Πράξεις διανυσμάτων. Πρόσθεση. Αφαίρεση. Συντεταγμένες στο επίπεδο. Συντεταγμένες διανύσματος και. Συντεταγμένες μέσου ευθυγράμμου τμηματος

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ Πράξεις διανυσμάτων Πρόσθεση Αφαίρεση Συντεταγμένες στο επίπεδο Συντεταγμένες διανύσματος με (x 1, y1) (x, y ) (x x, y y ) 1 Συντεταγμένες μέσου ευθυγράμμου τμηματος x M x x M y y y 1 ΣΤΕΛΙΟΣ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

2 Μέτρο διανύσματος x y Εσωτερικό γινόμενο Αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινομένου x x y y Ευθεία Τύποι εξίσωσης ευθείας Συντελεστής Διεύθυνσης y ax x By y y ( x x ) ΣΤΕΛΙΟΣ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

3 y y x x Δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης Κύκλος Τύποι εξίσωσης κύκλου Κέντρο-Ακτίνα C : x y Κέντρο (,) ακτίνα ρ C:( x x) ( y y) Κέντρο (x,y ) ακτίνα ρ 3 ΣΤΕΛΙΟΣ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

4 C: x y Ax By Παριστάνει κύκλο όταν 4 Κέντρο, ακτίνα 4 Έλλειψη Τύποι εξίσωσης έλλειψης Στοιχεία έλλειψης Εστίες Ε (-γ,),ε(γ,) Κορυφές Α (-α,),α(α,) x y Β (,-β),β(,β) 1 a Μεγάλος άξονας Α Α με με (Α Α)= α Μικρός άξονας Β Β=β με (Β Β)= β x με y 1 Εστίες Ε (,-γ),ε(,γ) Κορυφές Α (,-α),α(,α) Β (-β,),β(β,) Μεγάλος άξονας Α Α με (Α Α)= α Μικρός άξονας Β Β=β με (Β Β)= β Υπερβολή Τύποι εξίσωσης υπερβολής Στοιχεία υπερβολής Εστίες Ε (-γ,),ε(γ,) Κορυφές Α (-α,),α(α,) x y 1 Εκκεντρότητα a με Ασύμπτωτες ( 1) : y x, a ( ) : y x a 4 ΣΤΕΛΙΟΣ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

5 y x 1 με Εστίες Ε (,-γ),ε(,γ) Κορυφές Α (,-α),α(,α) Εκκεντρότητα Ασύμπτωτες ( 1) : y x, ( ) : y x 5 ΣΤΕΛΙΟΣ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

6 Η Γεωμετρία των μιγαδικών Γεωμετρικός τόπος λέγεται το σύνολο σημείων που έχουν μια κοινή, χαρακτηριστική ιδιότητα Παραθέτουμε έναν πίνακα βασικών γεωμετρικών τόπων (γτ) ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ z z1 z z όπου z 1,z γνωστοί μιγαδικοί αριθμοί Αν A(z 1), B(z ) Μ(z) οι εικόνες των μιγαδικών z 1,z z αντίστοιχα, τότε MA MB Η μεσοκάθετος ε του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ Κύκλος με κέντρο K(z ) ακτίνα ρ zz όπου z (μιγαδικός) ρ> Αν K(z ) Α(z) οι εικόνες των z, z αντίστοιχα, τότε KA Έλλειψη με εστίες Ε(z 1) E (z ) z z1 z z όπου z 1, z γνωστοί μιγαδικοί, α z z z1=β,z=-β ή z1=βi,z=-βi,β> Αν M( z), E(z ), E (z ) οι εικόνες των z,z,z αντίστοιχα, τότε ME ME 6

7 z z1 z z όπου z 1, z γνωστοί μιγαδικοί, z z z1=β,z=-β ή z1=βi,z=-βi,β> Αν Mz ( ), E(z ), E (z ) οι εικόνες των z,z,z αντίστοιχα, τότε ME ME Υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε (z 1) E (z ) z z1 z z όπου z 1,z γνωστοί μιγαδικοί, α z z α z1=β,z=-β ή z1=βi,z=-βi,β> Αν Mz ( ), E(z ), E (z ) οι εικόνες των z,z,z αντίστοιχα, τότε ME ME Ο αριστερός κλάδος της υπερβολής με εστίες τα σημεία Ε (z 1) E (z ) z z z z1 όπου z 1,z γνωστοί μιγαδικοί, α z z α z1=β,z=-β ή z1=βi,z=-βi,β> Αν Mz ( ), E(z ), E (z ) οι εικόνες των z,z 1,z αντίστοιχα, τότε ME ME Ο δεξιός κλάδος της υπερβολής με εστίες τα σημεία Ε (z 1) E (z ) 7

8 ΜΕΓΙΣΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΜΕΤΡΟ z, z min max Γεωμετρικός τόπος Ελάχιστο μέτρο Μέγιστο μέτρο Εύρεση μιγαδικού (OK) d(o, ) Δεν υπάρχει Βρίσκουμε τον συντελεστή της ε ( ) d(o, ) Είναι Βρίσκουμε τον συντελεστή της ΟΚ με : x By Είναι λ ΟΚ λ ε 1 Βρίσκουμε τη εξίσωση της ΟΚ Είναι : y x Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Λύνουμε το σύστημα του z είναι η ευθεία ε των ΟΚ, ε βρίσκουμε το σημείο Κ που είναι η εικόνα του ζητούμενου μιγαδικού Βρίσκουμε τον OA OK O OK συντελεστή της ΟΚ y Είναι x Βρίσκουμε τη εξίσωση της ΟΚ Είναι : y x Λύνουμε το σύστημα των ΟΚ, C βρίσκουμε τα σημεία Α Β Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι κύκλος κέντρου Κ(z) ακτίνας ρ C : z z ή x x y y 8

9 Γεωμετρικός τόπος Ελάχιστο μέτρο Μέγιστο μέτρο Εύρεση μιγαδικού Αν η έλλειψη έχει εστίες στον x x,τότε: Το ελάχιστο μέτρο το έχουν οι μιγαδικοί Είναι τα μήκη Είναι τα μήκη z1 i z i ( ) ( ) ( ) ( ) Το μέγιστο μέτρο το έχουν οι μιγαδικοί z3 a z4 a Αν η έλλειψη έχει εστίες στον άξονα y y, Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού z είναι η έλλειψη τότε: το ελάχιστο μέτρο το z z z z α έχουν οι μιγαδικοί C: ή x a y 1 Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού z είναι η υπερβολή z z z z a C: ή x a y 1 Είναι τα μήκη ( ) ( ) Δεν υπάρχει z1 z Το μέγιστο μέτρο το έχουν οι μιγαδικοί z3 i z4 i Αν η υπερβολή έχει εστίες στον x x,τότε: Το ελάχιστο μέτρο το έχουν οι μιγαδικοί z1 a z a Αν η υπερβολή έχει εστίες στον άξονα y y, τότε: Το ελάχιστο μέτρο το έχουν οι μιγαδικοί z1 ai z ai 9

10 Γεωμετρικός τόπος ΜΕΓΙΣΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΜΕΤΡΟ z w Ελάχιστο μέτρο z w Μέγιστο μέτρο z w Εύρεση μιγαδικού Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε το Μ είναι η εικόνα του w x yi ( MK) d( M, ) x y με : x By Δεν υπάρχει Βρίσκουμε τον συντελεστή της ε Είναι Βρίσκουμε τον συντελεστή της MΚ Είναι 1 Βρίσκουμε τη εξίσωση της ΜΚ Είναι : y y (x x ) Λύνουμε το σύστημα των MΚ, ε βρίσκουμε το σημείο Κ που είναι η εικόνα του ζητούμενου μιγαδικού Αν, τότε, οπότε : y ym Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία των εικόνων του w 1 είναι η ευθεία x y ( ) x, y Όπου τυχαίο σημείο της 1 που βρίσκουμε αντικαθιστώντας στην εξίσωση της,όπου 1 x μια τυχαία τιμή x προσδιορίζοντας το αντίστοιχο y : x By Δεν υπάρχει Υπάρχουν άπειρα ζεύγη z,w για τα οποία το z w γίνεται ελάχιστο Για να βρούμε όμως ένα από αυτά κάνουμε τα εξής: Βρίσκουμε ένα τυχαίο σημείο της,δηλαδή 1 αντικαθιστούμε στην εξίσωση της 1 όπου x μια τυχαία τιμή x προσδιορίζουμε y Τότε M x,y Βρίσκουμε τον συντελεστή της τον συντελεστή 1 της κάθετής ΚΜ Είναι 1 Βρίσκουμε τη εξίσωση της ΜΚ λύνουμε το σύστημα των ΜΚ, βρίσκουμε το Κ Οι ζητούμενοι μιγαδικοί z,w έχουν εικόνες τα Μ,Κ αντίστοιχα 1

11 Γεωμετρικός τόπος Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο κύκλος C: x x y y Και η εικόνα του w είναι το σημείο Μ Ελάχιστο μέτρο z w (MK) Μέγιστο μέτρο z w Εύρεση μιγαδικού Βρίσκουμε τον συντελεστή y ym της ΜΚΕίναι λ MΚ x x Μ Βρίσκουμε την εξίσωση της ΜΚ Είναι : y y (x x ) Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων της ΜΚ με τον κύκλο βρίσκουμε τα σημεία Α,Β, όπου το Α είναι η εικόνα του z με το ελάχιστο z w το Β είναι η εικόνα του z με το μέγιστο z w Βρίσκουμε τον συντελεστή της ε Είναι Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο κύκλος C: x x y y Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w είναι η ευθεία : x By (AM) d(k, ) x y Δεν υπάρχει Βρίσκουμε τον συντελεστή της MΚ Είναι 1 Βρίσκουμε τη εξίσωση της ΜΚ Είναι MΚ : y y λ x x Ο Κ Λύνουμε τα συστήματα των MΚ, ε βρίσκουμε το σημείο Μ των ΜΚ, C βρίσκουμε το Α Οι ζητούμενοι μιγαδικοί z,w για τους οποίους το z w γίνεται ελάχιστο έχουν εικόνες τα Α,Μ αντίστοιχα 11

12 Γεωμετρικός τόπος Ελάχιστο μέτρο Μέγιστο μέτρο Εύρεση μιγαδικού Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z,w είναι ο ίδιος κύκλος κέντρου (z ) ακτίνας ρ C: z z ή x x y y Οι γεωμετρικοί τόποι των z,w είναι οι κύκλοι (x x ) (y y ) (x x ) (y y ) Με κέντρα (x 1, y 1), (x,y ) ακτίνες 1, Το μέτρο z w έχει ελάχιστη τιμή το γιατί οι εικόνες των z,w μπορεί να ταυτίζονται ( ) ( ) Η μέγιστη απόσταση μεταξύ δύο σημείων του ίδιου κύκλου είναι η διάμετρος Δηλαδή z w max ( ) ( ) Υπάρχουν άπειρα ζεύγη z,w για τα οποία το z w γίνεται μέγιστο Για να βρούμε ένα από αυτά τα ζεύγη κάνουμε τα εξής: Βρίσκουμε τυχαίο σημείο του κύκλου, αντικαθιστώντας στην εξίσωσή του μια τυχαία τιμή του x Έστω x x Υπολογίζουμε το αντίστοιχο y Τότε (x,y ) Το αντιδιαμετρικό σημείο Β του Α θα βρεθεί από τις σχέσεις: xa xb xk ya yb yk Οι ζητούμενοι μιγαδικοί z,w έχουν εικόνες τα Α,Β Βρίσκουμε την εξίσωση της ΚΛ Λύνουμε τα συστήματα των ΚΛ, C1 ΚΛ,C βρίσκουμε τα σημεία Α,Β Γ,Δ αντίστοιχα Οι μιγαδικοί z,w με το ελάχιστο z w, έχουν εικόνες τα σημεία Β,Γ αντίστοιχα οι μιγαδικοί z,w με το μέγιστο z w, έχουν εικόνες τα σημεία Α,Δ αντίστοιχα 1

13 Γεωμετρικός τόπος Ελάχιστο μέτρο Μέγιστο μέτρο Εύρεση μιγαδικού Ο γεωμετρικοί τόπος του z είναι ο κύκλος (c1) : x y με κέντρο Ο(,) ακτίνα ρ ο γεωμετρικός τόπος του w x y είναι η έλλειψη 1 a Είναι το ευθύγραμμο τμήμα (ΒΣ)=( Β Ρ)=β-ρ Είναι το ευθύγραμμο τμήμα (ΑΜ)=( Α Π)=α+ρ Όταν οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στον άξονα χ χ Οι μιγαδικοί z, w για τους οποίους το z-w είναι ελάχιστο έχουν εικόνες τα σημεία Σ,Β (ή τα σημεία Ρ,Β )Το σημείο Β έχει συντεταγμένες (,β) το σημείο Σ έχει συντεταγμένες (,ρ) (Το σημείο Β έχει συντεταγμένες (,-β) το σημείο Ρ έχει συντεταγμένες (,-ρ) ) Ο γεωμετρικοί τόπος του z είναι ο κύκλος (c1) : x y με κέντρο Ο(,) ακτίνα ρ ο γεωμετρικός τόπος του w x y είναι η έλλειψη 1 a Είναι το ευθύγραμμο τμήμα (ΒΣ)=( Β Ρ)=β-ρ Είναι το ευθύγραμμο τμήμα (ΑΜ)=( Α Π)=α+ρ Όταν οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στον άξονα y y Οι μιγαδικοί z, w για τους οποίους το z-w είναι ελάχιστο έχουν εικόνες τα σημεία Σ,Β (ή τα σημεία Ρ,Β )Το σημείο Β έχει συντεταγμένες (β,) το σημείο Σ έχει συντεταγμένες (ρ,) (Το σημείο Β έχει συντεταγμένες (-β,) το σημείο Ρ έχει συντεταγμένες (-ρ,) ) 13