Συνόρθωση υψομετρικού δικτύου με δεδομένα GPS, χωροστάθμησης

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Αλέξανδρος Τσιμερίκας Διπλ. Αγρονόμος και Τοπογράφος Μηχανικός Συνόρθωση υψομετρικού δικτύου με δεδομένα GPS, χωροστάθμησης και βαρύτητας Επιβλέποντες Καθηγητές: Η. Τζιαβός, Καθηγητής Α.Π.Θ. Γ. Βέργος, Λέκτορας Α.Π.Θ. Μεταπτυχιακή Εργασία Π.Μ.Σ.: Γεωπληροφορική Κατεύθυνση: Σύγχρονες Γεωδαιτικές Εφαρμογές Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Α.Π.Θ. Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Θεσσαλονίκη, 2011

2 Ευχαριστίες Ιδιαίτερες ευχαριστίες στους καθηγητές μου Τζιαβό Ηλία και Βέργο Γεώργιο για την καθοδήγηση και την υπομονή τους σε κάθε στάδιο της παρούσας εργασίας. 1

3 Πίνακας περιεχομένων Πρόλογος Περίληψη... 6 Abstract Εισαγωγή Στόχοι εργασίας Δομή εργασίας Συστήματα υψών στη Γεωδαισία Μέτρηση υψομέτρων Ορθομετρικά υψόμετρα (Helmert) Κανονικά Υψόμετρα (Molodensky) Ελλειψοειδή υψόμετρα Συνδυασμός ετερογενών υψομέτρων Δεδομένα Δεδομένα GPS Περιγραφή μετρήσεων Επεξεργασία δεδομένων Δεδομένα Χωροστάθμησης Υψόμετρα Γεωειδούς (μοντέλο γεωειδούς) Μοντέλα Συνόρθωσης Ντετερμινιστική θεώρηση και Στοχαστική θεώρηση Κοινή συνόρθωση υψομετρικών δικτύων Παραμετρικά μοντέλα Στατιστική αξιολόγηση μοντέλων συνόρθωσης Αριθμητικά Αποτελέσματα

4 5.1 Λογισμικό Κοινής συνόρθωσης Υψομέτρων Δεδομένα συνόρθωσης Οργανόγραμμα συνορθώσεων Κωδικοποίηση των Λύσεων Αποτελέσματα κοινής συνόρθωσης υψομέτρων με μοντέλα 4 και 5 παραμέτρων Στατιστικά Στοιχεία των ΔΝ Πρόγνωση ορθομετρικών υψομέτρων σε όλα τα σημεία δεδομένων Στατιστική Συμπεριφορά Σφαλμάτων Επιλογή της βέλτιστης λύσης και σφάλματα πρόγνωσης Σύγκριση των επιλύσεων βάσει των ΔΔΝ Επιλογή τελικής λύσης Συμπεράσματα Προτάσεις Βιβλιογραφία Παράρτημα

5 «Συνόρθωση Υψομετρικού δικτύου με δεδομένα GPS, χωροστάθμησης και βαρύτητας» 4

6 5

7 Πρόλογος Περίληψη Οι ραγδαίες εξελίξεις στο χώρο του δορυφορικού εντοπισμού θέσης κατέστησαν τις επίγειες μετρήσεις με συστήματα GNSS δυνατές σε πραγματικό χρόνο, πολύ γρήγορες και αποδοτικές, με ενιαία ακρίβεια της τάξης λίγων εκατοστών και κυρίως πολύ οικονομικότερες σε σχέση με τις κλασσικές μεθόδους τοπογραφίας. Οι μετρήσεις των συστημάτων GNSS εμπεριέχουν οριζοντιογραφική αλλά και υψομετρική πληροφορία, καθώς αναφέρονται στο τρισδιάστατο γεωκεντρικό σύστημα αναφοράς WGS84 (φ,λ,h / X,Y,Z). Ενώ η αναγωγή τους σε προβολικές συντεταγμένες είναι ορισμένη μέσω των προβολικών εξισώσεων με πολύ υψηλή ακρίβεια, η συσχέτιση των ελλειψοειδών υψομέτρων με τα ορθομετρικά, τα οποία παραδοσιακά χρησιμοποιούνται λόγω της φυσικής τους σημασίας, είναι μια διαδικασία άμεσα εξαρτημένη από τα υψόμετρα γεωειδούς σε κάθε σημείο μέτρησης αλλά και με πολλά προβλήματα, όπως συστηματικές διαφορές μεταξύ των επιφανειών αναφοράς διαφορετικών υψομέτρων κ.α. Στην παρούσα εργασία επιχειρείται ο προσδιορισμός του βέλτιστου στατιστικά γεωειδούς, μέσω διαδικασίας συνόρθωσης και με την εφαρμογή παραμετρικών μοντέλων, για μια ευρεία περιοχή της Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης με δεδομένα: μετρήσεων GPS (ελλειψοειδή ύψη) σε 28 βάθρα Γ.Υ.Σ., ορθομετρικών υψομέτρων (επίσημες τιμές Γ.Υ.Σ.) και παγκόσμιου και τοπικού μοντέλου γεωειδούς (αποχές γεωειδούς Ν). Το σύνολο των διαθέσιμων δεδομένων καθιστούν τη βασική σχέση των 3 πηγών υψομέτρων h = H+N υπερπροσδιορισμένη. 6

8 Abstract Rapid developments in satellite positioning made the ground measurements with GNSS systems possible in real time, very quick and efficient, with uniform accuracy of order a few cm and above all more cost effective than the traditional methods of surveying. Measurements of GNSS systems include horizontal and altitude information and refer in three-dimensional geocentric reference system WGS84 (φ, λ, h / X, Y, Z). While the transformation in planar coordinates are defined by the projection equations with very high precision, the correlation of the ellipsoidal heights with orthometric heights, which are traditionally used because of their physical significance, is a process directly dependent on the geoid heights at each measurement point but with many problems such as systematic differences between vertical datum surfaces, etc. This paper attempts to determine, in terms of statistics, the optimal geoid through least squares adjustment process and the implementation of parametric models for a wide area of Eastern Macedonia and Thrace with data consisting of GPS measurements (ellipsoidal heights) in 28 trigonometric benchmarks, orthometric heights (as given by THE HELLENIC MILITARY GEOGRAPH- ICAL SERVICE -HMGS) and global and local geoid models (geoid heights). The three sources of the available data make the basic relationship of heights h = H+N overdetermined. 7

9 1. Εισαγωγή 1.1. Στόχοι εργασίας Η παρούσα εργασία πραγματεύεται τη βελτιστοποίηση υψομέτρων τοπικού γεωειδούς, με τη χρήση ετερογενών πηγών δεδομένων. Οι συνήθεις μέθοδοι προσδιορισμού των υψομέτρων του γεωειδούς, όπως είναι η βαρυτημετρική μέθοδος και ο συνδυασμός μετρήσεων GPS και γεωμετρικής χωροστάθμησης, παρόλο που προσφέρουν μια ικανοποιητική λύση, εντούτοις, δεν μπορούν να απομακρύνουν τα σφάλματα που αναφέρονται στα μικρού και μεσαίου μήκους κύματα, καθώς και τα σφάλματα εκείνα που οφείλονται στις ιδιαιτερότητες κάθε μεθόδου. Έτσι, εξετάζεται μια συνδυαστική προσέγγιση των παραπάνω μεθόδων, προκειμένου να επωφεληθούμε από τα πλεονεκτήματα της κάθε μιας. Στην εργασία αυτή εφαρμόζονται γνωστά παραμετρικά μοντέλα (4 και 5 παραμέτρων) για την περιγραφή των συστηματικών σφαλμάτων και των αβεβαιοτήτων μεταξύ datum ή συστημάτων αναφοράς κατά το συνδυασμό ετερογενών υψομέτρων, μέσω μιας διαδικασίας κοινής συνόρθωσης υψομέτρων γεωειδούς που προκύπτουν από δεδομένα βαρύτητας (παγκόσμιο γεωδυναμικό μοντέλο ή/και τοπικό μοντέλο γεωειδούς) και υψομέτρων γεωειδούς που προκύπτουν από μετρήσεις GPS και γεωμετρικής χωροστάθμησης. Στόχος της εργασίας είναι αφενός η αξιολόγηση της εφαρμογής των παραπάνω παραμετρικών μοντέλων σε συνδυασμό με το EGM 08 αλλά και το τοπικό μοντέλο γεωειδούς και αφετέρου η δημιουργία ενός βελτιστοποιημένου τοπικού γεωειδούς για την ευρύτερη περιοχή της Θράκης με τέτοια ακρίβεια ώστε να μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε πλήθος εφαρμογών σχετιζόμενων με την υψομετρία, προσφέροντας μικρό κόστος εργασιών, ελάχιστο χρόνο μετρήσεων και αποτελέσματα ομοιογενούς ακρίβειας, απαλλαγμένα από ενδεχόμενα χονδροειδή ή/και συστηματικά σφάλματα των πηγών δεδομένων. 8

10 1.2. Δομή εργασίας Η παρούσα εργασία με τίτλο Συνόρθωση Υψομετρικού δικτύου με δεδομένα GPS, χωροστάθμησης και βαρύτητας αποτελείται από έξι κεφάλαια. Στο παρόν κεφάλαιο γίνεται μα συνοπτική επισκόπηση των στόχων της εργασίας και παρουσιάζεται η δομή της. Το δεύτερο κεφάλαιο αναφέρεται στα συστήματα υψών στη Γεωδαισία, ορθομετρικά και κανονικά υψόμετρα (Helmert και Molodensky), στα ελλειψοειδή υψόμετρα και στο συνδυασμό ετερογενών πηγών υψομέτρων. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται αναλυτικά η περιοχή μελέτης καθώς και τα δεδομένα από μετρήσεις βαρύτητας, GPS και γεωμετρικής χωροστάθμησης. Σε ότι αφορά τις μετρήσεις GPS περιγράφεται αναλυτικά η διαδικασία των μετρήσεων, τα στάδια και οι παράμετροι των επιλύσεων που έγινε με τη βοήθεια λογισμικών post-processing. Στο τέταρτο κεφάλαιο το οποίο έχει τίτλο «Μοντέλα Συνόρθωσης», παρουσιάζεται η μεθοδολογία με την οποία επιτυγχάνεται βελτιστοποίηση του γεωειδούς. Η προσέγγιση της κοινής συνόρθωσης διαφορετικού τύπου υψομέτρων είναι τόσο στοχαστική όσο και ντετερμινιστική. Αναλυτική παρουσίαση του μαθηματικού μοντέλου, των παραμετρικά μοντέλων που χρησιμοποιήθηκαν, της μαθηματικής μορφή του καθενός και των κριτηρίων με τα οποία γίνεται η αξιολόγηση τους. Στο πέμπτο κεφάλαιο γίνεται παρουσίαση των αριθμητικών αποτελεσμάτων και εκτενής σχολιασμός αυτών. Αρχικά περιγράφεται συνοπτικά το λογισμικό κοινής συνόρθωσης υψομέτρων σε περιβάλλον MATLAB, ακολουθούν τα δεδομένα συνόρθωσης με στατιστικά τους μεγέθη, παρουσιάζεται το οργανόγραμμα συνορθώσεων, καθώς και τα αποτελέσματα της κοινής συνόρθωσης υψομέτρων για όλα τα σημεία δεδομένων. Τέλος για την επιλογή της τελικής λύσης του γεωειδούς γίνεται πρόγνωση σε όλα τα σημεία δεομένων με διαδοχική αφαίρεσή τους και σύγκριση των επιλύσεων βάσει των διπλών διαφορών ΔΔΝ. Στο τελευταίο κεφάλαιο συμπυκνώνονται τα αριθμητικά αποτελέσματα και η ερμηνεία τους ως συμπεράσματα της παρούσας εργασίας, καθώς επίσης πρατίθενται προτάσεις προς μελλοντική αξιοποίηση. 9

11 2. Συστήματα υψών στη Γεωδαισία Ένα σύστημα υψομέτρων είναι ένα μονοδιάστατο σύστημα αναφοράς που χρησιμοποιείται για να εκφράσει τη μετρική απόσταση (ύψος) ενός σημείου από κάποια επιφάνεια αναφοράς. Συνεπώς ο καθορισμός των υψομέτρων ποικίλλει σύμφωνα με την επιφάνεια αναφοράς που επιλέγεται και ανάλογα με την προκαθορισμένη με συγκεκριμένο τρόπο πορεία κατά μήκος της οποίας μετριέται το υψόμετρο του εκάστοτε σημείου ενδιαφέροντος. Ένα υψομετρικό πλαίσιο αναφοράς (vertical datum) είναι η πρακτική υλοποίηση ενός συστήματος υψομέτρων και η επιφάνεια αναφοράς του για τους χρήστες, σχετίζεται συνήθως με τη μέση στάθμη της θάλασσας (ΜΣΘ). Στην Ελλάδα, χρησιμοποιείται το σύστημα των ορθομετρικών υψομέτρων, το οποίο ενσωματώνεται στο ελληνικό υψομετρικό πλαίσιο αναφοράς, το Εθνικό Κατακόρυφο Σύστημα Αναφοράς (ΕΚΣΑ), το οποίο έχει υλοποιηθεί από τη συνόρθωση ενός εκτεταμένου δικτύου χωροσταθμικών οδεύσεων εξαρτημένων από επιλεγμένα σημεία μέτρησης της μέσης στάθμης της θάλασσας σε συγκεκριμένους παλιρροιογράφους, όπως στον Πειραιά, Αλεξανδρούπολη, Πρέβεζα, κ.ά. Χαρακτηριστικό του εν λόγω χωροσταθμικού δικτύου είναι ότι έχει μετρηθεί τμηματικά (π. χ. στον ηπειρωτικό χώρο και την Κρήτη) από το 1963 έως το 1977, γεγονός που υποδηλώνει ότι πέρα από τα σφάλματα των παλιρροιακών δεδομένων που επηρεάζουν τον υπολογισμό της Μέσης Στάθμης της Θάλασσας και των σφαλμάτων των γεωμετρικών χωροσταθμήσεων, στα ορθομετρικά υψόμετρα που βασίζονται στο ΕΚΣΑ υπεισέρχονται και σφάλματα που προέρχονται από τις τεκτονικές μετακινήσεις του ελλαδικού χώρου, οι οποίες από γεωδαιτικές, γεωφυσικές και γεωλογικές έρευνες υπολογίζονται σε 2-5 cm/year ανάλογα με την περιοχή. Ενώ ο καθορισμός του υψομέτρου ενός σημείου είναι φαινομενικά α- πλός, το ύψος ενός σημείου μπορεί να καθοριστεί με σημαντικά διαφορετικούς τρόπους, κάθε ένας από τους οποίους δίνει μια διαφορετική συντεταγμένη ύψους για το ίδιο σημείο. Για το λόγο αυτό, ο καθορισμός και η χρήση του ό- ρου "υψόμετρο" χρειάζεται να γίνεται πάντα με ιδιαίτερη προσοχή. Ουσιαστικά, υπάρχουν δύο κατηγορίες υψομέτρων: (α) εκείνα που αγνοούν το πεδίο βαρύτητας της Γης και την επίδραση του στα καθορισμένα υψόμετρα και χρησιμοποιούν ευθείες γεωμετρικές πορείες για τον καθορισμό της απόστασης του εκάστοτε σημείου ενδιαφέροντος από την επιφάνεια αναφοράς, και 10

12 (β) εκείνα που συνδέουν τον ορισμό των υψομέτρων με τις ισοδυναμικές επιφάνειες του γήινου πεδίου βαρύτητας και την διεύθυνση της κατακορύφου στα διάφορα σημεία της γήινης επιφάνειας και συνεπώς χρησιμοποιούν κυρτές πορείες για τον καθορισμό της απόστασης του εκάστοτε σημείου από την επιφάνεια αναφοράς. Τα υψόμετρα που ανήκουν στην παραπάνω δεύτερη κατηγορία έχουν πρακτικότερη χρήση και επιπλέον έχουν φυσική υπόσταση. Για παράδειγμα, οι διαφορές ύψους χρησιμοποιούνται για τις ανάγκες της εφαρμοσμένης μηχανικής και των τεχνικών έργων προκειμένου να καθοριστεί η ροή των ρευστών, π.χ., ένα σύστημα απορροής όμβριων υδάτων, όπου το νερό αναμένεται να ρέει από ένα υψηλότερο σημείο σε ένα χαμηλότερου ύψους. Εντούτοις, αυτό που πραγματικά επηρεάζει τη φυσική ροή των υδάτων είναι η δύναμη της βαρύτητας και όχι το ύψος του ενός ή του άλλου σημείου. Επομένως, η επιλογή ενός συστήματος υψομέτρων που παραμελεί την επίδραση της βαρύτητας, ή δεν την χρησιμοποιεί με αυστηρό τρόπο, επιτρέπει τη δυνατότητα των ρευστών να εμφανίζονται ως να ρέουν π. χ. "προς τα πάνω" στην πλαγιά ενός λόφου. Σαφώς, η έννοια ενός τέτοιου συστήματος πηγαίνει ενάντια στην κοινή διαίσθηση, υποδεικνύοντας κατά συνέπεια ότι μόνο τα υψόμετρα που σχετίζονται με κατάλληλο τρόπο με το γήινο πεδίο βαρύτητας έχουν φυσική σημασία και είναι φυσικά σημαντικά για τις περισσότερες (αλλά όχι όλες) τις πρακτικές εφαρμογές. Τα τελευταία χρόνια, υπάρχει μια τάση, λόγω του GPS και εν γένει των δορυφορικών συστημάτων εντοπισμού, να χρησιμοποιούνται καθαρώς συστήματα γεωμετρικών υψομέτρων (πάνω από το ελλειψοειδές), τα οποία παραμελούν την επίδραση της βαρύτητας. Προφανώς, τα εν λόγω υψόμετρα είναι α- κατάλληλα για οποιαδήποτε εφαρμογή που λαμβάνει υπόψη τη ροή των ρευστών καθ' οποιονδήποτε τρόπο. Εντούτοις, υπάρχουν περιπτώσεις όπου η χρήση γεωμετρικών υψομέτρων μπορεί να ικανοποιεί συγκεκριμένες εφαρμογές, όπως για παράδειγμα τη χρήση αερομεταφερόμενων συστημάτων χαρτογράφησης (π.χ. ψηφιακές κάμερες, LIDAR, βαρυτημετρικά βαθμιδόμετρα κ.ά.). Ω- στόσο, σε τέτοιες περιπτώσεις, η τυχόν ανεξέλεγκτη χρήση γεωμετρικών υψομέτρων αυξάνει την πιθανότητα της ασυμβατότητας με άλλα δεδομένα, τα ο- ποία ενσωματώνουν άλλους τύπους υψομέτρων. 11

13 2.1 Μέτρηση υψομέτρων Ιστορικά, η συνηθέστερα χρησιμοποιημένη τεχνική για τον πρακτικό προσδιορισμό των υψομέτρων είναι η γεωμετρική χωροστάθμηση. Αυτή η τεχνική επιτρέπει τη μέτρηση της (γεωμετρικής) διαφοράς του ύψους μεταξύ δύο σημείων, όπου η επιφάνεια αναφοράς είναι ο τοπικός ορίζοντας που καθορίζεται από την οριζοντίωση των τοπογραφικών οργάνων (χωροβάτες) που χρησιμοποιούνται για αυτό το σκοπό. Πρακτικά, οι εργασίες γεωμετρικής χωροστάθμησης επιτρέπουν τον προσδιορισμό υψομετρικών διαφορών με ακρίβεια της τάξης λίγων mm ανά km. Οι φυσικές μεταβολές της βαρύτητας εξαιτίας της ανισοκατανομής των γήινων μαζών και των μεταβολών των πυκνοτήτων προκαλούν μια ομαλή, συνεχή, καμπυλότητα (κυρτότητα) στη διεύθυνση της κατακορύφου από σημείο σε σημείο και επομένως οι φυσικές ισοδυναμικές επιφάνειες που είναι κάθετες στη διεύθυνση της πραγματικής βαρύτητας δεν είναι γεωμετρικά παράλληλες μεταξύ τους. Συνεπώς κατά τη διαδικασία που ακολουθείται στο πεδίο, τόσο οι σταδίες όσο και οι χωροβάτες που χρησιμοποιούνται ευθυγραμμίζονται με την κατεύθυνση της τοπικής κατακορύφου (συγκεκριμένα, το διάνυσμα της βαρύτητας) σε κάθε σημείο μιας μέτρησης. Στο Σχ θεωρούμε τα σημεία μιας χωροστάθμησης. Διαπιστώνοντας ότι το πεδίο βαρύτητας της Γης εκφράζεται με τις γενικά μη-παράλληλες ισοδυναμικές επιφάνειες, γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι το άθροισμα των παρατηρούμενων χωροσταθμικών διαφορών δl μεταξύ γειτονικών σημείων της φυσικής επιφάνειας δεν είναι ίσο με το άθροισμα των υψομετρικών διαφορών δh των ισοδυναμικών επιφανειών μεταξύ των σημείων, δηλαδή: Εξαιτίας της μη παραλληλίας των ισοδυναμικών ε- πιφανειών που διέρχονται από αυτά. Εικόνα 2.1 Η αρχή μιας γεωμετρικής χωροστάθμησης Αντικαθιστώντας τις διαφορές δl με διαφορικά dl προκύπτει η σχέση: (2.1) 12

14 Δηλαδή διαφορετικές χωροσταθμικές οδεύσεις που συνδέουν τα ίδια σημεία ενδιαφέροντος δίνουν διαφορετικές χωροσταθμικές διαφορές ΣδL. Η πραγματική σχέση μεταξύ των χωροσταθμικών διαφορών δl αι των αντίστοιχων υψομετρικών διαφορών δh μεταξύ δυο σημείων μπορεί να εκφραστεί μόνο διαμέσου της βαρύτητας από τη σχέση μεταβολής του γήινου δυναμικού ως προς το ύψος τυχαίου σημείου Ρ: (2.2) Θεωρώντας τις διαφορές δυναμικού μεταξύ οποιωνδήποτε σημείων Α και Β σε προκύπτει: Ή γενικότερα: (2.3) (2.4) Συνεπώς επειδή από κάθε σημείο του χώρου διέρχεται μια και μόνο ι- σοδυναμική επιφάνεια, υπάρχει μια και μόνο τιμή του γήινου δυναμικού W που σχετίζεται με το εν λόγω σημείο. Έτσι το δυναμικό του πεδίου βαρύτητας επιτρέπει να καθοριστεί με μοναδικό τρόπο το υψόμετρο οποιουδήποτε σημείου στη γήινη επιφάνεια. 2.2 Ορθομετρικά υψόμετρα (Helmert) Πιο κατανοητή εξαιτίας της άμεσης φυσικής σημασίας είναι η γεωμετρική έννοια των υψομέτρων, όπως αυτή εκφράζεται από τα λεγόμενα ορθομετρικά υψόμετρα (orthometric heights). Το ορθομετρικό υψόμετρο ενός σημείου P είναι η γεωμετρική απόσταση από την επιφάνεια αναφοράς του γεωειδούς μέχρι το σημείο ενδιαφέροντος στην γήινη επιφάνεια, η οποία μετράται κατά μήκος της διεύθυνσης της κατακορύφου του σημείου (δηλαδή, Po' g'k- 1 g'k Pi, σε κάθε σημείο της οποίας είναι κάθετες οι διερχόμενες ισοδυναμικές επιφάνειες του γήινου πεδίου βαρύτητας μεταξύ του γεωειδούς και του σημείου ενδιαφέροντος. Εξ ορισμού, συνεπάγεται ότι, και για τα ορθομετρικά υψόμετρα, η επιφάνεια αναφοράς τους είναι το γεωειδές και συνεπώς τα ορθομετρικά υψόμετρα μπορούν να θεωρηθούν ως οι "πραγματικές" κατακόρυφες αποκλίσεις της γήινης επιφάνειας από το γεωειδές. 13

15 Εικόνα 2.2 Ορθομετρικά υψόμετρα Από τη σχέση 2.4 προκύπτει ότι ή ισοδύναμα ότι το ορθομετρικό υψόμετρο του σημείου ενδιαφέροντος P i δίνεται από τη σχέση: (2.5),όπου g =g (W) είναι η άγνωστη πραγματική τιμή της βαρύτητας στα σημεία κατά μήκος της κατακορύφου του σημείου Pi. Εφαρμόζοντας το θεώρημα της μέσης τιμής προκύπτει ότι: (2.6),όπου είναι μια μέση τιμή της βαρύτητας κατά μήκος της δ/νσης της κατακορύφου που διέρχεται από το σημείο ενδιαφέροντος στη γήινη επιφάνεια. Θεωρητικά η τιμή δεν μπορεί να υπολογιστεί αφού κάτι τέτοιο προϋποθέτει γνώση της κατανομής των μαζών στο εσωτερικό της Γης καθώς και την πυκνότητά της. Για το λόγο αυτό είναι προφανές ότι η σχέση (2.6) οδηγεί σε διαφορετικούς ορισμούς του ορθομετρικού υψομέτρου ανάλογα με την εκάστοτε υπό- 14

16 θεση που γίνεται σε σχέση με τη μεταβολή της βαρύτητας κατά μήκος της διεύθυνσης της κατακορύφου για να υπολογιστεί η τιμή. Στην πράξη, ορθομετρικά υψόμετρα δίνονται σε γνωστά σημεία χωροσταθμικών αφετηριών, από τα οποία μεταφέρονται σε άλλα άγνωστα σημεία με τη βοήθεια διαδικασιών γεωμετρικής χωροστάθμησης όταν απαιτούνται για υψηλές ακρίβειες ή με τη βοήθεια τριγωνομετρικής χωροστάθμησης για τις λιγότερο απαιτητικές εφαρμογές. Τα ορθομετρικά υψόμετρα που υπολογίζονται με αυτό τον τρόπο απεικονίζουν τις τοπικές παραλλαγές της βαρύτητας καθώς επίσης και τις κλίσεις του τοπογραφικού αναγλύφου της γήινης επιφάνειας. 2.3 Κανονικά Υψόμετρα (Molodensky) Σε πολλές χώρες, αντί των ορθομετρικών υψομέτρων χρησιμοποιούνται τα λεγόμενα κανονικά υψόμετρα (normal heights), που σχετίζονται με δύο ε- ναλλακτικές επιφάνειες αναφοράς, το τελλουροειδές (telluroid) και το "σχεδόν" γεωειδές (quasi-geoid). Εικόνα 2.3 Τύποι υψομέτρων ΡΡ0=Ορθομετρικό υψόμετρο Η P0Q0' Pο'Qo=Υψόμετρο γεωειδούς Ν PQo ΡQo'=Γεωμετρικό υψόμετρο h 15

17 PQ = P'Qo=Ανωμαλία ύψους ζ QQo = ΡΡ= Κανονικό υψόμετρο Η* Η ιδιότητα των ορθομετρικών υψομέτρων να μην μπορούν να υπολογιστούν με μοναδικό τρόπο δημιούργησαν την ανάγκη για τη χρήση των κανονικών υψομέτρων (προτάθηκαν από τον Molodensky) τα οποία δεν εκφράζουν την απόσταση των σημείων ενδιαφέροντος στη γήινη επιφάνεια από το γεωειδές αλλά σχετίζονται με το τελλουροειδές και το σχεδόν γεωειδές και δεν εξαρτώνται από οποιαδήποτε υπόθεση αναφορικά με τις μεταβολές πυκνότητας στο εσωτερικό της Γης. Το σχεδόν γεωειδές είναι μια καθαρά μαθηματική επιφάνεια χωρίς φυσική σημασία που απέχει από το γεωειδές μερικά μέτρα το μέγιστο και συμπίπτει με αυτό στη θαλάσσια επιφάνεια. Όπως φαίνεται στο σχ. 2.3 η απόσταση PQ ή ισοδύναμα η απόσταση P Q 0 εκφράζουν την απόσταση του σχεδόν γεωειδούς από το ελλειψοειδές (ανωμαλία ύψους του γεωειδούς geoid height anomaly ή το υψόμετρο του σχεδόν γεωειδούς quasi geoid height) ζ. Αντίστοιχα η απόσταση PP εκφράζει την απόσταση του σχεδόν γεωειδούς από τη φυσική επιφάνεια ή ισοδύναμα η απόσταση QQ 0 εκφράζει την απόσταση του τελλουροειδούς από το ελλειψοειδές και η καθεμία απόσταση αποκαλείται κανονικό υψόμετρο (normal height) και συμβολίζεται συνήθως ως Η *. Το κανονικό υψόμετρο ενός οποιουδήποτε σημείου P στη γήινη επιφάνεια μπορεί να θεωρηθεί ως μια καλή προσέγγιση του αντίστοιχου ορθομετρικού υψομέτρου του σημείου και καθορίζεται από τη σχέση (2.7),όπου είναι η τιμή της κανονικής βαρύτητας κατά μήκος της καθέτου στο ελλειψοειδές που διέρχεται από το σημείο Ρ, η οποία υπολογίζεται με μια «προς τα πάνω επέκταση» της κανονικής βαρύτητας από το χωροσταθμικό ελλειψοειδές (δηλαδή από το σημείο Q 0, όπου U=U(Q 0 )=W 0 ) μέχρι το σημείοq στο τελλουροειδές (όπου U(Q)=W(P)). Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιείται η βαθμίδα της κανονικής βαρύτητας (2.8),όπου οι παράμετροι a,m,f σχετίζονται με το χρησιμοποιούμενο χωροσταθμικό ελλειψοειδές και φ είναι το γεωδαιτικό πλάτος του σημείου Ρ. Από τον 16

18 ορισμό των κανονικών υψομέτρων συνάγεται ότι αφού η μέση κανονική βαρύτητα καθορίζεται μοναδικά για κάθε σημείο, τα κανονικά υψόμετρα βασισμένα σε μετρήσεις της πραγματικής βαρύτητας καθορίζουν τα υψόμετρα των σημείων ενδιαφεροντος με μοναδικό τρόπο. Επιπλέον διαπιστώνοντας ότι η μέση κανονική βαρύτητα μεταβάλλεται μόνο ως συνάρτηση του γεωγραφικού πλάτους και του υψομέτρου του σημείου ενδιαφέροντος, συμπεραίνουμε ότι σημεία στην ίδια ισοδυναμική επιφάνεια και στο ίδιο γεωγραφικό πλάτος θα έχουν ίδια κανονικά υψόμετρα, κάτι που δε συμβαίνει κατά κανόνα με τα ορθομετρικά υψόμετρα. 2.4 Ελλειψοειδή υψόμετρα Οι συνεχείς πρόοδοι της τεχνολογίας GPS, ιδιαίτερα οι βελτιώσεις που επιτελέστηλαν τις τελευταίες δύο δεκαετίες, καθιστούν σήμερα δυνατή τη μέτρηση από τους δορυφόρους GPS, με μεγάλη ακρίβεια, των διαφορών των υ- ψομέτρων από το ελλειψοειδές (γεωμετρικά υψόμετρα) μεταξύ σημείων στην γήινη επιφάνεια. Το υψόμετρο ενός σημείου πάνω από το ελλειψοειδές υπολογίζεται με βάση την απόσταση που μετριέται κατά μήκος της διεύθυνσης του διανύσματος της κανονικής βαρύτητας (δηλαδή της καθέτου στο ελλειψοειδές), από επιφάνεια του ελλειψοειδούς αναφοράς μέχρι το συγκεκριμένο σημείο, βλ. Σχ Ως ελλειψοειδές αναφοράς χρησιμοποιείται συνήθως το ελλειψοειδές του γεωκεντρικού συστήματος WGS84 (World Geodetic System 1984) στο οποίο αναφέρονται οι μετρήσεις του συστήματος GPS και οι τροχιακές εφημερίδες με τις οποίες γίνονται οι αναγωγές τους. Η υλοποίηση και η πρακτική ακρίβεια του WGS84 ως κατακόρυφο πλαίσιο αναφοράς για τη συλλογή υψομετρικών δεδομένων εξαρτάται από τις τιμές των γεωμετρικών υψομέτρων που έχουν ορισθεί σε υψομετρικά σημεία ελέγχου (vertical benchmarks) ή σε άλλα φυσικά καθορισμένα σημεία αναφοράς ή μόνιμους σταθμούς GPS (βλ. Σχ. 2.4). 17

19 Εικόνα Έλεγχος των συστημάτων υψομέτρων μέσω GPS σε υψομετρικά ρεπέρ, παλιρροιογράφους και γεωδαιτικά βάθρα ή μόνιμους σταθμούς Στο κανονικό πεδίο βαρύτητας, το ελλειψοειδές υψόμετρο μπορεί να προκύψει ως διαφορά ανάμεσα στις τιμές του κανονικού δυναμικού στο ελλειψοειδές και στο σημείο Ρ: (2.9) Γεωμετρικά υψόμετρα από το GPS βρίσκουν πολλές εφαρμογές, εντούτοις, πολλές περισσότερες εφαρμογές απαιτούν υψόμετρα, όπως τα ορθομετρικά, που συσχετίζονται σε παγκόσμια κλίμακα με μια φυσική επιφάνεια όπως το γεωειδές, ή σε τοπικό επίπεδο με μια επιφάνεια βασισμένη στην τοπικά παρατηρηθείσα ΜΣΘ. Συνεπώς, μια από τις βασικές επιδιώξεις της μοντέρνας γεωδαισίας εστιάζει στην διαμόρφωση διαδικασιών βελτιστοποίησης των υψομέτρων ενός τοπικού γεωειδούς, βασισμένων στην ποιότητα, το πλήθος και την κατανομή των μετρήσεων βαρύτητας, των υψομέτρων από το GPS και γεωμετρικές χωροσταθμήσεις και, στον συνδυασμό των βασικών τύπων υψομέτρων που χρησιμοποιούνται στη Γεωδαισία: το ορθομετρικό Η, το γεωμετρικό h και το υψόμετρο του γεωειδούς N, όπως και την ανωμαλία ύψους ζ και το κανονικό υψόμετρο Η*, όπως αυτά απεικονίζονται στο Σχήμα

20 2.5 Συνδυασμός ετερογενών υψομέτρων Όπως έχει ήδη τονιστεί, το γεωειδές έχει φυσική σημασία ως κατάλληλη επιφάνεια από την οποία μπορούν να υπολογιστούν τα υψόμετρα σημείων ε- πειδή στην επιφάνεια του επιτελείται η φυσική ροή του νερού. Επιπλέον, καθώς η επιφάνεια του γεωειδούς αποτελεί τη συνοριακή επιφάνεια για την αναγωγή των μετρήσεων που πραγματοποιούνται πάνω και έξω από την γήινη ε- πιφάνεια, είναι εμφανής η σπουδαιότητα που έχει τόσο σε εφαρμογές παγκόσμιας όσο και σε εφαρμογές τοπικής κλίμακας. Τα υψόμετρα ή οι αποχές του γεωειδούς αντιπροσωπεύουν την απόσταση μεταξύ της επιφάνειας του ελλειψοειδούς και της επιφάνειας του γεωειδούς. Για τα συστήματα υψομέτρων που υλοποιούνται μέσω του γεωειδούς (π.χ. υψόμετρα από το γεωειδές ή το σχεδόν-γεωειδές), μέσω γεωμετρικών χωροσταθμήσεων (ορθομετρικά υψόμετρα) και μέσω του GPS (γεωμετρικά υψόμετρα), ισχύει γενικά η γεωμετρία που απεικονίζεται στο Σχ. 2.3., ενώ είναι απαραίτητο να τονιστούν μερικά βασικά πρακτικά σημεία που χρήζουν ιδιαίτερης προσοχής. Τα υψόμετρα του γεωειδούς υπολογίζονται σε σχέση με το κανονικό χωροσταθμικό ελλειψοειδές GRS80, το οποίο σε αντίθεση με το ελλειψοειδές αναφοράς του WGS84, δεν είναι αυστηρά γεωκεντρικό (κατά περίπου 0.53 cm), γεγονός που μπορεί να δημιουργήσει προβλήματα (π.χ. σημαντικά σφάλματα) όταν μετατρέπει κανείς γεωμετρικά υψόμετρα σε ορθομετρικά υψόμετρα με τη βοήθεια κάποιου κατάλληλου μοντέλου του γεωειδούς βασισμένου σε ένα γεωδαιτικό σύστημα αναφοράς όπως το GRS80 (Geodetic Reference System 1980). Τα υψόμετρα του γεωειδούς Ν, μετρούνται κατά μήκος της καθέτου στο ελλειψοειδές που διέρχεται από το εκάστοτε σημείο ενδιαφέροντος και συνδέονται με το αντίστοιχο ορθομετρικό Η και το γεωμετρικό υψόμετρο h του σημείου με τη θεμελιώδη σχέση h = N + H N = h - H H = h N (2.10) Στην πράξη, η σχέση (2.10) δεν ικανοποιείται απόλυτα ποτέ εξ αιτίας των εξής λόγων: 1. Την ύπαρξη τυχαίων σφαλμάτων (θορύβου) στις παρατηρήσεις/τιμές των h, H και N. 2. Ασυμβατότητες των επιφανειών (datum) αναφοράς καθενός από τα υψομετρικά συστήματα και άλλες πιθανές συστηματικές διαστρεβλώσεις στα δεδομένα από κάθε πηγή υψομέτρων (π.χ. συστηματικά 19

21 σφάλματα στα μεγάλα μήκη κύματος στα υψόμετρα του γεωειδούς, συστηματικές διαφορές υψών εξ αιτίας τυχόν λανθασμένων δεσμευτικών συνθηκών στην συνόρθωση των υψομετρικών χωροσταθμικών δικτύων, διαφορές μεταξύ της επιφάνειας του γεωειδούς και της ε- πιφάνειας αναφοράς των χωροσταθμικών δικτύων (τοπική ΜΣΘ), κ. ά.) 3. Διάφορες γεωδυναμικές επιδράσεις (π.χ. αναπήδηση του γήινου φλοιού εξ αιτίας του λιώσιμου των παγετώνων (post glacial rebound), καθίζηση του εδάφους, παραμόρφωση των τεκτονικών πλακών, άνοδος της στάθμης των θαλασσών εξ αιτίας των κλιματικών αλλαγών, αστάθειες των βάθρων αναφοράς των σημείων), κ.ά. 4. Τις θεωρητικές προσεγγίσεις και σφάλματα που υπεισέρχονται στον υπολογισμό είτε των H (π.χ. από προσεγγιστικά μοντέλα της κανονικής βαρύτητα, επιδράσεις της θαλάσσιας τοπογραφίας (Sea Surface Topography, SST) στους παλιρροιογράφους κ. ά., είτε των N (π.χ. εξ αιτίας της υπολογιστικής διαδικασίας υπολογισμού του γεωειδούς (βάσει του ολοκληρώματος του Stokes, FFT) και των συναφών με αυτές διορθώσεων και αναγωγών των δεδομένων (π.χ. ανωμαλιών βαρύτητας, λόγω της επίδρασης του αναγλύφου, κ.ά.) Σε πολλές περιπτώσεις, αντί των απόλυτων υψομέτρων που εκφράζει η σχέση (2.7), επιζητούνται και χρησιμοποιούνται αντίστοιχα σχετικά υψόμετρα σύμφωνα με τη σχέση Δh=ΔΝ+ΔΗ ΔΝ=Δh-ΔΗ ΔΗ=Δh-ΔΝ (2.11) Από τις σχέσεις (2.10) και (2.11) είναι προφανές ότι εάν είναι γνωστά τα δύο από τα τρία υψόμετρα (ή οι σχετικές διαφορές τους), τότε προκύπτει εύκολα το τρίτο υψόμετρο (ή η αντίστοιχη σχετική διαφορά του από τις σχετικές διαφορές των άλλων δύο). Ωστόσο στην πράξη, ο εν λόγω συνδυασμός δύο από τους παραπάνω τύπους υψομέτρων προκειμένου να υπολογιστούν υψόμετρα του τρίτου τύπου έχει τα δικά του πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα, τα οποία πρέπει να εξετάζονται κατά περίπτωση και να λαμβάνονται υπόψη (π.χ. η αναγκαία πυκνότητα των απαραίτητων γεωμετρικών υψομέτρων από το GPS και το αντίστοιχο κόστος που συνεπάγεται κάτι τέτοιο), σε συνδυασμό με τις εκάστοτε συγκεκριμένες υπολογιστικές παραμέτρους και την επιδιωκόμενη ακρίβεια. 20

22 Η γεωμετρία μεταξύ των κλασσικών επιφανειών του ελλειψοειδούς και του γεωειδούς, και των εναλλακτικών επιφανειών του τελλουροειδούς και του σχεδόν γεωειδούς δίνεται από τις ακόλουθες σχέσεις h = H *+ζ (2.12) Η + Ν = Η*+ζ (2.13) Τα υψόμετρα του σχεδόν γεωειδούς ή οι ανωμαλίες ύψους του γεωειδούς και τα κανονικά υψόμετρα, σε αντίθεση με τα υψόμετρα του γεωειδούς και τα ορθομετρικά υψόμετρα, μπορούν να καθοριστούν επακριβώς χωρίς γνώση της κατανομής της πυκνότητας των τοπογραφικών μαζών. Το γεγονός αυτό τα καθιστά ιδιαίτερα ελκυστικά, σε σχέση με τα ορθομετρικά υψόμετρα, των οποίων οι περισσότερες πρακτικές υλοποιήσεις, π.χ. μέσω της προβολής κατά Helmert, βασίζονται σε πολύ γενικευμένες προσεγγίσεις της τοπογραφίας. Αυτός είναι και ο λόγος που πολλά περιφερειακά και εθνικά συστήματα αναφοράς των υψομέτρων καθορίζονται σήμερα βάσει των κανονικών υψομέτρων. Εντούτοις, το γεωειδές, που είναι μια ισοδυναμική επιφάνεια του γήινου πεδίου βαρύτητας, διατηρεί ακόμα το μεγαλύτερο ενδιαφέρον, π.χ., ως η φυσική επιλογή του μηδενικού επιπέδου αναφοράς για τον καθορισμό των φυσικής σημασίας ορθομετρικών υψομέτρων. Πρακτικού ενδιαφέροντος είναι επίσης η μικρή διόρθωση dh = H H * από το κανονικό υψόμετρο στο ακριβές ορθομετρικό υψόμετρο, όπου H' = H(1 κ) είναι η προβολή του ορθομετρικού υψομέτρου H στην κάθετο στο ελλειψοειδές διαμέσου του σημείου ενδιαφέροντος στη γήινη επιφάνεια. Ο μικρός όρος κ αντισταθμίζει την καμπυλότητα (κυρτότητα) της κατακορύφου και εάν θεωρήσουμε την ακραία περίπτωση που η κατακόρυφος είναι ένα κυκλικό τμήμα μεταξύ του γεωειδούς και της επιφάνειας, τότε κ ίσο περίπου με θ 2 /3, όπου θ είναι η απόκλιση της κατακορύφου στην επιφάνεια. Επειδή, το θ μπορεί να φτάσει τα 2" (arcsec), προκύπτει ότι η διόρθωση καμπυλότητας για το υψόμετρο Η δεν υπερβαίνει τα 1.5 mm για ο- ποιαδήποτε σημείο στην επιφάνεια της Γης, και συνεπώς μπορούμε θα παραμελήσουμε αυτήν την επίδραση, οπότε και προκύπτει ότι dh είναι ακριβώς το αρνητικό της διόρθωσης από την ανωμαλία ύψους στο υψόμετρο του γεωειδούς. Η διόρθωση αυτή προσεγγίζεται συχνά ως η απλή ανωμαλία Bouguer πολλαπλασιασμένη με το τοπογραφικό ύψος που διαιρείται με την κανονική βαρύτητα. 21

23 3. Δεδομένα 3.1 Δεδομένα GPS Περιγραφή μετρήσεων Για την πραγματοποίηση των μετρήσεων GPS έγινε σχεδιασμός στο γραφείο ο οποίος είχε δύο σκέλη. Το ένα σκέλος είχε σχέση με την επιλογή των κατάλληλων σημείων προς μέτρηση και το άλλο σκέλος με τα όργανα και τη μέθοδο μέτρησης που θα ακολουθούνταν. Όσον αφορά στα σημεία, η επιλογή τους έγινε έτσι ώστε η περιοχή δεδομένων να καλύπτει την επιφάνεια ενδιαφέροντος και τα σημεία να είναι όσο το δυνατόν καλύτερα κατανεμημένα. Πρέπει να αναφερθεί ότι σε ότι αφορά την κάλυψη της περιοχής και την αντιμετώπιση τυχόν προβλημάτων εύρεσης όλων των τριγωνομετρικών υπήρξαν συμπληρωματικά τριγωνομετρικά σημεία Γ.Υ.Σ. πλησίον των αρχικών σημείων μετρήσεων καθώς το δίκτυο είναι πολύ παλιό, δεν υπόκειται σε συντήρηση και είναι δυνατόν κάποια τριγωνομετρικά να καταστράφηκαν έως και ολοσχερώς με την πάροδο των χρόνων. Όσον αφορά στα όργανα, χρησιμοποιήθηκαν δύο δέκτες GPS, με μεταλλική βάση κέντρωσης. Η εύρεση στο πεδίο των σημείων έγινε με τη χρήση του δέκτη χειρός μετά από την προετοιμασία του στο γραφείο. Με την εύρεση κάθε σημείου έγινε έλεγχος ούτος ώστε να υπάρχει ανοικτός ορίζοντας για να λαμβάνει όσο το δυνατό μεγαλύτερο αριθμό δορυφόρων ο δέκτης και για να μην υπάρχουν κεραίες που θα μπορούσαν να επηρεάσουν τη διαδικασία των μετρήσεων. Ο αριθμός των σημείων είναι 28 και όλα ανήκουν στο δίκτυο της Γεωγραφικής Υπηρεσίας Στρατού. Τα σημεία αυτά αποτελούν τα σημεία ελέγχου και η κατανομή τους στην περιοχή είναι τέτοια ώστε το γεωειδές που προκύπτει από τα γεωμετρικά και ορθομετρικά υψόμετρα που είναι διαθέσιμα να εκφράζει την περιοχή μελέτης. Η θέση των σημείων ελέγχου είναι πάνω σε τσιμεντένια βάθρα. Η διαδικασία των μετρήσεων ολοκληρώθηκε σε 2 ημέρες και οι καιρικές συνθήκες που επικρατούσαν ήταν ευνοϊκές. Οι μετρήσεις έγιναν με την μέθοδο του σχετικού στατικού προσδιορισμού. Για την εφαρμογή της μεθόδου απαιτείται ζεύγος δεκτών οι οποίοι μετρούν ταυτόχρονα σε αντίστοιχα σημεία έτσι ώστε χρησιμοποιώντας κατάλληλα τις παρατηρήσεις να προσδιοριστεί το διάνυσμα μεταξύ των σημείων. Στην συγκεκριμένη περίπτωση χρησιμοποιήθηκαν οι μόνιμοι σταθμοί AUT1 (σταθμός δικτύου EUREF) και DUTH σε συνδυασμό με 2 rover δέκτες. Οι δέκτες τοποθετήθηκαν πάνω στα 28 βάθρα της ΓΥΣ και η κέντρωση τους έγινε με τη βοήθεια ειδικής 22

24 μεταλλικής βάσης εξαναγκασμένης κέντρωσης. Ο τύπος τους ήταν Leica 520 και μετρούσε σε δύο συχνότητες στην L1 και στην L2. Ο χρόνος παραμονής σε κάθε σημείο ήταν περίπου 30 λεπτά και ο ρυθμός καταγραφής στους δέκτες 1 δευτερόλεπτο και στους σταθμούς αναφοράς 15 sec. Επιπλέον για την αξιοποίηση όλων των ορατών δορυφόρων σαν γωνία αποκοπής ορίστηκε η τιμή των 5 ο. Εικόνα 3.1 Απεικόνιση των μετρηθέντων τριγωνομετρικών ΓΥΣ από δορυφορική εικόνα 23

25 3.2.2 Επεξεργασία δεδομένων Οι συντ/νες των 2 σταθμών (AUT1 και DUTH) είναι διαθέσιμες στο πλαίσιο αναφοράς ITRF 2005 από τις επίσημες τιμές EUREF, με γνωστό μοντέλο ταχυτήτων μόνο για τον AUT1 ωστόσο πρέπει να υπολογιστούν στη εποχή μετρήσεών μας στο ίδιο πλαίσιο αναφοράς. Ημερομηνίες Μετρήσεων: Ιουνίου 2010 GPS Calendar: Η 10η Ιουνίου 2010 είναι η 161η από τις 365 μέρες του 2010 και η εποχή των μετρήσεων μας είναι: 2010+(161/365)= συνεπώς: εποχή μετρήσεων στο πλαίσιο αναφοράς ITRF05 Συντεταγμένες Βασικού σταθμού αναφοράς AUT1 rdinates4onestation.php?station=aut1 1 η επίλυση AUT1 για ITRF05 (ΕΠΟΧΗ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ) δηλαδή ITRF05 epoch Πίνακας 3.1 Συντεταγμένες του AUT1 στο ITRF05 με ταχύτητες (European Permanent Network) Παρακάτω εξηγείται γιατί έχουμε 2 επιλύσεις για την 1 η ημέρα του έτους Δεδομένου του χρόνου μετρήσεων (epoch ) είναι επιβεβλημένη η χρήση absolute antenna calibration στο λογισμικό μετεπεξεργασίας (LGO). «Due to the occurance of coordinate jumps, the station coordinates given in the tables below are valid for a specific period in time (indicated in the first column). The coordinate jumps are caused by station-specific equipment changes (see site log and/or EPN_discontinuities.snx), but also by the 24

26 switch from relative to absolute antenna models in the GNSS data processing (Nov. 2006). Consequently, station coordinates up to 315/2006 are compatible (and should be used) with relative antenna models while station coordinates after 316/2006 are compatible (and should be used) with absolute antenna models». ( es4onestation.php?station=aut1) «Λόγω της εμφάνισης ασυνεχειών στις επιλύσεων συντεταγμένων, οι συντεταγμένες των σταθμών αναφοράς που δίνονται στους παρακάτω πίνακες ισχύουν για ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα (αναφέρεται στην πρώτη στήλη). Οι ασυνέχειες επιλύσεων συντεταγμένων προκαλούνται από αλλαγές εξοπλισμού σχετιζόμενες με τους σταθμούς αναφοράς (βλέπε το site log), αλλά και από τη μετάβαση από relative σε absolute antenna calibration μοντέλα κεραιών κατά την επεξεργασία δεδομένων (Νοέμβριος 2006). Ως εκ τούτου, οι συντεταγμένες των σταθμών αναφοράς έως την 315 ημέρα του 2006 (GPS Calendar) είναι συμβατές (και θα πρέπει να χρησιμοποιούνται) με relative antenna calibrations, ενώ συντεταγμένες σταθμών αναφοράς μετά την 316/2006 είναι συμβατές (και θα πρέπει να χρησιμοποιούνται) με absolute antenna calibration μοντέλα κεραιών». 1. Υπολογισμός των συντεταγμένων του AUT1 στο ITRF05, εποχή : X(t) = X(t 0 ) + (t-t 0 )*V X ; Y(t) = Y(t 0 ) + (t-t 0 )*V Y ; Z(t) = Z(t 0 ) + (t-t 0 )*V Z Συνεπώς Χ( )=Χ( )+( )*Vx Y( )=Y( )+( )*Vy Z( )=Z( )+( )*Vz 25

27 Πίνακας 3.2 Υπολογισμός συντεταγμένων μέσω γνωστών ταχυτήτων σταθμού αναφοράς AUT1 κατά την εποχή των μετρήσεων ( ) X(m) Y(m) Z(m) Vx(m/y) Vy(m/y) Vz(m/y) Ο DUTH ανήκει στο δίκτυο EUREF ωστόσο πρέπει να επιλυθεί σε σχέση με τον AUT1, καθώς δεν δημοσιεύεται μοντέλο ταχυτήτων του στο ITRF05 (σε αντίθεση με τον AUT1) rdinates4onestation.php?station=duth Δημιουργία ενός project στο LeicaGeoOffice με τις μετρήσεις των AUT1 και DUTH για την επίλυση του DUTH στην εποχή μετρήσεων. εισαγωγή των absolute antenna calibrations για τις κεραίες των 2 σταθμών αναφοράς στο LGO. από όπου προκύπτει ότι για τις κεραίες LEIAT504 LEIS (AUT1) KAI LEIAT504GG LEIS (DUTH): ANTENNA ID DESCRIPTION DATA SOURCE (# OF TESTS) YR/MO/DY AVE = # in average [north] [ east] [ up ] L1 Offset (mm) [90] [85] [80] [75] [70] [65] [60] [55] [50] [45] L1 Phase at [40] [35] [30] [25] [20] [15] [10] [ 5] [ 0] Elevation (mm) [north] [ east] [ up ] L2 Offset (mm) [90] [85] [80] [75] [70] [65] [60] [55] [50] [45] L2 Phase at [40] [35] [30] [25] [20] [15] [10] [ 5] [ 0] Elevation (mm) LEIAT504 LEIS D/M element, chokerings, +radome NGS ( 2) 04/01/

28 LEIAT504GG LEIS L1/L2 choke ring, using DM T style NGS ( 2) 06/11/ LEIAT502 Aero element L1/L2, External NGS ( 2) 99/06/ Και με ακριβείς δορυφορικές εφημερίδες για την περίοδο 10/06/2010 έως 14/06/2010 τα αποτελέσματα είναι τα εξής: Πίνακας 3.3 Τελικές συντεταγμένες και ταχύτητες των σταθμών αναφοράς AUT1 και DUTH κατά την εποχή των μετρήσεων ITRF05 AUT1 ITRF05 EPOXH DUTH ITRF2005 EPOXH DUTH ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΕΣΩ AUT1 X(m) Y(m) Z(m) Vx(m/y) Vy(m/y) Vz(m/y) Με δεδομένες πλέον τις συντεταγμένες των σταθμών αναφοράς υπολογιστηκαν και οι συντ/νες των 28 τριγωνομετρικών της Γ.Υ.Σ στο σύστημα ITRF 05, epoch ως εξής: Με την πραγματοποίηση των μετρήσεων ακολούθησε η επεξεργασία τους με το λογισμικό LeicaGeoOffice με σκοπό την επίλυση των βάσεων GPS που προέκυψαν στα κοινά διαστήματα παρατήρησης. Στο λογισμικό εισήχθησαν τα αρχεία του οργάνου, τα αρχεία των μετρήσεων που κατέγραψαν οι μό- 27

29 νιμοι σταθμοί την περίοδο των μετρήσεων καθώς και εφημερίδες ακριβείας από την IGS. Οι τιμές των δεικτών DOP κατά την διάρκεια των μετρήσεων ήταν σε ικανοποιητικό βαθμό λόγω του ότι η γεωμετρία του δορυφορικού σχηματισμού ήταν αρκετά καλή. Ακολούθησαν διαδοχικές επιλύσεις με διαφορετικές παραμέτρους κάθε φορά έτσι ώστε να επιλυθεί ο μεγαλύτερος δυνατός συνδυασμός βάσεων. 28

30 1 η επίλυση: Πίνακας 3.4 Παράμετροι 1ης επίλυσης στο λογισμικό LGO Cut off angle 15 0 Ephemeris type Precise Solution type Automatic Frequency Automatic Fix ambiguities up to 500 Km Minimum duration for float solution (static) 300 sec Sampling rate Use all Tropospheric model Hopfield Ionospheric model Automatic Stochastic modeling Yes Minimum distance 8 Km Ionospheric activity Automatic Εικόνα 3.2: Πρώτη επίλυση βάσεων GPS Από τα 28 σημεία επιλύθηκαν οι βάσεις των 20 σημείων και δεν κατάφεραν να επιλυθούν τα: 27053,206053,218068,277017,278045,294002,326087, (8 σημεία) 29

31 2 η επίλυση: Πίνακας 3.5 Παράμετροι 2ης επίλυσης στο λογισμικό LGO Cut off angle 5 0 Ephemeris type Precise Solution type Automatic Frequency L1+L2 Fix ambiguities up to 500 Km Minimum duration for float solution (static) 300 sec Sampling rate Use all Tropospheric model Hopfield Ionospheric model Automatic Stochastic modeling Yes Minimum distance 8 Km Ionospheric activity Automatic Εικόνα 3.3: Δεύτερη επίλυση βάσεων GPS Από τα 8 απομένοντα σημεία επιλύθηκαν οι βάσεις των 4 σημείων και δεν κατάφεραν να επιλυθούν τα: 27053,206053,277017, (4 σημεία) 30

32 3 η επίλυση: Πίνακας 3.6 Παράμετροι 3ης επίλυσης στο λογισμικό LGO Cut off angle 20 0 Ephemeris type Precise Solution type Automatic Frequency L1+L2 Fix ambiguities up to 500 Km Minimum duration for float solution (static) 300 sec Sampling rate Use all Tropospheric model Hopfield Ionospheric model Automatic Stochastic modeling Yes Minimum distance 8 Km Ionospheric activity Automatic Εικόνα 3.4: Τρίτη επίλυση βάσεων GPS Από τα 4 απομένοντα σημεία επιλύθηκε η βάση ενός σημείου (206053) και δεν κατάφεραν να επιλυθούν τα: 27053,277017, (3 σημεία) 31

33 4 η επίλυση: Πίνακας 3.7 Παράμετροι 4ης επίλυσης στο λογισμικό LGO Cut off angle 15 0 Ephemeris type Precise Solution type Automatic Frequency L1+L2 Fix ambiguities up to 500 Km Minimum duration for float solution (static) 300 sec Sampling rate Use all Tropospheric model Hopfield Ionospheric model Automatic Stochastic modeling No Minimum distance 8 Km Ionospheric activity Automatic Εικόνα 3.5: Τέταρτη επίλυση βάσεων GPS Από τα 3 απομένοντα σημεία επιλύθηκε η βάση ενός σημείου (344030) και δεν κατάφεραν να επιλυθούν τα: 27053, (2 σημεία) 32

34 Η τελική λύση που προέκυψε για τα 26 τριγωνομετρικά ΓΥΣ είναι απαλλαγμένη από τις ασάφειες φάσης, καθώς αυτές επιλύθηκαν και στις δύο συχνότητες L1 και L2 για όλες τις βάσεις. Τα τελικά προϊόντα της παραπάνω λύσης αποτελούν οι γεωδαιτικές συντεταγμένες (φ,λ,h), οι καρτεσιανές συντεταγμένες (Χ,Υ,Ζ) των σημείων στο ITRF05 EPOCH , οι τυπικές τους αποκλίσεις καθώς και τα μέσα τετραγωνικά σφάλματα (RMS) των τυπικών αποκλίσεων, τα οποία εκφράζουν την ποιότητα της οριζόντιας και της κατακόρυφης θέσης των σημείων. Πίνακας 3.8 Τελική επίλυση τριγωνομετρικών ΓΥΣ (φ,λ,h) ITRF05 33

35 Πίνακας 3.9 Τελική επίλυση τριγωνομετρικών ΓΥΣ (Χ,Υ,Ζ) ITRF05 34

36 3.2 Δεδομένα Χωροστάθμησης Το γεωειδές αποτελεί τη θεμελιώδη επιφάνεια για το σύνολο των εφαρμογών της γεωδαισίας. Πρώτος που εισήγαγε αυτή την επιφάνεια ήταν ο Gauss και την όρισε ως την ισοδυναμική επιφάνεια του γήινου πεδίου βαρύτητας η οποία προσεγγίζει βέλτιστα τη μέση στάθμη της θάλασσας. Αποτελεί επιφάνεια ισορροπίας διότι το δυναμικό της βαρύτητας σε αυτήν είναι σταθερό και ο- ποιαδήποτε μετακίνηση μονάδας μάζας πάνω της δεν παράγει έργο. Τέτοιες επιφάνειες υλοποιούν την γεωμετρία του γήινου πεδίου βαρύτητας. Σε κάθε σημείο της επιφάνειας της γης διέρχεται μία ισοδυναμική επιφάνεια και το διάνυσμα της βαρύτητας τέμνει κάθετα την επιφάνεια αυτή στο συγκεκριμένο σημείο. Σε αυτή την ιδιότητα στηρίζεται και η μέθοδος της γεωμετρικής χωροστάθμησης. Αυτή η μέθοδος πραγματοποιείται με τη βοήθεια ενός χωροβάτη και δύο σταδίων. Το όργανο και οι σταδίες με τη χρήση αεροστάθμης υλοποιούν την κατακόρυφο στο σημείο στάσης τους και οι παρατηρήσεις είναι οι α- ναγνώσεις του χωροβάτη πάνω σε κάθε σταδία. Σε περιορισμένες εκτάσεις η χρήση μόνο χωροβάτη αρκεί, αλλά σε μεγαλύτερες εκτάσεις και για προσδιορισμό υψομετρικών διαφορών με μεγαλύτερη ακρίβεια είναι απαραίτητο να γίνουν μετρήσεις βαρύτητας κατά μήκος της χωροσταθμικής όδευσης. Η γεωμετρική χωροστάθμηση είναι μία μέθοδος προσδιορισμού υψομέτρων με πολύ μεγάλη ακρίβεια και μέχρι σήμερα χρησιμοποιείται ευρέως στις τοπογραφικές και γεωδαιτικές εργασίες. Με τη μέθοδο αυτή προσδιορίζονται ορθομετρικά υψόμετρα δηλαδή υψόμετρα που αναφέρονται στο γεωειδές. Βέβαια για την μεταφορά υψομέτρων μέσω αυτής της μεθόδου είναι απαραίτητη η ύπαρξη χωροσταθμικών αφετηριών. Η Γεωγραφική Υπηρεσία Στρατού στο πλαίσιο της χαρτογραφικής απόδοσης της επικράτειας ίδρυσε το τριγωνομετρικό δίκτυο το οποίο υλοποιούν σημεία. Σε κάθε σημείο δόθηκε ορθομετρικό υψόμετρο με την μέθοδο της γεωμετρικής χωροστάθμησης καθώς και η ακρίβεια προσδιορισμού του. Για την περιοχή μελέτης μας οι επίσημες τιμές των υψομέτρων της Γ.Υ.Σ. για τα 28 τριγωνομετρικά καθώς και οι ακρίβειές τους δίνονται παρακάτω: 35

37 Πίνακας 3.10: Ορθομετρικά Υψόμετρα και τυπικές αποκλίσεις υψομέτρων (επίσημες τιμές Γ.Υ.Σ) με γκριζο χρώμα επισημαίνονται τα σημεία που δεν ήταν δυνατό να επιλυθούν κατά τις μετρησεις GPS. ΚΩΔΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΤΑΞΗ ΟΡΘΟΜΕΤΡΙΚΟ ΥΨΟΜΕΤΡΟ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ (μ) ΥΨΟΣ ΒΑΘΡΟΥ ΤΥΠΟΣ ΑΡΔΑΝΙΟΝ iv ΒΑΘΡΟ ii ΒΑΘΡΟ ΠΡ. ΗΛΙΑΣ iv ΒΑΘΡΟ ΦΛΑΜΠΟΥΡΟ ii ΒΑΘΡΟ ΠΛΑΓΙΑ iv ΒΑΘΡΟ ΚΡΗΝΗ iv ΒΑΘΡΟ ΠΗΓΑΔΙΑ iv ΒΑΘΡΟ ΒΑΛΤΟΣ iv ΒΑΘΡΟ ΠΥΡ.ΠΥΘΙΟΥ iv ΒΑΘΡΟ ΕΠΙ ΠΥΡ- ΓΟΥ ΠΗΓΑΔΙ iv ΒΑΘΡΟ ΑΜΠΕΛΙΑ iv ΒΑΘΡΟ ΠΕΤΡΑ iv ΒΑΘΡΟ ΤΟΥΜΠΑ iv ΒΑΘΡΟ ΑΜΥΓΔΑΛΙΑ iv ΒΑΘΡΟ ΕΡΓ. ΖΟΩΤΡΟ- ΦΩΝ iv ΒΑΘΡΟ ΗΡΩΟΝ ΜΕΤΑ- ΞΑΔΩΝ iv ΒΑΘΡΟ ΡΕΜΑ ΛΑΓΟΥ iv ΒΑΘΡΟ ΠΡΟΣΗΛΙΟΝ iv ΒΑΘΡΟ ΤΡΑΓΟΥΔΙΣΤΗΣ iv ΒΑΘΡΟ ΠΥΡΓΟΣ iv ΒΑΘΡΟ ΤΑΛΟΣ iv ΒΑΘΡΟ ΠΟΙΜΕΝΙΚΟΝ iv ΒΑΘΡΟ ΤΣΑΤΛΑΚΑ iv ΒΑΘΡΟ ΣΠΑΘΙ iv ΒΑΘΡΟ ΧΩΡΑΦΙ iv ΒΑΘΡΟ 1023 ΠΑΡΑΛΙΑ iv ΒΑΘΡΟ ΠΑΠΠΑΣ iv ΒΑΘΡΟ ΑΓ. ΠΑΡΑ- ΣΚΕΥΗ iv ΒΑΘΡΟ 36

38 3.3 Υψόμετρα Γεωειδούς (μοντέλο γεωειδούς) Ο κύριος στόχος της φυσικής γεωδαισίας είναι η επίλυση του προβλήματος των συνοριακών τιμών. Δηλαδή, ο προσδιορισμός του γήινου πεδίου βαρύτητας, των διαχρονικών του μεταβολών και ο προσδιορισμός ενός μοντέλου γης από μετρήσεις που γίνονται επάνω ή έξω από αυτήν. Το πρόβλημα συνοριακών τιμών προϋποθέτει την εισαγωγή τριών επιφανειών αναφοράς, της φυσικής επιφάνειας της γης, του γεωειδούς και του ελλειψοειδούς. Αυτές οι τρεις επιφάνειες διαμορφώνουν ένα σύστημα υψών και υλοποιούνται μέσω τριών υψομέτρων όπως φαίνεται στο σχήμα. Έτσι για κάθε σημείο της επιφάνειας της γης αντιστοιχεί ένα ορθομετρικό υψόμετρο (Η) το οποίο αναφέρεται στο γεωειδές, ένα γεωδαιτικό (h) με επιφάνεια αναφοράς το ελλειψοειδές και ένα υ- ψόμετρο γεωειδούς (N) το οποίο εκφράζει την απόσταση των δύο προηγούμενων επιφανειών αναφοράς. Ο προσδιορισμός τους είναι πολύ σημαντικός για την γεωδαισία και για το σύνολο των γεωεπιστημών. Η βασική σχέση που συνδέει το h με το Η και το Ν είναι : h=h+n (3.1) Είναι προφανές ότι αν είναι γνωστά και τα τρία υψόμετρα τότε η σχέση είναι υπέρ προσδιορισμένη δηλαδή αν είναι διαθέσιμα δύο από αυτά τότε προκύπτει το τρίτο. Στην παρούσα εργασία συνδυάστηκαν τα υψόμετρα από GPS και γεωμετρική χωροστάθμηση και υψόμετρα γεωειδούς μέσα από το γεωδυναμικό μοντέλο EGM08 και από ένα τοπικό μοντέλο γεωειδούς. Παρακάτω ακολουθεί μία σύντομη περιγραφή των μοντέλων αυτών. ΕGM08 Το επίσημο παγκόσμιο βαρυτημετρικό μοντέλο EGM08 κυκλοφόρησε στο κοινό από τις Η.Π.Α και αποτελεί το πιο πρόσφατο παγκόσμιο μοντέλο γεωειδούς και σίγουρα ότι καλύτερο για την βαρυτημετρική χαρτογράφηση. Παρουσιάζει ανάπτυγμα του διαταρακτικού δυναμικού της βαρύτητας σε σφαιρικές αρμονικές συναρτήσεις και είναι πλήρες σε βαθμό και τάξη ανάπτυ- 37

39 ξης 2159 ενώ περιέχει και πρόσθετους συντελεστές οι οποίοι επεκτείνουν τον βαθμό στο Καλύπτει όλη την υφήλιο και η ανάλυσή του είναι περίπου 9 km κατά πολύ υψηλότερη από το προηγούμενο μοντέλο EGM96 που η ανάλυση του είναι 55Km. Έτσι συνεισφέρει με τον πιο επιτυχημένο τρόπο στις συνεχείς προσπάθειες της γεωδαιτικής κοινότητας τα τελευταία χρόνια, για τον προσδιορισμό ενός βελτιωμένου, υψηλής ανάλυσης βαρυτιμετρικού μοντέλου της γης. Εικόνα 3.6: Αποχές Γεωειδούς σε παγκόσμια κλίμακα (EGM 2008, ανάλυση 2.5 ) Τοπικό μοντέλο γεωειδούς H υπολογιστική διαδικασία προσδιορισμού του γεωειδούς σύμφωνα με τη θεωρία του Stokes από δεδομένα ανωμαλιών βαρύτητας Δg, ένα παγκόσμιο γεωδυναμικό μοντέλο σφαιρικών αρμονικών και ορθομετρικά υψόμετρα Η, 38

40 συνήθως διαθέσιμα με τη μορφή ενός ψηφιακού μοντέλου εδάφους DTM, περιλαμβάνει τα ακόλουθα στάδια: Αφαίρεση από τις διαθέσιμες ανωμαλίες βαρύτητας ελευθέρου αέρα της συνεισφοράς ενός γεωδυναμικού μοντέλου και των τοπογραφικών μαζών (διόρθωση των ανωμαλιών λόγω της επίδρασης του τοπογραφικού αναγλύφου). Οι ανωμαλίες βαρύτητας τώρα αναφέρονται στο γεωειδές. Υπολογισμός μιας συνιστώσας του γεωειδούς από τις ανηγμένες ανωμαλίες της βαρύτητας Ν Δg, η οποία είναι η συνεισφορά των τοπικών ανωμαλιών βαρύτητας που είναι διαθέσιμες στην περιοχή εφαρμογών και αντιπροσωπεύει τα μεσαία μήκη κύματος στο συνολικό φάσμα των δεδομένων στη λύση συνδυασμού, με τη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής ή με τη λύση του ολοκληρώματος του Stokes μέσω γρήγορων μετασχηματισμών Fourier (FFT). Επαναφορά της επίδρασης του γεωδυναμικού μοντέλου και της τοπογραφίας στα υψόμετρα του γεωειδούς με τον υπολογισμό δύοακόμη συνιστωσών (Ν GM και Ν Η ). Η συνιστώσα Ν GM είναι η συνεισφορά του γεωδυναμικού μοντέλου και αντιπροσωπεύει τα μεγάλα μήκη κύματος στο συνολικό φάσμα των δεδομένων στη λύση συνδυασμού (γεωδυναμικό μοντέλο, βαρύτητα, υψομετρία), ενώ η συνιστώσα Ν Η είναι η συνεισφορά της τοπογραφίας και αντιπροσωπεύει τα μικρά μήκη κύματος και υλοποιείται με τον υπολογισμό της έμμεσης επίδρασης, όταν η προβολή των ανωμαλιών βαρύτητας από την επιφάνεια της Γης στο γεωειδές πραγματοποιείται με την απεικόνιση κατά Helmert. Τα τρία στάδια υπολογισμού υψομέτρων του γεωειδούς περιγράφονται με την ακόλουθη εξίσωση: Ν = Ν GM + Ν Δg + Ν Η (3.2) Το τοπικό μοντέλο του γεωειδούς αποτελεί μια λύση συνδυασμού που προσδιορίστηκε με την τεχνική της απομάκρυνσης/υπολογισμού/επαναφοράς. Βασίστηκε σε επίγεια και από αέρα δεδομένα βαρύτητας, δεδομένα τοπογραφίας/βαθυμετρίας και το γεωδυναμικό μοντέλο EGM2008 μέχρι βαθμό και τάξη ανάπτυξης Για τον υπολογισμό της τελικής λύσης που παρουσιάζει χωρική διακριτική ικανότητα 2'x2', χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος της σημειακής προσαρμογής με σφάλματα (Least Squares Collocation with errors) ενώ η επίδραση της τοπογραφίας/βαθυμετρίας λήφθηκε υπόψη μέσω του μοντέλου της υπολειπόμενης τοπογραφίας (Residual Terran Model). 39

41 4. Μοντέλα Συνόρθωσης 4.1. Ντετερμινιστική θεώρηση και Στοχαστική θεώρηση Ο προσδιορισμός του γεωειδούς, στα πλαίσια της μελέτης του γήινου πεδίου βαρύτητας, από μετρήσεις βαρύτητας έχει ως αποτέλεσμα μία επιφάνεια η οποία αναφέρεται σε τοπικό επίπεδο ή σε όλη τη γη ανάλογα με την κατανομή των μετρήσεων και έχει συγκεκριμένα χαρακτηριστικά. Αυτά τα χαρακτηριστικά προκύπτουν από τη φύση των μετρήσεων και από τον τρόπο υπολογισμού της. Ένα χαρακτηριστικό και ταυτόχρονα προτέρημα της βαρυτημετρικής προσέγγισης του γεωειδούς είναι ότι η επιφάνεια που προκύπτει έχει μεγάλη διακριτική ικανότητα. Η απόλυτη ακρίβεια όμως δεν είναι τόσο καλή λόγω των σφαλμάτων που υπεισέρχονται στη λύση. Ο χαρακτήρας των σφαλμάτων αυτών έχει τοπικά συστηματικό χαρακτήρα και οδηγεί σε συστηματικές αποκλίσεις από την πραγματικότητα. Η αντιμετώπιση αυτών των σφαλμάτων δεν μπορεί να γίνει με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, όπως γίνεται για τα τυχαία σφάλματα, γιατί δεν ακολουθούν την κανονική κατανομή. Για να αντιμετωπιστούν πρέπει να μοντελοποιηθεί η επίδραση τους μέσω κοινής επεξεργασίας ενός δείγματος τιμών. Ο προσδιορισμός του γεωειδούς με τη χρήση του συστήματος GPS και των ορθομετρικών υψομέτρων έχει μεγάλη ακρίβεια λόγω του ότι το GPS και η γεωμετρική χωροστάθμηση δίνουν αποτελέσματα μεγάλης ακρίβειας. Τα υψόμετρα γεωειδούς προκύπτουν από την αφαίρεση των ορθομετρικών από τα γεωδαιτικά υψόμετρα σύμφωνα με τη σχέση h = H +N (3.1). Το μειονέκτημα όμως αυτής της μεθόδου προσδιορισμού του γεωειδούς είναι ότι έχει πολύ μικρή διακριτική ικανότητα λόγω του ότι οι μετρήσεις GPS και οι μετρήσεις από γεωμετρική χωροστάθμηση αναφέρονται αποκλειστικά σε σημεία. Και αυτή η μέθοδος έχει σφάλματα συστηματικού χαρακτήρα και τυχαία σφάλματα όπως όλες οι μετρήσεις. Το γεγονός όμως ότι τα συστηματικά σφάλματα έχουν μικρή τιμή σε σχέση με τα συστηματικά σφάλματα της βαρυτημετρικής λύσης κάνει εφικτή την παραδοχή ότι τα υψόμετρα γεωειδούς που προκύπτουν από GPS/χωροστάθμηση έχουν μόνο τυχαία σφάλματα. Με αυτή τη παραδοχή, η κοινή επεξεργασία των υψομέτρων γεωειδούς όπως προκύπτουν από τις δύο μεθόδους σε διάφορα σημεία οδηγεί στην μοντελοποίηση των συστηματικών σφαλμάτων και στην αντιμετώπιση των τυχαίων σφαλμάτων που υπάρχουν. 40

42 Με την χρησιμοποίηση λοιπόν και των δύο μεθόδων υπολογισμού υψομέτρων γεωειδούς ταυτόχρονα προκύπτει μία λύση για το γεωειδές η οποία έχει όλα εκείνα τα πλεονεκτήματα της κάθε μεθόδου. Δηλαδή μεγάλη ακρίβεια και μεγάλη διακριτική ικανότητα. Μία τέτοια λύση αποτελείται από τα βαρυτημετρικό γεωειδές και την διόρθωση που υπολογίζεται με την επεξεργασία η οποία στην ουσία βελτιώνει την απόλυτη ακρίβεια του πρώτου Κοινή συνόρθωση υψομετρικών δικτύων Η βασική σχέση η οποία συνδέει τους τρείς τύπους υψομέτρων (h - H - N = 0) δηλαδή την αποχή γεωειδούς, το γεωδαιτικό και ορθομετρικό υψόμετρο, συνδέει υψόμετρα τα οποία είναι εντελώς διαφορετικά από άποψη των μεθόδων παρατήρησης, των συστημάτων αναφοράς και λόγω της φύσης τους. Η σχέση αυτή είναι υπερπροσδιορισμένη αν είναι γνωστά και τα τρία υψόμετρα και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αξιολόγηση μιας από τις τρείς πηγές υψομέτρων όταν είναι γνωστές οι δύο άλλες. Στην πράξη όμως αυτή η σχέση ποτέ δεν ικανοποιείται εξαιτίας κάποιων πηγών σφαλμάτων που εισάγονται και τα οποία μπορούν να κατηγοριοποιηθούν ως εξής: Ασυμφωνίες μεταξύ των συστημάτων αναφοράς και άλλα συστηματικά σφάλματα στα δεδομένα των τριών πηγών υψομέτρων (γεωδυναμικό μοντέλο - μεγάλα μήκη κύματος, προβλήματα στη μοντελοποίηση σφαλμάτων GPS κλπ.). Μεταβολές της υπάρχουσας κατάστασης λόγω γεωδυναμικών φαινομένων (μεταβολές της γήινης πυκνότητας, κίνηση και παραμόρφωση τεκτονικών πλακών, μεταβολές της στάθμης της θάλασσας, αλλαγή της θέσης σημείων αναφοράς κλπ.). Θεωρητικές απλοποιήσεις και παραδοχές κατά τον υπολογισμό των δεδομένων και κατά την επεξεργασία (ακατάλληλο μοντέλο πυκνότητας της γης, αγνόηση των συστηματικών σφαλμάτων που προέρχονται από GPS/χωροστάθμηση κλπ.). 41

43 Τυχαία σφάλματα των παρατηρήσεων που επιδρούν στις τιμές h, Η, Ν. Οι παρατηρήσεις GPS και γεωμετρικής χωροστάθμησης όπως και οι παρατηρήσεις βαρύτητας εμπεριέχουν τυχαία και συστηματικά σφάλματα. Όσον αφορά τις παρατηρήσεις από GPS/χωροστάθμηση το συστηματικό μέρος των σφαλμάτων αγνοείται λόγω του μεγέθους του. Το τυχαίο μέρος των σφαλμάτων αντιμετωπίζεται μέσω συνόρθωσης με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Η συνόρθωση εφαρμόζεται με τη μορφή της κοινής επεξεργασίας του συνόλου των παρατηρήσεων σε σημεία ενός δικτύου. Το αποτέλεσμα αυτής της συνόρθωσης οδηγεί στην βελτιστοποίηση των τιμών των παρατηρήσεων με τη βέλτιστη εκτίμηση των σφαλμάτων τους και στον εντοπισμό και στην αντιμετώπιση συστηματικών και χονδροειδών σφαλμάτων. Όσον αφορά τα συστηματικά σφάλματα που επιδρούν στα υψόμετρα γεωειδούς από βαρύτητα και αυτά επιδρούν με τον ίδιο τρόπο. Ο χαρακτήρας τους οφείλεται στην διαδικασία των μετρήσεων και στους αλγορίθμους υπολογισμού και αντιμετωπίζονται και αυτά μέσω της συνόρθωσης. Τα παραπάνω σφάλματα παίζουν σημαντικό ρόλο και ο διαχωρισμός τους είναι αδύνατος λόγω της κοινής τους επίδρασης σε όλα τα αποτελέσματα. Το υψόμετρο γεωειδούς το οποίο προκύπτει από την μελέτη του πεδίου βαρύτητας γράφεται ως Ν grav ενώ αυτό που προσδιορίζεται από τον συνδυασμό γεωδαιτικού και ορθομετρικού υψομέτρου γράφεται ως N GPS και υπολογίζεται από την παρακάτω σχέση: h - H = N GPS (4.1) Σύμφωνα με τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει η εξίσωση η οποία περιγράφει την ισοδυναμία των δύο μεθόδων προσδιορισμού του Ν. N GPS - Ν grav = 0 (4.2) Η αδυναμία ικανοποίησης της εξίσωσης δηλαδή το σφάλμα κλεισίματος οφείλεται στα προαναφερθείσα σφάλματα, τυχαία και συστηματικά. Mε την παραδοχή ότι τα υψόμετρα από GPS/χωροστάθμηση έχουν μόνο τυχαία σφάλ- 42

44 ματα, τα συστηματικά που υπάρχουν αποδίδονται στα βαρυτημετρικά υψόμετρα (Ν grav ). Η αστοχία λοιπόν αυτής της εξίσωσης προέρχεται από την ύπαρξη αυτών των σφαλμάτων και ταυτόχρονα αποτελεί πηγή πληροφορίας για το μαθηματικό μοντέλο το οποίο έχει ως στόχο να τα αντιμετωπίσει και να βελτιώσει την απόλυτη ακρίβεια των βαρυτημετρικών υψομέτρων. Για την εφαρμογή του μαθηματικού μοντέλου και την επιτυχή συνεισφορά του απαιτείται η ύπαρξη ενός δικτύου το οποίο θα αποτελείται από σημεία στα οποία θα είναι γνωστές οι τιμές των τριών υψομέτρων. Η κατανομή των σημείων πρέπει να είναι τέτοια ώστε να καλύπτουν τον χώρο με ομογενή τρόπο. Με αυτό υπόψη μπορεί να κατασκευαστεί ένα αξιόπιστο μοντέλο που θα αναφέρεται στη συγκεκριμένη περιοχή και θα μπορεί να χρησιμοποιηθεί μελλοντικά για πρόγνωση υψομέτρων. Η γνώση λοιπόν των τιμών αυτών σε ένα σύνολο σημείων επιτρέπει τον υπολογισμό των διαφορών. Η αστοχία και η ύπαρξη διαφοράς σε κάθε σημείο αποτελεί παρατήρηση για το μαθηματικό μοντέλο. Ρόλος του μαθηματικού μοντέλου είναι να ελαχιστοποιήσει αυτές τις διαφορές με το να προσαρμόσει την επιφάνεια του βαρυτημετρικού γεωειδούς στις τιμές του γεωειδούς που προκύπτει από GPS/χωροστάθμηση. Η συνεισφορά του μοντέλου λοιπόν είναι οι διορθώσεις που προσφέρει και οι οποίες υπολογίζονται συναρτήσει της γεωγραφικής θέσης (φ, λ). ΔΝ = ΔΝ (φ,λ) (4.3) Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η νέα επιφάνεια να έχει εξίσου μεγάλη διακριτική ικανότητα αλλά και μεγάλη απόλυτη ακρίβεια. Ν adj = N grav + ΔΝ (4.4) Η ακρίβεια της εξαρτάται από την ακρίβεια των συνιστωσών από τις ο- ποίες αποτελείται δηλαδή του βαρυτημετρικού γεωειδούς και της διόρθωσης. Για κάθε σημείο λοιπόν i του δικτύου είναι διαθέσιμο το γεωδαιτικό, το ορθομετρικό και η αποχή του γεωειδούς και ισχύουν οι εξισώσεις: h i = h i a +f i h +v i h H i = H i a +f i H +v i H N i = N i a +f i N +v i N (4.5) (4.6) (4.7) 43

45 όπου h i H i N i είναι οι παρατηρήσεις, ο δείκτης α σημαίνει την πραγματική τιμή του υψομέτρου, f i h f i H f i N είναι τα συστηματικά σφάλματα και v i h v i H v i N τα τυχαία. Έτσι έχουμε για κάθε σημείο μία εξίσωση παρατήρησης: b i = h i - H i - N i = (f i h - f i H - f i N )+( v i h - v i H - v i N ) (4.8) Οι όροι f i h και f i H είναι ίσοι με μηδέν σύμφωνα με την αρχική παραδοχή οπότε η εξίσωση παρατήρησης παίρνει την παρακάτω μορφή. b i = f i N + v i h - v i H - v i N (4.9) Όσον αφορά τα τυχαία σφάλματα (v i h, v i H, v i N ), το στοχαστικό μοντέλο που ισχύει είναι: Ε{v h v h T } = C h (4.10) Ε{v H v H T } = C H (4.11) Ε{v N v N T } = C N (4.12) Ο πίνακας συμμεταβλητότητας C h των γεωδαιτικών υψομέτρων είναι γνωστός μέσω της συνόρθωσης των παρατηρήσεων GPS, ενώ ο αντίστοιχος των ορθομετρικών υψομέτρων C H είναι γνωστός από τη συνόρθωση των παρατηρήσεων του χωροσταθμικού δικτύου. Όσον αφορά τον πίνακα C N, ο οποίος ε- ξαρτάται από τα σφάλματα του γεωδυναμικού μοντέλου και σε αυτά των δεδομένων βαρύτητας, υπολογίζεται με τον νόμο μετάδοσης των σφαλμάτων. Για ένα ρεαλιστικό στοχαστικό μοντέλο είναι σημαντικό να διατίθενται πλήρεις πίνακες συμμεταβλητότητας διότι περιγράφουν με καλύτερο τρόπο την πραγματικότητα αν και είναι δύσκολο στην πράξη. Αυτό έχει μεγάλη σημασία για τις ακρίβειες των υψομέτρων γεωειδούς, όπου ο συνδυασμός διαφόρων μεθόδων και αναγωγών μπορεί να οδηγήσει σε υπολογισμό ενός πίνακα C N που να διαφέρει σημαντικά από την πραγματικότητα. Στην περίπτωση που οι πίνακες συμμεταβλητότητας είναι γνωστοί το στοχαστικό μοντέλο παίρνει την εξής μορφή: 44

46 Ε{v h v h T }= σ h 2 Q h (4.13) Ε{v H v H T }= σ H 2 Q H (4.14) Ε{v N v N T }= σ N 2 Q N (4.15) Όπου οι πίνακες Q h, Q H, Q N είναι γνωστοί από τις πηγές που προαναφέρθηκαν και οι τρείς μεταβλητότητας αναφοράς θεωρούνται άγνωστες. Η εκτίμηση της άγνωστης μεταβλητότητας αναφοράς σ N με τη βοήθεια κάποιου αλγο- 2 ρίθμου δίνει πιο ρεαλιστικά αποτελέσματα για την ακρίβεια του γεωειδούς καθώς και με αυτό γίνεται έλεγχος όλων των υποθέσεων που έγιναν στην κατασκευή του μοντέλου σφαλμάτων Q N. Το στοχαστικό μοντέλο σχετίζεται με τα τυχαία σφάλματα των οποίων οι τιμές προέρχονται από όλες τις πηγές τυχαίων σφαλμάτων του γεωειδούς που συμμετείχαν στον υπολογισμό του Q N. Η εκτίμηση των τιμών των τυχαίων σφαλμάτων των υψομέτρων γεωειδούς οδηγεί αυτόματα στην εκτίμηση της εσωτερικής ακρίβειας του βαρυτημετρικού γεωειδούς. Εκτός όμως από αυτού του είδους τα σφάλματα, υπάρχουν όπως προαναφέρθηκε σφάλματα με συστηματικό χαρακτήρα των οποίων η μέση τιμή τους δεν είναι μηδέν και εκφράζονται με τον όρο f N i. Ο στόχος είναι η μοντελοποίηση αυτών των σφαλμάτων προκειμένου να κατασκευαστεί ένα μοντέλο διόρθωσης των βαρυτημετρικών αποχών το οποίο να μπορεί να χρησιμοποιηθεί και μελλοντικά. Για την κατασκευή αυτού του μοντέλου είναι απαραίτητες οι παρατηρήσεις σε ένα σύνολο σημείων Στην εξίσωση αυτή ο όρος f i N που περιγράφει τα συστηματικά σφάλματα της βαρυτημετρικής λύσης πρέπει να προσεγγιστεί από μία μαθηματική έκφραση η οποία θα λειτουργεί σαν μοντέλο διόρθωσης. Το πιο συνηθισμένο μοντέλο στις μελέτες βασισμένες σε συγκρίσεις των βαρυτημετρικών αποχών και των αποχών από GPS/χωροστάθμηση είναι το ακόλουθο: h i - H i - N i = a i T x + v i (4.16) όπου a i το διάνυσμα n,1 των γνωστών συντελεστών,x τον διάνυσμα των αγνώστων παραμέτρων με διαστάσεις n,1 και v i τα τυχαία σφάλματα. Ο όρος λοιπόν a i T x αποτελεί το μοντέλο διόρθωσης των συστηματικών σφαλμάτων. 45

47 4.2. Παραμετρικά μοντέλα Το μοντέλο διόρθωσης των συστηματικών σφαλμάτων το οποίο επιλέγεται κάθε φορά είναι ένα μοντέλο το οποίο περιγράφει τα συστηματικά σφάλματα και έχει φυσική ερμηνεία καθώς αποτελεί την επιφάνεια διόρθωσης ανάμεσα στις δύο λύσεις για το γεωειδές. Υπάρχουν διάφορες μορφές μοντέλων και η επιλογή ενός μοντέλου πρέπει να έχει νόημα. Όλες οι μορφές μοντέλων στηρίζονται σε μία παραμετρική εξίσωση απείρων όρων της οποίας η γραμμική μορφή είναι η εξής: p b1 f 1 b2 f 2... b q f q (4.17) όπου b 1, b 2,,b q είναι οι άγνωστοι συντελεστές του μοντέλου που πρέπει να προσδιοριστούν και f 1,f 2,,f q είναι κάποιες γνωστές συναρτήσεις βάσης. Οι συναρτήσεις βάσης φυσικά εξαρτώνται από την επιλογή του μοντέλου. Μία σημαντική ιδιότητα των παραμετρικών μοντέλων είναι ότι εφόσον προσδιοριστεί η επιφάνεια διόρθωσης, μπορεί να χρησιμοποιηθούν και ως μοντέλα πρόγνωσης ενός από τους τρείς τύπους υψομέτρων σε σημεία που δεν χρησιμοποιήθηκαν για τον υπολογισμό των συντελεστών του παραμετρικού μοντέλου και στα οποία είναι γνωστοί οι άλλοι δύο τύποι υψομέτρων. Υπάρχουν πολλά είδη παραμετρικών μοντέλων για την περιγραφή των συστηματικών σφαλμάτων και των αβεβαιοτήτων μεταξύ datum ή συστημάτων αναφοράς κατά το συνδυασμό ετερογενών υψομέτρων. Ενδεικτικά αναφέρονται τα ακόλουθα: Πολυωνυμικά μοντέλα διαφόρων βαθμών, γνωστά και ως στατιστικά μοντέλα γραμμικής παλινδρόμησης. Τριγωνομετρικά μοντέλα που βασίζονται στην ανάλυση Fourier. Μοντέλα που βασίζονται στο γενικό μοντέλο μετασχηματισμού ομοιότητας επτά παραμέτρων και χρησιμοποιούνται στους μετασχηματισμούς συστημάτων αναφοράς. Τα πολυωνυμικά μοντέλα που βασίζονται στην εξίσωση γραμμικής παλινδρόμησης (multiple regression equation MRE) δίνονται από την ακόλουθη σχέση: a T i x M m 0 N n 0 x n q ( i 0 ) ( i 0 ) m cos m i (4.18) 46

48 όπου φ 0 και λ 0 είναι η μέση τιμή του γεωγραφικού πλάτους και γεωγραφικού μήκους της περιοχής μελέτης, x q είναι οι άγνωστοι συντελεστές του μοντέλου Μια παραλλαγή του παραπάνω μοντέλου προκύπτει από την εξίσωση ΜRE ως εξής: T i M m 0 N a x x ) n 0 n q ( i 0 ) ( i 0 m (4.19) Εκτός των προαναφερθέντων μοντέλων μπορεί να χρησιμοποιηθεί και μια τριγωνομετρική συνάρτηση που βασίζεται στην ανάλυση Fourier και δίναται από τη σχέση: a T i x x d m, n M N m 1 n 1 a m, n sin( m )sin( n ) i x cos( m )cos( n ) x i i i b m, n sin( m )cos( n ) x i i c m, n cos( m )sin( n ) i (4.20) i Πιο απλές μορφές μοντέλων της τρίτης κατηγορίας χρησιμοποιούνται κυρίως για την μοντελοποίηση των διαφορών N GPS - Ν grav. Τα μοντέλα που χρησιμοποιούνται συνήθως είναι των τεσσάρων και των πέντε παραμέτρων. Μοντέλο των τεσσάρων παραμέτρων: a T i x x sin (4.21) 0 x1 cos i cos i x2 cos i sin i x3 Μοντέλο των πέντε παραμέτρων: a T i x x (4.22) 2 0 x1 cos i cos i x2 cos i sin i x3 sin i x4 sin i i όπου φ i, λ i είναι οι γεωδαιτικές συντεταγμένες του κάθε σημείου και x i είναι οι άγνωστοι συντελεστές του μοντέλου. Οι παραπάνω εξισώσεις εκφράζουν το μετασχηματισμό των αποχών του γεωειδούς σε ένα ελλειψοειδές μετατοπισμένο στις τρείς διαστάσεις με διαφορετικό μεγάλο ημιάξονα και διαφορετική επιπλάτυνση. Στην παρούσα μεταπτυχιακή εργασία χρησιμοποιήθηκαν δύο παραμετρικά μοντέλα, τα πολυωνυμικά μοντέλα τεσσάρων και πέντε παραμέτρων. Με βάση τα παραπάνω μοντέλα και αν υποθέσουμε ότι έχουμε n διαθέσιμες παρατηρήσεις και m άγνωστες παραμέτρους τότε η εξίσωση παρατήρησης είναι: b = Ax + v (4.23) Το διάνυσμα b είναι το nx1 διάνυσμα των παρατηρήσεων, x είναι το mx1 διάνυσμα των αγνώστων παραμέτρων, v είναι το nx1 διάνυσμα των αγνώστων 47

49 σφαλμάτων των παρατηρήσεων και Α είναι ο nxm πίνακας σχεδιασμού. Ο πίνακας σχεδιασμού Α για το τετρα-παραμετρικό και πεντα-παραμετρικό μοντέλο έχει τη μορφή: 1 cos 1 cos 1 cos 1 sin 1 sin 1 1 cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 A 1 cos n cos n cos n sin n sin n και 1 1 A 1 cos cos 1 cos cos 2 cos cos n 1 2 n cos sin 1 cos sin 2 cos sin n 1 2 n sin 1 sin 2 sin n 2 sin 1 2 sin 2 2 sin n Από τη συνόρθωση με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων για τις εξισώσεις παρατηρήσεων προκύπτουν οι βέλτιστες εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων xˆ και των σφαλμάτων vˆ σύμφωνα με τις σχέσεις (Δερμάνης και Φωτίου 1995): T 1 T xˆ ( A PA) A Pb (4.24) vˆ b Axˆ (4.25) Οι πίνακες συμμεταβλητοτήτων των βέλτιστων εκτιμήσεων των αγνώστων παραμέτρων, των σφαλμάτων των παρατηρήσεων και των διορθώσεων του μοντέλου προκύπτουν ως εξής: T 1 Qx ˆ ( A PA) (4.26) Q 1 T 1 T 1 T vˆ P A( A PA) A P AQxˆ A (4.27) Q T 1 T yˆ A( A PA) A AQ xˆ A T (4.28) Η εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς χρησιμοποιείται για να δοθεί σωστή κλίμακα στους προηγούμενους πίνακες συμμεταβλητότητας. Προκύπτει από τη σχέση: 48

50 v T 2 ˆ ˆ (4.29) n Pv m Οι παραπάνω πίνακες σε συνδυασμό με τη προηγούμενη σχέση γίνονται: C ˆ (4.30) 2 xˆ Q x ˆ C C ˆ (4.31) 2 vˆ Q v ˆ ˆ (4.32) 2 yˆ Q y ˆ Το συνολικό σφάλμα μπορεί να διαχωριστεί σε συνιστώσες σφάλματος του κάθε υψομέτρου σύμφωνα με τις σχέσεις: v v v ^ h ^ H ^ N 1 C C C C vˆ (4.33) h h H N 1 C C C C vˆ (4.34) H h H N 1 C C C C vˆ (4.35) N h H N Με τον διαχωρισμό των συνιστωσών των σφαλμάτων κάθε τύπου υψομέτρου προκύπτουν οι πίνακες συμμεταβλητοτήτων των υψομέτρων. Η αξιοπιστία αυτών των πινάκων εξαρτάται από το πόσο αξιόπιστοι είναι οι αρχικοί πίνακες συμμεταβλητότητας. Βέβαια η αξιοπιστία των πινάκων συμμεταβλητότητας μπορεί να βελτιωθεί με την εκτίμηση των συνιστωσών μεταβλητότητας. Οι παράμετροι του μοντέλου που προσδιορίζονται με τον παραπάνω αλγόριθμο χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση της διόρθωσης σε οποιοδήποτε νέο σημείο, εάν είναι γνωστές οι συντεταγμένες του. Τέλος, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την πρόγνωση σε ένα πλέγμα σημείων στην περιοχή μελέτης ώστε να δημιουργηθεί μια επιφάνεια διόρθωσης για όλη τη περιοχή. 49

51 4.3 Στατιστική αξιολόγηση μοντέλων συνόρθωσης Όσο σημαντική είναι η επιλογή ενός παραμετρικού μοντέλου άλλο τόσο σημαντική είναι και η αξιολόγηση του. Όπως προαναφέρθηκε, ο αριθμός των παραμετρικών μοντέλων είναι μεγάλος και για κάθε περιοχή μελέτης υπάρχει το καταλληλότερο μοντέλο ως προς την μοντελοποίηση των συστηματικών σφαλμάτων. Παρατηρείται λοιπόν ένα μοντέλο το οποίο έχει καλά αποτελέσματα σε μια περιοχή να μην έχει τα ίδια σε μία άλλη. Έτσι κάθε φορά η επιλογή του βέλτιστου μοντέλου εξαρτάται από τα δεδομένα της περιοχής μελέτης και προκύπτει ως αποτέλεσμα αριθμητικών δοκιμών. Βέβαια πρέπει να γίνεται έλεγχος χονδροειδών σφαλμάτων κατά την προεπεξεργασία των παρατηρήσεων για την αποφυγή λανθασμένων αποτελεσμάτων. Για τον έλεγχο αυτόν υ- πάρχουν διάφορες στατιστικές μέθοδοι αλλά συνήθως χρησιμοποιείται η σάρωση δεδομένων. Η αξιολόγηση ενός παραμετρικού μοντέλου γίνεται με τους εξής τρόπους: Έλεγχος των υπολοίπων vˆ k της κοινής συνόρθωσης των h,h,n που είναι διαθέσιμα στις κορυφές ενός δικτύου μέσω της σχέσης vˆ k h H k k N k T a xˆ k (4.36) και υπολογισμός της μεταβλητότητας αναφοράς, της μέσης, ελάχιστης και μέγιστης τιμής. Αυτός ο τρόπος αξιολόγησης εκφράζει ένα μέτρο εσωτερικής ακρίβειας του επιλεγέντος μοντέλου Έλεγχος της αξιοπιστίας του παραμετρικού μοντέλου ως μοντέλου πρόγνωσης. Στη διαδικασία αυτή ένα ή περισσότερα σημεία με γνωστές τιμές των τριών υψομέτρων δεν χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό των άγνωστων παραμέτρων. Στη συνέχεια η επιφάνεια διόρθωσης που προσδιορίζεται, χρησιμοποιείται ως μοντέλο πρόγνωσης στα σημεία ε- λέγχου για ένα ή περισσότερα από τα τρία είδη υψομέτρων και υπολογίζονται οι διαφορές των αρχικών παρατηρήσεων και των από πρόγνωση εκτιμήσεων. Μικρές τιμές των διαφορών αυτών επιβεβαιώνουν την αξιοπιστία του παραμετρικού μοντέλου. Ν prog = N grav + ΔΝ prog (4.37) 50

52 vˆ p = N GPS - N prog (4.38) Το ΔΝ prog είναι η πρόγνωση της διόρθωσης και το vˆ p εκφράζει την αξιοπιστία του μοντέλου. Στην περίπτωση ενός δικτύου n κορυφών οι παράμετροι του μοντέλου συνορθώνονται n φορές αφαιρώντας κάθε φορά ένα σημείο. Στη συνέχεια προσδιορίζεται το σφάλμα πρόγνωσης στο σημείο που αφαιρέθηκε και τελικά σχηματίζεται το n 1 διάνυσμα των σφαλμάτων πρόγνωσης vˆ p. Αυτό χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του μέσου τετραγωνικού σφάλματος της πρόγνωσης σύμφωνα με την σχέση: RMS 1 m m i i i (4.39) Η τιμή του RMS αποτελεί έναν πιο αξιόπιστο δείκτη για την ακρίβεια του επιλεγέντος παραμετρικού μοντέλου και της δυνατότητας αξιοποίησής του ως μοντέλο πρόγνωσης σε νέα σημεία, εκτός των σημείων ελέγχου, στην ευρύτερη περιοχή. Είναι βέβαια αυτονόητο ότι όσο μικρότερο είναι το σφάλμα αυτό τόσο καλύτερο είναι και το μοντέλο. Έλεγχος του βαθμού προσαρμογής του μοντέλου. Επιτυγχάνεται με τον υπολογισμό κατάλληλων στατιστικών συντελεστών όπως ο συντελεστής προσδιορισμού R 2 και ο συνορθωμένος συντελεστής προσδιορισμού R a 2. Τιμές αυτών των συντελεστών κοντά στη μονάδα επιβεβαιώνουν την καταλληλότητα του παραμετρικού μοντέλου. R 2 1 n i 1 n i 1 ( b i ( b i b i ) b) 2 2 (4.40) Όπου b είναι η μέση τιμή των παρατηρήσεων, συνορθωμένη παρατήρηση ( bˆ i i bˆ i είναι η κάθε b vˆ i ) και n ο αριθμός των παρατηρήσεων. Στην ακραία περίπτωση που η προσαρμογή του μοντέλου είναι τέλεια, θα είναι η εξής: 51

53 n i 1 ( b ˆ ) 2 0 και R 2 1 i bi Στην αντίθετη περίπτωση που τα υπόλοιπα των σφαλμάτων είναι τόσο μεγάλα ώστε να προσεγγίζουν τις διαφοροποιήσεις των παρατηρήσεων γύρω από τη μέση τιμή, τότε ο συντελεστής προσδιορισμού θα τείνει προς το μηδέν. Επομένως το πεδίο τιμών αυτού του συντελεστή κυμαίνεται από 0 έως το 1 και η προσαρμογή του μοντέλου είναι καλύτερη όσο πιο κοντά στην μονάδα βρίσκεται η τιμή του διότι τα σφάλματα έχουν μικρότερες τιμές. Ένα άλλο κριτήριο πιο σύνθετο και ασφαλέστερο είναι ο συνορθωμένος συντελεστής προσδιορισμού, ο οποίος χρησιμοποιείται αντί του R 2, επειδή ο τελευταίος ε- πηρεάζεται από τους βαθμούς ελευθερίας (όσο λιγότεροι οι βαθμοί ελευθερίας του δικτύου, δηλαδή όσο περισσότερες παράμετροι του μοντέλου τόσο μεγαλύτερες οι τιμές του R 2 ). Ο τύπος που δίνει τον συνορθωμένο συντελεστή προσδιορισμού είναι ο παρακάτω. R 2 a 1 i n 1 n i 1 ˆ 2 ( bi bi ) /( n m) 2 ( bi b ) /( n 1) (4.41) Η σχέση που συνδέει τους δύο παραπάνω στατιστικούς δείκτες R 2 και R a 2 είναι: 2 R a ( n 1) 1 (1 R ( n m) 2 ) (4.42) Ένα ακόμη κριτήριο που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αξιολόγηση ενός παραμετρικού μοντέλου είναι και ο αριθμός κατάστασης (condition number) ο οποίος προσδιορίζεται από το λόγο της μεγαλύτερης προς τη μικρότερη ιδιοτιμή του πίνακα A T A είναι δηλαδή: con=λ max /λ min (4.43) 52

54 Έλεγχος σημαντικότητας των συντελεστών του παραμετρικού μοντέλου (F-test). Ελέγχεται με κατάλληλες στατιστικές υποθέσεις η σημαντικότητα των προσδιορισθέντων συντελεστών του παραμετρικού μοντέλου και παραμένουν στο τελικό μοντέλο οι συντελεστές εκείνοι που ικανοποιούν τις συγκεκριμένες υποθέσεις. Αν υποθέσουμε ότι επιθυμούμε να ελεγχθούν κάποιες παράμετροι του μοντέλου i τότε ο πίνακας των αγνώστων παραμέτρων μπορεί να γραφεί στην μορφή: x x x όπου x I είναι οι παράμετροι που πρέπει να ελεγχθούν και x (I) είναι οι υπόλοιπες παράμετροι του μοντέλου. Ο έλεγχος γίνεται με τη παρακάτω μηδενική υπόθεση: I (I ) Η 0 : x I = 0 H α : x (I) 0 Το στατιστικό τεστ που χρησιμοποιείται για την εφαρμογή της μηδενικής υπόθεσης είναι το F-test, η μαθηματική έκφραση του οποίου είναι: ~ F T xˆ Q I 1 Xˆ i 2 k ˆ xˆ I (4.44) όπου 1 ˆ x I 1 Q ο υπο-πίνακας του πίνακα Q x N που αναφέρεται στις παραμέτρους x I και k ο αριθμός των παραμέτρων που ελέγχονται. Η μηδενική υ- πόθεση γίνεται δεκτή όταν: ~ a F F k, f όπου ο όρος a k f ˆ (4.45) F, υπολογίζεται από στατιστικούς πίνακες για επίπεδο εμπιστοσύνης α και βαθμούς ελευθερίας f. Αν η εξίσωση ισχύει, τότε οι παράμετροι που ελέγχονται,θεωρούνται ασήμαντοι και απομακρύνονται από το μοντέλο ενώ σε αντίθετη περίπτωση παραμένουν. Είναι προφανές ότι η τελική επιλογή του βέλτιστου παραμετρικού μοντέλου και η αξιολόγηση του πρέπει να βασίζεται σε περισσότερους από έναν ή ακόμη και στο σύνολο των προαναφερθέντων ελέγχων. 53

55 5. Αριθμητικά Αποτελέσματα 5.1 Λογισμικό Κοινής συνόρθωσης Υψομέτρων Για τις υπολογιστικές ανάγκες της παρούσας εργασίας αναπτύχθηκε λογισμικό κοινής συνόρθωσης υψομέτρων h,h,n σε περιβάλλον MATLAB, το ο- ποίο χρησιμοποιεί τις απλουστευμένες μορφές παραμετρικών μοντέλων που βασίζονται στο γενικό μοντέλο μετασχηματισμού ομοιότητας επτά παραμέτρων για την μοντελοποίηση των διαφορών N GPS - Ν grav : Μοντέλο των τεσσάρων παραμέτρων: a T i x x sin (5.1) 0 x1 cos i cos i x2 cos i sin i x3 Μοντέλο των πέντε παραμέτρων: a T i x x (5.2) 2 0 x1 cos i cos i x2 cos i sin i x3 sin i x4 sin i i Το λογισμικό πραγματοποιεί αυτοματοποιημένη στατιστική αξιολόγηση των πραγματοποιούμενων συνορθώσεων με τα παρακάτω κριτήρια εν σειρά: 1. Έλεγχος των υπολοίπων k της κοινής συνόρθωσης των h,h,n που είναι διαθέσιμα στις κορυφές ενός δικτύου μέσω της σχέσης: και υπολογισμός της μεταβλητότητας αναφοράς. (5.3) 2. Έλεγχος της αξιοπιστίας του παραμετρικού μοντέλου ως μοντέλου πρόγνωσης. Διαδοχικά και για όλα τα σημεία δεδομένων το λογισμικό τα καθιστά ως σημεία πρόγνωσης υπολογίζοντας της διαφορές των αρχικών παρατηρήσεων και των από πρόγνωση εκτιμήσεων, καθώς επίσης και στατιστικά στοιχεία αυτών. 3. Έλεγχος του βαθμού προσαρμογής του μοντέλου. Επιτυγχάνεται με τον υπολογισμό του συντελεστή προσδιορισμού και συνορθωμένου συντελεστή προσδιορισμού. Τιμές κοντά στη μονάδα επιβεβαιώνουν την καταλληλότητα του παραμετρικού μοντέλου. 4. Έλεγχος σημαντικότητας των συντελεστών του παραμετρικού μοντέλου (F-test). Ο χρήστης καλείται να εισάγει οποιοδήποτε επίπεδο σημαντικότητας επιθυμεί για την εκτέλεση του ελέγχου. 5. Αλγόριθμος διαδοχικής απομάκρυνσης ανεπιθύμητων παρατηρήσεων και επανάληψης συνόρθωσης 54

56 6. Υπολογισμός όλων των δυνατών συνδυασμών απόλυτων και σχετικών (ppm) ΔΔΝ, αυτοματοποιημένη δημιουργία στατιστικών κλάσεων και απεικόνιση αυτών 7. 3-D plots της παραμετρικής επιφάνειας διόρθωσης και της συνορθωμένης επιφάνειας γεωειδούς. 5.2 Δεδομένα συνόρθωσης Τα δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν για τις συνορθώσεις είναι: 26 ελλειψοειδή υψόμετρα από την επιτυχή επίλυση των βάσεων GPS στα 26 τριγωνομετρικά Γ.Υ.Σ. (με τις τυπικές τους αποκλίσεις όπως υπολογίστηκαν) 26 ορθομετρικά υψόμετρα στα αντίστοιχα τριγωνομετρικά από το χωροσταθμικό δίκτυο της Γ.Υ.Σ. (συνοδευόμενα από τυπικές αποκλίσεις) Τιμές γεωειδούς: 1. από το παγκόσμιο βαρυτημετρικό μοντέλο EGM08 2. από τη λύση συνδυασμού του τοπικού βαρυτημετρικού γεωειδούς όπως περιγράφηκε στο κεφάλαιο 3 Εικόνα 5.1: Γεωγραφική κατανομή των 26 αφετηριών GPS/χωροστάθμησης στην περιοχή μετρήσεων. 55

57 Γεωμετρικά Υψόμετρα Μετά την επεξεργασία των παρατηρήσεων GPS χρησιμοποιώντας συντεταμένες του δικτύου EUREF/EPN και ακριβείς δορυφορικές τροχιές της IGS, οι γεωδαιτικές και καρτεσιανές συντεταγμένες όλων των σταθμών (όπως απεικονίζονται στην εικόνα 5.1 προσδιορίστηκαν στο ETRF05 (εποχή ) και τα γεωμετρικά τους υψόμετρα κατ επέκταση υπολογίστηκαν αναφορικά με το ελλειψοειδές GRS80. Η ακρίβεια των ελλειψοειδών υψομέτρων δίνεται στους πίνακες μεταβλητοτήτων/συμμεταβλητοτήτων των δεδομένων, ενώ η ακρίβεια προσδιορισμού της οριζόντιας θέσης σε σχέση με το ETRF05/GRS80 είναι οριακά καλύτερη. Ορθομετρικά Υψόμετρα Τα ορθομετρικά υψόμετρα (Helmert) στα 26 σημεία δεδομένων έχουν υπολογιστεί μέσω χωροσταθμήσεων ( γεωμετρικών ή τριγωνομετρικών) σε κοντινές χωροσταθμικές αφετηρίες του Εθνικού Χωροσταθμικού Δικτύου. Οι χωροσταθμήσεις πραγματοποιήθηκαν κατά τα προηγούμενα έτη από τη Γεωγραφική Υπηρεσία Στρατού (Γ.Υ.Σ.) χρησιμοποιώντας τεχνικές γεωμετρικής ή/και τριγωνομετρικής χωροστάθμησης. Η ποιότητα των γνωστών ορθομετρικών υψομέτρων στο δίκτυο μετρήσεών μας επηρεάζεται κυρίως από 2 παράγοντες: τη εσωτερική ακρίβεια του Εθνικού Χωροσταθμικού Δικτύου και την ακρίβεια των παρατηρήσεων για τον προσδιορισμό των ορθομετρικών υψομέτρων των 26 σημείων αναφοράς από τις κοντινές χωροσταθμικές αφετηρίες του Εθνικού Χωροσταθμικού Δικτύου. Εξαιτίας της έλλειψης επαρκούς προσβάσιμης σε εμάς επιστημονικής τεκμηρίωσης από την πλευρά της Γ.Υ.Σ. η απόλυτη ακρίβεια των υψομέτρων είναι κατά κύριο λόγο άγνωστη, ωστόσο χρησιμοποιήθηκαν οι «επίσημες» τιμές των υψομέτρων και των τυπικών τους αποκλίσεων όπως έχουν χορηγηθεί από τη Γ.Υ.Σ. Οι τιμές των υψομέτρων αυτών αναφέρονται στην ισοδυναμική επιφάνεια του πεδίου βαρύτητας της Γης που συμπίπτει με τη μέση στάθμη της θάλασσας στον θεμελιώδη παλλιροιγράφο του Εθνικού Χωροσταθμικού Δικτύου που βρίσκεται στο λιμάνι του Πειραιά (μετρήσεις παλλίροιας κατά τα έτη ). 56

58 Αποχές Γεωειδούς βασισμένες σε μετρήσεις GPS (Ngps) Βασισμένες σε γνωστά ελλειψοειδή και ορθομετρικά υψόμετρα οι αποχές γεωειδούς έχουν υπολογιστεί στα 26 σημεία δεδομένων σύμφωνα με την εξίσωση N gps = h H (5.2) Οι παραπάνω τιμές παρέχουν την «εξωτερική πληροφορία» σε σχέση με την οποία το Γεωδυναμικό Μοντέλο EGM08 καθώς και το τοπικό μοντέλο Γεωειδούς θα αξιολογηθούν. Στατιστικά στοιχεία υψομέτρων Τα στατιστικά στοιχεία των ανεξάρτητων σετ δεδομένων υψομέτρων (πριν τη συνόρθωση) τα οποία θα χρησιμοποιηθούν στα τεστ αξιολόγησης των παραμετρικών μοντέλων μας παρουσιάζονται στον πίνακα 5.1 Πίνακας 5.1: Στατιστικά στοιχεία των υψομετρικών δεδομένων (προ συνόρθωσης) για το δίκτυο των 26 σημείων GPS/χωροστάθμησης. (μονάδες σε m) min max mean σ h H Ngps Negm Ngrav Ngps-Negm Ngps-Ngrav Από τον προηγούμενο πίνακα και ιδιαίτερα από τη μέση τιμή των υψομετρικών δεδομένων είναι προφανής η ύπαρξη μιας μεγάλης διαφοράς ( 70 cm) μεταξύ της επιφάνειας αναφοράς του Ελληνικού κατακόρυφου datum (το ο- ποίο σχετίζεται με μια άγνωστη τιμή W 0 και της ισοδυναμικής επιφάνειας του Γήινου πεδίου βαρύτητας που προσδιορίζεται από τη συμβατική τιμή της IERS W o = ms -1 και υλοποιείται από τα διάφορα γεωδυναμικά μοντέλα. 57

59 Ενδιαφέρον παρουσιάζει και η σημαντική διαφορά μέσης τιμής αποχής γεωειδούς μεταξύ του EGM08 και του τοπικού μοντέλου γεωειδούς στα σημεία μετρήσεων. Η διαφορά αυτή των περίπου 16 cm θα μπορούσε να αποδοθεί στις μεγάλου και μεσαίου μήκους κύματος συστηματικές διαφορές μεταξύ του EGM08 και του τοπικού μοντέλου γεωειδούς στην περιοχή μετρήσεων. 58

60 Στατιστικά στοιχεία υψομέτρων Γεωειδούς (pre adjusted) mean[m] max[m] min[m] min[m] max[m] mean[m] Ngrav Negm Ngps Τυπική απόκλιση υψομέτρων γεωειδούς (pre adjusted) σ[m] σ[m] Ngrav Negm Ngps Τυπική απόκλιση τιμών Ngps-Ngrav/Νegm (pre adjusted) σ[m] σ[m] (Ngps-Ngrav) (Ngps-Negm)

61 5.3. Οργανόγραμμα συνορθώσεων Τα κριτήρια που χρησιμοποιήθηκαν κατά τις συνορθώσεις για την αξιολόγηση των παραμετρικών μοντέλων και την επιλογή της βέλτιστης λύσης είναι: 1 ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ:Επιλογή του πίνακα Βάρους των δεδομένων Μοναδιαίος σ 2 *randn Αληθείς τυπικές αποκλίσεις,όπου σh = 1 cm σh = 2cm σn = 5cm 2 ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ:Επιλογή υψομέτρων γεωειδούς από Γεωδυναμικό Μοντέλο/Λύση συνδυασμού Ν EGM08 N GRAV 3 ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ: Επιλογή Παραμετρικού Μοντέλου Συνόρθωσης 4 παραμέτρων 5 παραμέτρων Ο συνδυασμός των ανωτέρω κριτηρίων αποφέρει 2*2*3=12 επιλύσεις. Από τις 12 αυτές επιλύσεις, αφού αξιολογηθούν με στατιστικά κριτήρια θα επιλεγεί ή βέλτιστη, στην οποία και θα εφαρμοστεί το 4 ο κριτήριο το οποίο είναι απομάκρυνση δεδομένων, επανασυνόρθωση και πρόγνωση έτσι ώστε να προκύψει η τελική λύση. Στο παρακάτω οργανόγραμμα παρουσιάζεται η ροή των επιλύσεων σε συνδυασμό με τα επιλεγμένα κριτήρια. 60

62 Οργανόγραμμα Επεξεργασίας Δεδομένων Δεδομένα h,h,n(grav/egm) για 26 σημεία 1ο κριτήριο: επιλογή πίνακα βάρους των δεδομένων 2ο κριτήριο: πηγή υψομέτρων γεωειδούς (Νegm08/Ngrav) 3ο κριτήριο: επιλογή παραμετρικού μοντέλου (4 ή 5 παραμέτρων) 1. Μοναδιαίος πίνακας Βάρους Negm08 (4 param) Negm08 (5 param) Ngrav (4 param) Ngrav (5 param) 2. Μεταβλητότητα αναφοράς * Randn Negm08 (4 param) Negm08 (5 param) Ngrav (4 param) Ngrav (5 param) 3. Αληθείς τυπικές αποκλίσεις Negm08 (4 param) Negm08 (5 param) Ngrav (4 param) Ngrav (5 param) επιλογή βέλτιστης στατιστικά λύσης και 4ο κριτήριο: απομάκρυνση δεδομένων και επανασυνόρθωση + ΠΡΟΓΝΩΣΗ ΤΕΛΙΚΗ ΛΥΣΗ 61

63 5.4. Κωδικοποίηση των Λύσεων Το πλήθος των επιλύσεων στα διάφορα στάδια των συνορθώσεων απαιτεί την κωδικοποίηση των επιλύσεων έτσι ώστε να είναι κατανοητές από τον αναγνώστη. Η κωδικοποίηση έγινε βάσει των 4 κριτηρίων αξιολόγησης των συνορθώσεων και κάθε κριτήριο κωδικοποιείται ως εξής: 1 ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ: Επιλογή του πίνακα Βάρους των δεδομένων Α = μοναδιαίος πίνακας βάρους Β = σ 2 *randn (σh= 1 cm, σh= 2cm, σn= 5cm) C = αληθείς τυπικές αποκλίσεις 2 ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ: Επιλογή υψομέτρων γεωειδούς από Γεωδυναμικό Μοντέλο/Λύση συνδυασμού Ngrav = αποκλίσεις Γεωειδούς από Τοπικό Μοντέλο Γεωειδούς N EGM = αποκλίσεις Γεωειδούς από EGM08 3 ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ: Επιλογή Παραμετρικού Μοντέλου Συνόρθωσης 4 = 4-παραμετρικό μοντέλο συνόρθωσης 5 = 5-παραμετρικό μοντέλο συνορθωσης 4 ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ: απομάκρυνση δεδομένων, επανασυνόρθωση και πρόγνωση (αριθμός σε παρένθεση) = αριθμός σημείων/δεδομένων που συμμετέχουν στη συνόρθωση Για παράδειγμα η κωδικοποιημένη λύση ANgrav5 χρησιμοποιεί μοναδιαίο πίνακα βάρους, τοπικό μοντέλο γεωειδούς και 5-παραμετρικό μοντέλο συνόρθωσης, Ενώ η CN EGM 4 χρησιμοποιεί αληθείς τυπικές αποκλίσεις, γεωδυναμικό μοντέλο EGM08 και 4-παραμετρικό μοντέλο συνόρθωσης. 62

64 5.5 Αποτελέσματα κοινής συνόρθωσης υψομέτρων με μοντέλα 4 και 5 παραμέτρων Πραγματοποιήθηκαν 12 κοινές συνορθώσεις υψομέτρων h,h,n χρησιμοποιώντας το λογισμικό που αναπτύχθηκε σε περιβάλλον MATLAB. Τα reports του προγράμματος με όλα τα στοιχεία των επιλύσεων βρίσκονται στο Παράρτημα. Συγκεντρωτικά παρατίθενται εδώ τα στατιστικά μεγέθη για χαρακτηριστικές τιμές των 12 συνορθώσεων έτσι ώστε να επιλεγεί η βέλτιστη λύση Στατιστικά Στοιχεία των ΔΝ Πίνακας 5.2: Στατιστικά στοιχεία των διαφορών NGPS-N για αποχές γεωειδούς τόσο από το EGM08 όσο και από το τοπικό μοντέλο γεωειδούς μετά την εφαρμογή παραμετρικών μοντέλων 4 και 5 παραμέτρων καθώς και 3 επιλογών του πίνακα βάρους (μονάδες σε m). min[m] max[m] mean[m] σ[m] A(Ngps-Negm4)adj A(Ngps-Negm5)adj A(Ngps-Ngrav4)adj A(Ngps-Ngrav5)adj B(Ngps-Negm4)adj B(Ngps-Negm5)adj B(Ngps-Ngrav4)adj B(Ngps-Ngrav5)adj C(Ngps-Negm4)adj C(Ngps-Negm5)adj C(Ngps-Ngrav4)adj C(Ngps-Ngrav5)adj Τα αποτελέσματα του πίνακα παρουσιάζουν σημαντικές διαφορές σε σχέση με την επιλογή πίνακα βάρους. Με πράσινη έλλειψη επισημαίνονται οι βέλτιστες τιμές. Τη μικρότερη τυπική απόκλιση παρουσιάζει η προσαρμογή των 2 επιφανειών γεωειδούς με τη χρήση 5-παραματερικού μοντέλου, τόσο με πί- 63

65 νακα μοναδιαίο όσο και με αληθείς τυπικές αποκλίσεις. Η ταύτιση των αποτελεσμάτων εμφανίζεται στα υψόμετρα γεωειδούς από το EGM08 και σε αυτά του τοπικού γεωειδούς. Αντιθέτως η περίπτωση Β του πίνακα βαρών αποδείχθηκε λανθασμένη καθώς παρουσιάζει τη χειρότερη προσαρμογή των επιφανειών Ngps και Νgrav σε ότι αφορά τη μέση τιμή και τυπική απόκλιση των συνορθωμένων διαφορών Ngps-Ngrav. Η εξήγηση βρίσκεται στην επιλογή των βαρών: Στην Α περίπτωση ο πίνακας βάρους παίρνει τη μορφή Στην Β περίπτωση ωστόσο είναι πλήρης συμμετρικός πίνακας τυχαίων δεδομένων (randn) πολλαπλασιασμένος με τις μεταβλητότητες αναφοράς (σh= 1 cm, σh= 2cm, σn= 5cm. Τέλος στην Γ περίπτωση οι τυπικές αποκλίσεις είναι οι παρακάτω: Πίνακας 5.3: Τυπικές αποκλίσεις δεδομένων οι οποίες χρησιμοποιήθηκαν στην Γ περίπτωση (αληθείς τυπικές αποκλίσεις) (μονάδες σε m). ID σh(m) ση(m) σνgrav(m) σνegm08(m)

66 ID σh(m) ση(m) σνgrav(m) σνegm08(m) Σε ότι αφορά τα υψόμετρα γεωειδούς (EGM08 και τοπικό μοντέλο) οι τυπικές αποκλίσεις είναι ίδιες για όλα τα δεδομένα και ίσες με 5cm. Η τυπική απόκλιση του συνόλου τιμών είναι μηδενική. Για τα ορθομετρικά υψόμετρα, τα στοιχεία της Γ.Υ.Σ. παρουσιάζουν μια ομοιομορφία σε ότι αφορά τις τυπικές αποκλίσεις με την ελάχιστη τιμή να είναι 0 και τη μέγιστη τιμή 2.2 cm. H τυπική απόκλιση του συνόλου τιμών είναι ίση με 7.68 mm. Οι τυπικές αποκλίσεις των ελλειψοειδών υψομέτρων υπολογίστηκαν κατά την επίλυση των βάσεων GPS από το λογισμικό Leica Geo Office. Ελάχιστη τιμή 0.6 mm, μέγιστη 15.8 mm και τυπική απόκλιση συνόλου 3.72 mm. Από τα παραπάνω εύκολα συμπεραίνουμε ότι οι αληθείς τυπικές αποκλίσεις παρουσιάζουν ομοιομορφία και πολύ μικρές (μηδενικές σε πολλές περιπτώσεις) τυπικές αποκλίσεις έτσι ώστε οι επιμέρους πίνακες μεταβλητοτήτων/συμμεταβλητοτήτων να προσεγγίζονται από μοναδιαίο πίνακα πολλαπλασιασμένο με ένα συντελεστή λ. Η τάξη διαφορών των 2 επιλύσεων αποτυπώνεται στην 3 η στήλη του πίνακα 5.2 (μέση τιμή συνορθωμένων διαφορών Ngps-Ngrav). 65

67 5.5.2 Πρόγνωση ορθομετρικών υψομέτρων σε όλα τα σημεία δεδομένων Η αξιοπιστία του παραμετρικού μοντέλου ως μοντέλου πρόγνωσης ελέγχεται στη διαδικασία κατά την οποία όλα τα σημεία δεδομένων κατά σειρά, με γνωστές τιμές των τριών υψομέτρων δεν χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό των άγνωστων παραμέτρων. Στη συνέχεια η επιφάνεια διόρθωσης που προσδιορίζεται, χρησιμοποιείται ως μοντέλο πρόγνωσης στα σημεία ελέγχου για ένα ή περισσότερα από τα τρία είδη υψομέτρων και υπολογίζονται οι διαφορές των αρχικών παρατηρήσεων και των από πρόγνωση εκτιμήσεων. Πίνακας 5.4: Στατιστικά στοιχεία της μεταβλητότητας αναφοράς και αποτελεσμάτων πρόγνωσης για όλα τα σημεία δεδομένων και για αποχές γεωειδούς τόσο από το EGM08 όσο και από το τοπικό μοντέλο γεωειδούς μετά την εφαρμογή παραμετρικών μοντέλων 4 και 5 παραμέτρων καθώς και 3 επιλογών του πίνακα βάρους (μονάδες σε cm). πρόγνωση σ 2 a-posteriori Min Max Rms min rms max rms ANEGM ANEGM ANGRAV ANGRAV BNEGM BNEGM BNGRAV BNGRAV CNEGM CNEGM CNGRAV CNGRAV Εκ πρώτης όψεως η επιλογή Β του πίνακα βάρους είναι αρκετά ρεαλιστική ως προς την a-posteriori σ 2 σε σχέση με τις άλλες επιλογές βάρους καθώς η μεταβλητότητα αναφοράς είναι πολύ κοντά στο 1. Ωστόσο οι (τυχαίες) συσχετίσεις μεταξύ των παρατηρήσεων που εισάγονται στον πλήρη πίνακα βάρους δεν επαληθεύονται στην πράξη μέσω της διαδικασίας πρόγνωσης. Το μέσο τετραγωνικό σφάλμα πρόγνωσης για τα ορθομετρικά υψόμετρα σε όλα τα σημεία δεδομένων είναι χειρότερο στη Β περίπτωση πίνακα βάρους τόσο ώστε ακόμη και η μικρότερη τιμή rms να είναι μεγαλύτερη από την max rms των υπόλοιπων επιλογών βάρους. Τα αποτελέσματα καταδεικνύουν ότι η Β 66

68 επιλογή πίνακα βάρους είναι λανθασμένη γιαυτό και απορρίπτεται και η σύγκριση θα γίνει μεταξύ των επιλογών Α και Γ για τον πίνακα βάρους. Σε ότι αφορά τις υπόλοιπες περιπτώσεις Α και Γ τα αποτελέσματα της σ 2 a-posteriori καταδεικνύουν ότι ο μοναδιαίος πίνακας βάρους με τιμές σ διαφέρουν κατά μια τάξη μεγέθους σε σχέση με τις αληθείς τυπικές αποκλίσεις των οποίων οι τιμές κυμαίνονται από 6 εως 8. Αυτό οφείλεται στην ουσιαστική διαφορά της ακρίβειας των 3 πηγών υψομέτρων η οποία δε λαμβάνεται υπ όψιν κατά την επιλογή του μοναδιαίου πίνακα βάρους. Από τη σκοπιά των αποτελεσμάτων της πρόγνωσης, όπως ήταν αναμενόμενο, τα μέσα τετραγωνικά σφάλματα πρόγνωσης για το ορθομετρικό υψόμετρο είναι παραπλήσια ωστόσο η λύση CNGRAV4 παρουσιάζει το μικρότερο συνολικό rms Στατιστική Συμπεριφορά Σφαλμάτων Aξίζει να σημειωθεί ότι η επιλογή του μοναδιαίου πίνακα βάρους είχε ως αποτέλεσμα και στις 4 επιλύσεις (παραμετρικά μοντέλα και Negm/Ngrav) η μέση τιμή της συνορθωμένης διαφοράς (Νgps-Ngrav) να ισούται με 0, το οποίο δε συμβαίνει με τις υπόλοιπες επιλογές βαρών. Η εξήγηση αποδίδεται στο γεγονός ότι η επιλογή μοναδιαίου πίνακα βαρους ικανοποίησε απόλυτα την a-priori στοχαστική θεώρηση των τυχαίων σφαλμάτων: Ε{v h } = 0 Ε{v Η } = 0 Ε{v N } = 0 Ε{v h v h T } = C h Ε{v H v H T } = C H Ε{v N v N T } = C N 67

69 Πίνακας 5.6 Συνορθωμένα σφάλματα για τις καλύτερες στατιστικά επιλογές πίνακα βάρους Α και Γ (μονάδες σε m). Συνορθωμένα Σφάλματα (m) α/α ΣΗΜΕΙΟ A(Ngps- Negm4) adj A(Ngps- Negm5) adj A(Ngps- Ngrav4) adj A(Ngps- Ngrav5) adj C(Ngps- Negm4) adj C(Ngps- Negm5) adj C(Ngps- Ngrav4) adj C(Ngps- Ngrav5) adj Μέση τιμή 3.1E E-07-2E E Με κόκκινο χρώμα επισημαίνονται τα συνορθωμένα σφάλματα με τις μεγαλύτερες τιμές. Η ύπαρξη τόσο μεγάλων τιμών συνορθωμένων σφαλμάτων (π.χ. περίπου 55cm για το σημείο τη στιγμή που τα υπόλοιπα σφάλματα κυμαίνονται αρκετά κάτω των 10cm θα πρέπει να δικαιολογείται και από ανάλογη διακύμανση τον πίνακα μεταβλητοτήτων/συμμεταβλητοτήτων των δεδομένων. 68

70 Πίνακας 5.7 Τυπικές αποκλίσεις «προβληματικών» δεδομένων οι οποίες χρησιμοποιήθηκαν στην Γ περίπτωση (αληθείς τυπικές αποκλίσεις) (μονάδες σε m). ID σh(m) ση(m) σνgrav(m) σνegm08(m) Παρατήρηση σχετικά με την επίδραση του τριγωνομετρικού στα δεδομένα συνόρθωσης Η αιτία της μεγάλης τιμής συνορθωμένου σφάλματος μπορεί να αναζητηθεί τόσο στις μετρήσεις GPS όσο και στην «επίσημη» τιμή ορθομετρικού υψομέτρου της ΓΥΣ. Ωστόσο η ύπαρξη κοινών παρατηρήσεων ανάμεσα στο μόνιμο σταθμό DUTH και στα τριγωνομετρικά και μας επιτρέπει να υ- πολογίσουμε το σφάλμα κλεισίματος στο δημιουργούμενο βρόγχο. 69

71 Ωστόσο το σφάλμα βρόγχου κλεισίματος (15.65cm) δεν είναι αμελητέο και ούτε συμβατό με την a-priori τυπική απόκλιση της μέτρησης GPS ίση με 1,5 cm. Η ασυμφωνία μεταξύ του σφάλματος και της τυπικής απόκλισης δεν «απορροφήθηκε» από τη διαδικασία της συνόρθωσης στην περίπτωση Γ των α- ληθών τυπικών αποκλίσεων έτσι ώστε να μην ικανοποιείται η στοχαστική θεώρηση της προσδοκίας των σφαλμάτων, σε αντίθεση με την περίπτωση του μοναδιαίου πίνακα. Ο χαρακτήρας των σφαλμάτων αυτής της τάξης είναι χονδροειδής και όχι τυχαίος, όπως a-priori θεωρήθηκαν τα σφάλματα. Πίνακας 5.8: Συνορθωμένα σφάλματα σε σύνολο 25 σημείων (χωρίς το ) για τις καλύτερες στατιστικά επιλογές πίνακα βάρους Α και Γ (μονάδες σε m). α/α ΣΗΜΕΙΟ A(Ngps- Negm4) adj A(Ngps- Negm5) adj A(Ngps- Ngrav4) adj Συνορθωμένα Σφάλματα (m) A(Ngps- Ngrav5) adj C(Ngps- Negm4) adj C(Ngps- Negm5) adj C(Ngps- Ngrav4) adj C(Ngps- Ngrav5) adj

72 α/α ΣΗΜΕΙΟ A(Ngps- Negm4) adj A(Ngps- Negm5) adj A(Ngps- Ngrav4) adj A(Ngps- Ngrav5) adj C(Ngps- Negm4) adj C(Ngps- Negm5) adj C(Ngps- Ngrav4) adj C(Ngps- Ngrav5) adj προσδοκία 2E-08-1E-08-9E-08-6E Η μέγιστη τιμή της προσδοκίας των συνορθωμένων σφαλμάτων μειώθηκε από μ. σε μ. 5.6 Επιλογή της βέλτιστης λύσης και σφάλματα πρόγνωσης Κατά την αρχική συνόρθωση των 26 σημείων δεδομένων οι 3 επιλύσεις με τις μικρότερες τιμές rms για τα σφάλματα πρόγνωσης Η ήταν οι εξής: Πίνακας 5.9: Στατιστικά στοιχεία της μεταβλητότητας αναφοράς και αποτελεσμάτων πρόγνωσης για όλα τα σημεία δεδομένων (μονάδες σε m).οι 3 καλύτερες στατιστικά επιλύσεις. πρόγνωση σ2 a-posteriori Min (cm) Max (cm) Rms (cm) ANGRAV CNGRAV CNGRAV Σύγκριση των επιλύσεων βάσει των ΔΔΝ Κατά τη σύγκριση σχετικών υψομέτρων γεωειδούς υπολογίστηκαν ανάμεσα σε διαδοχικούς σταθμούς i,j οι ποσότητες ΔΔΝ ij (διαφορές διαφορών): (ΔΔΝ ij ) k = (Δh ij - ΔH ij ) k GPS (ΔN ij ) k grav, k=1,.,n (5.3) Στην ιδανική περίπτωση της απόλυτης προσαρμογής των επιφανειών Ngrav και Νgps η ποσότητα ΔΔΝ ij μηδενίζεται συνεπώς οι τιμές των ΔΔΝ είναι 71

73 τυπικές αποκλίσεις απόλυτων διαφορών ΔΔΝ (cm) χαρακτηριστικές του βαθμού προσαρμογής του παραμετρικού μοντέλου στα δεδομένα. Η επιλογή Β του πίνακα βάρους απορρίφθηκε σε προηγούμενο στάδιο. Για τις επιλογές βαρών Α και Γ (8 επιλύσεις συνολικά) και για τη συνόρθωση 25 σημείων (δεν λήφθηκαν υπόψη τα δεδομένα του τριγωνομετρικού ) υπολογίστηκαν οι ποσότητες ΔΔΝ έτσι ώστε να συγκριθούν με τα στατιστικά στοιχεία των κριτηρίων σ 2 a-posteriori και πρόγνωσης. Τα αποτελέσματα παρατίθενται: 6 τυπικές αποκλίσεις απόλυτων διαφορών ΔΔΝ (cm) (Α) μοναδιαίος πίνακας βάρους ANEGM4 ANEGM5 ANGRAV4 ANGRAV σφαιρική απόσταση(km) 72

74 τυπική απόκλιση απόλυτων διαφορών ΔΔΝ (cm) 7 6 τυπικές αποκλίσεις απόλυτων διαφορών ΔΔΝ (Γ) αληθείς τυπικές αποκλίσεις CNEGM4 CNEGM5 CNGRAV4 CNGRAV σφαιρική απόσταση (km) 4.5 τυπικές αποκλίσεις απόλυτων διαφορών ΔΔΝ Α+Β+Γ σύγκριση ANGRAV4 CNGRAV4 CNGRAV σφαιρική απόσταση (km) 73

75 Σχετική ακρίβεια (ppm) Κατά τη σύγκριση των τυπικών αποκλίσεων των ΔΔΝ παρατηρούμε ότι στο μεγαλύτερο φάσμα σφαιρικών αποστάσεων μεταξύ των σημείων η λύση CNGRAV5 παρουσιάζει τη χειρότερη προσαρμογή (με εξαίρεση ένα μικρό τμήμα) συγκριτικά με τις άλλες 2 λύσεις. Οι ANGRAV4 και CNGRAV4 έχουν πολύ μικρές διαφορές, γεγονός που συμφωνεί με τα αποτελέσματα των προγνώσεων. Η καλύτερη τιμή της a-posteriori τυπικής απόκλισης, ωστόσο, της λύσης CNGRAV4 σε σχέση με την ANGRAV4 καθιστούν την CNGRAV4 την καλύτερη μεταξύ των επιλύσεων Σχετικές διαφορές ΔΔΝ (A) μοναδιαίος πίνακας βάρους ANEGM4 ANEGM5 ANGRAV4 ANGRAV Σφαιρική απόσταση (km) 74

76 Σχετική Ακρίβεια (ppm) Σχετική ακρίβεια (ppm) 1.8 Σχετικές Διαφορές ΔΔΝ (Γ) αληθείς τυπικές αποκλίσεις CNEGM4 CNEGM5 CNGRAV4 CNGRAV Σφαιρική απόσταση (km) 1.6 Σχετικές Διαφορές ΔΔΝ Α+Β+Γ σύγκριση ANGRAV4 ANGRAV5 CNGRAV4 CNGRAV Σφαιρική απόσταση (km) 75

77 Κατά τη σύγκριση των σχετικών τιμών των ΔΔΝ παρατηρούμε ότι όλες οι επιλύσεις έχουν παραπλήσια συμπεριφορά και πολύ μικρές διαφορές αποτελεσμάτων. Για ακόμη μια φορά η καλύτερη τιμή της a-posteriori τυπικής απόκλισης της λύσης CNGRAV4 σε σχέση με τις υπόλοιπες επιλύσεις καθιστούν την CNGRAV4 την καλύτερη μεταξύ των επιλύσεων. 5.7 Επιλογή τελικής λύσης Έχοντας καταλήξει στη λύση CNGRAV4 (4-παραμετρικό μοντέλο επιφάνειας διόρθωσης, τοπικό μοντέλο γεωειδούς και αληθείς τυπικές αποκλίσεις) μέσα από ένα σύνολο 12 επιλύσεων, μέσα από μια διαδικασία στατιστικών ε- λέγχων, πρόγνωσης και απομάκρυνσης δεδομένων θα αξιολογηθεί η λύση CNGRAV4, ώστε να προσδιοριστεί η τελική λύση και κατ επέκταση η «βέλτιστη» επιφάνεια διόρθωσης για την περιοχή των δεδομένων. Τα αποτελέσματα που παρατίθενται είναι Reports του λογισμικού που αναπτύχθηκε για το σκοπό αυτό σε περιβάλλον Matlab: 76

78 CNGRAV4(26) - 1 η Συνόρθωση (26 σημεία δεδομένων) Κοινή Συνόρθωση Υψομέτρων με μοντέλο πόσων παραμέτρων; (επιτρεπτές τιμές [4] ή [5]) 4 Χωρίς χρήση πίνακα βάρους πιέστε [1], Για χρήση random πίνακα βάρους πιέστε [2], Για χρήση πίνακα βάρους από τις τυπικές αποκλίσεις των δεδομένων πιέστε [3]: 3 ******************Αποτελεσματα******************* ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΚΟΙΝΗΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΗΣ ΥΨΟΜΕΤΡΩΝ h-h-n Τσιμερίκας Αλέξανδρος (atsimeri@te .gr), Θεσσαλονίκη Sep :50:24 Μοντέλο κοινής συνόρθωσης 4 παραμέτρων της μορφής: atx=x0+x1cosφcosλ+x2cosφsinλ+x3sinφ x0= x1= x2= x3= Στατιστικά πριν και μετά τη συνόρθωση min[m] max[m] mean[m] σ[m] ,όπου 1 = Ngps 2 = Ngrav 3 = (Ngps-Ngrav) 4 = atx 5 = (Ngps-Ngrav)adj Έλεγχοι για την αξιολόγηση του παραμετρικού μοντέλου 77

79 α. Έλεγχος υπολοίπων v_kapelo της συνόρθωσης και υπολογισμός μεταβλητότητας αναφοράς vh[m] vh[m] vn[m] Μεταβλητότητα αναφοράς: β. Πρόγνωση σε επιλεγμένα σημεία 78

80 α/α ΣΗΜΕΙΟ hobs[m] Hobs[m] Nobs[m] hpred[m] Hpred[m] Npred[m] ΔH[cm] ΠΡΟΓΝΩΣΗΣ Στατιστικά πρόγνωσης διαφορών ΔΗ mean[cm] min[cm] max[cm] σ[cm] rms[cm]

81 Στατιστικά προγνώσεων για την τιμή (h-h-n)adj χωρις τη συνεισφορά του σημείου πρόγνωσης α/α ΣΗΜΕΙΟ mean[m] min[m] max[m] σ[cm] rms[cm] ΠΡΟΓΝΩΣΗΣ γ. Έλεγχος βαθμού προσαρμογής του μοντέλου Συντελεστής Προσδιορισμού: (0<R2<1) Συνορθωμένος Συντελεστής Προσδιορισμού: (0<R2adj<1): Αριθμός Κατάστασης του πίνακα Ν (condition number):

82 δ. Έλεγχος σημαντικότητας των συντελεστών του παραμετρικού μοντέλου (F-Test) Εισάγετε το επιθυμητό επίπεδο σημαντικότητας για το στατιστικό έλεγχο σημαντικότητας των παραμέτρων του (π.χ. 0.05):.05 F-test: (F<=F[0.05,k,f]) F-test for b0: <= F-test for b1: <= F-test for b2: <= F-test for b3: <= Θέλετε να απομακρύνετε κάποια παρατήρηση από τους πίνακες δεδομένων και βάρους και να επαναλάβετε τη συνόρθωση; Πληκτρολογήστε τον αύξοντα αριθμό της. (Εαν δε θέλετε πατήστε ENTER): 17 *******αφαίρεση των δεδομένων του τριγωνομετρικού ******* Παρατήρηση σχετικά με την απομάκρυνση του τριγωνομετρικού από τα δεδομένα συνόρθωσης Η επίδραση των δεδομένων/μετρήσεων του τριγωνομετρικού στην κοινή συνόρθωση υψομέτρων είναι εμφανής από το μέσο τετραγωνικό σφάλμα της τιμής (h-h-n)adjusted κατά τη διαδικασία της πρόγνωσης το οποίο κυμαίνεται περίπου στα μέτρα. Η αιτία μπορεί να αναζητηθεί τόσο στις μετρήσεις GPS όσο και στην «επίσημη» τιμή ορθομετρικού υψομέτρου της ΓΥΣ. Ω- στόσο η ύπαρξη κοινών παρατηρήσεων ανάμεσα στο μόνιμο σταθμό DUTH και στα τριγωνομετρικά και μας επιτρέπει να υπολογίσουμε το σφάλμα κλεισίματος στο δημιουργούμενο βρόγχο. 81

83 Εικόνα 5.2 Κατανομή των σημείων δεδομένων στην περιοχή μετρήσεων. 82

84 Εικόνα 5.3 Το σημείο μετρήσεων το οποίο αφαιρέθηκε από τα δεδομένα 83

85 Η θέση του τριγωνομετρικού στην περιοχή μετρήσεων το τοποθετεί εντός της περιοχής δεδομένων της 4- παραμετρικής επιφάνειας διόρθωσης, συνεπώς δε δικαιολογείται το σφάλμα πρόγνωσης (54.06 cm) ως σφάλμα προσέγγισης του μοντέλου έξω από την περιοχή δεδομένων (extrapolation error). 84

86 CNGRAV4(25) - 2 η Συνόρθωση (25 σημεία δεδομένων), αφαιρέθηκε το *********************************************************** Κοινή Συνόρθωση Υψομέτρων με μοντέλο πόσων παραμέτρων; (επιτρεπτές τιμές [4] ή [5]) 4 Χωρίς χρήση πίνακα βάρους πιέστε [1], Για χρήση random πίνακα βάρους πιέστε [2], Για χρήση πίνακα βάρους από τις τυπικές αποκλίσεις των δεδομένων πιέστε [3]: 3 ******************Αποτελεσματα******************* ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΚΟΙΝΗΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΗΣ ΥΨΟΜΕΤΡΩΝ h-h-n Τσιμερίκας Αλέξανδρος (atsimeri@te .gr), Θεσσαλονίκη Sep :50:33 Μοντέλο κοινής συνόρθωσης 4 παραμέτρων της μορφής: atx=x0+x1cosφcosλ+x2cosφsinλ+x3sinφ x0= x1= x2= x3= Στατιστικά πριν και μετά τη συνόρθωση min[m] max[m] mean[m] σ[m] ,όπου 1 = Ngps 2 = Ngrav 3 = (Ngps-Ngrav) 4 = atx 5 = (Ngps-Ngrav)adj 85

87 Έλεγχοι για την αξιολόγηση του παραμετρικού μοντέλου α. Έλεγχος υπολοίπων v_kapelo της συνόρθωσης και υπολογισμός μεταβλητότητας αναφοράς vh[m] vh[m] vn[m] Μεταβλητότητα αναφοράς: β. Πρόγνωση σε επιλεγμένα σημεία 86

88 α/α ΣΗΜΕΙΟ hobs[m] Hobs[m] Nobs[m] hpred[m] Hpred[m] Npred[m] ΔH[cm] ΠΡΟΓΝΩΣΗΣ Στατιστικά πρόγνωσης διαφορών ΔΗ mean[cm] min[cm] max[cm] σ[cm] rms[cm] Στατιστικά προγνώσεων για την τιμή (h-h-n)adj χωρις τη συνεισφορά του σημείου πρόγνωσης 87

89 α/α ΣΗΜΕΙΟ mean[m] min[m] max[m] σ[cm] rms[cm] ΠΡΟΓΝΩΣΗΣ γ. Έλεγχος βαθμού προσαρμογής του μοντέλου Συντελεστής Προσδιορισμού: (0<R2<1) Συνορθωμένος Συντελεστής Προσδιορισμού: (0<R2adj<1): Αριθμός Κατάστασης του πίνακα Ν (condition number):

90 δ. Έλεγχος σημαντικότητας των συντελεστών του παραμετρικού μοντέλου (F-Test) Εισάγετε το επιθυμητό επίπεδο σημαντικότητας για το στατιστικό έλεγχο σημαντικότητας των παραμέτρων του (π.χ. 0.05):.05 F-test: (F<=F[0.05,k,f]) F-test for b0: <= F-test for b1: <= F-test for b2: <= F-test for b3: <= Θέλετε να απομακρύνετε κάποια παρατήρηση από τους πίνακες δεδομένων και βάρους και να επαναλάβετε τη συνόρθωση; Πληκτρολογήστε τον αύξοντα αριθμό της. (Εαν δε θέλετε πατήστε ENTER): 17 *******αφαίρεση των δεδομένων του τριγωνομετρικού ******* 89

91 Εικόνα 5.4 Το σημείο μετρήσεων το οποίο αφαιρέθηκε από τα δεδομένα 90

92 Η θέση του τριγωνομετρικού στην περιοχή μετρήσεων το τοποθετεί εντός της περιοχής δεδομένων της 4- παραμετρικής επιφάνειας διόρθωσης, συνεπώς δε δικαιολογείται το σφάλμα πρόγνωσης (25.87 cm) ως σφάλμα προσέγγισης του μοντέλου έξω από την περιοχή δεδομένων (extrapolation error). 91

93 CNGRAV4(24) - 3 η Συνόρθωση (24 σημεία δεδομένων), αφαιρέθηκε το *********************************************************** Κοινή Συνόρθωση Υψομέτρων με μοντέλο πόσων παραμέτρων; (επιτρεπτές τιμές [4] ή [5]) 4 Χωρίς χρήση πίνακα βάρους πιέστε [1], Για χρήση random πίνακα βάρους πιέστε [2], Για χρήση πίνακα βάρους από τις τυπικές αποκλίσεις των δεδομένων πιέστε [3]: 3 ******************Αποτελεσματα******************* ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΚΟΙΝΗΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΗΣ ΥΨΟΜΕΤΡΩΝ h-h-n Τσιμερίκας Αλέξανδρος (atsimeri@te .gr), Θεσσαλονίκη Sep :52:01 Μοντέλο κοινής συνόρθωσης 4 παραμέτρων της μορφής: atx=x0+x1cosφcosλ+x2cosφsinλ+x3sinφ x0= x1= x2= x3= Στατιστικά πριν και μετά τη συνόρθωση min[m] max[m] mean[m] σ[m] ,όπου 1 = Ngps 2 = Ngrav 3 = (Ngps-Ngrav) 4 = atx 5 = (Ngps-Ngrav)adj 92

94 Έλεγχοι για την αξιολόγηση του παραμετρικού μοντέλου α. Έλεγχος υπολοίπων v_kapelo της συνόρθωσης και υπολογισμός μεταβλητότητας αναφοράς vh[m] vh[m] vn[m] Μεταβλητότητα αναφοράς:

95 β. Πρόγνωση σε επιλεγμένα σημεία α/α ΣΗΜΕΙΟ hobs[m] Hobs[m] Nobs[m] hpred[m] Hpred[m] Npred[m] ΔH[cm] ΠΡΟΓΝΩΣΗΣ Στατιστικά πρόγνωσης διαφορών ΔΗ mean[cm] min[cm] max[cm] σ[cm] rms[cm] Στατιστικά προγνώσεων για την τιμή (h-h-n)adj χωρις τη συνεισφορά του σημείου πρόγνωσης 94

96 α/α ΣΗΜΕΙΟ mean[m] min[m] max[m] σ[cm] rms[cm] ΠΡΟΓΝΩΣΗΣ γ. Έλεγχος βαθμού προσαρμογής του μοντέλου Συντελεστής Προσδιορισμού: (0<R2<1) Συνορθωμένος Συντελεστής Προσδιορισμού: (0<R2adj<1): Αριθμός Κατάστασης του πίνακα Ν (condition number): δ. Έλεγχος σημαντικότητας των συντελεστών του παραμετρικού μοντέλου (F-Test) 95

97 Εισάγετε το επιθυμητό επίπεδο σημαντικότητας για το στατιστικό έλεγχο σημαντικότητας των παραμέτρων του (π.χ. 0.05):.05 F-test: (F<=F[0.05,k,f]) F-test for b0: <= F-test for b1: <= F-test for b2: <= F-test for b3: <= Θέλετε να απομακρύνετε κάποια παρατήρηση από τους πίνακες δεδομένων και βάρους και να επαναλάβετε τη συνόρθωση; Πληκτρολογήστε τον αύξοντα αριθμό της. (Εαν δε θέλετε πατήστε ENTER): 20 *******αφαίρεση των δεδομένων του τριγωνομετρικού 93090******* 96

98 Εικόνα 5.5 Το σημείο μετρήσεων το οποίο αφαιρέθηκε από τα δεδομένα 97

99 Η θέση του τριγωνομετρικού στην περιοχή μετρήσεων το τοποθετεί εντός της περιοχής δεδομένων της 4- παραμετρικής επιφάνειας διόρθωσης, συνεπώς δε δικαιολογείται το σφάλμα πρόγνωσης (13.62 cm) ως σφάλμα προσέγγισης του μοντέλου έξω από την περιοχή δεδομένων (extrapolation error). 98

100 CNGRAV4(23) - 4 η Συνόρθωση (23 σημεία δεδομένων), αφαιρέθηκε το *********************************************************** Κοινή Συνόρθωση Υψομέτρων με μοντέλο πόσων παραμέτρων; (επιτρεπτές τιμές [4] ή [5]) 4 Χωρίς χρήση πίνακα βάρους πιέστε [1], Για χρήση random πίνακα βάρους πιέστε [2], Για χρήση πίνακα βάρους από τις τυπικές αποκλίσεις των δεδομένων πιέστε [3]: 3 ******************Αποτελεσματα******************* ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΚΟΙΝΗΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΗΣ ΥΨΟΜΕΤΡΩΝ h-h-n Τσιμερίκας Αλέξανδρος (atsimeri@te .gr), Θεσσαλονίκη Sep :52:11 Μοντέλο κοινής συνόρθωσης 4 παραμέτρων της μορφής: atx=x0+x1cosφcosλ+x2cosφsinλ+x3sinφ x0= x1= x2= x3= Στατιστικά πριν και μετά τη συνόρθωση min[m] max[m] mean[m] σ[m] ,όπου 1 = Ngps 2 = Ngrav 3 = (Ngps-Ngrav) 4 = atx 5 = (Ngps-Ngrav)adj 99

101 Έλεγχοι για την αξιολόγηση του παραμετρικού μοντέλου α. Έλεγχος υπολοίπων v_kapelo της συνόρθωσης και υπολογισμός μεταβλητότητας αναφοράς vh[m] vh[m] vn[m] Μεταβλητότητα αναφοράς: β. Πρόγνωση σε επιλεγμένα σημεία 100

102 α/α ΣΗΜΕΙΟ hobs[m] Hobs[m] Nobs[m] hpred[m] Hpred[m] Npred[m] ΔH[cm] ΠΡΟΓΝΩΣΗΣ Στατιστικά πρόγνωσης διαφορών ΔΗ mean[cm] min[cm] max[cm] σ[cm] rms[cm] Στατιστικά προγνώσεων για την τιμή (h-h-n)adj χωρις τη συνεισφορά του σημείου πρόγνωσης α/α ΣΗΜΕΙΟ mean[m] min[m] max[m] σ[cm] rms[cm] ΠΡΟΓΝΩΣΗΣ 101

103 γ. Έλεγχος βαθμού προσαρμογής του μοντέλου Συντελεστής Προσδιορισμού: (0<R2<1) Συνορθωμένος Συντελεστής Προσδιορισμού: (0<R2adj<1): Αριθμός Κατάστασης του πίνακα Ν (condition number): δ. Έλεγχος σημαντικότητας των συντελεστών του παραμετρικού μοντέλου (F-Test) Εισάγετε το επιθυμητό επίπεδο σημαντικότητας για το στατιστικό έλεγχο σημαντικότητας των παραμέτρων του (π.χ. 0.05):.05 F-test: (F<=F[0.05,k,f]) 102

104 F-test for b0: <= F-test for b1: <= F-test for b2: <= F-test for b3: <= Θέλετε να απομακρύνετε κάποια παρατήρηση από τους πίνακες δεδομένων και βάρους και να επαναλάβετε τη συνόρθωση; Πληκτρολογήστε τον αύξοντα αριθμό της. (Εαν δε θέλετε πατήστε ENTER): Για να υπολογιστούν τα σχετικά υψόμετρα γεωειδούς (ΔΔΝ) πληκτρολογήστε DDN Για να σχεδιαστεί η διορθωμένη επιφάνεια γεωειδούς πληκτρολογήστε plots 103

105 Εικόνα 5.6 Κατανομή σημείων κατά την τελική επίλυση CNGRAV4(23) 104

106 Κατά την τελευταία επίλυση CNGRAV4(23) τα σημεία δεδομένων κατά φθίνουσα σειρά απόλυτης τιμής σφάλματος πρόγνωσης πρόγνωσης είναι: Πίνακας 5.10 τιμές h,h,n πριν και μετά την πρόγνωση για όλα τα σημεία δεδομένων της ε- πίλυσης CNGRAV4(23). Φθίνουσα ταξινόμηση κατά απόλυτητιμή Hπρόγνωσης- Ηπαρατήρησης (μονάδες σε m εκτός εάν δηλώνεται διαφορετικά). α/α ΣΗΜΕΙΟ ΠΡΟ- ΓΝΩΣΗΣ hobs Hobs Nobs hpred Hpred Npred ΔH[cm] abs(δh[ cm])

107 Εικόνα 5.7 Κατανομή των σημείων δεδομένων στην περιοχή μετρήσεων (23 σημεία δεδομένων) Πίνακας 5.10 Σύγκριση στατιστικών στοιχείων των επιλύσεων CNGRAV4( ) με τη διαδοχική αφαίρεση παρατηρήσεων σ (Ngps- Ngrav)adj (m ) σ2 a- posteriori (m) rms σφαλμάτων πρόγνωσης (cm) συντελεστής προσδιορισμού R2 συνορθ. συντελεστής προσδιορισμού R2adj CNGRAV4(26) CNGRAV4(25) CNGRAV4(24) CNGRAV4(23) Τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα αποδεικνύουν τη βελτίωση όλων των στατιστικών κριτηρίων των διαδοχικών λύσεων μετά την απομάκρυνση κάποιων δεδομένων. Αξίζει να σημειωθεί ότι η τελική λύση CNGRAV4(23) παρουσιάζει μέσο τετραγωνικό σφάλμα πρόγνωσης ορθομετρικών υψομέτρων 5.71 cm για ολόκληρη την περιοχή δεδομένων. 106

108 Εικόνα 5.8 Σχηματική απεικόνιση της τελικής επιφάνειας διόρθωσης 107

109 Εικόνα 5.9 Σχηματική απεικόνιση των επιφανειών Ngrav και Νgrav adjusted 108