Περίγραμμα διάλεξης 8

Transcript

1 Περίγραμμα διάλεξης 8 Βελτιστοποίηση,n μεταβλητές και m περιορισμοί Ένα συχνό πρόβλημα προς επίλυση στην οικονομική θεωρία (εισαγωγικό επίπεδο) είναι η βελτιστοποίηση (μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση) μίας πολυμεταβλητής συνάρτησης ( ) υπό ένα σύνολο περιορισμών, δηλαδή όπου max (x) x :R + R + ή min(x) :R + R + x με τους περιορισμούς (μ.τ.π) (x) =b : R + R + () (x) καλείται αντικειμενική συνάρτηση x =( ) R + το διάνυσμα των μεταβλητών επιλογής ο αριθμός των μεταβλητών επιλογής (διάσταση του διανύσματος x) ο αριθμός των περιορισμών Παρατηρήστε ότι στη συντριπτική πλειοψηφία των προβλημάτων που θα μας απασχολήσουν οι μεταβλητές επιλογής θα είναι μη-αρνητικές γι'αυτό και x R +, π.χ. ζήτηση αγαθών, δαπάνη αγαθών, κατανάλωση, ώρες σχόλης ή ώρες εργασίας, ζήτηση κεφαλαίου, ζήτηση εργασίας κτλ. Παρατηρήστε επίσης ότι σε όλα τα προβλήματα που θα συναντήσουμε. Αυτό γιατί όταν = τότε είναι δυνατόν να μην χρειάζεται βελτιστοποίηση αφού τα εφικτά σημεία μπορεί να είναι μόνο ένα! άρα δεν τίθεται θέμα επιλογής ενώ όταν τότε δύναται να μην υπάρχει λύση στην οποία όλοι οι περιορισμοί να ικανοποιούνται ταυτόχρονα.

2 . Παραδείγματα Για παράδειγμα, αν υποδηλώνουν τις ποσότητες κατανάλωσης δύο αγαθών, τις τιμές τους, το διαθέσιμο εισόδημα του καταναλωτή, κάποιο ελάχιστο επιθυμητό επίπεδο χρησιμότητας, υποδηλώνουν το κεφάλαιο και την εργασία αντίστοιχα, το παραγόμενο προϊόν, την αμοιβή της εργασίας και το κόστος του κεφαλαίου και κάποιο ελάχιστο επιθυμητό επίπεδο παραγωγής τότε τα προβλήματα που θα συναντήσουμε λαμβάνουν τη μορφή μεγιστοποίηση χρησιμότητας με εισοδηματικό περιορισμό max( ) μ.τ.π + = ελαχιστοποίηση δαπάνης με περιορισμό χρησιμότητας min = + μ.τ.π ( )= μεγιστοποίηση παραγωγής με περιορισμό κόστους max( ) μ.τ.π + = ελαχιστοποίηση κόστους με περιορισμό παραγωγής min + = μ.τ.π ( ) =. Επίλυση προβλήματος βελτιστοποίησης με μεταβλητές επιλογής και περιορισμούς Αναλυτικά, το πρόβλημα μεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης γράφεται ως εξής, Για να λύσουμε το πρόβλημα max ( ) μ.τ.π ( )=. () ( )=

3 . σχηματίζουμε τη συνάρτηση Lagrange ως P L = ( )+ () ( ) = όπου, = καλούνται πολ/στές Lagrange. Οι πολ/στές παίζουν το ρόλο ψευδομεταβλητών στο πρόβλημα και βοηθούν στην επίλυσή του χωρίς να καταφύγουμε σε αντικατάσταση των περιορισμών στην αντικειμενική συνάρτηση. Σημειώστε όμως, ότι έχουν και κατάλληλη οικονομική ερμηνεία. επιλύουμε τις Σ.Π.Τ του προβλήματος max L και για να βρούμε το στάσιμο σημείο x αλλά και τις τιμές των πολ/στών Lagrange, = στο στάσιμο σημείο. χρησιμοποιούμε είτε Σ.Δ.Τ για να χαρακτηρίσουμε το στάσιμο σημείο ή υιοθετούμε ιδιότητες σχετικά με την αντικειμενική συνάρτηση και τους περιορισμούς που βεβαιώνουν μοναδικό και ολικό ή ολικό μέγιστο (ελάχιστο). Σ.Π.Τ (συνθήκες πρώτης τάξης ή αναγκαίες συνθήκες για τοπικό μέγιστο ή τοπικό ελάχιστο) Οι συνθήκες πρώτης τάξης (αναγκαίες για την εύρεση του στάσιμου σημείου) δίνονται από + εξισώσεις, η λύση των οποίων δίνει το στάσιμο σημείο (και την τιμή που λαμβάνουν οι πολ/στές Lagrange στο συγκεκριμένο στάσιμο σημείο) Λύνουμε τις παρακάτω + εξισώσεις εξισώσεις L x =0 εξισώσεις L =0.4 Σ.Δ.Τ (συνθήκες δεύτερης τάξης ή ικανές συνθήκες για τοπικό μέγιστο ή τοπικό ελάχιστο) Οι συνθήκες δεύτερης τάξης, ικανές για το χαρακτηρισμό του στάσιμου σημείου - και ( ) - ως τοπικό μέγιστο (ή τοπικόελάχιστο) δίνονται όπως παρακάτω για τη γενική, περίπτωση.

4 Σημείωση: σπανίως χρησιμοποιούνται για αφού αλγεβρικά η επιβεβαίωσή τους καθίσταται πολύ απαιτητική ενώ όπως θα δούμε υπάρχουν και άλλοι τρόποι βεβαίωσης ύπαρξης ακρότατου σημείου στο πρόβλημα βελτιστοποίησης. Κατασκευάζουμε τη φραγμένη Εσσιανή μήτρα (Bordered Hessian) διαστάσεων ( + ) ( + ) ως εξής = 0 0 () () () () L L () L L όπου () = () και L = L ενώ θα συμβολίζει υπολογισμό της φραγμένης Εσσιανής στο στάσιμο σημείο. Αν οι τελευταίες, ( ) στον αριθμό, πρώτιστες κύριες ελάσσονες ορίζουσες υπολογι-σμένες στο στάσιμο σημείο εναλλάσσονται πρόσημο με το πρόσημο της τελευταίας να είναι ( ) τότε έχουμε τοπικό μέγιστο στο x π.χ. = = τότε = και ελέγχουμε μόνο μία, συγκεκριμένα την τελευταία, πρώτιστη κύρια ελάσσονα = π.χ. ==τότε =και ελέγχουμε μόνο δύο πρώτιστες κύριες ελάσσονες, συγκεκριμένα την τελευταία και προτελευταία πρώτιστη κύρια ελάσσονα Αν οι τελευταίες κύριες ελάσσονες ορίζουσες έχουν το ίδιο πρόσημο με ( ) τότε το x είναι τοπικό ελάχιστο. Για ευκολία να θυμάστε ότι είναι η φραγμένη Εσσιανή με κάτω δεξιά στοιχείο το L, είναι η φραγμένη Εσσιανή με κάτω δεξιά στοιχείο το L, κ.ο.κ. Συνοπτικά, οι παραπάνω κανόνες γράφονται ως 4

5 Αν ( ) Αν ( ) 0 γιά = + τοπικό μέγιστο 0 γιά = + τοπικό ελάχιστο Για παράδειγμα στις κλασσικές ασκήσεις που θα μας απασχολήσουν, έχουμε δύο μεταβλητές επιλογής =και έναν περιορισμό =άρα =και ( ) 0 όταν 0 ενώ ( ) 0 όταν 0 άρα σταπροβλήματαμε =και = Αν 0 τότε έχουμε τοπικό μέγιστο Αν 0 τότε έχουμε τοπικό ελάχιστο Άσκηση Λύστε τις ασκήσεις (Σ.Π.Τ και χαρακτηρισμός στάσιμου σημείου μέσω Σ.Δ.Τ) των max = μ.τ.π + =8 0 y x 5

6 και max ( ) = μ.τ.π + =8 0 y x.5 Παραδείγματα Παράδειγμα ΣΔΤ. Περίπτωση == = Σ.Δ.Τ: Τοπικό μέγιστο = 0 L L L L 0 L L L L x=x 0 6

7 Σ.Δ.Τ: Τοπικό ελάχιστο = 0 L L L L Παράδειγμα ΣΔΤ. Περίπτωση == = Σ.Δ.Τ: Τοπικό μέγιστο = και Σ.Δ.Τ: Τοπικό ελάχιστο = x=x 0 L L L L L L L L L 0 L L L L L L L L L 0 L L L L 0 Παράδειγμα ΣΔΤ. Περίπτωση == = Σ.Δ.Τ: Τοπικό μέγιστο = x=x 0. 0 x=x () () () () L L L () L L L () L L L () () () () L L L () L L L () L L L 7 0 x=x 0

8 Σ.Δ.Τ: Τοπικό ελάχιστο 0 Παράδειγμα: Διαχρονική επιλογή Έστω μία εξαιρετικά απλή οικονομία όπου ο αντιπροσωπευτικός καταναλωτής ζει δύοχρονικέςπεριόδους, την περίοδο και την περίοδο (η οποία έπεται της!!!). Άρα χρόνος : Έστω (0 ) το επιτόκιο δανεισμού στην οικονομία. Άρα κάποιος που καταθέτει χρηματική μονάδα (έστω ευρώ ) στην τράπεζα την πρώτη περίοδο λαμβάνει + τη δεύτερη περίοδο, π.χ. =005 σημαίνει ονομαστικό επιτόκιο 5% Έστω ότι συμβολίζει αποταμίευση στο χρόνο Έστω ότι συμβολίζει εισόδημα (συνολικό από εργασία, πλούτο κτλ) στο χρόνο = Έστω το γενικό επίπεδο τιμών την πρώτη χρονική περίοδο (π.χ. ο Δείκτης Τιμών Καταναλωτή εκφράζει την τιμή της κατανάλωσης ενός αντιπροσωπευτικού καλαθιού αγαθών, περίπου 80 εξειδικευμένες ομάδες αγαθώνστηνελλάδαμεστάθμισηηοποίααντικατοπτρίζειτησχετική δαπάνητωννοικοκυριώνγιατααγαθά. Στην Ελλάδα βασίζεται στην Έρευνα Οικογενειακού Προυπολογισμού, βλ. ΕΛ.ΣΤΑΤ) Έστω ότι το επίπεδο τιμών την περίοδο Στάδιο. Κατασκευή διαχρονικού εισοδηματικού περιορισμού. Θα διαπιστώσουμε ότι μπορεί να λάβει δύο ισοδύναμες μορφές ανάλογα με το αν προεξοφλούμε το μέλλον στο παρόν ή προβάλλουμε το παρόν στο μέλλον. Αναλυτικά, θεωρούμε ότι την πρώτη χρονική περίοδο + = δηλαδήηδαπάνηγιακατανάλωση και η αποταμίευση εξαντλούν το διαθέσιμο εισόδημα. Ένα μέρος του εισοδήματος της πρώτης περιόδου καταναλώνεται και το υπόλοιπο αποταμιεύεται. Αντίστοιχα τη δεύτερη χρονική περίοδο η δαπάνη για κατανάλωση εξαντλεί το διαθέσιμο εισόδημα καθώς και τιςαπολαβέςτηςαποταμίευσης από την πρώτη περίοδο ( + ). Επειδή δεν υπάρχει τρίτη περίοδος, δεν αποταμιεύουμε. Για ευκολία, δεν υπάρχουν μεταβιβαστικές πληρωμές. 8

9 Άρα ισχύει ότι = + ( + ) Αντικαθιστούμε την αποταμίευση στον περιορισμό της πρώτης περιόδου με το ισοδύναμό της από τον περιορισμό της δεύτερης περιόδου και καταλήγουμε στο διαχρονικό εισοδηματικό περιορισμό σε μορφή παρούσας αξίας + ( + ) = + ( + ) Παρούσα Αξία (+) όπου: αξία κατανάλωσης την περίοδο, αξία μελλοντικής κατανάλωσης την περίοδο, εισόδημα την περίοδο, εισόδημα δεύτερης (+) περιόδου την περίοδο. Πολ/ντας με ( + ) όλατασκέληκαταλήγουμεστοδιαχρονικόεισοδηματικό περιορισμό σε μορφή μελλοντικής αξίας ( + ) + =(+) + Μελλοντική αξία Θα χρησιμοποιήσουμε τον περιορισμό στη μορφή της παρούσας αξίας ήπεριεκτικά + ( + ) = + ( + ) ( ; )= ( ) Παρατηρήστε ότι ο πληθωρισμός δηλαδή η ποσοστιαία μεταβολή του επιπέδου των τιμών από την περίοδο στην περίοδο δίνεται από = = Για αλγεβρική ευκολία θεωρήστε το επίπεδο τιμών την πρώτη περίοδο είναι ίσο με (τυποποίηση), δηλαδή = τότε = ή =+ με την τυποποίηση ότι = Συνεπώς, ο διαχρονικός εισοδηματικός περιορισμός δίνεται από + ( + ) ( + ) = + ( + ) 9

10 Η παραπάνω έκφραση δύναται να απλοποιηθεί περισσότερο αντικαθιστώντας το ονομαστικό επιτόκιο με το πραγματικό επιτόκιο, δηλαδή το επιτόκιο της οικονομίας αφού αφαιρέσουμε την επίδραση του πληθωρισμού. Έστω ότι συμβολίζει πραγματικό επιτόκιο. Αν αποταμιεύσουμε τη περίοδο μία χρηματική μονάδα τότε ονομαστικά τη περίοδο θα λάβουμε ( + ) μονάδες. Πόσο θα λάβουμε όμως σε πραγματικούς ή αποπληθωρισμένους όρους όταν στην οικονομία παρατηρείται μη-μηδενικός πληθωρισμός τιμών; Τη συγκεκριμένη ποσότητα πρέπει να τηδιαιρέσουμεμετονπληθωρισμόο οποίος μειώνει την αγοραστική δύναμη της μίας χρηματικής μονάδας τη περίοδο. Για παράδειγμα, αν ο πληθωρισμός ήταν ίσος με το ονομαστικό επιτόκιο τότε δεν έχουμε κερδίσει τίποτα από την αποταμίευση αφού + + = + + = άρα σε πραγματικούς όρους η αγοραστική δύναμη παρέμεινε ίδια. Αν, ο πληθωρισμός είναι μεγαλύτερος του επιτοκίου και χάνουμε σε αγοραστική δύναμη + + ενώ αν, το ονομαστικό επιτόκιο είναι μεγαλύτερο του πληθωρισμού και ηπραγματική(επιτοκιακή) απόδοση είναι μεγαλύτερη της μονάδας. Οπότεέχουμετησχέση + = = = , Θετικό πραγματικό επιτόκιο + 0, Αρνητικό πραγματικό επιτόκιο Η τελική μορφή του διαχρονικού εισοδηματικού περιορισμού μετά την αντικατάσταση του πραγματικού επιτοκίου δίνεται από + + = + + 0

11 Στάδιο. Συνάρτηση χρησιμότητας. Έστω ότι η διαχρονική συνάρτηση χρησιμότητας έχει τη προσθετική μορφή ( ; ) =ln( )+ ln ( ) όπου δηλώνει τον υποκειμενικό παράγοντα προεξόφλησης με 0. Για παράδειγμα όταν 0 η κατανάλωση της δεύτερης περιόδου συνεισφέρει ελάχιστα στην χρησιμότητα ενώ αν =τότε έχει ακριβώς την ίδια στάθμιση (μονάδα) με την τωρινή κατανάλωση. Ηπροσθετικήμορφή ( ; ) = ( )+( ) είναι πιό περιοριστική της γενικής ( ; ) αφού αναγκάζουμε τον καταναλωτή να έχει την ίδια συνάρτηση χρησιμότητας κάθεχρονικήπερίοδο. Άρα η αντικειμενική συνάρτηση προς μεγιστοποίηση δίνεται από την ( ; ) = ln ( )+ln ( ). Σχηματίζουμε τη συνάρτηση Lagrange L = ( ; ) = ln( )+ln ( ) Οι Σ.Π.Τ δίνονται από () : () : () : L =0 =0 L =0 + =0 L = =0 όπου συμβολίζει την πρώτη μερική παράγωγο ως προς και την πρώτη μερική παράγωγο ως προς. Διαιρώντας ()() έχουμε τη σχέση ισορροπίας =(+) =(+) Η χρησιμότητα που χάνω αν αποποιηθώ παρούσα κατανάλωση πρέπει να είναι ίση με την πραγματική χρησιμότητα που κερδίζω από την επιπλέον κατανάλωση την περίοδο. Ο συμβολισμός ( ; ) δείχνει δύο μεταβλητές επιλογής, την κατανάλωση την περίοδο :, και την κατανάλωση την περίοδο :, καθώς και μία παράμετρο την. Το Ελληνικό ερωτηματικό ; συνήθως ξεχωρίζει τις μεταβλητές από τις παραμέτρους της συνάρτησης. Βαθμός ανυπομονησίας νοικοκυριού ή αντιπροσωπευτικού καταναλωτή.

12 ενώ Αναλυτικά, το στάσιμο σημείο από τη λύση των Σ.Π.Τ έχει ως εξής Διαιρούμε και L =0 = = L =0 = = (+) ( + ) ( + ) = = ( + ) L = ( + ) =0 ( + ) = µ = ( + ) = µ Σ.Δ.Τ Έχουμεδύομεταβλητέςεπιλογής, τις και έναν περιορισμό (τον διαχρονικό εισοδηματικό περιορισμό), οπότε η φραγμένη Εσσιανή μήτρα λαμβάνει τη μορφή = Ηορίζουσάτηςείναιίσημε = = 0 0 µ + + = + ( + ) ()

13 Άρα η ορίζουσα της φραγμένης Εσσιανής στο στάσιμο σημείο είναι θετική = + ( + ) 0 οπότε το στάσιμο σημείο = = µ ( + ) αντιστοιχεί σε τοπικό μέγιστο.. Πιστοποίηση περιορισμού Η προϋπόθεση της Πιστοποίησης Περιορισμού (constraint qualification). Θα πρέπει η μήτρα των πρώτων παραγώγων των περιορισμών (Ιακωβιανή μήτρα) 0 (x ) υπολογισμένη στο βέλτιστο σημείο να είναι βαθμού, δηλαδή πλήρους βαθμού (που σημαίνει ότι οι περιορισμοί είναι γραμμικώς ανεξάρτητοι στο στάσιμο σημείο x και κανένας δεν είναι πλεονάζων). Παρατήρηση. Στις ασκήσεις που θα συναντήσουμε έχουμε συνήθως έναν μόνο περιορισμό =άρα η διάσταση της Ιακωβιανής μήτρας 0 (x ) είναι =. Στη περίπτωση αυτή ελέγχουμε αν το διάνυσμα 0 (x ) είναι διάφορο του μηδενός, 0 (x ) 6= 0, δηλαδή θα πρέπει να μην είναι όλα τα στοιχεία του διανύσματος 0 (x ) μηδενικά. Παρατήρηση. Συνήθως στα προβλήματα που θα συναντήσουμε ο γραμμικός περιορισμός δίνει Ιακωβιανή μήτρα 0 (x ) με στοιχεία ανεξάρτητα του x και μη μηδενικά. Για παράδειγμα ο εισοδηματικός περιορισμός + = όπου δίνει (x) = + µ 0 (x ) = 6= 0 {z }

14 . Θεώρημα Περιβάλλουσας Το συγκεκριμένο θεώρημα μας διευκολύνει αλγεβρικά σε μεγάλο βαθμό όταν θέλουμε να προβούμε σε συγκριτική στατική ανάλυση και ειδικότερα όταν θέλουμε να παραγωγίσουμε τη βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ως προς μία παράμετρο. Ως απόρροια, δίνει και μια οικονομική ερμηνεία στον πολλαπλασιαστή Lagrange Παρατήρηση. Ητιμήτηςαντικειμενικής συνάρτησης (x) στο βέλτιστο (x ) καλείται και συνάρτηση αξίας (value function). Στην περίπτωση που η αντικειμενική συνάρτηση είναι μία συνάρτηση χρησιμότητας (x) = (x) τότε η ποσότητα (x ) καλείται έμμεση χρησιμότητα. Θεώρημα Περιβάλλουσας (envelope theorem) Έστω ότι είναι το στάσιμο σημείο ενός προβλήματος βελτιστοποίησης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Lagrange. Αντίστοιχα, έστω οι πολ/στές Lagrange στο στάσιμο σημείο. Έστω ότι Θ R είναι ένα διάνυσμα παραμέτρων που περιλαμβάνει παραμέτρους (και εξωγενείς μεταβλητές) τόσο της αντικειμενικής συνάρτησης () όσο και των περιορισμών () =0. Αν οι ( ), ( ) είναι συνεχώς παραγωγίσιμες συναρτήσεις του διανύσματος (δηλαδή των στοιχείων του διανύσματος) και η πιστοποίηση περιορισμού ισχύει τότε η (ολική) μεταβολή που υφίσταται η συνάρτηση αξίας από μία μεταβολή της παραμέτρου δίνεται από (x (); ) = L x=x = δηλαδή είναι ίση με την μερική παράγωγο της συνάρτησης Lagrange ως προς το διάνυσμα των παραμέτρων θεωρώντας τα και ανεξάρτητα της παραμέτρου και κατόπιν αντικαθιστούμε στην μερική παραγώγιση της L τις τιμές = και =. Άρα (x (); ) = L = x=x =. Παράδειγμα με θεώρημα περιβάλλουσας Ας δούμε ένα παράδειγμα και πώς το θεώρημα διευκολύνει την αλγεβρική ανάλυση αλλά και την ερμηνεία του πολ/στή Lagrange. Έστω η συνάρτηση 4

15 χρησιμότητας Cobb-Douglas ( ) = R + R ++ καιέναςγραμμικόςεισοδηματικόςπεριορισμός δηλαδή + = R ++ = Έχουμε λοιπόν ότι το διάνυσμα παραμέτρων και εξωγενών μεταβλητών δίνεται από = Η συνάρτηση Lagrange δίνεται από L = + [ ] μετοστάσιμοσημείοναπροκύπτειαπότηλύσητωνσ.π.τ Άρα ()() δίνει () : L = =0 () : L = =0 () : L = =0 οπότεμεαντικατάστασηστην() = = µ = + και = + =0 5

16 ενώ ο πολ/στής Lagrange λαμβάνει την - πιό σύνθετη αλγεβρικά - τιμή Οι λύσεις = ( + ) + + = ( ) καλούνται και ζητήσεις Marsall ή Walras ή η-αποζηιωένες ζητήσεις (Marsalian ή Walrasian ή uncompensated demand function). Παρατηρήστε τη συμμετρία! στη ζήτηση η οποία εξαρτάται από παραμέτρους προτιμήσεων, το εισόδημα και τις τιμές Οι ΣΔΤ για τοπικό μέγιστο 0 ικανοποιούνται όταν (βεβαιώστε το) 0 και αφού πρέπει = 0 L L L L =0 x=x = x=x 0 x=x + x=x x=x = ( )+ ( ) = = + 0 το οποίο ισχύει όταν = ( ) ( ) ( ) 0 = ( ) ( ) ( ) 0 και = ( ) ( ) 0 6

17 Η έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας δίνεται από = ( )=( ) ( ) = ( ) µ + µ + = ( + ) + + Πως μεταβάλλεται η βέλτιστη χρησιμότητα όταν μεταβληθεί η παράμετρος, δηλαδή το μερίδιο του πρώτου αγαθού στη συνάρτηση χρησιμότητας (υποννοεί μεταβολή προτιμήσεωνωςπροςτο ); Λογικά, απλώς θα παραγωγίζαμε = Γρήγορα καθίσταται εμφανές ότι αλγεβρικά είναι δύσκολο να υπολογίσουμε την αναλυτική έκφραση της. Η απάντηση μπορεί να βρεθεί ευκολότερα με χρήση του θεωρήματος της περιβάλλουσας. Έχουμε ότι ³ = L = x=x = x=x = = ln ( ) x=x =( ) ( ) ln ( ) = Το θεώρημα της περιβάλλουσας παράγει και ένα ακόμα εύχρηστο αποτέλεσμα με οικονομική ερμηνεία. Έστω ότι μεταβάλλεται (κατόπιν ορθολογικής λύσης του προβλήματος ζήτησης) η παράμετρος του περιορισμού. Δηλαδή έστω ότι το εισόδημα αυξάνεται ή μειώνεται. Τότε σύμφωναμετοθεώρηματηςπεριβάλλουσας = L = x=x = Δηλαδή οπολ/στής Lagrange στο στάσιμο σημείο υποδηλώνει τη σκιώδη τιμή του εισοδήματος ήαλλιώςτηνοριακή χρησιμότητα του εισοδήματος στο βέλτιστο αφού μας δείχνει πόσο μεταβάλλεται η βέλτιστη χρησιμότητα όταν μεταβληθεί το εισόδημα. 7

18 Σημείωση: Σεόλαταπροβλήματαπουθασυναντήσετε 0. Όμως σε προχωρημένα προβλήματα οικονομικών μαθηματικών με παραπάνω από έναν περιορισμούς ανισότητας, δύναται το =0, π.χ. + άρα δεν αναγκάζουμε το άτομο να δαπανήσει όλο του το εισόδημα. Σε αυτή την περίπτωση =0, όταν ο περιορισμός δεν ικανοποιείται με ισότητα στο βέλτιστο σημείο, μία μικρή μεταβολή του εισοδήματος δεν μεταβάλλει την έμμεση χρησιμότητα. Τέλος μία χρήσιμη ταυτότητα με την ονομασία ταυτότητα Roy (Roy's identity) προκύπτει από το θεώρημα περιβάλλουσας σε προβλήματα μεγιστοποίησης χρησιμότητας. Έχουμε ότι = L = x=x = Άραμεδεδομένητηθετικήοριακήχρησιμότητατουεισοδήματος 0 μία μεταβολή στη τιμή του αγαθού μειώνει την έμμεση χρησιμότητα αναλογικά με το ύψος της ζήτησης..4 Παράδειγμα με θεώρημα περιβάλλουσας Ας δούμε ένα παράδειγμα με ελαχιστοποίηση δαπάνης για δεδομένο επίπεδο χρησιμότητας Έστω το δεδομένο επίπεδο χρησιμότητας (από μία συνάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas) = και η συνάρτηση δαπάνης = + την οποία θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε κρατώντας τη χρησιμότητα σταθερή στο επίπεδο Ο περιορισμός λαμβάνει τη μορφή ή =0 = και είναι μη-γραμμικός στην συγκεκριμένη άσκηση. Έχουμε και πάλι στη διάθεσή μας (μέσω του προβλήματος) το διάνυσμα παραμέτρων = 8

19 Η συνάρτηση Lagrange δίνεται από L = + + h i με το στάσιμο σημείο να ικανοποιεί τις τρεις παρακάτω εξισώσεις (Σ.Π.Τ) Διαιρώντας ()() έχουμε () : L = =0 () : L = =0 () : L = =0 = = οπότεμεαντικατάστασητης = στην εξίσωση () λαμβάνουμε µ =0 Οι συναρτήσεις ζήτησης = + = + = µ µ και + µ + µ + + καλούνται και ζητήσεις Hicks ή αποζημιωμένες ζητήσεις (Hicksian ή compensated demand function). Παρατηρήστε τη συμμετρία! (και πάλι) στη ζήτηση η οποία εξαρτάται από παραμέτρους προτιμήσεων, το επίπεδο χρησιμότητας και τις τιμές Ωςαλγεβρικήάσκησηυπολογίστετητιμήτουπολ/στή Lagrange στο στάσιμο σημείο, = = = = = ³ + ³ + ³ + 9 ³ + µ +

20 Η συνάρτηση αξίας έχει ελάχιστη τιμή που δίνεται από ήσυμβολικά = + = όπου διαφαίνεται η εξάρτηση της συνάρτησης αξίας από τις εξωγενώς δοσμένες τιμές για τις παραμέτρους του προβλήματος,. Σύμφωνα με το θεώρημα της περιβάλλουσας = L = x=x = άρα στην περίπτωση της ελαχιστοποίησης δαπάνης, ητιμήτουπολ/στή Lagrange εκφράζει οριακό κόστος χρησιμότητας. Αν αυξηθεί το ζητούμενο επίπεδο χρησιμότητας τότε θα πρέπει να αυξηθεί η δαπάνη κατά. Μίαάλληεφαρμογήτουθεωρήματοςτηςπεριβάλλουσαςείναιτολήμμα Sheppard (Shephard's lemma) = L = x=x = από όπου προκύπτει και ο τίτλος αποζημιωμένη ζήτηση. Παρατηρήστε ότι αν μεταβληθεί η τιμή του αγαθού τότε για να διατηρήσουμε το ίδιο επίπεδο διαβίωσης θα πρέπει ο καταναλωτής να αποζημιωθεί με = επιπλέον εισόδημα. Slutsky equation = {z} αποτέλεσμα υποκατάστασης {z } αποτέλεσμα εισοδήματος 0