Προσεγγισεις. Γεωμετρικοι Τοποι. Επ ι με λ ε ι α : Τακης Τσακαλακ ος

Transcript

1 Προσεγγισεις Γεωμετρικοι Τοποι Επ ι με λ ε ι α : Τακης Τσακαλακ ος

2 Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Ισοτητα μετρων παραστασεων διανυσματων. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ. Σ κ ο π ο ς : Μετατροπη της δοσμενης σχεσης σε μορφη: ΜΑ = ΜΒ, με Α, Β σταθερα γνωστα σημεια. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Καθε αθροισμα, της μορφης ΑΒ + ΑΓ, που βρισκεται μεσα στο μετρο, το αντι καθιστουμε με ΑΔ, οπου Δ το μεσο του ΒΓ.. Προκυπτει σχεση της μορφης: ΜΔ = ΜΕ 3. Ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι η μεσοκαθετη του ευθυγραμμου τμηματος ΔΕ. Π α ρ α τ η ρ η σ η : Γνωριζουμε, οτι σ'ενα τριγωνο ΑΒΓ : ΑΒ + ΑΓ = ΑΔ, οπου ΑΔ η διαμεσος απ'το Α.

3 Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ του επιπεδου ενος τετραπλευ ρου ΑΒΓΔ, για τα οποια ισχυει : ΜΑ + ΜΒ = ΜΓ + ΜΔ. (Γνωστο, οτι σ'ενα τριγωνο ΑΒΓ : ΑΒ + ΑΓ = ΑΔ, οπου ΑΔ η διαμεσος απ'το Α) Ετσι Στο τριγωνο ΜΑΒ : ΜΑ + ΜΒ = ΜΚ Στο τριγωνο ΜΓΔ : ΜΓ + ΜΔ = ΜΛ Ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ, ειναι η μεσοκαθετη του ευθυγραμμου τμη ματος ΚΛ. Οποτε ΜΑ + ΜΒ = ΜΓ + ΜΔ ΜΚ = ΜΛ ΜΚ = ΜΛ ΜΚ = ΜΛ Αρα Αν Κ, Λ ειναι τα μεσα των ΑΒ και ΓΔ αντιστοιχα, τοτε :

4 3 Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Z η τ ο υ μ ε ν ο : Γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ. Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η δοσμενη σχεση ειναι ισοτητα γινομενων διανυσματων. Π α ρ α τ η ρ η σ η : Σ κ ο π ο ς : Μετατροπη της δοσμενης σχεσης, σε μορφη ΟΜ ΑΒ = 0, με Ο, Α, Β σταθερα γνωστα σημεια. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Φερνουμε ολους τους ορους στο πρωτο μελος της ισοτητας (ωστε στο δευτερο να εμφανιστει το μηδεν).. Παραγοντοποιουμε, με τη βοηθεια των ιδιοτητων των μιγαδικων. 3. Καθε αθροισμα, της μορφης ΑΒ + ΑΓ, το αντικαθιστουμε με ΑΔ, οπου Δ το μεσο του ΒΓ. 4. Προκυπτει σχεση της μορφης: ΟΜ ΑΒ = 0, 5. Ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι ευθεια καθετη στο ευθυγραμμο τμημα ΑΒ που διερχεται απ το σημειο Ο. Αν τυχαιο σημειο Μ επαληθευει ισοτητα της μορφης ΟΜ ΑΒ = 0, με Ο, Α, Β σταθερα γνωστα σημεια, τοτε ο γεωμετρικος τοπος του Μ ειναι ευθεια καθετη στο ευθυγραμμο τμημα ΑΒ που διερχεται απ το σημειο Ο.

5 Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) 4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ του επιπεδου ενος τριγωνου ΑΒΓ, για τα οποια ισχυει : ΑΒ ΑΜ = ΜΑ ΑΓ. (Γνωστο, οτι σ'ενα τριγωνο ΑΒΓ : ΑΒ + ΑΓ = ΑΔ, οπου ΑΔ η διαμεσος απ'το Α) Αν ΑΔ ειναι η διαμεσος του τριγωνου απ'την κορυφη Α, τοτε : ΑΒ + ΑΓ = ΑΔ () Ετσι, η () λογω της () : ΑΜ ΑΔ = 0 ΑΜ ΑΔ = 0 ΑΜ ΑΔ μειο Α και ειναι καθετη στην διαμεσο ΑΔ. Αρα Ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ, ειναι μια ευθεια που διερχεται απ'το ση - Ειναι ΑΒ ΑΜ = ΜΑ ΑΓ ΑΒ ΑΜ - ΜΑ ΑΓ = 0 ΑΒ ΑΜ + ΑΜ ΑΓ = 0 ΑΜ (ΑΒ + ΑΓ) = 0 ()

6 5 Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η δοσμενη σχεση ειναι ισοτητα αθροισματων (διαφορων) διανυσματων, που καποια ειναι πολλαπλασιασμενα με σταθερο αριθμο (αγνωστο). Z η τ ο υ μ ε ν ο : Γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ. Σ κ ο π ο ς : Μετατροπη της δοσμενης σχεσης, σε μορφη ΑΜ = κ α, με Α σταθερο γνωστο σημειο και α γνωστο διανυσμα. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Φερνουμε τους ορους (που δεν ειναι πολλαπλασιασμενοι με σταθερο αριθμο) στο πρωτο μελος της ισοτητας και τους υπολοιπους στο δευτερο.. Παραγοντοποιουμε, με τη βοηθεια των ιδιοτητων των διανυσματων. 3. Καθε αθροισμα, της μορφης ΑΒ + ΑΓ, το αντικαθιστουμε με ΑΔ, οπου Δ το μεσο του ΒΓ. 4. Προκυπτει σχεση της μορφης: ΑΜ = κ α η ΑΜ = κ ΒΓ 5. Ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι ευθεια παραλληλη στο διανυσμα α (η ΒΓ) που διερχεται απ το σημειο Α. Π α ρ α τ η ρ η σ η : Αν τυχαιο σημειο Μ επαληθευει ισοτητα της μορφης ΑΜ = κ α, με Α σταθερο γνωστο σημειο και α γνωστο διανυσμα, τοτε ο γεωμετρικος τοπος του Μ ειναι ευθεια παραλληλη στο διανυσμα α που διερχεται απ το σημειο Α.

7 Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) 6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ του επιπεδου ενος τριγωνου ΑΒΓ, για τα οποια ισχυει : ΜΒ + κ ΒΓ = ΜΓ + κ ΑΓ. Εστω Κ το μεσο του τμηματος ΒΓ. κ κ = λ ΜΚ = ΑΒ ΜΚ = λ ΑΒ Αρα Ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ, ειναι μια ευθεια που διερχεται απ'το σημειο Κ και ειναι παραλληλη στο διανυσμα ΑΒ. Ετσι ΜΒ + κ ΒΓ = ΓΜ + κ ΑΓ - ΓΜ = ΜΓ ΜΒ - ΓΜ = κ ΑΓ - κ ΒΓ ΑΓ- ΒΓ = ΑΒ ΜΒ + ΜΓ = κ (ΑΓ - ΒΓ) ΜΚ = κ ΑΒ (Γνωστο, οτι σε τριγωνο ΜΒΓ : ΜΒ + ΜΓ = ΜΚ, οπου ΜΚ η διαμεσος απ'το Μ)

8 7 Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Ισοτητα μετρων παραστασεων διανυσματων. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ. Σ κ ο π ο ς : Μετατροπη της δοσμενης σχεσης σε μορφη: ΜΑ = ΚΛ, με Α, Κ, Λ σταθερα γνωστα σημεια. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Καθε αθροισμα, της μορφης ΑΒ + ΑΓ, που βρισκεται μεσα στο μετρο, το αντι καθιστουμε με ΑΔ, οπου Δ το μεσο του ΒΓ, ενω καθε διαφορα διανυσματων την αντικαθιστουμε με το ισοδυναμο της διανυσμα.. Προκυπτει σχεση της μορφης: ΜΑ = κ ΚΛ. 3. Ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι κυκλος με κεντρο Α και ακτινα ρ = κ ΚΛ. Π α ρ α τ η ρ η σ η : Αν τυχαιο σημειο Μ επαληθευει ισοτητα της μορφης ΑΜ = ρ, με ρ > 0 και Α σταθερο γνωστο σημειο, τοτε ο γεωμετρικος τοπος του Μ ειναι κυκλος με κεντρο Α και ακτινα ρ.

9 Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) 8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δινεται το τετραπλευρο ΑΒΓΔ. Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ για τα οποια ισχυει : ΜΑ + ΜΒ = ΜΓ - ΜΔ. (Γνωστο, οτι σε τριγωνο ΑΒΜ : ΜΑ + ΜΒ = ΜΚ, οπου ΜΚ η διαμεσος απ'το Μ) Ειναι ΜΑ + ΜΒ = ΜΚ ΜΓ - ΜΔ = ΔΓ Ετσι ΜΑ + ΜΒ = ΜΓ - ΜΔ ΜΚ = ΔΓ ΜΚ = ΔΓ ΜΚ = ΔΓ Αρα ο γεωμετρικος τοπος ειναι κυκλος με κεντρο Κ και ακτινα ρ = ΔΓ. Αν Κ ειναι το μεσο του τμηματος ΑΒ.

10 9 Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η δοσμενη σχεση (μετα απο πραξεις) μπορει να μετατραπει σε γινομενο διανυσματων ισο με μηδεν. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ. Σ κ ο π ο ς : Μετατροπη της δοσμενης σχεσης, σε μορφη ΜΑ ΜΒ = 0 με Α, Β σταθερα γνωστα σημεια. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Αν η δοσμενη σχεση ειναι ισοτητα μετρων η ισοτητα ριζων η ισοτητα μετρου και ριζας, τοτε τετραγωνιζουμε τα δυο μελη (εξαφανιζονται μετρα, ριζες).. Φερνουμε ολους τους ορους στο πρωτο μελος της ισοτητας (ωστε στο δευτερο να εμφανιστει το μηδεν). 3. Προκυπτει σχεση της μορφης: ΜΑ ΜΒ = 0 4. Ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι κυκλος με διαμετρο ΑΒ. Π α ρ α τ η ρ η σ η : Αν τυχαιο σημειο Μ επαληθευει ισοτητα της μορφης ΜΑ ΜΒ = 0 και Α, Β σταθερα γνωστα σημεια, τοτε ο γεωμετρικος τοπος του Μ ειναι κυκλος με διαμετρο ΑΒ.

11 Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) 0 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν Α και Β σταθερα σημεια, να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ για τα οποια ισχυει : ΜΑ + ΜΒ = ΜΑ + ΜΒ. Ειναι ΜΑ + ΜΒ = ΜΑ + ΜΒ ΜΑ + ΜΒ = ( ΜΑ + ΜΒ ) ( ΜΑ ) + ΜΑ ΜΒ + ΜΒ = ΜΑ + ΜΒ ΜΑ + ΜΑ ΜΒ + ΜΒ = ΜΑ + ΜΒ ΜΑ ΜΒ = 0 ΜΑ ΜΒ = 0 Αρα ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ ειναι κυκλος με διαμετρο ΑΒ.

12 Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η δοσμενη σχεση περιεχει μετρο γινομενου διανυσματων και σταθερο θετικο αριθμο. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ. Σ κ ο π ο ς : Μετατροπη της δοσμενης σχεσης, σε μορφη ΜΑ ΜΒ = κ, κ > 0. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Εμφανιζουμε το μεσο Ο του τμηματος ΑΒ, στη δοσμενη σχεση.. Με πραξεις και με τη βοηθεια της ιδιοτητας ΑΒ = ΑΒ καταληγουμε σε: ΟΜ = ρ > Ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι κυκλος κεντρου Ο και ακτινας ρ. Π α ρ α τ η ρ η σ η : Αν τυχαιο σημειο Μ επαληθευει ισοτητα της μορφης ΜΑ ΜΒ = κ, κ > 0 και Α, Β σταθερα γνωστα σημεια, τοτε ο γεωμετρικος τοπος του Μ ειναι κυκλος με κεντρο το μεσο Ο του ΑΒ και ακτινα ρ = 4κ + ΑΒ. Πραγματι ως προς Ο ΟΒ = - ΟΑ ΜΑ ΜΒ = κ (ΟΑ - ΟΜ )(ΟΒ - ΟΜ ) = κ (ΟΑ - ΟΜ )(- ΟΑ - ΟΜ ) = κ Ο μεσο ΑΒ - (ΟΑ - ΟΜ )(ΟΑ + ΟΜ ) = κ ΟΑ - ΟΜ = - κ ΟΜ = κ + ΟΑ ΑΒ 4κ + ΑΒ 4κ + ΑΒ ΟΜ = κ + ΟΜ = ΟΜ = 4

13 Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εστω το ευθυγραμμο τμημα ΑΒ με (ΑΒ) = α και Ο το μεσο του. Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος του μεταβλητου σημειου Μ αν ισχυει : ΜΑ ΜΒ = κ, οπου κ σταθερος θετικος αριθμος. Ο μεσο ΑΒ ρ = κ +α ΟΒ = - ΟΑ (ΟΑ - ΟΜ)(ΟΒ - ΟΜ) = κ (ΟΑ - ΟΜ)(- ΟΑ - ΟΜ) = κ - (ΟΑ - ΟΜ)(ΟΑ + ΟΜ) = κ ΟΑ - ΟΜ = - κ ΟΜ = κ + ΟΑ ΑΒ ΟΜ = κ + 4κ + ΑΒ ΟΜ = 4 4κ + ΑΒ ΟΜ = 4κ + α ΟΜ = 4κ + 4 α ΟΜ = κ + α ΟΜ = ΟΜ = κ + α > 0 Αρα ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ ειναι κυκλος με κεντρο Ο και ακτινα Ειναι ως προς Ο ΜΑ ΜΒ = κ

14 3 Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η δοσμενη σχεση περιεχει ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ, οπου Α, Β, Γ κορυφες τριγωνου. Μ ο ρ φ η Z η τ ο υ μ ε ν ο : Γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ. Σ κ ο π ο ς : Μετατροπη της δοσμενης σχεσης, σε μορφη ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ = κ, κ > 0. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Αντικαθιστουμε : ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ = 3MG (ισχυει), οπου G βαρυκεντρο.. Μετατρεπουμε το η τα αλλα μετρα, σε μετρο ενος διανυσματος και καταλη γουμε σε: MG = ρ > Ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι κυκλος κεντρου G και ακτινας ρ. Π α ρ α τ η ρ η σ η : Αν τυχαιο σημειο Μ επαληθευει ισοτητα της μορφης ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ = κ, κ > 0 και Α, Β, Γ κορυφες τριγωνου ΑΒΓ, τοτε ο γεωμετρικος τοπος του Μ ειναι κυκ κλος με κεντρο G (βαρυκεντρο) και ακτινα ρ =, αφου ισχυει: 3 ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ = 3MG και ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ = κ 3MG = κ...

15 Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) 4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δινεται τριγωνο ΑΒΓ. Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος του μεταβλητου σημει ου Μ αν ισχυει : ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ = ΜΑ - ΜΒ - ΜΓ. Ειναι ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ = 3MG ΜΑ - ΜΒ = BA ΜΑ - ΜΓ = ΓΑ Ετσι ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ = ΜΑ - ΜΒ - ΜΓ 3MG = ΜΑ - ΜΒ + ΜΑ - ΜΓ Δ μεσο ΒΓ 3 MG = ΒΑ + ΓΑ ΒΑ + ΓΑ = ΑΔ 3 MG = ΑΔ MG = ΑΔ 3 MG = ΑG Αρα ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ ειναι κυκλος με κεντρο G και ακτινα ρ = ΑG Eστω G το βαρυκεντρο του τριγωνου ΑΒΓ.

16 5 Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η δοσμενη σχεση περιεχει μετρο γραμμικου συνδιασμου διανυσματων και σταθερο θετικο αριθμο. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ. Σ κ ο π ο ς : Μετατροπη της δοσμενης σχεσης, σε μορφη κ ΜΑ + λ ΜΒ = α, α > 0. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Αν τυχαιο σημειο Μ επαληθευει ισοτητα της μορφης κ ΜΑ + λ ΜΒ = α, α > 0 και Α, Β σταθερα γνωστα σημεια, κανουμε τα εξης: ΑΓ λ ΓΑ λ ΓΑ λ. Θεωρουμε σημειο Γ του ΑΒ τετοιο ωστε () = = - = ΓΒ κ ΓΒ κ κ ΓΒ ΓΑ λ ΜΑ - ΜΓ λ. Σημειο αναφορας το Μ για την (): = - = - κ κ ΓΒ ΜΒ - ΜΓ κμα - κμγ = - λμβ + λμγ κμα + λμβ = (κ + λ)μγ α (κ + λ)μγ = α ΜΓ = 3. Η αρχικη ισοτητα: κ + λ Ετσι, α. ο γεωμετρικος τοπος του Μ ειναι κυκλος με κεντρο Γ και ακτινα ρ = κ + λ

17 Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) 6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν για σταθερα και διαφορετικα μεταξυ τους σημεια Α και Β του επιπεδου ισχυει : 3ΜΑ + ΜΒ = 0, να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος του μεταβλητου σημειου Μ. Αρα ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ ειναι κυκλος με κεντρο Γ και ακτινα ρ =. Ετσι 3ΜΑ + ΜΒ = 0 5ΜΓ = 0 5 ΜΓ = 0 ΜΓ = Εστω σημειο Γ του ΑΒ τετοιο, ωστε ΑΓ ΓΑ ΓΑ σημειο αναφορας Μ = =- = ΓΒ 3 ΓΒ 3 3 ΓΒ ΜΑ - ΜΓ = - 3ΜΑ - 3ΜΓ = - ΜΒ + ΜΓ 3 ΜΒ - ΜΓ 3ΜΑ + ΜΒ = (3 + )ΜΓ 3ΜΑ + ΜΒ = 5ΜΓ ()

18 7 Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η δοσμενη σχεση περιεχει αθροισμα τετραγωνων ( ΜΑ + ΜΒ ) και γνωστο το μετρο του ΑΒ. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ. Σ κ ο π ο ς : Μετατροπη της δοσμενης σχεσης, σε μορφη ΜΑ + ΜΒ = κ, κ > 0. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Εμφανιζουμε το μεσο Ο του τμηματος ΑΒ, στη δοσμενη σχεση.. Με πραξεις και με τη βοηθεια της ιδιοτητας ΑΒ = ΑΒ καταληγουμε σε: ΟΜ = ρ > Ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι κυκλος κεντρου Ο και ακτινας ρ. Π α ρ α τ η ρ η σ η : Αν τυχαιο σημειο Μ επαληθευει ισοτητα της μορφης ΜΑ + ΜΒ = κ, κ > 0 και Α, Β σταθερα σημεια με ΑΒ = λ, λ < κ, τοτε ο γεωμετρικος τοπος του Μ ειναι κυκλος με κεντρο Ο (μεσο του ΑΒ) και ακτινα ρ = κ - λ. Πραγματι Ο μεσο ΑΒ ΜΑ + ΜΒ = κ ( ΜΟ + ΟΑ) + ( ΜΟ + ΟΒ ) = κ ΟΒ = - ΟΑ ΜΟ + ΟΑ + ΜΟ ΟΑ + ΜΟ + ΟΒ + ΜΟ ΟΒ = κ ΑΒ ΜΟ + ΟΑ + ΜΟ ΟΑ - ΜΟ ΟΑ = κ ΜΟ + =κ κ - λ 4ΜΟ + ΑΒ = κ 4 ΜΟ = κ- ΑΒ ΜΟ =

19 Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) 8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εστω Α, Β σταθερα σημεια με ΑΒ = 6. Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος του μεταβλητου σημειου Μ αν ισχυει : ΜΑ + ΜΒ = 6. Ο μεσο ΑΒ ΜΑ + ΜΒ = 6 (ΜΟ + ΟΑ) + (ΜΟ + ΟΒ) = 6 ΟΒ = - ΟΑ ΜΟ + ΟΑ + ΜΟ ΟΑ + ΜΟ + ΟΒ + ΜΟ ΟΒ = 6 ΜΟ + ΟΑ + ΜΟ ΟΑ - ΜΟ ΟΑ = 6 ΑΒ ΜΟ + = 6 4ΜΟ + ΑΒ = 5 4 ΜΟ = 5 - ΑΒ ΜΟ = ΜΟ = ΜΟ = Αρα ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ ειναι κυκλος με κεντρο Ο και ακτινα ρ=. ΜΟ = Ειναι

20 9 Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η δοσμενη σχεση περιεχει γινομενο διανυσματων ( ΜΑ ΜΒ ) και γνωστο το μετρο του ΑΒ. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ. Σ κ ο π ο ς : Μετατροπη της δοσμενης σχεσης, σε μορφη ΜΑ ΜΒ = κ, κ > 0. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Εμφανιζουμε το μεσο Ο του τμηματος ΑΒ, στη δοσμενη σχεση.. Με πραξεις και με τη βοηθεια της ιδιοτητας ΑΒ = ΑΒ καταληγουμε σε: ΟΜ = ρ > Ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι κυκλος κεντρου Ο και ακτινας ρ. Π α ρ α τ η ρ η σ η : Αν τυχαιο σημειο Μ επαληθευει ισοτητα της μορφης ΜΑ ΜΒ = κ, κ και Α, Β σταθερα σημεια με ΑΒ = λ, λ > - 4κ, τοτε ο γεωμετρικος τοπος του Μ ειναι κυκλος με κεντρο Ο (μεσο του ΑΒ) και ακτινα ρ = 4κ + λ. Πραγματι Ο μεσο ΑΒ ΟΒ = - ΟΑ ΜΑ ΜΒ = κ ( ΜΟ + ΟΑ) ( ΜΟ + ΟΒ ) = κ ( ΜΟ + ΟΑ) ( ΜΟ - ΟΑ) = κ ΑΒ ΜΟ - ΟΑ = κ ΜΟ = κ 4 ΜΟ - ΑΒ = 4κ 4 4κ + λ 4 ΟΜ = 4κ + λ ΟΜ =

21 Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) 0 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εστω Α, Β σταθερα σημεια με ΑΒ = 0. Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος του μεταβλητου σημειου Μ αν ισχυει : ΜΑ ΜΒ = - 9. ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ ειναι κυκλος με κεντρο Ο και ακτινα ρ= 4. Αρα Ο μεσο ΑΒ ΟΒ = - ΟΑ ΜΑ ΜΒ = - 9 (ΜΟ + ΟΑ) (ΜΟ + ΟΒ) = - 9 (ΜΟ + ΟΑ) (ΜΟ - ΟΑ) = - 9 ΜΟ - ΟΑ = - 9 ΑΒ ΜΟ = ΜΟ - ΑΒ = 4(- 9) 4 4 ΜΟ - 0 = ΟΜ = ΟΜ = 64 ΟΜ = 6 ΟΜ = 4

22 Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η δοσμενη σχεση περιεχει γινομενο διανυσματων ( ΑΜ AΒ ) και γνωστο το μετρο του ΑΒ. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ. Σ κ ο π ο ς : Μετατροπη της δοσμενης σχεσης, σε μορφη ΑΜ AΒ = κ, κ > 0. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Εμφανιζουμε τη προβολη του διανυσματος ΑΜ πανω στο διανυσμα ΑΒ, ΑΜ ). ( προβ ΑΒ. Με πραξεις καταληγουμε σε: προβ ΑΜ = ρ > 0. ΑΒ 3. Ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι ευθεια, καθετη στο ΑΒ σε συγκεκριμενη αποσταση απ αυτο. Π α ρ α τ η ρ η σ η : Μια διαφορετικη αντιμετωπιση του προβληματος ειναι: Να θεσουμε Μ(x, y) Να αντικαταστησουμε τα ΜΑ, AΒ απο τις συντεταγμενες τους. Να κανουμε πραξεις και να καταληξουμε σε : x = α η y = β (ευθειες).

23 Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δινονται τα σταθερα σημεια Α και Β του επιπεδου με (ΑΒ) =. Να βρειτε το γε ωμετρικο τοπο των σημειων Μ του επιπεδου για τα οποια ισχυει : ΑΜ ΑΒ = 4. Αρα Το διανυσμα ΑΜ εχει σταθερη προβολη πανω στο διανυσμα ΑΒ, που σημαινει Α λ λι ως Θεωρουμε συστημα αξονων με αρχη το Α και αν Β στον ενα αξονα (εστω x'x) τοτε Α(0,0) και Β(,0). Αν Μ(x, y) τυχαιο σημειο που ικανοποιει τη σχεση ΑΜ ΑΒ = 4 τοτε : x = ΑΜ = (x - 0, y - 0) = (x, y) Μ(x,y) ΑΒ = ( - 0, 0-0) = (, 0) Ετσι ΑΜ ΑΒ = 4 (x, y) (, 0) = 4 x + y 0 = 4 x = A(0,0) B(,0) Aρα τα σημεια Μ κινουνται στην ευθεια x = που ειναι καθετη στην ΑΒ στο σημειο Β (ειναι Β(,0)). Δηλαδη ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ ευθεια καθετη στο ΑΒ που διερχεται απ'το Β. οτι το Μ κινειται σε ευθεια καθετη στο ΑΒ που απεχει απ'το Α αποσταση (ση μειο B). Δηλαδη ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ ειναι ευθεια καθετη στο ΑΒ που διερχεται απ'το Β. Ειναι ΑΒ = ΑΜ ΑΒ = 4 προβ ΑΜ ΑΒ = 4 ΑΜ ΑΒ = 4 προβ ΑΒ ΑΒ ΑΜ = 4 προβ ΑΜ = προβ ΑΒ ΑΒ

24 3 Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Z η τ ο υ μ ε ν ο : Γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ. Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η δοσμενη σχεση εχει μορφη OΜ = σχεση μεταξυ κ,λ για Μ(κ, λ) και Ο(0, 0). σημαινει οτι Κ(α, β), αφου Μ(κ, λ). Σ κ ο π ο ς : Μετατροπη της δοσμενης σχεσης, σε μορφη ΚΜ = κ, κ > 0. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Αντικαθιστουμε το μετρο του διανυσματος ΟΜ, απ τη σχεση των συντεταγμενων τους. Μ(κ, λ) και Ο(0, 0) τοτε: ΟΜ =. Με πραξεις καταληγουμε σε: ΚΜ = ρ > 0. (κ - 0) + (λ - 0). 3. Ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι κυκλος κεντρου Κ και ακτινας ρ. Π α ρ α τ η ρ η σ η : Το Κ προκυπτει στη πορεια των πραξεων, αν φθασουμε (κ - α) + (λ - β), που

25 4 Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Για τα σημεια Μ(κ,λ) του καρτεσιανου επιπεδου xoy ισχυει ΟΜ = κ + 4λ -. Να βρειτε το γεωμετρικο τοπο των σημειων Μ. Aν Α(, 4) και Β(,0), τοτε να δειξετε οτι το τριγωνο ΑΜΒ ειναι ορθογωνιο. Ειναι ΟΜ = κ + 4λ - 4 ( (κ - 0) + (λ - 0) ) = κ + 4λ - 3 Α Μ κ + λ = κ + 4λ - κ - κ + + λ - 4λ + 4 = 5 - (κ - ) + (λ - ) = 4 Κ (κ - ) + (λ - ) = ΚΜ = 0 Β Ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ ειναι κυκλος κεντρου Κ(, ) και ακτινας ρ =. Τα σημεια Α και Β ειναι αντιδιαμετρικα του κυκλου (Κ, ) (σχημα), οποτε Β = 90 0 που σημαινει οτι το τριγωνο ΑΜΒ ειναι ορθογωνιο. ΑΜ Κ(,)

26 5 Τ ο π ο ι ( Ε υ θ ε ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η δοσμενη σχεση περιεχει συνηθως σχεσεις τμηματων. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση μια σχεσης μεταξυ x, y (πρωτοβαθμιων). A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Απο συνδιασμο των δοσμενων σχεσεων καταληγουμε σε εξισωση των συντεταγμενων x, y του Μ, που αποτελει τον γ.τ.. Αν οι συντεταγμενες x, y του σημειου Μ συνδεονται με παραμετρο λ, τοτε απαλειφουμε την παραμετρο μεταξυ των συντεταγμενων και καταληγουμε σε εξισωση που ειναι συναρτηση των x, y. 3. Αν οι συντεταγμενες x, y του σημειου Μ συνδεονται με τριγωνομετρικους αριθμους, τοτε χρησιμοποιουμε γνωστη σχεση τριγωνομετρικων αριθμων, ωστε να τους απαλειψουμε (συνηθως χρησιμοποιουμε τη σχεση: ημx + συνx = ) και καταληγουμε σε εξισωση που ειναι συναρτηση των x, y.

27 Τ ο π ο ι ( Ε υ θ ε ι α ) 6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Δινονται τα σημεια Α(3,) και Β(4,6). Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των ση - 3. Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ(3 - ημ θ, + 3συν θ), θ.. Αν Μ(x, y), τοτε : ΜΑ - ΜΒ = 0 ΜΑ - ΜΒ = 0 (x - 3) + (y - ) -[(x - 4) + (y - 6) ] = 0 x - 6x y - y + - (x - 8x y - y + 36) = 0 x - 6x y - y + - x + 8x y + y - 36 = 0 x + 0y - 48 = 0 x + 5y - 4 = 0. Αν Μ(x, y), τοτε : ΜΑ = 3ΜΒ ΑΜ = 3ΜΒ (x - α, y - 0) = 3(0 - x,β - y) (x - α, y) = (- 3x, 3β - 3y) α = 4x x - α = -3x 4 y = 3β - 3y β = 3 y Ομως () () 4 y = x + 4y = 36 3x + y - 9 = 0 3 Ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι η ευθεια (ε ) : 3x + y - 9 = 0. ΟΑ + ΟΒ = α + β = 4x + 3. Αν Μ(x, y) τοτε : 3-x ημ θ = x = 3 - ημ θ y = + 3συν θ συν θ = y - 3 3x - y + = 0 ημ θ + συν θ = 3-x y- + = 9-3x + y - 4 = 6 3 Ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι η ευθεια (ε 3 ) : 3x - y + = 0. Οποτε, ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι η ευθεια (ε ) : x + 5y - 4 = 0. μειων Μ του επιπεδου, για τα οποια ισχυει : ΜΑ - ΜΒ = 0.. Θεωρουμε τα μεταβλητα σημεια Α(α,0) και Β(0, β), με α, β > 0, ετσι ωστε να ι σχυει ΟΑ + ΟΒ =. Αν Γ ειναι σημειο της ΑΒ με ΜΑ = 3ΜΒ, να βρεθει ο γεω μετρικος τοπος των σημειων Μ.

28 7 Τ ο π ο ι ( Ε υ θ ε ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενες οι εξισωσεις δυο ευθειων που περιεχουν παραμετρο, εστω λ. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ο γεωμετρικος τοπος του σημειου τομης των δυο ευθειων. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση μια σχεσης μεταξυ x, y (πρωτοβαθμιων). A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Λυνουμε το συστημα των εξισωσεων των δυο ευθειων.. Δειχνουμε οτι το συστημα εχει λυση. Dy D 3. Βρισκουμε τη λυση : x = x, y = (που περιεχουν την παραμετρο λ). D D Dy D 4. Λυνουμε τις x = x, y =, ως προς λ και εξισωνουμε τα δευτερα μελη των D D ισοτητων που προκυπτουν. 5. Εμφανιζεται η σχεση μεταξυ x, y (πρωτοβαθμιων).

29 8 Τ ο π ο ι ( Ε υ θ ε ι α ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δινονται οι ευθειες (ε ) : (λ - )x + λy - λ = 0 και (ε ) : 3x + (λ + )y - = 0 με λ 4 και λ -. Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των σημειων τομης των πιο πανω ευθειων. (λ - )x + λy - λ = 0 (λ - )x + λy = λ Σ: = 3x + (λ + )y - = 0 3x + (λ + )y = D= λ- λ = λ - 4-3λ = (λ - 4)(λ + ) (ριζες του λ - 3λ - 4 = 0 : λ = - η λ = 4) 3 λ+ Dx = λ λ + λ - λ 3 = λ(λ + ) - λ = λ(λ + - 6) = λ(λ - 4) = (λ - ) - 6λ = λ - 4-6λ = 6λ - 4 = 6(λ - 4) Ειναι λ 4 και λ - ( λ - 4)(λ + ) 0 D 0 Οποτε λ (λ - 4) λ x = λ= x = (λ - 4) (λ + ) λx + x = λ Dx Dy λ + (x, y) = (, ) D D 6 (λ - 4) λy + y = 6 y = 6 λ = y = (λ - 4) (λ + ) λ + 6-y x = xy = - y - 6x + xy 6x + y - = 0 3x + y - 6 = 0 -x y x -x 6-y y Αρα ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι τα σημεια της ευθειας 3x + y - 6 = 0. Dy = λ Τα σημεια τομης των ευθειων ειναι οι λυσεις του συστηματος

30 9 Τ ο π ο ι ( Ε υ θ ε ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενες οι συντεταγμενες τριων απ τις τεσσερις κορυφες παραλληλογραμμου, που περιεχουν παραμετρο, εστω λ. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ο γεωμετρικος τοπος του μεσου καποιας πλευρας η ο γεωμετρικος τοπος της τεταρτης κορυφης παραλληλογραμμου. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση μια σχεσης μεταξυ x, y (πρωτοβαθμιων). A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Αν Μ(x, y) το μεσο τμηματος ΑΒ, τοτε ισχυει: xα +xb x = y = y Α + y B Λυνουμε τις παραπανω, ως προς λ και εξισωνουμε τα δευτερα μελη των ισοτητων που προκυπτουν. Εμφανιζεται η σχεση μεταξυ x, y (πρωτοβαθμιων).. Αν Δ(x, y) η τεταρτη κορυφη του παραλληλογραμμου, τοτε ισχυει η παραλληλια και ισοτητα δυο απεναντι πλευρων (που η μια εχει ακρο το Δ), αρα το ιδιο και για τα αντιστοιχα διανυσματα (ισα). Αντικαθιστωντας τα διανυσματα (στην ισοτητα) με τις συντεταγμενες τους, καταληγουμε στο ζητουμενο.

31 Τ ο π ο ι ( Ε υ θ ε ι α ) 30 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δινονται τα σημεια Α(, 5), Β(7, 4) και Γ(λ + 4, λ - ) με λ.. Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος του μεσου Μ του τμηματος ΑΓ.. Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος της κορυφης Δ του παραλληλογραμμου ΑΒΓΔ. Αφου Μ(x, y) ειναι το μεσο του τμηματος ΑΓ, τοτε xα +xγ + λ - 4 x + 3 x = x = x = λ - 3 λ = x + 3 = y - 4 y + y 5 + λ y = λ + 4 Γ y = Α y = λ = y - 4 x + 3 = 4y - 8 x - 4y + = 0 Αρα ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι η ευθεια με εξισωση x - 4y + = 0. Εστω Δ(x,y) και αφου το ΑΒΓΔ ειναι παραλληλογραμμο, τοτε ΑΔ ΒΓ ΑΔ = ΒΓ (x -, y - 5) = (λ + 4-7, λ - - 4) x+ x - = λ - 3 λ = x+ (x -, y - 5) = (λ - 3, λ - 5) = y x - y + = 0 y - 5 = λ - 5 λ = y Αρα ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι η ευθεια με εξισωση x - y + = 0...

32 3 Τ ο π ο ι ( Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενες οι συντεταγμενες (που περιεχουν ημ, συν) του σημειου Μ, τον γεωμετρικο τοπο του οποιου ζητουμε η δινεται η εξισωση κυκλου c : x + y + Ax + By + Γ = 0. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ο γεωμετρικος τοπος του σημειου Μ η ο γεωμετρικος τοπος των κεντρων του κυκλου c. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση μια σχεσης μεταξυ x, y (πρωτοβαθμιων η δευτεροβαθμιων). A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Εξισωνουμε τις συντεταγμενες του σημειου Μ (που περιεχουν ημ, συν) με x=,y= Λυνουμε τις παραπανω, ως προς ημ και και συν και τετραγωνιζουμε τα δυο μελη. Προσθετουμε κατα μελη, για να χρησιμοποιησουμε τη σχεση : ημ θ + συν θ =. Εμφανιζεται η σχεση μεταξυ x, y (δευτεροβαθμιων).. Αν δινεται η εξισωση κυκλου c: x + y + Ax + By + Γ = 0 Δειχνουμε οτι Α + Β 4Γ > 0 (ωστε η c να ειναι εξισωση κυκλου) A B Αν τα κεντρα ειναι της μορφης Κ(x, y) τοτε: x = y= Λυνουμε τις παραπανω, ως προς λ και εξισωνουμε τα δευτερα μελη των ισοτητων που προκυπτουν. Εμφανιζεται η σχεση μεταξυ x, y (πρωτοβαθμιων).

33 Τ ο π ο ι ( Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς ) 3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Εστω σημειο Α(3 - ημφ, + συνφ), με 0 φ < π. Να αποδειχτει οτι το σημειο Α κινειται σε κυκλο, του οποιου να βρειτε το κεντρο και την ακτινα.. Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των κεντρων των κυκλων με εξισωση : x + y + (λ - )x - λy + λ - 5 = 0, λ. Ειναι x Α = 3 - ημφ ημφ = 3 - x Α ημ φ+συν φ= (3 - x Α ) + (y Α - ) = y Α = + συνφ συνφ = y Α - (x Α - 3) + (y Α - ) = Δηλαδη σημειο Α κινειται στον κυκλο c : (x - 3) + (y - ) =, που εχει κεντρο το σημειο Κ(3,) και ακτινα ρ =. Α + Β - 4Γ = (λ - ) + (- λ) - 4(λ - 5) = λ - 4λ λ - 4λ + 0 = λ - 4λ + > 0 Αφου Δ = 6-48 = - 3 < 0 Αν τα κεντρα ειναι της μορφης Κ(x, y) A λ- x = - x = - λ = - x + - x + = y x + y - = 0 () B λ λ = y y = y = H () ειναι ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος.. Ειναι.

34 33 Τ ο π ο ι ( Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενες οι συντεταγμενες δυο σημειων Α και Β η δινεται η εξισωση κυκλου c και οι συντεταγμενες σημειου Γ. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ο γεωμετρικος τοπος του σημειου Μ που με τα σημεια Α, Β σχηματιζει ορθη γωνια η ο γεωμετρικος τοπος των μεσων των χορδων του κυκλου c που διερχονται απ το σημειο Γ. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση μια σχεσης μεταξυ x, y (δευτεροβαθμιων). A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Και οι δυο περιπτωσεις αναγονται σε καθετοτητα διανυσματων. = Στη περιπτωση που AMB = 90 0 ΑΜ ΒΜ = 0. AMB Αντικαθιστουμε τα διανυσματα ΑΜ, ΒΜ με τις συντεταγμενες τους και λυνουμε την (x M - x A,y M - y A )(x M - x B, y M - y B ) = 0 Εμφανιζεται η σχεση μεταξυ x, y (δευτεροβαθμιων).. Αν δινεται η εξισωση κυκλου c με κεντρο Κ και ζητουμε τον γεωμετρικο τοπο των μεσων Μ των χορδων του κυκλου, που διερχονται απ το σημειο Γ ΑΜ KΜ = 0 (ΚΜ αποστημα). Αντικαθιστουμε τα διανυσματα ΑΜ, ΒΜ με τις συντεταγμενες τους και λυνουμε την (x M - x A, y M - y A )(x M - x K, y M - y K ) = 0 Εμφανιζεται η σχεση μεταξυ x, y (δευτεροβαθμιων).

35 Τ ο π ο ι ( Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς ) 34 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Δινονται τα σημεια Α(-, ) και Β(5, 0). = 90ο. Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ, για τα οποια ΑΜΒ. Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των μεσων των χορδων του κυκλου c : (x - ) + (y - ) = 5, οι οποιες διερχονται απ'το σημειο Α(3,- 4). Αν Μ(x, y) ειναι ενα τυχαιο σημειο του γεωμετρικου τοπου, τοτε : ΑΜ = (x +,y - ) και ΒΜ = (x - 5,y - 0). Ετσι Β = 90ο ΑΜ ΒΜ = 0 (x +, y - )(x - 5, y - 0) = 0 ΑΜ (x + )(x - 5) + (y - )(y - 0) = 0 x - 5x + x y - 0y - y + 0 = 0 x - 4x + y - y + 5 = 0 (x - 4x + 4) + (y - y + 36) + 5 = Τα σημεια Μ κινουνται σε κυκλο με κεντρο Κ(,6) και ακτινα ρ = 5.. Αν Μ(x, y) το μεσο μιας χορδης που διερχεται απ'το σημειο Α(3,4) και αφου Κ(,) το κεντρο του κυκλου, τοτε : ΚΜ = (x -, y - ) και ΑΜ = (x - 3, y + 4) Ομως, η ακτινα του κυκλου ειναι καθετη στην χορδη στο μεσο της. Ετσι ΚΜ ΑΜ = 0 (x -, y - ) (x - 3, y + 4) = 0 (x - )(x - 3) + (y - ) (y + 4) = 0 x - 3x - x y + 4y - y - 8 = 0 x - x + y + y - 5 = 0 (x - x + ) + (y + y + ) = 7 (x - ) + (y + ) = 7 Οποτε τα μεσα των χορδων κινουνται σε κυκλο με κεντρο Ο(,-) και ακτινα ρ = 7. (x - ) + (y - 6) = 5 Οποτε.

36 35 Τ ο π ο ι ( Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενες οι συντεταγμενες των κορυφων τριγωνου και σχεση μεταξυ των αποστασεων σημειου Μ απ τις κορυφες. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ο γεωμετρικος τοπος του σημειου Μ. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση μια σχεσης μεταξυ x, y (δευτεροβαθμιων). A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Θετουμε Μ(x, y).. Aντικαθιστουμε στη δοσμενη σχεση, ειτε με τη βοηθεια του μετρου (αν υπαρ χουν τετραγωνα αφου ΑΒ = (ΑΒ), ειτε απ τον τυπο της αποστασης δυο σημειων (αν Α (x Α, y Α ), Β(x B,y B ), τοτε (ΑΒ) = (x Β - x A ) + (y Β - y A ). 3. Εμφανιζεται η σχεση μεταξυ x, y (δευτεροβαθμιων). Π α ρ α τ η ρ η σ η : Αν Α(x Α, y Α ), Β(x B,y B ) και Γ(x Γ,y Γ ), τοτε G( x Α + xb + xγ y Α + yb + yγ, ) 3 3

37 Τ ο π ο ι ( Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς ) 36 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Eστω τριγωνο με κορυφες Α(3, 5), Β(, - 4) και Γ(-5, - ). Να αποδειξετε οτι ο γε ωμετρικος τοπος των σημειων Μ για τα οποια ισχθει ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ = 07 ειναι κυκλος με κεντρο το κεντρο βαρους του τριγωνου ΑΒΓ. MA + MB + MΓ = 07 (x - 3) + (y - 5) + (x - ) + (y + 4) + (x + 5) + (y + ) = 07 3x + 3y = 7 x + y = 3 Αρα, ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ ειναι ο κυκλος με κεντρο το σημειο O(0,0) και ακτινα ρ = 3. Το κεντρο του κυκλου αυτου ειναι το κεντρο βαρους του τριγωνου ΑΒΓ, αφου = 0 και = Ενα σημειο M(x, y) ειναι σημειο του τοπου, αν και μονο αν ισχυει

38 37 Τ ο π ο ι ( Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενη η εξισωση της παραβολης. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ο γεωμετρικος τοπος των κεντρων Κ κυκλων που συνδεονται με την παραβολη. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση μια σχεσης μεταξυ x, y (δευτεροβαθμιων ως προς ενα απ τους x, y). A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Βρισκουμε τα στοιχεια της παραβολης (Ε, p ).. Θετουμε Α( x 0, y 0 ), οπου Α κοινο σημειο κυκλου παραβολης. 3. Βρισκουμε τις συντεταγμενες του κεντρου Κ (που περιεχουν x 0, y 0 ) και εξισωνουμε την τετμημενη με x και την τεταγμενη με y. 4. Λυνουμε τις παραπανω ισοτητες ως προς x 0, y Αντικαθιστουμε τα x 0, y 0 στην εξισωση της παραβολης, αφου το σημειο Α ειναι σημειο της παραβολης. 6. Εμφανιζεται η σχεση μεταξυ x, y (δευτεροβαθμιων ως προς ενα απ τους x, y). Π α ρ α τ η ρ η σ η : Αν Α(x Α, y Α ), Β(x B, y B ), τοτε το μεσο Μ του ΑΒ : Μ( xα +xb yα + yb, )

39 Τ ο π ο ι ( Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς ) 38 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εστω ενα σημειο Α της παραβολης y = 4x. Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των κεντρων των κυκλων διαμετρου ΑΕ (Ε η εστια της παραβολης). Eιναι y = 4x y = x, oποτε p p Ε,0 η Ε(,0) (ΑΕ) = x0 + = x0 +. To κεντρο του κυκλου διαμετρου ΑΕ ειναι το μεσο της ΑΕ, δηλαδη p= βολης. Ετσι ( ) y 0 = 4x0 (y) = 4 (x - ) 4 y = 4 (x - ) y = x - x + y0 ΑΕ x0 + Κ 0, και η ακτινα ρ = =. x0 + x = x = x - 0 Αν K(x, y) τοτε () y y = y 0 y = 0 Οι συντεταγμενες του σημειου Α, x 0, y 0 επαληθευουν την εξισωση της παρα - Εστω Α(x0, y 0 ).

40 39 Τ ο π ο ι ( Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενη η εξισωση της παραβολης, που περιεχει παραμετρο, εστω λ. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ο γεωμετρικος τοπος των κορυφων Κ των παραβολων. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση μια σχεσης μεταξυ x, y (δευτεροβαθμιων ως προς ενα απ τους x, y). A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Μετασχηματιζουμε τη δοσμενη εξισωση ωστε να εχει μορφη: (y - y0) = p(x x0) η (x x0) = p(y - y0), ( x 0, y 0 περιεχουν παραμετρο λ).. Οι κορυφες των παραβολων ειναι της μορφης: Κ( x 0, y 0 ). 3. Για τυχαια κορυφη Κ(x, y) ειναι: x = x0 και y = y0. 4. Λυνουμε τις παραπανω ισοτητες ως προς τη παραμετρο λ και εξισωνουμε τα δευτερα μελη. 5. Εμφανιζεται η σχεση μεταξυ x, y (δευτεροβαθμιων ως προς ενα απ τους x, y).

41 Τ ο π ο ι ( Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς ) 40 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των κορυφων των παραβολων με εξισωση : y = x + (λ + 3)x + λ -, λ. Η δοσμενη εξισωση γινεται λ+3 λ+3 λ+3 y = x + x λ - λ + 3 λ + 6λ + 9 4λ 4 y = x λ + 3 λ + 6λ + 9-4λ + 4 y = x+ 4 λ + λ + 3 λ+3 y+ = x+ 4 λ + 3 λ + λ + 3 Δηλαδη, οι κορυφες των παραβολων ειναι της μορφης Κ, 4 Για τυχαια κορυφη Κ(x, y) της παραβολης ισχυει : λ+3 λ = - x - 3 x = λ + λ + 3-4y = (- x - 3) + (- x - 3) + 3 y = - λ + λ + 3 y = 4 4-4y = 4x + x + 9-4x y = 4x + 8x + 6 y = - x - x - 4 y + 3 = - x - x - y + 3 = - (x + ) H πιο πανω παραβολη ειναι ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος. λ + 3 λ + λ + 3 y = x + 4 y = x + (λ + 3)x + λ -

42 4 Τ ο π ο ι ( Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενες οι συντεταγμενες σημειου Μ, που περιεχουν παραμετρο, εστω λ. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη οτι ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ ειναι παραβολη με εστια σε γνωστη ευθεια. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση μια σχεσης μεταξυ x, y (δευτεροβαθμιων ως προς ενα απ τους x, y). A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Εξισωνουμε τις συντεταγμενες του σημειου Μ, με x, y.. Απαλειφουμε την παραμετρο λ, στο συστημα των εξισωσεων που προκυπτει (). 3. Εμφανιζεται η σχεση μεταξυ x, y (δευτεροβαθμιων ως προς ενα απ τους x, y). 4. Βρισκουμε τα στοιχεια της παραβολης. 5. Δειχνουμε οτι οι συντεταγμενες της εστιας επαληθευουν την εξισωση της γνωστης ευθειας.

43 Τ ο π ο ι ( Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς ) 4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Θεωρουμε τα σημεια Μ(4t, 4t),t σε ορθοκανονικο συστημα Οxy και την ευθεια ε : αx - y - α = 0 με α 0. Να αποδειξετε οτι τα σημεια Μ κινουνται σε μια παραβολη c, της οποιας η εστια Ε ανηκει στην ευθεια ε. y x = 4 x = 4t y y 4 x=4 x= c : y = 4x 6 4 y = 4t t = y 4 Aρα τα σημεια Μ κινουνται στην παραβολη c, που εχει p = και εστια Ε(,0). Ε ε αφου οι συντεταγμενες του επαληθευουν την εξισωση της ε. Πραγματι α α = α - α = 0 Εστω Μ(x, y)

44 43 Τ ο π ο ι ( Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς ) ΜΕΘΟΔΟΣ Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ο γεωμετρικος τοπος των μεσων των χορδων της (c) που ειναι παραλληλες στην (ε). Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενες οι εξισωσεις της ελλειψης (c) και της ευθειας (ε). Αν Α(x Α, y Α ), Β(x B, y B ), τοτε το μεσο Μ του ΑΒ : Μ( Σ κ ο π ο ς : Ευρεση μια σχεσης μεταξυ x, y. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Εστω Μ(x, y) τυχαιο σημειο του γεωμετρικου τοπου και Α(x Α, y Α ), Β(x B, y B ) x +xb y Α + yb τα ακρα τυχαιας χορδης ΑΒ, οποτε Μ( Α, ), οποτε λυνουμε ως προς x, y.. Ειναι λαβ = λε Οι κορυφες των παραβολων ειναι της μορφης: Κ( x 0, y 0 ). 3. Oι συντεταγμενες των Α, Β (σημεια της (c)) επαληθευουν την εξισωση της (c). 4. Εμφανιζεται η σχεση μεταξυ x, y. Παρατηρηση: xα +xb yα + yb, )

45 Τ ο π ο ι ( Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς ) 44 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εστω η ελλειψη 3x + y = 3 και η ευθεια ε : y = x + 3. Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των μεσων των χορδων της ελλειψης που ειναι παραλληλες στην ευθεια ε. Το Μ ειναι μεσο της χορδης ΑΒ. Aν Α(x, y ) και B(x, y ) τοτε : x 0 = Ακομη ΑΒ ε λ ΑΒ = λ ε x +x y +y και y 0 = () y -y = () x -x Οι συντεταγμενες των Α, Β επαληθευουν την εξισωση της ελλειψης, οποτε : x0 + y 0 = 0 3 x 0 + y 0 = x 0 + y 0 = 0 Αρα ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος : 3x + y = 0 x y + = (- ) x x y y 3 + =0 3 3 x + y = 3 (x + x )(x - x ) + (y + y )(y - y ) = 0 3 ( ) y -y (x + x ) + (y + y ) = 0 ( ) 3 x -x Εστω Μ(x 0, y 0 ) τυχαιο σημειο του γεωμετρικου τοπου.

46 45 Τ ο π ο ι ( Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενες οι εξισωσεις δυο ευθειων (ε), (ε) που περιεχουν παραμετρο, εστω λ. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ο γεωμετρικος τοπος των σημειων τομης των δυο ευθειων. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση μια σχεσης μεταξυ x, y. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Λυνουμε το συστημα των εξισωσεων των δυο ευθειων.. Απαλειφουμε την παραμετρο λ. 3. Εμφανιζεται η σχεση μεταξυ x, y. Π α ρ α τ η ρ η σ η : Για να τεμνονται οι δυο ευθειες, βασικη προυποθεση : το συστημα των εξισωσεων τους να εχει λυση.

47 46 Τ ο π ο ι ( Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δινονται οι εξισωσεις (ε ) : λx - y = λ και (ε ) : x + λy =, λ 0. Να δειχτει οτι : οι πιο πανω εξισωσεις παριστανουν ευθειες που τεμνονται για καθε λ * το σημειο τομης τους κινειται σε μια ελλειψη, της οποια να βρειτε τις εστιες Στις εξισωσεις (ε ) και (ε ), οταν ο ενας αγνωστος μηδενιζεται ο αλλος ειναι διαφορετικος του μηδενος (δεν μηδενιζουν ταυτοχρονα οι δυο αγνωστοι) για καθε λ 0. Ετσι οι (ε ) και (ε ), παριστανουν ευθειες. Ομως Ειναι λx - y = -λ y = λx + λ (.) λy = - 4λ(x + )(x - ) λy = - 4λx + 4λ x + λy = λy = - x y = 4 Ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι ελλειψη με εστιες πανω στον αξονα y'y. y + 4x = 4 x + Ακομη α = 4 Ετσι, ε = β = οποτε γ = 4 - = 3 γ 3 ε= α και Ε'(0,- 3 ), Ε(0, 3 ). λx - y = - λ λ - και D = = λ + 0 λ x + λy = που σημαινει οτι το συστημα εχει λυση, οποτε οι δυο ευθειες τεμνονται. και την εκκεντροτητα.

48 47 Τ ο π ο ι ( Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενες οι αποστασεις σημειου Μ απο γνωστα σημεια η ευθειες. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση μια σχεσης μεταξυ x, y. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Λυνουμε την εξισωση που προκυπτει απ τα δοσμενη για τις αποστασεις του σημειου Μ.. Εμφανιζεται η σχεση μεταξυ x, y. Παρατηρηση: Α x0 + B y0 + Γ d(a,ε) =, οπου (ε): Αx + By + Γ = 0 και Α(x 0, y 0 ). Α +Β

49 Τ ο π ο ι ( Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς ) 48 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ του επιπεδου, που η αποστα ση τους απ'το σημειο Ε(4,0) ισουται με την διπλασια αποσταση τους απο την ευθεια (ε) : x =. Στη συνεχεια, βρειτε την εκκεντροτητα της γραμμης που προκυπτει. (ΜΕ) = d(m,ε) (x - 4) + (y - 0) = x - (x - 4) + y = 4(x - ) x - 8x y = 4x - 8x + 4 3x - y = x y = 4 Αρα, ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι υπερβολη. Ακομη α = 4 β = οποτε γ = 4 + = 4 γ 4 Ετσι, ε = = = α Αν Μ(x, y) τυχαιο σημειο του γεωμ.τοπου,τοτε :

50 49 Τ ο π ο ι ( Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενες οι εξισωσεις δυο ευθειων (ε), (ε) που περιεχουν παραμετρο, εστω λ. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ο γεωμετρικος τοπος των σημειων τομης των δυο ευθειων. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση μια σχεσης μεταξυ x, y. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Λυνουμε το συστημα των εξισωσεων των δυο ευθειων.. Απαλειφουμε την παραμετρο λ. 3. Εμφανιζεται η σχεση μεταξυ x, y. Π α ρ α τ η ρ η σ η : Για να τεμνονται οι δυο ευθειες, βασικη προυποθεση : το συστημα των εξισωσεων τους να εχει λυση.

51 Τ ο π ο ι ( Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς ) 50 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Nα βρειτε το γεωμετρικο τοπο των σημειων τομης των ευθειων ε : α y = β (x - λ α) και ε : λ α y = β (α - λ x) για καθε λ. αy = β(x - λα) αy = βx - λαβ λαβ = βx - αy λ = βx - αy () αβ λαy = β(α - λx) λαy = αβ - λβx λαy + λβx = αβ (βx + αy)λ = αβ αβ λ= () βx + αy Απο () και () : βx x y = - = α β α β α β αy Αρα, ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι υπερβολη. Αν Μ(x, y) τυχαιο σημειο του γεωμ.τοπου,τοτε : βx - αy αβ (βx - αy)(βx + αy) = α β β x - α y = α β = αβ βx + αy Ειναι

52 5 Τ ο π ο ι ( Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενες οι συντεταγμενες σημειου Μ, που περιεχουν τριγωνομετρικους αριθμους. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ευρεση του γεωμετρικου τοπου των σημειων Μ. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση μια σχεσης μεταξυ x, y (δευτεροβαθμιων ως προς x, y). A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Εξισωνουμε τις συντεταγμενες του σημειου Μ, με x, y.. Τετραγωνιζουμε τις δυο εξισωσεις. 3. Λυνουμε ως προς ημ θ και συν θ. 4. Χρησιμοποιουμε τη σχεση : ημ θ + συν θ =. 5. Εμφανιζεται η σχεση μεταξυ x, y.

53 Τ ο π ο ι ( Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς ) 5 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜ Α Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ(4εφθ, 3 π π ) με θ (-, ). συνθ Ειναι 6y 9x 44 y x y x = = - = Αρα ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ ειναι η υπερβολη c : y x = ημ θ 6( - συν θ) 4ημθ x = x = 9 9 x= x = 4εφθ συνθ y y 3 3 y = 9 9 συνθ συνθ = y συν θ = συν θ = y y 6y ( - ) y y x = x = 9x = 6y y - 9x = y y Εστω M(x, y).

54 53 Τ ο π ο ι ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι ) ΜΕΘ ΟΔΟ Σ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Ισοτητα που περιεχει τον μιγαδικο αριθμο z. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ευρεση του γεωμετρικου τοπου των εικονων του μιγαδικου z. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση μια σχεσης μεταξυ x, y. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Θετουμε z = x + yi.. Αντικαθιστουμε τον μιγαδικο z στη δοσμενη σχεση με x + yi. 3. Εμφανιζεται η σχεση μεταξυ x, y.

55 Τ ο π ο ι ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι ) 54 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν α, β και α + β 0, να αποδειχτει oτι η εικονα του μιγαδικου α + iβ αριθμου w = κινειται σε μια ευθεια, για κaθε τιμη των α, β. α +β x= α () α +β y= α α +β () Aρα η εικονα του w κινειται στην ευθεια: x + y = Προσθετοντας κατα μελη τις (), () β α +β α x + y = x+y= x+y= + α +β α +β α +β Εστω w = x + y i. Tοτε α + iβ α + iβ β α w= x + yi = x + yi = + i α +β α +β α +β α +β

56 55 Τ ο π ο ι ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η δοσμενη σχεση : Re(f(z)) = Im(f(z)). Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ευρεση του γεωμετρικου τοπου των εικονων του μιγαδικου z. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση μια σχεσης μεταξυ x, y. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Θετουμε περιορισμους για τον z. Θετουμε w = f(z) και z = x + yi. 3. Φερνουμε τον μιγαδικο αριθμο w στη μορφη: w = α + βi. 4. Απ τη δοσμενη σχεση προκυπτει: α = β. 5. Εμφανιζεται η σχεση μεταξυ x, y. Παρατηρηση: Προσοχη γιατι καποια σημεια του γεωμετρικου τοπου να εξαιρουνται, λογω του περιορισμου.

57 Τ ο π ο ι ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι ) 56 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των εικονων Μ των μιγαδικων αριθμων z, z- z- για τους οποιους ισχυει: Im = Re. z-6 z-6 Aν w = z- με z 6 και z = x + y i με y 0, z-6 ειναι z - (x - ) + yi [(x - ) + yi][(x - 6) - yi] w= = = = z - 6 (x - 6) + yi (x - 6) + y (x - )(x - 6) + y + [- y(x - ) + y(x - 6)] i = = (x - 6) + y x + y - 8x + 4y i = (x - 6) + y (x - 6) + y. g r ( x 8 x + 6 ) + ( y + 4y + 4 ) = 8 ( x 4 ) + ( y + ) = 8 Αρα ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ ειναι κυκλος με κεντρο Κ( 4, - ) και ακτινα ρ =, με εξαιρεση το σημειο (6, 0), που επαληθευει την εξισωση του κυκλου, αλλα το απαγορευει ο περιορισμος. Oμως Im(w) = Re(w) x + y - 8x + = - 4y

58 57 Τ ο π ο ι ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενες ο μιγαδικος αριθμος σε κανονικη μορφη, που περιεχουν τριγωνομετρικους αριθμους. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ευρεση του γεωμετρικου τοπου των εικονων του τριγωνομετρικου αριθμου. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση μια σχεσης μεταξυ x, y. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Φερνουμε τον μιγαδικο αριθμο σε κανονικη μορφη, αν δεν ειναι ηδη.. Εξισωνουμε: x = Re(z), y = Im(z). 3. Λυνουμε ως προς ημθ και συνθ και τετραγωνιζουμε. 4. Χρησιμοποιουμε τη σχεση : ημ θ + συν θ =. 5. Εμφανιζεται η σχεση μεταξυ x, y.

59 Τ ο π ο ι ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι ) 58 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να δειχτει οτι για καθε τιμη του πραγματικου αριθμου θ [0, π) η εικονα του μιγαδικου αριθμου z = ( - ημθ) + ( + συνθ)i κινειται σε κυκλο, ο οποιος και να προσδιοριστει. Toτε x + yi = ( - ημθ) + ( + συνθ)i x = - ημθ και y = + συνθ ημθ = - x () συνθ = y - () Iσχυει ημ θ + συν θ =, οποτε λογω των () και () ( - x) + (y - ) = (x - ) + (y ) = Δηλαδη η εικονα του z κινειται σε κυκλο με κεντρο Κ(, ) και ακτινα ρ =. Εστω z = x + yi.

60 59 Τ ο π ο ι ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Ισοτητα μιγαδικων σε κανονικη μορφη, που περιεχουν παραμετρο, εστω λ. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ευρεση του γεωμετρικου τοπου των εικονων του τριγωνομετρικου αριθμου. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση μια σχεσης μεταξυ x, y. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Φερνουμε τους μιγαδικους αριθμους σε κανονικη μορφη, αν δεν ειναι ηδη.. Εξισωνουμε: Re(w) = Re(z), Im(w) = Im(z). 3. Λυνουμε ως προς λ τις παραπανω εξισωσεις. 4. Εξισωνουμε τα δευτερα μελη των εξισωσεων που προκυπτουν. 5. Εμφανιζεται η σχεση μεταξυ x, y.

61 Τ ο π ο ι ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι ) 60 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν x, y, λ και (x - y) + (4x y )i = λ + (λ + )i, να δειχτει οτι, ανεξαρτητα απ τις τιμες που παιρνει το λ, το σημειο Μ(x, y), ως προς το ορθοκανονικο συστημα αναφορας Οxy, ανηκει σε κυκλο, του οποιου να βρεθει το κεντρο και η ακτινα του. x - y = λ () και 4x y = λ + 4x y = λ () Απο τις () και () προκυπτει x - y = 4x y x - y - 4x + y = - (x - 4x + 4) + (y - y + ) = 4 Αρα το σημειο Μ(x, y) κινειται σε κυκλο με κεντρο Κ(, ) και ακτινα ρ =. (x - ) + (y ) = Η δοσμενη σχεση δινει:

62 6 Τ ο π ο ι ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενος ο μιγαδικος αριθμος w = f(z) με w πραγματικο (φανταστικο). Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ευρεση του γεωμετρικου τοπου των εικονων του τριγωνομετρικου αριθμου z. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση μια σχεσης μεταξυ x, y. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Θετουμε περιορισμο, αν χρειαζεται.. Εξισωνουμε: z = x + yi. 3. Αφου w πραγματικος (φανταστικος) ισχυει: w = w (w = - w) (). 4. Αντικαθιστουμε τον z στην (). 5. Εμφανιζεται η σχεση μεταξυ x, y. Παρατηρηση: Προσοχη γιατι καποια σημεια του γεωμετρικου τοπου να εξαιρουνται, λογω του περιορισμου.

63 Τ ο π ο ι ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι ) 6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των εικονων Μ των μιγαδικων αριθμων z, i για τους οποιους o αριθμος w = ειναι πραγματικος. z + Πρεπει z + 0 z ± i, που σημαινει πως τα σημεια (0,) και (0,-) δεν μπορει να ειναι εικονες του z. Aφου w ειναι πραγματικος, τοτε i w = w - = z + i z + - (z + ) = z + - (x y + xyi + ) = x - y - xyi + y - x = Aρα ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ ειναι ισοσκελης υπερβολη με εξισωση y - x =, εξαιρουμενων των σημειων (0, ) και (0, - ), τα οποια επαληθευουν την εξισωση της υπερβολης, αλλα τα απαγορευει ο περιορισμος. x - y + = 0 Εστω z = x + yi με x, y ℝ.

64 63 Τ ο π ο ι ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Ισοτητα δυο μιγαδικων αριθμων, εστω w, z, με δοσμενο τον γεωμετρικο τοπο των εικονων του z. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ευρεση του γεωμετρικου τοπου των εικονων του τριγωνομετρικου αριθμου w. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση μια σχεσης μεταξυ x, y. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Θετουμε: z = α + βi, w = x + yi.. Tα α, β επαληθευουν την εξισωση της γραμμης που κινουνται οι εικονες του μιγαδικου αριθμου z ( εμφανιζουμε σχεση μεταξυ των α, β). 3 Aντικαθιστουμε τα z = α + βi, w = x + yi στη δοσμενη σχεση, ωστε να προκυψει ισοτητα μιγαδικων. 4. Απαλειφουμε τα α, β στο συστημα : Re(z) = Re(z), Im(z) = Im(z) που προκυπτει. 5. Εμφανιζεται η σχεση μεταξυ x, y.

65 Τ ο π ο ι ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι ) 64 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν η εικονα του z κινειται στην ευθεια ε : y = x +, στο μιγαδικο επιπεδο, να δειξετε οτι η εικονα του w = ( + i)z + z + i κινειται σε ευθεια της οποιας να βρειτε την εξισωση. μιγαδικο επιπεδο. Το σημειο Μ(α, β) κινειται στην ευθεια ε: y = x +, οποτε θα ισχυει: β = α + () Ειναι w = ( + i)z + z + i x + yi = ( + i)(α + βi) + α βi + i x + yi = (3α - β) + (α + β + )i Aρα () x = 3α - α - x = α - y x = 3 y = x + 3 y = α + β + y = α + α + + y = α + Δηλαδη η εικονα του μιγαδικου w κινειται στην ευθεια y = x + 3. x = 3α - β Εστω z = α + βi, w = x + yi και M(α, β), Ν(x, y) αντιστοιχα οι εικονες τους στο

66 65 Τ ο π ο ι ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενος μιγαδικος z σε συναρτηση με x, y και μιγαδικος w σε συναρτηση με τον z, που η εικονα του (Μ(w)) ανηκει στον αξονα y y (x x). Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ευρεση του γεωμετρικου τοπου των εικονων των τριγωνομετρικων αριθμων w και z. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση μια σχεσης μεταξυ x, y. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Αντικαθιστουμε στη δοσμενη σχεση, w = f(z), τον z και φερνουμε το w σε μορφη: w = x + yi.. Αφου Μ(w) ανηκει στον αξονα y y (x x) : Re(w) = 0 (Im(w) = 0). 3. Προκυπτει η εξισωση της γραμμης που κινειται η εικονα του μιγαδικου w. 4. Για την ευρεση του γεωμετρικου τοπου των εικονων του μιγαδικου z: Θετουμε z = α + βi Εξισωνουμε : α = Re(z), β = Im(z) Λυνουμε το πιο πανω συστημα ως προς x, y Αντικαθιστουμε τα x, y που βρηκαμε στην εξισωση του γεωμετρικου τοπου των M(w) (αφου προκειται για τα ιδια x, y) Προκυπτει η εξισωση της γραμμης που κινειται η εικονα του μιγαδικου z.

67 Τ ο π ο ι ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι ) 66 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ z-6, με z - 6 στο μιγαδικο z+6 επιπεδο βρισκεται στον αξονα y'y, να δειξετε οτι : α) το σημειο ( x, y ) ανηκει σε ελλειψη. Αν z = x + 3yi, με x, y και η εικονα του w = α) w= = z - 6 (x - 6) + 3yi [(x - 3) + 3yi] [(x + 3) - 3yi] = = = z + 6 (x + 6) + 3yi [(x + 3) + 3yi] [(x + 3) - 3yi] 4 (x - 9) - 9y i - 6(x - 3) yi + 6(x + 3)yi = 4(x + 3) + 9y = 4 (x - 9) - 9y 36y + i 4(x + 3) + 9y 4(x + 3) + 9y Για να ανηκει η εικονα του w στον yy πρεπει : 4 (x - 9) - 9y Re (w) = 0 = 0 4 (x - 9) - 9y = 0 4(x + 3) + 9y x y + = () x y = 0 4 x + 9 y = 36 Ελλειψη με α = 9 α = 3, β = 4 β = και εστιες Ε'(- 5, 0), Ε( 5, 0). β) Αν z = x + yi x + 3yi = x + yi x y x x = 3 ( ) x = x x y + = + = x + y = y = 3y y = y 3 Ο γ.τ. του Μ(z) κυκλος κεντρου (0,0), ακτινας 6 (εκτος του σημειου (- 6,0)) 4 (x - 9) - 9y - 6xyi + 8yi + 6xyi + 8yi = + = 4(x + 3) + 9y 4(x + 3) + 9y β) ο γεωμετρικος τοπος του Μ(z) ειναι κυκλος.

68 67 Τ ο π ο ι ( Μ ε τ ρ ο Μ ι γ α δ ι κ ο υ ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η δοσμενη σχεση περιεχει μετρο του z. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ευρεση του γεωμετρικου τοπου των εικονων του μιγαδικου z. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση μια σχεσης μεταξυ x, y. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Θετουμε z = x + yi.. Αντικαθιστουμε στη δοσμενη σχεση προκυπτει: α = β. 3. Εμφανιζεται η σχεση μεταξυ x, y. Παρατηρηση: Προσοχη γιατι καποια σημεια του γεωμετρικου τοπου να εξαιρουνται, λογω του περιορισμου.

69 Τ ο π ο ι ( Μ ε τ ρ ο Μ ι γ α δ ι κ ο υ ) 68 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δινονται οι μιγαδικοι αριθμοι z για τους οποιους ισχυει z = + Re(z). Να δειξετε οτι ο γεωμετρικος τοπος των εικονων των μιγαδικων z ειναι η παραβολη με εξισωση: y = 4 x. z - = + Re(z) (x - ) + yi = + x (x - ) + y = + x (για x - ) (x - ) + y = ( + x ) x - x + + y = x + x + y = 4 x, (παραβολη). Αν z = x + y i, με x,y ℝ, τοτε ειναι :

70 69 Τ ο π ο ι ( Μ ε τ ρ ο Μ ι γ α δ ι κ ο υ ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενες ισοτητες η ανισοτητες του μετρου ενος μιγαδικου αριθμου z. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ευρεση του γεωμετρικου τοπου των εικονων του μιγαδικου αριθμου z (Κ Υ Κ Λ Ο Σ ). Σ κ ο π ο ς : Ευρεση μια σχεσης μεταξυ x, y (δευτεροβαθμιων ως προς x, y). A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Αν για τον μιγαδικο z ειναι: z = ρ, με ρ > 0 τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι κ υ κ λ ο ς κεντρου K(0,0) και ακτινας ρ. Αν για τον μιγαδικο z ειναι: z - z = ρ, με ρ > 0 και z(x,y), τοτε ο γ. τοπος των εικονων του z ειναι κ υ κ λ ο ς κεντρου K(x, y) και ακτινας ρ. Αν για τον μιγαδικο z ειναι: z ρ, με ρ > 0 τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι κ υ κ λ ι κ ο ς δ ι σ κ ο ς κεντρου K(0, 0) και ακτινας ρ. Αν για τον μιγαδικο z ειναι: z - z ρ, με ρ > 0 και z(x, y), τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι κ υ κ λ ι κ ο ς δ ι σ κ ο ς κεντρου K(x, y) και ακτινας ρ. Αν για τον μιγαδικο z ειναι: z > ρ, με ρ > 0 τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι ο χ ω ρ ο ς ε κ τ ο ς τ ο υ κ υ κ λ ι κ ο υ δ ι σ κ ο υ κεντρου K(0, 0) και ακτινας ρ. Αν για τον μιγαδικο z ειναι: z - z > ρ, με ρ > 0 και z(x,y), τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι ο χ ω ρ ο ς ε κ τ ο ς τ ο υ κ υ κ λ ι κ ο υ δ ι σ κ ο υ κεντρου K(x, y) και ακτινας ρ. Στη περιπτωση που επιπλεον ζητειται μεγιστο και ελαχιστο μετρο του μιγαδικου τοτε ισχυει: z max = OK + ρ και z min = OK ρ οπου Ο η αρχη των αξονων και Κ, ρ το κεντρο και η ακτινα του κυκλου αντιστοιχα, ενω αν ζητειται ο μιγαδικος με το μεγιστο η ελαχιστο μετρο, με την βοηθεια της εξισωσης της ευθειας ΟΚ και της εξισωσης του κυκλου, προσδιοριζουμε τα x,y του z = x + y i.

71 Τ ο π ο ι ( Μ ε τ ρ ο Μ ι γ α δ ι κ ο υ ) 70 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρειτε που ανηκουν οι μιγαδικοι z για τους οποιους ισχυει : z = z + + i = 3 < z < z Αν z =, τοτε ο z θα απεχει απο το O(0,0) αποσταση ιση με. Αρα, ο z θα βρισκεται σε κυκλο κεντρου Ο και ακτινας ρ =, που εχει εξισωση x + y =. Αν z - i =, ο z θα απεχει απο τον μιγαδικο i (δηλαδη απο το σημειο Κ(0,)) αποσταση σταθερη ιση με. Αρα, ο z θα βρισκεται σε κυκλο κεν τρου Κ(0,) και ακτινας ρ =, που εχει εξισωση : x + (y - ) =. εχει εξισωση (x + ) + (y + ) = 9. Αν < z <, τοτε ο z θα βρισκεται μεταξυ των κυκλων με κεντρο το O(0,0) και ακτινες ρ = και ρ =. Αν z, τοτε ο z θα βρισκεται στο εξωτερικο του κυκλου κεντρου O(0,0) και ακτινας ρ = η πανω στον κυκλο αυτο. Ομοια, αν z + + i = 3, δηλαδη αν z - (- - i) = 3, τοτε ο z θα απεχει απ'τον μιγαδικο (- - i) αποσταση ιση με 3. Αρα, ο z θα βρισκεται σε κυκλο κεντρου K(-,-) και ακτινας ρ = 3, που z - i =

72 7 Τ ο π ο ι ( Μ ε τ ρ ο Μ ι γ α δ ι κ ο υ ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενη σχεση μεταξυ των μιγαδικων αριθμων z, w καθως και το μετρο του μιγαδικου αριθμου w. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Eυρεση του γεωμετρικου τoπου των εικονων του μιγαδικου αριθμου z. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση μια σχεσης μεταξυ x, y (δευτεροβαθμιων ως προς x, y). A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :. Λυνουμε τη δοσμενη σχεση ως προς w.. Παιρνουμε τα μετρα των μελων της σχεσης που προκυπτει (περιεχει το γνωστο w ). 3. Kαταληγουμε σε μια απ τις περιπτωσεις της πρηγουμενης περιπτωσης. 4. Στη περιπτωση που επιπλεον ζητειται μεγιστο και ελαχιστο μετρο του μιγαδικου τοτε ισχυει: z max = OK + ρ και z min = OK - ρ οπου Ο η αρχη των αξονων και Κ, ρ το κεντρο και η ακτινα του κυκλου αντιστοιχα, ενω αν ζητειται ο μιγαδικος με το μεγιστο η ελαχιστο μετρο, με την βοηθεια της εξισωσης της ευθειας ΟΚ και της εξισωσης του κυκλου, προσδιοριζουμε τα x,y του z = x + y i.