(2) το σωματίδιο είναι μικρότερο από κάποιο κρίσιμο μέγεθος D

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΙΔΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ Ένα σιδηρομαγνητικό υλικό αποτελείται γενικά από πολλές μαγνητικές περιοχές. Κάτω από ορισμένες συνθήκες όμως αποτελείται από μία περιοχή. Ένα δείγμα είναι ομοιόμορφα μαγνητισμένο όταν κορεσθεί μαγνητικά από ισχυρό πεδίο. Μία άλλη περίπτωση είναι όταν το δείγμα είναι πολύ μικρό σωματίδιο. Οι δυνάμεις ανταλλαγής τότε κυριαρχούν έτσι ώστε παρά τη παρουσία της απομαγνητίζουσας ενέργειας και την απουσία εξωτερικού πεδίου, το σωματίδιο είναι ομοιόμορφα μαγνητισμένο, δηλαδή είναι μονο-περιοχή (ingle dmain). Ένα σιδηρομαγνητικό σωματίδιο λέγεται ότι είναι μονο-περιοχή αν έχει ομοιόμορφη μαγνήτιση όταν το εξωτερικό πεδίο Η είναι μηδέν. 7. Κρίσιμο μέγεθος μονο-περιοχής Περιοριζόμαστε σε ένα προσεγγιστικό υπολογισμό τυ κρίσιμου μεγέθους γιά τη δημιουργία μονο-περιοχής γιατί η ακριβής λύση δεν είναι απλή. Αν το σωματίδιο έχει κυβικό σχήμα με μήκος και είναι ομοιόμορφα μαγνητισμένο, η μαγνητοστατική ενέργεια είναι E d 3 Nd () Αν υποθέσομε ότι το σωματίδιο είναι πολυ-περιοχή, δηλαδή περιλαμβάνει πολλές μαγνητικές περιοχές διακρίνομε τις εξής περιπτώσεις: α) γιά κυβική κρυσταλλική ανισοτροπία και περιοχές κλειστής ροής (lure dmain), η μαγνητοστατική ενέργεια μηδενίζεται και η συνολική ενέργεια είναι η ενέργεια των τοιχωμάτων και είναι επομένως ανάλογη πρός. β) γιά μοναξονική κρυσταλλική ανισοτροπία και περιοχές σε μορφή ραβδώσεων (tripe dmain), το άθροισμα της μαγνητοστατικής ενέργειας και της ενέργειας των τοιχωμάτων δίνεται από τη Σχέση 5 (Kεφ. 6). E 5 / ράβδωση E E 0.36 () d w Και στις δύο περιπτώσεις η ενέργεια της μονοπεριοχής είναι μικρότερη υπό τη προυπόθεση ότι * το σωματίδιο είναι μικρότερο από κάποιο κρίσιμο μέγεθος. Γιά παράδειγμα, στη περίπτωση της μοναξονικής ανισοτροπίας το κρίσιμο μέγεθος μπορεί να υπολογισθεί εξισώνοντας τις () και () και θέτοντας N d. *.76 (3) ) Γιά υλικά μεγάλης κρυσταλλικής ανισοτροπίας, η ενέργεια γ των τοιχωμάτων είναι μεγάλη και το πλάτος δ μικρό. Με τη σχέση (3), το κρίσιμο μέγεθος είναι A που είναι αρκετές φορές η τιμή του δ. ) Γιά υλικά μικρής κρυσταλλικής ανισοτροπίας, η ενέργεια γ των τοιχωμάτων είναι μικρή και το πλάτος δ μεγάλο. Γιά Fe και Ni, ακόμα και το κοβάλτιο, το κρίσιμο μέγεθος που προκύπτει με την (3) είναι μικρότερο του πλάτους του τοιχώματος δ και επομένως η

2 σχέση (3) δεν είναι σωστή. Με πιό ακριβείς υπολογισμούς περίπου ίσο με δ. Το κρίσιμο μέγεθος * A που είναι * είναι πιό μεγάλο γιά επιμήκη σωματίδια. 7. Μονο-περιοχές 7.. Συναφής αναστροφή της μαγνήτισης Σχήμα. Ελλειψοειδές σφαιροειδές σωματίδιο σε μαγνητικό πεδίο Οι υστερητικές ιδιότητες μικρών σιδηρομαγνητικών σωματιδίων μπορούν να εξηγηθούν με το κλασσικό μοντέλο Stner και Whlfarth (948) κάνοντας την υπόθεση ότι α) Είναι ελλειψοειδή με μαγνήτιση ομοιόμορφη (συναφή) κατά τη διάρκεια της περιστροφής. β) Έχουν μοναξονική ανισοτροπία (που μπορεί να οφείλεται στη κρυσταλλική δομή, το σχήμα των σωματιδίων ή τη μηχανική τάση. Θεωρούμε ελλειψοειδές επίμηκες σωματίδιο με αμελητέα μαγνητοκρυσταλλική και μαγνητοελαστική ενέργεια σε ομοιόμορφο πεδίο (Σχήμα ). Στη κατάσταση ισορροπίας η μαγνήτιση βρίσκεται στο επίπεδο που καθορίζεται από το πεδίο και τον πολικό άξονα. Η μαγνητοστατική ή απομαγνητίζουσα ενέργεια είναι E ddv V N a N b in V N a 4 N b N N VN N a b Vin 4 b a όπου α η γωνία μεταξύ και πολικού άξονα και είναι ανεξάρτητο από τη γωνία α. Το μεταβλητό τμήμα της ενέργειας γράφεται E KVin (5) όπου (4)

3 K N b Na (6) και είναι παρόμοιο με τη μορφή της ενέργειας κρυσταλλικής μοναξονικής ανισοτροπίας. Το σωματίδιο λέγεται ότι έχει ανισοτροπία σχήματος που οφείλεται στη μαγνητοστατική ενέργεια. Γιά επίμηκες ελλειψοειδές Ν b >N a, επομένως Κ>0 και η ενέργεια, όταν Η=0, είναι ελάχιστη όταν η μαγνήτιση είναι παράλληλη προς τον πολικό άξονα α (εύκολος άξονας) και μέγιστη όταν το κείται επί του άξονα του ισημερινού (δύσκολος άξονας). Σφαιρικά σωματίδια δεν έχουν ανισοτροπία σχήματος (Ν a =N b ). Η συνολική ενέργεια περιλαμβάνει την ενέργεια αλληλεπίδρασης με το εξωτερικό πεδίο (Zeeman) και είναι T VNb Na V (7) 4 θ=0 Μ /Μ S θ (μοίρες) Σχήμα. Βρόχοι υστέρησης σαν συνάρτηση της γωνίας θ του πεδίου ως προς τον εύκολο άξονα. Σχήμα 3. Πεδίο h γιά μη αντιστρεπτή μεταβολή της μαγνήτισης και συνεκτικό πεδίο h σαν συνάρτηση της γωνίας θ του πεδίου ως προς τον εύκολο άξονα. Γιά οποιοδήποτε πεδίο, η γωνία μεταξύ των και στη κατάσταση ισορροπίας δίνεται από την εξίσωση ισορροπίας / 0. E T N b Na in in 0 (8)

4 Η ισορροπία είναι σταθερή αν E / 0. Ορίζομε το ανηγμένο πεδίο h. h (9) N b Na και ξαναγράφομε την (8). in hin 0 (0) T Η γωνία μπορεί να υπολογισθεί με αριθμητικές μεθόδους, σαν συνάρτηση του h και θ. Η συνιστώσα της μαγνήτισης στη κατεύθυνση του πεδίου είναι. Στο Σχήμα παρουσιάζονται οι καμπύλες της ανηγμένης μαγνήτισης Ι=Μ Η /Μ σαν συνάρτηση του πεδίου h. Χωρίς πεδίο (Η=0), η μαγνήτιση είναι προσανατολισμένη προς τον πολικό άξονα, στη θετική ή αρνητική κατεύθυνση του άξονα ανάλογα με τη προηγούμενη ιστορία του πεδίου. Εφ όσον το μέγεθος της μαγνήτισης είναι σταθερό, το μαγνητικό πεδίο απλώς περιστρέφει τη μαγνήτιση προς τη κατεύθυνση του. Η περιστροφή μπρορεί να είναι αντιστρεπτή η μη αντιστρεπτή. Γιά παράδειγμα αν το πεδίο είναι παράλληλο προς το πολικό άξονα (θ=0), δεν υπάρχει ροπή στρέψης από το πεδίο απομαγνήτισης ή το εξωτερικό πεδίο. Στη πραγματικότητα υπάρχει πάντα κάποια θερμική διαταραχή που προκαλεί μικρή απόκλιση. Αν το πεδίο είναι αντίθετο προς τη μαγνήτιση, η ανισοτροπία σχήματος προσπαθεί να διατηρήσει τη μαγνήτιση στην αρχική θέση ενώ το πεδίο προσπαθεί να περιστρέψει τη μαγνήτιση. Γιά μία κρίσιμη τιμή του πεδίου h ο =, η μαγνήτιση περιστρέφεται ξαφνικά κατά 80 ο. Η αναστροφή είναι μη αντιστρεπτή, υπάρχει ασυνέχεια στη συνιστώσα της μαγνήτισης στη κατεύθυνση του πεδίου και εμφανίζεται υστέρηση. Η απωλεσθείσα ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα. Αν θ>0, η περιστροφή είναι αντιστρεπτή έως μία κρίσιμη τιμή του πεδίου h ο, κατά την οποία υπάρχει ασυνεχής, μη αντιστρεπτή μεταβολή της μαγνήτισης. Το πεδίο h υπολογίζεται θέτοντας ET / 0. Μπορεί να αποδειχθεί ότι η εξάρτηση του πεδίου h από τη γωνία θ δίνεται από τη σχέση (Σχήμα 3) h όπου / 4 w w () w 3 w tan / () Το συνεκτικό πεδίο h, ορίζεται σαν το πεδίο όταν Μ Η =0, και μειώνεται όταν η γωνία θ μεγαλώνει (Σχήμα 3). Όταν το πεδίο είναι κάθετο προς τον πολικό άξονα (θ=π/), η περιστροφή είναι καθαρά αντιστρεπτή και δεν υπάρχει υστέρηση (h =0).. Η μέγιστη τιμή του συνεκτικού πεδίου Η, όταν θ=0, καλείται πεδίο ανισοτροπίας Η Κ. K Nb Na (3)

5 και εξαρτάται από το σχήμα του σωματιδίου. Η μεγαλύτερη τιμή, γιά μακρύ κύλινδρο, είναι Η Κ =Μ /. Αυτά τα αποτελέσματα γιά βρόχους υστέρησης σωματιδίων με ανισοτροπία σχήματος, μπορούν να γενικευθούν γιά σφαιρικά σωματίδια με (μαγνητο)κρυσταλλική ή μαγνητοελαστική ενέργεια. Γιά υλικό με μοναξονική ανισοτροπία, όπως το κοβάλτιο, η κρυσταλλική ενέργεια είναι E K Vin (4) K και το πεδίο ανισοτροπίας σε αυτή τη περίπτωση είναι K K (5) Γιά κυβική κρυσταλλική ανισοτροπία, το πεδίο ανισοτροπίας Η Κ δίνεται επίσης από τη σχέση (5). Η μοναξονική ανισοτροπία συνήθως προσδιορίζεται με το σύμβολο (Κ u ) (uniaxial). Εάν σφαιρικό σωματίδιο υποβληθεί σε μηχανική τάση σ, η ενέργεια που οφείλεται στη μαγνητοσυστολή είναι 3 E (6) Υπό τη προυπόθεση ότι 0, δηλαδή θετική μαγνητοσυστολή και τάση (ή αρνητική μαγνητοσυστολή και συμπίεση), η ενέργεια είναι ελάχιστη όταν η μαγνήτιση κείται επί του άξονα μηχανικής τάσης (α=0). Το υλικό λέγεται τότε ότι έχει ανισοτροπία τάσης και τα αντίστοιχο πεδίο ανισοτροπίας είναι K 3 (7) Οι Stner και Whlfarth έδοσαν επίσης εξήγηση του σχήματος του βρόχου υστέρησης των σκληρών μαγνητικών υλικών με ένα απλό μοντέλο. Θεώρησαν ένα σύνολο πανομοιότυπων σωματιδίων με μοναξονική ανισοτροπία σχήματος και τυχαίο προσανατολισμό θ των εύκολων άξονων ως προς το πεδίο Η. Οι διπολικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ των σωματιδίων δεν ελήφθησαν υπ όψη. Το πεδίο ανισοτροπίας Η Κ για κάθε μεμονωμένο σωματίδιο δίνεται από την σχέση (3). Η συνεκτικότητα Η του βρόχου (δηλαδή το πεδίο όταν Μ=0) που φαίνεται στο Σχήμα 4 αποδείχθηκε ότι είναι Nb Na (8) και η παραμένουσα μαγνήτιση κόρου. Μ r =0.5 (9)

6 Σχήμα 4. Αρχική καμπύλη μαγνήτισης και βρόχος υστέρησης γιά ελλειψοειδή σωματίδια με τυχαίες κατεύθυνσεις των εύκολων αξόνων. 7.. Ανομοιόμορφοι μηχανισμοί περιστροφής της μαγνήτισης Σχήμα 5. α) Συναφής ή ομοιόμορφη περιστροφή β) Στροβιλισμός (urling) γ) fanning Το μοντέλο ομοιόμορφης μαγνήτισης προβλέπει τιμές γιά το συνεκτικό πεδίο που είναι υπερβολικά μεγάλες, σε πολλές περιπτώσεις. Στο σύστημα g, γιά επιμήκη σωματίδια σιδήρου (Μ =700 emu/), N x -N z =π, όταν το πεδίο είναι παράλληλο προς τον εύκολο άξονα z, η συνεκτικότητα είναι Η =0kOe ενώ πειραματικά Η =koe. Η διαφορά οφείλεται στην ανομοιόμορφη μεταβολή της κατεύθυνσης της μαγνήτισης. Δύο μηχανισμοί γνωστοί ως fanning και urling (στροβιλισμός) φαίνονται στο Σχήμα 5.. Ο μηχανισμός περιστροφής fanning των Jab και Bean (955) αντιπροσωπεύει σωματίδια επιμήκη με περιοδικές μεταβολές σχήματος, όπως τα μαγνητοτακτικά βακτήρια. Κάθε σωματίδιο αποτελείται από αλυσίδα σφαιριδίων χωρίς δική τους μαγνητική ανισοτροπία. Η μαγνητοστατική αλληλεπίδραση μεταξύ των σφαιριδίων δημιουργεί μία ανισοτροπία αλληλεπίδρασης γιά όλο το σωματίδιο. Ο μηχανισμός fanning μειώνει τη μαγνητοστατική ενέργεια φέρνοντας τους πόλους πιό κοντά μεταξύ τους, από ότι η συναφής περιστροφή. Κατά συνέπεια το συνεκτικό πεδίο είναι μικρότερο από το συνεκτικό πεδίο της συναφούς αναστροφής (Σχήμα 6).

7 Γιά μεγαλύτερα σωματίδια, συνηθέστερος μηχανισμός είναι ο στροβιλισμός. Όταν το πεδίο Η είναι απί του πολικού άξονα z, οι ατομικές ροπές περιστρέφονται γύρω από ακτίνα παράλληλη προς το επίπεδο xy. Το συνεκτικό πεδίο μειώνεται επειδή οι ροπές είναι παράλληλες προς την επιφάνεια και δεν υπάρχουν ελεύθεροι πόλοι στην επιφάνεια. Οι ροπές αλληλεπιδρούν μόνο μέσω του πεδίου ανταλλαγής. Το συνεκτικό πεδίο εξαρτάται από τη διάμετρο των σωματιδίων. Γιά ελλειψοειδή επιμήκη σωματίδια, χωρίς κρυσταλλική ανισοτροπία. N z S / A S (0) () όπου είναι ο ελάσσων άξονας,α η σταθερά ανταλλαγής και η σταθερά κ εξαρτάται από το λόγο μήκους-πλάτους του ελλειψοειδούς. Συγκρίνοντας τη σχέση (0) με το συνεκτικό πεδίο συναφούς περιστροφής Η =(N x -N z ) (3) βρίσκομε τη κρίσιμη διάμετρο γιά μετάβαση από ομιόμορφη περιστροφή σε στροβιλισμό. 8A () N x Αν < το κόστος της ενέργειας ανταλλαγής γιά τη δημιουργία στρόβιλου είναι υπερβολικά μεγάλο και η περιστροφή είναι ομοιόμορφη. Διαφορετικά αν > το κόστος της απομαγνητίζουσας ενέργειας είναι μεγαλύτερο και η περιστροφή γίνεται με στροβιλισμό. Γιά σφαιρικά σωματίδια (hp) C, κ=.38, Α=.3x0-6 erg/m, =4 emu/, Ν x =4π/3 και η κρίσιμη διάμετρος είναι =3 nm. Μία από τις πρώτες προσπάθειες σύγκρισης των πειραματικών δεδομένων γιά σωματίδια Fe με διαφορετικά θεωρητικά μοντέλα φαίνεται στο Σχήμα 6. Ο προτιμητέος μηχανισμός είναι σε αυτή τη περίπτωση ο στροβιλισμός εξαιτίας του μεγάλου μεγέθους των σωματιδίων. Σημειώστε ότι το συνεκτικό πεδίο ομοιόμορφης περιστροφής είναι ανεξάρτητο από το μέγεθος των σωματιδίων. Όπως αναφέρθηκε στην εισαγωγή, είναι δυνατό γιά ένα σωματίδιο ομοιόμορφα μαγνητισμένο σε ισχυρό πεδίο, να μην είναι όταν το πεδίο ελαττώνεται. Αν η ένταση του πεδίου αρχίσει να ελαττώνεται, η κρίσιμη τιμή του πεδίου όταν η μαγνήτιση γίνεται γιά πρώτη φορά ανομοιόμορφη καλείται πεδίο πυρήνωσης Η n (nuleatin field). Γιά πολλά σιδηρομαγνητικά υλικά Η n >0, όμως γιά σωματίδια μονο-περιοχές, η μαγνήτιση είναι ομοιόμορφη όταν Η=0 και επομένως το πεδίο πυρήνωσης που συνοδεύεται με αναστροφή της μαγνήτισης είναι n 0. Είναι φανερό ότι η αναστροφή της μαγνήτισης γίνεται με το μηχανισμό με το μικρότερο συνεκτικό πεδίο Η. * Το κρίσιμο μέγεθος γιά μετάβαση από μονο-περιοχή σε πολυ-περιοχή, όταν δεν υπάρχει εξωτερικό πεδίο, είναι απαραίτητα μεγαλύτερο από, π.χ. γιά σφαιρικά σωματίδια hp C, =37 nm. *

8 Σχήμα 6. Συνεκτικότητα σαν συνάρτηση του μεγέθους των σωματιδίων για διαφορετικούς μηχανισμούς στροφής. Η καμπύλη (urling +K) περιλαμβάνει τη κρυσταλλική ανισοτροπία. Τα πειραματικά δεδομένα είναι γιά κρυστάλλους Fe με ελάχιστες προσμείξεις (whiker) (Lubrky et al., J. Appl. Phy.35 (058) (964) 7.3 Η μικρομαγνητική μέθοδος * Το πρόβλημα της κατανομής των μαγνητικών περιοχών γιά μεγαλύτερα σωματίδια αρχικά αντιμετωπίσθηκε κάνοντας υποθέσεις π.χ. γιά την ύπαρξη ή μη περιοχών κλειστής ροής (lure dmain) και συγκρίνοντας την ενέργεια γιά διάφορες δομές ώστε να διαπιστωθεί ποιά κατανομή είναι πιθανή γιά τη κατάσταση ισορροπίας και την αναστροφή της μαγνήτισης. O Brwn θεώρησε ότι αυτή η διαδικασία δεν ήταν σχολαστική και πρότεινε μία θεωρία γνωστή ως μικρομαγνητική. Στη μικρομαγνητική δεν γίνεται καμμία προυπόθεση γιά την ύπαρξη περιοχών και τοιχωμάτων και το διάνυσμα, σταθερού μέτρου, έχει κατεύθυνση που είναι συνεχής συνάρτηση της θέσης x,y,z στο δείγμα. Η κατανομή της μαγνήτισης στο υλικό στη κατάσταση ισορροπίας καθορίζεται βρίσκοντας το ελάχιστο της συνολικής ενέργειας. Αν υποθέσομε ότι η ενέργεια της μαγνητοσυστολής είναι αμελητέα, η συνολική ενέργεια είναι το άθροισμα της ενέργειας αλληλεπίδρασης με το εξωτερικό πεδίο (Zeeman), της απομαγνητίζουσας ενέργειας, της ενέργειας της μαγνητικής ανισοτροπίας και της ενέργειας ανταλλαγής. A dv ET d Ean 3 (3) όπου Ε an είναι η ενέργεια της μαγνητοκρυσταλλικής ανισοτροπίας και û î ĵ 3kˆ (4) είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στη κατεύθυνση της μαγνήτισης. Η ελαχιστοποίηση της ενέργειας γίνεται όταν η μαγνήτιση προσανατολίζεται στη κατεύθυνση του ενεργού πεδίου που ορίζεται από τη σχέση

9 u A û F kˆ F ĵ F î F û F K d 3 T T T T eff (5) όπου F T είναι η συνολική ενέργεια ανά μονάδα όγκου. Η συνθήκη μπορεί να εκφρασθεί ως εξής 0 eff (6) Η λύση μπορεί να βρεθεί με τη μέθοδο παραλλαγών Ritz, γραμμοποίηση των διαφορικών εξισώσεων (όταν η μαγνήτιση του δείγματος είναι περίπου ομοιόμορφη) αλλά πιό συχνά χρησιμοποιούνται αριθμητικές μέθοδοι με γρήγορους υπολογιστές. 7.4 Σχέσεις κλίμακας σε ομοιόμορφο πεδίο * Αν το εξωτερικό πεδίο είναι ομοιόμορφο, υπάρχει μία απλή σχέση κλίμακας μεταξύ του μεγέθους του σωματιδίου και της σταθεράς ανταλλαγής. Χωρίς απώλεια της γενικότητας, θεωρούμε το σωματίδιο σαν τετράγωνο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με μήκος και ύψος h με μοναξονική κρυσταλλική ανισοτροπία. σχέση κλίμακας προκύπτει με το γενικό μετασχηματισμό κλίμακας x= και η (3) γράφεται ) (7 d L A u K û û d L A u K E p 0 3 x z u d S p 0 3 x z u d 3 T όπου p=h/. T απομαγνητίζον πεδίο είναι αμετάβλητο από το μετασχηματισμό εφ όσον το p είναι σταθερό. Γιά συγκεκριμένη τιμή του πεδίου Η, η ενέργεια είναι συνάρτηση των μεταβλητών Κ u /,Α/(L x / ) και p. Επομένως το συνεκτικό πεδίο Η είναι συνάρτηση των μεταβλητών h

10 K u A f,, p (8) Επομένως αν η σταθερά ανταλλαγής πολλαπλασιασθεί κατά λ και το μέγεθος του σωματιδίου κατά, το συνεκτικό πεδίο τού σωματιδίου είναι αμετάβλητο,a, A (9) Ορίζομε το μήκος ανταλλαγής από τη σχέση A ex (30) Το συνεκτικό πεδίο εξαρτάται από το λόγο / ex και όχι μόνο από το μέγεθος των σωματιδίων. Η ενέργεια της παραμένουσας μαγνήτισης, όταν Η=0, εξαρτάται επίσης από τον λόγο αυτό. Η δομή των περιοχών σε ένα σωματίδιο δεν εξαρτάται επομένως μόνο από το μέγεθος αλλά και από το υλικό. Ένα σωματίδιο αιματίτη 0μm και ένα σωματίδιο μαγνητίτη A είναι ανάλογα υπό την έννοια ότι και τα δύο είναι μονο-περιοχές. Ο συνδυασμός της αλληλεπίδρασης ανταλλαγής με άλλους μηχανισμούς αλληλεπίδρασης δημιουργεί επομένως δύο μήκη που χαρακτηρίζουν τη συμπεριφορά των μαγνητικών υλικών. α) το πλάτος του τοιχώματος A / K β) το μήκος ανταλλαγής A / ex Στο Πίνακα συνοψίζονται τα χαρακτηριστικά μήκη γιά τα βασικά σιδηρομαγνητικά μέταλλα και σωματίδια που χρησιμοποιούνται στη μαγνητική εγγραφή (με κάπως διαφορετικούς ορισμούς στο σύστημα g). Πίνακας. Μαγνήτιση κόρου, σταθερές μαγνητικής ανισοτροπίας πρώτης και δεύτερης τάξης, μήκος ανταλλαγής και πλάτος τοιχώματος γιά σιδηρομαγνητικά στοιχεία και σωματίδια μαγνητικής εγγραφής. Η σταθερά ανταλλαγής είναι A=0-6 erg/m γιά τα στοιχεία και A=0-7 erg/m γιά τα οξείδια.

11 7.5 Βρόχος υστέρησης Μ C C Μαγνητικό πεδίο Σχήμα 7. Βρόχος υστέρησης - Μ Μέχρι τώρα θεωρήσαμε τις υστερητικές ιδιότητες μίας μονο-περιοχής. Ένα υλικό περιλαμβάνει σιδηρομαγνητικά σωματίδια διαφορετικού μεγέθους, σχήματος και προσανατολισμού της ανισοτροπίας. Ο βρόχος υστέρησης έχει τα εξής χαρακτηριστικά. Α) Η μαγνήτιση κόρου δίνεται από τη σχέση p b (3) όπου p είναι το ποσοστό συσσωμάτωσης, δηλαδή το ποσοστό του όγκου του δείγματος που καταλαμβάνουν τα σωματίδια και Μ b είναι η μαγνήτιση κόρου του υλικού. Β) Ο λόγος της παραμένουσας μαγνήτισης ή ορθογωνιότητα του βρόχου ορίζεται από τη σχέση r mr (3) Η αύξηση του λόγου m R είναι απαραίτητη γιά υλικά γιά μαγνητική εγγραφή, π.χ. γιά CrO, m R =0.9. Τα σωματίδια πρέπει να είναι καλής μορφολογίας χωρίς δενδρίτες (ενώσεις μεταξύ τους). Γ) Η συνεκτικότητα Η εξαρτάται από το πεδίο ανισοτροπίας Η Κ των σωματιδίων, το προσανατολισμό των εύκολων αξόνων ως προς το πεδίο και (όπως θα δείξομε) από τις θερμικές διακυμάνσεις της μαγνήτισης. Τυπικές τιμές είναι 300 Oe γιά γ-fe O 3 και Oe γιά Cπροσροφημένο γ-fe O 3. Το σημείο (-Η,0) στο βρόχο υστέρησης λέγεται συνεκτικό σημείο. Αν το συνεκτικό πεδίο του κάθε σωματιδίου καθορίζεται από την ανισοτροπία σχήματος, η συνεκτικότητα του δείγματος δίνεται από τη σχέση

12 (p) (0) p (33) όπου Η (0) είναι το συνεκτικό πεδίο ενός μόνο σωματιδίου. Η σχέση (33) οφείλεται στις διπολικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ των σωματιδίων. Το διπολικό πεδίο από τα γειτονικά σωματίδια Η int προστίθεται στο εξωτερικό πεδίο και μειώνει το πεδίο που επιφέρει στροφή της μαγνήτισης γιά ένα σωματίδιο. Το διπολικό πεδίο είναι ανάλογο πρός /r 3 (Κεφ.), όπου r η 3 απόσταση, όμως ο αριθμός n των σωματιδίων αυξανεται με την απόσταση n r, και επομένως η συνεισφορά των σωματιδίων στο διπολικό πεδίο δεν μειώνεται με την απόσταση. Η εξάρτηση της συνεκτικότητας από τις διπολικές αλληλεπιδράσεις δεν μπορεί να εξηγηθεί χρησιμοποιώντας μία προσέγγιση μέσου πεδίου, της μορφής int Nd, όπου Μ είναι η μέση τιμή της μαγνήτισης του δείγματος και Ν d κάποια σταθερά, γιατί στο συνεκτικό σημείο Μ=0 και το διπολικό πεδίο με αυτή τη προσέγγιση μηδενίζεται. Η προσέγγιση μέσου πεδίο χαρακτηρίζει τις διπολικές αλληλεπιδράσεις μακράς εμβέλειας. Η σχέση (33) οφείλεται επομένως στις διπολικές αλληλεπιδράσεις από γειτονικά σωματίδια, δηλαδή μικρής εμβέλειας. Γενικά οι επιπτώσεις των διπολικών αλληλεπιδράσεων είναι πολύπλοκες και χρειάζονται αριθμητικές προσομοιώσεις πχ. με τη μικρομαγνητική μέθοδο γιά τη κατανόηση τους. Αν η μαγνητοκρυσταλλική ανισοτροπία είναι πολύ μεγαλύτερη από την ανισοτροπία σχήματος από τις (3) και (5) προκύπτει ότι K. Εφ όσον το διπολικό πεδίο είναι ανάλογο προς Μ, η συνεκτικότητα, στη περίπτωση αυτή, δεν μεταβάλλεται σημαντικά από τις διπολικές αλληλεπιδράσεις. Δ) Η παραμένουσα συνεκτικότητα Αν το συνεκτικό πεδίο Η αφαιρεθεί, το δείγμα αποκτά θετική μαγνήτιση κατόπιν αντιστρεπτής μεταβολής της μαγνήτισης των σωματιδίων. Η παραμένουσα μαγνήτιση θα ήταν μηδέν, εάν ένα πεδίο ισχυρότερο από Η είχε εφαρμοσθεί. Tο πεδίο αυτό είναι η παραμένουσα συνεκτικότητα. Η r και αποτελεί μέτρο χαρακτηρισμού των μη αντιστρεπτών μεταβολών της μαγνήτισης. Το πεδίο Η r είναι πιό σημαντικό από τη συνεκτικότητα Η που εξαρτάται και από τις αντιστρεπτές μεταβολές της μαγνήτισης. Μία χρήσιμη παράμετρος γιά τον χαρακτηρισμό των μαγνητικών υλικών είναι ο παράγοντας συνεκτικότητας. r % (34) Αν όλα τα σωματίδια είχαν το ίδιο συνεκτικό πεδίο, ο βρόχος υστέρησης θα ήταν ορθογώνιος και επομένως r και ΠΣ=0. Η κλίση του μείζονος βρόχου υστέρησης εξαρτάται από τον αριθμό των σωματιδίων που αναστρέφουν τη μαγνήτιση τους γιά συγκεκριμένη τιμή του πεδίου. Ο παραγοντας συνεκτικότητας χρησιμοποιείται σαν ένα μέτρο της διασποράς των συνεκτικών πεδίων των σωματιδίων.

13 6 Υπερπαραμαγνητικά σωματίδια Ενέργεια KV Σχήμα 8. Ενέργεια σωματιδίου μονοπεριοχής με μοναξονική ανισοτροπία σαν συνάρτηση της γωνίας α, μεταξύ της μαγνήτισης και του εύκολου άξονα. Το πεδίο Η=0. α Γιά μία μονοπεριοχή με μοναξονική ανισοτροπία και Η=0, η εξάρτηση της ενέργειας από τη γωνία α μεταξύ της μαγνήτισης και του άξονα της ανισοτροπίας είναι της μορφής (Σχήμα 8) E KVin (35) όπου Κ η σταθερά της ανισοτροπίας. Οι διευθύνσεις εύκολης μαγνήτισης α=0 και α=π χωρίζονται από ενεργειακό φράγμα ύψους KV. Μέχρι τώρα θεωρήθηκε ότι όταν το πεδίο Η είναι σταθερό, η μαγνήτιση δεν αλλάζει κατεύθυνση. Η αλληλεπίδραση με τα φωνόνια όμως προκαλεί θερμικές διακυμάνσεις της διεύθυνσης της μαγνήτισης ενός σωματιδίου. Εάν ΚV>>kT, οι αυθόρμητες διακυμάνσεις είναι μικρές ωστόσο μετά από ένα αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα μία ενεργειακή διακύμανση με μέγεθος ΔΕ>KV μπορεί να επιφέρει υπερσκελισμό του ενεργειακού φράγματος. Γιά ένα ιδανικό δείγμα με πανομοιότυπα σωματίδια, με παράλληλους εύκολους άξονες χωρίς διπολικές αλληλεπιδράσεις, η θεωρητική χρονική μεταβολή της μαγνήτισης είναι εκθετική. / (t) (0)e t (36) όπου τ είναι ο χρόνος αποκατάστασης. Γιά συναφή περιστροφή της μαγνήτισης, χρόνος αποκατάστασης δίνεται από το νόμο Arrheniu-Neel. KV / kt f e (37) Ο παράγοντας f μπορεί να εκτιμηθεί ως εξής. Ανώτατο όριο γιά το /τ είναι η συχνότητα 7 μετάπτωσης από την +z στη z κατεύθυνση που είναι γ Κ /π,οπου 0 rad/oe- είναι ο γυρομαγνητικός λόγος και Κ είναι το αναγκαίο πεδίο για αναστροφή της μαγνήτισης. Επόμενως 0 f 0. Ο χρόνος αποκατάστασης μεταβάλλεται από δευτερόλεπτο σε πολλά χρόνια, όταν ο όγκος V αυξηθεί κατά μικρό ποσοστό. Γιά παράδειγμα σφαιρικό σωματίδιο με Κ=0 6 erg m -3 σε θερμοκρασία Τ=300 ο Κ έχει τ=0 - γιά ακτίνα.7 nm και τ=0 8 γιά ακτίνα. nm.επομένως μπορεί να ορισθεί (κατά προσέγγιση) ένα κρίσιμο μέγεθος κάτω από το οποίο η μαγνήτιση είναι σταθερή. Το μέγεθος αυτό συνήθως ορίζεται από το χρόνο μέτρησης της

14 μαγνήτισης με μαγνητομετρία δονούμενου δείγματος (VS) που είναι περίπου t=00. Θέτοντας τ=00 στο νόμο Arrheniu-Neel, ο κρίσιμος όγκος του σωματιδίου είναι 5kT V (38) K Αν V V τα σωματίδια είναι πάντα σε θερμοδυναμική ισορροπία και συμπεριφέρονται σαν παραμαγνητικά υλικά. Η μαγνητική ροπή μίας μονοπεριοχής όμως είναι χιλιάδες φορές μεγαλύτερη από τη μαγνητόνη Bhr μ B και τα σωματίδια μονο-περιοχές λέγονται υπερπαραμαγνητικά. Αν δεν υπάρχει διασπορά όγκων ούτε ανισοτροπία, η εξάρτηση της μαγνήτισης από το πεδίο δίνεται από τη συνάρτηση Langevin, όπως στο σχήμα 9. th, m / kt (39) και είναι προφανές ότι το συνεκτικό πεδίο Η =0 και δεν υπάρχει υστέρηση. Μ/Μ Σχήμα 9. Η συνάρτηση Langevin 7.7 Μαγνητικό ιξώδες Το μαγνητικό ιξώδες είναι η χρονοεξάρτηση της μαγνήτισης ενός δείγματος υπό σταθερό πεδίο Η, που οφείλεται στη μη αναστρέψιμη υπερπήδηση των ενεργειακών φραγμάτων που οφείλονται στη μαγνητική ανισοτροπία, με τη βοήθεια θερμικών διακυμάνσεων. Γιά ένα σωματίδιο μονοπεριοχή με μοναξονική ανισοτροπία και πεδίο παράλληλο προς τον άξονα ανισοτροπίας και αντίθετο στη μαγνήτιση το ενεργειακό φράγμα μπορεί να υπολογισθεί από την (7). E B KV (40) K α

15 Σύμφωνα με το νόμο Neel-Arrheniu ο χρόνος αποκατάστασης είναι f e EB kt f e KV K kt (4) Το συνεκτικό πεδίο Η C είναι η τιμή του πεδίου ώστε τ=t, ο πειραματικός χρόνος μέτρησης. Επομένως η χρονοεξάρτηση του συνεκτικού πεδίου δίνεται από τη σχέση kt ln f t t K (4) KV Η συνεκτικότητα κατά τη μαγνητική εγγραφή σε χρόνο n είναι επομένως πολύ μεγαλύτερη από τη συνεκτικότητα του ίδιου υλικού που υπολογίζεται με μαγνητομετρία δονούμενου δείγματος. Πειραματικά η χρονοεξάρτηση της μαγνήτισης ενός δείγματος δεν είναι ποτέ εκθετική σύμφωνα με τη σχέση (36), αλλά λογαριθμική (t) (t ) Sln(t / t ) (43) όπου t ο χρόνος έναρξης του πειράματος και S είναι ο συντελεστής του μαγνητικού ιξώδους. Η λογαριθμική εξάρτηση οφείλεται στη διασπορά των ενεργειακών φραγμάτων και κατά συνέπεια των χρόνων αποκατάστασης. Σε κάθε δείγμα τα σωματίδια έχουν διαφορετικό όγκο, σταθερά ανισοτροπίας, προσανατολισμό του εύκολου άξονα και επιπλέον οι διπολικές αλληλεπιδράσεις επιφέρουν διακυμάνσεις του τοπικού πεδίου Η σε κάθε σωματίδιο (σχέση 40). Το μαγνητικό ιξώδες γιά υμένια CCr φαίνεται στο Σχήμα 0. Σχήμα 0. Χρονοεξάρτηση της μαγνήτισης γιά υμένια CCr σε διαφορετικές θερμοκρασίες.

16 7.8 Πεδίο διακύμανσης * Οι θερμικές διακυμάνσεις προκαλούν μη αντιστρεπτές μεταβολές της μαγνήτισης όταν η μαγνήτιση υπερπηδά ένα ενεργειακό φράγμα. Ο Neel υπέθεσε ότι το αποτέλεσμα των θερμικών διακυμάνσεων είναι ίδιο με το αποτέλεσμα ενός πεδίου, που ονόμασε πεδίο διακύμανσης Η f. Αυτό ορίζεται από τη σχέση f S (44) irr όπου irr d irr / d είναι η μη αντιστρεπτή επιδεκτικότητα. Γράφοντας τη μη αντιστρεπτή μεταβολή της μαγνήτισης d irr Sd ln t d (45) irr Το πεδίο διακύμανσης δίνεται από τη σχέση f (46) ln t irr και συνδέεται με τη χρονοεξάρτηση του συνεκτικού πεδίου f f ( irr d 0) (47) d ln t Σχήμα..Φερρίτης C. Μαγνητίτης 3. AlNiC 4. AlniC 5. Σκόνη Fe 6. AlniC 7. AlniC (ανόπτηση) 8. Σκόνη Ni 9. Fe-C 0. Fe-C. Φερρίτης Ni-Zn μαλακός σίδηρος A AlniC Β. σκληρό ατσάλι Ημίσκληρο ατσάλι μαλακό ατσάλι

17 Το πεδίο διακύμανσης μαλακών και σκληρών μαγνητικών υλικών έχει ενιαία συμπεριφορά και μεταβάλλεται σύμφωνα με τη προσεγγιστική σχέση.33 f a όπως στο σχήμα. Η χρονο-εξάρτηση της συνεκτικότητας γίνεται ολοένα και πιό σημαντικό πρόβλημα γιά τη τεχνολογία μαγνητικής εγγραφής που χρησιμοποιεί υλικά με συνεχώς μεγαλύτερη συνεκτικότητα. 7.9 Καμπύλες μαγνήτισης α) Η ισόθερμος παραμένουσα μαγνήτιση Μ r (Η) προκύπτει μετά από εφαρμογή και αφαίρεση πεδίου Η σε απομαγνητισμένο δείγμα. Καλείται και αρχική καμπύλη. Η διαφορική συνάρτηση irr d r () / d είναι μέτρο χαρακτηρισμού της κατανομής των συνεκτικών πεδίων (ΚΣΠ) (Σχήμα ) Αρχική καμπύλη μαγνήτισης Κατανομή συνεκτικών πεδίων Oe Σχήμα. (α) Ισόθερμος παραμένουσα μαγνήτιση I r ()=Μ r / γιά μαγνητοταινία εγγραφής (β) Η καμπύλη di r ()/d. β) Θερμοπαραμένουσα μαγνήτιση. Ένα υλικό που θερμαίνεται πάνω από τη θερμοκρασία Τ Β που δίνεται από τη σχέση KV T B (48) 5k γίνεται υπερπαραμαγνητικό. Κατόπιν εφαρμόζεται ένα πεδίο Η και το υλικό ψύχεται αργά έως θερμοκρασία Τ<Τ Β και το πεδίο αφαιρείται. Η θερμοπαραμένουσα μαγνήτιση έχει μεγάλη

18 σημασία γιά τη μαγνήτιση των βράχων. Τα ορυκτά που περιέχουν σίδηρο εψύχθησαν σε κάποιο στάδιο της ιστορίας της γής υπό τη παρουσία του γεωμαγνητικού πεδίου. Η θερμοπαραμένουσα μαγνήτιση έχει επίσης εφαρμογές στη θερμομαγνητική εγγραφή και στη μελέτη αραιών μαγνητικών κραμάτων όπως τα pin glae. Γιά σύστημα σωματιδίων με μοναξονική ανισοτροπία παράλληλη προς το πεδίο δίνεται από τη σχέση m r tanh (49) ktb που αποτελεί τη κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας τη στιγμή της ψύξης (Τ=Τ Β ). γ) Ανυστερητική μαγνήτιση Η ανυστερητική μαγνήτιση προκύπτει με εφαρμογή ισχυρού εναλασσόμενου πεδίου κορεσμού της μαγνήτισης και ταυτόχρονα σταθερού πεδίου Η, και τη μετέπειτα αργή μείωση και αφαίρεση του εναλασσόμενου πεδίου. Κατά τη διάρκεια της μείωσης του εναλλασσόμενου πεδίου Η a, η μαγνήτιση των σωματιδίων με συνεκτικό πεδίο Η > a σταματά να ακολουθεί το πεδίο και τα σωματίδια αυτά ψύχονται μαγνητικά. Η ψύξη αρχίζει με τα σωματίδια με μεγάλο συνεκτικό πεδίο και συνεχίζει με τα σωματίδια με μικρότερο συνεκτικό πεδίο. Η τελική κατεύθυνση της μαγνητικής ροπής ενός σωματίδιου εξαρτάται από το σταθερό πεδίο και το τοπικό πεδίο που οφείλεται στην διπολική αλληλεπίδραση με άλλα σωματίδια. Η a Σχήμα 3. Χρονική εξάρτηση πεδίων κατά τη διαδικασία της ανυστέρησης Η d t Μ/Μ Σχήμα 4. Ανυστερητική μαγνήτιση σαν συνάρτηση του σταθερού πεδίου Η d (σε μονάδες του πεδίου ανισοτροπίας Η k ). d / k

19 Στο Σχήμα 4 δίνεται η μεταβολή της ανυστερητικής μαγνήτισης με το σταθερό πεδίο Η. Όταν το πεδίο Η είναι μικρό, η ανυστερητική μαγνήτιση είναι ανάλογη πρός το πεδίο. Αν δεν υπήρχε το διπολικό πεδίο αλληλεπίδρασης η ψύξη όλων των ροπών θα ήταν στη κατεύθυνση του πεδίου και η αρχική (ανυστερητική) επιδεκτικότητα θα ήταν άπειρη. Η ανυστερητική επιδεκτικότητα είναι επομένως μέτρο των διπολικών αλληλεπιδράσεων. Η γραμμική εξάρτηση της ανυστερετικής μαγνήτισης από το πεδίο, έχει σημαντικές εφαρμογές στην εγγραφή a bia ψηλής συχνότητας, σε μαγνητοταινίες. Ένα χαμηλής συχνότητας πεδίοσήμα εγγράφεται χωρίς παραμόρφωση επειδή η μαγνητική απόκριση της μαγνητοταινίας έχει γίνει γραμμική με την επίδραση του εναλασσόμενου πεδίου (a bia). 7.0 Υλικά σωματιδίων * Σιδηρομαγνητικά σωματίδια υπάρχουν σε διάφορα υλικά όπως τους βράχους,σιδηρουγρά, μέσα μαγνητικής εγγραφής, ακόμα και ζώντες οργανισμούς όπως τα περιστέρια και τα μαγνητοτακτικά βακτήρια. ) Μαγνητισμός των βράχων Στους βράχους τα σωματίδια είναι συνήθως σιδηριμαγνητικά ιζήματα χαμηλής περιεκτικότητας (<%) μέσα σε ανόργανη μήτρα. Τα σωματίδια μπορεί να είναι Fe, μαγνητίτης Fe 3 O 4, μαγαιμίτης (γ-fe O 3 ), τιτανομαγνητίτης (Fe 3-x Ti x O 4 ), τιτανομαγαιμίτης,αιματίτης (α-fe O 3 ) και πυροτίτης. Η μαγνήτιση των βράχων μπορεί να αλλάξει κάτω από ορισμένες συνθήκες. Χημική παραμένουσα μαγνήτιση προκύπτει αν το σιδηρομαγνητικό ίζημα οξειδωθεί. Η θερμοπαραμένουσα μαγνήτιση των βράχων οφείλεται στη ψύξη μέσω της θερμοκρασίας T B υπό τη παρουσία του γεωμαγνητικού πεδίου. Ο παλαιομαγνητισμός δίνει τη δυνατότητα χρονολόγησης πετρωμάτων βάσει του γνωστού χρονικού των μεταβολών της κατεύθυνσης του γεωμαγνητικού πεδίου. ) Σιδηρουγρά Τα σιδηρουγρά είναι κολλοειδή αιωρήματα σιδηρι- ή σιδηρομαγνητικών σωματιδίων διασκορπισμένων σε κατάλληλο υγρό (π.χ. νερό, υδρογονάνθρακες, φθοράνθρακες,σιλικόνη, υδράργυρος κλπ). Οι διπολικές αλληλεπιδράσεις είναι μακράς εμβέλειας και μπορούν να προκαλέσουν συνάθροιση των σωματιδίων που παραμένουν ενωμένα από τη δύναμη Van der Waal. συνάθροιση επιδεινώνει τις τεχνολογικά σημαντικές ιδιότητες και για αυτό τα σωματίδια επικαλύπτονται με επιφανειοδραστικές ουσίες δηλαδή οργανικά μόρια σε μορφή μακράς αλυσίδας που εμποδίζουν τη συνάθροιση. Γιά σταθερότητα του κολλοειδούς το μέγεθος των σωματισίων πρέπει να είναι μικρό περίπου 00 A. Τα πιό συνηθισμένα σιδηρουγρά είναι (Fe,C,Ni, Fe 3 O 4 και άλλοι φερρίτες). Εάν υποβληθούν σε πεδίο, η μαγνήτιση αλλάζει με περιστροφή της ροπής ή περιστροφή του σωματίδιου. Η μεταβολή της μαγνήτισης σε εξωτερικό πεδίο μπορεί να γίνει με συναφή περιστροφή (περιστροφή Neel) ή με περιστροφή του σωματιδίου με τη μαγνήτιση σταθερή (περιστροφή Brwn). Έχουν πολλές βιομηχανικές εφαρμογές (ερμητικό σφράγισμα, πηνία φωνής μεγαφώνων, εκτύπωση ink jet).

20 3) Μέσα μαγνητικής εγγραφής Τα σωματίδια χρησιμοποιούνται γιά αναλογική κυρίως εγγραφή, όπως μαγαιμίτης (γ-fe O 3 ) με συνεκτικότητα που αυξάνεται με προσρόφηση κοβαλτίου, διοξείδιο του χρωμίου (CrO ), μεταλλικά σωματίδια επικαλυμμένα γιά να μην οξειδωθούν, και φερρίτης του βαρίου. 7. Κατηγορίες σωματιδίων * Υπάρχουν 3 κατηγορίες σιδηρομαγνητικών σωματιδίων. Πολυ-περιοχές (multidmain), μονοπεριοχές (ingle dmain) και υπερπαραμαγνητικά σωματίδια. Η δομή των περιοχών σε ένα σωματίδιο εξαρτάται από το μέγεθος και το υλικό. Η δομή των περιοχών καθορίζεται από τις μαγνητικές ιδιότητες που εξαρτώνται από το μέγεθος των σωματιδίων, όπως η παραμένουσα μαγνήτιση κόρου Μ r και το συνεκτικό πεδίο Η που φαίνονται στο Σχήμα 5. Τα υπερπαραμαγνητικά σωματίδια έχουν Μ r =0 και Η =0 και οποιαδήποτε διαφορά στο Σχήμα 5, οφείλεται στη διασπορά των μεγεθών των σωματιδίων που υπάρχει σε κάθε υλικό. Οι μονοπεριοχές έχουν σταθερή παραμένουσα μαγνήτιση κόρου Μ r =Μ / και συνεκτικό πεδίο εξαρτώμενο από θερμικές διαταραχές που δίνεται από τη σχέση (4). 3/ a b / (50) όπου a,b σταθερές και η διάμετρος του σωματίδιου. Οι πολυ-περιοχές χαρακτηρίζονται από σταδιακή μείωση των Μ r και Η. Πειραματικά το συνεκτικό πεδίο των πολυπεριοχών δίνεται από τη σχέση e (5) όπου,e σταθερές. Η παραμένουσα μαγνήτιση κόρου δίνεται από τη θεωρία Νeel-Staey. r (5) Nd όπου Ν d είναι ο συντελεστής απομαγνήτισης.

21 Μ r /Μ Σχήμα 5. Λόγος παραμένουσας μαγνήτισης κόρου Μ r /Μ και συνεκτικότητα Η σαν συνάρτηση της μέσης τιμής μεγέθους των σωματιδίων Fe (παρασκευασμένα με ηλεκτροεναπόθεση) στους 07 ο Κ (Kneller και Lubrky, 963)