ftd ) T d ftd (NRZ Polar) Φασματικά Χαρακτηριστικά Κυματομορφών ΝRZ Bipolar Εδώ οι διαδοχικοί παλμοί είναι συσχετισμένοι, αφού διαδοχικά "" της δυαδικής ακολουθίας κωδικοποιούνται σε παλμούς αντίθετης πολικότητας. Με παρατήρηση της αντίστοιχης κυματομορφής στο σχ. 4.3, καταλήγουμε στο ότι A E{ bk }, E{ bk } A ( A), 4 4 A E{ bkbk } E{ bkbk } p p p pa( A), 4 ενώ E{ bkbk m}, m (π.χ. E b k b } p A( A) p AA ). { Στις παραπάνω σχέσεις, με p xy συμβολίζεται η πιθανότητα εμφάνισης του ζεύγους ψηφίων xy στη δυαδική ακολουθία εισόδου. Αντίστοιχα το p xyz συμβολίζει την πιθανότητα εμφάνισης της τριάδας ψηφίων xyz.

145 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Φασματικά χαρακτηριστικά Φίλτρα Nyquist 4-7 Έτσι, ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης, σύμφωνα με την (4.) είναι: A A jft A jft A bb ( f ) e e ( cosft d ) 4 4 οπότε, με εφαρμογή της (4.), παίρνουμε: A Td sin( ftd ) uu ( f ) ( cosftd ) ft (ΝRZ Bipolar) d Φασματικά Χαρακτηριστικά Κυματομορφών Manchester b k Κατά τον πίνακα 4., η είναι λευκή ακολουθία τιμών Α, ο δε παλμός h t συνιστάμενος από δύο παλμούς αντίθετους, διάρκειας Τd/ και σε σχετική μετατόπιση Τd/, έχει μετασχηματισμό Fourier ( ),. H( f ) ( e jft d sin( ft ) f d / ) je T jft / d d sin( ft d / ) sin( ft d d / ) ft / Έτσι, η μέση πυκνότητα φάσματος ισχύος της ακολουθίας u t ( ) δίνεται από τη σχέση: sin( ftd / ) uu ( f ) A T d sin ( ftd / ) ftd / (Manchester) Στο σχ. 4.4 δίνονται οι φασματικές καμπύλες των τριών τύπων κωδικοποίησης βασικής ζώνης που εξετάστηκαν παραπάνω. Από τη σύγκριση των καμπυλών προκύπτει ότι η κωδικοποίηση Manchester απαιτεί το μεγαλύτερο εύρος ζώνης, πράγμα αναμενόμενο, αφού σε κάθε περίοδο διάρκειας Τd έχουμε και μία μετάβαση (+) (-) ή (-) (+). Αυτό όμως είναι επιθυμητό για λόγους συγχρονισμού του δέκτη, όπως προαναφέρθηκε. Στην NRZ Bipolar έχουμε, όπως και στη Manchester, συμπίεση του φάσματος στις χαμηλές συχνότητες, πράγμα επιθυμητό όταν μεταξύ πομπού και δέκτη παρεμβάλλονται και επαγωγικές ζεύξεις.

146 4-8 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο H(f) NRZ Polar NRZ Bipolar Manchester ftd Πλαίσιο 4.: Φασματική πυκνότητα κυματομορφών βασικής ζώνης

147 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Φασματικά χαρακτηριστικά Φίλτρα Nyquist 4-9 Στο επόμενο Πλαίσιο 4.3 δείχνονται δείγματα των τριών κυματομορφών (8 δείγματα ανά βασική περίοδο Τ) και οι αντίστοιχες φασματικές πυκνότητες, προς επαλήθευση των θεωρητικών καμπυλών του σχήματος 4.: (α) NRZ Polar Φασματική πυκνότητα (db/hz) Φάσμα κυματομορφής NRZ Polar Συχνότητα (f/fd) (β) NRZ Bipolar Φάσμα κυματομορφής NRZ Bipolar Φασματική πυκνότητα (db/hz) Συχνότητα (f/fd) (γ) Manchester Φάσμα κυματομορφής Manchester Φασματική πυκνότητα (db/hz) Συχνότητα (f/fd) Πλαίσιο 4.3: Δείγματα στο πεδίο του χρόνου και φασματική πυκνότητα κυματομορφών βασικής ζώνης εξομοίωση

148 4-3 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 4.4 Ασκήσεις προς εκτέλεση Άσκηση 4. (Να εκτελεστεί στο εργαστήριο) Αφού μελετηθεί το Κεφάλαιο 4 των σημειώσεων και, ειδικότερα, το Παράδειγμα 4., να γραφεί και εκτελεστεί κώδικας για τα εξής:. Να παραχθεί τυχαία δυαδική ακολουθία 8 bits και στη συνέχεια αντίστοιχο σήμα 6-ASK βασικής ζώνης, με τα εξής χαρακτηριστικά: Σηματοδοσία Nyquist root raised cosine, με roll-off =., Υπερδειγματοληψία με nsamp=6 δείγματα ανά βασική περίοδο Τ, Τάξη φίλτρου πομπού: 64 (4 περιόδων). Να υπολογιστεί το σήμα στην έξοδο προσαρμοσμένου φίλτρου στον δέκτη. Να δειχτεί τμήμα του σήματος αυτού (με την εντολή plot) διάρκειας Τ. Να υπερτεθούν (με την εντολή stem) στο τμήμα αυτό τα αντίστοιχα δείγματα του σήματος εισόδου στο πλέγμα περιόδου T (πριν την υπερδειγματοληψία). Να σχεδιαστεί (με την εντολή pwelch) το φάσμα του σήματος στον δέκτη και να εξηγηθούν η μορφή και το εύρος του. Να επαναληφθεί το ερώτημα c: (i) με roll-off =.9 και nsamp=6 (ii) με rolloff =. και nsamp=8.. Να ληφθεί η καμπύλη BER-Eb/No με εξομοίωση για τις δύο τιμές roll-off του ερωτήματος. Ποιο συμπέρασμα βγάζετε; 3. Να προσαρμοστούν οι παράμετροι του παραπάνω συστήματος μετάδοσης στα εξής πραγματικά δεδομένα/απαιτήσεις: Εύρος ζώνης διαύλου Β=.5ΜΗz. Πυκνότητα φάσματος θορύβου Νο= picowatt/hz (μονόπλευρο), Ρυθμός μετάδοσης 8 Μbps, Ανεκτό BER= Kbps. Να επαληθεύσετε τις προδιαγραφές εύρους ζώνης και BER. Υποβολή: Να γράψετε σε αρχείο.doc ή συμβατό (lab4_nnnnn.doc, nnnnn τα τελευταία 5 ψηφία του επωνύμου σας) τόσο τον κώδικά σας, όσο και τα παραγόμενα σχήματα. Να γράψετε επίσης τις απαντήσεις και τα σχήματα επαλήθευσης του ερωτήματος 3. Να υποβάλετε το αρχείο σας στο site του μαθήματος. Άσκηση 4. Να τροποποιηθεί κατάλληλα ο Κώδικας 4.3 ώστε να υπολογίζει και σχεδιάζει το φάσμα της μορφοποιημένης παλμοσειράς L-ASK του παραδείγματος 4. παράλληλα με αυτό της αντίστοιχης παλμοσειράς ορθογωνικών παλμών του παραδείγματος 3..

149 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Φασματικά χαρακτηριστικά Φίλτρα Nyquist 4-3 Να παραχθούν σχήματα παρόμοια με αυτά του σχ. 4.3 και να ερμηνευτούν θεωρητικά τα λαμβανόμενα αποτελέσματα. Άσκηση 4.3 (Να εκτελεστεί και παραδοθεί υπό μορφή σύντομης εργασίας) Να χρησιμοποιηθεί το φίλτρο του παραδείγματος 4.3 στη διαμόρφωση πλάτους δυαδικής ακολουθίας εισόδου, κατάλληλα προκωδικοποιημένης σύμφωνα με όσα αναπτύχθηκαν στην παράγραφο 4.. Να γίνουν πειράματα εξομοίωσης και να σχεδιαστούν τα αποτελέσματα, όπως στο παράδειγμα 4.. Να γίνει σύγκριση με τα αναμενόμενα θεωρητικά αποτελέσματα, καθώς και με τα αντίστοιχα της B-ASK (antipodal signaling). Άσκηση 4.4 Να υλοποιηθεί, σύμφωνα με το παράδειγμα 4.3, τροποποιημένο διπλοδυαδικό φίλτρο και να επαναληφθούν τα της άσκησης 4. αντίστοιχα. Βιβλιογραφία Αναφορές [PROA5] Proakis, J. and Salehi, M., Συστήματα Τηλεπικοινωνιών, η Έκδοση, Fountas, 5, (πρωτότυπη έκδοση: Foundamentals of Communication Systems, nd edition, Pearson, 4). [SKLA] Sklar, B., Ψηφιακές Επικοινωνίες, η έκδοση, Παπασωτηρίου,, (πρωτότυπη έκδοση: Digital Communications, nd ed., Prentice Hall ).

150

151 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK Σύνοψη Παρουσιάζονται οι ψηφιακές διαμορφώσεις (α) Εγκάρσια (Quadrature Amplitude Modulation QAM) και (β) Φάσης (Phase Shift Keying - PSK). Για την κάθε μια από αυτές δίνονται: (i) ο σηματικός αστερισμός, (ii) η δομή του πομπού και του δέκτη, (iii) η ανάλυση σφάλματος σε περιβάλλον λευκού αθροιστικού θορύβου και (iv) τα φασματικά χαρακτηριστικά. Δίνονται επίσης επεξεργασμένα παραδείγματα εξομοίωσης.

152 5- Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Περιεχόμενα Κεφαλαίου 5 5. Εισαγωγή Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM Σηματικός χώρος και αναλυτικά σήματα βασικής ζώνης Δομή πομπού και δέκτη ψηφιακής QAM Σηματικοί Αστερισμοί QAM Κωδικοποίηση Gray Πιθανότητα Σφάλματος ορθογωνικής QAM Σηματοθορυβική σχέση SNR και ανηγμένος σηματοθορυβικός λόγος Εb,av/No Φασματικά Χαρακτηριστικά Ψηφιακής QAM Ψηφιακή Διαμόρφωση (Μεταλλαγή) Φάσης PSK Αστερισμοί και αναλυτική περιγραφή σημάτων PSK Πομπός και Δέκτης PSK Πιθανότητα σφάλματος M-PSK Κωδικοποίηση Gray Φασματικά Χαρακτηριστικά PSK Επεξεργασμένα Παραδείγματα Παράδειγμα Παράδειγμα Ασκήσεις προς εκτέλεση... 6 Βιβλιογραφία Αναφορές... 7 Πλαίσια Κεφαλαίου 5 Πλαίσιο 5.: Εγκάρσια Διαμόρφωση Πλάτους (QAM): (α) Σηματικό επίπεδο, (β) Παλμοσειρά QAM, (γ) Αναλυτικό επίπεδο παράστασης βασικής ζώνης... 5 Πλαίσιο 5.: Ψηφιακή διαμόρφωση QAΜ: (α) Πομπός, (β) Παράδειγμα κωδικοποίησης και διαμόρφωσης με χρήση ορθογωνικών παλμών βασικής ζώνης,... 6 Πλαίσιο 5.3: Σηματικοί αστερισμοί QAΜ... 7 Πλαίσιο 5.4: (α) Αλγόριθμος επαγωγικής κωδικοποίησης Gray αστερισμών M-QAM, (β) Εποπτική εφαρμογή για Μ=4 και Πλαίσιο 5.5: Σηματικοί αστερισμοί και υποχώροι απόφασης για την Μ-PSK, M=,4,8... Πλαίσιο 5.6: Πομπός (α) και δέκτης (β) QPSK (ή 4-QAM)... 3 Πλαίσιο 5.7: Δέκτης Μ-PSK... 4 Πλαίσιο 5.8: Σηματικός αστερισμός M-PSK και αποστάσεις σημείων... 5 Πλαίσιο 5.9: Άνω φράγμα της πιθανότητας εσφαλμένου συμβόλου της M-PSK... 6 Πλαίσιο 5.: (α) Συστηματική διαδικασία κωδικοποίησης M-PSK κατά Gray, (β) Εφαρμογή για τη μετάβαση l Πλαίσιο 5.: Θεωρητικές καμπύλες και σημεία εξομοίωσης ψηφιακής QAM... 8

153 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK 5-3 Πλαίσιο 5.: Πλαίσιο 5.3: Πλαίσιο 5.4: Πυκνότητα φάσματος ισχύος (db/hz) 6-QAM, άνω: μορφοποίηση τετρ. παλμού, κάτω: μορφοποίηση με παλμό Nyquist (α=.5, αριστερά: αναλυτικό σήμα (βασικής ζώνης), δεξιά: πραγματικό ζωνοπερατό σήμα (f c=4/t d)... 3 Διάγραμμα Οφθαλμού (α) και Διάγραμμα Διασκορπισμού (β), 6-QAM, για ανηγμένο σηματοθορυβικό λόγο E b/n o=6db... 4 Παλμοί μορφοποίησης ανυψωμένου συνημιτόνου και ορθογωνικός: (α) πεδίο συχνότητας, (β) πεδίο χρόνου... 5 Κώδικας προγραμματισμού Κεφαλαίου 5 Κώδικας 5.: Συνάρτηση παραγωγής και φώρασης θορυβώδους αναλυτικού σήματος QAΜ πλήρους ορθογωνικού πλέγματος, καθώς και καταμέτρησης των λαθών... 9 Κώδικας 5.: Εξομοίωση Πομπού και Δέκτη QAM, σε περιβάλλον λευκού αθροιστικού θορύβου...

154 5-4 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 5. Εισαγωγή Τα σχήματα ψηφιακής διαμόρφωσης (ή ψηφιακής μεταλλαγής) φάσης (PSK Phase Shift Keying) και ψηφιακής εγκάρσιας διαμόρφωσης πλάτους (QAM Quadrature Amplitude Modulation) έχουν δισδιάστατους σηματικούς αστερισμούς στο αναλυτικό επίπεδο (πλάτους-φάσης) ταλαντώσεων σε συγκεκριμένη φέρουσα συχνότητα. Η συμπεριφορά τους παρουσία θορύβου εξαρτάται από τις αποστάσεις των σημείων (άρα από το πλήθος και τη διάταξή τους, για δεδομένη ισχύ), ενώ το φασματικό εύρος δεν επηρεάζεται από το πλήθος των σημείων. Μεγάλοι σηματικοί αστερισμοί PSK και QAM χρησιμοποιούνται σε αξιόπιστους διαύλους (με χαμηλό θόρυβο) για την επίτευξη μεγάλων ρυθμών μετάδοσης. Για εκτενέστερη μελέτη δείτε: [SKLA, κεφ. 4], [PROA5, ενότ. 8.6, 8.7]. 5. Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM 5.. Σηματικός χώρος και αναλυτικά σήματα βασικής ζώνης Ας θεωρήσουμε τον δισδιάστατο σηματικό χώρο (επίπεδο) με γενετήρια διανύσματα τα ( t) cos f t και ( t) sin f t, ορισμένα στη βασική x c περίοδο Τd με fc κάποιο ακέραιο πολλαπλάσιο του Baud Rate /Τd. Κάθε σημείο si=[six,siy] του χώρου αυτού αντιστοιχεί σε σήμα ταλάντωσης στη συχνότητα fc, πλάτους si και αρχικής φάσης θi=tan - (siy/six), δηλ. si(t)= si cos(πfct +θi). Κατ επέκταση, οποιαδήποτε χρονική τροχιά στο σηματικό επίπεδο αντιστοιχεί στο σήμα της (αναλογικής) εγκάρσιας διαμόρφωσης των συνιστωσών της, δηλαδή s( t) [ s ( t), s ( t)] s( t) s ( t)cos f t s ( t)sin f t (5.) x y x c y c Αν το σηματικό επίπεδο ταυτοποιηθεί με το μιγαδικό επίπεδο, τότε από την (5.) αναδεικνύεται η σχέση μεταξύ ζωνοπερατών και των ισοδύναμων αναλυτικών σημάτων βασικής ζώνης. Με άλλα λόγια, το u ~ ( t) u ( t) ju ( t) s ( t) js ( t ) είναι το αναλυτικό (μιγαδικό) ισοδύναμο βασικής ζώνης του s(t), σύμφωνα με τη σχέση (5.): ~ t x y x y Re{ ~ j f c u( t) u ( t) ju ( t) s ( t) js ( t) s( t) u( t) e } (5.) Όλες οι μετρικές σχέσεις (μέτρα, αποστάσεις σημείων) του (ζωνοπερατού) σηματικού χώρου διατηρούνται αυτούσιες στο μιγαδικό επίπεδο. Ένα σύστημα ψηφιακής διαμόρφωσης Μ-QAM βασίζεται στην επιλογή Μ (= k ) σημείων στο σηματικό επίπεδο και την αντιστοίχισή τους (κωδικοποίηση) σε k-άδες y c x y x y Για την απλοποίηση των συμβολισμών δεν επελέγησαν μοναδιαία διανύσματα.

155 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK 5-5 δυαδικών ψηφίων. Για τη μετάδοση μιας δυαδικής ακολουθίας, αυτή χωρίζεται σε ομάδες των k bits, για να παραχθούν στη συνέχεια αντίστοιχοι παλμοί, σύμφωνα με την υιοθετηθείσα κωδικοποίηση των σημείων του σηματικού αστερισμού. Στη γενικότερη περίπτωση, η (ζωνοπερατή) παλμοσειρά QAM έχει τη μορφή: s( t) n Re{ u ~ [ n] h( t nt d ) e } Re{ e jf c ( tnt ) jf t d c n u~ [ n] h( t nt d )} (5.3) όπου h(t) κατάλληλος παλμός βασικής ζώνης (όχι αναγκαστικά ορθογωνικός, όπως υποθέσαμε προηγουμένως). Όπως προκύπτει από το τελευταίο σκέλος της σχέσης (5.3), το αναλυτικό ισοδύναμο μιας παλμοσειράς QAM είναι μια αναλυτική παλμοσειρά βασικής ζώνης της μορφής: Αναλυτική παλμοσειρά QAM (βασικής ζώνης): u ~ ( t) u ~ [ n] h( t nt d ) (5.4) Με βάση τις παραπάνω σχέσεις (5.3) και (5.4), αν εργαστούμε στο μιγαδικό επίπεδο με τα αναλυτικά σήματα, η διαδικασία της ψηφιακής διαμόρφωσης QAM είναι παρόμοια με αυτήν της διαμόρφωσης ASK, μόνο που εδώ έχουμε μιγαδικά βάρη παλμών βασικής ζώνης (u[n]), αντί πραγματικά. Όπως και στην ASK, μπορούμε να επιλέξουμε οποιαδήποτε μορφή τέτοιων παλμών (ορθογωνικών, Nyquist κ.λπ.), για να ικανοποιήσουμε τις επιθυμητές φασματικές προδιαγραφές. Στο σχήμα 5. δείχνονται: (α) το σηματικό επίπεδο, (β) παράδειγμα παλμοσειράς QAM, καθώς και (γ) η αναλυτική της μορφή και παράσταση στο μιγαδικό επίπεδο. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα χρησιμοποιήθηκε ορθογωνικός παλμός βασικής ζώνης h(t). Στο εργαστηριακό μέρος θα μελετηθούν περιπτώσεις διαμόρφωσης QAM με παλμούς Nyquist. n ( t) sin f t y ( t) cos f t x c θ [six, siy] si c.. (n-)td nt d u x+j u y=s ix+js iy u θ t (α) (β) (γ) Πλαίσιο 5.: Εγκάρσια Διαμόρφωση Πλάτους (QAM): (α)σηματικό επίπεδο, (β) Παλμοσειρά QAM, (γ) Αναλυτικό επίπεδο παράστασης βασικής ζώνης

156 5-6 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 5.. Δομή πομπού και δέκτη ψηφιακής QAM Στο σχήμα 5. φαίνεται ο πομπός (αριστερά) και ο δέκτης (δεξιά) ψηφιακής QAM σε διαγραμματική μορφή. Δείχνονται επίσης ενδεικτικά σήματα στα ενδιάμεσα στάδια, στην ειδική περίπτωση δεκαεξαδικής QAM και ορθογωνικών παλμών βασικής ζώνης. Η προς εκπομπή δυαδική ακολουθία διαμερίζεται σε ομάδες των k log M 4 bits (μετατροπή σειριακής σε παράλληλη) και στη συνέχεια παράγεται η ακολουθία συμβόλων QAM, με βάση την κωδικοποίηση των σημείων του σηματικού αστερισμού. Η ακολουθία αυτή διαχωρίζεται σε πραγματικό (in phase) και φανταστικό (quadrature) μέρος, τα οποία οδηγούν ανεξάρτητα δύο φίλτρα μορφοποίησης παλμών βασικής ζώνης, οι έξοδοι των οποίων διαμορφώνονται κατά QAM στη συχνότητα fc. Οι αντίστροφες λειτουργίες επιτελούνται στον δέκτη: μετά την εγκάρσια αποδιαμόρφωση, κάθε συνιστώσα τροφοδοτεί ένα προσαρμοσμένο φίλτρο που με τη βοήθεια ανιχνευτή μέγιστης πιθανοφάνειας δίνει το αντίστοιχο μέρος (πραγματικό και φανταστικό) της ακολουθίας. Τέλος, ο αποκωδικοποιητής μετατρέπει τα μιγαδικά σύμβολα σε k-άδες δυαδικών ψηφίων που σειριοποιούμενες δίνουν την αρχική δυαδική ακολουθία. u ~ [ n ] u ~ [ n ] u ~ [ n ] s(t) Εγκάρσιος Διαμορφωτής cos f c -sin s I (t) s Q (t) Εγκάρσιος Αποδιαμορφωτής LPF cos f c -sin LPF Φίλτρο Μορφοποίησης Παλμών Βασ. Ζώνης (in-phase) Φίλτρο Μορφοποίησης Παλμών Βασ. Ζώνης (quadrature) Προσαρμ. Φίλτρο & Ανιχνευτής Μεγ. Πιθανοφ. (in-phase) Προσαρμ. Φίλτρο & Ανιχνευτής Μεγ. Πιθανοφ. (quadrature) u x [n] Re Im Κωδικοποιητής & Γεννήτρια Συμβόλων QAM u y [n] T T 3T t u ~ [ n ] +j 3+3j -3-j -j Αποκωδικοποιητής a[n]= Πλαίσιο 5.: Ψηφιακή διαμόρφωση QAΜ: (α) Πομπός, (β) Παράδειγμα κωδικοποίησης και διαμόρφωσης με χρήση ορθογωνικών παλμών βασικής ζώνης

157 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK Σηματικοί Αστερισμοί QAM Όπως κατέδειξε η ανάλυση σφάλματος των σχημάτων σύμφωνης αποδιαμόρφωσης παρουσία λευκού αθροιστικού θορύβου Gauss, η επίδοση των εν λόγω συστημάτων εξαρτάται κατά βάση από την ελάχιστη απόσταση των σημείων του σηματικού τους αστερισμού. Στην QAM, τα σημεία διευθετούνται επί του σηματικού επιπέδου εντός κύκλου του οποίου η ακτίνα προσδιορίζεται από τη μέγιστη ισχύ σήματος. Για δεδομένο πλήθος σημείων Μ(= k ) και μέγιστη ισχύ σήματος υπάρχουν (θεωρητικά) βέλτιστες διατάξεις που μεγιστοποιούν την ελάχιστη απόσταση των σημείων. Στην πράξη χρησιμοποιούνται διάφορες υποβέλτιστες διατάξεις, όπως πολλές του Πλαισίου 5.3, η επιλογή των οποίων γίνεται με συνεκτίμηση και άλλων παραγόντων, όπως π.χ. της ευκολίας της υλοποίησης. Ένας συχνά χρησιμοποιούμενος τύπος διατάξεων QAM είναι του ορθογωνικού πλέγματος. Το πλήρες ορθογωνικό πλέγμα, ειδικότερα, με Μ= l, l=,,3, με την ιδιότητα της συμμετρίας ως προς τους δύο άξονες, μπορεί να υλοποιηθεί ως συνδυασμός δύο ανεξάρτητων, ορθογώνιων L-ASK κλάδων L= l. Με αναφορά στο σχήμα 5., αυτό πρακτικά σημαίνει ότι η πρώτη μονάδα του πομπού QAM (Κωδικοποιητής και Γεννήτρια Συμβόλων QAM) μπορεί να διαχωριστεί σε δύο ανεξάρτητες μονάδες κωδικοποίησης και παραγωγής πλατών L-ASK (με κωδικοποίηση l bits ανά διακριτό πλάτος). Προηγείται ένας αποπλέκτης : για τη διαίρεση της δυαδικής ακολουθίας εισόδου σε δύο υπακολουθίες, μία για κάθε ASK κλάδο. Αντίστοιχα διαιρείται σε δύο ανεξάρτητες μονάδες και ο αποκωδικοποιητής στον δέκτη (βλ. Πλαίσιο 5.6 πιο κάτω για την ειδική περίπτωση της 4-QAM). ορθογωνικός (,3) Μ=4 ορθογωνικός τριγωνικός (,7 τετραγωνικός (5,) (4,) (4,4 τριγωνικός εξαγωνικός Μ=8 Μ= Πλαίσιο 5.3: Σηματικοί αστερισμοί QAΜ

158 5-8 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 5..4 Κωδικοποίηση Gray Ο τρόπος κωδικοποίησης των M σημείων του σηματικού αστερισμού, της αντιστοίχισής τους δηλαδή σε k-άδες δυαδικών ψηφίων, όπου k log M, έχει επίπτωση στην επίδοση του συστήματος. Είναι φανερό ότι, σε περίπτωση λάθους, πιθανότερα σημεία (εσφαλμένης) αναγνώρισης είναι τα γειτονικά. Η κωδικοποίηση Gray εκμεταλλεύεται αυτήν την παρατήρηση και κωδικοποιεί γειτονικά σημεία με συνδυασμούς bits που διαφέρουν μόνο κατά bit. Ένας συστηματικός τρόπος κωδικοποίησης κατά Gray ενός πλήρους ορθογωνικού πλέγματος Μ-QAM, όπου Μ= l, l=,,3, δίνεται στο Πλαίσιο 5.4. i. Για l= (Μ=4): Η κωδικοποίηση του σχηματισμού 4-QAM κατά Gray είναι τετριμμένη [σχήμα 5.4(α)]. ii. Με γνωστή την κωδικοποίηση κατά Gray του σχηματισμού τάξης l (με αριθμό σημείων Μ= l, και κωδικές λέξεις μήκους k=l), η κωδικοποίηση κατά Gray του σχηματισμού τάξης l+ λαμβάνεται ως εξής: a. Μεταφέρεται ο σχηματισμός τάξης l στις κατάλληλες θέσεις του ου τεταρτημορίου. b. Λαμβάνονται τα κατοπτρικά αυτού του σχηματισμού ως προς τους δύο άξονες ( ο και 4 ο τεταρτημόριο) και ως προς την αρχή των αξόνων (3 ο τεταρτημόριο) c. Οι κωδικές λέξεις, επαυξάνονται κατά δύο bits, παίρνοντας πρόθεμα, σε κάθε τεταρτημόριο, το αντίστοιχο dibit του σχηματισμού 4-QAM, δηλ. [] οι λέξεις του ου τεταρτημορίου, [] του ου, [] του τρίτου και [] του 4 ου τεταρτημορίου. (α) xx -4 xx xx y y y y In-Phase (β ) Πλαίσιο 5.4: (α) Αλγόριθμος επαγωγικής κωδικοποίησης Gray αστερισμών M-QAM, (β) Εποπτική εφαρμογή για Μ=4 και 6 xx Στην περίπτωση χωρισμού σε δύο ανεξάρτητους, μονοδιάστατους σηματικούς αστερισμούς, η κωδικοποίηση είναι όπως παρακάτω: xx xx xx xx

159 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK 5-9 Το ότι ο αλγόριθμος του Πλαισίου 5.4 δίνει όντως σχηματισμούς Gray είναι προφανές: Εντός του ίδιου τεταρτημορίου η επαύξηση των κωδικών λέξεων με το ίδιο πρόθεμα δεν αλλοιώνει την κωδικοποίηση Gray, η οποία είναι εξασφαλισμένη από το προηγούμενο βήμα, ενώ κατά μήκος των ορίων των τεσσάρων τεταρτημορίων η κατοπτρική κατασκευή εξασφαλίζει και πάλι στα γειτονικά σημεία (ένθεν κακείθεν των αξόνων) διαφορά κωδικών λέξεων μόνο κατά bit (αυτή του προθέματος) Πιθανότητα Σφάλματος ορθογωνικής QAM Για αναλυτικό σήμα M-QAM, πλήρους ορθογωνικού πλέγματος LxL σημείων στο μιγαδικό επίπεδο, και κωδικοποίηση Gray, η πιθανότητα εσφαλμένου bit (ή το BER) ισούται περίπου με την αντίστοιχη πιθανότητα (ή το BER) του L-ASK για ίδιο ανηγμένο σηματοθορυβικό λόγο. Πιο συγκεκριμένα είναι: P P b L QAM b LASK Pb LASK L P,, log, b, LASK (5.5) Με άλλα λόγια, οι καμπύλες BER-Eb/No της L-ASK περίπου ταυτίζονται με τις αντίστοιχες L -QAM, L=, 4, 8... Απόδειξη της (5.5): Η μέση ενέργεια Εav,u του αναλυτικού σήματος u ~ ( t) u ( t) ju ( t ) ισούται με το άθροισμα των ενεργειών των δύο στατιστικά ανεξάρτητων εγκάρσιων συνιστωσών του, δηλαδή: E E E E (5.7) E av, u av, x av, y av, x av, y Από την (5.7) προκύπτει: E E, και av, L QAM av, LASK E E / log L, E / log N N N b L QAM av, L QAM av, LASK b, LASK (5.8) o o o x L E N Όσον αφορά την πιθανότητα εσφαλμένου συμβόλου, λόγω της κωδικοποίησης και αποκωδικοποίησης δύο στατιστικά ανεξάρτητων συνιστωσών τύπου ASK, είναι: P o P P P, P P,,,, e L QAM c L QAM c LASK e LASK e, LASK e, L ASK όπου Pe και Pc οι πιθανότητες εσφαλμένης και ορθής αναγνώρισης συμβόλου αντίστοιχα. Επομένως, η πιθανότητα εσφαλμένου bit είναι: y P P P e, L QAM e, L ASK e, L ASK b, L ASK P b L QAM b L ASK P,, b, L ASK Gray log L L L coding log log P P log L Η τελευταία σχέση, σε συνδυασμό και με την (5.-8), συνεπάγεται ότι οι καμπύλες Eb, av P και Eb, av P b, L QAM b, L ASK ταυτίζονται. N N o o

160 5- Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Με βάση τα εξαγόμενα του Κεφαλαίου 3 για την L-ASK (Παράδειγμα 3.), είναι λοιπόν: Πιθανότητα Σφάλματος L 3log L Eb P erfc b, L QAM Ορθογωνικής QAM LxL L log L L N o (5.6) 5..6 Σηματοθορυβική σχέση SNR και ανηγμένος σηματοθορυβικός λόγος Εb,av/No Η σχέση που συνδέει τη σηματοθορυβική σχέση SNR με τον ανηγμένο σηματοθορυβικό λόγο προκύπτει ως εξής στην περίπτωση της QAM: Σύμφωνα με τη σχετική ανάλυση για τον ζωνοπερατό θόρυβο, η σηματοθορυβική σχέση του ζωνοπερατού σήματος διατηρείται στις δύο εγκάρσιες συνιστώσες: SNR Πρακτικά η (5.9) σημαίνει ότι SNR L ASK Px ( Py ) u SNRx SNRy (5.9) Fs No SNR L QAM SNR LASK. Εξάλλου E E b, L ASK log L Eb, L ASK log L b, L QAM log M N nsamp N nsamp ό N nsamp o o (5.8) o, ή SNR M QAM (db) E b / N o (db) *log( nsamp / log M ) (5.) Ο κώδικας του παραδείγματος 5. χρησιμοποιεί τη σχέση (5.) για να παραγάγει θορυβώδες αναλυτικό σήμα QAM για δοσμένο Eb/No και k =logm, το οποίο στη συνέχεια αποκωδικοποιεί με ΣΠΦ και μετράει τα λάθη Φασματικά Χαρακτηριστικά Ψηφιακής QAM Τα φασματικά χαρακτηριστικά σήματος ψηφιακής QAM προκύπτουν άμεσα από τις σχέσεις (5.3) και (5.4), που δίνουν το αναλυτικό ισοδύναμο βασικής ζώνης του σήματος αυτού, καθώς και τις σχέσεις (4.) και (4.). Έτσι, για το αναλυτικό σήμα QAM βασικής ζώνης u ~ ( t ), και αναγνωρίζοντας την ακολουθία u ~ [ n] των σχέσεων (5.3) και (5.4) ως το b[n] των σχέσεων (4.) και (4.), έχουμε: Αναλυτικό σήμα QAM (βασικής ζώνης): u~ ( t) b[ n] h( t nt d ), u ~ u ~ QAM C bb ( f ) H( f Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος * jfm bb ( f ) E{ b [ n] b[ n m]} e aναλυτικού σήματος QAM m (5.) ),

161 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK 5- Είναι φανερό ότι, για λευκή ακολουθία b[n], η ( f bb ) είναι μία σταθερά, οπότε το φάσμα (μορφή και εύρος) προσδιορίζεται κατά βάση από τους παλμούς βασικής ζώνης, h(t), είναι δε ανεξάρτητο του πλήθους Μ των σημείων του σηματικού αστερισμού. Σε επόμενες παραγράφους θα δοθούν συγκεκριμένα παραδείγματα. 5.3 Ψηφιακή Διαμόρφωση (Μεταλλαγή) Φάσης PSK Η Ψηφιακή Διαμόρφωση Φάσης (Phase Shift Keying PSK) χρησιμοποιεί σηματικούς αστερισμούς επί περιφέρειας κύκλου (στο μιγαδικό επίπεδο), ανήκει δηλαδή στο είδος διαμόρφωσης σταθερής περιβάλλουσας (constant envelope modulation). Είναι, προφανώς, ειδική περίπτωση της QAM και όλα όσα γενικά εκτέθηκαν στις προηγούμενες παραγράφους (δομή πομπού και δέκτη, φασματικά χαρακτηριστικά) ισχύουν ακριβώς και για την PSK. Ειδικά η QPSK (PSK τεσσάρων σημείων) είναι ταυτόσημη με την 4-QAM Αστερισμοί και αναλυτική περιγραφή σημάτων PSK Στο Πλαίσιο 5.5 δείχνονται οι σηματικοί αστερισμοί PSK δύο, τεσσάρων και οκτώ σημείων, οι υποχώροι απόφασης (σε λευκό ο υποχώρος ενός σημείου σε κάθε σχήμα), καθώς και δυαδική κωδικοποίηση κατά Gray. Για τη Δυαδική Διαμόρφωση Φάσης (Binary Phase Shift Keying BPSK), ειδικότερα (σχήμα 5.5α), έχουμε μονοδιάστατο σηματικό αστερισμό αντίποδων σημάτων (antipodal signaling). φ φ φ φ φ (α) (β) (γ Πλαίσιο 5.5: Σηματικοί αστερισμοί και υποχώροι απόφασης για την Μ-PSK, M=,4,8

162 5- Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Για την PSK M τάξης με Μ>, τα σήματα s t i ( ) μπορούν να γραφούν ως E i si ( t) cos( f ct ), t Td, i,,..., M, (5.) T M 4 d όπου το σήμα φέρουσας συχνότητας είναι το cos( f t) Ανεξάρτητα από την τιμή του M, η διάσταση του χώρου είναι Ν= και ένα ορθοκανονικό σύνολο διανυσμάτων είναι το: ( t) ( t) cos( fct), T d sin( fct) T Με αυτά τα διανύσματα βάσης, τα s t d i ( ) γράφονται: c. (5.3) i i t) E cos( ) ( t) E sin( ) ( t), (5.4) M 4 M 4 s i ( δηλαδή, σύμφωνα με τους συμβολισμούς του Κεφαλαίου 3: i i ai E cos( ), ai E sin( ), i,,..., M. (5.5) M 4 M 4 Η παλμοσειρά Μ-PSK, στη γενικότερή της μορφή γράφεται ως εξής: jf ct Σήμα Μ-PSK: s( t) Re{ e u~ [ n] h( t nt )} n d (5.6) u~ [ n] ai a ja i M u~,,,..., [ n] (5.6 α ) όπου E i i και h(t) κατάλληλος παλμός βασικής ζώνης (ορθογωνικός, Nyquist κλπ) μοναδιαίας ενέργειας. Η αναλυτική παλμοσειρά PSK είναι, βεβαίως, όπως και της QAM: Αναλυτική παλμοσειρά PSK (βασικής ζώνης): u ~ ( t) u ~ [ n] h( t nt d ) (5.7) n Για Μ = 4 έχουμε την τετραφασική διαμόρφωση (Quadriphase Shift Keying QPSK), ταυτόσημη με την 4-QAM. Ο σηματικός αστερισμός αποτελείται από 4 σημεία επί κύκλου ακτίνας E και σε γωνίες 45 ο, 35 ο, 5 ο, 35 ο, οι δε υποχώροι απόφασης είναι τα τέσσερα τεταρτημόρια, όπως φαίνεται στο σχ. 5.5(β).

163 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK Πομπός και Δέκτης PSK Όπως προαναφέρθηκε, για την M-PSK, ως ειδική περίπτωση της QAM, ισχύει η δομή πομπού και δέκτη του Πλαισίου 5.. Η δομή αυτή απλουστεύεται στην περίπτωση της QPSK (ή 4-QAM) όπως στο Πλαίσιο 5.6. Η απλούστευση συνίσταται, κατά πρώτον, στον διαχωρισμό του κωδικοποιητή (αντίστοιχα και του αποκωδικοποιητή) σε δύο ανεξάρτητους κλάδους, όπως είναι δυνατόν, βεβαίως, για κάθε πλήρη ορθογωνικό σχηματισμό QAM (βλ. σχετικές παρατηρήσεις παραγράφου 5..3). Κατά δεύτερον, κάθε κλάδος είναι μια απλή BPSK, με την κωδικοποίηση του bit εισόδου στο πρόσημο του παλμού (ορθογωνικού, Nyquist κ.λπ.) που παράγει η γεννήτρια παλμών (antipodal signaling). Η αποδιαμόρφωση είναι επίσης απλή: ελέγχεται το πρόσημο εξόδου καθενός από τους δύο συσχετιστές και αντίστοιχα αποφασίζεται για το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται το ληφθέν σήμα. Τέλος, αναφορικά και πάλι με τη γενική περίπτωση PSK, ο ανιχνευτής μέγιστης πιθανοφάνειας της γενικής δομής του σχήματος 5. μπορεί να υλοποιηθεί ως συγκριτής γωνιών, όπως φαίνεται στο σχ ( t) cos(f c ) T t a[n] ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ ΠΑΛΜΩΝ κυματομορφή ΑΠΟΠΛΕΚΤΗΣ : π/ QPSK &, - + ( t) ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ ΠΑΛΜΩΝ (α) s i ( t) w( t) ( t) cos(f ct) T π/ ( t) T dt T dt y i y q ΕΛΕΓΚΤΗΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΕΛΕΓΚΤΗΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ, αν +, αν - ΠΟΛΥΠΛΕΚΤΗΣ, αν +, αν - (β) Πλαίσιο 5.6: Πομπός (α) και δέκτης (β) QPSK (ή 4-QAM)

164 5-4 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο ( t) cos(f c ) T t s i ( t) w( t) π/ ( t) T dt T dt y i y tan q ˆ y y q i s i : ˆ min ΑΝΙΧΝΕΥΤΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ i Α Π Ο Κ Ω Δ Ι Κ Ο Π Ο Ι Η Τ Η Σ Πλαίσιο 5.7: Δέκτης Μ-PSK Πιθανότητα σφάλματος M-PSK Για τη Μ-PSK, με την υπόθεση ότι τα Μ σημεία του σηματικού αστερισμού κατανέμονται ομοιόμορφα στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας, όπως φαίνεται στο σχ. 5.8 (Ε είναι η ενέργεια κάθε στοιχειώδους σήματος), και επί πλέον ότι καθένα από τα Μ σύμβολα (που απεικονίζονται ένα προς ένα στα σημεία του σηματικού αστερισμού) εμφανίζεται με την ίδια πιθανότητα, το άνω φράγμα της πιθανότητας εσφαλμένης ανίχνευσης συμβόλου που διατυπώθηκε στο Κεφάλαιο 3 των σημειώσεων, η σχέση (3.) παίρνει τη μορφή: E d (5.8) M k em ( PSK) erfc k N o P M M αφού, λόγω συμμετρίας, είναι d ik d k erfc erfc k N o k N o για όλα τα i. ki Υπενθυμίζεται ότι ο όρος d ik erfc, i k, δίνει την πιθανότητα P( si, sk ), να N o έχει αποσταλεί δηλαδή ο παλμός s i και να ληφθεί σήμα στην περιοχή του s k. Η γεωμετρία του σχήματος 5.8 δίνει: d ik k i E sin ( ) (5.9) M

165 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK 5-5 s 4 s 3 s φ.... d 4= Esin 3π Μ s M s Πλαίσιο 5.8: Σηματικός αστερισμός M-PSK και αποστάσεις σημείων Με αναγωγή της ενέργειας ανά σύμβολο Ε σε ενέργεια ανά μεταδιδόμενο bit E b, η (5.9) γίνεται: Πιθανότητα εσφαλμένης Ανίχνευσης συμβόλου Μ-PSK: E log M ( k ) (5.) M b em ( PSK) erfc sin k No M P Για Μ = η (5.8) είναι ισότητα: Pe ( BPSK ) E erfc b N o (5.) Μια καλύτερη προσέγγιση της πιθανότητας λάθους για τη MPSK δίνεται από τη σχέση: E log M ( k ) (5.) M b em ( PSK) erfc sin k No M P Στο σχ. 5.9 έχουν σχεδιαστεί οι καμπύλες που δίνει η σχέση (5.-) για Μ =, 4, 8, 6, ενώ έχουν υπερτεθεί και τα αντίστοιχα άνω φράγματα της σχέσης (5.8). Είναι φανερό ότι για μικρές τιμές του ανηγμένου σηματοθορυβικού λόγου Eb / N o δεν έχουμε επαρκή ακρίβεια των φραγμάτων (παίρνουμε τιμές πιθανότητας ακόμη και μεγαλύτερες της μονάδας!). Βλέπε, π.χ., [ΗΑΥΚ988, σ. 37]

166 5-6 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο - - M= Πλαίσιο 5.9: Άνω φράγμα της πιθανότητας εσφαλμένου συμβόλου της M-PSK Τέλος, η πιθανότητα εσφαλμένου bit Pb μπορεί να υπολογιστεί από την πιθανότητα εσφαλμένου συμβόλου Pe, αν υποτεθεί κωδικοποίηση κατά Gray (όπως π.χ. στους αστερισμούς του σχ. 5.5), όπως και στην περίπτωση QAM: P b( M Pe ( M PSK) PSK) (5.3) Gray log M Κωδικοποίηση Gray Μπορεί να ακολουθηθεί και εδώ μια επαγωγική μέθοδος κωδικοποίησης Gray, παρόμοια με αυτήν της περίπτωσης QAM πλήρους ορθογωνικού πλέγματος. Ορίζουμε ως τάξη του σχηματισμού το μήκος l της κωδικής λέξης (αριθμό bits), δηλ. log M. l

167 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK 5-7 i. Για l= (Μ=4): Η κωδικοποίηση Gray του σχηματισμού QPSK είναι τετριμμένη (σχ. 5.5(β)). ii. Με γνωστή την κωδικοποίηση Gray του σχηματισμού τάξης l (με αριθμό σημείων Μ= l ), η κωδικοποίηση κατά Gray του σχηματισμού τάξης l+ λαμβάνεται ως εξής: a) Ολισθαίνονται τα σημεία του σχηματισμού τάξης l επί της περιφέρειας, σαν βεντάλια, τα μεν του άνω ημιεπιπέδου δεξιόστροφα, τα δε του κάτω αριστερόστροφα, ώστε να έλθουν όλα στο δεξιό ημιεπίπεδο, με υποδιπλασιασμό των αντίστοιχων γωνιών. b) Λαμβάνονται τα κατοπτρικά τους ως προς τον κατακόρυφο άξονα (σημεία στο αριστερό ημιεπίπεδο) Οι κωδικές λέξεις επαυξάνονται κατά ένα bit, παίρνοντας ως πρόθεμα οι μεν του δεξιού ημιεπιπέδου το, οι δε του αριστερού το. (α) (c) (b) (a) (β) Πλαίσιο 5.: (α) Συστηματική διαδικασία κωδικοποίησης M-PSK κατά Gray, (β) Εφαρμογή για τη μετάβαση l Φασματικά Χαρακτηριστικά PSK Τα φασματικά χαρακτηριστικά της PSK, με βάση την αναλυτική σχέση (5.7), είναι τα ίδια με αυτά της ψηφιακής QAM, όπως περιγράφονται στην παράγραφο Εξαρτώνται, δηλαδή, από το φάσμα του παλμού h(t) και τις στατιστικές ιδιότητες της ακολουθίας u ~ [ n ] (συγκεκριμένα συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της ακολουθίας αυτής). Δεν εξαρτώνται από το πλήθος Μ των σημείων του αστερισμού. Για PSK (και QAM) με ορθογωνικό παλμό μορφοποίησης και λευκή ακολουθία εισόδου, τα φάσμα του αναλυτικού σήματος (βασικής ζώνης) είναι: sin( ftd ) uuqam, PSK ftd sinc ( ftd ) (5.4)

168 5-8 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 5.4 Επεξεργασμένα Παραδείγματα 5.4. Παράδειγμα 5. (Ι) Να γραφεί πρόγραμμα-συνάρτηση σε MATLAB που να παράγει αναλυτικό σήμα M-QAM πλήρους τετραγωνικού πλέγματος (Μ=L ), να υπερθέτει λευκό γκαουσιανό θόρυβο που να αντιστοιχεί σε συγκεκριμένο ανηγμένο σηματοθορυβικό λόγο Eb,av/No και, τέλος, να εξομοιώνει δέκτη σύμφωνου προσαρμοσμένου φίλτρου και να μετράει τα λανθασμένα σύμβολα. (II) Να παραχθούν θεωρητικές καμπύλες και σημεία εξομοίωσης BER-Eb/No για Μ=4, 6, 64 και να επιδειχτεί η ισχύς του (Ι), ότι δηλαδή οι καμπύλες αυτές περίπου ταυτίζονται με τις αντίστοιχες L-ASK, για L=,4,8. Υλοποίηση: (Ι) Ο Κώδικας 5. είναι η ζητούμενη συνάρτηση. Η συνάρτηση του Κώδικα 5. μπορεί να κληθεί, κατά τα γνωστά, από το bertool του MATLAB, ή από δικό μας MATLAB script για να δώσει την πιθανότητα σφάλματος για διάφορες τιμές του Μ (μεγέθους σηματικού αστερισμού) και του σηματοθορυβικού λόγου (Πλαίσιο 5.). Οι θεωρητικές καμπύλες έχουν παραχθεί με χρήση της σχέσης (5.6) [γραμμές 4-4 στον Κώδικα 5.]. Βεβαίως, το bertool δίνει και θεωρητικές καμπύλες, οι οποίες ταυτίζονται με αυτές που παράγονται από τη σχέση (5.6). Πλαίσιο 5.: Θεωρητικές καμπύλες και σημεία εξομοίωσης ψηφιακής QAM

169 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK 5-9. Function errors=qam_errors(k,nsymb,nsamp,ebno). % Η συνάρτηση αυτή εξομοιώνει την παραγωγή και αποκωδικοποίηση 3. % θορυβώδους ακολουθίας M-QAM πλήρους ορθογωνικού πλέγματος LxL, 4. % μετράει δε και επιστρέφει τον αριθμό των παρατηρούμενων λαθών. 5. % k είναι ο αριθμός των bits ανά σύμβολο (άρτιος), έτσι L=^(k/). 6. % Nsymb είναι το μήκος της παραγόμενης ακολουθίας συμβόλων, 7. % nsamp είναι ο συντελεστής υπερδειγμάτισης (αριθ. δειγμάτων/τ), 8. % EbNo είναι ο ανηγμένος σηματοθορυβικός λόγος Eb/No, σε db. 9. %. M=^k; L=sqrt(M);. SNR=EbNo-*log(nsamp/k); % SNR ανά δείγμα σήματος. x=*floor(l*rand(,nsymb))-l+; % in-phase 3. y=*floor(l*rand(,nsymb))-l+; % quadrature 4. u=x+i*y; % Αναλυτικό σήμα QAM (βασικής ζώνης) 5. h=ones(,nsamp);% κρουστ. αποκρ. φίλτρου πομπού (ορθογ. παλμός) 6. ztx=upsample(u,nsamp); % μετατροπή στο πυκνό πλέγμα 7. ztx=conv(ztx,h); % το προς εκπομπή σήμα 8. ztx=ztx(:nsymb*nsamp);% περικόπτεται η ουρά που αφήνει η συνέλιξη 9. Pztx=*log(ztx*ztx'/length(ztx));%ισχύς μιγαδικού σήματος,σε db. Pn=Pztx-SNR; % αντίστοιχη ισχύς μιγαδικού θορύβου, σε db. Pnx=^(Pn/)/; Pny=Pnx; % ισχύς κάθε μιας συνιστώσας θορύβου. nx=sqrt(pnx)*randn(,length(ztx)); 3. ny=sqrt(pny)*randn(,length(ztx)); 4. n=nx+i*ny; % μιγαδικό σήμα θορύβου 5. znoisy=ztx+n; % θορυβώδες μιγαδικό QAM σήμα 6. %% 7. z=reshape(znoisy,nsamp,length(znoisy)/nsamp); 8. matched=h; 9. zrx=matched*z/nsamp; 3. zi=real(zrx); zq=imag(zrx); % in phase & quadrature components 3. l=[-l+::l-]; 3. for p=:length(zrx) 33. [m,j]=min(abs(l-zi(p))); 34. zi(p)=l(j); 35. [m,j]=min(abs(l-zq(p))); 36. zq(p)=l(j); 37. end 38. err=not(u==(zi+i*zq)); 39. errors=sum(err); 4. % Θεωρητικός υπολογισμός Pe & Pb 4. % Pe=*(L-)/L*erfc(sqrt(3*k//(L^-)*^(EbNo/))); 4. % Pb=Pe/log(M); 43. end Κώδικας 5.: Συνάρτηση παραγωγής και φώρασης θορυβώδους αναλυτικού σήματος QAΜ πλήρους ορθογωνικού πλέγματος, καθώς και καταμέτρησης των λαθών

170 5- Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 5.4. Παράδειγμα 5. Α. Να γραφεί πρόγραμμα σε MATLAB που να κάνει πλήρη εξομοίωση ενός πομποδέκτη ψηφιακής QAΜ, σύμφωνα με το σχ. 5.. Συγκεκριμένα: I. Παράγει ακολουθία συμβόλων L -QAM, κωδικοποιώντας κατά Gray τυχαία δυαδική ακολουθία εισόδου. II. Παράγει αναλυτικό σήμα QAM με βάση την ακολουθία του (Ι) και παλμούς βασικής ζώνης: (α) ορθογωνικούς, (β) Nyquist (φίλτρο τετραγωνικής ρίζας γραμμικής πτώσης). III. Διαμορφώνει εγκάρσια το αναλυτικό σήμα και προσθέτει γκαουσιανό θόρυβο για συγκεκριμένη σηματοθορυβική σχέση. IV. Αποδιαμορφώνει το ζωνοπερατό σήμα και αναπαράγει την αρχική ακολουθία με χρήση σύμφωνου προσαρμοσμένου φίλτρου και κατάλληλης αποκωδικοποίησης. Μετρά τα εσφαλμένα bits. V. Υπολογίζει και σχεδιάζει το φάσμα τόσο του σήματος βασικής ζώνης όσο και του ζωνοπερατού QAM. Σχεδιάζει ενδεικτικά «διαγράμματα οφθαλμού» (eye diagrams) και διαγράμματα διασποράς (scatter plots). Β. Να σχολιαστούν τα διαγράμματα φάσματος ισχύος για τις δύο περιπτώσεις (α) και (β) του ερωτήματος ΙΙ. Υλοποίηση: Α. Το ζητούμενο πρόγραμμα δίνεται από τον Κώδικα 5.. I. Το τμήμα 6-34 παράγει διάνυσμα κωδικοποίησης Gray (mapping), με τα σύμβολα QAM του σηματικού αστερισμού σε κατάλληλη διάταξη. Συγκεκριμένα, το δεκαδικό ισοδύναμο μιας δυαδικής λέξης (μήκους k), αυξημένο κατά ένα, δίνει την τάξη του αντίστοιχου συμβόλου QAM στο διάνυσμα mapping: π.χ. για k 4 : x bide xsym 9 mapping(xsym) y 3 Η δυαδική ακολουθία ακολουθία εισόδου x παράγεται και κωδικοποιείται κατά Gray στο τμήμα II. Στο τμήμα κώδικα ορίζεται το φίλτρο μορφοποίησης (ορθογωνικός παλμός ή τετραγωνικής ρίζας Nyquist, ανάλογα με την παράμετρο pulse_type) και στη συνέχεια παράγεται και μορφοποιείται η παλμοσειρά QAM βασικής ζώνης (55-56). III. Στη συνέχεια παράγεται το πραγματικό ζωνοπερατό σήμα QAM (γραμμές 6-6 του κώδικα) και προστίθεται λευκός γκαουσιανός θόρυβος κατάλληλης ισχύος,σύμφωνα με το SNR που αντιστοιχεί στο δοσμένο Eb/No (γραμμές 67-7). j

171 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK 5- IV. Ο Δέκτης εξομοιώνεται στο υπόλοιπο του κώδικα (γραμμές 74-95), ενώ εκτιμάται και ο ρυθμός λαθών με δύο τρόπους: (α) με σύγκριση της αναπαραγόμενης ακολουθίας συμβόλων QAM με την αρχική (β) με σύγκριση της δυαδικής ακολουθίας εξόδου xrx με την αρχική x. V. Σε κατάλληλα σημεία του κώδικα σχεδιάζονται οι ζητούμενες κυματομορφές με τη βοήθεια της συνάρτησης pwelch του MATLAB. Στα σχήματα 5. και 5.3 δείχνονται ενδεικτικά διαγράμματα.. % Εξομοιώνεται το πλήρες σύστημα πομπού-δέκτη QAM, με αφετηρία. % δυαδική ακολουθία προς εκπομπή. Γίνεται κωδικοποίηση 3. % Gray, ενώ Γκαουσιανός θόρυβος προστίθεται στο ζωνοπερατό 4. % QAM σήμα για δοσμένο σηματοθορυβικό λόγο Eb/No. 5. % Δίνεται δυνατότητα επιλογής φίλτρου μορφοποίησης βασικής ζώνης 6. % (ορθογωνικό ή Nyquist), ενώ μετράται το BER μετά τη βέλτιστη 7. % αποδιαμόρφωση με το αντίστοιχο προσαρμοσμένο φίλτρο. 8. % M (=^k, k άρτιο)είναι το μέγεθος του σηματικού αστερισμού, 9. % mapping είναι το μιγαδικό διάνυσμα των Μ QAM συμβόλων,. % σε διάταξη κωδικοποίησης Gray. % Nsymb είναι το μήκος της ακολουθίας QAM,. % nsamp είναι ο συντελεστής υπερδειγμάτισης, (# δειγμάτων/τ) 3. % EbNo είναι ο λόγος Eb/No, in db 4. % 5. close all; clear all; 6. L=8; % LxL σηματικός αστερισμός, L=^l, l> 7. l=log(l); k=*l; M=L^; 8. Nsymb=3; 9. pulse_type=; % επιλογή rtrapezium ως φίλτρου μορφοποίησης. % pulse_type=; % επιλογή μορφοποίησης ορθογωνικού παλμού. nsamp=6; % συντελεστής υπερδειγμάτισης, # δειγμάτων/τ. fc=4; % συχνότητα φέροντος, πολλαπλάσιο του Baud Rate (/T) 3. EbNo=5; % Eb/No, σε db 4. SNR=EbNo-*log(nsamp/k/); % SNR ανά δείγμα σήματος 5. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 6. core=[+i;-i;-+i;--i]; 7. mapping=core; 8. if(l>) 9. for j=:l- 3. mapping=mapping+j**core(); 3. mapping=[mapping;conj(mapping)]; 3. mapping=[mapping;-conj(mapping)]; 33. end 34. end; 35. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 36. %%%%%%%%%%%% ΠΟΜΠΟΣ %%%%%%%%%%%% 37. x=floor(*rand(k*nsymb,)); % τυχαία δυαδική ακολουθία 38. xsym=bide(reshape(x,k,length(x)/k).','left-msb')'; 39. y=[]; 4. for n=:length(xsym) 4. y=[y mapping(xsym(n)+)]; 4. end (συνεχίζεται) Κώδικας 5.: Εξομοίωση Πομπού και Δέκτη QAM, σε περιβάλλον λευκού αθροιστικού θορύβου

172 5- Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο (συνέχεια) 43. %% Ορισμός φίλτρου μορφοποίησης 44. if (pulse_type==) % παλμός Nyquist -- rtrapezium 45. delay = 8; % Group delay (# περιόδων Τ) 46. filtorder = delay*nsamp*; 47. rolloff =.5; % συντελεστής εξάπλωσης φίλτρου 48. % Η rtrapezium.m πρέπει να βρίσκεται στο current directory 49. shaping_filter = rtrapezium(nsamp,rolloff,delay); 5. else % ορθογωνικός παλμός 5. delay=.5; 5. shaping_filter=ones(,nsamp)/sqrt(nsamp);% με κανονικοποίηση! 53. end 54. %% Εκπεμπόμενο σήμα 55. ytx=upsample(y,nsamp); 56. ytx = conv(ytx,shaping_filter); 57. % Υπολογισμός & σχεδιασμός φάσματος 58. figure(); pwelch(real(ytx),[],[],[],nsamp); % σε κλίμακα /T 59. % quadrature modulation 6. m=(:length(ytx)); 6. s=real(ytx.*exp(j**pi*fc*m/nsamp)); 6. figure(); pwelch(s,[],[],[],nsamp); % σε κλίμακα /T 63. % % Διάγραμμα οφθαλμού, όταν ορθ. παλμός. 65. % if (pulse_type==) eyediagram(ytx(:),nsamp*); 66. % Προσθήκη λευκού γκαουσιανού θορύβου 67. Ps=*log(s*s'/length(s)); % ισχύς σήματος, σε db 68. Pn=Ps-SNR; % αντίστοιχη ισχύς θορύβου, σε db 69. n=sqrt(^(pn/))*randn(,length(ytx)); 7. snoisy=s+n; % θορυβώδες ζωνοπερατό σήμα 7. clear ytx xsym s n; % για εξοικονόμηση μνήμης 7. %%%%%%%%% ΔΕΚΤΗΣ %%%%%%%%%%%%% 73. % Αποδιαμόρφωση 74. yrx=*snoisy.*exp(-j**pi*fc*m/nsamp); clear s; 75. % Κανονικά ακολουθεί βαθυπερατό φίλτρο. 76. % Όμως στην περίπτωση μορφοποίησης Nyquist δεν χρειάζεται, 77. % αφού το προσαρμοσμένο φίλτρο (Nyquist) είναι ταυτόχρονα 78. % και ένα καλό βαθυπερατό φίλτρο. 79. yrx = conv(yrx,shaping_filter); 8. figure(3); pwelch(real(yrx),[],[],[],nsamp); % κλίμακα /T 8. yrx = downsample(yrx,nsamp); % Υποδειγμάτιση στο πλέγμα nt. 8. yrx = yrx(*delay+(:length(y))); % περικοπή άκρων συνέλιξης. 83. % yi=real(yrx); yq=imag(yrx); % συμφασική και εγκάρσια συνιστώσα 85. xrx=[]; % διάνυσμα δυαδικής ακολουθίας εξόδου -- αρχικά κενό 86. q=[-l+::l-]; 87. for n=:length(yrx) % επιλογή πλησιέστερου σημείου 88. [m,j]=min(abs(q-yi(n))); 89. yi(n)=q(j); 9. [m,j]=min(abs(q-yq(n))); 9. yq(n)=q(j); 9. m=; 93. while (mapping(m)~=yi(n)+i*yq(n)) m=m+; end 94. xrx=[xrx; debi(m-,k,'left-msb')']; 95. end 96. scatterplot(yrx); % διάγραμμα διασκορπισμού 97. % Τι παρατηρείτε στο διάγραμμα διασκορπισμού, στην περίπτωση 98. % μορφοποίησης με ορθ. παλμό; Ποια η επίπτωση στο ber 99. % και πώς διορθώνεται;. %% ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΡΥΘΜΟΥ ΛΑΘΩΝ. % Με δύο τρόπους: (α) με σύγκριση των σημείων QAM (y-yrx). % (β) με σύγκριση των δυαδικών ακολουθιών (x-xrx) 3. ber=sum(not(y==(yi+i*yq)))/length(x) 4. ber=sum(not(xrx==x))/length(x) Κώδικας 5.: (συνέχεια)

173 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK 5-3 Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος (db), αναλυτικό σήμα 6-QAM, μορφοποίηση με ορθ. παλμό Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος (db), 6-QAM (f c=4/t d), μορφοποίηση με ορθ Συχνότητα (x /T d) Συχνότητα (x /T d) Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος, αναλυτικό σήμα 6-QAM μορφοποίηση με παλμό Nyquist (α=.5) Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος (db), 6-QAM (fc=4/td), μορφοποίηση με παλμό Nyquist (α=.5) Συχνότητα (x /T d) Συχνότητα (x /T d) Πλαίσιο 5.: Πυκνότητα φάσματος ισχύος (db/hz) 6-QAM, άνω: μορφοποίηση τετρ. παλμού, κάτω: μορφοποίηση με παλμό Nyquist (α=.5), αριστερά: αναλυτικό σήμα (βασικής ζώνης) δεξιά: πραγματικό ζωνοπερατό σήμα (f c=4/t d)

174 5-4 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 4 Διάγραμμα οφθαλμού, συμφασική συνιστ, 6-QAM, E b/no=6 db Χρόνος 4 Διάγραμμα οφθαλμού, εγκάρσια συνιστ., 6-QAM, E b/no=6 db Χρόνος (α) (β) Πλαίσιο 5.3: Διάγραμμα Οφθαλμού (α) και Διάγραμμα Διασκορπισμού (β), 6-QAM, για ανηγμένο σηματοθορυβικό λόγο E b/n o=6db

175 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK 5-5 Β. Παρατηρήσεις για το φάσμα Το προσαρμοσμένο φίλτρο, τόσο με ορθογωνικό παλμό όσο και με παλμό Nyquist (φίλτρο τετραγωνικής ρίζας ανυψωμένου συνημιτόνου), είναι, βεβαίως, ένα βαθυπερατό φίλτρο το οποίο αποκόπτει τα είδωλα υψηλών συχνοτήτων που εισάγει η αποδιαμόρφωση. Έτσι καθιστά περιττή μια ξεχωριστή μονάδα LPF στον εγκάρσιο αποδιαμορφωτή του Πλαισίου 5.. Ωστόσο, ειδικά για την περίπτωση του ορθογωνικού παλμού μορφοποίησης, πρέπει να γίνουν οι εξής παρατηρήσεις:. Το προσαρμοσμένο φίλτρο, θεωρούμενο ως βαθυπερατό φίλτρο, δεν έχει ικανοποιητικά χαρακτηριστικά αποκοπής, όπως φαίνεται από τους υψηλούς πλευρικούς λοβούς του φάσματος (Πλαίσιο 5.).. Το εύρος ζώνης είναι ίσο με /Τd (πρώτος μηδενισμός) στη βασική ζώνη και το διπλάσιό του στη ζώνη εκπομπής. Τα φίλτρα Nyquist, αντίθετα, αφενός έχουν ικανοποιητικά χαρακτηριστικά αποκοπής (πρακτικά ανύπαρκτοι πλευρικοί λοβοί), αφετέρου περιορίζονται στο μισό εύρος ζώνης (πλην της επέκτασης λόγω roll-off). Αυτοί είναι οι λόγοι που τα συστήματα εκπομπής QAM κάνουν χρήση φίλτρων Nyquist. Οι παλμοί μορφοποίησης και τα φάσματά τους δείχνονται συγκριτικά στο Πλαίσιο Απόκριση συχνότητας φίλτρων μορφοποίησης rcosine και ορθογωνικού παλμού Φίλτρο ορθογ. παλμού (sampling function) roll off: Συχνότητα, f /F (α) d Παλμοί rcosine και ορθογωνικός (β) Χρόνος, t /T d Πλαίσιο 5.4: Παλμοί μορφοποίησης ανυψωμένου συνημιτόνου και ορθογωνικός: (α) πεδίο συχνότητας, (β) πεδίο χρόνου

176 5-6 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 5.5 Ασκήσεις προς εκτέλεση Άσκηση 5. Ι. Να επαληθευτούν τα αποτελέσματα του σχήματος στο Πλαίσιο 5. (θεωρητικά και σημεία εξομοίωσης) για Μ=6 και 64. Να υπερτεθούν στο ίδιο σχήμα σημεία από την εξομοίωση της 4-ASK και 8-ASK αντίστοιχα. ΙΙ. Με τη βοήθεια του Κώδικα 5., να ληφθούν οι φασματικές πυκνότητες (ζωνοπερατών) σημάτων 6-QAM με μορφοποίηση: (α) ορθογωνικού παλμού, (β) Nyquist (τετραγωνικής ρίζας γραμμικής πτώσης) και συχνότητα φέροντος 8/Τ. Υπόδειξη: Να επιλεγεί κατάλληλη τιμή του nsamp. ΙΙΙ. Με τη βοήθεια του Κώδικα 5., να υπολογιστεί το BER για την 64-QAM με EbNo=8db. Εξηγήστε γιατί τα ber και ber μπορεί να είναι διαφορετικά. Άσκηση 5. Στην επίγεια ψηφιακή τηλεόραση, σύμφωνα με το πρότυπο DVB-T, εκτός των ομοιόμορφων αστερισμών QAM ορθογωνικού πλέγματος, χρησιμοποιούνται και μη ομοιόμορφοι, όπως αυτός του διπλανού σχήματος. Να γίνει ανάλυση σφάλματος, καταρχήν θεωρητικά, σύμφωνα με το παράδειγμα 3.4. για τους μονοδιάστατους σηματικούς αστερισμούς και την παράγραφο 5..5 αυτού του κεφαλαίου. Στη συνέχεια να γίνει εξομοίωση και υπολογισμός της πιθανότητας σφάλματος, κατά το πρότυπο του παραδείγματος Άσκηση 5.3 (Να εκτελεστεί στο εργαστήριο). Να σχεδιάσετε σηματικό αστερισμό 64-QAM πλήρους ορθογωνικού πλέγματος, με σημειωμένες τις δυαδικές λέξεις δίπλα σε κάθε σημείο του [όπως στο σχήμα 5.4(β) των σημειώσεων] με κωδικοποίηση Gray.. Έχουμε στη διάθεσή μας τον ζωνοπερατό δίαυλο MHz και θέλουμε να εκπέμψουμε με ρυθμό Mbps. Να επιλεγεί σύστημα M-QAM πλήρους oρθογωνικού πλέγματος και σηματοδοσίας Nyquist, κατάλληλο για τον σκοπό αυτόν. Επιλέξτε κατάλληλη τιμή roll-off ώστε να εκμεταλλευτείτε όλο το διαθέσιμο εύρος ζώνης. Εξομοιώστε πομπό και δέκτη και σχεδιάστε θεωρητικά και πειραματικά την καμπύλη Pb Eb/No. Η συχνότητα δειγματοληψίας πρέπει να είναι επαρκώς υψηλή, ώστε τα σήματα όλων των βαθμίδων διαμόρφωσης αποδιαμόρφωσης να μπορούν να παρασταθούν χωρίς σφάλμα αναδίπλωσης (aliasing).

177 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK Αν ο μέγιστος ανηγμένος σηματοθορυβικός λόγος Eb/No που μπορείτε να πετύχετε στον δέκτη είναι db και ο κωδικοποιητής διαύλου που έχετε στη διάθεσή σας απαιτεί η πιθανότητα εσφαλμένου bit να μην υπερβαίνει την τιμή., αναδιπλωθείτε σε σύστημα QAM μικρότερης τάξης, χωρίς να αλλάξετε τις άλλες παραμέτρους σηματοδοσίας. Ποιος είναι τώρα ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης; Σχεδιάστε και πάλι την πυκνότητα φάσματος ισχύος των σημάτων σας και δείτε αν υπάρχουν διαφοροποιήσεις. 4. Πόσο μπορεί να αυξηθεί ο ρυθμός μετάδοσης στο ερώτημα 3, αν μπορεί να μειωθεί στο μισό του το roll-off του φίλτρου Nyquist; Υποβολή: Να γράψετε σε αρχείο.doc ή συμβατό (lab5_nnnnn.doc, nnnnn τα τελευταία 5 ψηφία του επωνύμου σας) τόσο τις απαντήσεις στα ερωτήματα όσο και τον κώδικά σας και τα παραγόμενα σχήματα. Να υποβάλετε το αρχείο σας στο site του μαθήματος. Βιβλιογραφία Αναφορές [ΗΑΥΚ988] Haykin, S., Digital Communications, Willey, 988. [PROA5] Proakis, J. and Salehi, M., Συστήματα Τηλεπικοινωνιών, η Έκδοση, Fountas, 5, (πρωτότυπη έκδοση: Foundamentals of Communication Systems, nd edition, Pearson, 4). [SKLA] Sklar, B., Ψηφιακές Επικοινωνίες, η έκδοση, Παπασωτηρίου,, (πρωτότυπη έκδοση: Digital Communications, nd ed., Prentice Hall ).

178

179 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο : Ψηφιακή διαμόρφωση FSK και MSK Σύνοψη Παρουσιάζονται οι ψηφιακές διαμορφώσεις συχνότητας (ονομαζόμενες και Διαμορφώσεις Μεταλλαγής Συχνότητας, Frequency Shift Keying FSK), με αναφορά, όπως και στο προηγούμενο κεφάλαιο, στα τέσσερα βασικά θέματα: τον σηματικό αστερισμό, τη δομή του πομπού και του δέκτη, τη συμπεριφορά στον θόρυβο (με μέτρο την πιθανότητα εσφαλμένου bit) και τα φασματικά χαρακτηριστικά. Ιδιαίτερη ενότητα αφιερώνεται στη σύμφωνη δυαδική εκδοχή της FSK με το ελάχιστο εύρος ζώνης, αυτήν της Ελάχιστης (Μεταλλαγής) Συχνότητας (Minimum Shift Keying MSK). Δίνονται επεξεργασμένα παραδείγματα εξομοίωσης.

180 6- Ν. Μήτρου- ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Περιεχόμενα Κεφαλαίου 6 6. Εισαγωγή Ψηφιακή Διαμόρφωση Συχνότητας (FSK) Σηματικός χώρος M-FSK Συμπεριφορά της FSK στον θόρυβο Πιθανότητα εσφαλμένου bit και BER συστημάτων M-FSK Φασματικά Χαρακτηριστικά FSK Δυαδική Διαμόρφωση Συχνότητας (BFSK) Διαμόρφωση Ελάχιστης (Μεταλλαγής) Συχνότητας (MSK) Περιγραφή σημάτων Σηματικός Αστερισμός MSK MSK και QPSK Πομπός και Δέκτης MSK Συμπεριφορά της MSK στον θόρυβο Φασματικά χαρακτηριστικά MSK Eπεξεργασμένα Παραδείγματα Παράδειγμα Παράδειγμα Ασκήσεις προς εκτέλεση... 8 Βιβλιογραφία Αναφορές... 9

181 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Ψηφιακή διαμόρφωση FSK και MSK 6-3 Πλαίσια Κεφαλαίου 6 Πλαίσιο 6.: Άνω φράγμα της πιθανότητας εσφαλμένης ανίχνευσης συμβόλου, σύμφωνη Μ-FSK... 5 Πλαίσιο 6.: Σηματικός αστερισμός BFSK... 8 Πλαίσιο 6.3: Συγκριτική συμπεριφορά στον θόρυβο BPSK, σύμφωνης ΒFSK και ασύμφωνης BFSK... 9 Πλαίσιο 6.4: Αστερισμός ορθογώνιων συχνοτήτων: (α) ασύμφωνης FSK, (β) σύμφωνης Πλαίσιο 6.5: ΒFSK και MSK... Παράδειγμα ακολουθίας εισόδου και αντίστοιχες ανελίξεις των φ n, θ(t), των εγκάρσιων συνιστωσών και του τελικού σήματος MSK, για f c=/τ d... Πλαίσιο 6.6: (α) Σηματικός αστερισμός και (β) γενετήρια διανύσματα MSK... 3 Πλαίσιο 6.7: Παράλληλη δομή πομπού MSK... 3 Πλαίσιο 6.8: Πομπός (σειριακή δομή) και δέκτης MSK... 5 Πλαίσιο 6.9: Λάθη με και χωρίς τη χρήση προκωδικοποιητή-αποκωδικοποιητή... 6 Πλαίσιο 6.: Φασματικά χαρακτηριστικά MSK και QPSK... 8 Πλαίσιο 6.: Θεωρητικές καμπύλες και σημεία εξομοίωσης σύμφωνης και ασύμφωνης FSK... 9 Πλαίσιο 6.: Πυκνότητα φάσματος ισχύος σημάτων FSK... Πλαίσιο 6.3: BER συστήματος MSK... Πλαίσιο 6.4: Ακολουθίες και σήματα πομπού MSK: (α),(β) ακολουθία εισόδου σε λογική και πολική μορφή, (γ) μετά την προκωδικοποίηση, (δ) γωνιακή απόκλιση θ(t), (ε) εγκάρσιες συνιστώσες βασικής ζώνης σήματος MSK, (στ) σήμα MSK (f c=4/t)... 5 Πλαίσιο 6.5: Πλαίσιο 6.6: Πυκνότητα φάσματος ισχύος σημάτων MSK: (α) εγκάρσιων συνιστωσών βασικής ζώνης, (β) σήματος (ζωνοπερατού) MSK... 6 Πυκνότητα φάσματος ισχύος σημάτων MSΚ βασικής ζώνης με θόρυβο: (α) πριν το βαθυπερατό φίλτρο, (β) μετά το βαθυπερατό φίλτρο, (γ) απόκριση συχνότητας βαθυπερατού φίλτρου... 7 Κώδικας προγραμματισμού Κεφαλαίου 6 Κώδικας 6.: Συνάρτηση εξομοίωσης πομπού και δέκτη σύμφωνης M-FSK, καθώς και υπολογισμού λαθών σε περιβάλλον AWGN... Κώδικας 6.: Συνάρτηση εξομοίωσης πομπού και δέκτη MSK... 3

182 6-4 Ν. Μήτρου- ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 6. Εισαγωγή Η ψηφιακή διαμόρφωση (ή μεταλλαγή) συχνότητας (Frequency Shift Keying FSK) συνίσταται στην αντιστοίχιση δυαδικών λέξεων σε τμήματα ημιτονοειδών σημάτων διαφορετικών συχνοτήτων. Με κατάλληλη επιλογή των συχνοτήτων εξασφαλίζεται η ορθογωνιότητα των σημάτων του σηματικού αστερισμού. Επομένως, η διάσταση του σηματικού χώρου είναι ίδια με το μέγεθος Μ του σηματικού αστερισμού και, συνεπώς, για την αποδιαμόρφωση χρειάζονται ισάριθμα προσαρμοσμένα φίλτρα (σε αντίθεση με τα συστήματα PSK και QAM, όπου η διάσταση του σηματικού χώρου είναι, ανεξαρτήτως του Μ, και δύο μόνο προσαρμοσμένα φίλτρα είναι επαρκή). Η Ελάχιστη Μεταλλαγή Συχνότητας (Minimum Shift Keying MSK) είναι ειδική περίπτωση της Δυαδικής FSK (με συνεχή φάση). 6. Ψηφιακή Διαμόρφωση Συχνότητας (FSK) 6.. Σηματικός χώρος M-FSK O σηματικός χώρος M-FSK ορίζεται από ορθοκανονικά σήματα βάσης της μορφής: cos( fit ) t Td () t T, i=,,..., M. (6.) i, d ύ Για να είναι τα παραπάνω σήματα ορθογώνια θα πρέπει: T d T d cos( f t) cos( f t), i j, (σύμφωνη αποδιαμόρφωση) i j ή cos( f t)cos( f t ),, i j, (ασύμφωνη αποδιαμόρφωση) i j k i k i Η πρώτη από τις παραπάνω σχέσεις ισχύει για fi, η δε δεύτερη για fi Td Td k ακέραιος. Δηλαδή, ορθογωνιότητα των σημάτων βάσης έχουμε όταν οι συχνότητες διαφέρουν κατ ελάχιστο, για μεν τη σύμφωνη αποδιαμόρφωση κατά /(Τd), για δε την ασύμφωνη κατά /Τd. Συνήθως ο k είναι αρκετά μεγαλύτερος του M και ορίζει τη συχνότητα του φέροντος k k fc ( f c αντίστοιχα). Με si ( t) E i ( t), i,,... M, έχουμε σηματικό Td Td αστερισμό M σημείων (όπου το M είναι ακέραια δύναμη του ).

183 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Ψηφιακή διαμόρφωση FSK και MSK Συμπεριφορά της FSK στον θόρυβο 6... Σύμφωνη αποδιαμόρφωση συχνότητας (coherent Μ-FSK) Ισχύει εδώ πλήρως η θεωρία της παραγράφου και το άνω όριο της σχέσης (3.) για τη μέση πιθανότητα λάθους. Η απόσταση μεταξύ δύο οποιωνδήποτε διανυσμάτων s t j ( ),, είναι: i ( ) και s t i j s ( t) s ( t) s ( t) s ( t) E. i j i j Έτσι, η (3.) δίνει για το σύστημα σύμφωνης (coherent) MFSK: Σύμφωνη M-FSK P e M E erfc N o (6.) Για Μ= (coherent BFSK), η παραπάνω σχέση είναι ισότητα. Στο σχήμα 6. δείχνονται καμπύλες πιθανότητας λάθους της σύμφωνης M-FSK για διάφορες τιμές του Μ, όπως προκύπτουν με εφαρμογή της προσεγγιστικής σχέσης (άνω φράγματος) (6.). log( P e ) M= E b N (db) / o Πλαίσιο 6.: Άνω φράγμα της πιθανότητας εσφαλμένης ανίχνευσης συμβόλου, σύμφωνη Μ-FSK

184 6-6 Ν. Μήτρου- ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 6... Aσύμφωνη αποδιαμόρφωση συχνότητας (non-coherent FSK) Σύμφωνα με τα αναφερόμενα στην παράγραφο 3.3.7, ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα εσφαλμένου συμβόλου για ασύμφωνο δέκτη δίνεται από τη σχέση: Ασύμφωνη M-FSK P e E N o M e (6.3) Ενώ και για Μ= (non-coherent BFSK), η παραπάνω σχέση γίνεται ισότητα Πιθανότητα εσφαλμένου bit και BER συστημάτων M-FSK Αυτό που τελικά ενδιαφέρει και αποτελεί κριτήριο σύγκρισης των διαφόρων συστημάτων είναι, όπως έχει ήδη αναφερθεί, η πιθανότητα εσφαλμένου bit P b ή ο ρυθμός εσφαλμένων bits (Bit Error Rate BER) που, για ρυθμό μετάδοσης R, είναι ίσος με BER=P br. Η σχέση που συνδέει την πιθανότητα εσφαλμένου bit P b με την πιθανότητα εσφαλμένου συμβόλου P e για συστήματα FSK δίνεται από τη σχέσηq M Πιθανότητα εσφαλμένου bit Μ-FSK: Pb P e (6.4) ( M ) Απόδειξη της (6.4): Η απόδειξη της παραπάνω σχέσης μπορεί να εξαχθεί ως εξής: Στην περίπτωση ορθογώνιων σημάτων, όλα τα σημεία του σηματικού αστερισμού βρίσκονται σε ίσες αποστάσεις μεταξύ τους, με αποτέλεσμα τα υπόλοιπα, κάθε φορά, Μ- σύμβολα (εκτός του αποσταλέντος) να έχουν την ίδια πιθανότητα να επιλεγούν N (εσφαλμένα) από τον δέκτη. Η πιθανότητα αυτή είναι ίση με Pe / ( M ) Pe / ( ), όπου N log M ο αριθμός των bits που κωδικοποιούνται ανά σύμβολο. Έτσι ο μέσος αριθμός εσφαλμένων bits ανά σύμβολο (ή ανά ομάδα των Ν bits) είναι N n N P N P e N e N N n n, οπότε διαιρώντας με Ν παίρνουμε τη ζητούμενη σχέση N Η απόδειξη της ταυτότητας N N μπορεί να εξαχθεί με διαφόριση των δύο μελών n N n n (ως προς x ή ως προς a) του διωνυμικού αναπτύγματος της προκύπτουσας ταυτότητας για x=a=. ( x a) N N n N x n Nn a n και εφαρμογή

185 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Ψηφιακή διαμόρφωση FSK και MSK Φασματικά Χαρακτηριστικά FSK H φασματική ανάλυση της Μ-FSK είναι πιο σύνθετη σε σχέση με την αντίστοιχη της M-PSK που μελετήσαμε στην παράγραφο 5..3, και παρουσιάζεται στην εργασία των Anderson και Salz *. Η ειδικότερη περίπτωση με ομοιόμορφα κατανεμημένες συχνότητες σε αποστάσεις /(Τ) (εξασφαλίζεται ορθογωνιότητα μεταξύ των σημάτων βάσης μόνο για σύμφωνη αποδιαμόρφωση) χαρακτηρίζεται από ισοδύναμο σήμα βασικής ζώνης ~ ( ) με πυκνότητα φάσματος ισχύος ίση με: s t M M M sin ~~ ( ) cos( ) sin sin i i j s s f Eb i j M i i M i j i 4 j με ( ft n / 4), n i M, i,,..., M. i b i i (6.5) Υπενθυμίζεται ότι οι ποσότητες εκπεμπόμενο bit, δηλαδή προκύπτουν από τις αντίστοιχες E και Τ d κατόπιν διαίρεσής τους με. log M E b και T b είναι (ενέργεια και διάρκεια) ανηγμένες ανά 6..5 Δυαδική Διαμόρφωση Συχνότητας (BFSK) Είναι διδακτικό να εξεταστεί ιδιαίτερα εδώ η απλούστερη περίπτωση της διαμόρφωσης συχνότητας, η δυαδική (Binary FSK), όπου τα δυαδικά ψηφία και της ακολουθίας εισόδου κωδικοποιούνται και αποστέλλονται σε τμήματα ημιτονοειδών σημάτων δύο διαφορετικών συχνοτήτων, f, f, δηλαδή: E cos( f it) t Td s i ( t) T, i =,. d, Συμπεριφορά της ΒFSK στον θόρυβο Υποθέτουμε ότι οι δύο συχνότητες βρίσκονται εκατέρωθεν μιας κεντρικής συχνότητας f ( k.5) / T για κάποιο f c και ότι διαφέρουν κατά /Τd, δηλαδή d σταθερό ακέραιο k, έτσι ώστε να έχουμε κοινό ορθοκανονικό σύστημα και στις δύο περιπτώσεις αποδιαμόρφωσης. H περίπτωση όπου οι δύο συχνότητες διαφέρουν κατά /(Τd) (μόνο για σύμφωνη αποδιαμόρφωση) οδηγεί στην MSK και θα εξεταστεί σε ειδική παράγραφο στη συνέχεια. i * R. R Anderson and J. Salz, "Spectra of Digital FM", Bell System Tech. J., vol. 44, pp , July-August 965.

186 6-8 Ν. Μήτρου- ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Ο σηματικός αστερισμός δείχνεται στο σχήμα του Πλαισίου 6., όπου η απόσταση μεταξύ των δύο σημείων είναι (όπως και στη γενικότερη FSK M σημείων) ίση με. d E E cos(f t) T d d E cos( ft ) T d Πλαίσιο 6.: Σηματικός αστερισμός BFSK Για σύμφωνη αποδιαμόρφωση και ισοπίθανα δυαδικά ψηφία,, η μέση πιθανότητα λάθους είναι: E Σύμφωνη BFSK Pe erfc, (6.6) N o ενώ για ασύμφωνη αποδιαμόρφωση έχουμε αντίστοιχα [Μ= και ισότητα στη σχέση (6.3)]: Ασύμφωνη BFSK Pe e E N o. (6.7) Είναι χρήσιμο να συγκριθούν οι περιπτώσεις BPSK, σύμφωνη ΒFSK και ασύμφωνη ΒFSK, όσον αφορά τη συμπεριφορά τους στον θόρυβο. Η σύγκριση αυτή δίνεται στο Πλαίσιο 6.3. Βλέπουμε ότι η ΒPSK υπερέχει της σύμφωνης BFSK, λόγω μεγαλύτερης απόστασης των σημείων στον σηματικό αστερισμό (διαφορά στον οριζόντιο άξονα κατά 3 db), ενώ με τη σειρά της η ασύμφωνη BFSK έχει χειρότερη συμπεριφορά της σύμφωνης ΒFSK, όπως συμβαίνει με όλα τα συστήματα ασύμφωνης αποδιαμόρφωσης.

187 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Ψηφιακή διαμόρφωση FSK και MSK 6-9 log( P e ) ασύμφωνη BFSK σύμφωνη BFSK -4 BPSK E b N / o (db) Πλαίσιο 6.3: Συγκριτική συμπεριφορά στον θόρυβο BPSK, σύμφωνης ΒFSK και ασύμφωνης BFSK Φασματικά Χαρακτηριστικά της BFSK Τα φασματικά χαρακτηριστικά της BFSK μπορούν εύκολα να μελετηθούν με τη βοήθεια του ισοδύναμου σήματος βασικής ζώνης, χωρίς τη χρήση του γενικού τύπου (6.5). Μια κυματομορφή BFSK, με τις υποθέσεις που διατυπώθηκαν νωρίτερα στην παράγραφο αυτή, γράφεται: E cos( fct t ) t T s( t) si ( t ntd ), si ( t) Td T, (6.8) d n, ύ ο δε δείκτης i παίρνει τις τιμές, με την ίδια πιθανότητα και ανεξάρτητα για κάθε νέο διάστημα (n-)td t ntd. Το αναλυτικό σήμα βασικής ζώνης εκφράζεται ως: ~ E s ( t) un ( t ntd ) T με n d t j T t t d un ( t) e cos j sin. (6.9) T T d d

188 6- Ν. Μήτρου- ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Βλέπουμε ότι η (t) u n είναι άθροισμα δύο όρων, εκ των οποίων ο πρώτος είναι ανεξάρτητος από την ακολουθία εισόδου με φάσμα δύο συναρτήσεις δέλτα, ο δε δεύτερος είναι ημιτονικός παλμός μισής περιόδου που διαμορφώνεται από λευκή δυαδική ακολουθία ισοπίθανων τιμών. Σύμφωνα με τη θεωρία της παραγράφου 4., εύκολα αποδεικνύεται ότι η πυκνότητα φάσματος ισχύος αυτού του δεύτερου όρου είναι ( 4cos ( Tf )) / ( 4T f ). Λόγω της στατιστικής ανεξαρτησίας των δύο όρων, το φάσμα του ~ ( ) είναι το άθροισμα των δύο φασμάτων και συνεπώς: s t ~~ s s ( f ) E T 8E cos ( Td f ) ( f ) ( f ). (6.) T T (4T f ) d d d 6.3 Διαμόρφωση Ελάχιστης (Μεταλλαγής) Συχνότητας (MSK) Η Διαμόρφωση Ελάχιστης Μεταλλαγής Συχνότητας (Minimum Shift Keying MSK) είναι διαμόρφωση Δυαδικής Συχνότητας Συνεχούς Φάσης (Continuous Phase Binary Frequency Shift Keying CP-BFSK), με απόσταση μεταξύ των δύο συχνοτήτων την ελάχιστη που τις καθιστά ορθογώνιες στη σύμφωνη αποδιαμόρφωση. Η απόσταση αυτή είναι ίση με Δf=/(Τd), όπου Τd η βασική περίοδος εκπομπής συμβόλου (εδώ ενός bit) (Πλαίσιο 6.4, σχ. β). Σε αντιδιαστολή με αυτήν, η απόσταση συχνοτήτων για ασύμφωνη FSK είναι /Τd (σχήμα 6.4α). k fi f j, k,,... T d Td cos( fit)cos( f jt ) Td cos [( f c ) t]cos[ ( f 4T c ) t] 4T d Δf = /T d Δf =/T d fc (α) fc (β) Πλαίσιο 6.4: Αστερισμός ορθογώνιων συχνοτήτων: (α) ασύμφωνης FSK, (β) σύμφωνης ΒFSK και MSK

189 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Ψηφιακή διαμόρφωση FSK και MSK Περιγραφή σημάτων Σηματικός Αστερισμός MSK Διαμερίζουμε τον χρόνο σε περιόδους διάρκειας Τd (ενός bit), δεικτοδοτούμενες με τον δείκτη n. Για ακολουθία εισόδου xn σε πολική μορφή (δηλ. xn=-, για bit εισόδου, και xn=, για bit εισόδου ) το σήμα MSK κατά τη n-οστή περίοδο, (, είναι: n ) T t d nt d ή E xn s( t) cos[ t( f c ) n ] (6.α) T 4T d d d E t s( t) cos[ tfc ( t)], ( t) xn n (6.β) T T d όπου x n και φn= ή π, ώστε να εξασφαλίζεται η συνέχεια (modulo π) της φάσης θ(t) κατά τις μεταλλαγές του xn μεταξύ - και. Με την παρατήρηση ότι οι αλλαγές της φάσης θ(t), κατά τη διάρκεια μιας βασικής περιόδου Τd, είναι εύρους π/, (δείκτης διαμόρφωσης.5, σύμφωνα με την ορολογία της διαμόρφωσης συχνότητας). Εύκολα αποδεικνύεται ότι το κατάλληλο φn δίνεται από τη σχέση:, mod [ n ], n n, x x n n cos (( n ) T d ) (6.) Η (6.) ερμηνεύεται ως εξής: Η διορθωτική φάση φn μεταλλάσσεται μεταξύ των τιμών και π. Αλλαγή μπορεί να συμβεί μόνο κατά τις μεταβάσεις από περιττής σε άρτιας τάξης bit ( cosθ((n-)τd)= ), και μόνο όταν συμβαίνει μεταλλαγή στο bit εισόδου (xnxn-<) δείτε και σχέση (6.5). Μια εναλλακτική μορφή του σήματος MSK προκύπτει με ανάπτυξη του συνημιτόνου της (6.-β), ως εξής: ή E s( t) [cos n ( t) cos( f ct) sin n ( t)sin(f ct)] (6.3α) T d E t t s( t) [ bi cos cos( f ct) bq sin sin(f ct)] (6.3β) T T T d, n όπου I ( t),, n b Q I n b ( t) b ( t) x (6.3γ)

190 6- Ν. Μήτρου- ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Η μορφή (6.3) περιγράφει μια διαμόρφωση QAM με συμφασική και εγκάρσια συνιστώσα σήματος βασικής ζώνης όπως στη σχέση (6.4). s ( t) I s( t) s I E b T d I t cos T ( t) cos( f t) s c d, Q s Q ( t) E b T ( t) sin(f t) c d Q t sin T d (6.4) Στο Πλαίσιο 6.5 δίνεται παράδειγμα ακολουθίας εισόδου, των αντίστοιχων φn και θ(t), των εγκάρσιων σημάτων si(t) και sq(t) και του τελικού σήματος MSK s(t). ακολουθία εισόδου x n - - (α) (β) φ n π π π π π (γ) 3 π θ(t) π (δ) s I (t) b I = b I = - b I3 = - b I4 = - b I5 = - b I6 = b I7 = (ε) s I (t). cosπf c t s Q (t) b Q = b Q = b Q3 = - b Q4 = - b Q5 = b Q6 = b Q7 = (στ) (ζ) s Q (t). sinπf c t (η) s(t) (θ) T d T d 3T d 4T d 5T d 6T d 7T d Πλαίσιο 6.5: Παράδειγμα ακολουθίας εισόδου και αντίστοιχες ανελίξεις των φ n, θ(t), των εγκάρσιων συνιστωσών και του τελικού σήματος MSK, για f c=/τ d

191 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Ψηφιακή διαμόρφωση FSK και MSK MSK και QPSK Όπως βλέπουμε και από τα σχήματα του Πλαισίου 6.5, τα εγκάρσια σήματα si(t) και sq(t) διαγράφουν ένα τεταρτημόριο ημιτόνου σε κάθε περίοδο Τd. Λόγω όμως της συνέχειας της φάσης θ(t), είναι και αυτά συνεχή και, σε διάστημα δύο περιόδων, διαγράφουν μία ημιπερίοδο ημιτόνου με διαφορά φάσης (offset) 9 ο μεταξύ τους. Μπορεί λοιπόν η MSK να θεωρηθεί παραλλαγή της τετραφασικής διαμόρφωσης με offset (Offset QPSK O-QPSK), με χρήση ημιτονικών, αντί ορθογωνικών παλμών βασικής ζώνης, διάρκειας Τd. Κατά τα ανωτέρω, ο σηματικός αστερισμός της MSK είναι ίδιος με αυτόν της QPSK (4 σημεία στο μιγαδικό επίπεδο, σχ. 6.-6), με επιτρεπόμενες μεταβάσεις μόνον οριζόντια και κάθετα (όχι διαγώνια), αφού μόνον ένα εκ των bi και bq μπορεί να αλλάζει στα όρια των περιόδων Τ. b I =-, b Q = b I =, b Q = ( t) T d t cos cos( fct), T d T t T d d b I =-,b Q =- b I =, b Q =- ( t) T d t sin sin(f ct), T d t T d (α) (β) Πλαίσιο 6.6: (α) Σηματικός αστερισμός και (β) γενετήρια διανύσματα MSK Πομπός και Δέκτης MSK Οι εξισώσεις (6.3) και το σχήμα 6.5 υποδεικνύουν την παρακάτω παράλληλη δομή πομπού MSK: t cos T Παράσταση polar cos f c t b Υπολογισμός I + των + bi,bq - Παράσταση polar t sin T b Q sin f c t Πλαίσιο 6.7: Παράλληλη δομή πομπού MSK

192 6-4 Ν. Μήτρου- ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Στην πράξη και για υψηλούς ρυθμούς λειτουργίας, μια σειριακή δομή πομπού είναι περισσότερο πλεονεκτική, για δύο βασικούς λόγους: (α) παρακάμπτει το δύσκολο πρόβλημα του συγχρονισμού των δύο κλάδων της παράλληλης δομής, και (β) επιτρέπει τη χρήση φίλτρων Gauss που, όπως θα παρουσιαστεί σε επόμενο κεφάλαιο, βελτιώνουν τα φασματικά χαρακτηριστικά (μειώνουν τους πλευρικούς λοβούς) του σήματος MSK, κάτι απολύτως αναγκαίο στις ασύρματες επικοινωνίες διαίρεσης συχνότητας με πολλούς γειτονικούς διαύλους (π.χ. GSM). Μια τέτοια σειριακή δομή δείχνεται στο Πλαίσιο 6.8. Στο ίδιο Πλαίσιο, 6.8, δείχνεται και η δομή του δέκτη MSK. Το λαμβανόμενο ζωνοπερατό σήμα αποδιαμορφώνεται κατά QAM και δίνει τα δύο εγκάρσια σήματα βασικής ζώνης si(t) και sq(t) στις εξόδους των δύο βαθυπερατών φίλτρων. Στη συνέχεια, τα si(t) και sq(t) υφίστανται επεξεργασία προσαρμοσμένου φίλτρου (ισοδύναμα, συσχετιστή: πολλαπλασιάζονται, δηλαδή, με cos(πt/td) και sin(πt/τd) αντίστοιχα, και ολοκληρώνονται στις αντίστοιχες περιόδους) και δίνουν στην έξοδο των συγκριτών κατωφλίου τα bi και bq, το γινόμενο των οποίων δίνει την ακολουθία xn, σύμφωνα με τη σχέση (6.3γ). Κατά το Πλαίσιο 6.8, γίνεται χρήση διαφορικού προκωδικοποιητή στην είσοδο του πομπού και αντίστοιχου αποκωδικοποιητή στην έξοδο του δέκτη. Ο ρόλος τους μπορεί να γίνει κατανοητός ως εξής: Η ακολουθία b[n] (η οποία είναι η ακολουθία εισόδου, αν δεν γίνει χρήση του αποκωδικοποιητή) λαμβάνεται στον δέκτη από το γινόμενο bi.bq, και τη συνακόλουθη μετατροπή σε ακολουθία λογικών τιμών (-). Για κάθε εσφαλμένη τιμή του bi ή του bq, (τα οποία εκτείνονται σε διάστημα Τd) παίρνουμε δύο εσφαλμένα bits για την b[n]. Με τη χρήση της διαφορικής προκωδικοποίησης b [ n] a[ n] a[ n ], η αντίστοιχη αποκωδικοποίηση είναι a [ n] b[ n] a[ n ], οπότε κάθε εσφαλμένο dibit της b[n], γίνεται ένα μονό εσφαλμένο bit στην έξοδο του αποκωδικοποιητή, όπως φαίνεται ενδεικτικά στον πίνακα 6., αρκεί τυχόν σφάλματα των bi και bq να μην είναι συνεχόμενα. Στη σχετική εργαστηριακή άσκηση εξομοίωσης του πομπού-δέκτη MSK, θα δειχτεί και πειραματικά η μείωση της πιθανότητας λάθους κατά 5% με χρήση προκωδικοποιητή-αποκωδικοποιητή.

193 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Ψηφιακή διαμόρφωση FSK και MSK 6-5 s(t) Διαμορφωτής QAM Αποδιαμορφωτής QAM cos s I (t) fc sin s Q (t) cos LPF fc sin LPF cos sin nt.cos(πτ/τ) nt.sin(πτ/τ) π θ(t) x(t) (n) T (n) T Συσχετιστές (n) T nt Γεννήτρια Παλμών NRZ-polar Προκωδικο/τής b[ n] a[ n] a[ n ] b[n]= x... Μετατροπή σε unipolar Αποκωδικο/τής a[ n] b[ n] a[ n ] a[n]= Πλαίσιο 6.8: Πομπός (σειριακή δομή) και δέκτης MSK

194 6-6 Ν. Μήτρου- ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Στον πομπό n a[n] b[n] x n φ n= (*) φ n- (xn xn-) n- b I=-φ n b Q=x n b I - - Στον δέκτη (με λάθη) b I b Q x n= b I. b Q b[n] a [ n] b[ n] a[ n ] (*) φ n=-, αν φ n=, φ n=, αν φ n=π. Τα σκιασμένα είναι λάθη Πλαίσιο 6.9: Λάθη με και χωρίς τη χρήση προκωδικοποιητή-αποκωδικοποιητή Ανακεφαλαιωτικά, στον πίνακα του Πλαισίου 6.9 έγινε χρήση των εξής σχέσεων μεταξύ των ακολουθιών που απεικονίζει: b [ n] a[ n] a[ n ] x n b[ n] (η πολική μορφή της b[n]), ' n (η πολική μορφή της ) n, n ' ' n ' ( x x ), (6.5) b n I n ' n, x b b x b n I Q b[ n].5( xn n Q b x ) a[ n] b[ n] a[ n ], I n a[] n Συμπεριφορά της MSK στον θόρυβο Από όσα εκτέθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο προκύπτει ότι η MSK έχει τον ίδιο σηματικό αστερισμό με την QPSK (σε διαφορετικό βεβαίως χώρο). Αφού δε η συμπεριφορά σε λευκό αθροιστικό θόρυβο εξαρτάται μόνον από τη διάταξη των σημείων στον οικείο σηματικό χώρο και τις σχετικές τους αποστάσεις, όπως αναλύθηκε στο σχετικό κεφάλαιο, η πιθανότητα εσφαλμένου συμβόλου δίνεται και για την MSK από τον ίδιο τύπο όπως για την QPSK, δηλαδή:

195 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Ψηφιακή διαμόρφωση FSK και MSK 6-7 Πιθανότητα εσφαλμ. συμβόλου MSK Pe erfc E N b o (6.6) όπου E b είναι η ενέργεια ανηγμένη ανά bit που, για μεν την MSK ταυτίζεται με την ενέργεια Ε ανά σύμβολο, για δε την QPSK ισούται με Ε/ Φασματικά χαρακτηριστικά MSK Υποθέτουμε ότι η δυαδική ακολουθία εισόδου είναι λευκή με ισοπίθανα και. Σύμφωνα με τη σχέση (6.4), το σήμα MSK είναι το άθροισμα δύο ορθογώνιων και ανεξάρτητων μεταξύ τους συνιστωσών, αφού τα b t I ( ) και b t Q ( ) είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα, όπως προκύπτει από τη μεταξύ τους σχέση (6.3γ). Το φάσμα συνεπώς του σήματος MSK είναι το άθροισμα των φασμάτων των δύο ανεξάρτητων και ορθογώνιων συνιστωσών του, Eb ( I t ) ( t ) και Eb ( Q t ) ( t ). Το ισοδύναμο σήμα βασικής ζώνης της κάθε συνιστώσας έχει πυκνότητα φάσματος ισχύος ίση με 8E cos (T d f ) (Άσκηση 6., και με την παρατήρηση ότι η διάρκεια συμβόλου για (6Td f ) την κάθε συνιστώσα είναι Τd). Έτσι για το συνολικό σήμα MSK έχουμε: Πυκνότητα φάσματος ισχύος MSK: ~~ s s 6E cos (T d f ) (6T f ) d (6.7) Στο Πλαίσιο 6. δείχνεται το φάσμα της MSK, σε σύγκριση και με το φάσμα της QPSK (ορθογωνικού παλμού και παλμού 5% ανυψωμένου συνημιτόνου). Πρέπει να επισημανθεί ότι η σύγκριση γίνεται με κοινό το bit rate, η δε κανονικοποίηση της συχνότητας στο σχήμα 6.-9 είναι ως προς το baud rate της MSK /Τd (το οποίο είναι διπλάσιο του baud rate της QPSK). Βλέπουμε ότι ο κύριος λοβός της MSK είναι ευρύτερος αυτού της QPSK με ορθογωνικό παλμό, με πρώτο μηδενισμό στο σημείο.75/td (αντί του.5/τd της QPSK). Ωστόσο οι πλευρικοί λοβοί είναι τώρα αρκετά χαμηλότεροι. Παρ όλα αυτά, δεν ικανοποιούν τις αυστηρές προδιαγραφές για χαμηλή παρεμβολή μεταξύ γειτονικών διαύλων στις κινητές επικοινωνίες, όπου συναντάται το φαινόμενο nearfar effect. Στο Κεφάλαιο 8 θα εξεταστεί μια παραλλαγή της MSK, η Gaussian MSK (GMSK), όπου με κατάλληλο filtering περιορίζεται σημαντικά το εκτός ζώνης φάσμα.

196 6-8 Ν. Μήτρου- ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Φάσμα (db) της QPSK (ορθ. παλμός και 5% αν. συν) and MSK - - QPSK, 5% ανυψ. συν. QPSK, ορθ. -3 MSK Συχνότητα, f (x /T d) * (*) το baud rate της MSK (διπλάσιο αυτού της QPSK για το ίδιο bit rate) Πλαίσιο 6.: Φασματικά χαρακτηριστικά MSK και QPSK

197 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Ψηφιακή διαμόρφωση FSK και MSK Eπεξεργασμένα Παραδείγματα 6.4. Παράδειγμα 6. (Ι) Να γραφεί πρόγραμμα-συνάρτηση σε MATLAB που να εξομοιώνει πομπό και δέκτη σύμφωνης Μ-FSK, καθώς και δίαυλο λευκού αθροιστικού γκαουσιανού θορύβου. (ΙΙ) Nα παραχθούν θεωρητικές καμπύλες και, με χρήση της συνάρτησης του ερωτήματος (Ι), σημεία εξομοίωσης BER-Eb/No για Μ=,4,8. (ΙΙΙ) Να εκτιμηθούν και σχεδιαστούν τα φάσματα των ζωνοπερατών Μ-FSK σημάτων για Μ=,4. Υλοποίηση: (Ι) Η ζητούμενη συνάρτηση κωδικοποιείται στον Κώδικα 6.. (ΙΙ) Η συνάρτηση του Κώδικα (6.) καλείται κατά τα γνωστά από το bertool του MATLAB για τις ζητούμενες τιμές του Μ και για διάφορες τιμές του ανηγμένου σηματοθορυβικού λόγου. Οι θεωρητικές καμπύλες και σημεία εξομοίωσης δείχνονται στο Πλαίσιο 6.. Στο ίδιο σχήμα δείχνονται αντίστοιχες καμπύλες και σημεία εξομοίωσης για ασύμφωνο σύστημα FSK. Στην άσκηση 6. ζητείται να τροποποιηθεί ο Κώδικας 6. για την εξομοίωση του ασύμφωνου συστήματος και την πλήρη επαλήθευση του σχήματος του Πλαισίου 6.. (ΙΙΙ) Για την εκτίμηση του φάσματος χρησιμοποιείται η συνάρτηση pwelch() του MATLAB. Για σήματα BFSK και 4-FSK το φάσμα δείχνεται στο σχήμα 6. (α και β, αντίστοιχα). Φαίνονται καθαρά οι δέλτα-συνιστώσες (γραμμές) φάσματος στις θέσεις των αντίστοιχων διακριτών συχνοτήτων (δύο για την BFSK, σύμφωνα με τη σχέση 6.8, τέσσερις για την 4-FSK). BER BFSK Θεωρητική, σύμφωνη Θεωρητική, ασύμφωνη Εξομοίωση, ασύμφωνη Εξομοίωση, σύμφωνη 8-FSK 4-FSK Εb/No Πλαίσιο 6.: Θεωρητικές καμπύλες και σημεία εξομοίωσης σύμφωνης και ασύμφωνης FSK

198 6- Ν. Μήτρου- ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο. function errors=fsk_errors(bps,nsymb,ns,ebno). %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3. %% Input parameters 4. % bps: bits per symbol, Nsymb: numb of simulated symbols 5. % ns: number of samples per symbol (oversampling) 6. % EbNo: normalized signal-to-noise ratio, in db 7. M=^bps; % number of different symbols 8. BR=; % Baud Rate 9. fc=*m*br; % RF frequency. %% Derived parameters. nb=bps*nsymb; % number of simulated data bits. T=/BR; % one symbol period 3. Ts=T/ns; % oversampling period 4. % M frequencies in "non-coherent" distance (BR) 5. f=fc+br*((:m)-(m+)/); 6. % awgn channel 7. SNR=EbNo+*log(bps)-*log(ns/); % in db 8. % input data bits 9. y=randint(nb,); %. x=reshape(y,bps,length(y)/bps)';. t=[:t:length(x(:,))*t]'; % time vector on the T grid. tks=[:ts:t-ts]'; 3. %% FSK signal 4. s=[]; 5. A=sqrt(/T/ns); 6. for k=:length(x(:,)) 7. fk=f(bide(x(k,:))+); 8. tk=(k-)*t+tks; 9. s=[s; sin(*pi*fk*tk)]; 3. end 3. % add noise to the FSK (passband) signal 3. s=awgn(s,snr, 'measured'); 33. %% FSK receiver 34. % coherent demodulation 35. th=; 36. xr=[]; 37. for k=:length(s)/ns 38. tk=(k-)*t+tks; 39. sk=s((k-)*ns+:k*ns); 4. smi=[]; 4. for i=:m 4. si=sin(*pi*f(i)*tk); 43. smi(i)=sum(sk.*si); 44. end 45. [m,j]=max(smi); 46. xr=[xr;debi(j-,bps)]; 47. end 48. % count errors 49. err=not(x==xr); 5. errors=sum(sum(err)); 5. end Κώδικας 6.: Συνάρτηση εξομοίωσης πομπού και δέκτη σύμφωνης M-FSK, καθώς και υπολογισμού λαθών σε περιβάλλον AWGN

199 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Ψηφιακή διαμόρφωση FSK και MSK 6- Πυκνότητα φάσματος ισχύος, BFSK, f c=4/t d, f -f =/T d db/hz (α) Συχνότητα (x /Τ d ) Πυκνότητα φάσματος ισχύος, 4-FSK, f c=8/t d, f i-f i-=/t d db/hz (β) Συχνότητα (x /Τ d ) Πλαίσιο 6.: Πυκνότητα φάσματος ισχύος σημάτων FSK

200 6- Ν. Μήτρου- ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 6.4. Παράδειγμα 6. (Ι) Να γραφεί πρόγραμμα-συνάρτηση σε MATLAB που να εξομοιώνει πομπό και δέκτη ΜSK, καθώς και δίαυλο λευκού αθροιστικού γκαουσιανού θορύβου. (ΙΙ) Να παραχθούν θεωρητικές καμπύλες και, με χρήση της συνάρτησης του ερωτήματος (Ι), σημεία εξομοίωσης BER-Eb/No, με και χωρίς προκωδικοποίηση. (ΙΙΙ) Για δεδομένη ακολουθία εισόδου, να σχεδιαστούν τα σήματα που αντιστοιχούν σε όλα τα ενδιάμεσα στάδια της διαδικασίας Κωδικοποίηση Διαμόρφωση Αποδιαμόρφωση Αποκωδικοποίηση, σύμφωνα με το σχήμα του Πλαισίου 6.8. (IV) Να σχεδιαστούν ενδεικτικά διαγράμματα πυκνότητας φάσματος ισχύος για αναλυτικά (βασικής ζώνης) και ζωνοπερατά σήματα MSK. Υλοποίηση: (Ι) Η συνάρτηση που εξομοιώνει πομπό και δέκτη MSK υλοποιείται με τον Κώδικα 6.. Επιστρέφει αριθμό λαθών για συγκεκριμένο σετ παραμέτρων εισόδου: μήκος ακολουθίας εισόδου (Nbits), παράγοντα υπερδειγμάτισης (nsamp) και Eb/No (ΙΙ) Με κλήση της παραπάνω συνάρτησης παράγονται σημεία εξομοίωσης της καμπύλης BER- Eb/No με και χωρίς προκωδικοποίηση (σχήμα στο Πλαίσιο 6.3). (ΙΙΙ) & (ΙV) Αποτελέσματα στα Πλαίσια 6.4 έως 6.6. BER - - θεωρητική εξομοίωση (με προκωδικ.) εξομοίωση (χωρίς προκωδ.) Ε b/ν ο (db) Πλαίσιο 6.3: BER συστήματος MSK

201 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Ψηφιακή διαμόρφωση FSK και MSK 6-3. function errors=msk_errors(nbits,nsamp,ebno). % Οριζόμενες παράμετροι 3. n=nbits; % αριθμός data bits 4. R=7833; % bit rate 5. fc=3*r; % φέρουσα συχνότητα 6. ns=nsamp; % παράγοντας υπερδειγμάτισης 7. % 8. % δίαυλος awgn 9. SNR=EbNo-*log(ns/); % in db. % Παραγόμενες παράμετροι. T=/R; % περίοδος bit (= βασική περίοδος). Ts=T/ns; % συχνότητα δειγματοληψίας 3. % ακολουθία εισόδου 4. y=[;sign(rand(n-,)-.5)]; % random numbers, - ή 5. % 6. % προκωδικοποίηση 7. x()=; 8. for i=:length(y) 9. x(i)=y(i)*y(i-);. end. x=x';. g=ones(ns,); 3. xx=conv(upsample(x,ns),g); % δείγματα παλμοσειράς NRZ polar 4. % χρονικό πλέγμα 5. ts=[:ts:length(xx)*ts]'; % μήκους ns*(n+) 6. % 7. %% ΠΟΜΠΟΣ MSK 8. xs=xx; 9. theta=cumsum(xs)*pi//ns; 3. xs_i=cos(theta); % συμφασική συνιστώσα 3. xs_i=[xs_i; xs_i(length(xs_i))]; % επέκταση με ένα ακόμη δείγμα 3. xs_q=sin(theta); % εγκάρσια συνιστώσα 33. xs_q=[xs_q; xs_q(length(xs_q))]; % επέκταση με ένα ακόμη δείγμα 34. % Διαμόρφωση 35. s=xs_i.*cos(*pi*fc*ts)-xs_q.*sin(*pi*fc*ts); 36. % προσθήκη θορύβου 37. s=awgn(s,snr, 'measured'); (συνεχίζεται) Κώδικας 6.: Συνάρτηση εξομοίωσης πομπού και δέκτη MSK

202 6-4 Ν. Μήτρου- ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο (συνέχεια) 38. %% ΔΕΚΤΗΣ MSK 39. xs_i=s.*cos(*pi*fc*ts); 4. xs_q=-s.*sin(*pi*fc*ts); 4. % Φίλτρο LP (Parks-McClellan) 4. f=.75/ns; f=4*f; 43. order=4*ns; 44. fpts=[ f f ]; 45. mag=[ ]; 46. wt=[ ]; 47. b = firpm(order,fpts,mag,wt); 48. a=; 49. len=length(xs_i); 5. dummy=[xs_i;zeros(order,)]; 5. dummy=filter(b,a,dummy); 5. delay=order/; % Δοκιμάστε με delay=! 53. xs_i=dummy(delay+(:len)); 54. dummy=[xs_q;zeros(order,)]; 55. dummy=filter(b,a,dummy); 56. delay=order/; 57. xs_q=dummy(delay+(:len)); 58. bi=; xr_=; 59. for k=::n- 6. li=(k*ns+:(k+)*ns)'; 6. lq=((k-)*ns+:(k+)*ns)'; 6. xi=xs_i(li); 63. xq=xs_q(lq); 64. gmi=cos(pi//t*ts*li); % παλμός matched-filter 65. gmq=-gmi; % =sin(pi//t*ts*lq); 66. bi_=bi; 67. bi=sign(sum(xi.*gmi)); 68. bq=sign(sum(xq.*gmq)); 69. % χωρίς προκωδικοποίηση: απο-σχολιάστε τις επόμενες γρ. 7. % xr(k)=bi_*bq; 7. % xr(k+)=bi*bq; 7. % με προκωδικοποίηση: απο-σχολιάστε τις επόμενες γραμμές 73. xr(k)=xr_*bi_*bq; 74. xr(k+)=xr(k)*bi*bq; 75. xr_=xr(k+); 76. end 77. xr=xr'; 78. % err=not(x==xr); Κώδικας 6.: Συνάρτηση εξομοίωσης πομπού και δέκτη MSK

203 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Ψηφιακή διαμόρφωση FSK και MSK 6-5 s (t) (στ) Χρόνος t (x T) Εγκάρσιες συνιστώσες MSK, βασικής ζώνης s I (t) (ε) s Q (t) Χρόνος t (x T) θ (t) 3 (x π/) Χρόνος t (x T) (δ) x n y n a n (γ) (β) (α) Πλαίσιο 6.4: Ακολουθίες και σήματα πομπού MSK: (α),(β) ακολουθία εισόδου σε λογική και πολική μορφή (γ) μετά την προκωδικοποίηση, (δ) γωνιακή απόκλιση θ(t), (ε) εγκάρσιες συνιστώσες βασικής ζώνης σήματος MSK, (στ) σήμα MSK (f c=4/t)

204 6-6 Ν. Μήτρου- ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Πυκνότητα φάσματος ισχύος MSK, βασικής ζώνης (ΒΖ) db/hz (α) Συχνότητα (x /T) Πυκνότητα φάσματος ισχύος MSK, (f c=4/t) db/hz (β) Συχνότητα (x /T) Πλαίσιο 6.5: Πυκνότητα φάσματος ισχύος σημάτων MSK: (α) εγκάρσιων συνιστωσών βασικής ζώνης, (β) σήματος (ζωνοπερατού) MSK

205 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Ψηφιακή διαμόρφωση FSK και MSK Πυκνότητα φάσματος ισχύος MSK BZ + noise Συχνότητα (x /T) (α) Πυκνότητα φάσματος ισχύος MSK BZ (μετά το LPF) (β) Συχνότητα (x /T) - Απόκριση συχνότητας βαθυπερατού φίλτρου Parks-McClellan στο πλέγμα Ts=T/6, order=64, f=.75, f =3x Συχνότητα (x /T) (γ) Πλαίσιο 6.6: Πυκνότητα φάσματος ισχύος σημάτων MSΚ βασικής ζώνης με θόρυβο: (α) πριν το βαθυπερατό φίλτρο, (β) μετά το βαθυπερατό φίλτρο, (γ) απόκριση συχνότητας βαθυπερατού φίλτρου

206 6-8 Ν. Μήτρου- ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 6.5 Ασκήσεις προς εκτέλεση Άσκηση 6. (Να εκτελεστεί στο εργαστήριο). Να συμπληρωθεί ο Κώδικας 6.. των σημειώσεων ώστε να εξομοιώνει και την ασύμφωνη FSK (υπόδειξη: προσθέστε τυχαία φάση στο λαμβανόμενο σήμα, πριν την αποδιαμόρφωση-φώραση).. Χρησιμοποιήστε τη νέα σας συνάρτηση για εξομοίωση συστήματος 6-FSK και σχεδιάστε τις καμπύλες PbEb/No για σύμφωνη και ασύμφωνη αποδιαμόρφωση (θεωρητικές και από εξομοίωση). 3. Σχεδιάστε το φάσμα του ζωνοπερατού σήματος του ερωτήματος. 4. (Προαιρετικά) Να εξομοιωθεί σύστημα MSK μετάδοσης σε ζωνοπερατό δίαυλο με κεντρική συχνότητα 5 ΜΗz και ρυθμό μετάδοσης Mbps. Να σχεδιάσετε το φάσμα του ζωνοπερατού σήματος και να υπολογίσετε (θεωρητικά και με εξομοίωση) το BER, όταν Eb/No=8db. Υποβολή: Να γράψετε σε αρχείο.doc ή συμβατό (lab6_nnnnn.doc, nnnnn τα τελευταία 5 ψηφία του επωνύμου σας) τόσο τις απαντήσεις στα ερωτήματα, όσο και τον κώδικά σας και τα παραγόμενα σχήματα. Να υποβάλετε το αρχείο σας στο site του μαθήματος. Άσκηση 6. (Ι) Να δειχτεί θεωρητικά ότι η πυκνότητα φάσματος ισχύος της παλμοσειράς s n ( t) bn sin ( t ntd ), n T όπου b n λευκή δυαδική ακολουθία ισοπίθανων τιμών 8E cos ( Tf ) ( 4 f T ) E T d, ισούται με (ΙΙ) Να επαληθευτεί το παραπάνω αποτέλεσμα με εξομοίωση. Aσκηση 6.3 Να γραφεί πρόγραμμα για την παραγωγή των σχημάτων των Πλαισίων

207 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Ψηφιακή διαμόρφωση FSK και MSK 6-9 Βιβλιογραφία Αναφορές [PROA5] Proakis, J. and Salehi, M., Συστήματα Τηλεπικοινωνιών, η Έκδοση, Fountas, 5, (πρωτότυπη έκδοση: Foundamentals of Communication Systems, nd edition, Pearson, 4). [SKLA] Sklar, B., Ψηφιακές Επικοινωνίες, η έκδοση, Παπασωτηρίου,, (πρωτότυπη έκδοση: Digital Communications, nd ed., Prentice Hall ).

208

209 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο : Απόδοση διαύλου Θεωρητικά όρια και πρακτικές προσεγγίσεις Σύγκριση συστημάτων διαμόρφωσης Σύνοψη Στο κεφάλαιο γίνεται συνδυαστική χρήση των αποτελεσμάτων των προηγούμενων κεφαλαίων, ώστε να σχεδιαστούν και συγκριθούν μεταξύ τους πρακτικά συστήματα ψηφιακής διαμόρφωσης, με συγκεκριμένες απαιτήσεις σε εύρος ζώνης και (μέγιστο) ρυθμό λαθών (Bit Error Rate BER). Αφού διατυπωθεί το θεώρημα Shannon-Hartley για τη χωρητικότητα καναλιού, συνοψίζονται οι σχέσεις που συνδέουν τις κυριότερες παραμέτρους σχεδιασμού, όπως: τον ρυθμό εκπομπής bit, R, τον ρυθμό εκπομπής συμβόλων ή baud rate, /Τ, το εύρος ζώνης, W, τη σηματοθορυβική σχέση, S/N ή (σε κανονικοποιημένη μορφή) E o/n o. Ακολουθεί μια σειρά επεξεργασμένων παραδειγμάτων με συγκριτικά αποτελέσματα για τα διάφορα συστήματα διαμόρφωσης.

210 7- Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Περιεχόμενα Κεφαλαίου 7 7. Χωρητικότητα διαύλου Όριο Shannon Απόδοση εύρους ζώνης πρακτικών συστημάτων [SKLA] Παραδείγματα υπολογισμού και σύγκρισης της απόδοσης συστημάτων ψηφιακής διαμόρφωσης... 7 Βιβλιογραφία Αναφορές... 8 Πλαίσια Κεφαλαίου 7 Πλαίσιο 7.: Διάγραμμα απόδοσης εύρους ζώνης... 5 Πλαίσιο 7.: Καμπύλες πιθανότητας εσφαλμένου bit P b, σύμφωνη αποδιαμόρφωση 6

211 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Απόδοση εύρους ζώνης θεωρητικά όρια και πρακτικές προσεγγίσεις Χωρητικότητα διαύλου Όριο Shannon Το θεώρημα Shannon-Hartley συνδέει τη μέγιστη θεωρητικά δυνατή χωρητικότητα C (σε bit/sec) ενός επικοινωνιακού διαύλου, με τον λόγο της μέσης ισχύος S του λαμβανόμενου σήματος (στον δέκτη) προς την ισχύ θορύβου N (λόγο, τον οποίο ονομάζουμε και σηματοθορυβική σχέση) και το εύρος ζώνης W του διαύλου ([SHAN948], [HART98]): S C W log ( ) (7.) N H χωρητικότητα C του διαύλου δηλώνει τον μέγιστο ρυθμό bit/sec ο οποίος μπορεί να ληφθεί αξιόπιστα στον δέκτη. Αξιόπιστα σημαίνει λήψη με οσοδήποτε μικρή επιθυμητή πιθανότητα σφάλματος P b για κάθε λαμβανόμενο bit. Κάθε πραγματικό ψηφιακό επικοινωνιακό σύστημα χαρακτηρίζεται από: τον λόγο R/W, όπου R ο ρυθμός μετάδοσης (bit/sec) και W το καταλαμβανόμενο εύρος ζώνης. Ο λόγος R/W σε bit/sec/ηz ονομάζεται απόδοση εύρους ζώνης (bandwidth efficiency). Για ένα από M διαφορετικά σύμβολα, δυνάμενο να αποσταλεί ανά διάστημα T, κωδικοποιημένο σε log M bit, έχουμε: M R log (bit/sec) (7.) T Το εύρος καταλαμβανόμενης ζώνης W σε Hz βρίσκεται από την ανάλυση φάσματος ισχύος του συστήματος, σύμφωνα με τα Κεφάλαια 4 έως 6. Εδώ υπάρχει κάποια αυθαιρεσία ως προς το μέχρι ποιος λοβός θα συμπεριλαμβάνεται, για τούτο και ο λόγος R/W θα υπολογίζεται κατά περίπτωση (βλ. και ενότητα 7.). Ως συνέπεια των παραπάνω έχουμε: R W log M WT WT b (bit/sec/hz) (7.3) όπου T b η λογιστική διάρκεια αποστολής/λήψης ενός bit (θεωρήστε το σύστημα σαν έναν αγωγό/σωλήνα, τον οποίο η πηγή τροφοδοτεί με ένα bit ανά T b sec). τον λόγο S/Ν. Μέσα στο διάστημα T ο δέκτης λαμβάνει μέση ενέργεια σήματος Eb log M, όταν E b δηλώνει την ενέργεια (πάντοτε στον δέκτη) που λογιστικά αντιστοιχεί σε κάθε bit. Στο ίδιο διάστημα η ενέργεια θορύβου που αναγκαστικά λαμβάνεται είναι TWN o, με N o την πυκνότητα φάσματος ισχύος θορύβου, που θεωρείται σταθερή πάνω στο εύρος ζώνης W του διαύλου. Η ενέργεια του θορύβου, που επηρεάζει τη λειτουργία του δέκτη, είναι έτσι ανάλογη του εύρους ζώνης. Έχουμε:

212 7-4 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο S N log M Eb R Eb (7.4) WT N W N o o την πιθανότητα εσφαλμένου bit, που επιτυγχάνεται στο συγκεκριμένο σύστημα. Τέτοιο δεν υπεισέρχεται στον τύπο (7.), καθόσον αυτός δίνει το ιδεατό όριο περιπτώσεων που το λάθος είναι οσοδήποτε μικρό. P b P b Σύμφωνα με τα παραπάνω έχουμε ότι, για την ιδανική περίπτωση όπου το R παίρνει την τιμή C (δηλαδή έχουμε εκπομπή με τη μέγιστη δυνατή τιμή), η (7.) δίνει: C W C Eb log ( ) W N ή E N o b o C W W ( ) (7.5) C H αλληλεξάρτηση μεταξύ της ιδανικής απόδοσης του διαύλου C/W σε bit/sec/hz και του ανηγμένου σηματοθορυβικού λόγου, και για οσοδήποτε μικρή πιθανότητα λάθους, φαίνεται στο σχήμα του Πλαισίου 7.. Από τον τύπο (7.5) και την κάθετη ασύμπτωτη στο σχήμα φαίνεται ότι δεν μπορεί να υπάρξει ψηφιακό επικοινωνιακό σύστημα με λαμβανόμενη ενέργεια ανά bit κατώτερη κατά.6 db () από τη φασματική πυκνότητα ισχύος του θορύβου (όριο Shannon). E b / N 7. Απόδοση εύρους ζώνης πρακτικών συστημάτων [SKLA] Στο σχήμα του Πλαισίου 7. σημειώνονται επίσης τα σημεία λειτουργίας των συστημάτων ψηφιακής διαμόρφωσης που γνωρίσαμε στα προηγούμενα κεφάλαια, για συγκεκριμένη πιθανότητα εσφαλμένου bit (Pb= -5 ). Η τεταγμένη των σημείων εξαρτάται μόνο από τον αριθμό bits ανά sec που μπορούν να αποσταλούν ανά Hz εύρους ζώνης, και εδώ είναι καταφανής η υπεροχή της διαμόρφωσης φάσης, αυξανόμενου μάλιστα του Μ. Αντίθετα, στη διαμόρφωση συχνότητας η αύξηση του ρυθμού μετάδοσης επιτυγχάνεται με την εξάπλωση του φάσματος σε M τον αριθμό συχνότητες. Αυτές πρέπει επιπλέον να δίνουν ορθοκανονική βάση, αν θέλουμε παραδεκτή συμπεριφορά ως προς την εξάρτηση από τον θόρυβο του διαύλου. Τα χαρακτηριστικά αυτά φαίνονται στην κατακόρυφα απότομη διάταξη των σημείων της MFSK. Με βάση τα φασματικά χαρακτηριστικά των MPSK, QAM και MFSK που μελετήθηκαν στα αντίστοιχα κεφάλαια, ελήφθη για τον υπολογισμό της τεταγμένης των σημείων στο σχ. 7.: o x x C E () b Με x, lim ln ln W N x o x

213 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Απόδοση εύρους ζώνης θεωρητικά όρια και πρακτικές προσεγγίσεις 7-5 W, MPSK, MQAM T M, ασύμφωνη MFSK T, (7.6) οπότε η απόδοση διαύλου, σύμφωνα με τη σχέση 7., είναι αντίστοιχα: 6 R/W 8 4 Όριο Shannon M=6 M=8 M=3 Καμπύλη για R=C M=4 M=.5 M=4 M=.5 M=8 M=6 MPSK, P b = -5 MQAM, P b = -5.5 Σύμφωνη MFSK, P b = E b /N o (db) Πλαίσιο 7.: Διάγραμμα απόδοσης εύρους ζώνης log M MPSK QAM R,, log M. (7.7) W, ασύμφωνη MFSK M Η εικόνα είναι αντίστροφη για τη σηματοθορυβική σχέση. Αυτή αποτελεί την τετμημένη Eb / No και ισχύει για κάποια συγκεκριμένη πιθανότητα σφάλματος P b. Καμπύλες πιθανότητας εσφαλμένου bit P b μπορούν να υπολογιστούν συναρτήσει του Eb / No με αναγωγή των αντίστοιχων καμπυλών P e (ακριβούς υπολογισμού ή άνω φράγματος), σύμφωνα με τους τύπους (5.3) για MPSK, (5.6) για QAM και (6.4) για MFSK. Στο σχ. 7. δείχνονται τέτοιες καμπύλες για διάφορες τιμές του M. Μια μεγαλύτερη τιμή της P b μετατοπίζει τα σημεία προς τα αριστερά, εφόσον αρκεί χαμηλότερη ενέργεια σήματος. Τα σημεία MFSK είναι τώρα σχετικά αναίσθητα στο αυξανόμενο Μ, όπως φαίνεται και στον τύπο (6.). Με MPSK, η εξάρτηση είναι πιο

214 7-6 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο δυσμενής, οπωσδήποτε όμως πολύ ευνοϊκότερη από ό,τι αν προσπαθούσαμε να κωδικοποιήσουμε logμ bit σε M στάθμες πλάτους. Γενικά, αρκούμενοι σε έναν γενικό χαρακτηρισμό, μπορούμε να θεωρήσουμε το ΜPSK κατάλληλο για συστήματα με περιορισμό στο εύρος ζώνης (bandwidth limited systems), και το ΜFSK κατάλληλο για συστήματα με περιορισμό στην ισχύ (power limited systems). Τέλος, σημειώνεται ότι η σχέση (7.6) αποτελεί μια χονδροειδή προσέγγιση του εύρους ζώνης, ώστε να αναδειχτεί η κύρια φασματική συμπεριφορά των συστημάτων MPSK και MQAM, σε σύγκριση με εκείνη των συστημάτων MFSK. Αν δίνονται άλλα ειδικότερα δεδομένα για το σχήμα διαμόρφωσης, τότε ο υπολογισμός του W μπορεί να είναι ακριβέστερος. Για σηματοδοσία Nyquist, για παράδειγμα, με συντελεστή εξάπλωσης α, θα είναι WMPSK,MQAM=/[T(+α)], ενώ για τη σύμφωνη MFSK έχουμε διπλασιασμό της απόδοσης. Πιθανότητα εσφαλμένου bit, P b MFSK MPSK 4,8,6,3 QAM 6,3 MFSK,4,8,6,3 3MPSK Κανονικοποιημένος σηματοθορυβικός λόγος, Ε b /Ν ο (db) Πλαίσιο 7.: Καμπύλες πιθανότητας εσφαλμένου bit P b, σύμφωνη αποδιαμόρφωση

215 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Απόδοση εύρους ζώνης θεωρητικά όρια και πρακτικές προσεγγίσεις Παραδείγματα υπολογισμού και σύγκρισης της απόδοσης συστημάτων ψηφιακής διαμόρφωσης Παράδειγμα 7. Μεταδίδουμε με συστήματα 4-FSK και QPSK σε διαύλους εύρους ζώνης Β και Β, αντίστοιχα, με την ίδια πιθανότητα σφάλματος bit Pb. Να βρεθεί η ισχύς του συστήματος FSK, αν αυτή του QPSK είναι mwatt. Απάντηση Παρατηρώντας το σχ. 7. βλέπουμε ότι οι καμπύλες 4FSK και QPSK βρίσκονται πολύ κοντά και, συνεπώς, για το ίδιο P (*) b απαιτείται ο ίδιος, περίπου, ανηγμένος σηματοθορυβικός λόγος Ε b/n o. Για διαύλους της ίδιας ποιότητας (δηλ. του ιδίου Ν ο) αυτό ισχύει όταν Eb, 4FSK Eb, QPSK. Εκμεταλλευόμενοι πλήρως το διαθέσιμο εύρος ζώνης για κάθε σύστημα (Β και Β αντίστοιχα), έχουμε για τον ρυθμό μετάδοσης: R 4FSK=.5W 4FSK=B, R QPSK=W QPSK=B. Επειδή η ισχύς δίνεται από το γινόμενο RE b, παίρνουμε: S R E 4FSK BE S 4FSK b, 4FSK b R E BE, ή S 4FSK.5S QPSK.5 mwatt QPSK QPSK b, QPSK b Παράδειγμα 7. Έχουμε στη διάθεσή μας δίαυλο βασικής ζώνης, εύρους 5 ΚΗz και θέλουμε να μεταδώσουμε με ρυθμό.6 Mbps υπό συνθήκες μηδενικής διαπαλμικής παρεμβολής και χρήση σημάτων ανυψωμένου συνημιτόνου (raised cosine). Α) Να βρεθεί ο ελάχιστος αριθμός πλατών σήματος που μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Β) Να βρεθεί ο κατάλληλος συντελεστής εξάπλωσης (roll-off factor) των σημάτων αυτών. Απάντηση A cos( f t), Asin(f t ) Acos(f t όπου f KHz, f 5 KHz. / ) α) Τα πιθανά σχήματα διαμόρφωσης, λοιπόν, είναι BFSK και MSK. β) Σύμφωνη BFSK & MSK: f f Ksps R= Kbps. T T Aσύμφωνη BFSK f f 5 Ksps R=5 Kbps. T (*) Υπενθυμίζεται ότι: Baud Rate B_R = /T, Bit Rate R = B_R.log M=( log M)/T, BER=R.P b Ισχύς = E b.r

216 7-8 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο γ) Η πρόσθετη συνθήκη για MSK είναι η συνέχεια της φάσης, η οποία ικανοποιείται με ή π, οπότε BFSK ( Kbps). ή. Ο ρυθμός μετάδοσης είναι ο ίδιος με τη σύμφωνη Παράδειγμα 7.3 α) Να εξηγηθεί γιατί οι καμπύλες P f ( E / N ) για συστήματα διπολικού ASK και QPSK περίπου ταυτίζονται. b b o β) Μεταδίδουμε με συστήματα σύμφωνης BFSK και 8-PSK σε διαύλους της ίδιας ποιότητας (ως προς τον θόρυβο) και του ιδίου εύρους ζώνης. Να βρεθούν: i) η σχέση των ρυθμών μετάδοσης bits των δύο συστημάτων, ii) η σχέση των ρυθμών μετάδοσης συμβόλων (baud rates) των δύο συστημάτων, iii) η ισχύς λειτουργίας του συστήματος FSK, όταν η ισχύς του συστήματος PSK είναι Watt, ενώ ο μέσος αριθμός εσφαλμένων bits του τελευταίου (σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα) είναι τριπλάσιος του αντίστοιχου αριθμού του FSK (στο ίδιο διάστημα). Σημείωση: Παρατηρήστε ότι οι αντίστοιχες καμπύλες Pb=f(Eb/No) βρίσκονται πολύ κοντά μεταξύ τους (Πλαίσιο 7.). Απάντηση α) Έχει αποδειχτεί ότι για πλήρες ορθογωνικό πλέγμα σημείων ΜQAM, όπου Μ=L, ισχύει P P [σχέση (5.5) των σημειώσεων]. Αλλά η 4-QAM ταυτίζεται με την b, L QAM b, LASK QPSK. Έτσι η Β-ASK εμφανίζει περίπου την ίδια P b με την QPSK. Εναλλακτικά: P b, MPSK log M erfc E N o sin Pb M M 4, QPSK erfc E N b o P E b erfc N o α) Οι σχέσεις που συνδέουν προσεγγιστικά το εύρος ζώνης με τον ρυθμό μετάδοσης συστημάτων σύμφωνης MFSK και MPSΚ (σχέση (7.7) είναι: log M W, RMPSK& QAM W log M (βλ. 7 ο Κεφάλαιο) M b, BASK R MFSK Με την υπόθεση πλήρους εκμετάλλευσης του διαθέσιμου εύρους ζώνης W από κάθε σύστημα, έχουμε:

217 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Απόδοση εύρους ζώνης θεωρητικά όρια και πρακτικές προσεγγίσεις 7-9 i. R BFSK W, R8 PSK 3W R8 PSK 3 RBFSK (7.3.) ii. Baud _ Rate8 PSK R /3 8 PSK Baud _ RateBFSK RBFSK (7.3.) iii. BER αριθμός σφαλμάτων σε τ P b Pb,8PSK Pb, BFSK R R (3.) (7.3.3) Επειδή οι αντίστοιχες καμπύλες P f ( E / N ) βρίσκονται πολύ κοντά μεταξύ τους (Πλαίσιο 7.), λόγω της (7.3.3) είναι: E N b o b b o Eb ( 8PSK) ( BFSK) και, λόγω του ίδιου Ν ο, Ε b,8psk Ε b,bfsk. N o Αλλά για την ισχύ είναι: S= RΕ b. Οπότε, λόγω της (7.3.): S BFSK 3 S 8PSK Watt 3

218 7- Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Παράδειγμα 7.4 Μεταδίδουμε με σύστημα 6PSK σε δίαυλο με λευκό αθροιστικό θόρυβο ισχύος nwatt, με ρυθμό μετάδοσης 8Κbps. a) Σχεδιάστε προσεγγιστικά το φάσμα του λαμβανομένου σήματος. b) Ποια είναι η απόδοση του συστήματος, σε bits/hz/sec; c) Ποια θα πρέπει να είναι η ελάχιστη ισχύς (σε Watt) του λαμβανομένου σήματος PSK, ώστε ο ρυθμός εσφαλμένων bits (BER) να μην υπερβαίνει το bps; d) Να βρεθεί η ισχύς λαμβανομένου σήματος 6-QAM πλήρους και ορθογωνικού πλέγματος σημείων, στην περίπτωση του αυτού ρυθμού μετάδοσης, επί του ιδίου διαύλου και με το ίδιο ΒΕR. e) Να σχεδιαστεί προσεγγιστικά και επί του ιδίου διαγράμματος του ερωτήματος (a) το φάσμα του σήματος QAM του ερωτήματος (d). Απάντηση a) M=6, R=8 Kbps Baud Rate=/T=R/log M= Ksymbols/sec. Φασματική πυκνότητα σήματος MPSK (για κάθε Μ) με ορθογωνικό παλμό μορφοποίησης βασ. ζώνης: sin ( f f ) c T sin[ ( f f c )5x ss E ( ) E 5 f f T s c T ( f f c )5x (Για σύγκριση δείχνεται και το φάσμα με παλμούς Nyquist.) 6 ].5 Φάσμα με ορθογ. παλμό (sampling function) /T= ΚHz Nyquist. roll off:.5 f c-/t f c-/t fc f c+/t f c+/t Συχνότητα, f b) Θεωρώντας εύρος ζώνης W=/T=4KHz (πρώτος κύριος λοβός), η απόδοση του διαύλου είναι R/W= bits/hz/sec. Η απόδοση αυτή αυξάνεται και τείνει στο διπλάσιο, για σηματοδοσία Nyquist και με τον συντελεστή εξάπλωσης (roll-off) να τείνει στο μηδέν. c) BER=R.P b P b=ber/r ( bps/8 Kbps)=.5 x -6. Από τις καμπύλες του σχ. 7. για 6-PSK παίρνουμε : Εναλλακτικά, και αν θέλουμε μεγαλύτερη ακρίβεια, λύνουμε την ανίσωση:

219 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Απόδοση εύρους ζώνης θεωρητικά όρια και πρακτικές προσεγγίσεις 7- E b. 7db E 7 b No N (7.4.) o Για την ισχύ, επομένως, του λαμβανομένου σήματος έχουμε:.7 RNo S EbR NoR, ενώ για την ισχύ θορύβου N WN o, από όπου: log M.7 RN o N log M και S6 PSK N log 6 4μWatt Eb d) Ομοίως για την 6QΑΜ (η οποία έχει το ίδιο εύρος φάσματος) είναι: 4db N οπότε S QAM.4 6 N log 6 μwatt e) Το φάσμα του λαμβανομένου σήματος QAM είναι το ίδιο σε μορφή, όπως του PSK, με μικρότερο εύρος (κατά τον συντελεστή ). o Παράδειγμα 7.5 Μεταδίδουμε με σύστημα MSK, με ρυθμό Kbps και κεντρική συχνότητα 45 ΜΗz. α) Να σχεδιαστεί προσεγγιστικά το φάσμα του σήματος στον δέκτη στην έξοδο ενός τετραγωνιστή. β) Να δοθούν οι τιμές των αn, φn, και να σχεδιαστεί η θ(t), όπως υπεισέρχονται στην έκφραση του σήματος MSK, σύμφωνα με την (6.) των σημειώσεών σας, για ακολουθία εισόδου: γ) Σε τι διαφέρει ένα σύστημα σύμφωνης δυαδικής FSK; Απάντηση E t α) Σήμα MSK: s i ( t) cos( fct n ), n {, } T T E t E t s i ( t) [ cos(4 f ct n )] [ cos(4 f ct )], αφού {, ) T T T T Το τελευταίο όμως είναι ένα σήμα BFSK στη διπλάσια συχνότητα, με f, fc. T n. Τα δεδομένα της άσκησης είναι: R=Kbps(=/Τ), f c=45 MHz, οπότε το φάσμα του σήματος στην έξοδο του τετραγωνιστή έχει την παρακάτω μορφή (σχέση 6. των σημειώσεων): E log b M -6 erfc sin.5x, για Μ=6 log M N o M [από τη σχέση (5.) των σημειώσεων], είτε προγραμματιστικά, είτε με χρήση πινάκων για την erfc(x).

220 7- Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο β) γ) Η μόνη διαφορά μεταξύ σύμφωνης BFSK και MSK είναι η ασυνέχεια στη φάση που μπορεί να έχει η BFSK στα όρια των διαστημάτων διάρκειας Τ. Αυτό βεβαίως συνεπάγεται και διαφορές στα φασματικά χαρακτηριστικά (π.χ. «γραμμές» φάσματος στις δύο διακριτές συχνότητες για την BFSK). Παράδειγμα 7.6 Σε ζωνοπερατό δίαυλο εύρους ζώνης KHz μπορούμε να έχουμε μέγιστη σηματοθορυβική σχέση στον δέκτη db. α) Να βρεθεί η μέγιστη χωρητικότητα του διαύλου κατά Shannon και να προσδιοριστεί το αντίστοιχο σημείο στο επίπεδο απόδοσης εύρους ζώνης ανηγμένου σηματοθορυβικού λόγου R E b W No β) Για ρυθμό μετάδοσης ίσο (περίπου) με τη χωρητικότητα του διαύλου που προσδιορίστηκε στο προηγούμενο ερώτημα, να τοποθετηθούν στο ίδιο επίπεδο τα σημεία που αντιστοιχούν σε κατάλληλα συστήματα MPSK και M-QAM τα οποία

221 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Απόδοση εύρους ζώνης θεωρητικά όρια και πρακτικές προσεγγίσεις 7-3 λειτουργούν με ρυθμό λαθών 8 εσφαλμένα bps. Ποιο σύστημα είναι καλύτερο και γιατί; Απάντηση α) Σηματοθορυβική σχέση: S (db) N C S Μέγιστη απόδοση διαύλου κατά Shannon: log bits/hz/s W N Ανηγμ. Σηματοθ. Λόγος: Eb 5.84 S / N db N C / W 4.7 o (βλ. σχήμα). β) Ρυθμός μετάδοσης R C 4W 8Kbps Αλλά, απόδοση εύρους ζώνης για MPSK και MQAM log M. Οπότε Μ=6. BER 8bps 4 Με τα δεδομένα της άσκησης, P b. Γι αυτήν την πιθανότητα R 8Kbps εσφαλμένου bit, από τις καμπύλες του σχ. 7. για 6-PSK και 6-QAM, απαιτούνται τιμές ανηγμένου σηματοθορυβικού λόγου 6.5db και db αντίστοιχα. Προφανώς το σύστημα 6-QAM είναι καλύτερο, αφού έχει την ίδια επίδοση (P b) με μικρότερη μέση ισχύ.

222 7-4 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Παράδειγμα 7.7 τ = μs Καταγράφουμε στον παλμογράφο τμήμα ψηφιακής κυματομορφής, όπως στο παραπλεύρως σχήμα. α) Τι είδους ψηφιακή διαμόρφωση μπορεί να έχουμε; β) Ποιος είναι ο μικρότερος ρυθμός μετάδοσης (Κbps) που μπορεί να λειτουργεί το σύστημα; γ) Ποια περιοχή συχνοτήτων χρησιμοποιείται (προσεγγιστικά); δ) Να δοθεί, αναλυτικά και γραφικά, η κρουστική απόκριση φίλτρου προσαρμοσμένου στο πρώτο από τα τρία τμήματα της κυματομορφής για σύμφωνη αποδιαμόρφωση. (Να αιτιολογηθούν οι απαντήσεις σας.) Απάντηση α) Παρατηρούμε τμήματα κυματομορφής τριών διαφορετικών συχνοτήτων. Πρόκειται λοιπόν για κυματομορφή M-FSK με Μ 4. β) Ρυθμός μετάδοσης log M R, T /3, T M 4 log M T 6 min min max R 56 Kbps γ) Από το δοσμένο σχήμα έχουμε: f 56KHz, f f 5KHz, f4 4 f 4KHz T Διαλέγουμε την f f 768 KHz, ο δε σηματικός αστερισμός των τεσσάρων 3 3 συχνοτήτων είναι κατάλληλος τόσο για σύμφωνη όσο και για ασύμφωνη FSK, αφού Δf=/Τ. Το φάσμα είναι της μορφής του παρακάτω σχήματος. Πρέπει να σημειωθεί ότι η παρατηρούμενη κυματομορφή θα μπορούσε να είναι κάλλιστα τμήμα μεγαλύτερης τάξης FSK (π.χ. 8-FSK), με συχνότητες μεταξύ των παρατηρουμένων (σύμφωνη FSK με Δf=/Τ) ή υψηλότερες. α) Κρουστική απόκριση προσαρμοσμένου φίλτρου για την f : g ( t) h ( T t) Asin(4t / T) Asin(t / ) g (t) τ/3 =7.875μs t