Το Υπόδειγμα του Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Το Υπόδειγμα του Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού"

Τρύφων Βικελίδης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Το Υπόδειγμα του Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού Ramsey-Cass-Koopmans 1

2 Το Υπόδειγμα του Ramsey To υπόδειγμα αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού oφείλεται στον Ramsey (1928), ο οποίος είχε πρώτος αναλύσει τη βέλτιστη αποταμιευτική συμπεριφορά ενός νοικοκυριού με μεγάλο χρονικό ορίζοντα. Το υπόδειγμα παρέμεινε στην αφάνεια για πολλά χρόνια και επανήλθε στο προσκήνιο στη δεκαετία του 1960, με τις εργασίες των Cass (1965) και Koopmans (1965). 2

3 Το Υπόδειγμα του Ramsey Η τεχνολογία και η διάρθρωση των αγορών (τέλειος ανταγωνισμός) στο υπόδειγμα αυτό είναι αντίστοιχη με τις υποθέσεις που κάναμε στο υπόδειγμα του Solow. Αντί για το σταθερό και εξωγενές ποσοστό αποταμιεύσης του υποδείγματος του Solow, στο υπόδειγμα του Ramsey οι αποταμιεύσεις προσδιορίζονται ως αποτέλεσμα της βέλτιστης διαχρονικής συμπεριφοράς ενός αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού. Η αποταμιευτική συμπεριφορά εξαρτάται από τις προτιμήσεις του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού (ποσοστό διαχρονικής προτίμησης και διαχρονικής υποκατάστασης) και την τεχνολογία της παραγωγής. 3

4 Ιδιότητες του Υποδείγματος Καθώς η βασική μορφή του υποδείγματος υποθέτει πλήρεις και ανταγωνιστικές αγορές, το υπόδειγμα αυτό προσδιορίζει την κοινωνικά βέλτιστη αποταμιευτική συμπεριφορά, με την έννοια της μεγιστοποίησης της κοινωνικής ευημερίας. Στο υπόδειγμα του Ramsey προκύπτει ότι το ποσοστό αποταμίευσης δεν είναι σταθερό, αλλά συνάρτηση της έντασης του κεφαλαίου. Στο υπόδειγμα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού δεν μπορεί να υπάρχει μη αποτελεσματική υπερ-αποταμίευση, όπως στο υπόδειγμα του Solow. Εξ ορισμού, το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό επιλέγει το βέλτιστο επίπεδο αποταμιεύσεων, με τρόπο που δεν επιδέχεται περαιτέρω βελτίωση (προσαρμοσμένος χρυσός κανόνας). Ωστόσο, και το υπόδειγμα αυτό είναι ένα υπόδειγμα εξωγενούς μεγέθυνσης, όπως και το υπόδειγμα του Solow. 4

5 Συνάρτηση Παραγωγής και Ανταγωνιστική Ισορροπία y(t) = f (k(t)) r(t) = f (k(t)) δ w(t) = f (k(t)) k(t) f (k(t)) k (t) = ( r(t) + δ )k(t) + w(t) c(t) (n + g + δ )k(t) 5

6 Συνάρτηση Χρησιμότητας Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού U = t=0 e ρt u(c(t)) L(t) dt H όπου u(c(t)) = C(t)1 θ 1 1 θ L(t) = L(0)e nt,θ > 0,ρ n (1 θ)g > 0 6

7 Βελτιστοποίηση Χρησιμότητας Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού maxu = B t=0 e βt c(t) 1 θ 1 dt 1 θ υπό τον περιορισμό k (t) = r(t)k(t) + w(t) c(t) (n + g)k(t) όπου β = ρ n (1 θ)g > 0 7

8 Χαμιλτονιανή και Συνθήκες Πρώτης Τάξης H (t) = e βt c(t) 1 θ 1 1 θ + λ(t) ( r(t)k(t) + w(t) c(t) (n + g)k(t) ) Συνθήκες Πρώτης Τάξης: (1) H (t) c(t) = 0 λ(t) = e βt c(t) θ (2) H (t) λ(t) = k (t) k (t) = r(t)k(t) + w(t) c(t) (n + g)k(t) (3) H (t) k(t) = λ (t) λ (t) = λ(t) ( r(t) n g) 8

9 Η Εξίσωση Euler για την Κατανάλωση Αντικαθιστώντας το λ στις συνθήκες πρώτης τάξης (1) και (3) λαμβάνουμε την εξίσωση Euler για την κατανάλωση c (t) c(t) = 1 ( r(t) ρ θg) = 1 θ θ r(t) ρ ( ) g Εκφράζοντας την εξίσωση Euler ως προς την κατά κεφαλήν κατανάλωση, C (t) ( ) C(t) = 1 θ r(t) ρ 9

10 Η Εξίσωση Euler για την Κατανάλωση C (t) ( ) C(t) = 1 θ r(t) ρ Ο ρυθμός αύξησης της κατανάλωσης κατά κεφαλήν είναι θετικός όταν το πραγματικό επιτόκιο, υπερβαίνει το ποσοστό διαχρονικής προτίμησης του νοικοκυριού. Οσο δε μεγαλύτερη είναι η ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης της κατανάλωσης, 1/θ, τόσο μεγαλύτερος είναι ο ρυθμός αύξησης της κατανάλωσης. Οσο μεγαλύτερο είναι το πραγματικό επιτόκιο σε σχέση με το ποσοστό διαχρονικής προτίμησης, τόσο μεγαλύτερο θα είναι το κίνητρο για το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό να μειώσει την τρέχουσα κατανάλωσή του προκειμένου να απολαύσει υψηλότερη μελλοντική κατανάλωση. Οσο υψηλότερη είναι η ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης, τόσο πιο εύκολο είναι για το νοικοκυριό, σε όρους χρησιμότητας, να υποκαταστήσει διαχρονικά την κατανάλωση. 10

11 Η Συνθήκη Εγκαρσιότητας (transversality condizon) lim e βt k(t) u t ( c(t) ) = lim e βt k(t)c(t) θ = 0 t Μία επιπλέον συνθήκη που πρέπει να ισχύει είναι ότι καθώς ο χρόνος τείνει προς το άπειρο, η προεξοφλημένη αξία του μελλοντικού κεφαλαίου θα πρέπει να τείνει στο μηδέν. Αν δεν συμβαίνει κάτι τέτοιο, το νοικοκυριό θα μπορούσε να αυξήσει τη χρησιμότητά του καταναλώνοντας μέρος του κεφαλαίου του. Η συνθήκη αυτή αποκαλείται συνθήκη εγκαρσιότητας (transversality condizon) Αυτή προκύπτει από το γεγονός ότι το νοικοκυριό πρέπει να ικανοποιεί τον διαχρονικό εισοδηματικό του περιορισμό. 11

12 Συσσώρευση Κεφαλαίου και Προσαρμογή της Κατανάλωσης στο Υπόδειγμα του Ramsey k (t) = f (k(t)) c(t) (n + g + δ )k(t) c (t) c(t) = 1 ( f (k(t)) δ ρ) g θ 12

13 Ερμηνεία των Συνθηκών Η πρώτη εξίσωση προσδιορίζει τη συσσώρευση του κεφαλαίου Η δεύτερη εξίσωση προσδιορίζει την προσαρμογή της κατανάλωσης (εξίσωση Euler για την κατανάλωση). Ο ρυθμός αύξησης της κατανάλωσης κατά κεφαλήν είναι θετικός όταν το πραγματικό επιτόκιο, το οποίο ισούται με το οριακό προϊόν του κεφαλαίου, υπερβαίνει το ποσοστό διαχρονικής προτίμησης του νοικοκυριού. 13

14 Η Δυναμική Προσαρμογή της Κατανάλωσης και του Κεφαλαίου 14

15 Η Πορεία Ισόρροπης Μεγέθυνσης Η πορεία ισόρροπης μεγέθυνσης στο υπόδειγμα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού είναι ανάλογη της πορείας ισόρροπης μεγέθυνσης στο υπόδειγμα του Solow. Το κεφάλαιο, το προϊόν και η κατανάλωση ανά μονάδα αποτελεσματικότητας της εργασίας είναι σταθερά. Κατά συνέπεια, και το ποσοστό αποταμίευσης (y-c)/y, στην πορεία ισόρροπης μεγέθυνσης είναι και αυτό σταθερό. Το συνόλικο απόθεμα κεφαλαίου, το συνολικό προϊόν και η συνολική κατανάλωση αυξάνονται με ρυθμό n+g. Το κατά κεφαλήν απόθεμα κεφαλαίου, το κατά κεφαλήν προϊόν και η κατά κεφαλήν κατανάλωση αυξάνονται με ρυθμό g. 15

16 Το Υπόδειγμα του Ramsey και ο Χρυσός Κανόνας Στο υπόδειγμα του Ramsey δεν είναι δυνατόν το κεφάλαιο στην πορεία ισόρροπης μεγέθυνσης να ξεπερνά το επίπεδο του χρυσού κανόνα. Το κεφάλαιο ανά μονάδα αποδοτικότητας της εργασίας στην πορεία ισόρροπης μεγέθυνσης είναι πάντοτε μικρότερο από αυτό του χρυσού κανόνα (προσαρμοσμένος χρυσός κανόνας). Το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό δεν επιδιώκει να μεγιστοποιήσει την κατά κεφαλήν κατανάλωση, αλλά μία διαχρονική συνάρτηση χρησιμότητας η οποία, λόγω του θετικού ποσοστού διαχρονικής προτίμησης, δίνει μεγαλύτερο βάρος στη σημερινή κατανάλωση. 16

17 Επιπτώσεις μιας Αύξησης του Ποσοστού Διαχρονικής Προτίμησης 17

18 Διαχρονική Πορεία μετά μια Αύξηση του Ποσοστού Διαχρονικής Προτίμησης 18

19 Το Υπόδειγμα του Ramsey σε Διακριτό Χρόνο (ανά μονάδα αποδοτικότητας της εργασίας) Συνάρτηση Παραγωγής Cobb Douglas y t = Ak t α Συνάρτηση Κατανάλωσης (Εξίσωση Euler) = 1+ r t+1 c t 1+ ρ c t+1 1 θ 1 1+ g Συνθήκη Ισορροπίας στην Αγορά Αγαθών και Υπηρεσιών y t = c t + (1+ n)(1+ g)k t+1 (1 δ )k t 19

20 Αύξηση Πληθυσμού και Τεχνολογική Πρόοδος Αύξηση Πληθυσμού L t = L 0 (1+ n) t Τεχνολογική Πρόοδος h t = h 0 (1+ g) t 20

21 Πραγματικοί Μισθοί και Πραγματικό Επιτόκιο στο Υπόδειγμα του Ramsey Πραγματικό Επιτόκιο Πραγματικός Μισθός r t = α Ak t α 1 δ w t = (1 α )Ak t α 21

22 Συσσώρευση Κεφαλαίου και Μεταβολή της Κατανάλωσης ανά Μονάδα Αποδοτικότητας της Εργασίας Συσσώρευση Κεφαλαίου k t+1 = 1 ( (1+ n)(1+ g) Ak α + (1 δ )k c ) t t t Μεταβολή της Κατανάλωσης = 1+ α A k t+1 c t 1+ ρ c t+1 ( ) α 1 δ 1 θ 1 1+ g 22

23 Κεφάλαιο και Προϊόν στην Πορεία της Ισόρροπης Μεγέθυνσης Συνολικό Κεφάλαιο Ισορροπίας k* = α A (1+ ρ)(1+ g) θ (1 δ ) 1 1 α Συνολικό Προϊόν Ισορροπίας y* = A α A (1+ ρ)(1+ g) θ (1 δ ) α 1 α 23

24 Ποσοστό Αποταμίευσης στην Πορεία της Ισόρροπης Μεγέθυνσης Ποσοστό Αποταμίευσης Ισορροπίας s* = a (1+ n)(1+ g) (1 δ ) (1+ ρ)(1+ g) θ (1 δ ) 24

25 Δυναμική Προσομοίωση του Υποδείγματος του Ramsey Υποθέσεις για τις παραμέτρους Α=1, α=0.333, ρ=0.02, θ=1, n=0.01, g=0.02, δ=0.03 Εξετάζουμε δύο εναλλακτικά σενάρια 1. Μία αύξηση του ποσοστού διαχρονικής προτίμησης ρ κατά 5% (δηλαδή από 0.02 σε 0.021) 2. Μία αύξηση της συνολικής παραγωγικότητας των συντελεστών Α κατά 5% (δηλαδή από 1 σε 1.05) 25

26 26

27 27

28 Μεγέθη στην Πορεία της Ισόρροπης Μεγέθυνσης Αρχική Αύξηση ρ Αύξηση Α k y c r w s

29 Συμπεράσματα Αποτελεί σημείο αναφοράς στη σύγχρονη μακροοικονομική καθώς βασίζεται στην υπόθεση της διαχρονικής βελτιστοποίησης εκ μέρους του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού και περιγράφει τη βέλτιστη, κοινωνικά αποτελεσματική, επιλογή των αποταμιεύσεων και της πορείας ισόρροπης μεγέθυνσης. Κατά τα άλλα έχει ιδιότητες, και αδυναμίες, ανάλογες με το υπόδειγμα του Solow, καθώς δεν εξηγεί τη διαδικασία της ισόρροπης μεγέθυνσης, αλλά κατά βάση την υποθέτει, λόγω του ότι και αυτό υποθέτει εξωγενή τεχνολογική πρόοδο. 29

Σχετικά έγγραφα

Το Υπόδειγμα του Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού

Το Υπόδειγμα του Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού Ramsey- Cass- Koopmans Το Υπόδειγμα του Ramsey To υπόδειγμα αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού oφείλεται στον Ramsey (1928), ο οποίος είχε πρώτος αναλύσει τη βέλτιστη