ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ( ) ( ) ( ) ( )

Transcript

1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σελίδα 53 στο σχολικό βιβλίο Α. Ορισμός σελίδα 9 στο σχολικό βιβλίο Α.3 Ορισμός σελίδα 58 στο σχολικό βιβλίο Α.4 α) Σωστό β) Σωστό γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Λάθος ΘΕΜΑ Β Β. Ισχύει z + z+ = 4 z z + z+ z+ = 4 zz z z + + zz + z + z + = 4 z + + z + = 4 z = z = z =, άρα ο γ.τ των εικόνων των μιγαδικών z είναι ο κύκλος κέντρου Ο(,) κι ακτίνας ρ= Β. Αν οι z,z είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς ισχύει z = z =. Δίνεται ότι ( )( ) z z = z z = z z z z = zz zz zz + zz = z zz zz + z = z z z z + = z z + z z = Είναι z + z = z + z z + z = z z + z z + z z + z z = z + z = z + z = + =. Αφού Ισχύει z+ z = z +z = και

2 Β.3 Έστω w = + yi με,y R Ισχύει w 5w = + yi 5( yi) = + yi 5 + 5yi = 4 + 6yi = : y = y = 44 y y + = + = Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w είναι η έλλειψη y + =, η οποία έχει μεγάλο άξονα 9 4 α = 3= 6 και μικρό άξονα β = = 4 και τις εστίες της στον άξονα Μέγιστη τιμή του w είναι w ma = α = 3 Ελάχιστη τιμή του w είναι w min = β = y Β.4 α τρόπος: Α' -3 B =β Ε Δ Γ - - Η - Β' - Α 3=α z w = ΑΔ = Α'Γ = 3+ = 4 ma z w = ΒΕ = ΒΉ = = min Άρα ισχύει z w 4 β τρόπος: Τριγωνική ανισότητα z w zw z + w όπου z = άρα ισχύει w zw w + () Από Β.3 ισχύει w 3 άρα έχουμε w και 3 w + 4 Άρα λόγω της () ισχύει: w = w zw w + 4 Επομένως zw 4

3 ΘΕΜΑ Γ Γ. Η συνάρτηση f() = ln είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη (άρα συνεχής) στο (, + ) με f'() = ( )' ln+ ( ln )' = ln+ = ln+ Προφανής ρίζα της f είναι το = f'() = ln ( ) + = και αφού f ''() = + >, (, + ),+, άρα f' -, άρα η ρίζα = της f είναι Ισχύει ότι η f είναι στο μοναδική σε όλο το (,+ ) Για κάθε > f' f'() > f'() f'() > ισχύει ότι η f είναι στο [,+ ) και αφού f συνεχής στο [, + ) Για κάθε (,) δηλαδή < < f' f'() < f'() f'() < και αφού f συνεχής στο διάστημα (,] ισχύει ότι f στο (,] + f' + Άρα η f παρουσιάζει στη θέση = ΟΛΙΚΟ f ΕΛΑΧΙΣΤΟ και f min =f()=- είναι η ελάχιστη τιμή της f. ΟΛ.ΕΛ f()=- Στο διάστημα Δ =(,] η f είναι συνεχής και, άρα έχει αντίστοιχο σύνολο τιμών το f(δ ) = f(),lim f() ) = [, + ) + αφού lim f() = lim ( ) ln + + = = + = + Στο διάστημα Δ =[,+ ) η f είναι συνεχής και, άρα έχει αντίστοιχο σύνολο τιμών f(δ ) = f(), lim f() ) = [, + ) + αφού lim f() = lim ln = + + = + = Το σύνολο τιμών της f είναι f(δ) = f(δ ) f(δ ) = [, + ) 3

4 3 Γ. Εξίσωση =, (, + ) 3 ln = ln ln = 3 ln = f() =, (, + ) Αφού f(δ ) = [, + ) και f(δ ) = [, + ) με f() (αφού f()=-) και f στο διάστημα Δ =(,], f στο Δ =[,+ ), ισχύει ότι η εξίσωση f()= έχει ακριβώς μία ρίζα (,) και ακριβώς μία ρίζα (, + ), Άρα η εξίσωση αυτή έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες, με < < <. Γ.3 Θεωρώ τη συνάρτηση g() = f '() + f(), (, + ) Στο διάστημα [, ] (, ) + η g είναι συνεχής ως πράξεις μεταξύ των συνεχών f (), f() (επίσης πράξεις συνεχών καθεμία) και (σταθερή) g = f ' + f = f ' + = f' < αφού (,) και f '() <, (,) g( ) = f '( ) + f( ) = f '( ) + = f'( ) > αφού (, + ) και f'() >, (,+ ) Άρα ισχύει g( ) g( ) <, άρα από Θ. Blzan υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) ώστε g() = f'() + f() = β τρόπος για το Γ.3 Εξίσωση f'() f() + = f'() f() f() ' = ' + = f() ' = = g = h() = f(),, (, + ) f() ' Θεωρώ τη συνάρτηση [ ] Η h είναι παραγωγίσιμη στο [, ] (άρα και συνεχής) ως πράξεις μεταξύ των παραγωγίσιμων συναρτήσεων f(),, και ισχύει h'() = f '() + f() = f '() + f() ( f( ) h() = f() h = ) = = = = h = h Άρα από Θ. Rll υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) ώστε h'( ) = 4

5 : > ο f ' + f = f ' + f- = f ' + f = ο Γ.4 Συνάρτηση g() = f() + = ln, (, + ) Λύνω την εξίσωση g() = ln = = ή ln = = άρα η C g τέμνει τον άξονα στο σημείο (,) Η συνάρτηση g() = ln είναι συνεχής στο διάστημα [,] ως γινόμενο των συνεχών συναρτήσεων - (πολυωνυμική) και ln (τριγωνομετρική). Για κάθε [,] ισχύει, ln άρα g() = ln, [,]. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι E = g() d = g()d = lnd = lnd lnd = = 'lnd ( )'lnd = ln [ ] d ln + d = = ln ln ( ln ln ) + ( ) = = + + = = ΘΕΜΑ Δ Δ. Δίνεται ότι για τη συνεχή συνάρτηση f:(, + ) R ισχύει η σχέση + > dt + dt + dt+, (,+ ) () Η συνάρτηση h() = dt είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ), επειδή η είναι συνεχής συνάρτηση στο (,+ ). Ισχύει + h'() = dt ' = f(), (, + ). Άρα η συνάρτηση dt είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ) ως σύνθεση των παραγωγίσιμων -+ (πολυωνυμική) και h(). 5

6 + g() = dt + Άρα η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ) + ως πράξεις μεταξύ των παραγωγίσιμων (σταθερή), dt και - (πολυωνυμική) και ισχύει + g'() = dt ' + ( )' = f( + ) ( + )' + = = f + +, (, + ) Λόγω της () ισχύει g(), (, + ) δηλαδή g() g(), (, + ) ( g() = dt + = ). Άρα η g παρουσιάζει στο = ΟΛΙΚΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ και αφού επιπλέον το = είναι εσωτερικό σημείο του (,+ ) και g παραγωγίσιμη στο =, ισχύει από Θ.Frmat ότι g'() = f() + = f() = Αφού η f είναι συνεχής στο (,+ ) και f(), (, + ) ισχύει ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (,+ ) (αν δεν ισχύει αυτό τότε υπάρχουν, (,+ ) με < ώστε f( ) f( ) < και αφού f συνεχής στο [, ] (, + ) έχουμε από Θ. Blzan ότι υπάρχει ο (, ) ώστε f( )= ΑΤΟΠΟ). Επομένως ισχύει f() <, (, + ) ή f() >, (, + ). Αφού επιπλέον έχουμε f() = δηλαδή f()<, ισχύει ότι f() <, (, + ). lnt t Δίνεται ότι ισχύει ln = dt + f(), (, + ), άρα αφού f()<, (, + ) είναι f() = f(), (, + ) άρα είναι lnt t ln = dt + f(), (, + ) () Στο Δ.3 δίνεται ότι ισχύει η σχέση ln, > άρα ισχύει ln, > κι αφού f() <, > ισχύει λόγω της () ότι lnt t dt + >, (, + ). Άρα από τη () έχουμε: ln f() =, (, + ) ( 3) lnt t dt + Η συνάρτηση lnt t είναι συνεχής στο (,+ ) ως πράξεις μεταξύ των lnt t συνεχών lnt, t,, άρα η συνάρτηση dt είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ). Άρα λόγω της (3) και η f() είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο (,+ ) ως πράξεις μεταξύ των παραγωγίσιμων συναρτήσεων 6

7 lnt t ln,, dt,. lnt t Θεωρώ τη συνάρτηση φ()= dt+, (, ) παραγωγίσιμη στο (,+ ) (σύμφωνα με τα παραπάνω). ln Ισχύει φ'()=, (, + ). f() ln lnt t Λόγω της () ισχύει: = dt, (, ) f() + + φ'() = φ() = c φ'() φ() = φ'() φ() = φ() ' = φ() φ() = c lnt t dt c + =, (,+ ) άρα για = ισχύει + = c c = + όπου η φ() είναι Άρα φ() =, (,+ ) επομένως ln f() = φ'() = ' ln f() = = f() (ln ), (,+ ) Δ. lim f() lim (ln ) αφού = = = lim = =, lim ln =, + lim = + lim f () ημ f() lim ημu + f() = = u u 7

8 Θέτω u= άρα f()= όπου f()<, άρα u< f() u Αφού lim f() = ισχύει lim =, άρα u + + f() ημuu ( ημu u )' συνu lim lim lim u u u = = = = u (u )' u (συνu)' ημu = lim = lim = ημ = = u (u)' u Δ.3 Η συνάρτηση είναι συνεχής στο (,+ ), άρα η συνάρτηση F() = dt, > είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ) με F'() = f() <, άρα F στο (,+ ). Η συνάρτηση F'() = f() = (ln ) είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ), με = = + = + > F''() f'() (ln ) ln, (,+ ) αφού >, > και δίνεται ln δηλαδή ln +, (, + ) άρα = + > > > F''() ln, για κάθε > Άρα F' στο (,+ ) και F κυρτή στο (,+ ). Για κάθε > ισχύει < < < 3. Ορίζω τα διαστήματα [,], [,3]. Σε καθένα από τα διαστήματα αυτά η F είναι παραγωγίσιμη (άρα και συνεχής), ξ, ξ,3 άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον και ένα τουλάχιστον F() F() F() F() ώστε F'(ξ ) = = F(3) F() F(3) F() F'(ξ ) = = 3 α Αφού < < ξ < < ξ < 3 F'(ξ ) < F'(ξ ) F() F() F(3) F() < F() F() < F(3) F() F' > F() < F() + F(3), > 8

9 Δ.4 Θεωρώ τη συνάρτηση K() = F() F(β) F(3β), (, + ) όπου δίνεται ο σταθερός πραγματικός αριθμός β>, άρα <β<β. Στο διάστημα [β,β] η συνάρτηση Κ() είναι συνεχής ως πράξεις μεταξύ της συνεχούς F() (ως παραγωγίσιμη) και των σταθερών, F(β), F(3β). K(β)=F(β)-F(β)-F(3β)=F(β)-F(3β)> F < β < 3β F(β) > F(3β) F(β) F(3β) > K(β)=F(β)-F(β)-F(3β)< (από Δ.3 για =β ισχύει F(β) F(3β) F(β) + > ) Άρα Κ(β) K(β) <, επομένως από Θ. Blzan υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (β,β) ώστε Κ(ξ) = F(ξ) F(β) F(3β) = F(ξ) = F(β) + F(3β) Αφού Κ '() = ( F() F(β) F(3β) )' = F'() = f() <, για κάθε (, + ) ισχύει K σε όλο το (,+ ), άρα Κ είναι -, άρα το ξ (β,β) ώστε Κ(ξ)= είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης Κ()= σε όλο το (,+ ). ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΜΑΣΤΟΡΑΚΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΜΑΡΚΑΤΟΣ ΔΙΟΝΥΣΗΣ ΑΛΕΞΟΠΟΥΛΟΥ ΒΙΒΗ ΑΝΝΙΝΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 9