Λογική Σχεδίαση Ψηφιακών Συστημάτων

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Πληροφορικής Λογική Σχεδίαση Ψηφιακών Συστημάτων Σταμούλης Γεώργιος Δαδαλιάρης Αντώνιος

2 Δυαδικοί Αριθμοί Η γενική αναπαράσταση ενός οποιουδήποτε αριθμού ακολουθεί τον τύπο: a n.r n +a n-1.r n a 2.r 2 +a 1.r+a 0 +a -1.r a -m.r -m όπου a i είναι οι συντελεστές και r είναι η βάση. Παράδειγμα: Ο αριθμός αναλόγως της βάσης που θα επιλέξουμε μπορεί να περιγραφεί ώς εξής: 2χ χ χ χ10-2 1x x x x x x x2-2

3 Δεκαδικό / Δυαδικό / Οκταδικό / Δεκαξαδικό Σύστημα Αναπαράστασης

4 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (1)

5 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (2)

6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (3) Πολλαπλασιασμός (1011 χ 101) 1011 χ

7 Μετατροπή βάσης αριθμού Μετατροπή Ακεραίου =

8 Μετατροπή βάσης αριθμού Μετατροπή Κλάσματος =.1011

9 Μετατροπή από δυαδικό σε οκταδικό

10 Μετατροπή από δυαδικό σε δεκαεξαδικό

11 Συμπληρώματα (1)

12 Συμπληρώματα (2) Για να πραγματοποιήσουμε μια οποιαδήποτε αφαίρεση, μπορούμε να προσθέσουμε στο μειωτέο (Μ) το συμπλήρωμα ως προς r του αφαιρετέου (Α). Αν Μ >= Α το άθροισμα που προκύπτει θα έχει τελικό κρατούμενο το οποίο αγνοούμε για να λάβουμε το τελικό αποτέλεσμα. Αν Μ < Α το άθροισμα που προκύπτει δεν έχει κρατούμενο, το τελικό αποτέλεσμα είναι το συμπλήρωμα προς r του αθροίσματος. Παράδειγμα #1: Το συμπλήρωμα ώς προς 10 του 23 είναι 77, επομένως προσθέτουμε το 77 με το 76. Το αποτέλεσμα είναι 153, πρέπει όμως να αγνοήσουμε το κρατούμενο, επομένως το τελικό αποτέλεσμα είναι 53. Παράδειγμα #2: Το συμπλήρωμα ως προς 10 του 76 είναι 24, επομένως προσθέτουμε το 24 με το 23. Το αποτέλεσμα είναι 47. Στο αποτέλεσμα αυτό δεν υπάρχει κρατούμενο. Επομένως πρέπει να υπολογίσουμε το συμπλήρωμα ώς προς 10 του 47. Τελικό αποτέλεσμα -53.

13 Συμπληρώματα (3) Παράδειγμα με δυαδικούς #1: = Αρχικά υπολογίζουμε το συμπλήρωμα ως προς 2 του 23. (Συμπλήρωμα ως προς 1, και προσαύξηση κατά 1) Το συμπλήρωμα ως προς 2 του είναι = Επομένως πρέπει να προσθέσουμε το με το για να λάβουμε το τελικό αποτέλεσμα

14 Συμπληρώματα (4) Παράδειγμα με δυαδικούς #2: = Αρχικά υπολογίζουμε το συμπλήρωμα ως προς 2 του 78. (Συμπλήρωμα ως προς 1, και προσαύξηση κατά 1) Το συμπλήρωμα ως προς 2 του είναι = Επομένως πρέπει να προσθέσουμε το με το για να λάβουμε το τελικό αποτέλεσμα Το συμπλήρωμα ως προς 2 του παραπάνω αθροίσματος είναι

15 Προσημασμένοι Δυαδικοί Αριθμοί Τρόποι Απεικόνισης: Προσημασμένο Μέτρο: Το αριστερότερο ψηφίο / bit είναι το πρόσημο του αριθμού (0 = +, 1= -), και το υπόλοιπο είναι το μέτρο (απόλυτη τιμή). Παράδειγμα: Απεικόνιση του αριθμού -9 με 8 ψηφία -> Παράδειγμα: Απεικόνιση του αριθμού +9 με 8 ψηφία -> Προσημασμένο Συμπλήρωμα ως προς 2: Το αριστερότερο ψηφίο / bit είναι το πρόσημο του αριθμού (0 = +, 1= -), και όλος ο αριθμός σε συμπλήρωμα ως προς 2. Παράδειγμα: Απεικόνιση του αριθμού -9 με 8 ψηφία -> Παράδειγμα: Απεικόνιση του αριθμού +9 με 8 ψηφία -> Το Προσημασμένο μέτρο χρησιμοποιείται στην "συνηθισμένη" αριθμητική, αλλά δεν είναι ιδιαιτέρως εύχρηστο για έναν υπολογιστή. Η πιο εύκολη αναπαράσταση στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές είναι το Προσημασμένο Συμπλήρωμα ως προς 2.

16 Αφαίρεση Προσημασμένου Συμπληρώματος ως προς 2: Προσθέτουμε στον μειωτέο το συμπλήρωμα ως προς 2 του αφαιρετέου. Τυχόν κρατούμενο αγνοείται. Παράδειγμα: (-6) - (-13) = = = =7 Αριθμητική Πρόσθεση / Αφαίρεση Αριθμητική Πρόσθεση (απαιτεί σύγκριση προσήμων): Αν τα πρόσημα είναι ίδια, προσθέτουμε τα μέτρα με τελικό πρόσημο το κοινό. Αν τα πρόσημα είναι διαφορετικά, αφαιρούμε από τον μεγαλύτερο τον μικρότερο με τελικό πρόσημο αυτό του μεγαλύτερου. Πρόσθεση Προσημασμένου Συμπληρώματος ως προς 2: Απλή πρόσθεση και το τελικό κρατούμενο αγνοείται. Αν το αποτέλεσμα είναι αρνητικό θα είναι σε συμπλήρωμα ως προς 2. Δεν απαιτείται καμμιά επιπλέον μετατροπή ή σύγκριση.

17 Συστήματα Μικτής Βάσης & Συστήματα Αρνητικής Βάσης Συστήματα Μικτής Βάσης: Συστήματα στα οποία κάθε ψηφίο δεν εκφράζει δυνάμεις του ίδιου αριθμού (της ίδιας δηλαδή βάσης). Παράδειγμα: Ημερομηνία (Ημέρα, Μήνας, Χρόνος) / Ώρα (Ώρα, Λεπτό, Δευτερόλεπτο) Συστήματα Αρνητικής Βάσης: Συστήματα στα οποία η βάση είναι αρνητικός αριθμός (π.χ. -2 (negbinary)). Όλες οι μετατροπές γίνονται όπως και σε συστήματα με θετική βάση. Δεκαδικοί Δυαδικοί Negbinary

18 Δυαδικοί Κώδικες (1) Ένας δυαδικός κώδικας είναι στην ουσία ένας τρόπος αναπαράστασης πληροφοριών με χρήση δυαδικών ψηφίων (bits). Οι σημαντικότεροι δυαδικοί κώδικες για τα δεκαδικά ψηφία είναι οι ακόλουθοι: BCD Excess Biquinary Gray

19 Δυαδικοί Κώδικες (2) Δεκαδικό BCD Excess Biquinary 2421 Gray

20 Δυαδική Λογική Η δυαδική λογική ασχολείται με μεταβλητές οι οποίες μπορούν να λάβουν μόνο δύο διακριτές τιμές (0 και 1) και με λογικές πράξεις. Οι τρεις βασικές λογικές πράξεις της δυαδικής λογικής είναι οι ακόλουθες: ΚΑΙ (AND) Η' (OR) ΟΧΙ (NOT) X Y AND (x y) OR (x + y) NOT (x')

21 Πύλες ΚΑΙ (AND) / Η' (OR) / ΟΧΙ (NOT) A B Q A B Q A Q

22 1ο Σετ Ασκήσεων (Παράδοση 12/10) Γράψτε τον Αριθμό Μητρώου σας σε τρεις διαφορετικές βάσεις της επιλογής σας χρησιμοποιώντας τον γενικό τρόπο αναπαράστασης της πρώτης διαφάνειας. Υπολογίστε την αναπαράσταση του Α.Μ. σε βάση δύο, χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο διαδοχικών διαιρέσεων. Θεωρείστε τον Α.Μ. ως το δεκαδικό κομμάτι ενός αριθμού. Υπολογίστε την αναπαράστασή του χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο διαδοχικών πολλαπλασιασμών. Μετατρέψτε τους ακολουθους δυαδικούς αριθμούς στο οκταδικό και στο δεκαεξαδικό σύστημα (101, 1100, 10101, , , ). Υπολογίστε το συμπλήρωμα ως προς 10, 9 του Α.Μ. σας. Με ποιό τρόπο μπορούμε να υπολογίσουμε το συμπλήρωμα ως προς 2 ενός οποιουδήποτε αριθμού χρησιμοποιώντας το συμπλήρωμα ως προς 1 του ίδιου αριθμού. Δώστε ένα παράδειγμα. Γράψτε τον Α.Μ. σας και τον αντίθετό του χρησιμοποιώντας ως τρόπο απεικόνισης το Προσημασμένο Μέτρο και το Προσημασμένο Συμπλήρωμα ως προς 2. Ακολούθως, προσθέστε και αφαιρέστε από τους παραπάνω αριθμούς το Συμπληρώστε τον πίνακα του κώδικα Gray (σύμφωνα με την διαφάνεια), με όσους αριθμούς μπορούν να εκφραστούν με χρήση του συγκεκριμένου αριθμού από bits.