Αντισεισμική Ανάλυση Ανωδομής Γεφυρών Μορφής Πλακοδοκού Earthquake Analysis of Slab-and-Beam Bridge Deck Structures

Transcript

1 3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισμικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισμολογίας 5 7 Νοεμβρίου, 008 Άρθρο 177 Αντισεισμική Ανάλυση Ανωδομής Γεφυρών Μορφής Πλακοδοκού Earthquake Analyss of Slab-and-Beam Brdge Deck Structures Ευάγγελος ΣΑΠΟΥΝΤΖΑΚΗΣ 1, Βασίλειος ΜΩΚΟΣ, Αγγελική ΚΟΡΩΝΑΙΟΥ 3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται γενική μεθοδολογία αντισεισμικής ανάλυσης ανωδομής γεφυρών μορφής πλακοδοκού, λαμβάνοντας υπόψη φαινόμενα δεύτερης τάξης. Η πλακοδοκός υποβάλλεται σε κατακόρυφη σεισμική διέγερση. Για την επίλυση του συστήματος πλάκας δοκών εφαρμόζεται ρεαλιστικό προσομοίωμα, σύμφωνα με το οποίο απομονώνονται οι δοκοί ενίσχυσης από την πλάκα μέσω τομών στην κάτω εξωτερική επιφάνειά της. Με τη βοήθεια των τομών αυτών και ολοκληρώνοντας τις αναπτυσσόμενες τάσεις κατά το ήμισυ του πλάτους της διεπιφάνειας πλάκας δοκών εμφανίζονται δυνάμεις ανηγμένες ανά μέτρο μήκους στη διεπιφάνεια και κατά τους τρεις άξονες του συστήματος συντεταγμένων. Οι δυνάμεις αυτές θεωρούνται σταθερές κατά το ήμισυ του πλάτους της διεπιφάνειας και αναφέρονται στη μέση γραμμή του πλάτους αυτού, αντίστοιχα, δηλαδή σε κάθε δοκό λαμβάνονται υπόψη δύο γραμμές διεπιφάνειας. Οι δυνάμεις διεπιφάνειας αποτελούν επιπρόσθετη φόρτιση των δοκών και της πλάκας. Η διαμήκης κατανομή τους είναι εξ αρχής άγνωστη, ωστόσο μπορεί να προσδιοριστεί επιβάλλοντας κατάλληλες συνθήκες συμβιβαστού μετατοπίσεων στις γραμμές διεπιφάνειας προς όλες τις διευθύνσεις του συστήματος συντεταγμένων. Σύμφωνα με την παρουσιαζόμενη μέθοδο μορφώνονται έξι προβλήματα συνοριακών τιμών, τα οποία επιλύονται αριθμητικά με τη Μέθοδο Αναλογικής Εξίσωσης. Η αποτελεσματικότητα και το εύρος εφαρμογής της προτεινόμενης μεθόδου παρουσιάζεται μέσα από παραδείγματα με ιδιαίτερο πρακτικό ενδιαφέρον. ABSTRACT: In ths paper a general soluton for the earthquake analyss of slab-and-beam brdge deck structures s presented, takng nto account second-order effects. The stffened plate s subjected to vertcal earthquake loadng. Accordng to the proposed model, the stffenng beams are solated from the plate by sectons n the lower outer surface of the plate takng nto account the arsng tractons n all drectons at the nterfaces. These tractons are ntegrated wth respect to each half of the nterface wdth resultng two nterface lnes, along whch the loadng of the beams as well as the addtonal loadng of the plate s defned. Ther unknown dstrbuton s establshed by applyng contnuty condtons n all drectons at the nterfaces. Sx boundary value problems are formulated and solved numercally usng the Analog Equaton Method. Numercal examples wth great practcal nterest are worked out to llustrate the effcency and the range of applcatons of the developed method. 1 Αναπλ. Καθηγητής, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, emal: cvsapoun@central.ntua.gr Δρ. Πολιτικός Μηχανικός ΕΜΠ, Οργανισμός Αντισεισμικού Σχεδιασμού & Προστασίας, emal: bmokos@oasp.gr 3 Πολιτικός Μηχανικός ΕΜΠ, Τεχνικό Γραφείο Α. Κορωναίου, emal: akoron@central.ntua.gr

2 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο σχεδιασμός του φορέα ανωδομής γεφυρών περιλαμβάνει σήμερα συνήθως την κατασκευή πλάκας με δοκούς, καθώς εξασφαλίζει την οικονομία της κατασκευής (επίτευξη υψηλής δυσκαμψίας με οικονομία υλικού) και την αυξημένη ταχύτητα ολοκλήρωσής της (προκατασκευασμένες δοκοί, απλότητα κατασκευής). Αξίζει να σημειωθεί ότι, από το σύνολο των κατασκευαζόμενων γεφυρών στην Ελλάδα (οδικές ή σιδηροδρομικές χαραδρογέφυρες, κοιλαδογέφυρες, ποταμογέφυρες) το 70% έχει ως ανωδομή φορέα μορφής πλακοδοκού. Ο φορέας καταστρώματος με σχεδιασμό πλακοδοκού εφαρμόζεται κυρίως για την κάλυψη ενός ή περισσοτέρων ευθύγραμμων τμημάτων μεσαίων ανοιγμάτων (συνήθως ίσων). Η κατασκευή των τεχνικών αυτών γίνεται είτε με επιτόπια σκυροδέτηση τόσο της πλάκας όσο και των δοκών ενίσχυσης (χυτή κατασκευή) είτε, όπως συνηθίζεται, με τη μέθοδο της προκατασκευής. Οι δοκοί ενίσχυσης προκατασκευάζονται σε εργοστάσιο ή επιτόπου στο εργοτάξιο από ωπλισμένο ή προεντεταμένο σκυρόδεμα καθώς και από χάλυβα (σύμμικτη πλακοδοκός), με επαρκή αντοχή για μεταφορά ανύψωση με σύστημα δύο γερανών (αποτροπή στρεπτοκαμπτικού λυγισμού), είναι ίδιες και έχουν συνήθως ίδιο άνοιγμα. Υπογραμμίζεται ότι, ο σχεδιασμός του φορέα ανωδομής γέφυρας μορφής πλακοδοκού σε πολλές περιπτώσεις αποτελεί τη μόνη λύση. Χαρακτηριστικά παραδείγματα αποτελούν περιπτώσεις πολύ χαλαρών εδαφών θεμελίωσης με αναμενόμενες μεγάλες διαφορικές καθιζήσεις των βάθρων, καθώς και περιπτώσεις τεχνικών άνω διαβάσεων υφιστάμενων σιδηροδρομικών γραμμών, όπου η λύση της προκατασκευής δίδει διέξοδο στο πρόβλημα της επιτόπιας σκυροδέτησης με τη βοήθεια μεταλλικών ικριωμάτων, που θα είχε ως συνέπεια την επιβράδυνση της κίνησης επί της σιδηροδρομικής γραμμής και πρόκληση πιθανού ατυχήματος. Η εκτεταμένη χρήση της πλακοδοκού στις σύγχρονες κατασκευές, καθώς και το γεγονός ότι οι γέφυρες αποτελούν γραμμές ζωής απαιτεί ακριβή ανάλυση. Αστοχία στην ανωδομή γέφυρας μπορεί να έχει ως αποτέλεσμα την αδυναμία μεταφοράς ανθρωπιστικού υλικού και μπορεί να θέσει σε κίνδυνο χιλιάδες ζωές εξαιτίας της αποκοπής της οδικής επικοινωνίας σε έκτακτη ανάγκη. Στις συνήθεις κτιριακές κατασκευές οι πλάκες έχουν εν γένει μικρά ανοίγματα της τάξης των 4.0m έως 7.0m με τις δοκούς ενίσχυσης να είναι αρκετά δύσκαμπτες (παραλαβή σεισμικών καταπονήσεων), με αποτέλεσμα στην ανάλυση να επιτρέπεται από τους διάφορους κανονισμούς (κατά κάποιο τρόπο μάλιστα συνιστούν) οι δοκοί ενίσχυσης να θεωρούνται ως στηρίξεις της πλάκας με δεσμευμένη τη βύθιση και ελεύθερη τη στρεπτική στροφή. Έτσι, η πλάκα μπορεί να μελετάται ανεξάρτητα από τις δοκούς ενίσχυσης σύμφωνα με την κλασσική θεωρία πλακών. Υπογραμμίζεται ότι οι δοκοί ενίσχυσης στην περίπτωση αυτή υπολογίζονται με τη θεώρηση του συνεργαζόμενου πλάτους, το οποίο καθορίζεται προσεγγιστικά από τους κανονισμούς. Αντίθετα, στη γεφυροποιία το άνοιγμα του φορέα καταστρώματος με σχεδιασμό πλακοδοκού είναι αρκετά μεγάλο της τάξης των 0.0m έως 40.0m, με αποτέλεσμα να μην μπορεί να απομονωθεί η ανάλυση της πλάκας από τις δοκούς, έστω και αν το ύψος των δοκών είναι αρκετά αυξημένο (μέχρι και.5m). Στην περίπτωση αυτή η ανάλυση είναι αρκετά σύνθετη καθώς θα πρέπει να ληφθεί υπόψη η αλληλεπίδραση της πλάκας με τις δοκούς. Ο προσδιορισμός της συμπεριφοράς πλάκας με δοκούς έχει αποτελέσει αντικείμενο ιδιαίτερα εκτεταμένης έρευνας τις τελευταίες δεκαετίες. Από την αναδρομή στην πρόσφατη συναφή

3 βιβλιογραφία παρατηρείται ότι έχουν προταθεί πλήθος προσομοιωμάτων για τον υπολογισμό της απόκρισης πλακοδοκού. Αρχικά οι προσπάθειες επίλυσης προσανατολίζονταν στην προσομοίωση των πλακών αυτών με ισοδύναμες ορθοτροπικές πλάκες σταθερού πάχους, με αντικείμενο έρευνας τον προσδιορισμό των ελαστικών σταθερών της πλάκας μοντέλου και ακολούθως την επίλυση της αντίστοιχης ορθοτροπικής πλάκας (Massonet, 1950), (Cornelus, 195). Η προσομοίωση όμως αυτή μπορεί να εφαρμοστεί εάν η ενισχυμένη πλάκα ικανοποιεί δύο περιορισμούς. Ο πρώτος περιορισμός απαιτεί ο λόγος του διαστήματος μεταξύ δύο συνεχόμενων νευρώσεων προς τις διαστάσεις του συνόρου της πλάκας να είναι αρκετά μικρός έτσι ώστε να εξασφαλίζεται η ομοιογένεια της δυσκαμψίας. Ο δεύτερος περιορισμός απαιτεί ο λόγος της δυσκαμψίας των ενισχύσεων προς τη δυσκαμψία της πλάκας να μην είναι αρκετά μεγάλος έτσι ώστε η δράση των δοκών να μην είναι κυρίαρχη. Οι προαναφερόμενοι περιορισμοί ικανοποιούνται κυρίως σε πλάκες τύπου Zöllner, όπως αυτές χρησιμοποιούνται συνήθως σε κτιριακές κατασκευές όπου για αρχιτεκτονικούς λόγους δεν είναι επιθυμητή μεγάλη κρέμαση δοκών. Ωστόσο, στη γεφυροποιία στην πλειονότητα των περιπτώσεων οι δοκοί ενίσχυσης για λόγους οικονομίας, αφενός τοποθετούνται σε μεγάλες αποστάσεις μεταξύ τους και αφετέρου είναι αρκετά υψηλές συγκρινόμενες με το πάχος της συμπαγούς πλάκας, με άμεσο αποτέλεσμα το προσομοίωμα της ισοδύναμης ορθοτροπικής πλάκας να μην μπορεί να προσεγγίσει ικανοποιητικά τη συμπεριφορά της πλακοδοκού. Αξίζει να τονισθεί ότι σε καμία περίπτωση η προσομοίωση πλάκας με νευρώσεις με τη θεώρηση ορθοτροπικής πλάκας δεν μπορεί να προσδιορίσει την ένταση στη διεπιφάνεια πλάκας δοκού. Ακολούθως με τη πρόοδο στην τεχνολογία των ηλεκτρονικών υπολογιστών προτάθηκαν πιο βελτιωμένα μοντέλα στηριζόμενα κυρίως στη Μέθοδο Πεπερασμένων Στοιχείων (FEM), με πιο σημαντικά τα ακόλουθα (Wunderlch et al., 1994), (Rombach, 000), (Hartmann and Katz, 00): FEM_1: Προσομοίωση πλάκας και δοκών με κελυφωτά πεπερασμένα στοιχεία (Σχήμα 1α) FEM_: Προσομοίωση πλάκας με κελυφωτά πεπερασμένα στοιχεία και δοκών με ραβδωτά στοιχεία χωρίς ή με εκκεντρότητα, χρησιμοποιώντας στη δεύτερη περίπτωση στερεούς κόμβους ( Rgd Offset ) (Σχήμα 1β). FEM_3: Προσομοίωση ολόκληρης της πλακοδοκού με στερεά (τρισδιάστατα) πεπερασμένα στοιχεία (Σχήμα 1γ). Η πρώτη προσομοίωση πεπερασμένων στοιχείων (FEM_1) μπορεί να εφαρμοστεί εάν οι δοκοί ενίσχυσης έχουν ορθογωνική διατομή και το πάχος τους είναι αρκετά μικρό (περίπου το ίδιο με το πάχος της πλάκας). Στα σημεία τομής πλάκας και δοκών λόγω αλληλοκάλυψης λαμβάνεται υπόψη πρόσθετη επιφάνεια η οποία όμως δεν επηρεάζει σημαντικά τα αποτελέσματα (Rombach, 000). Στην περίπτωση που οι δοκοί ενίσχυσης έχουν διατομή τυχόντος σχήματος μπορεί να εφαρμοστεί η δεύτερη προσομοίωση (FEM_). Εάν το ύψος των δοκών είναι αρκετά μεγάλο θα πρέπει να ληφθεί υπόψη η εκκεντρότητα της πλάκας με τις δοκούς. Στην περίπτωση αυτή θα πρέπει να δοθεί προσοχή στην έκκεντρη σύνδεση των ραβδωτών και κελυφωτών στοιχείων καθώς τα μητρώα εκκεντρότητας (μετάθεσης) με τα οποία προσομοιώνονται οι στερεοί κόμβοι δεν εξασφαλίζουν πάντα στατικές και κινηματικές συνθήκες στις διεπιφάνειες (Hartmann and Katz, 00). Τέλος, παρότι οι δυνατότητες των ηλεκτρονικών υπολογιστών σήμερα είναι ιδιαίτερα αυξημένες, μια πλήρης τρισδιάστατη ανάλυση με στερεά πεπερασμένα στοιχεία, δηλαδή η τρίτη προσομοίωση (FEM_3), συνεχίζει 3

4 να είναι αρκετά κοπιαστική ιδιαίτερα στην καθημερινή μελετητική πρακτική. Επίσης, σε ορισμένες περιπτώσεις προκειμένου να αποφευχθούν παρασιτικές δυσκαμψίες (shearlockng, membrane-lockng) απαιτείται η χρησιμοποίηση αρκετών στρώσεων στερεών πεπερασμένων στοιχείων στην πλάκα (Knothe und Wessels, 199), αυξάνοντας έτσι κατά πολύ το πλήθος των αγνώστων και συνεπώς τον υπολογιστικό χρόνο. Στην πράξη η πλακαδοκός συνήθως αναλύεται με τη Μέθοδο Εσχαροποίησης (Σαπουντζάκης, 1999). Κελυφωτό στοιχείο Κελυφωτό στοιχείο FEM_1 (α) Κελυφωτό στοιχείο Έκκεντρη Σύνδεση Ραβδωτό στοιχείο FEM_ (β) Στερεό Στοιχείο (3D) Στερεό Στοιχείο (3D) FEM_3 (γ) Σχήμα 1. Προσομοιώματα πλακοδοκού πεπερασμένων στοιχείων. Η Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων (BEM), ως εναλλακτική μέθοδος, έχει επίσης χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση πλακοδοκών (Hu and Hartley, 1994), (De Pava, 1996), (Tanaka et al., 000), (Sapountzaks and Katskadels, 000), (Wen et al., 00), (Olvera and Pava, 003), (Fernandes and Venturn, 005). Στη ΒΕΜ συνήθως η πλάκα απομονώνεται από τις δοκούς με τη βοήθεια κατάλληλων τομών και εν συνεχεία, υπολογίζονται οι δυνάμεις στις διεπιφάνειες επιβάλλοντας κατάλληλες συνθήκες συνέχειας μετατοπίσεων. Ωστόσο, σε όλες τις προαναφερόμενες προσεγγίσεις η ανάλυση δεν είναι πλήρης, καθώς είτε η ανάλυση πραγματοποιείται θεωρώντας την πλακοδοκό στην απαραμόρφωτη κατάσταση αγνοώντας έτσι φαινόμενα δεύτερης τάξης λόγω μεμβρανικών δυνάμεων, είτε αγνοούνται οι συνεπίπεδες διαμήκεις ή εγκάρσιες δυνάμεις στη διεπιφάνεια, 4

5 είτε αγνοείται η ανομοιόμορφη στρεπτική συμπεριφορά των δοκών ενίσχυσης. Όλες οι παραπάνω υποθέσεις οδηγούν σε ανακρίβειες οι οποίες επηρεάζουν την ανάλυση και κατ επέκταση την υπολογιζόμενη συμπεριφορά των ενισχυμένων πλακών. Τέλος, οι Sapountzaks and Mokos (007, 008) βελτιώνοντας το προσομοίωμα που πρότειναν οι Sapountzaks and Katskadels (000) παρουσίασαν γενική μεθοδολογία ανάλυσης πλακοδοκού με φαινόμενα δεύτερης τάξης λαμβάνοντας υπόψη όλες τις δυνάμεις στη διεπιφάνεια πλάκας δοκών και την ανομοιόμορφη στρεπτική συμπεριφορά των δοκών ενίσχυσης. Στην εργασία αυτή, η οποία βασίζεται στην εργασία των Sapountzaks and Mokos (008), παρουσιάζεται γενική μεθοδολογία αντισεισμικής ανάλυσης ανωδομής γεφυρών μορφής πλακοδοκού (δηλαδή πλάκας ενισχυμένης με δοκούς με σκοπό την αύξηση της δυσκαμψίας της) από οπλισμένο ή προεντεταμένο σκυρόδεμα ή και σύμμικτων. Η πλακοδοκός υποβάλλεται σε κατακόρυφη σεισμική διέγερση. Χωρίς να χάνεται η γενικότητα οι δοκοί ενίσχυσης είναι πρισματικές συμμετρικής διατομής και παράλληλες μεταξύ τους. Για την επίλυση του συστήματος πλάκας δοκών εφαρμόζεται ρεαλιστικό προσομοίωμα, σύμφωνα με το οποίο απομονώνονται οι δοκοί από την πλάκα μέσω τομών στην κάτω εξωτερική επιφάνειά της. Με τη βοήθεια των τομών αυτών και ολοκληρώνοντας τις αναπτυσσόμενες τάσεις κατά το ήμισυ του πλάτους της διεπιφάνειας πλάκας δοκών εμφανίζονται δυνάμεις ανηγμένες ανά μέτρο μήκους στη διεπιφάνεια και κατά τους τρεις άξονες του συστήματος συντεταγμένων. Οι δυνάμεις αυτές θεωρούνται σταθερές κατά το ήμισυ του πλάτους της διεπιφάνειας και αναφέρονται στη μέση γραμμή του πλάτους αυτού, αντίστοιχα, δηλαδή σε κάθε δοκό λαμβάνονται υπόψη δύο γραμμές διεπιφάνειας (ανομοιόμορφη κατανομή συνεπίπεδων εγκάρσιων δυνάμεων διεπιφάνειας). Η χρησιμοποίηση δύο γραμμών διεπιφάνειας είναι απαραίτητη για τη σωστή προσομοίωση της στρεπτικής συμπεριφοράς των δοκών ενίσχυσης (έμμεση εξασφάλιση κοινών κλίσεων πλάκας δοκών), η οποία θεωρείται ανομοιόμορφη. Οι δυνάμεις διεπιφάνειας αποτελούν επιπρόσθετη φόρτιση των δοκών και της πλάκας. Η διαμήκης κατανομή τους είναι εξ αρχής άγνωστη, ωστόσο μπορεί να προσδιοριστεί επιβάλλοντας κατάλληλες συνθήκες συμβιβαστού μετατοπίσεων στις γραμμές διεπιφάνειας προς όλες τις διευθύνσεις του συστήματος συντεταγμένων, όπου λαμβάνεται υπόψη και η στρέβλωση λόγω στρέψης των διατομών των δοκών. Η ανάλυση πραγματοποιείται θεωρώντας την ισορροπία της πλάκας και των δοκών στην παραμορφωμένη κατάσταση λαμβάνοντας έτσι υπόψη φαινόμενα δεύτερης τάξης. Σύμφωνα με την προτεινόμενη μέθοδο μορφώνονται έξι προβλήματα συνοριακών τιμών αναφορικά με τη βύθιση της πλάκας, τις συνεπίπεδες συνιστώσες των μετατοπίσεων της πλάκας, τις βυθίσεις των δοκών και κατά τις δύο διευθύνσεις, την αξονική μετατόπιση τους, καθώς και τη γωνία στρέψης των δοκών, τα οποία επιλύονται με τη Μέθοδο Αναλογικής Εξίσωσης (ΑΕΜ) (Katskadels, 00a), η οποία αποτελεί σύγχρονη εξέλιξη της Μεθόδου Συνοριακών Στοιχείων (Katskadels, 00b). Το υιοθετούμενο προσομοίωμα επιτρέπει τον προσδιορισμό των διατμητικών δυνάμεων διεπιφάνειας και κατά τις δύο οριζόντιες διευθύνσεις, η γνώση των οποίων είναι ιδιαίτερα σημαντική, τόσο στον υπολογισμό της απόκρισης της πλακοδοκού, όσο και στη διαστασιολόγηση των διατμητικών συνδέσμων στην περίπτωση προκατασκευασμένων δοκών, η οποία είναι και η πλέον συνήθης. Αξίζει να σημειωθεί ότι οι περισσότερες αστοχίες παρατηρούνται συνήθως στη σύνδεση της πλάκας με τις δοκούς ενίσχυσης. Η αποτελεσματικότητα και το εύρος εφαρμογής της παρουσιαζόμενης μεθόδου παρουσιάζεται μέσα από παραδείγματα με ιδιαίτερο πρακτικό ενδιαφέρον, ενώ η αξιοπιστία 5

6 της προτεινόμενης μεθόδου διαπιστώνεται με τη βοήθεια κελυφωτών και στερεών πεπερασμένων στοιχείων.. ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Θεωρούμε λεπτή πλάκα από ομογενές, ισότροπο και γραμμικά ελαστικό υλικό με μέτρο ελαστικότητας E και λόγο Posson μ, η οποία έχει σταθερό πάχος h p και καταλαμβάνει τη διδιάστατη πολλαπλά συνεκτική περιοχή Ω του επιπέδου x,y, τα σύνορα της οποίας είναι κατά τμήματα λεία (μπορούν δηλαδή να περιλαμβάνουν πεπερασμένο αριθμό γωνιών) και συμβολίζονται με j = 0,1,, K,K 1,K όπως φαίνεται στο Σχήμα. Γ ( ) j s n t Οπή 1 (Γ 1 ) Οπή K (Γ K ) L I (Γ 0 ) Δοκός I b Ι f (Ω) L 1 L Δοκός 1 Δοκός b f b f yv, p xu, p f f j= j = 1 f j Γ =U Γ j K j= 0 : Γραμμή διεπιφάνειας (j=1,) h b C y x z Σχήμα. Περιοχή Ω του επιπέδου x,y που καταλαμβάνει η ενισχυμένη πλάκα (άνοψη). Η πλάκα ενισχύεται από σύνολο παράλληλων δοκών πλήθους = 1,,...,I ελεύθερα τοποθετημένες στην περιοχή Ω. Οι δοκοί ενίσχυσης είναι πρισματικές διατομής διπλής συμμετρίας (κέντρο βάρους ταυτίζεται με κέντρο στρέψης διάτμησης) και είναι στερεά συνδεδεμένες με την πλάκα (δηλαδή δεν υπάρχει δυνατότητα σχετικής ολίσθησης στη διεπιφάνεια πλάκας δοκών), θεωρούνται ισότροπες και γραμμικά ελαστικές με μέτρο ελαστικότητας E b και λόγο Posson μ b, ενώ μπορούν να είναι ομογενείς ή/και σύνθετες (σύμμικτες). Για λόγους ευκολίας ο x άξονας λαμβάνεται παράλληλος με τη διεύθυνση των δοκών. Η ενισχυμένη πλάκα υποβάλλεται σε κατακόρυφο φορτίο g = g( x,t), x :{x,y},t 0, μπορεί να στηρίζεται στο σύνορό της, ενώ οι δοκοί υπόκεινται σε σημειακές 6

7 στηρίξεις στα άκρα. Για την επίλυση του προαναφερθέντος προβλήματος θεωρείται για την ανάλυση της πλάκας καθολικό σύστημα αξόνων Oxyz και την ανάλυση των δοκών τοπικά κύρια καμπτικά συστήματα αξόνων Oxyz παράλληλα στο Oxyz (Σχήμα ). g α α Τομή α-α (α) g Ω : Μέση επιφάνεια πλάκας f j = 1 q zj f j = q yj x,u p O z,w p y,v p q xj q xj ( E,v) f h p ( ) Γ Ω : Διεπιφάνεια b f 4 q zj q yj C : Κέντρο Βάρους S : Κέντρο Στρέψης h b z,w x,u b O C S b y,v b ( E,n b b) b f :Πλάτος διεπιφάνειας (β) Σχήμα 3. Λεπτή ελαστική πλάκα ενισχυμένη με δοκό (α) και απομόνωση δοκού από την πλάκα (β). Σύμφωνα με το προτεινόμενο προσομοίωμα, η ανάλυση του φορέα μορφής πλακοδοκού συνίσταται στην απομόνωση των δοκών από την πλάκα μέσω τομών παράλληλων στην κάτω εξωτερική επιφάνειά της, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3. Με τη βοήθεια των τομών αυτών 7

8 και ολοκληρώνοντας τις αναπτυσσόμενες τάσεις κατά το ήμισυ του πλάτους της διεπιφάνειας πλάκας δοκών εμφανίζονται δυνάμεις ανηγμένες ανά μέτρο μήκους στη διεπιφάνεια (π.χ. kn/m) και κατά τις τρεις διευθύνσεις x,y,z (όπως στη Μέθοδο Δυνάμεων της Κλασσικής Στατικής). Οι δυνάμεις αυτές θεωρούνται σταθερές κατά το ήμισυ του πλάτους της διεπιφάνειας και αναφέρονται στη μέση γραμμή του πλάτους αυτού, αντίστοιχα, δηλαδή σε κάθε δοκό λαμβάνονται υπόψη δύο γραμμές διεπιφάνειας. Η χρησιμοποίηση δύο γραμμών διεπιφάνειας είναι απαραίτητη για τη σωστή προσομοίωση της στρεπτικής συμπεριφοράς των δοκών ενίσχυσης (ζεύγος δυνάμεων), η οποία θεωρείται ανομοιόμορφη. Οι δυνάμεις διεπιφάνειας αποτελούν φόρτιση των δοκών και επιπρόσθετη φόρτιση της πλάκας. Η διαμήκη κατανομή τους είναι εξ αρχής άγνωστη, ωστόσο μπορεί να προσδιοριστεί επιβάλλοντας κατάλληλες συνθήκες συνέχειας στις γραμμές διεπιφάνειας προς όλες τις διευθύνσεις x,y,z, όπου λαμβάνεται υπόψη και η στρέβλωση λόγω στρέψης των διατομών των δοκών, σύμφωνα με τη διαδικασία που παρουσιάζεται στη συνέχεια. Οι φορτίσεις που προκαλούν οι δυνάμεις διεπιφάνειας, κατά μήκος της μέσης επιφάνειας της πλάκας καθώς και κατά μήκος των αξόνων των δοκών που διέρχονται από το κέντρο βάρους των διατομών τους, συνοψίζονται ως ακολούθως. Στην πλάκα (στην προβολή των γραμμών διεπιφάνειας f ( j 1,) πλάκας): j = στη μέση επιφάνεια της Κατακόρυφο γραμμικά κατανεμημένο φορτίο q zj. Συνεπίπεδο διαμήκες γραμμικά κατανεμημένο (μαζικό) φορτίο q xj. Συνεπίπεδο εγκάρσιο γραμμικά κατανεμημένο (μαζικό) φορτίο q yj. Κατακόρυφο γραμμικά κατανεμημένο φορτίο m pyj x λόγω της εκκεντρότητας της συνιστώσας q xj ως προς τη μέση επιφάνεια της πλάκας. mpyj = qxjhp είναι η καμπτική ροπή. Κατακόρυφο γραμμικά κατανεμημένο φορτίο m pxj x λόγω της εκκεντρότητας της συνιστώσας q yj ως προς τη μέση επιφάνεια της πλάκας. mpxj = qyjhp είναι η καμπτική ροπή. Σε κάθε δοκό (στους άξονες Oxyz) : Κατακόρυφο (καμπτικό) γραμμικά κατανεμημένο φορτίο Ox. Διαμήκες (αξονικό) γραμμικά κατανεμημένο φορτίο Εγκάρσιο (καμπτικό) γραμμικά κατανεμημένο φορτίο Ox. q zj κατά μήκος του άξονα q xj κατά μήκος του άξονα Ox. q yj κατά μήκος του άξονα 8

9 Γραμμικά κατανεμημένη καμπτική ροπή m byj qxjezj τοπικό άξονα Oy λόγω της εκκεντρότητας κέντρο βάρους της δοκού. Γραμμικά κατανεμημένη καμπτική ροπή m y f e = b 4 περί τον τοπικό άξονα q xj ως προς το κέντρο βάρους της δοκού. = με z1 z1 b e zj της συνιστώσας bzj qxjeyj e = e = h περί τον = με Oz λόγω της εκκεντρότητας bxj zj yj yj zj q xj ως προς το y1 f e = b 4 και e yj της συνιστώσας Γραμμικά κατανεμημένη στρεπτική ροπή m = q e q e με e = b 4, ey = bf 4 και ez1 = ez1 = hb περί τον τοπικό άξονα στρέψης Ox λόγω των εκκεντροτήτων e yj και e zj των συνιστωσών q zj και q yj ως προς το κέντρο βάρους της δοκού, αντίστοιχα. y1 f Μέση επιφάνεια πλάκας xu, p yv, p q z 1 m q px1 y 1 q m py1 x 1 f f j= j = 1 q y q z q x x m py m px zw, p Ο m byj m bxj m bzj q xj q zj y q yj z Σχήμα 4. Στατικό προσομοίωμα και κατευθύνσεις (διευθύνσεις και φορές) πρόσθετων φορτίων πλάκας και δοκών ενίσχυσης. Τα στατικά προσομοιώματα και οι προαναφερθείσες πρόσθετες φορτίσεις της πλάκας και των δοκών παρουσιάζονται στο Σχήμα 4. Με βάση τις παραπάνω θεωρήσεις, η απόκριση 9

10 της πλάκας και των δοκών μπορεί να περιγραφεί από τα ακόλουθα έξι προβλήματα αρχικών συνοριακών τιμών..1 Προβλήματα Αρχικών Συνοριακών Τιμών για την Πλάκα Η πλάκα υφίσταται εγκάρσια και συνεπίπεδη παραμόρφωση. Έτσι, για το βέλος κάμψης εφαρμόζοντας τη γραμμικοποιημένη θεωρία ης τάξης (μικρές μετατοπίσεις και ισορροπία στην παραμορφωμένη κατάσταση) η κυρίαρχη εξίσωση κίνησης της πλάκας γράφεται ως 4 wp wp w p D wp + ρ phpw && p + cpw& p Nx + N xy + Ny = x y x y I g q + q q y y = 1 j= 1 y x x y mpxj mpyj w pj w pj zj xj yj δ j j ( ) στο Ω (1) οι αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες ως και οι αντίστοιχες αρχικές συνθήκες ως α p1wp + αprpn = αp3 (α) wp β p1 + βpm pn = βp3 στο Γ n (β) w p( x,0) wp0( x) ( x ) = ( x) = (3α) w & p,0 wp0 στο Γ (3β) όπου a p, p ( 1,,3) συνθήκες στήριξης της πλάκας (ανεξάρτητες του χρόνου), w w ( x,t) β = είναι δοσμένες συναρτήσεις στο σύνορο εξαρτώμενες από τις είναι η χρονικά εξαρτώμενη βύθιση της πλάκας, p =, x :{x,y}, t 0 p 3 p μ της πλάκας, N = N ( x,y), N = N ( x,y) και N N ( x,y) D= Eh /1(1 ) είναι η δυσκαμψία x x y y xy = xy είναι μεμβρανικές δυνάμεις της διατομής της πλάκας ανηγμένες ανά μέτρο πλάτους, ρ p είναι η πυκνότητα της πλάκας, c είναι ο καμπτικός συντελεστής απόσβεσης της πλάκας, w ( x), ( x) p βύθιση και η αρχική ταχύτητα των σημείων της μέσης επιφάνειας της πλάκας, p0 w p0 είναι η αρχική είναι η συνάρτηση Drac στη διεύθυνση y και M pn = M p ( wp ), Rpn Rp ( wp ) j δ (y y ) = είναι η καμπτική ροπή και η υποκατάστατη (ενεργός) τέμνουσα στο σύνορο της πλάκας ως προς το κάθετο διάνυσμα n, αντίστοιχα, οι οποίες σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες γράφονται ως wp w M pn = D wp + ( v 1) + κ s n p (4) 10

11 R D w (v 1) N N n s s n s n s wp w p wp wp pn = p κ + n + nt (5) όπου κ κ( s) = είναι η καμπυλότητα του συνόρου, / s και / n δηλώνουν παραγώγιση κατά μήκος του τόξου s του συνόρου και το εξωτερικό κάθετο διάνυσμα n αυτού, αντίστοιχα. Αξίζει να σημειωθεί ότι, οι συνθήκες () αποτελούν τις πλέον γενικές γραμμικές συνοριακές συνθήκες πλάκας, από τις οποίες με κατάλληλες τιμές των συναρτήσεων a, β = 1,,3 μπορούμε να περιγράψουμε όλα τα πιθανά είδη συνοριακής στήριξης ( ) p p συμπεριλαμβανομένης και της ελαστικής (π.χ. για πακτωμένο σύνορο ap1 = β p1 = 1 και a = a = β = β = 0). p p3 p p3 Δεδομένου ότι εξετάζεται γραμμικοποιημένη θεωρία κάμψης πλάκας, οι συνιστώσες των μεμβρανικών δυνάμεων δίδονται από τις σχέσεις όπου C Eh p /( 1 ν ) up vp Nx = σ pxx( x,y) hp = C + ν x y up vp Ny = σ pyy( x,y) hp = C ν + x y 1 ν up vp Nxy = τ pxy ( x,y) hp = C + y x p p p = p είναι οι συνιστώσες των μετατοπίσεων στη μέση επιφάνεια της πλάκας. Οι συνιστώσες αυτές οφείλονται στις γραμμικά κατανεμημένες μαζικές δυνάμεις q xj, q yj (=1,, I) και προκύπτουν επιλύοντας =, ενώ u = u ( x,y) και v v ( x,y) ανεξάρτητα το πρόβλημα επίπεδης έντασης (πρόβλημα δίσκου) της θεωρίας ελαστικότητας, που περιγράφεται από το ακόλουθο ψευδοστατικό (αμελούνται συνεπίπεδες αδρανειακές δυνάμεις) πρόβλημα συνοριακών τιμών (εξισώσεις ισορροπίας Naver) I 1+ v up vp 1 up + + qxj j y y = 0 1 v x x y Gh p = 1 j= 1 I 1+ v up vp 1 vp + + qyj j y y = 0 1 v y x y Gh p = 1 j= 1 (6α) (6β) (6γ) δ ( ) (7α) δ ( ) στο ( j 1,) Ω = (7β) γ p1upn + γ pnn = γ p3 (8α) δ u + δ N = δ στο Γ (8β) p1 pt p t p3 όπου G = E/ (1 + ν ) είναι το μέτρο διάτμησης της πλάκας, N n, N t και u pn, u pt είναι οι συνοριακές μεμβρανικές δυνάμεις και μετατοπίσεις στην κάθετη και εφαπτομενική διεύθυνση του συνόρου, αντίστοιχα, γ p, δ p (= 1,,3) είναι συναρτήσεις ορισμένες στο σύνορο Γ. 11

12 . Προβλήματα Αρχικών Συνοριακών Τιμών για κάθε Δοκό Κάθε δοκός ενίσχυσης υφίσταται εγκάρσιες μετατοπίσεις λόγω κάμψης (βυθίσεις) ως προς τους z και y άξονες, αξονική παραμόρφωση ως προς το διαμήκη άξονα x και ανομοιόμορφη γωνία στρέψης περί το διαμήκη άξονα x. Έτσι, για το βέλος κάμψης ως προς τον z άξονα η κυρίαρχη εξίσωση κίνησης σύμφωνα με τη γραμμικοποιημένη θεωρία ης τάξης μαζί με τις αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες γράφονται ως 4 w b wb w m b byj EI b by + ρ 4 baw b&& b+ cw b& b= qzj qxj + N bj στο L, = 1,,...,I (9) x j= 1 x x x και οι αρχικές συνθήκες ως όπου wb wb( x,t) άξονα, δοκού, z z z a1 wb a Rbz a3 z z z 1 by Mby 3 β θ + β = β στα άκρα x + = (10α) ( ) b0( ) ( ) = b0( ) b b = 0, L (10β) w x,0 = w x (11α) w& x,0 w x (11β) = είναι το χρονικά εξαρτώμενο βέλος κάμψης της δοκού ως προς τον I by είναι η καμπτική ροπή αδράνειας ως προς τον ρ b είναι η πυκνότητα της δοκού, δοκού, Nbj Nbj ( x ) b0 ( ) = είναι οι αξονικές δύναμεις στον y άξονα, z A b το εμβαδόν της c b είναι ο καμπτικός συντελεστής απόσβεσης της x κεντροβαρικό άξονα, b0 ( ) w x, w x είναι η αρχική βύθιση και η αρχική ταχύτητα των σημείων του ουδέτερου άξονα της z δοκού ως προς τον z άξονα, a l, άκρα της δοκού, θ by, R bz, καμπτική ροπή στα άκρα της δοκού, αντίστοιχα, που δίδονται από τις σχέσεις Το βέλος κάμψης vb vb( x ) z β l (l = 1,,3) είναι συντελεστές καθοριζόμενοι στα M by είναι η καμπτική στροφή, η κατακόρυφη αντίδραση και η b w θby = (1) x 3 wb wb Rbz = EbIby N 3 + bj (13) x x M j= 1 wb by EbIby = (14) x = της δοκού ως προς τον y άξονα πρέπει να ικανοποιεί το ακόλουθο ψευδοστατικό (αμελούνται εγκάρσιες αδρανειακές δυνάμεις ως προς τον άξονα) πρόβλημα συνοριακών τιμών y 1

13 όπου 4 v b vb v m b bzj EI b bz = q 4 yj qxj + N bj στο L, = 1,,...,I (15) x j= 1 x x x y y y a1 vb a Rby a3 y y y 1 bz Mbz 3 β θ + β = β στα άκρα x I bz είναι η καμπτική ροπή αδράνειας ως προς τον συντελεστές καθοριζόμενοι στα άκρα της δοκού, θ bz, + = (16α) = 0, L (16β) z άξονα, R by, y a l, y β l (l = 1,,3) είναι M bz είναι η καμπτική στροφή, η κατακόρυφη αντίδραση και η καμπτική ροπή στα άκρα της δοκού, αντίστοιχα, που δίδονται από τις σχέσεις vb bz = (17) θ x 3 vb vb Rby = EbIbz N 3 bj (18) x x M j= 1 vb bz = EbIbz (19) Δεδομένου ότι εξετάζεται γραμμικοποιημένη θεωρία κάμψης δοκού, η αξονική παραμόρφωση της δοκού u b υποβαλλόμενη σε τυχούσα κατανεμημένη αξονική δύναμη q xj (=1,, I) προκύπτει επιλύοντας ανεξάρτητα το ακόλουθο ψευδοστατικό (αμελούνται αξονικές αδρανειακές δυνάμεις) πρόβλημα συνοριακών τιμών ub b b q xj x j= 1 x x x 1 ub Nb 3 EA x = στο L, γ + γ = γ στα άκρα x = 1,,...,I (0) = 0, L (1) x όπου γ l (l = 1,,3) είναι συντελεστές καθοριζόμενοι στα άκρα της δοκού και αξονική αντίδραση στα άκρα της δοκού η οποία δίδεται από τη σχέση N b είναι η ub b = bj = b b () j= 1 x N N E A Τέλος, η ανομοιόμορφη γωνία στρέψης περί το διαμήκη άξονα στρέψης x πρέπει να ικανοποιεί το ακόλουθο ψευδοστατικό (αμελούνται αξονικές αδρανειακές ροπές λόγω στρέψης και στρέβλωσης) πρόβλημα συνοριακών τιμών 4 θbx θbx b bw 4 b bx bxj x x j= 1 EI GI = m στο L, = 1,,...,I (3) x x x 1 bx bx 3 a θ + a M = a (4α) 13

14 όπου θbx θbx ( x ) x θ bx x x 1 Mbw 3 β + β = β στα άκρα x x = 0, L (4β) = είναι η μεταβλητή γωνία στρέψης της δοκού περί το διαμήκη άξονα στρέψης x, Gb = E b / (1 + μb ) είναι το μέτρο διάτμησης, I bw, I bx είναι αντίστοιχα η σταθερά στρέβλωσης και στρέψης της διατομής της δοκού που ορίζονται ως όπου S P ( y,z ) I ( ϕs ) P bw da A ( ) ( ) = (5α) Ibx y z y z da z y P P ϕs ϕs = + + A (5β) ϕ η πρωτογενή συνάρτηση στρέβλωσης ως προς το κέντρο διάτμησης S της x x διατομής A της δοκού, a l, β l (l = 1,,3) είναι συντελεστές καθοριζόμενοι στα άκρα της δοκού, θbx x δηλώνει το ρυθμό μεταβολής της γωνίας στρέψης (συστροφή), M bx και M bw είναι η στρεπτική ροπή και διρροπή στα άκρα της δοκού, αντίστοιχα, που ορίζονται από τις σχέσεις M P S Mbx = Mbx + Mbx (6α) θbx bw = EbIxw (6β) P Στην Εξίσωση 6α M bx είναι η πρωτογενής στρεπτική ροπή οφειλόμενη στις πρωτογενείς S διατμητικές τάσεις και M bx είναι η δευτερογενής στρεπτική ροπή οφειλόμενη στις δευτερογενείς διατμητικές τάσεις λόγω στρέβλωσης οι οποίες ορίζονται ως (Sapountzaks and Mokos, 003) M M x P θbx bx GbIbx = (7α) x 3 θ = E I (7β) x S bx bx b bw 3 Τονίζεται ότι οι Εξισώσεις 10α, 10β, 16α,16β, 1, 4α, 4β εκφράζουν τις πλέον γενικές γραμμικές συνοριακές συνθήκες δοκού συμπεριλαμβανομένης και της ελαστικής στήριξης καθορίζοντας κατάλληλα τους αντίστοιχους συντελεστές συναρτήσεις..3 Συνθήκες Συνέχειας Μετατοπίσεων στις Διεπιφάνειες Οι Εξισώσεις 1, 7a, 7b, 9, 15, 0, 3 αποτελούν σύνολο επτά συζευγμένων μερικών διαφορικών εξισώσεων με δεκατρείς αγνώστους, δηλαδή w p, u p, v p, w b, v b, u b, θ bx, q x1, q y1, q z1, q x, q y, q z. Απαιτούνται επομένως έξι πρόσθετες εξισώσεις, οι οποίες 14

15 προκύπτουν από τις συνθήκες συνέχειας των μετατοπίσεων στις διευθύνσεις των τοπικών αξόνων στις γραμμές διεπιφάνειας f ( j 1,) αυτές διατυπώνονται ως εξής Στη διεύθυνση του τοπικού άξονα w z : b f p1 wb bx w j x, y και z = πλάκας δοκού. Οι συνθήκες = 4 θ γραμμής διεπιφάνειας 1 ( f j= 1 ) (8α) b f p wb bx Στη διεύθυνση του τοπικού άξονα u u = 4 θ γραμμής διεπιφάνειας ( f j= ) (8β) x : +( φ ) hp wp1 hb w b b f vb P θbx p1 ub S f1 = + + γραμμής διεπιφάνειας 1 ( x x 4 x x h p wp hb w b b f vb θbx u = + +( φ ) γραμμής διεπιφάνειας ( x 4 f x x x P p b S Στη διεύθυνση του τοπικού άξονα P όπου ( S ) v v y : h p p1 b p1 v w h b θ bx = + γραμμής διεπιφάνειας 1 ( y h p p b p v w h b θ bx = + γραμμής διεπιφάνειας ( y f j = 1 f j = ) (9α) )(9β) f j = 1 ) (30α) f j = ) (30β) φ είναι η αλγεβρική τιμή της πρωτογενούς κύριας συνάρτησης στρέβλωσης ως fj προς το κέντρο διάτμησης S της διατομής της δοκού στη γραμμή διεπιφάνειας f j. Αξίζει εδώ να σημειωθεί ότι, η σύζευξη των προαναφερθέντων εξισώσεων είναι μη γραμμική, λόγω των όρων που περιέχουν τις άγνωστες μεμβρανικές και αξονικές δυνάμεις. 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ Τα προβλήματα κάμψης πλάκας, μεμβρανικής έντασης πλάκας, κάμψης δοκού κατά τις δύο διευθύνσεις, στρέψης δοκού και αξονικής παραμόρφωσης δοκού που παρουσιάστηκαν στο προηγούμενο εδάφιο επιλύονται αριθμητικά με τη βοήθεια της Μεθόδου Αναλογικής Εξίσωσης (ΑΕΜ) (Katskadels, 00a). Η αριθμητική επίλυση των προβλημάτων αυτών περιγράφεται διεξοδικά στις εργασίες των Sapountzaks and Mokos (007, 008). 15

16 4. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Σύμφωνα με την αναλυτική και αριθμητική διαδικασία που παρουσιάστηκε στα δύο προηγούμενα εδάφια αναφορικά με το πρόβλημα της πλακοδοκού, συντάχθηκε πρόγραμμα ηλεκτρονικού υπολογιστή σε γλώσσα Fortran. Με τη βοήθεια του προγράμματος αυτού μελετήθηκαν αντιπροσωπευτικά παραδείγματα με πρακτικό ενδιαφέρον, προκειμένου να διαπιστωθεί η αποτελεσματικότητα και το εύρος εφαρμογής της παρουσιαζόμενης μεθόδου. Στα παραδείγματα θεωρήθηκε ενιαίο υλικό σκυροδέματος πλάκας και δοκών ενίσχυσης 3 ( E = Eb = 3.00E7, μ = μ b = 0.0 και ρ = ρ b = 500 kg m ). 4.1 Παράδειγμα 1 Ως πρώτο παράδειγμα μελετήθηκε ορθογωνική πλάκα σκυροδέματος διαστάσεων lpx lpy = m και πάχους hp = 0cm ενισχυμένη με μία δοκό σκυροδέματος ορθογωνικής διατομής έκκεντρα τοποθετημένη ως προς τον x άξονα συμμετρίας της πλάκας όπως φαίνεται στο Σχήμα 5. Η απόσβεση αγνοήθηκε ( ξ = ξ b = 0.0 ), ενώ ο δείκτης συμπεριφοράς θεωρήθηκε μοναδιαίος ( q= qb = 1). lpy=9.00m CL (Πάκτωση) FR (Ελεύθερο) a C(0.5,0.0) FR y a CL x I by (m 4 ): E-01 I bz (m 4 ): E-01 I bx (m 4 ): E-01 I bw (m 6 ):.036E-0 P ( φ S ) P ( φ S ) (m ): Ε-0 f 1 (m ): Ε-0 f l px =18.00m (α) h p =0.0m j= j=1 y C(0.5,0.0) h b =.00m g(t) 3.00m g(t) g o z b=1.00m 5.00m l py =9.00m t g o =10kPa, t 1 =0.3sec t (sec) (β) Σχήμα 5. Κάτοψη (α) και διατομή α-α (β) της πλακοδοκού του παραδείγματος 1. 16

17 Πίνακας 1. Αδιάστατες ιδιοσυχνότητες Ω = ω ρ της πλακοδοκού του παραδείγματος 1. AEM (Προτεινόμενη Μέθοδος) Κελυφωτά Κελυφωτά (Nastran): FEM_1 FEM Κελυφωτά Δοκός (SAP000): FEM_ Στερεά (Nastran): FEM_3 Χωρίς δοκό h b = 00cm AEM (Προτεινόμενη Μέθοδος) Κελυφωτά Κελυφωτά (Nastran): FEM_1 Στερεά (Nastran): FEM_3 Ω = Ω = Ω = Ω = 9.68 Ω = Ω = Ω = 10.7 Ω = Ω = Ω = Ω 4 = Ω = Σχήμα 6. Πρώτες τέσσερις κανονικές μορφές της πλακοδοκού του παραδείγματος

18 Η πλάκα υπόκειται σε καθολικό ομοιόμορφα κατανεμημένο δυναμικό φορτίο g() t, το οποίο επιβάλλεται γραμμικά στην πλακοδοκό μέσα σ ένα χρονικό διάστημα t 1 = 0.3sec και παραμένει στην κατασκευή με σταθερή τιμή g0 = 10kPa σ όλη τη διάρκεια της κίνησης. Η χρονική συνάρτηση της φόρτισης φαίνεται στο Σχήμα 5β. Η πλάκα είναι πακτωμένη (καμπτικά και συνεπίπεδα) στις δύο απέναντι μικρές πλευρές της και ελεύθερη (καμπτικά και συνεπίπεδα) στις υπόλοιπες δύο, ενώ η δοκός ενίσχυσης είναι πακτωμένη στα άκρα της αναφορικά με τις καμπτικές, αξονικές και στρεπτικές συνοριακές συνθήκες. Στον Πίνακα 1 δίδονται οι πρώτες πέντε αδιαστατοποιημένες τιμές των ιδιοσυχνοτήτων Ω της πλακοδοκού, όπως αυτές υπολογίστηκαν με την προτεινόμενη μέθοδο (ΑΕΜ) και συγκρίνονται με τις αντίστοιχες τιμές που προέκυψαν με τη βοήθεια της Μεθόδου Πεπερασμένων Στοιχείων (FEM) χρησιμοποιώντας τρία διαφορετικά προσομοιώματα πεπερασμένων στοιχείων FEM_1, FEM_ και FEM_3, όπως αυτά παρουσιάστηκαν στο εδάφιο 1 (Σχήμα 1). Επίσης, στο Σχήμα 6 παρουσιάζονται οι πρώτες τέσσερις κανονικές μορφές της πλακοδοκού σύμφωνα με την προτεινόμενη μέθοδο (ΑΕΜ) και τα προσομοιώματα πεπερασμένων στοιχείων FEM_1 και FEM_3. Από τον Πίνακα 1 καθώς και το Σχήμα 6 διαπιστώνεται η αξιοπιστία των αποτελεσμάτων της παρούσας έρευνας AEM ù ñßò qx,qy: maxwp=0.5359cm Êåëõöù ôü-äï êüò (SAP000) / FEM_: maxwp=0.3691cm AEM ì å qx,qy (Ðñï ôåéí üì åí ç Ì Ýèï äï ò): maxwp=0.3668cm Βύθιση wp(m) στο σημείο C FR CL CL Χρόνος (sec) FR Σχήμα 7. Χρονική απόκριση βύθισης στο σημείο C της πλακοδοκού του παραδείγματος 1. 18

19 Στο Σχήμα 7 απεικονίζεται η χρονική απόκριση της βύθισης (χρονοϊστορία) στο σημείο C της πλακοδοκού (Σχήμα 5) όπως αυτή προσδιορίστηκε με τη Μέθοδο Αναλογικής Εξίσωσης (ΑΕΜ) αγνοώντας και λαμβάνοντας (παρούσα έρευνα) αντίστοιχα υπόψη τις συνεπίπεδες δυνάμεις διεπιφάνειας q x,q y, καθώς και με τη Μέθοδο Πεπερασμένων Στοιχείων χρησιμοποιώντας το προσομοίωμα FEM_. Σημειώνεται ότι, για τον υπολογισμό της απόκρισης εφαρμόστηκε η Μέθοδος Επαλληλίας Ιδιομορφών (Κατσικαδέλης, 004), ενώ για την επίλυση των γενικευμένων μονοβαθμίων συστημάτων χρησιμοποιήθηκε η Μέθοδος Μέσης Επιτάχυνσης (Κατσικαδέλης, 00). Από το Σχήμα 7 επιβεβαιώνεται η ακρίβεια και αξιοπιστία της παρουσιαζόμενης μεθοδολογίας και διαπιστώνεται η αναγκαιότητα συνυπολογισμού των συνεπίπεδων δυνάμεων διεπιφάνειας q x,q y στη δυναμική ανάλυση πλακών ενισχυμένων με δοκούς. lpy=9.00m SS (Απλή έδραση) FR (Ελεύθερο) a B(0.5,4.0) C(0.5,0.0) A(0.5,-4.0) FR y a SS x I bx (m 4 ): E-03 I bw (m 6 ): E-03 I by (m 4 ): E-01 I bz (m 4 ): E-0 P ( φ S ) P ( φ S ) (m ): E-0 f 1 (m ): E-0 f l px =18.00m (α) (A) (C) (B) h p =0.15m.00m 1.00m 1.00m 1.00m 1.00m 1.00m.00m 0.15m l py =9.00m j= j=1 1.00m 1.0m y 0.0m z 10cm (β) Σχήμα 8. Κάτοψη (α) και διατομή α-α (β) της πλακοδοκού του παραδείγματος. 4. Παράδειγμα Ως δεύτερο παράδειγμα εξετάστηκε ορθογωνική πλάκα σκυροδέματος διαστάσεων lpx lpy = m και πάχους hp = 15cm ενισχυμένη με τρεις όμοιες διπλά συμμετρικές δοκούς σκυροδέματος μορφής διπλού ταυ συμμετρικά τοποθετημένες, όπως φαίνεται στο 19

20 Σχήμα 8. Ο λόγος απόσβεσης για την πλάκα και τις δοκούς ενίσχυσης θεωρήθηκε κοινός και ίσος με ξ = ξ b = 0.07, ενώ ο δείκτης συμπεριφοράς ελήφθη μοναδιαίος ( q= qb = 1). Η πλακοδοκός υποβλήθηκε σε κατακόρυφη σεισμική διέγερση, όπου ως φόρτιση ελήφθη ο σεισμός της Αθήνας (Πάρνηθας) της 7 ης Σεπτεμβρίου Στο Σχήμα 9 δίδεται το επιταχυνσιογράφημα του σεισμού (καταγραφή ΙΤΣΑΚ, Α399 1.V, διαμήκης συνιστώσα) πολλαπλασιασμένο με το μειωτικό συντελεστή k=0.70 (κατακόρυφη συνιστώσα, ΕΑΚ 000, Παράρτημα Α) Επιτάχυνση (m/sec ) Χρόνος (sec) Σχήμα 9. Επιταχυνσιογράφημα σεισμού Αθήνας (Πάρνηθας) της 7 ης Σεπτεμβρίου 1999 maxu && g = 1.81m sec, t = 4 sec του παραδείγματος. πολλαπλασιασμένο με το συντελεστή k=0.70 ( ) Πίνακας. Ιδιοπερίοδοι T ( sec ) της πλακοδοκού του παραδείγματος. AEM (Προτεινόμενη Μέθοδος) Κελυφωτά Δοκός (SAP000): FEM_ FEM Στερεά (Nastran): FEM_

21 AEM (Προτεινόμενη Μέθοδος) Στερεά Πεπερασμένα Στοιχεία (Nastran): FEM_3 T = sec T = sec 1 1 T = sec T = sec T = sec T = 0.080sec 3 3 T = sec T = sec 4 Σχήμα 10. Πρώτες τέσσερις κανονικές μορφές της πλακοδοκού του παραδείγματος. 4 1

22 0.003 AEM με q x,q y (Προτεινόμενη Μέθοδος) Βύθιση wp(m) στα σημεία Α & Β maxwp=.7593mm Χρόνος (sec) Βύθιση wp(m) στο σημείο C maxwp=0.4333mm Χρόνος (sec) Βύθιση wp(m) στα σημεία Α & Β maxwp=7.8773mm AEM χωρίς q x,q y Χρόνος (sec) Βύθιση wp(m) στο σημείο C maxwp=5.5951mm Χρόνος (sec) Σχήμα 11. Χρονική απόκριση βύθισης στα σημεία Α, Β και C της πλακοδοκού του παραδείγματος. Στον Πίνακα δίδονται οι πρώτες δέκα τιμές των ιδιοπεριόδων T της πλακοδοκού, όπως αυτές υπολογίστηκαν με την προτεινόμενη μέθοδο (ΑΕΜ) και συγκρίνονται με τις αντίστοιχες τιμές που προέκυψαν με τη βοήθεια της Μεθόδου Πεπερασμένων Στοιχείων (FEM) χρησιμοποιώντας δύο προσομοιώματα πεπερασμένων στοιχείων FEM_ και FEM_3, όπως αυτά παρουσιάστηκαν στο εδάφιο 1 (Σχήμα 1). Επιπλέον, στο Σχήμα 10 παρουσιάζονται οι πρώτες τέσσερις κανονικές μορφές της πλακοδοκού σύμφωνα με την προτεινόμενη μέθοδο (ΑΕΜ) και το προσομοίωμα πεπερασμένων στοιχείων FEM_3. Από τον Πίνακα καθώς και το Σχήμα 10 διαπιστώνεται εκ νέου η αξιοπιστία των αποτελεσμάτων της παρούσας εργασίας. Τέλος, στο Σχήμα 11 απεικονίζονται οι χρονικές αποκρίσεις των βυθίσεων στα σημεία Α, Β και C της πλακοδοκού (Σχήμα 8) όπως αυτές προσδιορίστηκαν με τη Μέθοδο Αναλογικής Εξίσωσης (ΑΕΜ) αγνοώντας και λαμβάνοντας (παρούσα έρευνα) αντίστοιχα υπόψη τις συνεπίπεδες δυνάμεις διεπιφάνειας q x,q y. Επισημαίνεται ότι, για τον υπολογισμό της απόκρισης εφαρμόστηκε η Μέθοδος Επαλληλίας Ιδιομορφών (Κατσικαδέλης, 004), ενώ για την επίλυση των γενικευμένων μονοβαθμίων συστημάτων χρησιμοποιήθηκε η Ακριβής Αναλυτική Μέθοδος για τμηματικά γραμμική συνάρτηση φόρτισης (Κατσικαδέλης, 00).

23 Από το Σχήμα 11 διαπιστώνεται η σημαντική επιρροή των συνεπίπεδων δυνάμεων διεπιφάνειας q x,q y στη δυναμική ανάλυση πλακών ενισχυμένων με δοκούς. 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται γενική μεθοδολογία αντισεισμικής ανάλυσης ανωδομής γεφυρών μορφής πλακοδοκού υποβαλλόμενη σε κατακόρυφη σεισμική διέγερση. Για την ανάλυση του προβλήματος αυτού εφαρμόστηκε ρεαλιστικό προσομοίωμα, το οποίο, σε σύγκριση με άλλα προσομοιώματα, λαμβάνει υπόψη τις δυνάμεις διεπιφάνειας πλάκας δοκών ενίσχυσης και κατά τους τρεις άξονες του συστήματος συντεταγμένων θεωρώντας παράλληλα φαινόμενα δεύτερης τάξης και χρησιμοποιώντας δύο γραμμές διεπιφάνειας σε κάθε δοκό ενίσχυσης. Προκειμένου να ληφθεί υπόψη η ανομοιόμορφη στρεπτική συμπεριφορά των δοκών ενίσχυσης καθώς και η στρέβλωση των διατομών τους στις συνθήκες συνέχειας των μετατοπίσεων εφαρμόζεται η ανομοιόμορφη θεωρία στρέψης. Τα κύρια συμπεράσματα που προκύπτουν από την προαναφερθείσα ανάλυση είναι τα ακόλουθα. Η δυναμική απόκριση της πλακοδοκού επηρεάζεται σημαντικά από τις συνεπίπεδες δυνάμεις διεπιφάνειας και επομένως είναι απαραίτητο οι δυνάμεις αυτές να συνυπολογίζονται στην ανάλυση. Το υιοθετούμενο προσομοίωμα επιτρέπει τον υπολογισμό της χρονικής απόκρισης των συνεπίπεδων δυνάμεων διεπιφάνειας και κατά τις δύο οριζόντιες διευθύνσεις, η γνώση των οποίων είναι ιδιαίτερα σημαντική στη διαστασιολόγηση των διατμητικών συνδέσμων στην περίπτωση προκατασκευασμένων δοκών. Η ακρίβεια και αξιοπιστία του υιοθετούμενου μοντέλου επιβεβαιώνεται με άλλα στατικά προσομοιώματα πεπερασμένων στοιχείων. Ο αλγόριθμος της παρουσιαζόμενης μεθόδου προσφέρεται για την ανάλυση πλακοδοκού με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστίες εκφράζονται προς τον Οργανισμό Αντισεισμικού Σχεδιασμού και Προστασίας (Ο.Α.Σ.Π.) για την κάλυψη εξόδων συμμετοχής στο 3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισμικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισμολογίας. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Cornelus, W. (195), De Berechnung der Ebener Flächentragwerke mt Hlfe der Theore der Orthogonal Ansotropen Platten, Der Stahlbau, : 1-6. De Pava, J.B. (1996), Boundary Element Formulaton of Buldng Slabs, Engneerng Analyss wth Boundary Elements, 17, Fernandes G.R., and Venturn W.S. (005), Buldng Floor Analyss by the Boundary Element Method, Computatonal Mechancs, Vol.35, Hartmann, F. and Katz, C. (00), Statk mt Fnten Elementen, Sprnger, Berln-Hedelberg. 3

24 Hu, C. and Hartley, G.A. (1994) Elastc Analyss of Thn Plates wth Beam Supports, Engneerng Analyss wth Boundary Elements, 13, Katskadels, J.T. (00a), The Analog Equaton Method. A Boundary only Integral Equaton Method for Nonlnear Statc and Dynamc Problems n General Bodes, Theoretcal and Appled Mechancs, 7, Katskadels, J.T (00b), Boundary Elements: Theory and Applcatons, Elsever, Amsterdam-London. Knothe, K. und Wessels, H. (199), Fnte Elemente,. Auflage, Sprnger Verlag, Berln-New York. Massonet, C. (1950), Method of Calculatons for Brdges wth Several Longtudnal Beams Takng nto Account ther Torsonal Resstance, Internatonal Assocaton for Brdges and Structural Engneerng, MSC/NASTRAN for Wndows (1999), Fnte element modelng and postprocessng system, Help System Index,Verson 4.0, USA. Olvera Neto, L. and Pava, J.B. (003), A specal BEM for elastostatc analyss of buldng floor slabs on columns, Computers and Structures, 81, Rombach, G. (000), Anwendung der Fnte-Elemente-Methode m Betonbau, Ernst & Sohn, Berln. SAP000 (004), Lnear and Nonlnear Statc and Dynamc Analyss and Desgn of Three- Dmensonal Structures, Verson 9, Computers and Structures, Inc., Berkeley, Calforna, USA. Sapountzaks E.J. and Katskadels J.T. (000), Analyss of Plates Renforced wth Beams, Computatonal Mechancs, 6, Sapountzaks, E.J. and Mokos, V.G. (003), Warpng Shear Stresses n Nonunform Torson by BEM, Computatonal Mechancs, 30,, Sapountzaks E.J. and Mokos V.G. (007), Analyss of Plates Stffened by Parallel Beams, Internatonal Journal for Numercal Methods n Engneerng, 70, pp Sapountzaks E.J. and Mokos V.G. (008), An Improved Model for the Dynamc Analyss of Plates Stffened by Parallel Beams, Engneerng Structures, 30, Tanaka M., Matsumoto T. and Oda S. (000), A Boundary Element Method Appled to the Elastostatc Bendng Problem of Beam-Stffened Plates Engneerng Analyss wth Boundary Elements, 4, Wen, P.H., Alabad, M.H. and Young, A. (00), Boundary element analyss of shear deformable stffened plates, Engneerng Analyss wth Boundary Elements, 6, Wunderlch, W., Kener, G. und Ostermann, W. (1994), Modellerung und Berechnung von Deckenplatten mt Unterzügen, Baungeneur, 69, ΕΑΚ 000, Ελληνικός Αντισεισμικός Κανονισμός, ΦΕΚ 184Β/ , ΦΕΚ 43Β/ Κατσικαδέλης, Ι.Θ. (00), Δυναμική των Κατασκευών, Τόμος Ι, Εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα. Κατσικαδέλης, Ι.Θ. (004), Δυναμική των Κατασκευών, Τόμος ΙΙ, Εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα. Σαπουντζάκης, Ε.Ι. (1999), Προσομοίωση Τεχνικών Έργων, Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα. 4