Το Νεοκλασσικό υπόδειγµα οικονοµικής µεγέθυνσης

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Το Νεοκλασσικό υπόδειγµα οικονοµικής µεγέθυνσης"

Πέρσις Ελευθερόπουλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Το Νεοκλασσικό υπόδειγµα οικονοµικής µεγέθυνσης Α. Αποκεντρωµένη Οικονοµία Α. Νοικοκυριά Σε κάθε χρονική στιγµή υπάρχουν όµοια νοικοκυριά το καθ ένα εκ των οποίων συµβολίζεται µε τον δείκτη. Θα αναφερόµαστε στο νοικοκυριό ως το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό (represenaive ouseold).

2 Η αναµενόµενη διαχρονική χρησιµότητα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριoύ είναι: (, L ) β u C () όπου * β < < είναι ο συντελεστής διαχρονικής προεξόφλησης, C είναι η κατανάλωση του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού την χρονική στιγµή, και είναι το ποσοστό του χρόνου που το νοικοκυριό διαθέτει την χρονική στιγµή για ξεκούραση. L 2

3 Η στιγµιαία συνάρτηση χρησιµότητας είναι της µορφής: uc (, L) µ µ ( C ) L ( ) ( ) σ σ (2) όπου < µ < είναι η στάθµιση που το νοικοκυριό δίνει στην κατανάλωση και / σ > είναι η διαχρονική ελαστικότητα υποκατάστασης. Αν σ, uc (, L) µ ln C + ( µ )lnl (2 ) 3

4 Οι αποταµιεύσεις του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού νοικοκυριού διοχετεύονται σε επένδυση σε φυσικό κεφάλαιο, εισόδηµα I. Το φυσικό κεφάλαιο αποδίδει rk, όπου r είναι η απόδοση µιας µονάδας από το κεφάλαιο συσσωρεύσει το νοικοκυριό. Επίσης, κάθε νοικοκυριό λαµβάνει µερίσµατα, K που έχει Π από τα κέρδη των επιχειρήσεων. Κάθε νοικοκυριό, τέλος, κατανέµει τον διαθέσιµο χρόνο του που έχει νορµαλισθεί στην µονάδα, σε εργασία κάθε χρονική στιγµή, L και ξεκούραση L. ηλαδή, σε + (3) Ο εισοδηµατικός περιορισµός του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού είναι: C + I rk + w +Π (4) όπου w είναι ο µισθός (η αµοιβή µιας εργατοώρας). 4

5 Το κεφάλαιο συσσωρεύεται σύµφωνα µε τον κανόνα: K ( δ ) K + + I (5) όπου < δ < είναι ο ρυθµός απόσβεσης. Το αρχικό επίπεδο κεφαλαίου K είναι εξωγενώς δεδοµένο. 5

6 Το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό συµπεριφέρεται ανταγωνιστικά θεωρώντας τις τιµές (προιόντος και συντελεστών παραγωγής) δεδοµένες. Επίσης δεδοµένη θεωρεί και την ακολουθία των µερισµάτων. ηλαδή, κάθε νοικοκυριό επιλέγει την C, I,, L, K + έτσι ώστε να µεγιστοποιεί την διαχρονική του ακολουθία { } χρησιµότητα (), υπό τους περιορισµούς (3), (4), (5), τους φυσικούς περιορισµούς C >, I >, >, L >, K >,,,... και µε εξωγενώς δεδοµένη την αρχική + τιµή του κεφαλαίου K >. 6

7 ( ) max β u C, L () { C, I,, L, K+ } s.. C + I rk + w +Π (3) L + (4) K ( + δ ) K + I (5) C >, I >, >, L >, K >,,,... + K > εξωγενώς δεδοµένο 7

8 Λύνω τις (4) και (5) ως προς L L και I (4 ) I K + ( δ ) K (5 ) Αντικαθιστώ το I από την (5 ) στην (3) και λύνω ως προς C + r K + w K +Π (3 ) ( δ ) + Αντικαθιστώ τα C και πρόβληµα αριστοποίησης γίνεται: C : L από τις (3 ) και (4 ) αντίστοιχα στην (), οπότε το ( ) max β u ( δ r) K w K, Π ( ) {, K+ } >, K >,,,... + K > εξωγενώς δεδοµένο 8

9 Οι συνθήκες πρώτης τάξης αυτού του προβλήµατος είναι: u (.) C u (.) L : + C L C ή u (.) C u (.) C * : + β E C K+ C+ K+ u(.) u(.) w C L (6) u C + (.) * u+ (.) β E C+ ( δ r ) + Οι παραπάνω συνθήκες συµπληρώνονται µε την συνθήκη ransversaliy για το u (.) κεφάλαιο lim β K +. C (7) 9

10 Αν uc (, L ) µ ln C + ( µ )lnl οι συνθήκες πρώτης τάξης γίνονται ( µ ) µ C L w (6 ) * β E δ + + C+ C ( r ) (7 )

11 Α2. Επιχειρήσεις Υπάρχουν όµοιες επιχειρήσεις και κάθε µια συµβολίζεται µε τον δείκτη,,2,...,. Θα αναφερόµαστε στην επιχειρήση ως την αντιπροσωπευτική επιχείρηση (represenaive irm). Κάθε επιχείρηση παράγει ένα οµοιογενές προϊόν, Y, χρησιµοποιώντας ιδιωτικό φυσικό κεφάλαιο, K και ιδιωτική εργασία,. Κάθε επιχείρηση παράγει σύµφωνα µε την νεοκλασσική συνάρτηση παραγωγής: Y A K α α ( ) ( ) (8) όπου A > είναι µεταβλητή που εκφράζει την συνολική παραγωγικότητα, και < α < η ελαστικότητα παραγωγής του κεφαλαίου.

12 Η αντιπροσωπευτική επιχείρηση συµπεριφέρεται ανταγωνιστικά θεωρώντας τις τιµές (προιόντος και συντελεστών παραγωγής η τιµή του προϊόντος είναι νορµαλισµένη στην µονάδα) δεδοµένες. ηλαδή, επιλέγει µεγιστοποιεί τα κέρδη της: K και έτσι ωστε να max Y, K, Z Π Y rk w (9) s.. α α ( ) ( ) (8) Y A K ή K max Π A ( K ) ( ) rk w, Z α α 2

13 Οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι: Y w () ( α ) a Y K r () Αντικαθιστώντας τις () και () στην συνάρτηση των κερδών προκύπτει ότι Π (2) 3

14 Α3. Συνθήκες Εκκαθάρισης των Αγορών Αγορά Κεφαλαίου Αγορά Εργασίας K K (3) (4) Αγορά Προϊόντος Y ( C + I ) (5) όπου C + I είναι η ζήτηση προϊόντος από το νοικοκυριό : Y C + I (6) Αγορά Μερισµάτων Π Π Π, και (7) 4

15 Α3. Σηµείο Αποκεντρωµένης Ανταγωνιστικής Ισορροπίας Το Σηµείο Ανταγωνιστικής Ισορροπίας είναι ένα διάνυσµα ποσοτήτων για το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό { C, I,, L, K+, Π } για την αντιπροσωπευτική επιχείρηση { Y,,, K } { w, r}, τέτοια ώστε:, ένα διάνυσµα ποσοτήτων Π και ένα διάνυσµα τιµών ) εδοµένων των τιµών, το διάνυσµα των ποσοτήτων του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού { C, I,, L, K+, } νοικοκυριού. Π λύνει το αριστοποιητικό πρόβληµα του 5

16 2) εδοµένων των τιµών, το διάνυσµα των ποσοτήτων της αντιπροσωπευτικής επιχείρησης { Y,,, K } Π λύνει το αριστοποιητικό πρόβληµα της επιχείρησης. 3) εδοµένων των διανυσµάτων των ποσοτήτων για το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό και την αντιπροσωπευτική επιχείρηση, το διάνυσµα των τιµών { w, r} είναι τέτοιο ώστε όλες οι αγορές να εκκαθαρίζονται. 6

17 Το Σηµείο Ανταγωνιστικής Ισορροπίας περιγράφεται από τις παρακάτω εξισώσεις: i ( µ ) C µ w (6 ) β δ + C C+ * ii E ( + r ) iii C ( δ + r) K + wz K+ (3 ) iv I K ( δ ) K (5 ) v ( α ) + (7 ) Y w () vi a Y r K () vii α α ( ) ( ) (8) Y A K 7

18 viii ix x xi K K (3) (4) Y ( C + I ) Y (5) Π Π Π, και (7) Χρησιµοποιώντας τις συνθήκες εκκαθάρισης των αγορών µπορώ να εκφράσω το σηµείο ανταγωνιστικής ισορροπίας ως προς µεταβλητές που αφορούν µόνο το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό : 8

19 K K K K K K (3 ) (4 ) ( ) (5 ) Y Y Y Y Y Y C + I Π Π Π Π Π Π (7 ) Αντικαθιστώ τις (3 ), (4 ), (5 ) και (7 ) στις (), (), (8) και (3 ). Ετσι το Σηµείο Ανταγωνιστικής Ισορροπίας περιγράφεται τελικά από τις εξισώσεις: 9

20 Ι ( µ ) C µ w (6 ) β δ + C C+ * ΙΙ E ( + r ) ΙΙΙ C ( δ + r) K + w K+ (3 ) IV I K ( δ ) K (5 ) V ( α ) + (7 ) Y w () VI a Y r K () VII α α ( ) ( ) (8) Y A K Παρατηρείστε ότι αν αντικαταστήσουµε τις εξισώσεις IV, V και VI στην III προκύπτει το resource consrain Y C + I. 2

21 Η διάσταση του προβλήµατος µπορεί να µειωθεί ακόµη περισσότερο αν αντικαταστήσουµε τις τιµές στις I, II, III µε τα ίσα τους από τις V και VI: ( µ ) C µ Α ( α ) Y (6 ) Β Γ Y C C K * + β E δ + a + + (7 ) Y C + I (5 ) I K ( δ ) K (7) + Ε Y A K Z α α ( ) ( ) (8) Αυτό είναι ένα σύστηµα 5 εξισώσεων ως προς 5 αγνώστους C, I, Y,, K 2

Σχετικά έγγραφα

Ενα Νέο Κλασσικό Υπόδειγμα Χωρίς Κεφάλαιο. Μακροοικονομικές Διακυμάνσεις και Νομισματικοί Παράγοντες

Ενα Νέο Κλασσικό Υπόδειγμα Χωρίς Κεφάλαιο Μακροοικονομικές Διακυμάνσεις και Νομισματικοί Παράγοντες Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, Αθήνα, 2016 Ενα Νέο Κλασσικό Υπόδειγμα Χωρίς Κεφάλαιο