ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Transcript

1 ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδροογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα 7 ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Εισαγωγή στη γεωστατιστική ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΧΩΡΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑ ΜΕΘΟ ΟΣ KRIGING ΕΦΑΡΜΟΓΗ

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ορισµοί Οι στατιστικές προσεγγίσεις θεωρούν ότι η µετρηµένη τιµή σε ένα συγκεκριµένο σηµείο του χώρου για µια συγκεκριµένη χρονική στιγµή είναι η πραγµατοποίηση µιας τυχαίας µεταβητής η οποία περιγράφεται από κάποια συνάρτηση κατανοµής. Έτσι το σύνοο των µετρηµένων τιµών της µεταβητής σε Ν σηµεία του χώρου είναι µια πραγµατοποίηση µιας πουδιάστατης τυχαίας µεταβητής µε δεδοµένη από κοινού συνάρτηση κατανοµής Ν διαστάσεων. Με τον όρο γεωστατιστική ορίζεται ένα σύνοο στατιστικών τεχνικών που σχετίζονται µε µεταβητές που µεταβάονται στο χώρο. Οι τεχνικές αυτές βασίζονται στην υπόθεση ότι η χωρική διακύµανση της µεταβητής είναι τυχαία, οπότε χρησιµοποιούν στατιστικές µεθοδοογίες για οποιαδήποτε εκτίµηση απορρέει από τις σηµειακές µετρήσεις της µεταβητής. Σηµαντικό πεονέκτηµα των γεωστατιστικών µεθόδων είναι το γεγονός ότι ποσοτικοποιούν και τεικά εαχιστοποιούν το σφάµα εκτίµησης. Ωστόσο, οι µέθοδοι είναι αρκετά πούποκες στην εφαρµογή τους, η οποία προϋποθέτει τη χρήση κατάηων υποογιστικών προγραµµάτων. Η γεωστατιστική ανάυση περιαµβάνει δύο κύριες φάσεις: (α) την χωρική ανάυση που περιαµβάνει την επιογή και προσαρµογή ενός µοντέου που περιγράφει την χωρική µεταβητότητα των σηµειακών µετρήσεων, και (β) την βέτιστη γραµµική αµερόηπτη εκτίµηση (best liear ubiased estimatio-blue) που σχετίζεται µε τον υποογισµό των εκτιµητριών των αγνώστων ως γραµµικών συναρτήσεων των µετρήσεων. Οι εκτιµήτριες είναι αµερόηπτες, έχουν την εάχιστη µεταβητότητα, ενώ για τον υποογισµό τουςχρησιµοποιείται η µοντεοποίηση της χωρικής µεταβητότητας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ορισµοί Εξετάζεται µια χωρικά µεταβαόµενη συνάρτηση z(x) όπου x είναι η θέση στο χώρο (διάνυσµα, ή 3 διαστάσεων). Ησυνάρτησηz(x) δενείναιγνωστήκαιπρέπεινα προσδιοριστεί από µετρήσεις και ίσως από συµπηρωµατικές πηροφορίες. Η συνάρτηση µέσης τιµής που δίνει την αναµενόµενη τιµή σε οποιοδήποτε σηµείο x δίδεται από τη σχέση: m(x)=e[z(x)] Η συνάρτηση της συνδιασποράς που είναι η συνδιασπορά για κάθε ζεύγος x και x δίδεται από τη σχέση: R(x,x )=E{[z(x)-m(x)] [z(x )-m(x )]} Όταν τα x και x αφορούν στην ίδια θέση τότε η συνδιασπορά είναι ίση µετηδιασπορά R(x,x) =σ (x) Ο συντεεστής συσχέτισης µεταξύ z(x) και z(x ) είναι ρ(x,x )= R(x,x ) / σ(x)σ(x ) Η χωρική συνδιασπορά είναι σηµαντική στη γραµµική εκτίµηση δεδοµένου ότι µειώνει το µέσο τετραγωνικό σφάµα. Έτσι χωρίς µετρήσεις η καύτερη εκτίµηση του z(x ) είναι η m(x ) και το µέσο τετραγωνικό σφάµα είναισ (x ). Αντίθετα όταν το z(x) έχει παρατηρηθεί τότε η εκτίµηση του z(x ) µπορεί να διορθωθεί δεδοµένου ότι υπάρχει παραπάνω πηροφορία. Χρησιµοποιώντας µια γραµµική διόρθωση στην παρατήρηση έχουµε z(x )=m(x )+ρ(x,x )[z(x)-m(x)]σ(x )/σ(x) ενώ το µέσο τετραγωνικό σφάµα µειώνεται σε [- ρ (x,x )] σ (x )

3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Χωρική µεταβητότητα Ηβασικήαρχήτωνδιαφόρων µεθόδων παρεµβοής είναι η παραδοχή ότι στις κοντινές αποστάσεις οι τιµές της µεταβητής µοιάζουν περισσότερο από ότι στις µακρινές. Για να προσδιοριστεί η ισχύς αυτής της υπόθεσης και το πώς αυτή η οµοιότητα µεταβάεται συναρτήσει της απόστασης, πραγµατοποιείται διερευνητική ανάυση των χωρικών δεδοµένων. Η χωρική συσχέτιση συνήθως εξετάζεται µε τη µέθοδο της ηµιδιασποράς που είναι ένα µέτρο του βαθµού της χωρικής συσχέτισης των σηµειακών µετρήσεων και δίνεται από τη σχέση: m = [ zx ( i ) zx ( i + h)] i= όπου m οαριθµός των ζευγών µε απόστασηh z(x i ) ητιµήτηςµεταβητής στη θέση i z(x i +h) ητιµήτηςµεταβητήςσεαπόστασηh από τη θέση i ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βέτιστη γραµµική αµερόηπτη εκτίµηση (BLUE) Ηεκτίµηση της τιµής της συνάρτησης z(x) σε µία θέση που δεν υπάρχει µέτρηση x, µε βάση τις παρατηρήσεις z(x ), z(x ),, z(x ) γίνεται χρησιµοποιώντας µια γραµµική εκτιµήτρια: zx ^( o ) izx ( i ) = i= όπου i είναι τα βάρη Ο τύπος αυτός εκτιµήτριας χρησιµοποιείται συχνά στις προσδιοριστικές µεθόδους (Thiesse, IDW), ενώ ποές µεθοδοογίες εφαρµόζονται για τον προσδιορισµό των βαρών, το άθροισµα των οποίων τίθεται συνήθως ίσο µε. Με την χρήση των γεωστατιστικών µεθόδων ο προσδιορισµός των βαρών βασίζεται στην δοµή της χωρικής διακύµανσης της µεταβητής, η οποία προσδιορίζεται και µοντεοποιείται µεβάσητοηµιµεταβητόγραµµα. Τα βάρη επιέγονται έτσι ώστε:. Το σφάµαεκτίµησης (εκτιµηµένη τιµή µείον την αηθινή άγνωστη τιµή) πρέπει κατά µέσο όρο να είναι µηδέν (αµεροηψία). Πρέπει να εαχιστοποιείται το µέσο τετραγωνικό σφάµα Από το δεύτερο κριτήριο µε τονπεριορισµό του πρώτου προκύπτει ένα σύστηµα γραµµικών εξισώσεων (krigig system) από τη ύση του οποίου προκύπτουν τα βάρη 3

4 ΧΩΡΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑ Κατάρτιση ηµιµεταβητογράµµατος Η ανάυση µε την κατάρτιση ηµιµεταβητογράµµατος εφαρµόζεται στην περίπτωση που διατίθενται σηµειακές µετρηµένες τιµές της µεταβητής z(x), όπου το x συµβοίζει ένα διανυσµατικό σύστηµα δύο διαστάσεων. Σε ένα πήθος σηµειακών µετρήσεων στο χώρο µπορούν να υποογιστούν *(-)/ ζεύγη από τη διαφορά [z(x i )-z(x j )] και την απόσταση x ι -x j. Η σχεδίαση της διαφοράς αυτής συναρτήσει της απόστασης, είναι το πρωτογενές (raw) ηµιµεταβητόγραµµα. Για κατάρτιση του πειραµατικού (experimetal) ηµιµεταβητογράµµατος απαιτείται η κατάτµηση του άξονα των αποστάσεων σε διαδοχικά διαστήµατα. Το κ διάστηµα είναι [h κ,h κ ] και περιέχει Ν κ ζεύγη τιµών z(x i ) και z(x j ) γιαταοποίαισχύειh κ < x ι -x j < h κ. Για κάθε διάστηµαυποογίζουµε τηνπαράσταση: N k γ ( hk ) = [ z( xi ) z( x N k i= όπου το i δείχνει τον αριθµό των ζευγών που ανήκουν στο διάστηµα. Το ηµιµεταβητόγραµµα σχεδιάζεται µε βάση τις τιµές της ενώ το κάθε διάστηµα [h κ,h κ ] αντιπροσωπεύεται από την τιµή (h κ -h κ )/. j )] ΧΩΡΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑ Παράδειγµα ηµιµεταβητογράµµατος Πρωτογενές (raw) Πειραµατικό (experimetal) ΗΜΙ ΙΑΣΠΟΡΑ (mm ) 5 5 ΗΜΙ ΙΑΣΠΟΡΑ (mm ) ΑΠΟΣΤΑΣΗ (km) ΑΠΟΣΤΑΣΗ (km) 4

5 ΧΩΡΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑ Χαρακτηριστικά ηµιµεταβητογράµµατος Κατώφι (sill) και εύρος (rage). Το κατώφι (sill), είναι µια σταθερή τιµή στην οποία φτάνει το ηµιµεταβητόγραµµα σε µια απόσταση η οποία ονοµάζεται εύρος (rage). Το κατώφι σχετίζεται µε τη διασπορά του δείγµατος, ενώ το εύρος δείχνει την απόσταση από την οποία και πέρα δεν συσχετίζονται οι τιµές. Το τεευταίο ενδιαφέρει στον σχεδιασµό δικτύωνµέτρησης. Όταν το διάστηµα είναιµηδενικό τότε δεν υπάρχει χωρική εξάρτηση στην µεταβητή. Nugget effect. H ηµιδιασπορά µπορεί να µην είναι µηδέν στην µηδενική απόσταση γεγονός που εξηγείται όταν οι µετρήσεις έχουν θόρυβο, παρουσιάζουν άθη ή δεν είναι ταυτόχρονες Επίδραση της διεύθυνσης. Η παρουσία ανισοτροπίας στα δεδοµένα µπορεί να ανιχνευθεί µε την κατάρτιση ηµιµεταβητογραµµάτων σε συγκεκριµένες διευθύνσεις όπου τα διαστήµατα σχεδιάζονται σε διάγραµµαρόδου Στρωµάτωση (stratificatio). Ο διαχωρισµός ενός συνόου δεδοµένων σε οµάδες ποές φορές εαττώνει την χωρική µεταβητότητα και κατά συνέπεια την ακρίβεια προσαρµογής Επίδραση του χρόνου. εδοµένου ότι ποές υδροογικές µεταβητές είναι µεταβητές στο χρόνο η χωρική µεταβητότητα µιας περιοχής και άρα και το ηµιµεταβητόγραµµα εξαρτώνται από τη χρονική στιγµήτηςδειγµατοηψίας ΧΩΡΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑ Προσαρµογή συνάρτησης στο εµπειρικό ηµιµεταβητόγραµµα GAUSSIAN = σ [ e σ >, L > h L ] ΕΚΘΕΤΙΚΗ = σ [ e σ >, L > h L ] HOLE-EFFECT h h L = [ ( ) e ] L NUGGET EFFECT = C για h > = για h = ΣΦΑΙΡΙΚΗ 3 h h = [.5.5 ] σ για h a 3 a a = σ για h > a ΥΝΑΜΗΣ = ϑh θ >, < s < s ΓΡΑΜΜΙΚΗ = ϑh ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ = Alog( h) A > 5

6 ΧΩΡΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑ Παράδειγµα προσαρµογής συνάρτησης 5 ΗΜΙ ΙΑΣΠΟΡΑ (mm ) 5 5 ΕΜΠΕΙΡΙΚΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗ POWER ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΙΑΣΠΟΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ GAUSSIAN ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ HOLE-EFFECT ΑΠΟΣΤΑΣΗ (km) ΜΕΘΟ ΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ (KRIGING) Γενικά Η µέθοδος βέτιστης παρεµβοής θεωρεί τη µεταβοή της µεταβητήςωςτυχαία, εκφράζει την άγνωστη τιµή στο τυχόν σηµείο ως γραµµική έκφραση των γνωστών τιµών στις θέσεις των σταθµών και χρησιµοποιεί τη στατιστική µεθοδοογία προκειµένου να εκτιµήσει τους συντεεστές της γραµµικής έκφρασης. Στη συνέχεια παρουσιάζονται συνοπτικά οι διάφορες παρααγές της µεθόδου: Ordiary-simple krigig. Η πέον διαδεδοµένη µορφή, έχει τις παρακάτω παραδοχές: (α) η µεταβητή ακοουθεί κανονική κατανοµή, (β) ηεκτίµηση είναι αµερόηπτη, (γ) µονιµότητα δευτέρου βαθµού, (δ) ο τοπικός µέσος είναι γνωστός (simple), ή (δ) οτοπικόςµέσος είναι άγνωστος (ordiary) Neighbourhood krigig. Αν και η τοπική µέση τιµή και διασπορά είναι σταθερές σε όη την περιοχή (υποθέσεις µονιµότητας και ισότροπου πεδίου), στις περισσότερες εφαρµογές τα δεδοµένα περιέχουν τοπικές διακυµάνσεις. Γιατοόγοαυτόστηνεκτίµηση της άγνωστης τιµής συµµετέχουν τα κοντινότερα σηµεία ή αυτά που περιαµβάνονται στη γύρω περιοχή Block krigig. Αντιµετωπίζει την οοκήρωση των εκτιµηµένων τιµών σε µεγαύτερες περιοχές Uiversal krigig. Εφαρµόζεται στην περίπτωση που τα δεδοµένα περιέχουν τάση (tred) Disjuctive krigig. Υποογίζει για κάθε εκτίµηση και την πιθανότητα η αηθινή τιµή να υπερβαίνει ένα συγκεκριµένο κατώφι Cokrigig. Ηεκτίµηση µε το κανονικό krigig βετιώνεται σηµαντικά όταν η µεταβητή που εξετάζεται συνδέεται µε κάποια άη µεταβητή για την οποία υπάρχουν µετρήσεις Space time krigig. Σχετίζεται µε την εισαγωγή της χρονικής διάστασης των δεδοµένων 6

7 Το σύστηµα γραµµικών εξισώσεων που πρέπει να επιυθεί δίδεται από τις σχέσεις: ενώ το ΜΤΣ δίνεται από τη σχέση: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Οrdiary krigig γ j ( xi xj) + ν= γ( xi x) i =,,... j = j= ^ E{[ z( x ) z( x )] } = ν + γ ( x x ) Το ν ονοµάζεται ποαπασιαστής Lagrage και σχετίζεται µε τον περιορισµό αµεροηψίας i= ij i j= Εφαρµογή: Eκτίµηση του x από τρία σηµεία x, x, x 3 γ(d )+ γ(d )+ 3 γd 3 +ν =γ(d ) γ(d ) γ(d3) γ (d) γ(d )+ γ(d )+ 3 γd 3 +ν =γ(d ) γ(d ) γ(d 3) γ (d ) = γ(d 3 )+ γ(d 3 )+ 3 γd 33 +ν =γ(d 3 ) γ(d 3) γ(d 3) 3 γ (d 3) = ν Q*L=S Tα βάρη προσδιορίζονται από τη σχέση SQ - ενώ η εκτιµηµένη τιµή απότησχέση S*Q - *F (BLUE) όπου: Το διάνυσµα S περιέχει τις µετασχηµατισµένες (µε βάσητοεπιεγµένο ηµιµεταβητόγραµµα) µεταβητότητες των σηµείων µέτρησης από το σηµείο παρεµβοής. Ο πίνακας Q περιέχει τις µετασχηµατισµένες (µε βάση το επιεγµένο ηµιµεταβητόγραµµα) µεταβητότητες µεταξύ όων των σηµείων µέτρησης. Η διαγώνιος του είναι µηδενική (γ() = ), ενώ είναι συµµετρικό (υπόθεση ισότροπου πεδίου) Ο πίνακας F περιέχει τις σηµειακές µετρήσεις της µεταβητής στα σηµεία x, x και x 3 ΣΗΜΕΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ 35, ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑΘΜΟΣ Χ (m) Υ (m) ΕΤΟΣ ΒΕΡ ΙΚΟΥΣΑ ,3 ΓΙΑΝΝΩΤΑ ,9 ΕΣΚΑΤΗ ,6 ΕΛΑΣΣΟΝΑ ,8 ΚΑΡΠΕΡΟ ,3 ΚΟΝΙΣΚΟΣ ,8 ΚΡΥΟΒΡΥΣΗ ,6 ΛΑΡΙΣΑ ,5 ΛΙΒΑ Ι ,5 ΠΥΘΙΟ ,5 ΠΥΡΓΕΤΟΣ ,6 ΤΥΡΝΑΒΟΣ , ΦΑΡΚΑ ΩΝΑ ,5 3 8 ΜΗΤΡΩΟ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ ΑΠΌ ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ ΣΗΜΕΙΟ

8 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΗΤΡΩΟ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ ΗΜΙ ΙΑΣΠΟΡΑ (mm ) 5 γ(d)=*d.87 5 ΕΜΠΕΙΡΙΚΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗ POWER ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΙΑΣΠΟΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ GAUSSIAN ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ HOLE-EFFECT ΑΠΟΣΤΑΣΗ (km) ΜΗΤΡΩΟ ΗΜΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ γ(d) ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΗΤΡΩΟ Q γ(d ) γ(d3) γ (d) γ(d ) γ(d 3) γ (d ) = Q*L=S γ(d 3) γ(d 3) 3 γ (d 3) ν ΜΗΤΡΩΟ S

9 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΗΤΡΩΟ Q - -,,8,3,4 -,,7 -,4 -,6 -,6 -,3 -,5,4,45,6,8 -,8,49,7, -, -, -,3,46,3 -,7 -, -,6,4,3,49 -,3,,78,57 -, -,, -,3 -, -, -,8,3,4,7, -,4 -,7 -,4,6 -,5 -,, -,3,5 -,,8 -,,,78 -,7 -,6,39 -,,6,,,8 -,5, -,9,7 -,,57 -,4,39 -,76 -,, -,4 -,, -,5,3 -,7 -,4 -, -,,6 -, -, -,4,,,98,5,7 -,4, -,6 -,3 -, -,5,6,, -,6, -,,4,75,37 -,9 -,6,46, -,, -,4,, -,8,8,3 -,5, -,7 -,3,3 -,3,, -,,98 -,,8 -,69,7 -,5 -, -, -,5 -,7 -, -,3,8,,5,4,3,7 -,89,, -,4,4 -, -,,5 -,5 -,5,7,75 -,5 -,5, -,94,3,8,45 -,6 -,8 -,,,3 -,4,37, -,,,3 -, -,6,6,4,3,8 -,9 -,7, -,9 -,7 -, -,4,8 -,6,84 ΜΗΤΡΩΟ S*Q - -,6,8 -,6,6 -,7 -,,33 -,4,,458 -,3 -, -,4,8 γ(d ) γ(d3) γ (d) γ(d ) γ(d 3) γ (d ) = Q*L=S γ(d 3) γ(d 3) 3 γ (d 3) ν ΜΗΤΡΩΟ ΤΙΜΩΝ ΒΡΟΧΗΣ F ,3 558,9 69,6 554,8 634,3 8,8 656,6 48,5 74,5 68,5 795,6 57, 553,5 Τεική τιµήβροχής: S*Q - *F = 6 mm ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Κουτσογιάννης,. και Θ. Ξανθόπουος, Τεχνική Υδροογία, Εθνικό Μετσόβιο Πουτεχνείο, Αθήνα, 997 Μαµάσης, Ν., Ανάυση βροχοπτώσεων κατά τύπο καιρού, ιδακτορική διατριβή, ΕΜΠ, 997 Μιµίκου, ΜκαιΕ. Μπατάς, Τεχνική Υδροογία, Εκδόσεις ΕΜΠ, Τζούης Β., ιερεύνηση της χωρικής κατανοµής των βροχοπτώσεων µε τη χρήση ΣΓΠ, ιπωµατική εργασία, ΕΜΠ, 996 ESRI, ARC-VIEW, Advaced Spatial Aalysis usig raster ad vector data, 996 Creuti, J.D., ad C. Obled, Objective aalysis ad mappig techiques for raifall fields: A objective compariso, Water Resources Research, 5, 78-79, 98 Digma, L., Physical Hydrology, Pretice-Hall, Ic., New Jersey, 994 Mamassis, N. ad D. Koutsoyiais, Ifluece of atmospheric circulatio types o space - time distributio of itese raifall, Joural of Geophysical Research,, D, , 996 Μeijerik A., Brouwer H., Maaerts C., ad C., Valezuela, Itroductio to the use of Geographic Iformatio Systems for practical hydrology, UNESCO, Publicatio Number 3, 995 9