Πολλαπλασιασμός: αλγόριθμος

Transcript

1 ΟΛΛΑΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

2 ολλαπλασιασμός: αλγόριθμος Για να πολλαπλασιάσουμε δύο αριθμούς x και κατασκευάζουμε έναν πίνακα από ενδιάμεσα αθροίσματα, κάθε ένα από τα οποία προκύπτει ως γινόμενο του x με ένα ψηφίο του Οι τιμές αυτές μετατοπίζονται κατάλληλα προς τα αριστερά και μετά αθροίζονται Υποθέστε ότι θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε το 13 με το 11, ή σε δυαδική αναπαράσταση, x 1101 και 1011

3 ολλαπλασιασμός: παράδειγμα 1101 επί επί 1, μετατόπιση κατά μία θέση 1101 επί 0, μετατόπιση κατά δύο θέσεις 1101 επί 1, μετατόπιση κατά τρεις θέσεις δυαδικός

4 ολλαπλασιασμός: χρόνος εκτέλεσης αλγορίθμου Με δυαδική αναπαράσταση, κάθε ενδιάμεση γραμμή είναι είτε 0 είτε το ίδιο το x, μετατοπισμένο κατά τα αριστερά κατάλληλο πλήθος φορών αρατηρήστε ότι η μετατόπιση προς τα αριστερά είναι ένας σύντομος τρόπος για να πολλαπλασιάσουμε με τη βάση, δηλ., το 2 Αν οι x και έχουν και οι δύο από n bits, τότε υπάρχουν n ενδιάμεσες σειρές, με μήκος το πολύ 2n bits η κάθε μία (λαμβάνοντας υπόψη και τη μετατόπιση) Επομένως, ο συνολικός χρόνος που απαιτείται για να αθροιστούν αυτές οι γραμμές, προσθέτοντας δύο αριθμούς τη φορά είναι:

5 ολλαπλασιασμός: χρόνος εκτέλεσης αλγορίθμου ροκύπτουν n ενδιάμεσες γραμμές κάθε μία με μήκος το πολύ 2n, οπότε για να αθροιστούν (αθροίζοντας 2 από αυτές κάθε φορά) απαιτείται χρόνος: φορές Είναι της τάξης του O(n 2 ), δηλ., τετραγωνικός ως προς το μέγεθος των εισόδων: παραμένει πολυωνυμικός αλλά μεγαλύτερος από τον αντίστοιχο χρόνο που απαιτείται για την πρόσθεση

6 ολλαπλασιασμός: αλγόριθμος του Al Khwarizmi Για να πολλαπλασιάσουμε δύο δεκαδικούς αριθμούς x και, τους γράφουμε τον έναν δίπλα στον άλλον Τότε επαναλαμβάνουμε τα ακόλουθα: Διαιρούμε τον πρώτο αριθμό με το 2, στρογγυλοποιώντας προς τα κάτω το αποτέλεσμα (δηλ., διώχνουμε το,5 αν ο αριθμός είναι περιττός), και Διπλασιάζουμε το δεύτερο αριθμό Συνεχίζουμε μέχρι ο πρώτος αριθμός να γίνει 1 Τότε σβήνουμε όλες τις γραμμές στις οποίες ο πρώτος αριθμός είναι άρτιος και αθροίζουμε τους αριθμούς που έχουν μείνει στη δεύτερη στήλη

7 ολλαπλασιασμός: αλγόριθμος του Al Khwarizmi η απάντηση

8 ολλαπλασιασμός: αλγόριθμος του Al Khwarizmi Συγκρίνοντας τους δύο αλγόριθμους, για δυαδικό πολλαπλασιασμό και πολλαπλασιασμό με επαναληπτικές διαιρέσεις του πολλαπλασιαστή με 2, παρατηρούμε ότι κάνουν ακριβώς το ίδιο πράγμα! Οι 3 αριθμοί που αθροίζονται στο δεύτερο αλγόριθμο είναι ακριβώς τα πολλαπλάσια του 13 με δυνάμεις του 2 ανάλογα με αυτούς που αθροίζονταν στη δυαδική μέθοδο Μόνο που το 11 δε δόθηκε ρητά σε δυαδική μορφή και έπρεπε μόνοι μας να εξάγουμε τη δυαδική του αναπαράσταση ελέγχοντας την ισοτιμία των αριθμών που προέκυπταν από τις διαδοχικές του διαιρέσεις με 2 Ο δεύτερος αλγόριθμος του Al Khwarizmi είναι μια εντυπωσιακή μείξη δεκαδικής και δυαδικής αναπαράστασης!

9 Οι δύο μέθοδοι κάνουν το ίδιο! Λύση 1 Οι αριθμοί μετατρέπονται σε δυαδικούς: x Λύση /25, *2 5/22, *2 2/

10 Οι δύο μέθοδοι κάνουν το ίδιο! Λύση 1 Οι αριθμοί μετατρέπονται σε δυαδικούς: x Λύση /25, *2 5/22, *2 2/

11 Οι δύο μέθοδοι κάνουν το ίδιο! Λύση 1 Οι αριθμοί μετατρέπονται σε δυαδικούς: x Ο(n 2 ) Λύση /25, *2 5/22, *2 2/ Ο(n 2 ) 143

12 ολλαπλασιασμός: άλλος αλγόριθμος ΓΑΛΛΙΚΟΣ ΟΛΛΑΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

13 ολλαπλασιασμός: άλλος αλγόριθμος Αν ο είναι άρτιος Αν ο είναι περιττός

14 ολλαπλασιασμός: άλλος αλγόριθμος Αν ο είναι άρτιος Αν ο είναι περιττός x z x x x x ό z x x x ά Α Α 2 * 1) 2 *( * ) 2 * ( ) 2 *( * ς περιττ ν ρτιος ν

15 ), ( * * ), (, ), ( : Κ z x ό ή ς περιττ ση λ (11,3) (11,6) 3 2 0, 6 (11,6) 2 : Κ z ά ή ρτιος ση λ (11,1) 11 (11,3) 1 2 0, 3 (11,3) 3: Κ z x ό ή ς περιττ ση λ (11,0) 11 (11,1) 0 2 0, 1 (11,1) 4 : Κ z x ό ή ς περιττ ση λ (11,6) 11 (11,13) (11,3) (11,6) (11,1) 11 (11,3) (11,0) 11 (11,1) 0 (11,0) 0 (11,0) 5 : Κ z x z z x z x λήση Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α

16 ολλαπλασιασμός: άλλος αλγόριθμος Ορθότητα: Ο προηγούμενος αναδρομικός κανόνας είναι σωστός και ο αλγόριθμος μιμείται ακριβώς αυτόν τον κανόνα και χειρίζεται σωστά την αρχική περίπτωση ( 0) Χρόνος εκτέλεσης: Ο αλγόριθμος τερματίζει μετά από n αναδρομικές κλήσεις, αφού σε κάθε κλήση το γίνεται μισό δηλ., ο αριθμός των bits του μειώνεται κατά 1 Κάθε αναδρομική κλήση απαιτεί συνολικά O(n) bit λειτουργίες: Διαίρεση με το 2 (ολίσθηση προς τα δεξιά) Έλεγχο για το αν ο αριθμός είναι άρτιος/περιττός (κοιτάμε το τελευταίο bit) ολλαπλασιασμό με το 2 (ολίσθηση προς τα αριστερά) Ίσως, μία πρόσθεση Επομένως, συνολικός χρόνος εκτέλεσης: O(n 2 ), όπως και για τους προηγούμενους αλγόριθμους

17 ολλαπλασιασμός: μπορούμε καλύτερα; Διαισθητικά, επειδή ο πολλαπλασιασμός φαίνεται να απαιτεί άθροιση περίπου n πολλαπλασίων μιας από τις εισόδους, και δεδομένου ότι κάθε πρόσθεση απαιτεί γραμμικό χρόνο, φαίνεται οι n 2 bit λειτουργίες να μη γίνεται να μειωθούν αραδόξως: μπορούμε να κάνουμε πολύ καλύτερα!

18 ολλαπλασιασμός: βελτιωμένος αλγόριθμος Χρησιμοποιούμε (1) την τεχνική διαίρει και βασίλευε (divide and conquer) 1. Σπάμε το πρόβλημα σε υποπροβλήματα που αποτελούν μικρότερου μεγέθους στιγμιότυπα του δοσμένου προβλήματος 2. Αναδρομικά λύνουμε τα υποπροβλήματα 3. Συνδυάζουμε κατάλληλα τις λύσεις τους για να πάρουμε τη λύση του αρχικού προβλήματος Φανταστείτε ότι έχω να πλύνω μια στολή που αποτελείται από πουκάμισο, γιλέκο και παντελόνι και (2) το θεώρημα του Gauss bc ad (a b)(c d)-ac-bd

19 ολλαπλασιασμός: βελτιωμένος αλγόριθμος Δίνονται n-bit ακέραιοι αριθμοί x, και ζητείται το x* Χωρίζουμε τους x, στο αριστερό και δεξί τους τμήμα (το καθένα έχει n/2 bits) Τότε:

20 ολλαπλασιασμός: βελτιωμένος αλγόριθμος Δίνονται n-bit ακέραιοι αριθμοί x, και ζητείται το x* Χωρίζουμε τους x, στο αριστερό και δεξί τους τμήμα (το καθένα έχει n/2 bits) Αν x τότε xl 1011 και xr 0110 και x 1011* Τότε:

21 ολλαπλασιασμός: βελτιωμένος αλγόριθμος Δίνονται n-bit ακέραιοι αριθμοί x, και ζητείται το x* Χωρίζουμε τους x, στο αριστερό και δεξί τους τμήμα (το καθένα έχει n/2 bits) Αν x τότε xl 1011 και xr 0110 και x 1011* Τότε: Γραμμικός χρόνος: Ο(n)

22 ολλαπλασιασμός: βελτιωμένος αλγόριθμος Δίνονται n-bit ακέραιοι αριθμοί x, και ζητείται το x* Χωρίζουμε τους x, στο αριστερό και δεξί τους τμήμα (το καθένα έχει n/2 bits) Αν x τότε τότε xl 1011 και και xr xr και x 1011* Τότε: Γραμμικός χρόνος: Ο(n) Xρόνος: 4*T(n/2) Συνολικός χρόνος: 4*Τ(n/2)O(n)O(n 2 ) με τη γνωστή τεχνική πολλαπλασιασμού

23 ολλαπλασιασμός: βελτιωμένος αλγόριθμος Δίνονται n-bit ακέραιοι αριθμοί x, και ζητείται το x* Χωρίζουμε τους x, στο αριστερό και δεξί τους τμήμα (το καθένα έχει n/2 bits) Αν x τότε xl 1011 και xr 0110 και x 1011* Τότε: Γραμμικός χρόνος: Ο(n) Xρόνος: 3*T(n/2) Συνολικός χρόνος: 3*Τ(n/2)O(n) O(n 1.59 ) με χρήση της τεχνικής του Gauss

24 ολλαπλασιασμός: βελτιωμένος αλγόριθμος ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΟΛΛΑΛΑΣΙΑΣΜΟ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΔΙΑΙΡΕΙ ΚΑΙ ΒΑΣΙΛΕΥΕ

25 Κάθε πρόβλημα διαιρείται σε 3 υποπροβλήματα Η αναδρομική διαδικασία k0 klogn Τελικά: 3 k υποπροβλήματα, μεγέθους το καθένα n/2 k : χρόνος 3 k *Ο(n/2 k ) (3/2) k *O(n)

26 ολλαπλασιασμός: βελτιωμένος αλγόριθμος (τεχνική διαίρει και βασίλευε) Δεδομένα: 2 ακέραιοι a και b με n ψηφία ο καθένας Ζητούμενο: γινόμενο a επί b αράδειγμα: 1980 a x 2315 b a x b Με βάση τον αλγόριθμο για πολλαπλασιασμό που είδαμε ήδη και απαιτεί χρόνο O(n 2 )

27 ολλαπλασιασμός: βελτιωμένος αλγόριθμος (τεχνική διαίρει και βασίλευε) Διαιρούμε το πρόβλημα: Χωρίζουμε τους ακεραίους στα δύο τους μισά: *10 4 *10 2 *10 0 Ο αλγόριθμος πρέπει να υπολογίσει τα 4 γινόμενα και μετά να τα αθροίσει, δηλ., 15*80(15*1923*80)* *19* Απαιτούμενος χρόνος: T(n) 4*T(n / 2) O(n) T(n) O(n 2 )

28 ολλαπλασιασμός: βελτιωμένος αλγόριθμος (τεχνική διαίρει και βασίλευε) Διαιρούμε το πρόβλημα: Χωρίζουμε τους ακεραίους στα δύο τους μισά: Με λίγη εξυπνάδα ο αλγόριθμος μπορεί να υπολογίσει μόνο 3 γινόμενα: x1 al*bl, x2 ar*br και x3 (al ar)*(bl br) Αφού: al ar x bl br al bl al br ar bl ar br x1 x3 - x1 - x2 x2 *10 4 *10 2 *10 0 Αλγόριθμος Karatsuba Τώρα ο αλγόριθμος πρέπει να υπολογίσει 3 γινόμενα: x1, x2, και x3, να υπολογίσει το x3 - x1 - x2, και να αθροίσει: x1*10 4 (x3 - x1 x2)*10 2 x2 437*10 4 ( )* * * Απαιτούμενος χρόνος: T(n) 3*T(n / 2) O(n) T(n) O(n 1.59 )

29 ολλαπλασιασμός: βελτιωμένος αλγόριθμος (τεχνική διαίρει και βασίλευε) Διαιρούμε το πρόβλημα: (alar)*(blbr)al*blal*b*rar*blar*br al*b*rar*bl(alar)*(blbr)-al*bl-ar*br al*b*rar*blx3-x1-x2 Χωρίζουμε τους ακεραίους στα δύο τους μισά: Με λίγη εξυπνάδα ο αλγόριθμος μπορεί να υπολογίσει μόνο 3 γινόμενα: x1 al*bl, x2 ar*br και x3 (al ar)*(bl br) Αφού: al ar x bl br al bl al br ar bl ar br x1 x3 - x1 - x2 x2 *10 4 *10 2 *10 0 Αλγόριθμος Karatsuba Τώρα ο αλγόριθμος πρέπει να υπολογίσει 3 γινόμενα: x1, x2, και x3, να υπολογίσει το x3 - x1 - x2, και να αθροίσει: x1*10 4 (x3 - x1 x2)*10 2 x2 437*10 4 ( )* * * Απαιτούμενος χρόνος: T(n) 3*T(n / 2) O(n) T(n) O(n 1.59 )