Ευάγγελος ΣΑΠΟΥΝΤΖΑΚΗΣ Α 1, Βασίλειος ΜΩΚΟΣ Β 2, Αγγελική ΚΟΡΩΝΑΙΟΥ Γ 3. Λέξεις κλειδιά: Πλακοδοκός, Ερπυσµός, Συστολή Ξήρανσης

Transcript

1 Επιρροή Χρόνιων Φαινοµένων στην Ανάλυση Ανωδοµής Γεφυρών Ωπλισµένου Σκυροδέµατος Μορφής Πλακοδοκού Influence of Cree and Shrnkage Effects n the Analyss of Renforced Concrete Slab-and-Beam Brdge Deck Structures Ευάγγελος ΣΑΠΟΥΝΤΖΑΚΗΣ Α 1, Βασίλειος ΜΩΚΟΣ Β 2, Αγγελική ΚΟΡΩΝΑΙΟΥ Γ 3 Λέξεις κλειδιά: Πλακοδοκός, Ερπυσµός, Συστολή Ξήρανσης ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται γενική µεθοδολογία ανάλυσης ανωδοµής γεφυρών µορφής πλακοδοκού από ωπλισµένο σκυρόδεµα, λαµβάνοντας υπόψη την επιρροή του ερπυσµού και της συστολής ξήρανσης. Για την επίλυση του συστήµατος πλάκας δοκών εφαρµόζεται ρεαλιστικό προσοµοίωµα, σύµφωνα µε το οποίο αποµονώνονται οι δοκοί ενίσχυσης από την πλάκα µέσω τοµών στην κάτω εξωτερική επιφάνειά της. Με τη βοήθεια των τοµών αυτών και ολοκληρώνοντας τις αναπτυσσόµενες τάσεις κατά το ήµισυ του πλάτους της διεπιφάνειας πλάκας δοκών εµφανίζονται δυνάµεις ανηγµένες ανά µέτρο µήκους στη διεπιφάνεια και κατά τους τρεις άξονες του συστήµατος συντεταγµένων. Η διαµήκης κατανοµή τους είναι εξ αρχής άγνωστη, ωστόσο µπορεί να προσδιοριστεί επιβάλλοντας κατάλληλες συνθήκες συµβιβαστού µετατοπίσεων στις γραµµές διεπιφάνειας. Η επιρροή χρόνιων φαινοµένων ερευνάται µέσα από πλήθος αριθµητικών αποτελεσµάτων µε µεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον θεωρώντας ταυτόχρονη ή διαφορετική χρονική σκυροδέτηση δοκών ενίσχυσης και πλάκας. ABSTRACT : In ths aer a general soluton for the analyss of slab-and-beam brdge deck structures s resented, takng nto account the nfluence of cree and shrnkage effects. Accordng to the roosed model, the stffenng beams are solated from the late by sectons n the lower outer surface of the late takng nto account the arsng tractons n all drectons at the nterfaces. These tractons 1 Αναπλ. Καθηγητής, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, emal: cvsaoun@central.ntua.gr 2 ρ. Πολιτικός Μηχανικός ΕΜΠ, Οργανισµός Αντισεισµικού Σχεδιασµού & Προστασίας, emal: bmokos@oas.gr 3 Πολιτικός Μηχανικός ΕΜΠ, Τεχνικό Γραφείο Α. Κορωναίου, emal: akoron@central.ntua.gr 1

2 are ntegrated wth resect to each half of the nterface wdth resultng two nterface lnes, along whch the loadng of the beams as well as the addtonal loadng of the late s defned. Ther unknown dstrbuton s establshed by alyng contnuty condtons n all drectons at the nterfaces. Numercal examles wth great ractcal nterest are worked out to llustrate the effcency and the range of alcatons of the develoed method. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο προσδιορισµός της συµπεριφοράς πλάκας µε δοκούς έχει αποτελέσει αντικείµενο ιδιαίτερα εκτεταµένης έρευνας τις τελευταίες δεκαετίες. Από την αναδροµή στην πρόσφατη συναφή βιβλιογραφία παρατηρείται ότι έχουν προταθεί πλήθος προσοµοιωµάτων για τον υπολογισµό της απόκρισης πλακοδοκού. Αρχικά οι προσπάθειες επίλυσης προσανατολίζονταν στην προσοµοίωση των πλακών αυτών µε ισοδύναµες ορθοτροπικές πλάκες σταθερού πάχους, µε αντικείµενο έρευνας τον προσδιορισµό των ελαστικών σταθερών της πλάκας µοντέλου και ακολούθως την επίλυση της αντίστοιχης ορθοτροπικής πλάκας (Massonet, 1950). Ωστόσο, η προσοµοίωση αυτή υπόκειται σε περιορισµούς που σπάνια ικανοποιούνται. Αξίζει να τονισθεί ότι σε καµία περίπτωση η προσοµοίωση πλάκας µε νευρώσεις µε τη θεώρηση ορθοτροπικής πλάκας δεν µπορεί να προσδιορίσει την ένταση στη διεπιφάνεια πλάκας δοκού. Ακολούθως µε τη πρόοδο στην τεχνολογία των ηλεκτρονικών υπολογιστών προτάθηκαν πιο βελτιωµένα µοντέλα στηριζόµενα κυρίως στη Μέθοδο Πεπερασµένων Στοιχείων (FEM), µε πιο σηµαντικά τα ακόλουθα (Wunderlch et al., 1994), (Rombach, 2000), (Hartmann and Katz, 2002): Προσοµοίωση πλάκας και δοκών µε κελυφωτά πεπερασµένα στοιχεία. Προσοµοίωση πλάκας µε κελυφωτά πεπερασµένα στοιχεία και δοκών µε ραβδωτά στοιχεία χωρίς ή µε εκκεντρότητα, χρησιµοποιώντας στη δεύτερη περίπτωση στερεούς κόµβους ( Rgd Offset ). Προσοµοίωση ολόκληρης της πλακοδοκού µε στερεά (τρισδιάστατα) πεπερασµένα στοιχεία. Η πρώτη προσοµοίωση πεπερασµένων στοιχείων µπορεί να εφαρµοστεί εάν οι δοκοί ενίσχυσης έχουν ορθογωνική διατοµή και το πάχος τους είναι αρκετά µικρό (περίπου το ίδιο µε το πάχος της πλάκας). Στα σηµεία τοµής πλάκας και δοκών λόγω αλληλοκάλυψης λαµβάνεται υπόψη πρόσθετη επιφάνεια η οποία όµως δεν επηρεάζει σηµαντικά τα αποτελέσµατα (Rombach, 2000). Στην περίπτωση που οι δοκοί ενίσχυσης έχουν διατοµή τυχόντος σχήµατος µπορεί να εφαρµοστεί η δεύτερη προσοµοίωση. Εάν το ύψος των δοκών είναι αρκετά µεγάλο θα πρέπει να ληφθεί υπόψη η εκκεντρότητα της πλάκας µε τις δοκούς. Στην περίπτωση αυτή 2

3 θα πρέπει να δοθεί προσοχή στην έκκεντρη σύνδεση των ραβδωτών και κελυφωτών στοιχείων καθώς τα µητρώα εκκεντρότητας (µετάθεσης) µε τα οποία προσοµοιώνονται οι στερεοί κόµβοι δεν εξασφαλίζουν πάντα στατικές και κινηµατικές συνθήκες στις διεπιφάνειες (Hartmann and Katz, 2002). Τέλος, παρότι οι δυνατότητες των ηλεκτρονικών υπολογιστών σήµερα είναι ιδιαίτερα αυξηµένες, µια πλήρης τρισδιάστατη ανάλυση µε στερεά πεπερασµένα στοιχεία, δηλαδή η τρίτη προσοµοίωση, συνεχίζει να είναι αρκετά κοπιαστική ιδιαίτερα στην καθηµερινή µελετητική πρακτική. Επίσης, σε ορισµένες περιπτώσεις προκειµένου να αποφευχθούν παρασιτικές δυσκαµψίες (shear-lockng, membrane-lockng) απαιτείται η χρησιµοποίηση αρκετών στρώσεων στερεών πεπερασµένων στοιχείων στην πλάκα (Knothe und Wessels, 1992), αυξάνοντας έτσι κατά πολύ το πλήθος των αγνώστων και κατ επέκταση τον υπολογιστικό χρόνο. Στην πράξη η πλακαδοκός συνήθως αναλύεται µε τη Μέθοδο Εσχαροποίησης (Σαπουντζάκης, 1999). Η Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων (BEM), ως εναλλακτική µέθοδος, έχει επίσης χρησιµοποιηθεί για την ανάλυση πλακοδοκών, (Tanaka et al., 2000), (Saountzaks and Katskadels, 2000), (Fernandes and Venturn, 2005). Στη ΒΕΜ συνήθως η πλάκα αποµονώνεται από τις δοκούς µε τη βοήθεια κατάλληλων τοµών και εν συνεχεία, υπολογίζονται οι δυνάµεις στις διεπιφάνειες επιβάλλοντας κατάλληλες συνθήκες συνέχειας µετατοπίσεων. Ωστόσο, σε όλες τις προαναφερόµενες προσεγγίσεις η ανάλυση δεν είναι πλήρης, καθώς είτε η ανάλυση πραγµατοποιείται θεωρώντας την πλακοδοκό στην απαραµόρφωτη κατάσταση αγνοώντας έτσι φαινόµενα δεύτερης τάξης λόγω µεµβρανικών δυνάµεων, είτε αγνοούνται οι συνεπίπεδες διαµήκεις ή εγκάρσιες δυνάµεις στη διεπιφάνεια, είτε αγνοείται η ανοµοιόµορφη στρεπτική συµπεριφορά των δοκών ενίσχυσης. Όλες οι παραπάνω υποθέσεις οδηγούν σε ανακρίβειες οι οποίες επηρεάζουν την ανάλυση και κατ επέκταση την υπολογιζόµενη συµπεριφορά των ενισχυµένων πλακών. Τέλος, οι Saountzaks and Mokos (2007, 2008) βελτιώνοντας το προσοµοίωµα που πρότειναν οι Saountzaks and Katskadels (2000) παρουσίασαν γενική µεθοδολογία ανάλυσης πλακοδοκού µε φαινόµενα δεύτερης τάξης λαµβάνοντας υπόψη όλες τις δυνάµεις στη διεπιφάνεια πλάκας δοκών και την ανοµοιόµορφη στρεπτική συµπεριφορά των δοκών ενίσχυσης. Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται γενική µεθοδολογία ανάλυσης ανωδοµής γεφυρών µορφής πλακοδοκού από ωπλισµένο σκυρόδεµα, λαµβάνοντας υπόψη την επιρροή του ερπυσµού και της συστολής ξήρανσης. Για την επίλυση του συστήµατος πλάκας δοκών εφαρµόζεται ρεαλιστικό προσοµοίωµα, σύµφωνα µε το οποίο αποµονώνονται οι δοκοί ενίσχυσης από την πλάκα µέσω τοµών στην κάτω εξωτερική επιφάνειά της. Με τη βοήθεια των τοµών αυτών και ολοκληρώνοντας τις αναπτυσσόµενες τάσεις κατά το ήµισυ του πλάτους της 3

4 διεπιφάνειας πλάκας δοκών εµφανίζονται δυνάµεις ανηγµένες ανά µέτρο µήκους στη διεπιφάνεια και κατά τους τρεις άξονες του συστήµατος συντεταγµένων. Η διαµήκης κατανοµή τους είναι εξ αρχής άγνωστη, ωστόσο µπορεί να προσδιοριστεί επιβάλλοντας κατάλληλες συνθήκες συµβιβαστού µετατοπίσεων στις γραµµές διεπιφάνειας. Σύµφωνα µε την προτεινόµενη µέθοδο µορφώνονται έξι προβλήµατα συνοριακών τιµών αναφορικά µε τη βύθιση της πλάκας, τις συνεπίπεδες συνιστώσες των µετατοπίσεων της πλάκας, τις βυθίσεις των δοκών και κατά τις δύο διευθύνσεις, την αξονική µετατόπιση τους, καθώς και τη γωνία στρέψης των δοκών, τα οποία επιλύονται µε τη Μέθοδο Αναλογικής Εξίσωσης (ΑΕΜ) (Katskadels, 2002a), η οποία αποτελεί σύγχρονη εξέλιξη της Μεθόδου Συνοριακών Στοιχείων (Katskadels, 2002b). ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Θεωρούµε λεπτή πλάκα από σκυρόδεµα, η οποία έχει σταθερό πάχος h και καταλαµβάνει τη διδιάστατη πολλαπλά συνεκτική περιοχή Ω του επιπέδου x, y, τα σύνορα της οποίας είναι κατά τµήµατα λεία (µπορούν δηλαδή να περιλαµβάνουν πεπερασµένο αριθµό γωνιών) και συµβολίζονται µε Γ ( j= 0,1,2,,K 1,K) K όπως φαίνεται στο Σχήµα 1. Η πλάκα ενισχύεται από σύνολο παράλληλων δοκών από σκυρόδεµα ή άλλο υλικό (π.χ. χάλυβα) πλήθους = 1,2,...,I ελεύθερα τοποθετηµένες στην περιοχή Ω. Οι δοκοί ενίσχυσης είναι πρισµατικές διατοµής διπλής συµµετρίας και είναι στερεά συνδεδεµένες µε την πλάκα (δηλαδή δεν υπάρχει δυνατότητα σχετικής ολίσθησης στη διεπιφάνεια πλάκας δοκών). Για λόγους ευκολίας ο x άξονας λαµβάνεται παράλληλος µε τη διεύθυνση των δοκών. Η ενισχυµένη πλάκα υποβάλλεται σε τυχαίο κατακόρυφο φορτίο g = g( x ), x : { x, y }, µπορεί να στηρίζεται στο σύνορό της, ενώ οι δοκοί υπόκεινται σε σηµειακές στηρίξεις στα άκρα. Για την επίλυση του προαναφερθέντος προβλήµατος θεωρείται για την ανάλυση της πλάκας καθολικό σύστηµα αξόνων Oxyz και την ανάλυση των δοκών τοπικά κύρια καµπτικά συστήµατα αξόνων O x y z παράλληλα στο Oxyz (Σχήµα 1). Έστω t bc, ο χρόνος σκυροδέτησης των δοκών (στην περίπτωση δοκών από σκυρόδεµα), ότι είναι η αρχή του χρόνου παρατήρησης t, t bl ότι είναι ο χρόνος αρχικής φόρτισης των δοκών, t c ο χρόνος σκυροδέτησης της πλάκας και t l ο χρόνος αρχικής φόρτισης της πλάκας µε το κατακόρυφο φορτίο g = g( x ), x :{ x, y } (στην περίπτωση ενίσχυσης της πλάκας µε χαλύβδινες δοκούς t bc = t bl = t c = 0 ). j 4

5 s n t Οπή 1 (Γ 1 ) Οπή K (Γ K ) L I (Γ 0 ) οκός I b Ι f (Ω) L 1 L οκός 1 οκός b 2 f b f y, v x, u f f j= 2 j = 1 f j Γ =U Γ j K j= 0 : Γραµµή διεπιφάνειας (j=1,2) h b C y x z Σχήµα 1. Περιοχή Ω του επιπέδου x, y που καταλαµβάνει η ενισχυµένη πλάκα (άνοψη). Σύµφωνα µε το προτεινόµενο προσοµοίωµα, η ανάλυση του φορέα µορφής πλακοδοκού συνίσταται στην αποµόνωση των δοκών από την πλάκα µέσω τοµών παράλληλων στην κάτω εξωτερική επιφάνειά της, όπως φαίνεται στο Σχήµα 2. Με τη βοήθεια των τοµών αυτών και ολοκληρώνοντας τις αναπτυσσόµενες τάσεις κατά το ήµισυ του πλάτους της διεπιφάνειας πλάκας δοκών εµφανίζονται δυνάµεις ανηγµένες ανά µέτρο µήκους στη διεπιφάνεια (π.χ. kn/m) και κατά τις τρεις διευθύνσεις x, y, z (όπως στη Μέθοδο υνάµεων της Κλασσικής Στατικής). Οι δυνάµεις αυτές θεωρούνται σταθερές κατά το ήµισυ του πλάτους της διεπιφάνειας και αναφέρονται στη µέση γραµµή του πλάτους αυτού, αντίστοιχα, δηλαδή σε κάθε δοκό λαµβάνονται υπόψη δύο γραµµές διεπιφάνειας. Η χρησιµοποίηση δύο γραµµών διεπιφάνειας είναι απαραίτητη για τη σωστή προσοµοίωση της στρεπτικής συµπεριφοράς των δοκών ενίσχυσης (ζεύγος δυνάµεων), η οποία θεωρείται ανοµοιόµορφη. Οι δυνάµεις διεπιφάνειας αποτελούν φόρτιση των δοκών και επιπρόσθετη φόρτιση της πλάκας. Η διαµήκη κατανοµή τους είναι εξ αρχής άγνωστη, ωστόσο µπορεί να προσδιοριστεί επιβάλλοντας κατάλληλες συνθήκες συνέχειας στις γραµµές διεπιφάνειας προς όλες τις διευθύνσεις x, y, z, όπου λαµβάνεται υπόψη και η στρέβλωση λόγω στρέψης των διατοµών των δοκών, σύµφωνα µε τη διαδικασία που παρουσιάζεται στη συνέχεια. 5

6 g Ω : Μέση επιφάνεια πλάκας f j= 1 q zj f j= 2 q yj x,u O y,v z,w q xj q xj h ( Γ ) ( E,µ) Ω f : ιεπιφάνεια b f 4 q zj q yj C : Κέντρο Βάρους S : Κέντρο Στρέψης h b z,w b x,u b O C S b y,v ( E b,µ b) b f :Πλάτος διεπιφάνειας Σχήµα 2. Αποµόνωση δοκού από την πλάκα µέσω κατάλληλων τοµών στη διεπιφάνεια Έτσι, η απόκριση της πλάκας και των δοκών µπορεί να περιγραφεί από τα ακόλουθα έξι προβλήµατα συνοριακών τιµών. Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών για την Πλάκα Η πλάκα υφίσταται εγκάρσια και συνεπίπεδη παραµόρφωση. Έτσι, για το βέλος κάµψης εφαρµόζοντας τη γραµµικοποιηµένη θεωρία 2 ης τάξης η κυρίαρχη εξίσωση της πλάκας µε τις αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες γράφεται ως w w w D w N x + 2N 2 xy + N y = g x y 2 x y I 2 q + q q y y = 1 j= 1 y x x y mxj myj w j w j zj xj yj δ j j ( ) στο Ω (1) α w + α R = α (2α) 1 2 n 3 6

7 όπου a, ( 1,2,3) w β 1 + β 2M n = β 3στο Γ (2β) n β = είναι δοσµένες συναρτήσεις στο σύνορο εξαρτώµενες από τις συνθήκες στήριξης της πλάκας, x = ( ), N = N ( x, y) και N N ( x, y) N N x, y x y y xy w είναι η βύθιση της πλάκας, = είναι µεµβρανικές δυνάµεις της διατοµής της πλάκας ανηγµένες ανά µέτρο πλάτους, M n M ( w) Rn R( w) xy =, = είναι η καµπτική ροπή και η υποκατάστατη (ενεργός) τέµνουσα στο σύνορο της πλάκας ως προς το κάθετο διάνυσµα n, αντίστοιχα, 3 2 µ D( t ) = E ( t )h / 12(1 ) είναι η χρονικά µεταβαλλόµενη δυσκαµψία της πλάκας, όπου E ( t ) = E l /(1 + χϕ( t,t )) είναι το χρονικά µέτρο ελαστικότητας της (Trost, 1970), E l είναι το εφαπτοµενικό µέτρο ελαστικότητας της πλάκας τη χρονική στιγµή φόρτισης της (Eurocode No.2, 1991), χ είναι συντελεστής γήρανσης, ϕ ( t,t ) είναι συντελεστής ερπυσµού, t είναι η χρονική διαφορά σκυροδέτησης και φόρτισης της πλάκας σε ηµέρες και µ ο λόγος Posson του υλικού της. Οι συνιστώσες των µετατοπίσεων στη µέση επιφάνεια της πλάκας, που οφείλονται στις γραµµικά κατανεµηµένες µαζικές δυνάµεις q xj, q yj (=1,2, I) και στην κατανεµηµένη θερµοκρασιακή φόρτιση T ( x,t ) (Eurocode No.2, 1991) λόγω συστολής πήξης της πλάκας, προκύπτουν επιλύοντας ανεξάρτητα το πρόβληµα επίπεδης έντασης (πρόβληµα δίσκου) της θεωρίας ελαστικότητας, που περιγράφεται από το ακόλουθο πρόβληµα συνοριακών τιµών (εξισώσεις ισορροπίας Naver) I ν u v 1 1+ v T u+ + qxj j y y 2 = 0 1 ν x x y Gh = 1 j= 1 1 v x δ ( ) α (3a) I ν u v 1 1+ v T v+ + qyj j y y 2 = 0 1 ν y x y Gh = 1 j= 1 1 v x στο Ω γ u + γ N = γ (4a) 1 n 2 n 3 1 t 2 t 3 δ ( ) α (3b) δ u + δ N = δ (4b) στο Γ 7

8 όπου G ( t ) = E ( t ) / 2( 1 + µ ) είναι το µέτρο διάτµησης της πλάκας, N n, και u n, u t είναι οι συνοριακές µεµβρανικές δυνάµεις και µετατοπίσεις στην κάθετη και εφαπτοµενική διεύθυνση του συνόρου, αντίστοιχα, ( = 1,2,3 ) είναι συναρτήσεις ορισµένες στο σύνορο Γ. Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών για κάθε οκό γ, Κάθε δοκός ενίσχυσης υφίσταται εγκάρσιες µετατοπίσεις λόγω κάµψης (βυθίσεις) ως προς τους z και y άξονες, αξονική παραµόρφωση ως προς το διαµήκη άξονα x και ανοµοιόµορφη γωνία στρέψης περί το διαµήκη άξονα x. Έτσι, για το βέλος κάµψης ως προς τον z άξονα η κυρίαρχη εξίσωση σύµφωνα µε τη γραµµικοποιηµένη θεωρία 2 ης τάξης µαζί µε τις αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες γράφονται ως w b wb w m b byj EbIby = q 4 zj qxj + N bj n L, = 1,2,...,I (5) 2 x j= 1 x x x z z z a1 wb a2 Rbz a3 z z z 1 by 2 Mby β3 + = (6a) β θ + β = (6b) στα άκρα x = 0, L Nt δ ενώ, το βέλος κάµψης vb vb( x ) = της δοκού ως προς τον ικανοποιεί το ακόλουθο πρόβληµα συνοριακών τιµών y άξονα πρέπει να v b vb v m b bzj EbIbz = q 4 yj qxj + N bj στο L, = 1,2,...,I (7) 2 x j= 1 x x x y y y 1 b 2 by 3 a v + a R = a (8α) y y y 1 bz 2 Mbz β3 β θ + β = (8β) στα άκρα x = 0, L όπου Eb = E b( t ) είναι το χρονικά µέτρο ελαστικότητας της δοκού. Η αξονική παραµόρφωση της δοκού, η οποία οφείλεται τόσο στην κατανεµηµένη αξονική δύναµη q xj (=1,2, I), όσο και στην κατανεµηµένη θερµοκρασιακή φόρτιση 8

9 T b( x,t ) (Eurocode No.2, 1991) λόγω συστολής πήξης της δοκού, προκύπτει λύνοντας ανεξάρτητα το ακόλουθο πρόβληµα συνοριακών τιµών 2 2 ub Tb b b = q 2 xj + α x j= 1 x E A x x x 1 ub 2 Nb 3 στο L, γ + γ = γ στα άκρα x = 1,2,...,I (9) = 0, L (10) Τέλος, η ανοµοιόµορφη γωνία στρέψης περί το διαµήκη άξονα στρέψης πρέπει να ικανοποιεί το ακόλουθο πρόβληµα συνοριακών τιµών x θbx θbx b bw 4 b bx 2 bxj x x j 1 = στο, E I G I m = x x x a1 bx a2 Mbx a3 x θ bx x x 1 2 Mbw 3 θ + = (12α) β + β = β (12β) στα άκρα x x L = 1,2,...,I (11) = 0, L Οι Εξισώσεις 1, 3a, 3b, 5, 7, 9, 11 αποτελούν σύνολο επτά συζευγµένων µερικών διαφορικών εξισώσεων µε δεκατρείς αγνώστους, δηλαδή w, u, v, q y1, q y2, w b, v b, u b, θ bx, q x1, q z1, q x2, q z2. Απαιτούνται εποµένως έξι πρόσθετες εξισώσεις, οι οποίες προκύπτουν από τις συνθήκες συνέχειας των µετατοπίσεων στις διευθύνσεις διεπιφάνειας f ( j 1,2) j x, y και z των τοπικών αξόνων στις γραµµές = πλάκας δοκού (Saountzaks and Mokos 2007, 2008). ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ Τα προβλήµατα κάµψης πλάκας, µεµβρανικής έντασης πλάκας, κάµψης δοκού κατά τις δύο διευθύνσεις, στρέψης δοκού και αξονικής παραµόρφωσης δοκού που παρουσιάστηκαν στο προηγούµενο εδάφιο επιλύονται αριθµητικά µε τη βοήθεια της Μεθόδου Αναλογικής Εξίσωσης (ΑΕΜ) (Katskadels, 2002a). Η αριθµητική επίλυση των προβληµάτων αυτών περιγράφεται διεξοδικά στις εργασίες των Saountzaks and Mokos (2007, 2008). 9

10 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ως παράδειγµα µελετάται ορθογωνική πλάκα σκυροδέµατος διαστάσεων l l = m και πάχους h = 15cm ενισχυµένη µε τρεις όµοιες διπλά x y συµµετρικές δοκούς σκυροδέµατος διατοµής µορφής διπλού ταυ συµµετρικά τοποθετηµένες και υποκείµενη σε έκκεντρο οµοιόµορφα κατανεµηµένο φορτίο g= 10kPa, όπως φαίνεται στο Σχήµα 3. ly=9.00m SS (Απλή έδραση) FR FR (Ελεύθερο) y l x =18.00m a a SS x h =0.15m οκός I 2.00m 1.00m 6.00m οκός II οκός III 1.00m 1.00m l y =9.00m 1.00m 1.00m j=2 j=1 1.00m g=10kpa 2.00m 0.15m I by (m 4 ): E-01 I bz (m 4 ): E-02 I (m 4 ): E-03 I bx bw (m 6 ): E m 0.20m 10cm (Περίµετρος: u= cm) Σχήµα 3. Κάτοψη και διατοµή α-α της πλακοδοκού Πίνακας 1. Χρονική εξέλιξη της δύναµης q x της δοκού Ι στο σηµείο (8.5, 2.0) της διεπιφάνειας για διαφορετικούς χρόνους σκυροδέτησης DT. Ηλικία σκυροδέµατος t (ηµέρες) DT = 0 (Ταυτόχρονη Σκυροδέτηση) 1 q x DT = 60 DT = 120 DT = 300 ( kn)

11 Για την ανάλυση θεωρήθηκαν τα ακόλουθα δεδοµένα: Σκυρόδεµα C20/25, f cm =28N/mm 2, RH=40%, t =t b =28ηµέρες, E l = E c28 =30.29kN/mm 2, µ=0.20, β sc =5, a=10-5 / o C, χ=0.8. Επίσης, θεωρείται ότι πρώτα σκυροδετούνται οι δοκοί ενίσχυσης και εν συνεχεία µετά από πάροδο DT ηµερών σκυροδετείται η πλάκα. Στον Πίνακα 1 δίδεται η χρονική εξέλιξη της δύναµης q x της δοκού Ι στο σηµείο (8.5, 2.0) της διεπιφάνειας για διαφορετικούς χρόνους σκυροδέτησης DT η γνώση της οποίας είναι ιδιαίτερα σηµαντική στη διαστασιολόγηση των διατµητικών συνδέσµων, ενώ στο Σχήµα 4 απεικονίζεται η ελαστική επιφάνεια της πλάκας για t= 30 ηµέρες και DT = 60 ηµέρες. Σχήµα 4. Ελαστική επιφάνεια πλακοδοκού για t= 30 ηµέρες και DT = 60 ηµέρες. Από τον Πίνακα 1 διαπιστώνεται η αναγκαιότητα συνυπολογισµού των χρόνιων φαινοµένων στην ανάλυση φορέων σκυροδέµατος µορφής πλακοδοκού. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστίες εκφράζονται προς τον Οργανισµό Αντισεισµικού Σχεδιασµού και Προστασίας (Ο.Α.Σ.Π.) για την κάλυψη εξόδων συµµετοχής στο 16 o Ελληνικό Συνέδριο Σκυροδέµατος. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Eurocode No.2 Desgn of Concrete Structures, Part 1, (1991) General Rules and Rules for Buldngs, Eurocode 2 Edtoral Grou. 11

12 Fernandes G.R., and Venturn W.S. (2005), Buldng Floor Analyss by the Boundary Element Method, Comutatonal Mechancs, Vol.35, Hartmann, F. and Katz, C. (2002), Statk mt Fnten Elementen, Srnger, Berln-Hedelberg. Katskadels, J.T. (2002a), The Analog Equaton Method. A Boundary only Integral Equaton Method for Nonlnear Statc and Dynamc Problems n General Bodes, Theoretcal and Aled Mechancs, 27, Katskadels, J.T (2002b), Boundary Elements: Theory and Alcatons, Elsever, Amsterdam-London. Knothe, K. und Wessels, H. (1992), Fnte Elemente, 2. Auflage, Srnger Verlag, Berln-New York. Massonet, C. (1950), Method of Calculatons for Brdges wth Several Longtudnal Beams Takng nto Account ther Torsonal Resstance, Internatonal Assocaton for Brdges and Structural Engneerng, Rombach, G. (2000), Anwendung der Fnte-Elemente-Methode m Betonbau, Ernst & Sohn, Berln. Saountzaks E.J. and Katskadels J.T. (2000), Analyss of Plates Renforced wth Beams, Comutatonal Mechancs, 26, Saountzaks, E.J. and Mokos, V.G. (2003), Warng Shear Stresses n Nonunform Torson by BEM, Comutatonal Mechancs, 30, 2, Saountzaks E.J. and Mokos V.G. (2007), Analyss of Plates Stffened by Parallel Beams, Internatonal Journal for Numercal Methods n Engneerng, 70, Saountzaks E.J. and Mokos V.G. (2008), An Imroved Model for the Dynamc Analyss of Plates Stffened by Parallel Beams, Engneerng Structures, 30, Tanaka M., Matsumoto T. and Oda S. (2000), A Boundary Element Method Aled to the Elastostatc Bendng Problem of Beam-Stffened Plates Engneerng Analyss wth Boundary Elements, 24, Trost, H.and Wolff, J. (1970) Zur Wrklchketsnahen Ermttlung der Beansruchungen n Abschnttswese Hergestellten Sannbetontragwerken, Der Baungeneur, v. 45, Wunderlch, W., Kener, G. und Ostermann, W. (1994), Modellerung und Berechnung von Deckenlatten mt Unterzügen, Baungeneur, 69, Σαπουντζάκης, Ε.Ι. (1999), Προσοµοίωση Τεχνικών Έργων, Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα. 12