(a) (3a + 14β) + (2a β)i = 7 i (β) a(1 + i) + β(1 i) = 5 i) (1 + i)2 3 i. a + βi =

Transcript

1 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Καρράς Ιωάννης Μαθηματικός Ο μὲν κάλος ὄσσον ἴδην πέλεται κάλος ὀ δὲ κἄγαθος αὔτικα κὔστερον ἔσσεται.

2 1. Να βρείτε τους αριθμούς a, β R για τους οποίους: (a) (3a + 14β) + (a β)i = 7 i (β) a(1 + i) + β(1 i) = 5 i). Αν οι α,β,γ είναι πραγματικοί αριθμοί και ισχύει α+β-γi=5γ+(α-β)i να αποδείξετε ότι α-β=γ. 3. Να βρείτε τους πραγματικούς α,β για τους οποίους a + βi = (1 + i) 3 i 4. Να γράψετε στη μορφή α+βi τους μιγαδικούς: (a) z 1 = 3 + i 4i (β) z = ( + i)( 1 + i) + (1 + i) (γ) z 3 = ( + 5i) + (7 + i) 1 + i 3 (δ) z 4 = i 3 1 (5 i ) 5. Να γράψετε στη μορφή α+βi τους μιγαδικούς: (a) z 1 = 1 i 6. Να βρείτε τους a, β R για τους οποίους 7. Να δείξετε ότι για ν N ισχύει 8. Να υπολογίσετε την παράσταση (β) z = 1 3i (γ) z 3 = + 3i i 1 (δ) z 4 = i(4 + 3i) a 3 + i + β 1 + i = 5 + 6i 1 + 8i i ν + i ν+1 + i ν+ + i ν+3 = 0 ( + i ) 3 + ( i ) Να δείξετε ότι για κάθε ν N ισχύει (1 i) 4ν = (1 + i) 4ν 10. Να βρείτε τους συζυγείς των μιγαδικών αριθμών ((a)?(z 1 = ( 3i)( 4 + i) (b) z = 3 i 1 + i

3 3 11. Να βρείτε τους α,β R, ώστε οι z 1 = (a 5β) 3i καιz = 3 + (a β)i να είναι συζυγείς. 1. Αν z 1, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, να δείξετε ότι ο z = z 1 (z ) + (z 1 )z είναι πραγματικός. 13. Αν z=συνω+iημω, ω R, να δείξετε ότι z + (z ) = συνω 14. Να βρείτε τους a, β R, ώστε οι z 1 = (a + β ) 3i και z = aβ i να είναι συζυγείς.

4 4 ΕΥΡΕΣΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟ Υ Για να βρούμε την τετραγωνική ρίζα z του w = a + βi, : Αν β = 0 και a 0, τότε z = ± a Αν β = 0 και a < 0, τότε z = ±i a Αν β 0, τότε ΔΕΝ χρησιμοποιούμε το σύμβολο, αλλά γράφουμε ότι z = ±(x + yi), υπολογίζοντας τα x, y ως εξής: z = w <=> (x + yi) = a + βi <=> <=> x y + xyi = a + βi <=> ( ) { β (x <=> y = a (x = a <=> x xy = b y = β <=> x, x 0) <=> x = 4a ± 16a + 16β <=> 8 y = β x, x 0) { (4x 4 4ax b = 0 y = β x, x 0) <=> = a ± (a + b = (Re(w) ± w Προφανώς, δεκτή γίνεται η ρίζα x Re(w) + w = (αφού η άλλη τιμή είναι αρνητική), συνεπώς λαμβάνουμε ότι x = ±, από τις οποίες λαμβάνουμε Re(w) + w και αντίστοιχες τιμές για το y. Αν x = 0, τότε y = a + βi <=> β = 0 και αναγόμαστε σε προηγούμενη περίπτωση. Διαπιστώσαμε λοιπόν ότι Κάθε μιγαδικός αριθμός (πλην του μηδενός), έχει (ακριβώς) δύο τετραγωνικές ρίζες των οποίων οι εικόνες είναι διαφορετικά σημεία του μιγαδικού επιπέδου. ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Να βρείτε την τετραγωνική ρίζα των μιγαδικών (a) 5 + 7i (b) 7 4i

5 1. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ο w = z z i είναι (α) πραγματικός, (β) φανταστικός. Που τέμνονται οι δύο αυτοί γεωμετρικοί τόποι;. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει zz + 3(z + z) = Αν z = x + yi, με x 0, να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z για τους οποίους Re(z + z 1 ) = Re(z) είναι ο μοναδιαίος κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων. 4. Αν a, β R, a < β και η z + az + β = 0 έχει ρίζα τον z 1 = κ + λi, κ, λ R, να εκφράσετε συναρτήσει των a, β τους κ, λ. 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: 6. Να λύσετε τις εξισώσεις: (a) 9z 6z + = 0 (β) z z + 5 = 0 (γ) z z + λ + 1 = 0, λ (0, + ) (a) 3z + z = (β) 3zz + 4(z z) = 7 + 8i 7. Να βρεθεί το μέγιστο και το ελάχιστο της παράστασης z w, όταν (a) z = 1 και w 3 = (β) z = 1 και w 4 = 4 (γ) z = 1 και w 4 = 8. Να βρεθεί το μέγιστο και το ελάχιστο της παράστασης z w, όταν (a) z = 1 και w = 3 + 4i (β) z = και w = 4 9. Αν z 3 4i = 1 και w i = w 3i ποιο είναι το z w min ; 10. Ποιο είναι το z max και ποιο το z min όταν z 3 4i = 1; 11. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z για τους οποίους ισχύει η z 3 + z + 3 = 10. Ποιος από αυτούς έχει το ελάχιστο μέτρο; 5

6 6 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Στους μιγαδικούς αριθμούς δεν υπάρχει διάταξη, οπότε δεν έχουμε ανισοτικές σχέσεις. Συνεπώς, οποτεδήποτε παρουσιάζεται σύμβολο ανισότητας σε παράσταση που περιέχει μιγαδικούς, θα ελέγχουμε (ακόμα και αν η άσκηση δεν το ζητάει) ότι εκατέρωθεν του ανισοτικού συμβόλου οι παραστάσεις είναι πραγματικοί αριθμοί. Στις ανισότητες που περιέχουν μιγαδικούς ΔΕΝ ισχύει ο νόμος της διαγραφής, οπότε δεν μπορούμε (πάντα) να μεταφέρουμε όρους από το ένα μέλος στο άλλο. Αν μια τέτοια μεταφορά είναι αναγκαία, θα πρέπει να ελέγχουμε πάλι τις παραστάσεις που απομένουν εκατέρωθεν του ανισοτικού συμβόλου, για να διαπιστώσουμε ότι οι παραστάσεις αυτές είναι πραγματικές. (Οπότε αυτό που μεταφέραμε ήταν στην πραγματικότητα πραγματικός αριθμός). Το μέτρο ενός μιγαδικού είναι πραγματικός αριθμός, άρα μπορούμε να έχουμε ανισότητες με μέτρα. 1. Αν z 1 = 7 4i και z = 5 να δείξετε ότι 0 z 1 + z 30. Να δείξετε ότι z < z 1 <=> Re(z) < Αν z 1 < 1, z < 1, ffl, z ν < 1, ν N και λ 1, λ, ffl, λ ν (0, + ) με λ 1 +λ + +λ ν = 1, να δείξετε ότι λ 1 z 1 + λ z + + λ ν z ν < Αν z 1 < 1 και z < 1 να δείξετε ότι 5. Αν z 1, να δείξετε ότι 1 z + 3. z 1 z < 1 z 1 z. 6. Αν z < 1, να δείξετε ότι (1 + i)z 3 + iz < Αν z, z, z 3 C με να αποδείξετε ότι z 1 = z = z 3 = 1, z 1 + z + z 3 = z 1 z + z z 3 + z 3 z 1 8. Να δείξετε ότι z = 1 <=> 3z + 1 = z Αν z C { 1, 1}, να δείξετε ότι z = 1 <=> (z + 1)/(z 1) I

7 Το μέτρο ενός μιγαδικού είναι η απόστασή του από την αρχή των αξόνων, άρα το μέτρο της διανυσματικής ακτίνας της εικόνας του, δηλαδή το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος που συνδέει την αρχή των αξόνων με την εικόνα του μιγαδικού. Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμών ισούται με την απόσταση που έχουν οι εικόνες των μιγαδικών αυτών, δηλαδή ισούται με το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος που συνδέει τις εικόνες τους. Το μέτρο του αθροίσματος δύο μιγαδικών αριθμών ισούται με την απόσταση της εικόνας του αθροίσματος από την αρχή των αξόνων, δηλαδή ισούται με το μήκος της διαγωνίου του παραλληλογράμμου που σχηματίζεται με πλευρές τις διανυσματικές ακτίνες των εικόνων των μιγαδικών. 7 Σύμφωνα με τα παραπάνω είναι: z = OA = (OA) w = OB = (OB) z + w = OΓ = (OΓ) z w = BA = (AB) Από το παραπάνω σχήμα έχουμε μερικές «προφανείς» σχέσεις: (Αφού τότε το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος). AB OΓ z = w OA OB z w = z + w (Αφού τότε το παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο). ( ) z + w z + w = + z w ( ) z w = + z + w (Από το πρώτο θεώρημα των διαμέσων). κ.τ.λ.

8 8 1. Θεωρούμε τα σημεία M 1 (z 1 ), M (z ), M 3 (z 3 ) εικόνες των μιγαδικών z 1, z, z 3. Αν ισχύει z1 + z + z3 = z 1 z + z z 3 + z 3 z 1, να δείξετε ότι το τρίγωνο M 1 M M 3 είναι ισόπλευρο. z 1. Αν για τους z 1, z C ισχύει + z = 1 να δείξετε ότι το τρίγωνο OM 1 M είναι z z 1 ισόπλευρο, όπου O είναι η αρχή των αξόνων και M 1, M είναι οι εικόνες των z 1, z. 3. Αν τα M 1 (z 1 ), M (z ), M 3 (z 3 ), M 4 (z 4 ) είναι οι εικόνες των z 1, z, z 3, z 4 αντίστοιχα, με z 1 = z = z 3 = z 4 = 1 και z 1 + z + z 3 + z 4 = 0, να δείξετε ότι το M 1 M M 3 M 4 είναι ορθογώνιο. 4. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων M(z) του μιγαδικού αριθμού z για τον οποίο ισχύει η σχέση (a) z 1 i = 3 (β) z 1 + i < 3 (γ) z + 1 i > 3 5. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων M(z) του μιγαδικού αριθμού z για τον οποίο ισχύει η σχέση (a) z = z 1 i (β) z i < z + i 6. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων M(z) του μιγαδικού αριθμού z για τον οποίο ισχύει η σχέση z 1 i = z 1 + i 7. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων M(z) του μιγαδικού αριθμού z για τον οποίο ισχύει η σχέση z z 3 = Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων M(z) του μιγαδικού αριθμού z για τον οποίο ισχύει η σχέση z p = Re(z) + p, όπου p > 0.

9 9 Για την απαλοιφή του μέτρου μιας παράστασης είτε εφαρμόζουμε τον ορισμό του μέτρου, z = x + yi = x + y, είτε εφαρμόζουμε συνήθως τη μέθοδο του τετραγωνισμού: f(z) = g(z) <=> f(z) = g(z) <=> <=> f(z)f(z) = g(z)(g(z) 1. Να υπολογίσετε το μέτρο των μιγαδικών: (a) (β) (γ) z 1 = + i z = 1 + z 3 = 5 + 6i 8i 1 3 i. Να υπολογίσετε το μέτρο των μιγαδικών: 3. Να υπολογίσετε το μέτρο των μιγαδικών: (a) z 1 = 1 + i i (β) z = 1 i 4 (γ) z 3 = 1 + i 3 (a) ( i 3 5) 8 (β) ( + 5i) 6 (3 i) 8 (1 i) 6 ( 3i) 4 (1 + i) 4. Αν z 1 = 1 + i, z = 3i, z 3 = 1 + i 3 να υπολογίσετε τα 5. Να λύσετε την z z = 1 + i (a) z 1, z, z 3 (β) 3z 1 4z (γ) z 1 z z3 4 (δ) z3, ν ν N 6. Να λύσετε την z + z = 0 7. Αν z + 1 z = z να δείξετε ότι Re(z ) = 1 8. Να δείξετε ότι z 1 = z <=> z = 1 9. Αν z 0 και z 1 + z = z 1 + z να δείξετε ότι z 1 R z 10. Αν z 1 z 1 z 1 z = 1 να δείξετε ότι z 1 = 1 ή z = 1.