2. d(x, y) = 0 x = y. 3. d(x, y) = d(y, x)

Transcript

1 Τελεστές σε χώρους Hilbert Γεωργάτος Σπυρίδων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Επιτροπή Επιβλέπων: Φελουζής Ευάγγελος - Αναπληρωτής Καθηγητής Μέλη : Τσολομύτης Αντώνιος - Καθηγητής Νικολόπουλος Χρήστος - Αναπληρωτής Καθηγητής Καρλόβασι, Σάμος 30/05/2017 1

2 Στους γονείς μου. Στον Ηλία Δ.

3 Περιεχόμενα 1 Μια εισαγωγή στους χώρους Bnch και Hilbert Τοπολογικοί και Μετρικοί Χώροι Ο χώρος Bnch των συνεχών συναρτήσεων Η Γεωμετρία των χώρων Hilbert Πλήρωση Στοιχεία από τη Θεωρία του Μέτρου Δακτύλιοι και Άλγεβρες συνόλων Σύνολα Borel στο Χώροι μέτρου Μετρήσιμες Συναρτήσεις Απλές Συναρτήσεις Ολοκλήρωση Οι Χώροι L p Κατασκευή των χώρων L p Χώροι Hilbert Εισαγωγή Ορθοκανονικές Βάσεις Ορθογώνιοι Υπόχωροι και το λήμμα του Riesz Ευθύ άθροισμα και Τανυστικό γινόμενο σε χώρους Hilbert Τανυστικό Γινόμενο Η C Άλγεβρα των φραγμένων γραμμικών τελεστών Ισχυρή και Ασθενής Σύγκλιση Φραγμένοι Γραμμικοί Τελεστές σε χώρους Hilbert Φραγμένοι Τελεστές Τελεστές πεπερασμένης τάξης Συζυγείς Τελεστές Αυτοσυζυγείς Τελεστές Προβολές

4 3.6 Συμπαγείς Τελεστές Αναλλοίωτοι Υπόχωροι Το φάσμα ενός τελεστή Το φασματικό θεώρημα για Συμπαγείς Αυτοσυζυγείς Τελεστές Ιδιάζουσες Τιμές Trce Clss και Hilbert-Schmidt Τελεστές Βιβλιογρφία 51 4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Μια εισαγωγή στους χώρους Bnch και Hilbert. 1.1 Τοπολογικοί και Μετρικοί Χώροι. Σε αυτή την ενότητα θα παρουσιάσουμε κάποιους βασικούς ορισμούς και έννοιες στους μετρικούς και τοπολογικούς χώρους. Ορισμός 1.1. Ενας μετρικός χώρος είναι ένα μη κενό σύνολο X εφοδιασμένο με μια συνάρτηση d : X X [0, ) η οποία για κάθε x, y, z X ικανοποιεί τα παρακάτω: 1. d(x, y) 0 2. d(x, y) = 0 x = y 3. d(x, y) = d(y, x) 4. d(x, z) d(x, y) + d(y, z). (Τριγωνική Ανισότητα) Αν η (2) δεν ισχύει τότε η d λέγεται ημι-μετρική. 1/2 Παράδειγμα 1.2. Ο Ευκλείδειος χώρος n εφοδιασμένος με την μετρική d(x, y) = (x k y k ) 2 είναι μετρικός χώρος. Ορισμός 1.3. Εστω X ένας μετρικός χώρος. 1. Το σύνολο B r = { y X : d(x, y) < r} καλείται ανοικτή μπάλα με κέντρο x και ακτίνα r. 2. Ενα x U καλείται εσωτερικό σημείο του U αν B r (x) U. Το U καλείται επίσης περιοχή του x. 3. Το x U καλείται οριακό σημείο αν (B r (x) {x}) U 0, για κάθε μπάλα γύρω από το x. Παράδειγμα 1.4. Εστω το με την συνήθη μετρική και έστω U = ( 1, 1). Τότε κάθε x U είναι εσωτερικό σημείο του U και τα ±1 είναι οριακά σημεία. 5 k=1

6 Ορισμός 1.5. Ενα σύνολο το οποίο αποτελείτε από εσωτερικά μόνο στοιχεία καλείται ανοικτό. Η οικογένεια των ανοικτών συνόλων ικανοποιεί τα παρακάτω: 1., X 2. Αν O 1, O 2 τότε O 1 O 2 3. Αν {O } τότε O Γενικότερα, ένας χώρος X μαζί με μια οικογένεια ανοικτών συνόλων που ικανοποιεί τα 1 και 3 καλείται τοπολογικός χώρος. Οι έννοιες του εσωτερικού και οριακού σημείου όπως και της περιοχής μεταφέρονται σε τοπολογικούς χώρους αν αντικαταστήσουμε τις ανοικτές μπάλες με ανοικτά σύνολα. Παράδειγμα Σε κάθε σύνολο X ορίζεται η τετριμμένη τοπολογία = {, X } 2. Σε κάθε σύνολο X ορίζεται η διακριτή τοπολογία = (X ), όπου (X ) το δυναμοσύνολο του συνόλου X. Ορισμός 1.7. Εστω δύο τοπολογίες 1 και 2 στο X. Η 1 καλείται ασθενέστερη της 2 (ισοδύναμα η 2 καλείται ισχυρότερη της 1 ) αν 1 2. Φανερά η τετριμμένη τοπολογία είναι η ασθενέστερη από όλες τις τοπολογίες στο X και η διακριτή τοπολογία είναι η ισχυρότερη από όλες τις τοπολογίες στο X. Σημείωση 1.8. Διαφορετικές μετρικές μπορεί να μας δώσουν την ίδια τοπολογία. Για παράδειγμα, εφοδιάζουμε τον n με την Ευκλείδεια μετρική d(x, y), όπως πριν ή μπορούμε να ορίσουμε την μετρική Τότε συνεπάγεται ότι 1 n d (x, y) = x k y k k=1 n x k x k 2 k=1 k=1 x k k=1 B r/ n (x) B r (x) B r(x), όπου B, B οι ανοικτές μπάλες των d, d αντίστοιχα. Παράδειγμα 1.9. Μπορούμε πάντα να αντικαταστήσουμε μια μετρική d με την φραγμένη μετρική χωρίς να αλλάξει η τοπολογία. d(x, y) p(x, y) = 1 + d(x, y) Σημείωση 1.10 (Παραγόμενη τοπολογία). Κάθε υπόχωρος Y ενός τοπολογικού χώρου X γίνεται τοπολογικός χώρος αν ορίσουμε ότι το O Y είναι ανοικτό αν υπάρχει ανοικτό Ô X τέτοιο ώστε = Ô Y. 6

7 Παράδειγμα Το σύνολο (0, 1] δεν είναι ανοικτό στην τοπολογία του X =, αλλά είναι ανοικτό στην παραγόμενη τοπολογία όταν θεωρηθεί ως υποσύνολο του Y = [ 1, 1] Ορισμός Μία οικογένεια ανοικτών συνόλων καλείται βάση για την τοπολογία αν για κάθε x και κάθε περιοχή U(x), υπάρχει O με x O U(x). Πρόταση Αν είναι βάση για την τοπολογία, τότε κάθε ανοικτό σύνολο μπορεί να γραφτεί ως ένωση στοιχείων της. Ορισμός Αν υπάρχει μία αριθμήσιμη βάση, τότε ο X λέγεται δεύτερα αριθμήσιμος. Ορισμός Ενας τοπολογικός χώρος X καλείται T 2 ή Husdorff αν x, y X με x y U x, U y περιοχές των x, y τέτοιες ώστε U x U y = Παρατήρηση Κάθε μετρικός χώρος είναι χώρος Husdorff. Πράγματι, αν x, y X με x y, οι ανοικτές μπάλες B d/2 (x) και B d/2 (y), όπου d = d(x, y) > 0, είναι ξένες περιοχές των x των y αντίστοιχα. Ορισμός Το συμπλήρωμα ενός ανοικτού συνόλου καλείται κλειστό σύνολο. Από τους νόμους De Morgn έχουμε οτι η οικογένεια των κλειστών ικανοποιεί:, X. Αν C 1, C 2 τότε C 1 C 2. Αν {C } τότε C. Ορισμός Το μικρότερο κλειστό σύνολο που περιέχει ένα δεδομένο σύνολο U καλείται κλειστή θήκη και Ū = C. Επίσης το μεγαλύτερο ανοικτό σύνολο που περιέχεται σε ένα δεδομένο C,U σύνολο U καλείται εσωτερικό και U = O. O,O U Ορισμός Μια ακολουθία x n του X λέμε ότι συγκλίνει σε κάποιο σημείο x X αν d(x, x n ) 0. Ορισμός Μια ακολουθία (x n ) θα λέγεται Cuchy αν ε > 0, N > 0 τέτοιο ώστε αν n, m N να ισχύει d(x n, x m ) < ε Παρατήρηση Το όριο μιας συγκλίνουσας ακολουθίας x n είναι μοναδικό. 2. Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία, είναι ακολουθία Cuchy. Ορισμός Αν κάθε ακολουθία Cuchy συγκλίνει σε ένα στοιχείο x X τότε ο X θα λέγεται πλήρης. Πρόταση Κάθε κλειστό υποσύνολο ενός πλήρη μετρικού χώρου είναι πλήρης μετρικός χώρος. Σημείωση Η σύγκλιση μπορεί να οριστεί ισοδύναμα με τοπολογικούς όρους : Μια ακολουθία x n x αν και μόνο αν για κάθε περιοχή U του x υπάρχει N τέτοιο ώστε x n U, για n N. 2. Σε ένα χώρο Husdorff το όριο είναι μοναδικό. 7

8 Ορισμός Ενα σύνολο U λέγεται πυκνό αν U = X. 2. Ενας μετρικός χώρος λέγεται διαχωρίσιμος αν περιέχει ένα αριθμήσιμο πυκνό σύνολο. Πρόταση Εστω X ένας διαχωρίσιμος μετρικός χώρος. Κάθε υποσύνολο του X είναι διαχωρίσιμο. Ορισμός Εστω X, Y μετρικοί χώροι και f : X Y. Η f θα λέγεται συνεχής σε ένα σημείο x X αν για κάθε ε > 0, υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε αν d X (x, y) < δ τότε d Y (f (x), f (y)) < ε. Πρόταση Εστω X, Y δύο μετρικοί χώροι και f : X Y μια συνάρτηση. ισοδύναμα: 1. Η f είναι συνεχής στο x Τα παρακάτω είναι 2. f (x n ) f (x) όταν x n x 3. Για κάθε V περιοχή του f (x), η f 1 (V ) είναι περιοχή του x. Απόδειξη. 1 2 Προφανής. 2 3 Εστω οτι η (3) δεν ισχύει τότε υπάρχει περιοχή V του f (x) τέτοια ώστε B δ (x) f 1 (V ), δ > 0. Τότε διαλέγουμε x n B 1/n (x) τέτοια ώστε f (x n ) / f 1 (V ). Τότε x n x αλλά f (x n ) f (x). Άτοπο 3 1 Εστω V = B ε (f (x)) τότε από την (3) B δ (x) f 1 (V ) για κάποιο δ > 0 Ορισμός Ο φορέας μιας συνάρτησης f : X n είναι η κλειστότητα των σημείων x για τα οποία f (x) 0, δηλαδή, supp(f ) = {x X : f (x) 0} Ορισμός Μία ακολουθία (x n, y n ) n του X Y συγκλίνει στο (x, y) αν x n x και y n y. Παρατήρηση Άν x n x και y n y τότε από την σχέση d(x n, y n ) d(x, y) d(x n, x)+d(y n, y) έχουμε ότι η συνάρτηση d : X X [0, ) είναι συνεχής. Ορισμός Αν X, Y είναι τοπολογικοί χώροι, η τοπολογία γινόμενο ορίζεται ως: O X Y είναι ανοικτό αν (x, y) O U, V ανοικτές περιοχές των x, y αντίστοιχα τέτοιες ώστε U V O. Ορισμός Ενα κάλυμμα ενός συνόλου Y X, όπου X μη κενό σύνολο, είναι μια οικογένεια συνόλων {U } τέτοια ώστε Y U. 2. Ενα κάλυμμα {U } λέγεται ανοικτό αν για κάθε το U είναι ανοικτό. 3. Κάθε υποσύνολο του {U } που καλύπτει το Y λέγεται υποκάλυμμα. Πρόταση Αν X είναι δεύτερα αριθμήσιμος, τότε κάθε ανοικτό κάλυμμα έχει αριθμήσιμο υποκάλυμμα. Απόδειξη. Εστω U ένα ανοικτό κάλυμμα του Y και έστω μια αριθμήσιμη βάση. Αφού κάθε U μπορεί να γραφτεί σαν ένωση στοιχείων της, το σύνολο όλων των B που ικανοποιεί B U, για κάποιο α, είναι ένα αριθμήσιμο ανοικτό κάλυμμα του Y. Επιπλέον, για κάθε B n B μπορούμε να βρούμε n τέτοια ώστε B n U n. Τότε {U n } είναι ένα αριθμήσιμο υποκάλυμμα. 8

9 Ορισμός Ενα υποσύνολο K X λέγεται συμπαγές αν κάθε ανοικτό κάλυμμα του, έχει πεπερασμένο υποκάλυμμα. Πρόταση Ενας τοπολογικός χώρος είναι συμπαγής αν και μόνο αν έχει την ιδιότητα πεπερασμένων τομών. Δηλαδή, η τομή μιας οικογένειας κλειστών συνόλων είναι κενή αν και μόνο αν η τομή απο κάποια πεπερασμένα στοιχεία της οικογένειας είναι κενά. Ορισμός Ενα υποσύνολο K X λέγεται ακολουθιακά συμπαγής αν για κάθε ακολουθία του, υπάρχει συγκλίνει υπακολουθία. Πρόταση Εστω X ένας τοπολογικός χώρος τότε: 1. Η συνεχής εικόνα ενός συμπαγούς συνόλου είναι συμπαγής. 2. Κάθε κλειστό υποσύνολο συμπαγούς συνόλου είναι συμπαγές. 3. Αν X είναι Husdorff, τότε κάθε συμπαγές υποσύνολο του είναι κλειστό. 4. Το γινόμενο πεπερασμένου πλήθους συμπαγών συνόλων είναι συμπαγές σύνολο. 5. Ενα συμπαγές σύνολο είναι επίσης ακολουθιακά συμπαγές. Σε ένα μετρικό χώρο ο ορισμός της συμπάγειας και της ακολουθιακής συμπάγειας είναι ισοδύναμοι, έτσι έχουμε την παρακάτω πρόταση. Πρόταση Εστω X ένας μετρικός χώρος, τότε ένα υποσύνολο του είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι ακολουθιακά συμπαγές. Θεώρημα 1.40 (Heine-Borel). Στον n, ένα σύνολο είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι κλειστό και φραγμένο. Ορισμός Ενας τοπολογικός χώρος καλείται τοπικά συμπαγής αν κάθε σημείο του έχει συμπαγή περιοχή. Θεώρημα Εστω C 1 και C 2 ξένα, κλειστά υποσύνολα ενός μετρικού χώρου X. Τότε υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : X [0, 1] τέτοια ώστε f (x) = 0, για κάθε x C 1 και f (y) = 1, για κάθε y C 2. Αν X είναι τοπικά συμπαγής και C 1 συμπαγές τότε υπάρχει f με supp(f ) συμπαγές. Πρόταση Εστω X ένας τοπικά συμπαγής μετρικός χώρος. Εστω K ένα συμπαγές σύνολο και {O j } n j=1 ένα ανοικτό κάλυμμα. Τότε υπάρχουν συνεχείς συναρτήσεις h j : X [0, 1] τέτοιες ώστε κάθε συνάρτηση h j έχει συμπαγές φορέα με supp(h j ) O j και h j (x) 1, x K. j=1 9

10 1.2 Ο χώρος Bnch των συνεχών συναρτήσεων. Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων C(I), I = [, b]. Ορισμός Ενας γραμμικός χώρος με νόρμα X είναι ένας διανυσματικός χώρος στο με μία πραγματική συνάρτηση(νόρμα). η οποία ικανοποιεί τα παρακάτω : 1. f 0, f X και f = 0 f = 0 2. f = f και f X 3. f + g f + g για κάθε f, g X (Τριγωνική Ανισότητα) Από την Τριγωνική Ανισότητα παίρνουμε την αντίστροφη Τριγωνική Ανισότητα: f g f g Παράδειγμα 1.45 (Γραμμικός Χώρος με νόρμα). Ο χώρος των συνεχών συναρτήσεων, ορισμένες στο I = [, b], C(I) εφοδιασμένος με την εξής νόρμα : f (x) g(x) = mx f (x) g(x) είναι γραμμικός χώρος με νόρμα. Ορισμός Ενας χώρος με νόρμα X καλείται πλήρης, αν κάθε ακολουθία Cuchy έχει όριο στον χώρο. Ενας πλήρης χώρος με νόρμα λέγεται χώρος Bnch. Παράδειγμα Ο διανυσματικός χώρος l 1 ( ) = = ( j ) j=1 : 1 = j=1 j < είναι χώρος Bnch. Για να το αποδείξουμε, πρέπει να δείξουμε τα εξής: 1. Ο l 1 ( ) είναι διανυσματικός χώρος. 2. Η συνάρτηση. 1 ικανοποιεί τον ορισμό της νόρμας. 3. Ο διανυσματικός χώρος l 1 ( ) είναι πλήρης. x I Απόδειξη. 1. Εστω k,έχουμε k j + b j j=1 k j + j=1 k b j 1 + b 1, για κάθε j, b j l 1 ( ). j=1 Αφήνοντας k έχουμε ότι ο l 1 ( ) είναι κλειστός ως προς την πρόσθεση και οτι η Τριγωνική Ανισότητα ισχύει. Οι υπόλοιπες ιδιότητες είναι φανερές. 2. Δείχνουμε ότι ο l 1 ( ) είναι πλήρης. Εστω n = ( n j ) j=1 μια Cuchy ακολουθία στον l1 ( ), δηλαδή για κάθε ε > 0 υπάρχει N ε τέτοιο ώστε m n 1 ε για κάθε m, n N ε. Επιλέγουμε ένα j τότε για κάθε ε > 0, υπάρχει N ε τέτοιο ώστε για κάθε m, n N ε να έχουμε οτι m j n j ε. Συνεπώς, η n j είναι ακολουθία Cuchy και επειδή ο χώρος είναι πλήρης, θα έχει όριο, δηλαδή lim n n j = j. Θεωρούμε, k m j n j ε j=1 10

11 για m k j n j ε j=1 και άρα για k έχουμε ότι n 1 ε. Επομένως, ( n ) l 1 ( ) και αφού n l 1 ( ) έχουμε ότι = n + ( n ) l 1 ( ) Παράδειγμα Ο χώρος l ( ) που περιέχει όλες τις φραγμένες ακολουθίες = ( j ) j=1 = sup j j είναι χώρος Bnch. με νόρμα Ορισμός Μία ακολουθία συναρτήσεων f n (x), n του C(I) θα λέμε ότι συγκλίνει ομοιόμορφα σε μια συνάρτηση f αν lim f f n = lim sup f n (x) f (x) = 0 n n Παρατήρηση Εστω f n μια Cuchy ακολουθία συναρτήσεων στον C(I). Τότε η f n (x) είναι Cuchy για κάθε x I. Συγκεκριμένα, από την πληρότητα του υπάρχει όριο της f n (x), έστω το f (x),για κάθε x I. Δηλαδή, για κάθε ε > 0, υπάρχει N ε τέτοιο ώστε για κάθε m, n > N ε και για κάθε x I να έχουμε ότι f m (x) f n (x) ε. Για m έχουμε f (x) f n (x) ε,για κάθε n > N ε, x I. Δηλαδή, η f n (x) συγκλίνει ομοιόμορφα στην f (x). Ωστόσο, δεν γνωρίζουμε αν f (x) C(I), δηλαδή αν η f (x) είναι συνεχής ή όχι. Παρ όλα αυτά γνωρίζουμε ότι αν f n (x) C(I) και f n f ομοιόμορφα τότε f C(I) και άρα κάθε Cuchy ακολουθία του C(I) συγκλίνει. Συνεπώς έχουμε το εξής θεώρημα: Θεώρημα Ο (C(I),. ) είναι χώρος Bnch. Στην συνέχεια εξετάζουμε αν ο C(I) έχει αριθμήσιμη βάση. Ορισμός Ενα σύνολο του οποίου η γραμμική θήκη (το σύνολο των πεπερασμένων γραμμικών συνδυασμών) είναι πυκνό καλείται ολικό (totl). Ορισμός Ενας γραμμικός χώρος με νόρμα που περιέχει ένα αριθμήσιμο πυκνό σύνολο καλείται διαχωρίσιμος Σε έναν διανυσματικό χώρο V ορίζεται μια βάση V έτσι ώστε κάθε x V να μπορεί να γραφεί σαν μοναδικός (πεπερασμένος) γραμμικός συνδυασμός στοιχείων της (Βάση Hmel). Για τους χώρους Bnch χρειαζόμαστε έναν άλλο τρόπο γραφής των στοιχείων του, μιας και οι χώροι Bnch άπειρης διάστασης δεν έχουν αριθμήσιμη Hmel βάση. Ετσι για να μελετήσουμε την διαχωρισιμότητα σε τέτοιους χώρους χρειαζόμαστε την βάση Schuder. Ορισμός Εστω X ένας άπειρης διάστασης χώρος Bnch. Μια ακολουθία (e n ) X λέγεται βάση Schuder του X αν για κάθε f X, υπάρχει μοναδική ακολουθία ( n ) τέτοια ώστε f = n e n, όπου η σύγκλιση της σειράς είναι ως προς την νόρμα. δηλαδή ισχύει ότι lim f n e n X = 0. n x I 11 k=0 n=0

12 Από την παρακάτω Πρόταση βλέπουμε ότι αν ο χώρος X έχει μια βάση Schuder τότε είναι διαχωρίσιμος. Πρόταση Εστω X ένας χώρος Bnch και (e n ) X μια βάση Schuder του X. Τότε το σύνολο spn{e n : n } είναι πυκνό στον X. Παράδειγμα Ο χώρος Bnch l 1 ( ) είναι διαχωρίσιμος. 1, αν n = m Απόδειξη. Πράγματι, το σύνολο των διανυσμάτων δ n με δ n n = 0, αν m n = ( j ) j=1 l1 ( ), θέτουμε n = n j=1 jδ j. Τότε είναι ολικό. Εστω αφού n j = j για 1 j n και n j = 0, j > n. n 1 = j 0 j=n+1 Θεώρημα 1.57 (Weierstrss). Εστω I ένα συμπαγές διάστημα του. πολυωνύμων είναι πυκνό στον C(I). Τότε το σύνολο όλων των Πόρισμα Ο χώρος Bnch C(I) είναι διαχωρίσιμος. Ωστόσο ο χώρος Bnch l ( ) δεν είναι διαχωρίσιμος. 1.3 Η Γεωμετρία των χώρων Hilbert. Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με την καθετότητα του του C(I). Στον Ευκλείδειο χώρο, δύο διανύσματα λέγονται κάθετα αν το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν, οπότε θα χρειαστεί να ορίσουμε τι είναι εσωτερικό γινόμενο σε έναν διανυσματικό χώρο. Ορισμός Εστω H ένας διανυσματικός χώρος και x, y H. 1. Μια απεικόνιση, : H H καλείται ημι-γραμμική αν ικανοποιεί τα παρακάτω: (αʹ) 1 x x 2, y = 1 x 1, y + 2 x 2, y. (βʹ) x, 1 y y 2 = 1 x, y x, y 2. Οπου 1, 2 και 1, 2 οι συζυγείς των 1, Μια ημι-γραμμική απεικόνιση που ικανοποιεί : (αʹ) x, x > 0 για x 0. (βʹ) x, y = y, x. καλείται εσωτερικό γινόμενο. 3. Το ζευγάρι (H,. ) όπου, x = x, x, λέγεται χώρος με εσωτερικό γινόμενο. 4. Αν ο H είναι πλήρης τότε καλείται χώρος Hilbert. Αργότερα θα δούμε ότι η x = x, x είναι νόρμα. 12

13 Παράδειγμα Ο n με εσωτερικό γινόμενο, b = n j=1 j b j είναι πεπερασμένης διάστασης χώρος Hilbert. Παράδειγμα Ο χώρος l 2 ( ), δηλαδή όλες οι ακολουθίες για τις οποίες: {( j ) j=1 \ j 2 < } j=1 με εσωτερικό γινόμενο :, b = j b j j=1 είναι διαχωρίσιμος χώρος Hilbert. Θεώρημα 1.62 (Ανισότητα Cuchy-Schwrz). Εστω ένας χώρος H με εσωτερικό γινόμενο, τότε ισχύει η ανισότητα x, y x, x y, y για κάθε x, y H. Απόδειξη. Αν y = 0 τότε y = 0 οπότε x, 0 = 0 το οποίο ισχύει. Εστω x, y 0 τότε για κάθε έχουμε: Θέτουμε = y, x y, y τότε 0 x y, x y = x, x x, y [ y, x y, y ]. y, x x, y 2 0 x, x x, y x, x y, y y, y 0 x, y 2 x, x y, y. Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν y = 0 ή x y, x y = 0 x y = 0 x = y. Σημείωση Η ανισότητα Cuchy-Schwrz μας δίνει ότι το εσωτερικό γινόμενο είναι συνεχές και ως προς τις δύο μεταβλητές. Πράγματι, έστω x n, y n δύο ακολουθίες του H με x n x 0 και y n y 0 τότε x n, y n x, y = x n x, y n + x, y n y x n x y n + x y n y 0. Τέλος βλέπουμε ότι η x = x, x είναι νόρμα. Η μόνη μη τετριμμένη ιδιότητα είναι η Τριγωνική Ανισότητα. x + y 2 = x 2 + y 2 + x, y + y, x = x 2 + y 2 + 2Re( x, y ) x 2 + y x y = ( x + y ) 2. Πρόταση 1.64 (Κανόνας του Παραλληλογράμμου). Σ ενα χώρο H με εσωτερικό γινόμενο ισχύει η ισότητα: x + y 2 + x y 2 = 2 x y 2 13

14 Απόδειξη. x + y 2 + x y 2 = x + y, x + y + x y, x y = x 2 + x, y + y, x + y 2 + x 2 x, y y, x + y 2 = 2 x y 2. Η παραπάνω σχέση δεν ισχύει σε οποιονδήποτε γραμμικό χώρο με νόρμα ή χώρο Bnch. Για παράδειγμα θεωρούμε τον χώρο C[0, 1] με την mx νόρμα και έστω x(t) = 2t και y(t) = 2. Τότε 2t + 2 = mx 2t + 2 = 4, 2t 2 = mx 2t 2 = 2, 2t = 2, y = 2. Ομως t [0,1] t [0,1] Οπως είδαμε λοιπόν, από κάθε εσωτερικό γινόμενο μπορεί να οριστεί πάντα μια νόρμα. Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα. Δηλαδή, δεν επάγεται κάθε νόρμα από εσωτερικό γινόμενο. Για αυτό αν γυρίσουμε στον C(I) με την mx νόρμα βλέπουμε οτι η νόρμα δεν προέρχεται από κάποιο εσωτερικό γινόμενο, διότι δεν ικανοποιείται ο Κανόνας του Παραλληλογράμμου. Το παρακάτω θεώρημα μας δίνει ικανές και αναγκαίες συνθήκες για τις οποίες ένας χώρος με νόρμα καθίσταται χώρος με εσωτερικό γινόμενο. Θεώρημα Εστω X ένας χώρος με νόρμα. Αν για κάθε x, y X ισχύει ο Κανόνας του Παραλληλογράμμου τότε είναι δυνατόν να ορίσουμε ένα εσωτερικό γινόμενο στον X το οποίο δίνεται από την : x, y = 1 4 ( x + y 2 x y 2 + i x + i y 2 i x i y 2 ). Επακόλουθο του εσωτερικού γινομένου είναι η ορθογωνιότητα δύο στοιχείων ενός χώρου H με εσωτερικό γινόμενο. Η έννοια αυτή δίνει στους χώρους εσωτερικού γινομένου πλουσιότερη δομή και τους διαφοροποιεί από τους χώρους με νόρμα. Ορισμός Εστω ένας χώρος H με εσωτερικό γινόμενο. 1. Ενα στοιχείο x H λέγεται ορθογώνιο (ή κάθετο) στο y H και συμβολίζεται με x y αν x, y = Μία οικογένεια στοιχείων του H { f i } i θα λέγεται ορθογώνια αν f i f j, i, j με i j. 3. Η οικογένεια θα λέγεται ορθοκανονική αν επιπλέον ισχύει f i = 1, i. Θεώρημα 1.67 (Πυθαγόρειο Θεώρημα). Αν H χώρος με εσωτερικό γινόμενο και x, y H με x y τότε: Απόδειξη. επειδή x, y = y, x = 0. x + y 2 = x 2 + y 2. x + y 2 = x + y, x + y = x, x + x, y + y, x + y, y = x 2 + y 2, 14

15 Επαγωγικά αποδεικνύεται ότι αν {x i } i H είναι μια ορθογώνια οικογένεια του H τότε x i 2 = i=1 x i 2. Ας γυρίσουμε στον C(I), ορίζουμε στον C(I) το εξής εσωτερικό γινόμενο: f, g = I i=1 f (x)g(x)d x. Τον (C(I),, ) τον συμβολίζουμε με L 2 cont (I). Εχουμε ότι f b f και έτσι η mx νόρμα είναι ισχυρότερη από την L 2 cont. Ορισμός Εστω δύο νόρμες. 1 και. 2 σ ένα χώρο X. Η. 2 καλείται ισχυρότερη της. 1 αν υπάρχει m > 0 τέτοιο ώστε x 1 m x 2 για κάθε x X. Λήμμα Αν η. 2 είναι ισχυρότερη της. 1 τότε κάθε. 2 Cuchy ακολουθία είναι και. 1 Cuchy ακολουθία. Ετσι αν, f : X Y είναι συνεχής στον (X,. 1 ) είναι επίσης συνεχής στον (X,. 2 ) και αν ένα σύνολο είναι πυκνό στον (X,. 2 ) είναι επίσης πυκνό και στον (X,. 1 ). Λήμμα Εστω {x 1, x 2,..., x n } ένα γραμμικώς ανεξάρτητο σύνολο στοιχείων ενός χώρου X (πεπερασμένης ή άπειρης διάστασης) με νόρμα. Τότε υπάρχει c > 0 τέτοιο ώστε για κάθε 1, 2,..., n να ισχύει 1 x x n x n c( n ) Θεώρημα Αν ο X είναι πεπερασμένης διάστασης χώρος τότε όλες οι νόρμες είναι ισοδύναμες. Δηλαδή για οποιεσδήποτε. 1 και. 2 m 1, m 2 σταθερές, τέτοιες ώστε 1 m 2 x 1 x 2 m 1 x 1 Απόδειξη. Εστω. 1 και. 2 δύο νόρμες του χώρου X. Εστω μια βάση {e 1,..., e n } του X. Τότε κάθε στοιχείο του x X γράφεται: x = 1 e e n e n, τότε x 1 i e i 1 k i=1 Από το προηγούμενο Λήμμα έχουμε ότι 1 x x n x n 2 c 1 i=1 i, k = mx e i 1 > 0. (1.1) i [1,n] i x 2 c 1 i i=1 Τότε από 1.1 και απο 1.2 έχουμε ότι : i=1 x 1 x 2, = c 1 k > 0. i 1 x 2, c 1 > 0. (1.2) c 1 i=1 Ομοίως Άρα οι δύο νόρμες είναι ισοδύναμες. x 2 b x 1, b = c 2 k > 0. 15

16 Ο L 2 cont (I) είναι διαχωρίσιμος αλλά όχι πλήρης. Παράδειγμα Εστω I = [0, 2] ορίζουμε 0 αν 0 x 1 1 n f n = 1 + n(x 1) αν 1 1 n x 1 1 αν 1 x 2 τότε η f n είναι Cuchy στον L 2 cont αλλά το όριο της δεν ανήκει στον L2 cont. Εχουμε ότι 0 αν 0 x 1 f n f = 1 αν 1 x 2 αλλά f δεν είναι συνεχής στο I = [0, 2] Πλήρωση. Ενας μετρικός χώρος μπορεί να μην είναι πλήρης όπως ο L 2 cont, παρακάτω θα δούμε πώς μπορούμε να τον πληρώσουμε. Ορισμός Εστω (X, d X ), (Y, d Y ) δύο μετρικοί χώροι. Μία συνάρτηση f : X Y λέγεται ισομετρία αν x, x X ισχύει d Y (f (x), f (x )) = d X (x, x ). Βλέπουμε από τον παραπάνω ορισμό ότι η ισομετρία f διατηρεί τις αποστάσεις ανάμεσα στους χώρους X και Y. Τότε μπορούμε να ταυτίσουμε τον X με τον f (X ) Y, αφού οτιδήποτε σχετίζεται με την d X στον X μπορεί να εξεταστεί στο f (X ) με την d Y. Ορισμός Εστω (X, d X ) ένας μετρικός χώρος. Ενας μετρικός χώρος (Y, d Y ) λέγεται πλήρωση του X αν : 1. Ο χώρος (Y, d Y ) είναι πλήρης. 2. Υπάρχει ισομετρία h : X Y. 3. Το σύνολο h(x ) είναι πυκνό στον Y. Θεώρημα Για κάθε μετρικό χώρο (X, d) υπάρχει μια πλήρωση ( X, d) του (X, d). Απόδειξη. Εστω S το σύνολο των ακολουθιών Cuchy του (X, d). Ορίζουμε μια σχέση στο σύνολο S ως εξής : λέμε ότι x n y n αν d(x n, y n ) 0. Η σχέση είναι σχέση ισοδυναμίας. Συμβολίζουμε με X το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας της σχέσης. Αν [x], [y] X, x n [x] και y n [ y] τότε η ακολουθία d(x n, y n ) συγκλίνει. Θέτουμε d([x], [y]) = lim n d(x n, y n ). Τότε η d([x], [y]) ορίζει μια μετρική στον X. Αποδεικνύεται ότι ο X είναι μια πλήρωση του X. 16

17 Η πλήρωση ενός μετρικού χώρου είναι μοναδική. Θεώρημα Εστω X ένας μετρικός χώρος. Θεωρούμε δύο πληρώσεις Y και Z του X. Συμβολίζουμε με h και g τις ισομετρίες h : X Y και g : X Z τότε υπάρχει ϕ : Y Z ισομετρία επι του Z ώστε g = ϕ h. Στην περίπτωση του L 2 cont, δεν είναι βολικό να δουλεύουμε με κλάσεις ισοδυναμίας ακολουθιών Cuchy. Παρακάτω, λοιπόν, θα δούμε έναν άλλον χαρακτηρισμό χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα Lebesque. 1.4 Στοιχεία από τη Θεωρία του Μέτρου Δακτύλιοι και Άλγεβρες συνόλων. Ορισμός Μια μη κενή συλλογή από υποσύνολα του X θα λέγεται δακτύλιος συνόλων αν έχει τις παρακάτω ιδιότητες: 1. Για A και B A B 2. Για A και B A B Ενας δακτύλιος συνόλων θα ονομάζεται σ-δακτύλιος αν για οποιαδήποτε ακολουθία A 1, A 2,... A n,... στοιχείων του ισχύει ότι A n. Ορισμός Μια μη κενή συλλογή από υποσύνολα του X θα λέγεται μία σ-άλγεβρα αν έχει τις παρακάτω ιδιότητες: (A1) Η συλλογή περιέχει το κενό σύνολο,. (A2) Η συλλογή είναι κλειστή ως προς τα συμπληρώματα, δηλαδή αν A τότε και A c (A3) Η συλλογή είναι κλειστή ως προς τις αριθμήσιμες ενώσεις, δηλαδή αν θεωρήσουμε μια οποιαδήποτε ακολουθία A 1, A 2,... A n, A n+1,... στοιχείων της τότε και A n Με άλλα λόγια μια σ-άλγεβρα είναι ένας σ-δακτύλιος ο οποίος περιέχει το X. Παρατηρούμε ότι αν θεωρήσουμε μια οποιαδήποτε ακολουθία (A n ) στοιχείων της τότε από την ιδιότητα (A2) τα A c n είναι επίσης στοιχεία της συνεπώς, από την ιδιότητα (A3), Ac n και συνεπώς, εφαρμόζοντας και πάλι την ιδιότητα (A2), c n Ac Αλλά (νόμος του De Morgn) A n = c και έτσι θα έχουμε ότι σε κάθε σ-άλγεβρα ισχύει η ιδιότητα που περιγράφεται από την Ac n παρακάτω πρόταση. Πρόταση Κάθε σ άλγεβρα έχει την παρακάτω ιδιότητα (A4) Η είναι κλειστή ως προς τις αριθμήσιμες τομές, δηλαδή αν θεωρήσουμε μια οποιαδήποτε ακολουθία (A n ) στοιχείων της τότε και A n Πρόταση Αν (M i ) i I είναι μια μη κενή οικογένεια σ-αλγεβρών στο X τότε η i I (M i) είναι σ- άλγεβρα στο X. 17

18 Ορισμός Εστω X ένα σύνολο και μια μη κενή συλλογή υποσυνόλων του X. Θέτουμε σ( ) = { : ειναι σ άλγεβρα και } Η σ( ) είναι η σ-άλγεβρα που παράγεται απο την. Παρατηρούμε ότι ο παραπάνω ορισμός έχει νόημα αφού απο την Πρόταση 1.80 η τομή σ-αλγεβρών είναι σ-άλγεβρα. Επιπλέον, η σ( ) είναι η μικρότερη σ-άλγεβρα στο X η οποία περιέχει την. Δηλαδή, αν η είναι σ-άλγεβρα και τότε σ( ) Σύνολα Borel στο. Οι έννοιες της προηγούμενης ενότητας ορίστηκαν ώστε να αποκτήσουμε επαρκής μεγάλες κλάσεις συνόλων που θα είναι χρήσιμες στην θεωρία ολοκλήρωσης. Για την κατασκευή ενός μέτρου η κλάση των συνόλων πρέπει να είναι περιορισμένη ώστε μια σαφής κατασκευή μέτρου να είναι εφικτή. Κατασκευάζουμε, λοιπόν, σ-άλγεβρες από σύνολα που δημιουργούνται από συγκεκριμένη κατηγορία υποσυνόλων. Ορισμός Θέτουμε = σ(g : G ανοιχτό ). Η είναι η σ-άλγεβρα που παράγεται από την οικογένεια όλων των ανοικτών συνόλων. Η λέγεται η άλγεβρα Borel του και τα στοιχεία της ονομάζονται σύνολα Borel. Ετσι τα σύνολα Borel στην πραγματική γραμμή είναι τα ανοικτά σύνολα που περιέχονται στην ελάχιστη σ-άλγεβρα. Για τα σύνολα Borel ισχύουν τα παρακάτω: 1. Η κλάση όλων των Borel είναι σ-άλγεβρα παραγόμενη από όλα τα ανοικτά, κλειστά, ημι-ανοικτά, ημι-κλειστά υποσύνολα του. 2. Η σ-άλγεβρα Borel συνόλων είναι άλγεβρα. 3. Κάθε αριθμήσιμο σύνολο ειναι Borel. 4. Η αριθμήσιμη τομή ή ένωση Borel ειναι Borel Χώροι μέτρου. Ορισμός Ενας χώρος μέτρου είναι μια τριάδα (X,, µ) όπου το X είναι ένα μη κενό σύνολο, είναι μια σ-άλγεβρα υποσυνόλων του X και µ είναι μια συνάρτηση από το στο [0, + ] ώστε να ισχύουν τα εξής: 1. µ( ) = Αν (A n ) ακολουθία στοιχείων της τότε και µ A n = µ (A n ) 18

19 Το ερώτημα είναι αν μπορούμε να ορίσουμε ένα μέτρο στα υποσύνολα του. Κάποιος μπορεί να ορίσει και να χρειαστεί να μετρήσει αρκετά περίεργα σύνολα, στα οποία δεν ορίζεται κάποιο μέτρο. Αποδεικνύεται λοιπόν οτι υπάρχει μοναδικό μέτρο µ το οποιο ορίζεται στα σύνολα Borel του και ορίζεται ως: µ([, b]) = µ((, b]) = µ([, b)) = µ((, b)) = b. Το μέτρο αυτό ικανοποιεί τις ιδιότητες του ορισμού και καλείτε μέτρο Lebesgue. Περιοριζόμαστε στα σύνολα Borel διότι αποδεικνύεται οτι το συγκεκριμένο μέτρο αδυνατεί να οριστεί σε όλα τα υποσύνολα του. Ενα κανονικό μέτρο είναι ένα μέτρο για το οποίο κάθε μετρήσιμο σύνολο μπορεί να προσεγγιστεί απο πάνω με ανοικτά μετρήσιμα σύνολα και από κάτω απο συμπαγή μετρήσιμα σύνολα. Θα γράφουμε A n A αν A n A n+1 όπου A = n A n και A n A αν A n+1 A n όπου A = n A n. Ορισμός Εστω (X,, µ) ένας χώρος μέτρου, το µ θα ονομάζεται μέτρο Borel αν για κάθε συμπαγές σύνολο C, µ(c) <. 2. Ενα μέτρο Borel λέγεται εξωτερικό κανονικό αν με A και εσωτερικό κανονικό αν µ(a) = inf{µ(g) : A G, G ανοικτό και μετρήσιμο} µ(a) = sup{µ(f) : F A, F συμπαγές και μετρήσιμο } 3. Το μέτρο λέγεται κανονικό αν είναι εσωτερικό και εξωτερικό κανονικό Μετρήσιμες Συναρτήσεις. Εστω ένας χώρος μέτρου (X,, µ), όπου τα σύνολα Borel στο. Τα υποσύνολα του θα λέγονται μετρήσιμα σύνολα. Εστω μια πραγματική απεικόνιση f : D f f και έστω Β f, όπου f το σύνολο τιμών της f. Ορίζουμε την αντίστροφη εικόνα f 1 (B) = x : f (x) B. Αν η f είναι 1-1 μπορούμε να ορίσουμε την αντίστροφη της f 1 : f D f, ώστε να ικανοποιεί: f 1 (f (x)) = x, x D f f (f 1 (y)) = x, y f Ορισμός Εστω (X,, µ) ένας χώρος μέτρου και f μια πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού D f = X. Η f θα λέγεται μετρήσιμη στο X αν για κάθε σύνολο Borel στο, το σύνολο f 1 (B) είναι μετρήσιμο Απλές Συναρτήσεις. Ορισμός Εστω A X. Η συνάρτηση : X που ορίζεται την 1 αν x A (x) = 0 αν x / A λέγεται χαρακτηριστική συνάρτηση του A. 19

20 Ορισμός Εστω X ένα μη κενό σνολο. Η συνάρτηση f : X λέγεται απλή αν το σύνολο τιμών της είναι πεπερασμένο. Πρόταση Αν η f : X είναι απλή, τότε υπάρχει μοναδική πεπερασμένη διαμέριση {A 1, A 2,..., A n } του X σε ξένα, μη κενά σύνολα A i και μοναδικοί 1,..., n, με i j για i j ώστε f = i Ai. Αυτή η αναπαράσταση λέγεται κανονική μορφή της f. Πρόταση Αν (X, ) είναι ένας μετρήσιμος χώρος και αν f : X είναι μια απλή σε κανονική μορφή συνάρτηση, τότε η f είναι μετρήσιμη αν και μόνο αν A 1, A 2,..., A n Ολοκλήρωση. Οι απλές συναρτήσεις μας βοηθάνε να ορίσουμε το ολοκλήρωμα μιας γενικότερης συνάρτησης, αφού όπως θα δούμε μπορούμε να προσεγγίσουμε μια συνάρτηση f απο απλές συναρτήσεις. Αφού λοιπόν ορίσουμε το ολοκλήρωμα μιας απλής συνάρτησης, θα δούμε δύο ορισμούς για το πότε μια οποιαδήποτε συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη και θα αναφερθούμε στις ιδιότητες του ολοκληρώματος. Ορισμός Ορίζουμε το ολοκλήρωμα μιας απλής συνάρτησης f ως Παρατηρούμε ότι αν µ(a) < τότε f dµ = i µ(a i ). i=1 i µ(a i ) < και άρα i=1 f dµ <. Ορισμός Εστω X μη κενό σύνολο και f : X [0, ] μετρήσιμη συνάρτηση. Το ολοκλήρωμα Lebesgue της f ορίζεται ως: f dµ = sup sdµ : s απλή, 0 s f Αν A τότε το ολοκλήρωμα Lebesgue της f στο A ορίζεται: A f dµ = όπου η η χαρακτηριστική συνάρτηση του συνόλου A. f dµ i=1 Ορισμός Εστω μια ακολουθία συναρτήσεων (f n ) : X Y. συγκλίνει κατά μέτρο στην συνάρτηση f αν για κάθε ε > 0 ισχύει Θα λέμε ότι η ακολουθία (f n ) n lim n µ({x : f n (x) f (x) ε}) = 0 Ορισμός Μια συνάρτηση f ορισμένη σε έναν χώρο μέτρου (X,, µ) είναι ολοκληρώσιμη αν υπάρχει ακολουθία απο απλές συναρτήσεις f n τέτοια ώστε f n f ως προς το μέτρο. Τότε έχουμε οτι f dµ = lim n 20 f n dµ.

21 Ιδιότητες Ολοκληρώματος. 1. Αν f 1 και f 2 είναι ολοκληρώσιμες τότε είναι και η (f 1 + f 2 ). με (f 1 + f 2 )dµ = f 1 dµ + f 2 dµ. 2. Αν f ολοκληρώσιμη και t 0 τότε (t f )dµ = t f dµ. 3. Αν f ολοκληρώσιμη τότε είναι και η f ολοκληρώσιμη με f dµ f dµ. Θεώρημα 1.94 (Μονοτονία Σύγκλισης). Εστω f n μια μονότονη μη-φθίνουσα ακολουθία από μη αρνητικές μετρήσιμες συναρτήσεις, με f n f. Τότε f n dµ Θεώρημα 1.95 (Κυριαρχημένη Σύγκλιση). Εστω f n μια συγκλίνουσα ακολουθία απο μετρήσιμες συναρτήσεις. Υποθέτουμε ότι υπάρχει ολοκληρώσιμη συνάρτηση g τέτοια ώστε f n g. Τότε η f είναι ολοκληρώσιμη και 1.5 Οι Χώροι L p Κατασκευή των χώρων L p. lim n f n dµ = Ορισμός Εστω (X,, µ) ένας χώρος μέτρου και 1 p <. Ορίζουμε p (X, dµ) να είναι η συλλογή όλων των συναρτήσεων για τι οποίες Ο είναι γραμμικός χώρος. Απόδειξη. Εστω f, g (X, dµ) τότε x X f dµ. f dµ. f p dµ <. (1.3) p f (x) + g(x) p f (x) + g(x) p 2 mx{ f (x), g(x) } = 2 p mx{ f (x) p, g(x) p } 2 p f (x) p + g(x) p 21

22 και άρα f + g p dµ 2 p f p dµ + g p dµ < Δηλαδή f + g (X, dµ). Ορισμός Εστω A, το A θα λέγεται φορέας για το μέτρο µ αν ισχύει µ(x A) = Μία ιδιότητα λέμε ότι ισχύει σχεδόν παντού αν ισχύει για τον φορέα του µ ή ισοδύναμα, το σύνολο στο οποίο δεν ισχύει η ιδιότητα έχει μέτρο μηδέν. Λήμμα Άν f είναι μετρήσιμη συνάρτηση τότε f p dµ = 0 αν και μόνο αν f = 0 σχεδόν παντού. Απόδειξη. Εχουμε A = {x : f (x) 0} = A n, όπου A n = {x : f (x) > 1 n }. Άν f p dµ = 0 τότε : 0 = f p dµ A n f p dµ Δηλαδή µ(a n ) = 0 για κάθε n. Το αντίστροφο είναι φανερό. A n 1 n dµ = 1 n µ(a n). Μιμούμενοι τον ορισμό της p στον l p είναι φυσιολογικό για τις f που ικανοποιούν την (1.3) να θέτουμε 1 f p = f p p dµ. Παρατηρούμε ότι με τον παραπάνω ορισμό της νόρμας έχουμε ότι f p = 0 συνεπάγεται ότι f = 0, όταν μόνο f = 0 σχεδόν παντού. Προκειμένου να αποφύγουμε την ασυμφωνία με τον ορισμό της νόρμας ορίζουμε μια σχέση ισοδυναμίας στον (, dµ) ως εξής: Αν f, g p (X, dµ) θέτουμε f g αν f = g σχεδόν παντού στο X. Ορίζουμε L p (X, dµ) να είναι το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας του (X, dµ) ως προς την σχέση. Ο παραπάνω ορισμός είναι καλώς ορισμένος αφού αν f g τότε f p = g p. Επιπλέον, ο L p (X, dµ) είναι γραμμικός χώρος με τις πράξεις [f ] + [g] = [f + g] και [ f ] = [ f ],, [ f ] L p η κλάση μιας συνάρτησης f (X, dµ). Για απλότητα του συμβολισμού γράφουμε f L p (X, dµ). Ετσι για μια συνάρτηση f L p (X, dµ) θέτουμε f p = 1 f p p dµ. Ορισμός Λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι ουσιωδώς φραγμένη αν υπάρχει c 0 για το οποίο f (x) c σχεδόν παντού.το c 0 καλείται ουσιωδώς άνω φράγμα. 22

23 2. Ορίζουμε τον L να είναι η συλλογή όλων των κλάσεων ισοδυναμίας [ f ] για τις οποίες η f είναι ουσιωδώς φραγμένη. Στον L ορίζουμε την νόρμα: f = inf{c : µ(x : f (x) > c) = 0}. Οι χώροι L p, L είναι γραμμικοί χώροι.σκοπός μας πλέον είναι να δείξουμε ότι είναι χώροι Bnch, για αυτό θα χρειαστούμε κάποιες ανισότητες. Πρώτη είναι η ανισότητα Hölder η οποία έχει κεντρικό ρόλο στην θεωρία των χώρων L p. Συγκεκριμένα η ανισότητα Hölder συνεπάγεται την ανισότητα Minkowski, η οποία είναι η Τριγωνική Ανισότητα για τους χώρους L p. Θεώρημα [Ανισότητα Hölder] Εστω p, q τέτοια ώστε 1 p + 1 q = 1 με 1 p. Άν f Lp (X, dµ) και g L q (X, dµ) τότε f g L 1 (X, dµ) και f g 1 f p g q. Θεώρημα (Ανισότητα Minkowski). Εστω f, g L p (X, dµ). Τότε f + g p f p + g p. Θεώρημα Ο χώρος L p (X, dµ) είναι χώρος Bnch. Πόρισμα Αν f n f p 0, τότε υπάρχει μια υπακολουθία της f n η οποία συγκλίνει κατα σημείο στην f σχεδόν παντού. Λήμμα (Κριτήριο Schur). Εστω L p (X, dµ) και L q (Y, d v) με 1 p + 1 q = 1. Εστω ότι K(x, y) μετρήσιμη συνάρτηση και οτι υπάρχουν μετρήσιμες K 1 (x, y), K 2 (x, y) με K(x, y) K 1 (x, y)k 2 (x, y) και K 1 (x,.) q C 1, K 2 (., y) p C 2 για σχεδόν κάθε x X, y Y. Τότε ο τελεστής K : L p (X, dµ) L p (X, dµ) με για σχεδόν κάθε x είναι φραγμένος με (K f )(x) = Y K(x, y)f (y)d v(y) K C 1 C 2. Θεώρημα Εστω X ένας δεύτερα αριθμήσιμος τοπολογικός χώρος και µ ένα Borel κανονικό μέτρο. Τότε ο L p (X, dµ)1 p < είναι διαχωρίσιμος. Απόδειξη. Εστω A ένα μετρήσιμο σύνολο. Από την εξωτερική κανονικότητα υπάρχει φθίνουσα ακολουθία ανοικτών O n τέτοια ώστε µ(o n ) µ(a). Αφού µ(a) < έχουμε ότι µ(o n ) < και έτσι µ(o n \ A) = µ(o n ) µ(a) 0. Άρα από θεώρημα 1.95 (Κυριαρχημένης Σύγκλισης) X A X On p 0. Ετσι το σύνολο όλων των χαρακτηριστικών συναρτήσεων X O (x) με O ανοικτό και µ(o) < είναι πλήρες. Εστω μια αριθμήσιμη βάση για την τοπολογία. Τότε κάθε O ανοικτό γράφεται ως O = Õ j j=1 με Õ j. Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε m j=1 Õj. Επομένως, υπάρχει μια αύξουσα ακολουθία Õ n O με Õ n. Από θεώρημα 1.94 (Μονότονης Σύγκλισης) X O XÕn p 0, και έτσι το σύνολο των χαρακτηριστικών συναρτήσεων είναι πυκνό. 23

24 24

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Χώροι Hilbert. 2.1 Εισαγωγή. Ορισμός 2.1. Εστω H ένας γραμμικός χώρος. 1. Μία απεικόνιση, : H H θα λέγεται εσωτερικό γινόμενο αν ικανοποιεί τα παρακάτω (αʹ) x, x 0 (βʹ) x, x = 0 x = 0 (γʹ) x, y = y, x (δʹ) x 1 + λx 2, y = x 1, y + λ x 2, y όπου x, y, x 1, x 2 H, λ. 2. Για το διάνυσμα x H ορίζουμε την νόρμα του ως x = x, x.ο χώρος H με αυτή την νόρμα είναι πλήρης και καλείται χώρος Hilbert. Παράδειγμα 2.2. Ο χώρος L 2 (, dµ) είναι χώρος Hilbert με εσωτερικό γινόμενο f, g = f (x)g(x)dµ(x). Ομοια ο l 2 ( ) είναι χώρος Hilbert με εσωτερικό γινόμενο f, g = f i g i Ορισμός 2.3. i 1. Ενα διάνυσμα x H λέγεται μοναδιαίο αν x = Δύο διανύσματα x, y H λέγονται κάθετα αν x, y = 0. 25

26 Άν x, y είναι κάθετα τότε ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα : x + y 2 = x 2 + y 2. Εστω y ένα μοναδιαίο διάνυσμα. Τότε η προβολή του x στην κατεύθυνση του y δίνεται από: και x = y, x y x = x y, x y. Τα παραπάνω μπορούν να γενικευτούν και για περισσότερα από 2 διανύσματα. Ορισμός 2.4. Ενα υποσύνολο διανυσμάτων { y j } j J του H, όπου J αυθαίρετο λέγεται ορθοκανονικό σύστημα (ή ορθοκανονικό σύνολο) αν y j, y k = 0 για j k και y j, y k = 1 για j = k. Θεώρημα 2.5. Εστω { y j } j J ένα ορθοκανονικό σύνολο. Τότε για κάθε x H όπου x, x είναι κάθετα. Επίσης, x = x + x, x = x j, x y j j J x 2 = y j, x 2 + x 2 j J με, y j, x = 0 για κάθε j J. Επιπλέον, κάθε x spn{ y j } j J ικανοποιεί x x x. Θεώρημα 2.6 (Ανισότητα Bessel). Για κάθε ορθοκανονικό σύστημα { y j } j J και x H ισχύει y j, x 2 x Ορθοκανονικές Βάσεις. j J Ορισμός 2.7. Ενα ορθοκανονικό σύστημα που δεν είναι υποσύνολο κάποιου άλλου ορθοκανονικού συστήματος λέγεται ορθοκανονική βάση. Ενα θεώρημα που χαρακτηρίζει τις Ορθοκανονικές βάσεις είναι το παρακάτω: Θεώρημα 2.8. Για κάθε ορθοκανονικό σύστημα ενός χώρου Hilbert H τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: 1. Το { y j } j J είναι μεγιστικό ορθοκανονικό σύνολο. 2. Για κάθε x H, x = y j, x y j. j J 3. Για κάθε x H, x 2 = y j, x 2 (Ταυτότητα Prsevl). j J 26

27 4. Αν y j, x = 0, για κάθε j J x = 0. Παράδειγμα 2.9. Η ακολουθία συναρτήσεων y n (x) = 1 2π e inx, n αποτελεί μια ορθοκανονική βάση του H = L 2 [0, 2π]. Ορισμός Ενας χώρος Hilbert λέγεται διαχωρίσιμος αν έχει μια αριθμήσιμη ορθοκανονική βάση. Εστω ένα γραμμικά ανεξάρτητο υποσύνολο {x j } j J του χώρου Hilbert H. Αφού αφαιρέσουμε κάποια διανύσματα, μπορούμε να υποθέσουμε ότι το x n+1 δεν μπορεί να εκφραστεί σαν γραμμικός συνδυασμός των x 0,..., x n. Κατασκευάζουμε μια ορθοκανονική βάση ως εξής: Κανονικοποιούμε το x 0 : y 0 = x 0 x 0. Μετά παίρνουμε το x 1 και αφαιρούμε την παράλληλη συνιστώσα στο y 0 και κανονικοποιούμε: Συνεχίζοντας καταλήγουμε : y n = y 1 = x 1 y 0, x 1 y 0 x 1 y 0, x 1 y 0. x n n 1 j=0 y j, x n y j x n n 1 j=0 y j, x n y j. Ετσι, αποκτούμε ένα ορθοκανονικό σύνολο { y j } j J στον H ώστε spn{ y 1,..., y n } = spn{x 1,..., x n }. Η παραπάνω διαδικασία ονομάζεται Grm-Schmidt. Θεώρημα Κάθε διαχωρίσιμος χώρος Hilbert έχει αριθμήσιμη ορθοκανονική βάση. Παράδειγμα Στον L 2 [ 1, 1] μπορούμε να ορθογωνοποίσουμε τα πολυώνυμα f n (x) = x n. πολυώνυμα που θα προκύψουν λέγονται πολυώνυμα Legendre και είναι τα : Τα P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x, P 2 (x) = 3x Ορισμός Ενας 1-1 και επί τελεστής U L(H 1, H 2 ) λέγεται unitry αν διατηρεί το εσωτερικό γινόμενο, δηλαδή U y, U x 2 = y, x 1, y, x H 1. Από τον κανόνα του Παραλληλογράμμου έχουμε ότι ο U διατηρεί τις νόρμες: U x 2 = x 1, x H 1. Οι χώροι Hilbert H 1, H 2 λέγονται unitry ισόμορφοι. Θεώρημα Κάθε διαχωρίσιμος, άπειρης διάστασης, χώρος Hilbert είναι unitry ισόμορφος με τον l 2. 27

28 2.3 Ορθογώνιοι Υπόχωροι και το λήμμα του Riesz. Ορισμός Εστω H ένας χώρος Hilbert και M H κλειστός υπόχωρος του H και x H M, ορίζουμε την απόσταση του x από τον M: dist(x, M) = inf x y. y M Πρόταση Εστω H ένας χώρος Hilbert και M H κλειστός υπόχωρος του H και x H M, τότε υπάρχει μοναδικό x 0 M τέτοιο ώστε x x 0 = inf{ x y : y M}. Το μοναδικό αυτό x 0 M, συμβολίζεται με P M (x) και ονομάζεται ορθή προβολή του x στο M. Για τις ορθές προβολές έχουμε: P 2 M = P M και P M x, y = x, P M x. Ορισμός Εστω H χώρος Hilbert και A H μη κενό. Ορίζουμε A = {x H : x, = 0} A., Θεώρημα Εστω H ένας χώρος Hilbert και M H κλειστός υπόχωρος του H τότε H = M M, δηλαδή κάθε x H γράφεται ως x = x 1 + x 2, με x 1 M, x 2 M. Τέλος βλέπουμε ότι ο δυικός χώρος H = L(H, ), περιέχει πολλά συναρτησοειδή τα οποία αναπαρίστανται με συγκεκριμένο τρόπο από στοιχεία του χώρου H. Θεώρημα 2.19 (Θεώρημα αναπαράστασης του Riesz). Εστω l ένα φραγμένο γραμμικό συναρτησοειδές σ ενα χώρο Hilbert H. Τότε υπάρχει μοναδικό y H τέτοιο ώστε l(x) = y, x, για κάθε x H. Με άλλα λόγια ο χώρος Hilbert H είναι ισόμορφος με τον δυϊκό του H = H. 2.4 Ευθύ άθροισμα και Τανυστικό γινόμενο σε χώρους Hilbert. Σε αυτή την ενότητα θα δούμε δύο τρόπους με τους οποίους κατασκευάζουμε καινούργιους χώρους Hilbert, από κάποιους δεδομένους. Ξεκινάμε με το ευθύ άθροισμα. Ορισμός Εστω H j, j μία αριθμήσιμη συλλογή από χώρους Hilbert, ορίζουμε H j = x j : x j H j, x j 2 <. j=1 Η πράξη λέγεται ευθύ άθροισμα. Ορίζοντας εσωτερικό γινόμενο : j=1 j=1 έχουμε ότι ο χώρος H i είναι χώρος Hilbert. Παράδειγμα j=1 = l2 ( ). j=1 j=1 y j, x j = y j, x j j 28 j=1

29 2.4.1 Τανυστικό Γινόμενο. Αρχικά θα ασχοληθούμε με διανυσματικούς χώρους και έπειτα θα περιοριστούμε σε χώρους Hilbert. Το τανυστικό γινόμενο V W δύο διανυσματικών χώρων V, W είναι ένας διανυσματικός χώρος εφοδιασμένος με μια διγραμμική απεικόνιση η οποία κάθε στοιχείο του V W το στέλνει στον V W Εστω {e 1,..., e m }, { f 1,... f n } βάση για τον V, W αντίστοιχα. Τότε το τανυστικό γινόμενο V W είναι ο διανυσματικός χώρος που παράγεται από μια βάση η οποία περιέχει όλα τα διατεταγμένα ζεύγη (e i, f j ) V W, κάθε τέτοιο στοιχείο συμβολίζεται με e i f j. Για κάθε διάνυσμα u = u i e i V και i w = w j f j W υπάρχει το διάνυσμα u w Y W με u w = i, jv i w j (e i f j ). Η διαδικασία j : V W V W είναι διγραμμική και dim(v W ) = dim V dim W. Από τα παραπάνω βλέπουμε ότι ο ορισμός του τανυστικού γινομένου εξαρτάται από την επιλογή της βάσης του εκάστοτε χώρου. Το τανυστικό γινόμενο παρ όλα αυτά μπορεί να οριστεί ανεξάρτητα απο την επιλογή της βάσης. Ορισμός Εστω H 1, H 2 δύο χώροι Hilbert. Ορίζουμε F(H 1, H 2 ) τον διανυσματικό χώρο που περιέχει τους γραμμικούς συνδυασμούς των (x, y), x H 1, y H 2. Δηλαδή : F(H 1, H 2 ) = c j (x j, y j ) : c j, x H 1, y H 2. j=1 2. Εστω N ο υπόχωρος του F(H 1, H 2 ) με N(H 1, H 2 ) = spn n j,k=1 j b k (x j, y k ) ( j x j, j=1 k=1 b k y k ). Ο χώρος πηλίκο F(H 1, H 2 ) N(H 1, H 2 ) ορίζεται ως το τανυστικό γινόμενο των H 1, H 2 και οι κλάσεις ισοδυναμίας (x, ỹ) συμβολίζονται με x ỹ και ονομάζονται στοιχειώδης τανυστές. Ιδιότητες τανυστών 1. (x 1 + x 2 ) x = x 1 x + x 2 x 2. x ( x 1 + x 2 ) = x x 1 + x x 2 3. (x) x = x ( x) Αφού στους χώρους Hilbert έχουμε εσωτερικό γινόμενο, θέλουμε να το διατηρήσουμε και στον H 1 H 2. Εστω (H 1,, 1 ), (H 2,, 2 ) δύο χώροι Hilbert, κατασκευάζουμε το τανυστικό τους γινόμενο H 1 H 2 και στον καινούργιο χώρο H 1 H 2 ορίζουμε εσωτερικό γινόμενο y 1 y 2, x 1 x 2 = y 1, x 1 1 y 2, x 2 2 y 1, x 1 H 1, y 2, x 2 H 2. Τότε ο H 1 H 2 με αυτό το εσωτερικό γινόμενο δεν είναι πλήρης, παίρνοντας την πλήρωση του F(H 1, H 2 ) N(H 1, H 2 ) με το παραπάνω εσωτερικό γινόμενο έχουμε τον χώρο Hilbert, H 1 H 2. Παράδειγμα H n = H n 29

30 2.5 Η C Άλγεβρα των φραγμένων γραμμικών τελεστών. Ορισμός Εστω A L(H). Τότε ο συζυγής τελεστής ορίζεται ως: Πρόταση Εστω A, B L(H) τότε: 1. (A + B) = A + B 2. A = A 3. (AB) = B A 4. A = A και A 2 = A A = AA 5. (A) = A, y, A x = Ay, x. Ορισμός Ενας χώρος Bnch X με πολλαπλασιασμό, που ικανοποιεί τα παρακάτω λέγεται Bnch Άλγεβρα (με μοναδιαίο στοιχείο). 1. (A + B)C = AC + BC 2. A(B + C) = AB + AC, A, B, C L(X ) 3. (AB) = (A)B = A(B), A, B, L(X ) και 4. Επίσης υπάρχει μοναδιαίο στοιχείο με A = A = A, για κάθε A L(X ). Σε κάθε Bnch Άλγεβρα ισχύει ότι AB A B. Παράδειγμα Το με τον συνήθη πολλαπλασιασμό και την απόλυτη τιμή νόρμα είναι Bnch Άλγεβρα. Ορισμός Μία άλγεβρα Bnch λέγεται μια άλγεβρα Bnch με ενέλιξη αν υπάρχει μια απεικόνιση από την A στην A που ικανοποιεί τα παρακάτω: 1. ( + b) = + b 2. (b) = b 3. = Αν επιπλέον ικανοποιεί την σχέση: 2 = τότε λέγεται C -άλγεβρα. Το στοιχείο λέγεται το συζυγές του. Παράδειγμα Οι συνεχείς συναρτήσεις σε ένα διάστημα I, με τον μιγαδική σύζευξη είναι μια C άλγεβρα. Ορισμός Ενα στοιχείο λέγεται 1. κανονικό(norml) αν = 2. αυτοσυζυγές αν =, 3. unitry αν = = 4. ορθή προβολή αν = = 2 5. θετικό αν = bb για κάποιο b. 30

31 2.6 Ισχυρή και Ασθενής Σύγκλιση. Ορισμός Εστω H ένας χώρος Hilbert. 1. Λέμε ότι η ακολουθία x n συγκλίνει ισχυρά στο x αν x n x 0 και γράφουμε x n s x. 2. Λέμε ότι η ακολουθία x n συγκλίνει ασθενώς στο x αν για κάθε y H, y, x n y, x όταν n και συμβολίζουμε με x n x ή x n w x. Παρατήρηση Κάθε ακολουθία σ ένα χώρο Hilbert που συγκλίνει ισχυρά συγκλίνει και ασθενώς. Πράγματι, αν η ακολουθία x n συγκλίνει ισχυρά στο σημείο x θα έχουμε ότι x n x 0. Ετσι, για κάθε y H, x n x, y = x n x y 0. Άρα, x n x, y 0, το οποίο συνεπάγεται ότι, x n, y x, y. 2. Επίσης αν x n s x τότε x n x αφού x n x x n x. Η ασθενής σύγκλιση δεν συνεπάγεται την ισχυρή αν dim H =. Παράδειγμα Εστω H = l 2, και έστω e k = (0,..., 0, 1, 0,... ) με 1 στην κ θέση και αλλού 0. Εστω y l 2 τότε k=1 y k 2 <. Συνεπώς, y k 0 και άρα y, e k = y k 0. Ομως e k e m = 2 αν k m το οποίο συνεπάγεται ότι e n 0. Σημείωση Άν dim H < τότε η ασθενής σύγκλιση ισοδυναμεί με την ισχυρή. Θεώρημα Εστω x n w x σ ενα χώρο Hilbert τότε Απόδειξη. x lim inf k x k. 0 x x k 2 = x 2 2Re x, x k + x k 2. Από υπόθεση x, x k x, x = x 2 Τότε 0 x 2 2 x 2 + lim inf k x k 2 x 2 lim inf k x k 2. Η ασθενής σύγκλιση έχει μια ιδιότητα σημαντική στις εφαρμογές, κάθε φραγμένη ακολουθία έχει ασθενώς συγκλίνουσα υπακολουθία. Θεώρημα Αν {x n } είναι μια φραγμένη ακολουθία σ ενα χώρο Hilbert H τότε υπάρχει υπακολουθία της που συγκλίνει ασθενώς στον H. Απόδειξη. Εστω {x n } μια φραγμένη ακολουθία του H, δηλαδή υπάρχει 0 < K < ώστε για κάθε n να ισχύει x n K. Θεωρούμε την ακολουθία x 1, x n, n. Αυτή είναι φραγμένη, αφού x 1, x n x 1 x n K 2. Από θεώρημα Bolzno-Weierstrss υπάρχει υπακολουθία x 1, x 1 n, n η οποία συγκλίνει στο. Θεωρούμε την ακολουθία x 2, x 1 n, n, για τον ίδιο λόγο έχει και αυτή μια υπακολουθία x 2, x 2 n, n η οποία συγκλίνει στο. Με τον ίδιο τρόπο κατασκευάζουμε ακολουθίες x 3, x 3 n,..., x m, x m n, n 31

32 που συγκλίνουν στο. Εστω N = spn{x n } ορίζουμε y : N με y(x) = lim n x, x n n, x = 0x k + 1 x k+1... i x k+i. Τότε το y είναι γραμμικό και φραγμένο και άρα μπορούμε να το επεκτήνουμε στον N που είναι κλειστός υπόχωρος του H. Από θεώρημα αναπαράστασης του Riesz υπάρχει x 0 N τέτοιο ώστε y(x) = x, x 0, x N και επειδή x 0 N έχουμε οτι Τότε από τον ορισμό της y και από 2.1 έχουμε ότι x n n y(x) = x, x 0 x H. (2.1) w x 0. 32

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Φραγμένοι Γραμμικοί Τελεστές σε χώρους Hilbert. 3.1 Φραγμένοι Τελεστές. Εστω X, Y δύο χώροι με νόρμα. Μια γραμμική απεικόνιση A : D(A) X Y θα λέγεται γραμμικός τελεστής αν για κάθε x, y X και, b A(x + b y) = A(x) + ba(y). Ορισμός Ενας τελεστής A : D(A) X Y καλείται φραγμένος αν η ποσότητα A = sup Af Y (3.1) x X =1 είναι πεπερασμένη, δηλαδή υπάρχει M 0 τέτοιο ώστε Af M x για κάθε x X. ποσότητα A λέγεται η νόρμα του τελεστή A. Η 2. Το σύνολο όλων των φραγμένων γραμμικών τελεστών από το X στο Y συμβολίζεται με L(X, Y ). Αν X = Y τότε L(X, X ) = L(X ). Ιδιότητες νόρμας τελεστή Ax 1. A = sup x 0 x = sup Ax. x =1 2. A = sup Ax, y = x = y =1 sup x 1, y 1 Ax, y. 3. Αν για κάθε x X, Ax C x τότε A είναι φραγμένος και A C. Παράδειγμα 3.2 (Ολοκληρωτικοί τελεστές). Εστω k μια μιγαδική Lebesgue μετρήσιμη συνάρτηση στο [, b] [, b] με b b k(t, s) 2 dsd t <. 33

34 Ορίζουμε τον τελεστή K : L 2 [, b] L 2 [, b] με b (K f )(t) = k(t, s)f (s)ds. Από ανισότητα Cuchy-Schwrz : Ετσι Άρα b K f 2 b k(t, s)f (s) ds b K 2 1 k(t, s) 2 ds 2 b 1 f (s) 2 2 ds b k(t, s)f (s) 2 ds b d t f 2 k(t, s) 2 dsd t. b b k(t, s) 2 dsd t = k(t, s) L 2 <. Ο τελεστής K λέγεται ολοκληρωτικός τελεστής και η συνάρτηση k(t, s) λέγεται ο πυρήνας του K. Θεώρημα 3.3. Ο χώρος L(X, Y ) με την νόρμα τελεστή 3.1 είναι χώρος Bnch αν είναι ο Y. Απόδειξη. Εστω μια ακολουθία Cuchy στον L(X, Y ), τότε για κάθε ε > 0, υπάρχει N τέτοιο ώστε αν m, n N να έχουμε ότι A n A m ε. Τότε για κάθε x X και m, n N A n x A m x Y = (A n A m )x Y A n A m x ε x. Επιπλέον, για κάθε x X η ακολουθία A n x είναι Cuchy στον Y. Αφού ο Y είναι χώρος Bnch η ακολουθία συγκλίνει, έστω στο Ax Y, έτσι έχουμε ότι για κάθε x X Ax = lim n A nx. Ο A είναι γραμμικός και φραγμένος τελεστής, αφού Ax Y sup A n x x X sup A n n n και άρα A L(X, Y ). Τέλος, δείχνουμε ότι A n A. Πράγματι, αφού A n είναι Cuchy τότε για κάθε ε > 0, υπάρχει N τέτοιο ώστε για κάθε m, n > N να έχουμε ότι A m A n < ε. Δηλαδή, για κάθε m, n > N και x X με x 1 έχουμε A m x A n x < ε. Αν m έχουμε Ax A n x ε για κάθε x X με x 1. Ετσι, A A n < ε, για κάθε n > N δηλαδή, lim n A A n 0. Ορισμός 3.4. Ενας τελεστής A : X Y λέγεται συνεχής στο x 0 X αν x n x συνεπάγεται ότι Ax n Ax 0. Παρατήρηση 3.5. Ενας φραγμένος τελεστής είναι Lipschitz συνεχής, δηλαδή Ισχύει και το αντίστροφο. Ax Y A x X (3.2) Θεώρημα 3.6. Ενας τελεστής είναι φραγμένος αν και μόνο αν είναι συνεχής. 34

35 Απόδειξη. ( ) Εστω X, Y δύο γραμμικοί χώροι και A : X Y ένας γραμμικός τελεστής. Αν ο A είναι φραγμένος τότε από 3.2 έχουμε ότι είναι συνεχής. ( ) Εστω A : X Y συνεχής αλλά όχι φραγμένος. Τότε υπάρχει ακολουθία μοναδιαίων διανυσμάτων u n τέτοια ώστε Au n n. Τότε Αλλά Ax n 1 0. Άτοπο. x n = 1 n u n 0. Θεώρημα 3.7 (B. L. T). Εστω A L(X, Y ) και Y χώρος Bnch. Αν D(A) είναι πυκνό υποσύνολο του X τότε, υπάρχει μοναδική, συνεχής επέκταση του A στο X με την ίδια νόρμα. Δηλαδή, Ax = Ax για κάθε x D(A) και A = A. Απόδειξη. Αφού D(A) είναι πυκνό στον X, υπάρχει ακολουθία x n D(A) με x n x X. Ορίζουμε Ax = lim n Ax n. Τότε το όριο υπάρχει, πράγματι, αφού ο τελεστής A είναι φραγμένος έχουμε ότι Ax m Ax n = A(x m x n ) M x m x n. Αφού οι συγκλίνουσες ακολουθίες είναι Cuchy έχουμε ότι x m x n 0. Άρα Ax m Ax n 0 και άρα Ax n είναι Cuchy στον Y αλλά ο Y είναι χώρος Bnch οπότε το όριο υπάρχει. Στην συνέχεια δείχνουμε οτι η τιμή του ορίου είναι ανεξάρτητη της ακολουθίας x n, δηλαδή οτι ο τελεστής A είναι καλά ορισμένος. Εστω y n μια δεύτερη ακολουθία του X τέτοια ώστε y n x, έχουμε Ax n Ay n = A(x n y n ) M x n y n 0 όταν n. Ετσι ο A είναι καλώς ορισμένος. Ο A είναι είναι γραμμικός αφού είναι ο A. Δείχνουμε ότι ο A είναι φραγμένος. Ax = lim n Ax n lim n A x n = A x < και άρα A A και A φραγμένος. Από την άλλη A = sup Ax sup Ax = sup Ax = A x =1 x X x =1 x D(A) x =1 x X και άρα A A. Ετσι A = A. Τέλος δείχνουμε ότι ο A είναι μοναδικός. Εστω Ã ένας άλλος τελεστής και έστω z X. Διαλέγουμε z n D(A) με z n z. Τότε Ãz = lim Ãz n = lim Az n = Az. n n Ορισμός Εστω ο χώρος X = L(X, ) τότε κάθε l X θα λέγεται φραγμένο γραμμικό συναρτησοειδές και ο χώρος X = L(X, ) λέγεται ο δυϊκός του X. 2. Μια ακολουθία x n λέμε ότι συγκλίνει ασθενώς στο x και συμβολίζουμε με x n x, αν l(x n ) l(x), για κάθε l X. 35