Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Transcript

1 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνο ΣHMΜY Ελόηεηα 1: Αιγνξηζκηθέο ηερληθέο, αξηζκεηηθνί ππνινγηζκνί Επηκέιεηα δηαθαλεηώλ: Σηάζεο Εάρνο, Άξεο Παγνπξηδήο 1

2 Αλγόριθμος Webster s 50 ρξόληα πξηλ: αλύπαξθηνο όξνο Oxford s, 1971: «erroneous refashioning of algorism: calculation with Arabic numerals» Abu Jaffar Mohammed Ibn Musa Al-Khowarizmi, κ.φ. 9 νο αη.,الخوارزمي موسى بن محمد Παξαδείγκαηα: Δπθιείδεηνο αιγόξηζκνο (Δπθιείδεο, 3 νο αη. π.φ.) γηα εύξεζε ΜΚΓ Αξηζκνί Fibonacci (Leonardo Pisano Filius Bonacci, 13 νο αη. κ.φ.) Τξίγσλν Pascal (Yang Hui, 13 νο αη. κ.φ.) 2

3 Αλγόριθμος (συν.) Πξσηαξρηθή έλλνηα. Μέζνδνο επίιπζεο πξνβιήκαηνο δνζκέλε σο πεπεξαζκέλν ζύλνιν θαλόλσλ (ελεξγεηώλ, δηεξγαζηώλ) πνπ επελεξγνύλ ζε δεδνκέλα (data). Πεπεξαζκέλε εθηέιεζε (finiteness). Κάζε θαλόλαο νξίδεηαη επαθξηβώο θαη ε αληίζηνηρε δηεξγαζία είλαη ζπγθεθξηκέλε (definiteness). Γέρεηαη κεδέλ ή πεξηζζόηεξα κεγέζε εηζόδνπ (input). Γίλεη ηνπιάρηζηνλ έλα κέγεζνο σο απνηέιεζκα (output). Μεραληζηηθά απνηειεζκαηηθόο, εθηέιεζε κε κνιύβη θαη ραξηί (effectiveness). 3

4 Αλγόριθμος Ευκλείδη if a>b then GCD(a,b):= GCD(a mod b, b) else GCD(a,b):= GCD(a, b mod a) ( a mod b = ην ππόινηπν ηεο δηαίξεζεο a div b ) ΜΚΓ (172, 54 ) = ΜΚΓ (10, 54 ) = ΜΚΓ (10, 4 ) = ΜΚΓ (2, 4 ) = ΜΚΓ (2, 0 ) = 2 4

5 Αλγόριθμος Ευκλείδη if a>b then GCD(a,b):= GCD(a mod b, b) else GCD(a,b):= GCD(a, b mod a) ( a mod b = ην ππόινηπν ηεο δηαίξεζεο a div b ) Ο Επθιείδεηνο αιγόξηζκνο είλαη ν θαιύηεξνο γλσζηόο αιγόξηζκνο γηα ΜΚΔ! Αλνηρηό εξώηεκα: είλαη βέιηηζηνο; 5

6 Τρίγωνο Pascal (Yang Hui) Γησλπκηθνί ζπληειεζηέο / ζπλδπαζκνί: (a+b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 6

7 Αλγοριθμικές τεχνικές Δπαλάιεςε (Iteration) Αλαδξνκή (Recursion) Δπαγσγή (Induction) 7

8 Πύργοι Ανόι (Hanoi Towers) πεγή: wikipedia 8

9 Πύργοι Ανόι (Hanoi Towers) πεγή: wikipedia 9

10 Πύργοι Ανόι (Hanoi Towers): αναδρομή 10

11 Πύργοι Ανόι (Hanoi Towers): αναδρομή σε Python def hanoi(ndisks, startpeg, endpeg, usepeg): if ndisks: hanoi(ndisks-1, startpeg, usepeg, endpeg) print "Move disk %d from peg %d to peg %d" % (ndisks, startpeg, endpeg) hanoi(ndisks-1, usepeg, endpeg, startpeg) 11

12 Πύργοι Ανόι (Hanoi Towers): επανάληψη Δπαλάιαβε (κέρξη λα επηηεπρζεί ε κεηαθίλεζε): Μεηαθίλεζε θαηά ηε ζεηηθή θνξά ηνλ κηθξόηεξν δίζθν Κάλε ηελ κνλαδηθή επηηξεπηή θίλεζε πνπ δελ αθνξά ηνλ κηθξόηεξν δίζθν 12

13 Treesort με χρήση Binary Search Tree 13

14 Δίκτυα Ταξινόμησης (Sorting Networks) Σπγθξηηήο Γίθηπν ηαμηλόκεζεο 4 εηζόδσλ 14

15 Four Color Theorem ( ) Πόζα ρξώκαηα απαηηνύληαη γηα ηνλ ρξσκαηηζκό όισλ ησλ ρσξώλ, ώζηε ρώξεο πνπ ζπλνξεύνπλ (κε γξακκή γηα ζύλνξν) λα έρνπλ δηαθνξεηηθό ρξώκα; 15

16 Four Color Theorem ( ) Πόζα ρξώκαηα απαηηνύληαη γηα ηνλ ρξσκαηηζκό όισλ ησλ ρσξώλ, ώζηε ρώξεο πνπ ζπλνξεύνπλ (κε γξακκή γηα ζύλνξν) λα έρνπλ δηαθνξεηηθό ρξώκα; 16

17 Four Color Theorem ( ) Πόζα ρξώκαηα απαηηνύληαη γηα ηνλ ρξσκαηηζκό όισλ ησλ ρσξώλ, ώζηε ρώξεο πνπ ζπλνξεύνπλ (κε γξακκή γηα ζύλνξν) λα έρνπλ δηαθνξεηηθό ρξώκα; Appel - Haken (απόδεημε κε πξόγξακκα!) 17

18 Μαθηματικοί συμβολισμοί (i) 18

19 Μαθηματικοί συμβολισμοί (ii) 19

20 Μαθηματικοί συμβολισμοί (iii) 20

21 Μαθηματικοί συμβολισμοί: ιδιότητες Σπρλά γξάθνπκε (θαηαρξεζηηθά) g(n)=o(f(n)) αληί γηα g(n) Є O(f(n)) Θ(f) = O(f) Ω(f) p(n) = Θ(n k ), γηα θάζε πνιπώλπκν p Ο(poly) = U O(n k ) (γηα όια ηα k Є N) 21

22 Μαθηματικοί συμβολισμοί: ιδιότητες log*n: πόζεο θνξέο πξέπεη λα ινγαξηζκήζνπκε ην n γηα λα θηάζνπκε θάησ από ην 1 (αληίζηξνθε ππεξεθζεηηθήο) A: Ackermann. α: αληίζηξνθε ηεο Α. 22

23 Μαθηματικοί συμβολισμοί: ιδιότητες Θεώρημα. log(n!) = Θ(n logn) Απόδεημε: αζπκπησηηθά (γηα n > n 0 ) ηζρύεη: (n/2) n/2 < n! < n n => (1/2) n (logn - 1) < log(n!) < n logn => (1/3) n logn < log(n!) < n logn 23

24 Πολυπλοκότητα αλγορίθμου Μέηξεζε ηνπ θόζηνπο ηνπ ζαλ ζπλάξηεζε ησλ ππνινγηζηηθώλ πόξσλ πνπ απαηηνύληαη ζε ζρέζε κε ην κέγεζνο ηεο (αλαπαξάζηαζεο ηεο) εηζόδνπ ζηελ ρεηξόηεξε πεξίπησζε: cost A (n) = max {θόζηνο αιγνξ. Α γηα είζνδν x} γηα όιεο ηηο εηζόδνπο x κήθνπο n Παξάδεηγκα: time-cost MS (n) <= c nlogn = O(nlogn) (MS = MergeSort, c θάπνηα ζηαζεξά) 24

25 Πολυπλοκότητα αλγορίθμου: απλοποιήσεις Σπρλά ζεσξνύκε σο κέγεζνο ηεο εηζόδνπ ην πιήζνο ησλ δεδνκέλσλ κόλν (αγλνώληαο ην κέγεζόο ηνπο ζε bits). Απηό δελ δεκηνπξγεί πξόβιεκα εθ όζνλ ν αιγόξηζκνο δελ πεξηέρεη πξάμεηο ή δηαδηθαζίεο πνπ λα θνζηίδνπλ εθζεηηθά σο πξνο ην κέγεζνο ησλ δεδνκέλσλ ζε bits. Δπίζεο ζεσξνύκε όηη θάζε ζηνηρεηώδεο αξηζκεηηθή πξάμε (πξόζζεζε, πνι/ζκόο, ζύγθξηζε) έρεη θόζηνο 1 βήκαηνο. Απηό ιέγεηαη αξηζκεηηθή πνιππινθόηεηα (arithmetic complexity) θαη είλαη ζπλήζσο αξθεηά αθξηβήο κέηξεζε. Ζ αλάιπζε πνιππινθόηεηαο ζε πιήζνο πξάμεσλ ςεθίσλ ιέγεηαη bit complexity. 25

26 Πολυπλοκότητα προβλήματος Δίλαη ε πνιππινθόηεηα ηνπ βέιηηζηνπ αιγνξίζκνπ πνπ ιύλεη ην πξόβιεκα. cost Π (n) = min {cost A (n)} γηα όινπο ηνπο αιγνξίζκνπο Α πνπ επηιύνπλ ην Π Παξάδεηγκα: time-cost SORT (n) = O(n log n) (SORT = πξόβιεκα ηαμηλόκεζεο) Γηα λα δείμνπκε βειηηζηόηεηα αιγνξίζκνπ ρξεηάδεηαη θαη απόδεημε αληίζηνηρνπ θάησ θξάγκαηνο. 26

27 Ανάλυση χρονικής πολυπλοκότητας αλγορίθμων Μέηξεζε ησλ βεκάησλ πνπ ζα εθηειεζηνύλ: είηε κε άκεζν ηξόπν (π.ρ. πιήζνο επαλαιήςεσλ επί θόζηνο / επαλάιεςε) Παξάδεηγκα: T BS (n) <= c n 2 = O(n 2 ) (BS = BubbleSort, c θάπνηα ζηαζεξά) είηε έκκεζα, θπξίσο ζε αλαδξνκηθνύο αιγνξίζκνπο (επίιπζε αλαδξνκηθώλ ζρέζεσλ) Παξάδεηγκα: T MS (n) <= 2T MS (n/2)+cn = = O(nlogn) (MS = MergeSort, c θάπνηα ζηαζεξά) 27

28 Εύρεση Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη (gcd) Γελ είλαη ινγηθό λα αλάγεηαη ζην πξόβιεκα εύξεζεο πξώησλ παξαγόλησλ γηαηί απηό δελ ιύλεηαη απνδνηηθά. Απιόο αιγόξηζκνο: O(min(α,b)) Αιγόξηζκνο κε αθαηξέζεηο: O(max(α,b)) Αιγόξηζκνο ηνπ Δπθιείδε: O(log(α+b)) 28

29 Εύρεση Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη (gcd): υλοποίηση με αναδρομή Αιγόξηζκνο κε αθαηξέζεηο: O(max(α,b)) if a=b then GCD(a,b):=a else if a>b then GCD(a,b):= GCD(a-b, b) else GCD(a,b):= GCD(a, b-a) Αιγόξηζκνο ηνπ Δπθιείδε: O(log(α+b)) if b=0 then GCD(a,b):= a else GCD(a,b):= GCD(b, a mod b) 29

30 Πολυπλοκότητα Ευκλείδειου Αλγορίθμου O(log max(a,b)): ζε θάζε 2 επαλαιήςεηο ν κεγαιύηεξνο αξηζκόο ππνδηπιαζηάδεηαη (γηαηί;) Ω(log max(a,b)): γηα δεύγε δηαδνρηθώλ αξηζκώλ Fibonacci F k-1, F k, ρξεηάδεηαη k επαλαιήςεηο, θαη k = Θ(logF k ), αθνύ F k θ k / 5, θ = (1+ 5)/2 (θ ε ρξπζή ηνκή). Άξα ε πνιππινθόηεηα ηνπ Δπθιείδεηνπ είλαη Θ(log max(a,b)) = Θ(log (a+b)) 30

31 Επεκτεταμένος Ευκλείδειος Αλγόριθμος Δθθξάδεη ηνλ gcd(a,b) ζαλ γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ a θαη b Δπηηξέπεη ηελ εύξεζε πνιιαπιαζηαζηηθνύ αληηζηξόθνπ ζηελ αξηζκεηηθή modulo n: αλ gcd(a,n)=1 ηόηε Ext. Euclid δίλεη θ,ι: θa+ιn=1 Άζθεζε: ζρεδηάζηε θαη πινπνηήζηε ηνλ επεθηεηακέλν Επθιείδεην αιγόξηζκν 31

32 Ύψωση σε δύναμη power(a, n) result := 1; for i := 1 to n do result := result*a; return result Πνιππινθόηεηα: O(n) εθζεηηθή! (γηαηί;) 32

33 ... με επαναλαμβανόμενο τετραγωνισμό (Gauss) fastpower(a, n) result := 1; while n>0 do if odd(n) then result:=result*a; n := n div 2; a := a*a return result Ηδέα: a 13 = a = a 8 a 4 a 1 = a Πνιππινθόηεηα: O(log n) - πνιπσλπκηθή ως προς το μήκος της εισόδου! 33

34 Αριθμοί Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... F 0 = 0, F 1 = 1 F n = F n-1 + F n-2, n >=2 Πξόβιεκα: Γίλεηαη n, λα ππνινγηζηεί ην F n Πόζν γξήγνξν κπνξεί λα είλαη ην πξόγξακκά καο; 34

35 Αριθμοί Fibonacci αναδρομικός αλγόριθμος Fib1(n) if (n<2) then return n else return Fib1(n-1)+Fib1(n-2) Πνιππινθόηεηα: T(n) = T(n-1) + T(n-2) + c, δει. ε T(n) νξίδεηαη όπσο ε F(n) (ζπλ κηα ζηαζεξά), νπόηε: Τ(n) > c. F(n) = Θ(1.618 n ) 35

36 Αριθμοί Fibonacci καλύτερος αλγόριθμος Fib2(n) a:=0; b:=1; for i:=2 to n do c:=b; b:=a+b; a:=c; return b Πνιππινθόηεηα: O(n) Δίλαη πνιπσλπκηθή; 36

37 Αριθμοί Fibonacci ακόμα καλύτερος αλγόριθμος Μπνξνύκε λα γξάςνπκε ηνλ ππνινγηζκό ζε κνξθή πηλάθσλ: Από απηό ζπκπεξαίλνπκε: Καη ν αξηζκόο ησλ αξηζκεηηθώλ πξάμεσλ κεηώλεηαη ζε O(log n). 37

38 Χρόνος εκτέλεσης αλγορίθμων Έζησ 4 πξνγξάκκαηα κε αξηζκό βεκάησλ O(2 n ), O(n 2 ), O(n), θαη O(logn) πνπ ην θαζέλα ρξεηάδεηαη 1 δεπηεξόιεπην γηα λα ππνινγίζεη ην F(100). Πόζα δεπηεξόιεπηα ζα ρξεηαζηνύλ γηα λα ππνινγίζνπλ ηα F(101), F(110), F(200); F(100) F(101) F(110) F(200) c. 2 n c. n 2 c. n c. logn ??????

39 Πολλαπλασιασμός Ακεραίων 39

40 Πολυπλοκότητα Πολλαπλασιασμού 40

41 Απόδειξη: Τ(n) + cn T(n/2) T(n/2) T(n/2) T(n/2) + 4 cn/2 Φξνλ. πνι/ηα Ύςνο δέλδξνπ T(n/4) T(n/4) T(2) cn/ (k-1) cn/2 (k-1) <(4/2) k cn 2 (logn+1) cn = O(n 2 ) T(1) T(1) k θύιια, ρξνληθή πνιππι/ηα α. 4 k = O(n 2 ) Σπλνιηθά: O(n 2 ) 41

42 Βελτιωμένος Πολλαπλασιασμός (Gauss-Karatsuba) 42

43 Πολυπλοκότητα Βελτίωσης 43

44 Απόδειξη: Τ(n) + cn T(n/2) T(n/2) T(n/2) T(n/2) + 3 c n/2 Φξνλ. πνι/ηα Ύςνο δέλδξνπ T(n/4) T(n/4) T(2) c n/4 <2. (3/2) k cn.. 3. (3/2) (logn) cn + 3 (k-1) c n/2 (k-1). = O(n log3 ) T(1) T(1) k θύιια, ρξνληθή πνιππι/ηα α. 3 k = O(3 logn ) = O(n log3 ) Σπλνιηθά: O(n log3 ) 44

45 Master Theorem (απλή μορφή) Αλ T(n) = at(n/b) + O(n), γηα ζεηηθνύο αθέξαηνπο a, b θαη Τ(1) = O(1) ηόηε: T(n) = O(n), O(n logn), O(n log ba ), αλ a<b αλ a=b αλ a>b 45

46 Ύςνο δέλδξνπ Απόδειξη: Τ(n) T(n/b) T(n/b) T(n/b) T(n/b 2 ) T(n/b 2 ) a... T(1) T(1) a cn + a c n/b + a 2 c n/b 2 + a (k-1) c n/b (k-1) =... O(n), Φξνλ. πνι/ηα cn Σ 0 k (a/b) i αλ a<b O(n logn), αλ a=b O(n log ba ), αλ a>b a k θύιια, ρξνληθή πνιππι/ηα c. a k = O(a log bn ) = O(n log ba ) 46

47 Master Theorem (γενική μορφή) Αλ T(n) = at(n/b) + O(n d ), γηα ζεηηθνύο αθέξαηνπο a, b, d θαη Τ(1) = O(1) ηόηε: T(n) = O(n d ), O(n d logn), O(n log ba ), αλ a<b d αλ a=b d αλ a>b d 47

48 Master Theorem: εφαρμογή Αλ T(n) = at(n/b) + O(n d ), γηα ζεηηθνύο αθέξαηνπο a, b, d θαη Τ(1) = O(1) ηόηε: O(n d ), αλ a<b d T(n) = O(n d logn), O(n log ba ), αλ a=b d αλ a>b d Matrix Multiplication 'Standard' divide-and-conquer: T(n) = 8T(n/2) + O(n 2 ) => T(n) = O(n 3 ) Strassen's algorithm: T(n) = 7T(n/2) + O(n 2 ) => T(n) = O(n log7 ) 48

49 Μερικές εφαρμογές της Θεωρίας Αλγορίθμων και Πολυπλοκότητας Κξππηνγξαθία Δθινγέο Θεσξία Παηγλίσλ Γξακκηθόο Πξνγξακκαηηζκόο 49

50 Πρώτοι αριθμοί και κρυπτογραφία Υπνινγηζηηθά πξνβιήκαηα ζεκαληηθά γηα θξππηνγξαθία: Primality testing: Γίλεηαη αθέξαηνο n. Δίλαη πξώηνο; Σρεηηθά εύθνιν. Αλήθεη ζην P όπσο έδεημαλ ζρεηηθά πξόζθαηα (2002) πξνπηπρηαθνί Ηλδνί θνηηεηέο. Factoring (παξαγνληνπνίεζε): Γίλεηαη αθέξαηνο n. Να βξεζνύλ νη πξώηνη παξάγνληεο ηνπ. Γελ μέξνπκε αλ είλαη εύθνιν ή δύζθνιν. Πηζηεύνπκε όηη είλαη ππνινγηζηηθά δύζθνιν (όηη δελ αλήθεη ζην P), αιιά όρη ηόζν δύζθνιν όζν ηα NP-complete πξνβιήκαηα. Γηα θβαληηθνύο ππνινγηζηέο (πνπ δελ έρνπκε αθόκα θαηαθέξεη λα θαηαζθεπάζνπκε) είλαη επεπίιπην. 50

51 Κρυπτογραφία δημοσίου κλειδιού Σπλαξηήζεηο κνλήο θαηεύζπλζεο (one-way functions): εύθνιν λα ππνινγηζηνύλ δύζθνιν λα αληηζηξαθνύλ Κξππηνγξαθία δεκνζίνπ θιεηδηνύ (θαηάξγεζε ηελ αλάγθε αληαιιαγήο θιεηδηώλ!): ζηεξίδεηαη ζηελ ύπαξμε ηέηνησλ ζπλαξηήζεσλ. Κξππηνζύζηεκα RSA [Rivest-Shamir-Adleman, 1977] ζπλάξηεζε θξππηνγξάθεζεο: c = m e mod n Αζθάιεηα RSA: δελ ππάξρεη (ειπίδνπκε, ρξεηαδόκαζηε απόδεημε!) απνδνηηθόο ηξόπνο ππνινγηζκνύ ηνπ m δεδνκέλσλ ησλ c, e, θαη n, αλ n είλαη ζύλζεηνο (...εθηόο αλ γλσξίδνπκε παξαγνληνπνίεζε ηνπ n) Γειαδή ε ζπλάξηεζε θξππηνγξάθεζεο RSA είλαη κνλήο θαηεύζπλζεο (είλαη;) 51

52 Κρυπτοσύστημα RSA (i) Γηα λα ζηείιεη ε A (Alice) ζηνλ B (Bob) έλα κήλπκα m: O B δηαιέγεη 2 κεγάινπο πξώηνπο αξηζκνύο p θαη q, ππνινγίδεη ην γηλόκελν n = pq, θαη δηαιέγεη επίζεο αθέξαην e ζρεηηθά πξώην κε ην θ(n) = (p-1)(q-1). Ο Β ζηέιλεη ζηελ Α ηα n θαη e (δεκόζην θιεηδί ηνπ Β) H Α ζηέιλεη ζηνλ Β ηελ ηηκή c = m e mod n (θξππηνγξάθεκα). Ο Β ππνινγίδεη m = c d mod n όπνπ d = e -1 (mod θ(n)) <=> de = 1 (mod θ(n)) (ν d είλαη ην ηδησηηθό θιεηδί ηνπ Β) 52

53 Κρυπτοσύστημα RSA (ii) Οξζόηεηα RSA: c d = m ed = m kφ(n)+1 = m (mod n). Παξάδεηγκα ζπζηήκαηνο RSA: p=11, q=17, n=187, e=21, d=61, m=42, c=9 Ζ αζθάιεηα ηνπ RSA ζηεξίδεηαη ζηελ (εθηηκώκελε, δελ ππάξρεη αθόκε απόδεημε!) ππνινγηζηηθή πνιππινθόηεηα ηεο παξαγνληνπνίεζεο (factoring). Ζ ιεηηνπξγία ηνπ RSA ζηεξίδεηαη ζε απνδνηηθνύο αιγόξηζκνπο γηα: primality testing (Miller-Rabin), ύςσζε ζε δύλακε modulo n (επαλαιακβαλόκελνο ηεηξαγσληζκόο) θαη εύξεζε αληηζηξόθνπ modulo θ(n) (επεθηεηακέλνο Δπθιείδεηνο). 53

54 Κρυπτοσύστημα RSA (iii) Fermat test: γηα θάζε πξώην p, γηα θάζε a (εθηόο πνιιαπιαζίσλ ηνπ p): a p-1 = 1 (mod p) Γηα όινπο ζρεδόλ ηνπο ζύλζεηνπο n, δηαςεύδεηαη κε πηζαλόηεηα >= ½ Δμαηξνύληαη νη αξηζκνί Carmichael (π.ρ. 561). Miller-Rabin test: θαιύπηεη θαη ηνπο αξηζκνύο Carmichael: δελ πεξλνύλ ην ηεζη κε πηζαλόηεηα >= ½ Πώο απμάλνπκε ηελ πηζαλόηεηα επηηπρίαο; 54

55 Ψηφοφορίες (social choice) Δθινγέο (βνπιεπηηθέο, πξπηαληθέο ;-)) Λήςε απνθάζεσλ ζε εηαηξείεο, νξγαληζκνύο,... Φξήζε ζηνλ παγθόζκην ηζηό: ηζηνζειίδεο "ςεθίδνπλ" ηζηνζειίδεο δείρλνληαο ζε απηέο ρξήζηεο "ςεθίδνπλ" ηζηνζειίδεο αλάινγα κε ηνλ ρξόλν πνπ μνδεύνπλ ζε απηέο Κνηλσληθά δίθηπα (social networks) friends, followers 55

56 Ψηφοφορίες (social choice) Πιεζώξα εθινγηθώλ ζπζηεκάησλ Τν πιεηνςεθηθό δελ είλαη πάληα δίθαην: z x y w y z x w Ο ληθεηήο ππνζηεξίδεηαη κόλν από ην 30% Δίλαη ηειεπηαία πξνηίκεζε γηα ην 70%! x z y w w z x y 56

57 Ψηφοφορίες: κι άλλα παράδοξα Καη ην "απόιπην" πιεηνςεθηθό παξνπζηάδεη παξάδνμα: νη x, w πεξλνύλ ζηνλ 2 ν γύξν ν x θεξδίδεη κε 70%, παξ όιν πνπ 74% πξνηηκνύλ ηνλ z από ηνλ x (ν z έθπγε από ηνλ 1 ν γύξν!) z x y w y z x w x z y w w z x y 57

58 Ψηφοφορίες: υπολογιστικές προκλήσεις Γηθαηόηεξα ζπζηήκαηα κπνξεί λα απαηηνύλ πνιύ κεγάιν ρξόλν ππνινγηζκνύ ηνπ ληθεηή (ππνινγηζηηθά απξόζηην) γηα ην ζύζηεκα ηνπ Dodgson (γλσζηόο θαη σο Lewis Caroll, 19 νο αηώλαο) ην πξόβιεκα είλαη πιήξεο γηα κηα θιάζε πνιππινθόηεηαο επξύηεξε ηεο NP Θέινπκε ν ππνινγηζκόο ηνπ ληθεηή λα είλαη ππνινγηζηηθά πξνζηηόο 58

59 Ψηφοφορίες: υπολογιστικές προκλήσεις Θεώξεκα Gibbard- Satterthwaite (1973): «Πέξα από θάπνηεο ηεηξηκκέλεο πεξηπηώζεηο, όια ηα ζπζηήκαηα ςεθνθνξίαο είλαη ρεηξαγσγήζηκα, εθηόο αλ είλαη δηθηαηνξηθά!» Θέινπκε ε ρεηξαγώγεζε λα είλαη δύζθνιε (ππνινγηζηηθά απξόζηηε) 59

60 Μη συνεργατικά παίγνια Παίθηεο (agents: ρξήζηεο, νληόηεηεο ινγηζκηθνύ, ζπζηήκαηα) αληαγσλίδνληαη, ζπλήζσο γηα δηεθδίθεζε πόξσλ Κάζε παίθηεο απνθαζίδεη κόλν ηε δηθή ηνπ ζηξαηεγηθή ζηόρνο: ειαρηζηνπνίεζε αηνκηθνύ θόζηνπο Τν αηνκηθό θόζηνο εμαξηάηαη από ηηο ζηξαηεγηθέο όισλ 60

61 Μη συνεργατικά παίγνια Ηζνξξνπία Nash: θαλείο δελ βειηηώλεη ην αηνκηθό ηνπ θόζηνο αιιάδνληαο κόλν ηε δηθή ηνπ ζηξαηεγηθή. Nash (1952): απέδεημε όηη πάληα ππάξρεη ηέηνηα ηζνξξνπία (αιιά κπνξεί λα είλαη κεηθηή mixed). Ζ ηζνξξνπία Nash απνηειεί «ιύζε» ηνπ ζπζηήκαηνο: αλ νη παίθηεο ζπκπεξηθεξζνύλ ζηξαηεγηθά θαη ινγηθά θαη έρνπλ ζηε δηάζεζή ηνπο πιήξε γλώζε θαη επαξθή ρξόλν, ηόηε θαηαιήγνπλ ζε κία ηζνξξνπία Nash. 61

62 Ισορροπία Nash Γίιεκκα θπιαθηζκέλσλ: ζπιιακβάλνληαη δύν δηαξξήθηεο, ζπλεξγάηεο ζε κεγάιε θινπή. Κξαηνύληαη ζε ρσξηζηά θειηά ρσξίο επηθνηλσλία Οκνινγεί Β Γελ νκνινγεί Β Οκνινγεί Α 5, 5 0, 15 Γελ νκνινγεί Α 15, 0 1, 1 Απνηέιεζκα: θαη νη δύν νκνινγνύλ! Ηζνξξνπία Nash δελ βειηηζηνπνηεί ζπλνιηθό απνηέιεζκα 62

63 Ισορροπία Nash: ερωτήματα Τίκεκα αλαξρίαο: πόζν "άζρεκα" κπνξεί λα ζπκπεξηθεξζεί ην ζύζηεκα; Λόγνο ζπλνιηθνύ θόζηνπο ρεηξόηεξεο ηζνξξνπίαο πξνο βέιηηζηε ζπλεξγαηηθή ιύζε [Koutsoupias, Papadimitriou, 1999] Μπνξνύκε λα βξνύκε ηελ "ρεηξόηεξε" ηζνξξνπία; Οπνηαδήπνηε ηζνξξνπία; ζύκθσλα κε ηζρπξέο ελδείμεηο δπζεπίιπην πξόβιεκα: πιήξεο γηα ηελ θιάζε PPAD. [Daskalakis, Goldberg, Papadimitriou, 2005] [Chen, Deng, 2005] «If your laptop can't find it, neither can the market!» - Kamal Jain (Microsoft Research) 63

64 Linear Programming 64

65 Επιτυχίες-σταθμοί Θεωρίας Αλγορίθμων και Πολυπλοκότητας Linear Programming [Dantzig - von Neumann, 1947, Khachiyan, 1979, Karmakar, 1984] Fast Fourier Transform [Cooley-Tukey, 1965 (αιιά θαη Gauss, 1805)] NP-πιεξόηεηα [Cook-Karp, ]: αδπλακία απνδνηηθήο επίιπζεο πνιιώλ ζεκαληηθώλ πξνβιεκάησλ Κξππηνγξαθία δεκνζίνπ θιεηδηνύ [Diffie-Hellman, Rivest-Shamir-Adleman, ] 65

66 Επιτυχίες-σταθμοί Θεωρίας Αλγορίθμων και Πολυπλοκότητας Pagerank (Google) [Page-Brin-Motwani-Winograd, ] Κβαληηθνί ππνινγηζκνί [Shor, 1996]: παξαγνληνπνίεζε ζε πνιπσλπκηθό ρξόλν Θεώξεκα PCP, κε-πξνζεγγηζηκόηεηα [Arora-Feige-Goldwasser-Lund-Lovasz-Motwani-Safra- Sudan-Szegedy, ] Γπζθνιία ππνινγηζκνύ ηζνξξνπηώλ Nash [Goldberg-Daskalakis-Papadimitriou, Chen-Deng, 2005] 66

67 Συνοψίζοντας Ζ ζεκαζία ησλ Αιγνξίζκσλ θαη ηεο Θεσξίαο απμάλεηαη όζν απμάλνληαη νη ππνινγηζηηθέο δπλαηόηεηεο. Γηαξθώο λέεο ππνινγηζηηθέο πξνθιήζεηο. Αλάγθε γηα λένπο αιγνξίζκνπο θαη ηερληθέο. Ζ αλάιπζε ηεο ππνινγηζηηθήο πνιππινθόηεηαο θαη ε ζεσξεηηθή κειέηε αιγνξίζκσλ θαη πξνβιεκάησλ γίλεηαη όιν θαη πην απαξαίηεηε. 67