Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex:

Transcript

1 1 UΜετάβαση από τον ΓΠ στη Θεωρία ικτύων UΤο πρόβλημα Μεταφοράς (Transportation probl) UΗ «Μακεδονική Εταιρεία Αναψυκτικών Α.Ε.» Παράγει ένα αναψυκτικό ευρείας κατανάλωσης Το προϊόν παράγεται σε τρεις παραγωγικές μονάδες Μεγάλες ποσότητες (κιβώτια) αποστέλλονται μία φορά την εβδομάδα σε τέσσερις πόλεις κέντρα διανομής στην υπόλοιπη χώρα Το σχετικό κόστος μεταφοράς ανά κιβώτιο εξαρτάται από την UΜοναδιαία κόστη μεταφοράς Προέλευση Πόλη 1 Πόλη Πόλη Προσφορά 3 Πόλη Εργοστάσιο Εργοστάσιο Εργοστάσιο 3 9 Ζήτηση 3 1. Εργοστάσια: πηγές, προελεύσεις (προσφορά) UΣτόχοςU: να εντοπιστεί το άριστο σχέδιο μεταφοράς δηλαδή εκείνο ελαχίστου συνολικού κόστους, ώστε να ικανοποιείται η ζήτηση κάθε πόλης Με βάση τα παραπάνω δεδομένα: από τι καθορίζεται το συνολικό κόστος μεταφοράς?? UΜεταβλητές απόφασης: UΤο γραμμικό μοντέλο του προβλήματος μεταφοράς UΑντικειμενική συνάρτηση: Miniiz z= 1x x 11 x1 x13 1 9x x 1 7x x3 7 x x 31 9x3 x33 3 απόσταση, το χρόνο, τα καύσιμα και τη συντήρηση των οχημάτων, τα διόδια, το κόστος ασφάλισης, τις αμοιβές του προσωπικού κλπ Πόλεις: προορισμοί (ζήτηση) Ισορροπημένο και μη ισορροπημένο πρόβλημα Xij = τα κιβώτια που αποστέλλονται από το εργοστάσιο i στην πόλη j Uμε περιορισμούς Uτης Προσφοράς: 1) x 11 x1 x13 x1 3 ) x x x x 1 3 3) x x x x = αν είναι ισορροπημένο Uτης Ζήτησης: 1) x 11 x x = 1 31 ) x 1 x x3 = 3) x 13 x x33 3 = 3 ) x 1 x x = 3 και x ij για = 1,, 3 i και j = 1,,3, UΓενική μορφή προβλήματος μεταφοράς UΙσορροπημένο Πρόβλημα s = n i i= 1 j= 1 συνολική προφορά = συνολική ζήτηση ηλαδή, όταν η συνολική προσφορά είναι ίση με τη συνολική ζήτηση, οι περιορισμοί της προσφοράς παίρνουν (ούτως ή άλλως) τη μορφή ισότητας. d j UΤο πρόβλημα μεταφοράς είναι πρόβλημα δικτυωτής ανάλυσης Επίλυση με τη μέθοδο siplx Η άριστη λύση με τη μέθοδο siplx: Τα βασικά βήματα της μεθόδου μεταφοράς Βήμα 1ο. ιαμόρφωση μίας αρχικής βασικής εφικτής λύσης (αρχικό βασικό εφικτό σχέδιο μεταφοράς) Βήμα ο. Έλεγχος κριτηρίου τερματισμού (αριστότητας). Αν είναι αληθές, τότε βρέθηκε η βέλτιστη λύση (δηλαδή, το άριστο σχέδιο μεταφοράς), διαφορετικά: συνέχισε στο Βήμα 3. Βήμα 3ο. Βρες ένα καλύτερο σχέδιο μεταφοράς (κάνε ανακατανομή των εκχωρήσεων). Επιστροφή στο Βήμα Σημαντική σημείωση: Πρώτα πρέπει να ισορροπείται! Ο Πίνακας Μεταφοράς Βήμα 1 ο ιαμόρφωση μίας αρχικής βασικής εφικτής λύσης α τρόπος) η μέθοδος της βορειοδυτικής γωνίας (ισορροπημένο) Βήμα 1. Εκχωρούμε στο βορειοδυτικό κελί τη μέγιστη δυνατή ποσότητα ανάλογα με την προσφορά και τη ζήτηση της αντίστοιχης σειράς ή στήλης. Προσαρμόζουμε κατάλληλα την προσφορά της σειράς και τη ζήτηση της στήλης. Βήμα. ιαγράφουμε, είτε τη σειρά της οποίας η προσφορά έχει εξαντληθεί, είτε τη στήλη της οποίας η ζήτηση έχει ικανοποιηθεί. Βήμα 3. Έχουν εξαντληθεί όλες προσφορές και ικανοποιηθεί όλες οι Εφαρμογή της μεθόδου της Β στο παράδειγμα Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά την πρώτη εκχώρηση (Β ) Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά τη δεύτερη εκχώρηση (Β ) ζητήσεις; Αν Ναι, τότε βρέθηκε αρχική βασική εφικτή λύση (ΤΕΛΟΣ), διαφορετικά: Επανέλαβε από το Βήμα 1. ηλαδή X11 = 3 ηλαδή X1 =

2 17 Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά την τρίτη εκχώρηση (Β ) Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά την τέταρτη εκχώρηση (Β ) Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά την πέμπτη εκχώρηση (Β ) Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά την έκτη και τελευταία εκχώρηση (Β ) ηλαδή X = ηλαδή X3 = 1 ηλαδή X33 = ηλαδή X3 = Ο Πίνακας Μεταφοράς με την αρχική βασική εφικτή λύση (Β ) Βήμα 1 ο (ξανά) ιαμόρφωση μίας αρχικής βασικής εφικτής λύσης (β τρόπος) η μέθοδος Vogl (ισορροπημένο) Εφαρμογή της μεθόδου Vogl Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά την πρώτη εκχώρηση (Vogl) Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά τη δεύτερη εκχώρηση (Vogl) Βήμα 1. Υπολογίζουμε τις λεγόμενες «διαφορές» σε κάθε σειρά και στήλη, αφαιρώντας το μικρότερο κόστος από το αμέσως μεγαλύτερό ή ίσο του. Βήμα. Επιλέγουμε τη σειρά ή τη στήλη με τη μεγαλύτερη διαφορά. Βήμα 3. Στη συγκεκριμένη σειρά ή στήλη εκχωρούμε το μεγαλύτερο δυνατό φορτίο στο κελί με το μικρότερο μοναδιαίο κόστος μεταφοράς ανά μονάδα προϊόντος. Ακολούθως, αναπροσαρμόζουμε τη ζήτηση του προορισμού, την προσφορά της πηγής και διαγράφουμε αναλόγως τη σειρά ή τη στήλη. Βήμα. Έχουν εξαντληθεί όλες προσφορές και ικανοποιηθεί όλες οι ζητήσεις; Αν Ναι, τότε βρέθηκε αρχική βασική εφικτή λύση (ΤΕΛΟΣ), διαφορετικά: Αρχικό συνολικό κόστος μεταφοράς = 89 (βέλτιστο?) Επανέλαβε από το Βήμα 1. ηλαδή Χ31 = ηλαδή Χ1 = Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά την τρίτη εκχώρηση (Vogl) Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά τις τελευταίες εκχωρήσεις Το κύριο τμήμα της μεθόδου μεταφοράς Έλεγχος τερματισμού και επιλογή εισερχόμενου κελιού 1 Βήμα ο και Βήμα 3 ο Έλεγχος αριστότητας και διαδικασία ανακατανομής των εκχωρήσεων (Βήμα ο και Βήμα 3 ο ) (Modifid Distribution thod MODΙ) 1. Υπολογίζουμε για κάθε σειρά τις βοηθητικές τιμές ui, και για κάθε στήλη τις τιμές vj ΠΩΣ??. Επιλύοντας ένα σύστημα εξισώσεων: ui vj = cij για όλα τα κατειλημμένα κελιά (και θέτοντας u1 = ). Υπολογίζουμε τα κόστη ευκαιρίας ij = cij ui vj για όλα τα κενά κελιά (δηλαδή για όλες τις μη βασικές μεταβλητές) 1. Πώς επιλέγεται το εισερχόμενο κελί;. Πώς επιλέγεται το εξερχόμενο κελί; 3. Ελέγχουμε πρώτα το κριτήριο τερματισμού ηλαδή: Αν όλα τα ij είναι μη αρνητικά, τότε εντοπίστηκε το άριστο σχέδιο (ΤΕΛΟΣ), αλλιώς συνεχίζουμε στο επόμενο βήμα: Συνολικό κόστος μεταφοράς = 8 (βέλτιστο??) 3. Πώς γίνεται η ανακατανομή των εκχωρήσεων;. Επιλέγουμε το μικρότερο (αρνητικό) ij το οποίο καθορίζει την εισερχόμενη μεταβλητή (δηλαδή το εισερχόμενο κελίφορτίο). Αν ηλαδή Χ13 = 1 υπάρχουν ισοβαθμίσεις, επιλέγουμε αυθαίρετα UΕφαρμογή στο παράδειγμα (αρχική λύση με Β ) Ο Πίνακας Μεταφοράς με την αρχική βασική εφικτή λύση Το γραμμικό σύστημα του παραδείγματος Επίλυση του συστήματος UΟ Πίνακας Μεταφοράς με τα κόστη ευκαιρίας Αρχικό συνολικό κόστος μεταφοράς = u1 v1 = 1. u v1 = 9 3. u v = 7. u v3 =. u3 v3 =. u3 v = To σύστημα αποτελείται από 7 αγνώστους και εξισώσεις Θέτοντας u1 = έχουμε διαδοχικά ότι: v1 = 1, u = 1, v = 8, v3 = 7, u3 = 1, v = Οπότε: τα κόστη ευκαιρίας είναι: 1 = c1 v = 8 = 3 13 = c13 v3 = 7 = 1 = c1 v = = = c u v = 7 (1) = 31 = c31 u3 v1 = (1) 1 = 3 = c3 u3 v = 9 (1) 8 =

3 33 Το μονοπάτι ανακατανομής των εκχωρήσεων Ο Πίνακας Μεταφοράς με το μονοπάτι ανακατανομής Συνέχεια της διαδικασίας U Η νέα βασική εφικτή λύση (τέλος πρώτης επανάληψης) 1. Ξεκινάμε από το εισερχόμενο κελί που έχει ήδη επιλεγεί. 3. Επιλέγουμε το κελί με τη μικρότερη τρέχουσα εκχώρηση μεταξύ Κατασκευάζουμε ένα κλειστό μονοπάτι που ξεκινά από το αυτών που έχουν σημανθεί με. Αυτό το κελί είναι το εξερχόμενο εισερχόμενο κελί και καταλήγει πίσω σε αυτό, εκτελώντας άλματα: μόνο σε κατειλημμένα κελιά, μία μόνο φορά σε κάποια σειρά ή στήλη και όχι διαγώνια.. Το εισερχόμενο κελί σημαίνεται ως. Τοποθετούμε διαδοχικά και στα υπόλοιπα κελιά που απαρτίζουν το μονοπάτι (τα κελιά παίρνουν φορτίο τα κελιά χάνουν φορτίο). Εισερχόμενο κελί Εξερχόμενο κελί και δίνει όλη την ποσότητά του στο εισερχόμενο κελί. Σε περίπτωση ισοβάθμισης επιλέγουμε αυθαίρετα (οδηγεί σε εκφυλισμένη λύση, δηλαδή λύση με κάποια βασική μεταβλητή ίση με μηδέν).. Στα κελιά του μονοπατιού με σήμανση προσθέτουμε την ποσότητα του εξερχόμενου κελιού και από τα κελιά με σήμανση αφαιρούμε την ποσότητα αυτή. Η λύση που προκύπτει είναι ένα νέο, καλύτερο σχέδιο μεταφοράς (δηλαδή με μικρότερο συνολικό κόστος) Συνολικό κόστος τρέχουσας λύσης U εύτερη επανάληψη, υπολογισμός για τα κόστη ευκαιρίας U εύτερη επανάληψη, το μονοπάτι ανακατανομής UΟλοκλήρωση δεύτερης επανάληψης (μετά την πρώτη επανάληψη) = Ζ= = 8 ηλαδή, έχουμε βελτίωση μονάδων (πως?) Με βάση το αποτέλεσμα της siplx της δ1 είναι η άριστη λύση?? Είναι η βέλτιστη λύση? Συνολικό Κόστος = 78 χμ, μείωση 7 χμ UΜετά από πέντε επαναλήψεις Εντοπισμός Εναλλακτικής άριστης Λύσης UΑνακατανομή των εκχωρήσεων στο κελί Ε1Π UΗ Εναλλακτική άριστη λύση (Συνολικό κόστος = 8) Μη ισορροπημένα προβλήματα α) Η συνολική ζήτηση ξεπερνά τη συνολική προσφορά προσθήκη εικονικής προέλευσης (δηλαδή προσφοράς σειράς) β) Η συνολική προσφορά ξεπερνά τη συνολική ζήτηση προσθήκη εικονικού προορισμού Συνολικό κόστος = 8 μονάδες (είναι η άριστη?) Κόστος ευκαιρίας στο κελί Ε1Π3? (δηλαδή ζήτησης στήλης) Παράδειγμα: Αύξηση της προσφοράς του Ε1 στα κιβώτια () Ο Πίνακας Μεταφοράς UΗ αρχική λύση (βρέθηκε με τη μέθοδο Vogl) Σχόλια και ερωτήσεις για την αρχική λύση που βρέθηκε Συνολικό κόστος μεταφοράς = 7 Εκφυλισμένες λύσεις Κάποια βασική μεταβλητή έχει μηδενική τιμή. Η παραπάνω αρχική λύση είναι η βέλτιστη?? ηλαδή, οι μη μηδενικές μεταβλητές είναι λιγότερες από n1 Προκαλείται πρόβλημα στη διαδικασία ανακατανομής των Βελτίωση του συνολικού κόστους (Hσε σχέση με το προηγούμενο πρόβλημα δ1 H) κατά χρηματικές μονάδες (??) εκχωρήσεων κατά τη φάση της επίλυσης Θεραπεία: Τοποθετούμε μία μηδενική εκχώρηση στην κατάλληλη θέση για να χρησιμοποιηθεί στη συνέχεια ως βασική μεταβλητή, όπως οι υπόλοιπες βασικές

4 9 ύο περιπτώσεις εμφάνισης εκφυλισμένης λύσης 1. Κατά την κατάρτιση του αρχικού πίνακα μεταφοράς (π.χ. με τη μέθοδο Β ), όταν η προσφορά Παράδειγμα Περίπτωση 1: Θέτουμε τη ζήτηση της πόλης Π=3 και της Π3= Ο Πίνακας Μεταφοράς Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά τη δεύτερη εκχώρηση Ο Πίνακας Μεταφοράς με την μηδενική βασική μεταβλητή και η ζήτηση σε κάποιο στάδιο εκχώρησης είναι ίσες.. Στη διαδικασία ανακατανομής των εκχωρήσεων του κύριου τμήματος της μεθόδου μεταφοράς όταν προκύπτει ισοβάθμιση στην επιλογή του εξερχόμενου κελιού Παράδειγμα Περίπτωση : Ο Πίνακας Μεταφοράς με την αρχική βασική εφικτή λύση Τρίτη επανάληψη της μεθόδου μεταφοράς Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά την τρίτη επανάληψη της μεθόδου Μείωση της προσφοράς του Ε3 κατά 1 (Ε3= 3) Ο Πίνακας Μεταφοράς Η βέλτιστη λύση του προβλήματος με την εκφυλισμένη ενδιάμεση λύση Άλλες Ειδικές Καταστάσεις (1) 1. Μεγιστοποίηση Μετατροπή της διαδικασίας εύρεσης αρχικής βασικής εφικτής Εύρεση της αρχικής εφικτής λύσης στη μεγιστοποίηση Με τη μέθοδο της Βορειοδυτικής γωνίας δεν υπάρχει διαφορά στη διαδικασία Η μέθοδος Vogl στη μεγιστοποίηση Βήμα 1. Υπολογίζουμε τις «διαφορές» σε κάθε σειρά και στήλη, αφαιρώντας από το μεγαλύτερο κέρδος το αμέσως μικρότερο ή ίσο του. Βήμα. Επιλέγουμε τη σειρά ή τη στήλη με τη μεγαλύτερη διαφορά. λύσης (αν χρειάζεται) Μετατροπή του κριτηρίου επιλογής εισερχόμενου κελιού (επιλέγεται εκείνο με το μεγαλύτερο θετικό κόστος ευκαιρίας) Μετατροπή του κριτηρίου αριστότητας (η διαδικασία ολοκληρώνεται όταν δεν υπάρχουν θετικά κόστη ευκαιρίας) Με τη μέθοδο Vogl όμως??? Ακολουθεί το παράδειγμα της «Μακεδονικής», ως πρόβλημα μεγιστοποίησης, με το πρώτο βήμα (εύρεση αρχικής λύσης) με τη μέθοδο Vogl Βήμα 3. Στη συγκεκριμένη σειρά ή στήλη εκχωρούμε το μεγαλύτερο δυνατό φορτίο στο κελί με το μεγαλύτερο μοναδιαίο κέρδος μεταφοράς ανά μονάδα προϊόντος. Ακολούθως, αναπροσαρμόζουμε τη ζήτηση του προορισμού, την προσφορά της πηγής και διαγράφουμε αναλόγως τη σειρά ή τη στήλη. Βήμα. Έχουν εξαντληθεί όλες προσφορές και ικανοποιηθεί όλες οι ζητήσεις; Αν Ναι, τότε βρέθηκε αρχική βασική εφικτή λύση (ΤΕΛΟΣ), διαφορετικά: Επανέλαβε από το Βήμα Εφαρμογή της μεθόδου Vogl στη μεγιστοποίηση (1) Εφαρμογή της μεθόδου Vogl στη μεγιστοποίηση () Εφαρμογή της μεθόδου Vogl στη μεγιστοποίηση (3) Εφαρμογή της μεθόδου Vogl στη μεγιστοποίηση () Προέλευση Π1 Π Π3 Π Supply ιαφορές 1 Ε1 3 3 Ε 9 Ε3 3 Dand ιαφορές 1 1 Προέλευση Π1 Π Π3 Π Supply ιαφορές 1 Ε1 3 3 Ε 1 3, 9 Ε3 3, 3 Dand 1 3 ιαφορές 1,,, 1, 1 Προέλευση Π1 Π Π3 Π Supply ιαφορές Ε Ε ,, 9 Ε3 3, 3, 3 Dand ,, ιαφορές,,, 1,, Προέλευση Π1 Π Π3 Π Supply ιαφορές 1 Ε1 3 3 Ε 1 3,,, Ε3 3, 3, 3, 1 Dand ,,,, ιαφορές,,,, 1,

5 Εφαρμογή της μεθόδου Vogl στη μεγιστοποίηση () Προέλευση Π1 Π Π3 Π Supply ιαφορές 1 Ε1 3 3 Ε 1 1 3,,, 1 9 1, Ε3, 3, 3, 3, 1 Dand ,,,,,, ιαφορές,, 1, Αρχική λύση με Vogl (πρόβλημα μεγιστοποίησης) 3 Συνολικό κέρδος = 3*11*91**7*9* = 97 Είναι Βέλτιστη ; Ξανά το παράδειγμα μεγιστοποίησης, ξεκινώντας με Β Γ Προέλευση Π1 Π Π3 Π Supply Ε Ε 1 1 Ε3 9 Dand 3 1 Συνολικό Κέρδος = 89 Το παράδειγμα μεγιστοποίησης, ξεκινώντας με Β Γ () Προέλευση Π1 Π Π3 Π Supply Ε Ε 1 1 Ε3 9 3 Dand 3 1 Συνολικό Κέρδος = Το παράδειγμα μεγιστοποίησης, ξεκινώντας με Β Γ (3) Το παράδειγμα μεγιστοποίησης, ξεκινώντας με Β Γ () Άλλες Ειδικές Καταστάσεις () UΥπενθύμιση, η άριστη λύση (κόστος 8) Π Π3 Προέλευση Π1 Π Supply Ε Π Π3 Προέλευση Π1 Π Supply Ε Αποκλεισμός διαδρομών Σε πρόβλημα ελαχιστοποίησης θέτουμε το μοναδιαίο Ε 1 1 Ε3 9 3 Dand 3 1 Ε Ε3 Dand 3 1 κόστος μεταφοράς του αντίστοιχου κελιού ίσο με άπειρο, δηλαδή ίσο με Μ. Σε πρόβλημα μεγιστοποίησης, θέτουμε ως μοναδιαίο Συνολικό Κέρδος = 9 Συνολικό Κέρδος = 97 Είναι βέλτιστη; κέρδος μεταφοράς το Μ Παράδειγμα: η άριστη λύση με αποκλεισμό του Ε3Π1 Ο Πίνακας Μεταφοράς της βέλτιστης με αποκλεισμό κελιού 3 Νέο Κόστος: = 8 (> 8)? Γενικό Παράδειγμα 1: από τη ιοίκηση Παραγωγής Μία αλυσίδα αρτοποιείων τροφοδοτεί χώρους μαζικής εστίασης. Η παραγωγή λαμβάνει χώρα σε τρεις εγκαταστάσεις Φ1, Φ και Φ3, με ημερήσια δυναμικότητα,, και 1 κιλά αντιστοίχως και απορροφάται από τέσσερις πελάτες Π1, Π, Π3 και Π. Το κόστος πρώτων υλών, εργασίας κλπ για ένα κιλό ψωμί είναι 1χμ. Άλλα κόστη (π.χ. πάγια έξοδα) επιβαρύνουν κάθε κιλό προϊόντος προς 1, 1 και χμ αντιστοίχως για Φ1, Φ, Φ3. Το προϊόν μεταφέρεται στους πελάτες με ιδιόκτητα οχήματα της επιχείρησης. Όλες οι απαιτούμενες μεταφορές επιβαρύνουν το κόστος κάθε τεμαχίου άρτου με τις τιμές του ακόλουθου πίνακα ανάλογα με τον πελάτη στον οποίο καταλήγει. εδομένα του γενικού παραδείγματος 1 Κόστη σχετικά με τη διακίνηση προϊόντων (χρηματικές μονάδες ανά τεμάχιο προϊόντος που διακινείται) Π1 Π Π3 Π Φ Φ Φ3 1 Άλλα στοιχεία του προβλήματος Η (χονδρική) τιμή πώλησης του προϊόντος είναι διαφορετική για κάθε πελάτη, ανάλογα με τη σύμβαση και ανέρχεται στις χμ για τον Π1, χμ για το Π, χμ για τον Π3 και χμ για τον Π (τιμές ανά τεμάχιο). Οι καθημερινές απαιτήσεις των πελατών είναι κατά μέσο όρο οι εξής: Π1:, Π:, Π3:7 και Π: (κιλά άρτου). Η εγκατάσταση Φ δεν αποστέλλει στον πελάτη Π3 λόγω διαφωνίας που προέκυψε μεταξύ των διοικήσεων των δύο εταιρειών. Αφού εντοπίσετε το πρόβλημα που καλείται να λύσει η επιχείρηση να εφαρμόσετε τη μέθοδο μεταφοράς για να βρείτε την άριστη λύση UΥπολογισμοί περιθωρίου κέρδους Υπολογισμός περιθωρίου κέρδους για κάθε περίπτωση παραγωγής και ικανοποίησης της ζήτησης Π1 Π Π3 Π Φ1 111= 111=8 111= 111=7 Φ 111= 111=7 111= 111= Φ3 1= 1=7 1= 11= UΑρχικός πίνακας μεταφοράς (Β ) 78 Σύστημα u 1= u 1 v 1 = u 1 v =8 u v = 7 u v 3 = M u 3 v 3 = u 3 v = u v = ηλαδή: u 1 = v 1 = v =8 u = v 3 = M u 3 = M v = M u = Μ Υπολογισμός κόστους ευκαιρίας 13 = c13 v3 = (M) := M 1 c1 v = = 7 (M) := M 1 c1 u v1 = = () = = c u v = () (M) := M 31 = c31 u3 v1 = M := M 3 = c3 u3 v = 7 M 8 := M 1 = c1 u v1 = M := M = c u v = M 8 := M 3 = c3 u v3 = M (M) =

6 81 UΑρχικός πίνακας μεταφοράς με το μονοπάτι ανακατανομής UΜετά από έξι επαναλήψεις (βέλτιστη λύση) Γενικό Παράδειγμα Η «Snowobil Ltd» επιθυμεί να στείλει παλέτες με πέδιλα του σκι από τα δύο εργοστάσιά της (Ε1 και Ε) σε τρεις αποθήκες κέντρα διανομής (Α1, Α και Α3). Η προσφορά των εργοστασίων Ε1 και Ε είναι και 1 παλέτες αντίστοιχα, ενώ, η ζήτηση στις τρεις αποθήκες ανέρχεται σε 1, και 1 παλέτες, αντίστοιχα. Στον ακόλουθο πίνακα βλέπετε το μοναδιαίο κόστος μεταφοράς (χρ. μονάδες) μίας παλέτας, από κάθε εργοστάσιο προς κάθε κέντρο διανομής. Γενικό Παράδειγμα (επίλυση 1) Εφαρμογή της μεθόδου Vogl, πρώτα εξισορροπείται Προέλευση Α1 Α Α3 Supply ιαφορές Ε Ε Συνολικό κέρδος = 1.3. Α1 Α Α3 Ε1 8 7 Ε 9 Ποιο πρόβλημα αντιμετωπίζει η επιχείρηση; Ξεκινήστε με τη μέθοδο Vogl για να το επιλύσετε. Αν υπάρχει εναλλακτική λύση να την εντοπίσετε. Duy 1 1 Dand ιαφορές Γενικό Παράδειγμα (επίλυση ) Εφαρμογή της μεθόδου Vogl Γενικό Παράδειγμα (επίλυση 3) Εφαρμογή της μεθόδου Vogl Γενικό Παράδειγμα (επίλυση ) Ολοκλήρωση της μεθόδου Vogl (τετριμμένο προφανές) Γενικό Παράδειγμα (επίλυση ) Αρχική βασική εφικτή λύση (βρέθηκε με τη μέθοδο Vogl) Α1 Α Α3 Supply ιαφορές 8 7 Ε1 1, 1 9 Ε 1 1 Duy 1 1 Dand ιαφορές 7 3 1, Α1 Α Α3 Supply ιαφορές 8 7 Ε1 1, 1, 1 9 Ε 1 1 Duy 1 1 Dand ιαφορές 3 7 1, 1, 8 Α1 Α Α3 Supply ιαφορές 8 7 Ε , 1, 1 9 Ε 1 1 1, 1, Duy 1 1 Dand ιαφορές Α1 Α Α3 Supply ui 8 7 Ε Ε Duy Dand 1 1 vj 7 7 Κόστος της αρχικής λύσης = 1*7 1* 1* * 1* = χ.μ. Ακολουθεί ο έλεγχος αριστότητας 88 Γενικό Παράδειγμα (επίλυση ) Γενικό Παράδειγμα (επίλυση ανακεφαλαίωση) Γενικό Παράδειγμα (εύρεση εναλλακτικής λύσης) Γενικό Παράδειγμα (η εναλλακτική άριστη λύση) Υπολογισμός των ui και vj u1= u1 v = 7 v = 7 u1 v3 = v3 = u v1 = v1 = 7 u v3 = u = u3 v = u3 = 7 Υπολογισμός των ij 11 = 8 u1 v1 = 8 7 = 1 = 9 u v = 9 () 7 = 31 = u3 v1 = (7) 7 = 33 = u3 v3 = (7) = 1 (έχουν ήδη τοποθετηθεί στον προηγούμενο πίνακα) (έχουν ήδη τοποθετηθεί στον προηγούμενο πίνακα) εν υπάρχουν αρνητικά κόστη ευκαιρίας (οπότε ;;;;)????? εν υπάρχουν αρνητικά κόστη ευκαιρίας βρέθηκε η άριστη λύση εν χρειάστηκε να προχωρήσουμε στη διαδικασία MODI αφού η αρχική λύση που βρέθηκε με τη μέθοδο Vogl ήταν άριστη Το κόστος της άριστης λύσης ανέρχεται σε χ.μ. Υπάρχει ένα μηδενικό κόστος ευκαιρίας εναλλακτική άριστη λύση Για να βρεθεί η εναλλακτική άριστη λύση, εκτελούμε ανακατανομή των εκχωρήσεων βρίσκοντας το κατάλληλο μονοπάτι ανακατανομής για το κελί Duy A1 (31 = ) Α1 Α Α3 Supply Ε Ε 1 1 Duy 1 1 Dand 1 1 Ανακατανέμονται 1 παλέτες (το μικρότερο φορτίο με σήμανση ) Α1 Α Α3 Supply Ε1 8 7 Ε Duy 1 1 Dand 1 1 Συνολικό κόστος = *7 * 1* 1* * = Η εναλλακτική είναι εκφυλισμένη Η μηδενική βασική μεταβλητή μπορεί να βρίσκεται είτε στο κελί Ε1Α3 είτε στο κελί ΕΑ Το πρόβλημα της εκχώρησης (assignnt probl, αντιστοίχηση, ανάθεση) Είναι ειδική περίπτωση του προβλήματος μεταφοράς όπου η προσφορά και η ζήτηση είναι μονάδες Κατανομή των πόρων με αντιστοιχία ένα προς ένα Ανάθεση εκτέλεσης εργασιών σε άτομα Εντοπισμός της ιδανικής αντιστοίχισης Απαρίθμηση; Σύνηθες Κριτήριο ελαχιστοποίηση κόστους (χρόνου) ή μεγιστοποίηση κέρδους (ικανοποίησης, χρησιμότητας κ.λπ) Ισορροπημένα ή μη ισορροπημένα 93 Παράδειγμα 1 (εκχώρηση ελεγκτών της «Λογιστική Ε.Π.Ε.») Χρόνος διεκπεραίωσης εργασίας Εργασία Συνεργάτης 1 η η 3 η η η η 7 η 1. Αλέκος Στέφανος Ιωάννα Αργύρης Έλσα Σταμάτης Κώστας Πηνελόπη Είναι ισορροπημένο (?) 9 UΤο γραμμικό μοντέλο του παραδείγματος 1 U Μεταβλητές απόφασης: Xij = ή 1 δυαδική μεταβλητή (binary) που υποδηλώνει αν ο i συνεργάτης αναλαμβάνει (1) ή δεν αναλαμβάνει () την j εργασία. Αντικειμενική συνάρτηση: Miniiz z= 1Χ11 1Χ1 Χ17 1Χ1 1Χ Χ7. 1Χ81 11Χ8 7Χ Uμε περιορισμούς = αν ήταν ισορροπημένο Uτης «Προσφοράς»: 1) Χ11 Χ1 Χ13 Χ1 Χ1 Χ1 Χ17 1 ) Χ1 Χ Χ3 Χ Χ Χ Χ7 1 7) Χ71 Χ7 Χ73 Χ7 Χ7 Χ7 Χ77 1 8) Χ81 Χ8 Χ83 Χ8 Χ8 Χ8 Χ

7 97 Uτης «Ζήτησης»: Το γενικό γραμμικό μοντέλο του προβλήματος εκχώρησης Το γραμμικό μοντέλο του παραδείγματος 1 στο WinQSB Η άριστη λύση με τη μέθοδο siplx 1) Χ11 Χ1 Χ31 Χ1 Χ1 Χ1 Χ71 Χ81 = 1 ) Χ1 Χ Χ3 Χ Χ Χ Χ7 Χ8 = 1 ) Χ1 Χ Χ3 Χ Χ Χ Χ7 Χ8 = 1 7) Χ17 Χ7 Χ37 Χ7 Χ7 Χ7 Χ77 Χ87 = 1 και Χij = ή 1 για i=1,,,8 και j=1,, 7 (ισορροπημένο) Miniiz i = 1 j = 1 c ij x ij μοναδιαίο κόστος εκχώρησης με περιορισμούς μία ακριβώς ανάθεση για τον καθένα xij = 1 i = 1,,..., j= 1 κάθε εργασία ανατίθεται σε ακριβώς έναν xij = 1 j = 1,,..., i= 1 πλήθος εργασιών xij =,1, i=1,,..., και j=1,,..., και ατόμων = Η άριστη λύση με τoν Ουγγρικό (?) Αλγόριθμο Παράδειγμα (συγκρότηση ομάδας σκυταλοδρομίας κολύμβησης) H Ουγγρική Μέθοδος (1) H Ουγγρική Μέθοδος () O προπονητής μίας ομάδας κολύμβησης θέλει να συγκροτήσει την ομάδα που θα λάβει μέρος στο αγώνισμα x μικτή ομαδική ανδρών (σκυταλοδρομία). Έχει στη διάθεσή του αθλητές οι οποίοι είναι γενικά καλοί σε περισσότερα από ένα στυλ κολύμβησης (αν κάθε αθλητής ήταν καλύτερος από κάθε άλλον σε ένα μόνο στυλ τότε δεν θα είχαμε πρόβλημα για να λύσουμε). Στον ακόλουθο πίνακα βλέπετε τους χρόνους των πέντε κολυμβητών (δευτερόλεπτα) για τα Ο πίνακας κόστους μετατρέπεται σε πίνακα κόστους ευκαιρίας εν προσθέτουμε προσφορά ή ζήτηση Υπάρχει ομοιότητα με τη μέθοδο Vogl Βήμα 1 ο :Κατασκευή του πίνακα κόστους ευκαιρίας Βήμα ο :Είναι η τρέχουσα βέλτιστη; Αν όχι συνέχισε, διαφορετικά πήγαινε στο Βήμα. μέτρα σε κάθε στυλ κολύμβησης. Ποιοι θα μπουν στην ομάδα σκυταλοδρομίας; Στόχος: να βρεθεί πίνακας με ένα (τουλάχιστον) μηδενικό κόστος Βήμα 3 ο :Βελτίωση του πίνακα κόστους ευκαιρίας. Πήγαινε στο Βήμα. Ελεύθερο Πρόσθιο Ύπτιο Πεταλούδα ευκαιρίας σε κάθε γραμμή και στήλη (τα οποία μηδενικά να Βήμα ο :Εντόπισε τη βέλτιστη λύση Παναγιώτης 7, 3,1 3, 8, Γιώργος, 7,,,1 Νίκος 7, 31, 9, 9,1 καλύπτονται με γραμμές κάλυψης πλήθους όση και η διάσταση του προβλήματος) Γιάννης,1 8,3 3 7,8 Μανώλης 7 3,3 3,3 9,3 Εφαρμόζεται σε ισορροπημένο πρόβλημα ελαχιστοποίησης H Ουγγρική Μέθοδος (αναλυτικά) Βήμα 1 ο : Κατασκευή του πίνακα κόστους ευκαιρίας: Αφαίρεσε το μικρότερο κόστος κάθε σειράς από κάθε σειρά. Μετά, κάνε το ίδιο και με κάθε στήλη. Βήμα ο : Έλεγχος αριστότητας: Χάραξε (ελάχιστου πλήθους) γραμμές κάλυψης των μηδενικών. Αν το πλήθος των γραμμών είναι ίσο με τη διάσταση του πίνακα τότε πήγαινε στο Βήμα, διαφορετικά συνέχισε. Βήμα 3 ο : Βελτίωση του πίνακα κόστους ευκαιρίας: Αφαιρούμε το μικρότερο μη καλυμμένο στοιχείο από όλα τα μη καλυμμένα στοιχεία του πίνακα και το προσθέτουμε σε όλα τα στοιχεία όπου τέμνονται γραμμές κάλυψης. Πήγαινε στο Βήμα. Παράδειγμα 3 (1) Τρία συνεργεία αναλαμβάνουν τρεις εργασίες. «Κόστος» οι ημέρες. Πίνακας κόστους των πιθανών εκχωρήσεων Σ1 7 7 Σ Σ3 8 3 Παράδειγμα 3 () Βήμα 1: Πίνακας μειωμένος ως προς τις σειρές: Σ1 3 3 Σ 1 Σ3 Πίνακας μειωμένος και ως προς τις στήλες (πίνακας κόστους ευκαιρίας) Παράδειγμα 3 (3) Βήμα : Σ1 3 Σ Σ3 1 γραμμές κάλυψης < διάσταση (=3) Βήμα ο : Εντοπισμός βέλτιστης λύσης: Στη σειρά ή στήλη που έχει ακριβώς ένα μηδενικό στοιχείο κάνουμε εκχώρηση. Αν δεν υπάρχει σειρά ή στήλη με ένα μηδενικό στοιχείο επιλέγουμε αυτήν με τα λιγότερα μηδενικά. Σ1 3 Σ Σ3 1 το μικρότερο ακάλυπτο στοιχείο (=1) «ιαγράφουμε» τη σειρά και στήλη της εκχώρησης και επαναλαμβάνουμε το Βήμα μέχρι να εξαντληθούν οι εκχωρήσεις Παράδειγμα 3 () Προσθαφαίρεση του μικρότερου ακάλυπτου στοιχείου (=1) Σ1 3 Σ Σ3 1 Σ1 1 Σ 1 Σ3 Παράδειγμα 3 () Βήμα : Σ1 1 Σ 1 Σ3 3 γραμμές κάλυψης = διάσταση (=3) Συνεχίζουμε στο Βήμα (εντοπισμός άριστης λύσης) Παράδειγμα 3 () Μοναδικό μηδενικό στοιχείο: Σ1Ε3 εκχώρηση και διαγραφή Σ1Ε3 Σ1 1 Σ 1 Σ3 Σ1 1 Σ 1 Σ3 Παράδειγμα 3 (7) Βήμα (συνέχεια): Μοναδικό Μηδενικό στοιχείο: ΣΕ εκχώρηση και διαγραφή ΣΕ Εναλλακτικά, μηδενικό στοιχείο Σ3Ε1 και διαγραφή Σ3Ε1 Σ1 1 Σ 1 Σ3 Και τελικά απομένει το Σ3Ε1 στο οποίο γίνεται η τελευταία εκχώρηση. Επιστρέφουμε στο Βήμα (γραμμές κάλυψης)

8 113 Παράδειγμα 3 (8) Βήμα (ολοκλήρωση): Μεταφορά των αποτελεσμάτων της διαδικασίας στον Πίνακα κόστους Επιστροφή στο Παράδειγμα (1) Πίνακας χρόνων κολύμβησης: Παράδειγμα () Ισορροπημένο πρόβλημα: Παράδειγμα (3) Βήμα 1: Πίνακας μειωμένος ως προς τις σειρές (ίδιος γιατί απλά αφαιρείται η εικονική): Σ1 7 7 Σ Σ3 8 3 Ελεύθερο Πρόσθιο Ύπτιο Πεταλούδα Παναγιώτης 7, 3,1 3, 8, Γιώργος, 7,,,1 Νίκος 7, 31, 9, 9,1 Γιάννης,1 8,3 3 7,8 Μανώλης 7 3,3 3,3 9,3 Παναγιώτης 7, 3,1 3, 8, Γιώργος, 7,,,1 Νίκος 7, 31, 9, 9,1 Γιάννης,1 8,3 3 7,8 Μανώλης 7 3,3 3,3 9,3 Παναγιώτης 7, 3,1 3, 8, Γιώργος, 7,,,1 Νίκος 7, 31, 9, 9,1 Γιάννης,1 8,3 3 7,8 Μανώλης 7 3,3 3,3 9,3 Πίνακας μειωμένος και ως προς τις στήλες (πίνακας κόστους ευκαιρίας) Οπότε οι αναθέσεις είναι Σ1 Ε3, Σ Ε και Σ3 Ε1 με συνολικό ελάχιστο «κόστος» = 1 εργάσιμες ημέρες. Το πρόβλημα δεν είναι ισορροπημένο (Υπερβάλλουσα προσφορά) Προσθέτουμε Εικονική στήλη με μηδενικά κόστη Παναγιώτης,8,9,8 3,1 Γιώργος Νίκος 3,,3 3,9 Γιάννης 1,7 1,1,,7 Μανώλης, 3,1,7, Παράδειγμα () Βήμα : Παράδειγμα () Προσθαφαίρεση του μικρότερου ακάλυπτου στοιχείου (=1,1) Παράδειγμα () Βήμα : Παράδειγμα (7) Προσθαφαίρεση του μικρότερου ακάλυπτου στοιχείου (=,) Παναγιώτης,8,9,8 3,1 Γιώργος Νίκος 3,,3 3,9 Γιάννης 1,7 1,1,,7 Μανώλης, 3,1,7, Παναγιώτης,8,9,8 3,1 Γιώργος Νίκος 3,,3 3,9 Γιάννης 1,7 1,1,,7 Μανώλης, 3,1,7, Παναγιώτης 1,7 3,8 3,7 Γιώργος 1,1 Νίκος,1 3,,8,9 Γιάννης, 3,3 1, Μανώλης 1,, 3,1 Παναγιώτης 1,7 3,8 3,7 Γιώργος 1,1 Νίκος,1 3,,8,9 Γιάννης, 3,3 1, Μανώλης 1,, 3,1 γραμμές κάλυψης < διάσταση (=) το μικρότερο ακάλυπτο στοιχείο (=1,1) Παναγιώτης 1,7 3,8 3,7 Γιώργος 1,1 Νίκος,1 3,,8,9 Γιάννης, 3,3 1, Μανώλης 1,, 3,1 3 γραμμές κάλυψης < διάσταση (=) το μικρότερο ακάλυπτο στοιχείο (=,) Παναγιώτης 1,1 3,8 3,1 1, Γιώργος, 1,7 Νίκος 1, 3,,,3 Γιάννης,7 1 Μανώλης,9, Επιστρέφουμε στο Βήμα (γραμμές κάλυψης) Επιστρέφουμε στο Βήμα (γραμμές κάλυψης) Παράδειγμα (8) Βήμα : Παράδειγμα (9) Προσθαφαίρεση του μικρότερου ακάλυπτου στοιχείου (=,9) Παράδειγμα (1) Βήμα : Παράδειγμα (11) Προσθαφαίρεση του μικρότερου ακάλυπτου στοιχείου (=,) Παναγιώτης 1,1 3,8 3,1 1, Γιώργος, 1,7 Νίκος 1, 3,,,3 Γιάννης,7 1 Μανώλης,9, Παναγιώτης 1,1 3,8 3,1 1, Γιώργος, 1,7 Νίκος 1, 3,,,3 Γιάννης,7 1 Μανώλης,9, Παναγιώτης,,9,, Γιώργος,, Νίκος,,3 1,3 1, Γιάννης,7 1,9 Μανώλης 1,1,1 1, Παναγιώτης,,9,, Γιώργος,, Νίκος,,3 1,3 1, Γιάννης,7 1,9 Μανώλης 1,1,1 1, 3 γραμμές κάλυψης < διάσταση (=) το μικρότερο ακάλυπτο στοιχείο (=,9) Παναγιώτης,,9,, Γιώργος,, Νίκος,,3 1,3 1, Γιάννης,7 1,9 Μανώλης 1,1,1 1, γραμμές κάλυψης < διάσταση (=) το μικρότερο ακάλυπτο στοιχείο (=,) Παναγιώτης,,9 1,7 Γιώργος, 1,1 3,1 Νίκος,,3,8,9 Γιάννης,,,9 Μανώλης 1,1 3, 1,1 Επιστρέφουμε στο Βήμα (γραμμές κάλυψης) Επιστρέφουμε στο Βήμα (γραμμές κάλυψης) Παράδειγμα (1) Βήμα : Παναγιώτης,,9 1,7 Γιώργος, 1,1 3,1 Νίκος,,3,8,9 Γιάννης,,,9 Μανώλης 1,1 3, 1,1 Παράδειγμα (13) Μοναδικό μηδενικό στοιχείο: Πρόσθιο Γιάννης εκχώρηση και διαγραφή: Πρόσθιο Γιάννης (επίσης, Νίκος Εικονική, Ύπτιο Γιώργος) Παναγιώτης,,9 1,7 Γιώργος, 1,1 3,1 Νίκος,,3,8,9 Γιάννης,,,9 Μανώλης 1,1 3, 1,1 Παράδειγμα (1) Μοναδικό μηδενικό στοιχείο: Ελεύθερο Μανώλης εκχώρηση και διαγραφή: Ελεύθερο Μανώλης (επίσης, Νίκος Εικονική και Ύπτιο Γιώργος) Παναγιώτης,,9 1,7 Γιώργος, 1,1 3,1 Νίκος,,3,8,9 Γιάννης,,,9 Μανώλης 1,1 3, 1,1 Παράδειγμα (1) Μοναδικό μηδενικό στοιχείο: Ύπτιο Γιώργος εκχώρηση και διαγραφή: Ύπτιο Γιώργος (επίσης, Νίκος Εικονική) Παναγιώτης,,9 1,7 Γιώργος, 1,1 3,1 Νίκος,,3,8,9 Γιάννης,,,9 Μανώλης 1,1 3, 1,1 γραμμές κάλυψης = διάσταση (=) Συνεχίζουμε στο Βήμα (εντοπισμός άριστης λύσης) Παναγιώτης,,9 1,7 Γιώργος, 1,1 3,1 Νίκος,,3,8,9 Γιάννης,,,9 Μανώλης 1,1 3, 1,1 Παναγιώτης,,9 1,7 Γιώργος, 1,1 3,1 Νίκος,,3,8,9 Γιάννης,,,9 Μανώλης 1,1 3, 1,1 Παναγιώτης,,9 1,7 Γιώργος, 1,1 3,1 Νίκος,,3,8,9 Γιάννης,,,9 Μανώλης 1,1 3, 1,

9 19 Παράδειγμα (1) Μοναδικό μηδενικό στοιχείο: Πεταλούδα Παναγιώτης εκχώρηση και διαγραφή: Πεταλούδα Παναγιώτης (επίσης, Νίκος Εικονική) Παναγιώτης,,9 1,7 Παράδειγμα (17) Βήμα (ολοκλήρωση): Μεταφορά των αποτελεσμάτων της διαδικασίας στον Πίνακα κόστους (χρόνου): Παναγιώτης 7, 3,1 3, 8, Επίλυση με τη μέθοδο siplx Άλλες ειδικές περιπτώσεις Αποκλεισμός ανάθεσης: Θέτουμε κόστος = Μ (ή κέρδος = Μ) Πολλαπλές άριστες λύσεις: Ένδειξη: δεν μπορεί να βρεθεί σειρά ή στήλη με μοναδικό μηδενικό κατά το Βήμα. Επιλέγουμε Γιώργος, 1,1 3,1 Νίκος,,3,8,9 Γιώργος, 7,,,1 Νίκος 7, 31, 9, 9,1 αυθαίρετα μεταξύ των πολλαπλών μηδενικών. Γιάννης,,,9 Μανώλης 1,1 3, 1,1 Παναγιώτης,,9 1,7 Γιάννης,1 8,3 3 7,8 Μανώλης 7 3,3 3,3 9,3 Οπότε, οι αναθέσεις είναι Παναγιώτης Πεταλούδα, Γιώργος Ύπτιο, Νίκος Μεγιστοποίηση: Μετατρέπουμε πρώτα τον πίνακα εισοδημάτων (ή κέρδους) σε πίνακα κόστους ευκαιρίας μεγιστοποίησης, αφαιρώντας κάθε στοιχείο του πίνακα από το μεγαλύτερό του Γιώργος, 1,1 3,1 Νίκος,,3,8,9 Εικονική, Γιάννης Πρόσθιο και Μανώλης Ελεύθερο με συνολικό ελάχιστο χρόνο 8,, 8,3 7 = 19,1 δευτερόλεπτα. στοιχείο (εξαιρούνται οι εικονικές σειρές ή στήλες.) Γιάννης,,,9 Μανώλης 1,1 3, 1,1 Κατόπιν, προχωράμε με τον πίνακα που προέκυψε σαν να ήταν Και φυσικά, απομένει η εκχώρηση Νίκος Εικονική πίνακας κόστους Παράδειγμα Μεγιστοποίηση Παράδειγμα (1) Παράδειγμα () Παράδειγμα (3) Βήμα 1: Βήμα : Ας λύσουμε το Παράδειγμα 3 ως πρόβλημα μεγιστοποίησης. Μετατρέπουμε τον πίνακα σε πίνακα κόστους ευκαιρίας Πίνακας μειωμένος ως προς τις σειρές: ηλαδή, οι αριθμοί παριστάνουν εισόδημα (χρηματικές μονάδες) μεγιστοποίησης. Για τον σκοπό αυτό, αφαιρούμε κάθε στοιχείο του Πίνακας εσόδων των εκχωρήσεων πίνακα από το μεγαλύτερό του στοιχείο, που είναι το 8 (Σ3Ε). Σ1 3 Σ 1 1 Σ1 Σ 1 Πίνακας κόστους ευκαιρίας για το πρόβλημα μεγιστοποίησης Σ3 3 Σ3 3 Σ1 7 7 Σ Σ3 8 3 Σ1 1 1 Σ 3 3 Σ3 3 Πίνακας μειωμένος και ως προς τις στήλες (πίνακας κόστους ευκαιρίας) Σ1 3 γραμμές κάλυψης = διάσταση (=3) Συνεχίζουμε στο Βήμα (εντοπισμός άριστης λύσης) Σ 1 Συνεχίζουμε με τον παραπάνω πίνακα σαν να ήταν ο αρχικός πίνακας προβλήματος ελαχιστοποίησης. Σ Παράδειγμα () Παράδειγμα () Παράδειγμα () Βήμα (ολοκλήρωση): Μοναδικό μηδενικό στοιχείο: Σ3Ε εκχώρηση και διαγραφή Σ3Ε (επίσης, Ε3Σ) Μοναδικό μηδενικό στοιχείο: Σ1Ε1 εκχώρηση και διαγραφή Σ1Ε1 (επίσης, Ε3Σ) Μεταφορά των αποτελεσμάτων της διαδικασίας στον αρχικό πίνακα εσόδων: Σ1 7 7 Σ1 Σ 1 Σ3 3 Σ1 Σ1 Σ 1 Σ3 3 Σ Σ3 8 3 Οπότε, οι αναθέσεις είναι Σ1 Ε1, Σ Ε3 και Σ3 Ε με συνολικό εισόδημα 7 8 = χρηματικές μονάδες. Σ 1 Σ1 Σ3 3 Σ 1 Σ3 3 Και φυσικά, η τελευταία εκχώρηση είναι στο Ε3Σ