Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex:

Transcript

1 1 UΜετάβαση από τον Γραμμικό Προγραμματισμό στη Θεωρία Δικτύων UΤο πρόβλημα Μεταφοράς (Transportation probl) UΗ «Μακεδονική Εταιρεία Αναψυκτικών Α.Ε.» Παράγει ένα αναψυκτικό ευρείας κατανάλωσης Το προϊόν παράγεται σε τρεις παραγωγικές μονάδες Μεγάλες ποσότητες (κιβώτια) αποστέλλονται μία φορά την εβδομάδα σε τέσσερις πόλεις κέντρα διανομής στην υπόλοιπη χώρα Το σχετικό κόστος μεταφοράς ανά κιβώτιο εξαρτάται από την απόσταση, το χρόνο, τα καύσιμα και τη συντήρηση των οχημάτων, τα διόδια, το κόστος ασφάλισης, τις αμοιβές του προσωπικού κλπ Τα δεδομένα του προβλήματος Προέλευση Πόλη 1 Πόλη Πόλη Προσφορά 3 Πόλη Εργοστάσιο Εργοστάσιο Εργοστάσιο 3 9 Ζήτηση 3 1. Εργοστάσια: πηγές, προελεύσεις (προσφορά) Πόλεις: προορισμοί (ζήτηση) Ισορροπημένο και μη ισορροπημένο πρόβλημα UΟ στόχος του προβλήματοςu Να εντοπιστεί το άριστο σχέδιο μεταφοράς, δηλαδή εκείνο ελαχίστου συνολικού κόστους, ώστε να ικανοποιείται η ζήτηση κάθε πόλης Με βάση τα παραπάνω δεδομένα: Τι καθορίζει τελικά το συνολικό κόστος μεταφοράς ; UΤο γραμμικό μοντέλο του προβλήματος μεταφοράς Μεταβλητές απόφασης: Xij = τα κιβώτια που αποστέλλονται από το εργοστάσιο i στην πόλη j Αντικειμενική συνάρτηση: Miniiz z= 1x x 11 x1 x13 1 9x x 1 7x x3 7 x x 31 9x3 x33 3 Περιορισμοί: Uτης Προσφοράς: 1) x 11 x1 x13 x1 3 ) x x x x 1 3 3) x x x x = αν είναι ισορροπημένο Uτης Ζήτησης: 1) x 11 x x 1 31 ) x 1 x x3 3) x 13 x x ) x 1 x x 3 UΓενική μορφή προβλήματος μεταφοράς και x ij για 1,, 3 i και j 1,,3, UΙσορροπημένο Πρόβλημα UΤο πρόβλημα μεταφοράς είναι πρόβλημα δικτυωτής ανάλυσης Επίλυση με τη μέθοδο siplx Η άριστη λύση με τη μέθοδο siplx: s n i i 1 j 1 d j συνολική προφορά = συνολική ζήτηση Δηλαδή, όταν η συνολική προσφορά είναι ίση με τη συνολική ζήτηση, οι περιορισμοί της προσφοράς παίρνουν (ούτως ή άλλως) τη μορφή ισότητας Τα βασικά βήματα της μεθόδου μεταφοράς Βήμα 1ο. Διαμόρφωση μίας αρχικής βασικής εφικτής λύσης (αρχικό βασικό εφικτό σχέδιο μεταφοράς) Βήμα ο. Έλεγχος κριτηρίου τερματισμού (αριστότητας). Αν είναι αληθές, τότε βρέθηκε η βέλτιστη λύση (δηλαδή, το άριστο σχέδιο μεταφοράς), διαφορετικά: συνέχισε στο Βήμα 3. Βήμα 3ο. Βρες ένα καλύτερο σχέδιο μεταφοράς (κάνε ανακατανομή των εκχωρήσεων). Επιστροφή στο Βήμα Σημαντική σημείωση: Πρώτα πρέπει να ισορροπείται! Ο Πίνακας Μεταφοράς Βήμα 1 ο Διαμόρφωση μίας αρχικής βασικής εφικτής λύσης Α τρόπος: η μέθοδος της βορειοδυτικής γωνίας (ισορροπημένο) Βήμα 1. Εκχωρούμε στο βορειοδυτικό κελί τη μέγιστη δυνατή ποσότητα ανάλογα με την προσφορά και τη ζήτηση της αντίστοιχης σειράς ή στήλης. Προσαρμόζουμε κατάλληλα την προσφορά της σειράς και τη ζήτηση της στήλης. Βήμα. Διαγράφουμε, είτε τη σειρά της οποίας η προσφορά έχει εξαντληθεί, είτε τη στήλη της οποίας η ζήτηση έχει ικανοποιηθεί. Βήμα 3. Έχουν εξαντληθεί όλες προσφορές και ικανοποιηθεί όλες οι ζητήσεις; Αν Ναι, τότε βρέθηκε αρχική βασική εφικτή λύση (ΤΕΛΟΣ), διαφορετικά: Επανέλαβε από το Βήμα 1. Εφαρμογή της μεθόδου της ΒΔΓ στο παράδειγμα Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά την πρώτη εκχώρηση (ΒΔΓ) Δηλαδή X11 =

2 17 Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά τη δεύτερη εκχώρηση (ΒΔΓ) Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά την τρίτη εκχώρηση (ΒΔΓ) Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά την τέταρτη εκχώρηση (ΒΔΓ) Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά την πέμπτη εκχώρηση (ΒΔΓ) Δηλαδή X1 = 1 Δηλαδή X = Δηλαδή X3 = 1 Δηλαδή X33 = Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά την έκτη και τελευταία εκχώρηση (ΒΔΓ) Ο Πίνακας Μεταφοράς με την αρχική βασική εφικτή λύση (ΒΔΓ) Βήμα 1 ο (ξανά) Διαμόρφωση μίας αρχικής βασικής εφικτής λύσης Β τρόπος: η μέθοδος Vogl (ισορροπημένο) Εφαρμογή της μεθόδου Vogl Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά την πρώτη εκχώρηση (Vogl) Βήμα 1. Υπολογίζουμε τις λεγόμενες «διαφορές» σε κάθε σειρά και στήλη, αφαιρώντας το μικρότερο κόστος από το αμέσως μεγαλύτερό ή ίσο του. Βήμα. Επιλέγουμε τη σειρά ή τη στήλη με τη μεγαλύτερη διαφορά. Βήμα 3. Στη συγκεκριμένη σειρά ή στήλη εκχωρούμε το μεγαλύτερο δυνατό φορτίο στο κελί με το μικρότερο μοναδιαίο κόστος μεταφοράς ανά μονάδα προϊόντος. Ακολούθως, αναπροσαρμόζουμε τη ζήτηση του προορισμού, την προσφορά της πηγής και διαγράφουμε αναλόγως τη σειρά ή τη στήλη. Βήμα. Έχουν εξαντληθεί όλες προσφορές και ικανοποιηθεί όλες οι ζητήσεις; Αν Ναι, τότε βρέθηκε αρχική βασική εφικτή λύση (ΤΕΛΟΣ), διαφορετικά: Δηλαδή X3 = Αρχικό συνολικό κόστος μεταφοράς = 89 (βέλτιστο?) Επανέλαβε από το Βήμα 1. Δηλαδή Χ31 = Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά τη δεύτερη εκχώρηση (Vogl) Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά την τρίτη εκχώρηση (Vogl) Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά τις τελευταίες εκχωρήσεις 1 Δηλαδή Χ1 = Δηλαδή Χ13 = 1 Συνολικό κόστος μεταφοράς = 8 (βέλτιστο??) Το κύριο τμήμα της μεθόδου μεταφοράς Έλεγχος τερματισμού και επιλογή εισερχόμενου κελιού UΕφαρμογή στο παράδειγμα (αρχική λύση με ΒΔΓ) Ο Πίνακας Μεταφοράς με την αρχική βασική εφικτή λύση Το γραμμικό σύστημα του παραδείγματος Βήμα ο και Βήμα 3 ο Έλεγχος αριστότητας και διαδικασία ανακατανομής των εκχωρήσεων (Βήμα ο και Βήμα 3 ο ) (Modifid Distribution thod MODΙ) 1. Υπολογίζουμε για κάθε σειρά τις βοηθητικές τιμές ui, και για κάθε στήλη τις τιμές vj ΠΩΣ??. Επιλύοντας ένα σύστημα εξισώσεων: ui vj = cij για όλα τα κατειλημμένα κελιά (και θέτοντας u1 = ). Υπολογίζουμε τα κόστη ευκαιρίας ij = cij ui vj για όλα τα κενά κελιά (δηλαδή για όλες τις μη βασικές μεταβλητές) 1. u1 v1 = 1. u v1 = 9 3. u v = 7. u v3 = 1. Πώς επιλέγεται το εισερχόμενο κελί;. Πώς επιλέγεται το εξερχόμενο κελί; 3. Ελέγχουμε πρώτα το κριτήριο τερματισμού Δηλαδή: Αν όλα τα ij είναι μη αρνητικά, τότε εντοπίστηκε το άριστο σχέδιο (=ΤΕΛΟΣ), αλλιώς συνεχίζουμε στο επόμενο βήμα:. u3 v3 =. u3 v = 3. Πώς γίνεται η ανακατανομή των εκχωρήσεων;. Επιλέγουμε το πιο αρνητικό ij το οποίο καθορίζει την εισερχόμενη μεταβλητή (δηλαδή κελί με το φορτίο που θα ανακατανεμηθεί). Αν υπάρχουν ισοβαθμίσεις, επιλέγουμε αυθαίρετα. Αρχικό συνολικό κόστος μεταφοράς = 89 To σύστημα αποτελείται από 7 αγνώστους και εξισώσεις

3 33 Επίλυση του συστήματος UΟ Πίνακας Μεταφοράς με τα κόστη ευκαιρίας Το μονοπάτι ανακατανομής των εκχωρήσεων Ο Πίνακας Μεταφοράς με το μονοπάτι ανακατανομής Θέτοντας u1 = έχουμε διαδοχικά ότι: 1. Ξεκινάμε από το εισερχόμενο κελί που έχει ήδη επιλεγεί. v1 = 1, u = 1, v = 8, v3 = 7, u3 = 1, v = Κατασκευάζουμε ένα κλειστό μονοπάτι που ξεκινά από το Οπότε: τα κόστη ευκαιρίας είναι: 1 c1 v = 8 = 3 13 c13 v3 = 7 = 1 c1 v = = c u v = 7 (1) = 31 c31 u3 v1 = (1) 1 = 3 c3 u3 v = 9 (1) 8 = εισερχόμενο κελί και καταλήγει πίσω σε αυτό, εκτελώντας άλματα: μόνο σε κατειλημμένα κελιά, μία μόνο φορά σε κάποια σειρά ή στήλη και όχι διαγώνια.. Το εισερχόμενο κελί σημαίνεται ως. Τοποθετούμε διαδοχικά και στα υπόλοιπα κελιά που απαρτίζουν το μονοπάτι (τα κελιά παίρνουν φορτίο τα κελιά χάνουν φορτίο). Εισερχόμενο κελί Εξερχόμενο κελί Συνέχεια της διαδικασίας 3. Επιλέγουμε το κελί με τη μικρότερη τρέχουσα εκχώρηση μεταξύ αυτών που έχουν σημανθεί με. Αυτό το κελί είναι το εξερχόμενο και δίνει όλη την ποσότητά του στο εισερχόμενο κελί. Σε περίπτωση U Η νέα βασική εφικτή λύση (τέλος πρώτης επανάληψης) Συνολικό κόστος τρέχουσας λύσης (μετά την πρώτη επανάληψη) = UΔεύτερη επανάληψη, υπολογισμός για τα κόστη ευκαιρίας ισοβάθμισης επιλέγουμε αυθαίρετα (οδηγεί σε εκφυλισμένη λύση, Ζ= = 8 δηλαδή λύση με κάποια βασική μεταβλητή ίση με μηδέν).. Στα κελιά του μονοπατιού με σήμανση προσθέτουμε την ποσότητα του εξερχόμενου κελιού και από τα κελιά με σήμανση αφαιρούμε την ποσότητα αυτή. Η λύση που προκύπτει είναι ένα νέο, καλύτερο σχέδιο μεταφοράς (δηλαδή με μικρότερο συνολικό κόστος). Δηλαδή, έχουμε βελτίωση μονάδων (?) Με βάση το αποτέλεσμα που έχουμε ήδη βρει με τη siplx (σελ.11) (που υποτίθεται φυσικά ότι δεν γνωρίζουμε) είναι η άριστη τιμή του κόστους?? Είναι η βέλτιστη λύση? UΔεύτερη επανάληψη, το μονοπάτι ανακατανομής UΟλοκλήρωση δεύτερης επανάληψης UΜετά από πέντε επαναλήψεις ( ) Εντοπισμός Εναλλακτικής άριστης Λύσης UΑνακατανομή των εκχωρήσεων στο κελί Ε1Π Συνολικό Κόστος = 78 χμ, μείωση 7 χμ Συνολικό κόστος = 8 μονάδες (είναι η άριστη?) UΗ Εναλλακτική άριστη λύση (Συνολικό κόστος = 8) Μη ισορροπημένα προβλήματα Παράδειγμα: Αύξηση της προσφοράς του Ε1 στα κιβώτια () UΗ αρχική λύση (βρέθηκε με τη μέθοδο Vogl) α) Η συνολική ζήτηση ξεπερνά τη συνολική προσφορά Ο Πίνακας Μεταφοράς πριν την αύξηση αυτή προσθήκη εικονικής προέλευσης (δηλαδή προσφοράς σειράς) β) Η συνολική προσφορά ξεπερνά τη συνολική ζήτηση προσθήκη εικονικού προορισμού (δηλαδή ζήτησης στήλης) Κόστος ευκαιρίας στο κελί Ε1Π3?

4 9 Σχόλια για την αρχική λύση που βρέθηκε Συνολικό κόστος μεταφοράς = 7 Η αρχική λύση είναι και η βέλτιστη (??) Σε σχέση με το προηγούμενο πρόβλημαh Υπήρξε βελτίωση του κόστους κατά χρηματικές μονάδες (??) Εκφυλισμένες λύσεις Κάποια βασική μεταβλητή έχει μηδενική τιμή. Δηλαδή, οι μη μηδενικές μεταβλητές είναι λιγότερες από n1 Προκαλείται πρόβλημα στη διαδικασία ανακατανομής των εκχωρήσεων κατά τη φάση της επίλυσης Θεραπεία: Τοποθετούμε μία μηδενική εκχώρηση στην κατάλληλη θέση για να χρησιμοποιηθεί στη συνέχεια ως Δύο περιπτώσεις εμφάνισης εκφυλισμένης λύσης 1. Κατά την κατάρτιση του αρχικού πίνακα μεταφοράς (π.χ. με τη μέθοδο ΒΔ), όταν η προσφορά και η ζήτηση σε κάποιο στάδιο εκχώρησης είναι ίσες.. Στη διαδικασία ανακατανομής των εκχωρήσεων του κύριου τμήματος της μεθόδου μεταφοράς όταν προκύπτει ισοβάθμιση στην επιλογή του εξερχόμενου κελιού. Παράδειγμα Περίπτωση 1: Θέτουμε τη ζήτηση της πόλης Π=3 και της Π3= Ο Πίνακας Μεταφοράς βασική μεταβλητή, όπως οι υπόλοιπες βασικές Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά τη δεύτερη εκχώρηση Ο Πίνακας Μεταφοράς με την μηδενική βασική μεταβλητή Παράδειγμα Περίπτωση : Ο Πίνακας Μεταφοράς με την αρχική βασική εφικτή λύση Μείωση της προσφοράς του Ε3 κατά 1 (Ε3= 3) Ο Πίνακας Μεταφοράς Τρίτη επανάληψη της μεθόδου μεταφοράς Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά την τρίτη επανάληψη της μεθόδου Η βέλτιστη λύση του προβλήματος με την εκφυλισμένη ενδιάμεση λύση Άλλες Ειδικές Καταστάσεις (1) 1. Μεγιστοποίηση Μετατροπή της διαδικασίας εύρεσης αρχικής βασικής εφικτής λύσης (αν χρειάζεται) Μετατροπή του κριτηρίου επιλογής εισερχόμενου κελιού (επιλέγεται εκείνο με το μεγαλύτερο θετικό κόστος ευκαιρίας) Μετατροπή του κριτηρίου αριστότητας (η διαδικασία ολοκληρώνεται όταν δεν υπάρχουν θετικά κόστη ευκαιρίας) Εύρεση της αρχικής εφικτής λύσης στη μεγιστοποίηση Η μέθοδος Vogl στη μεγιστοποίηση Εφαρμογή της μεθόδου Vogl στη μεγιστοποίηση (1) Εφαρμογή της μεθόδου Vogl στη μεγιστοποίηση () Με τη μέθοδο της Βορειοδυτικής γωνίας δεν υπάρχει διαφορά στη διαδικασία Με τη μέθοδο Vogl όμως??? Ακολουθεί το παράδειγμα της «Μακεδονικής», ως πρόβλημα μεγιστοποίησης, με το πρώτο βήμα (εύρεση αρχικής λύσης) με τη μέθοδο Vogl Βήμα 1. Υπολογίζουμε τις «διαφορές» σε κάθε σειρά και στήλη, αφαιρώντας από το μεγαλύτερο κέρδος το αμέσως μικρότερο ή ίσο του. Βήμα. Επιλέγουμε τη σειρά ή τη στήλη με τη μεγαλύτερη διαφορά. Βήμα 3. Στη συγκεκριμένη σειρά ή στήλη εκχωρούμε το μεγαλύτερο δυνατό φορτίο στο κελί με το μεγαλύτερο μοναδιαίο κέρδος μεταφοράς ανά μονάδα προϊόντος. Ακολούθως, αναπροσαρμόζουμε τη ζήτηση του προορισμού, την προσφορά της πηγής και διαγράφουμε αναλόγως τη σειρά ή τη στήλη. Βήμα. Έχουν εξαντληθεί όλες προσφορές και ικανοποιηθεί όλες οι ζητήσεις; Αν Ναι, τότε βρέθηκε αρχική βασική εφικτή λύση (ΤΕΛΟΣ), διαφορετικά: Επανέλαβε από το Βήμα 1. Προέλευση Π1 Π Π3 Π Supply Διαφορές 1 Ε1 3 3 Ε 9 Ε3 3 Dand Διαφορές 1 1 Προέλευση Π1 Π Π3 Π Supply Διαφορές 1 Ε1 3 3 Ε 1 3, 9 Ε3 3, 3 Dand 1 3 Διαφορές 1,,, 1,

5 Εφαρμογή της μεθόδου Vogl στη μεγιστοποίηση (3) Εφαρμογή της μεθόδου Vogl στη μεγιστοποίηση () Εφαρμογή της μεθόδου Vogl στη μεγιστοποίηση () Αρχική λύση με Vogl (πρόβλημα μεγιστοποίησης) Προέλευση Π1 Π Π3 Π Supply Διαφορές Ε Ε ,, 9 Ε3 3, 3, 3 Dand ,, Διαφορές,,, 1,, Προέλευση Π1 Π Π3 Π Supply Διαφορές 1 Ε1 3 3 Ε 1 3,,, Ε3 3, 3, 3, 1 Dand ,,,, Διαφορές,,,, 1, Προέλευση Π1 Π Π3 Π Supply Διαφορές 1 Ε1 3 3 Ε 1 1 3,,, 1 9 1, Ε3, 3, 3, 3, 1 Dand ,,,,,, Διαφορές,, 1, 3 Συνολικό κέρδος = 3*11*91**7*9* = 97 Είναι Βέλτιστη ; Ξανά το παράδειγμα μεγιστοποίησης, ξεκινώντας με ΒΔΓ Το παράδειγμα μεγιστοποίησης, ξεκινώντας με ΒΔΓ () Το παράδειγμα μεγιστοποίησης, ξεκινώντας με ΒΔΓ (3) Το παράδειγμα μεγιστοποίησης, ξεκινώντας με ΒΔΓ () Π Π3 Προέλευση Π1 Π Supply Ε Ε 1 1 Ε3 9 Dand 3 1 Π Π3 Προέλευση Π1 Π Supply Ε Ε 1 1 Ε3 9 3 Dand 3 1 Π Π3 Προέλευση Π1 Π Supply Ε Ε 1 1 Ε3 9 3 Dand 3 1 Π Π3 Προέλευση Π1 Π Supply Ε Ε Ε3 Dand 3 1 Συνολικό Κέρδος = 89 Συνολικό Κέρδος = 9 Συνολικό Κέρδος = 9 Συνολικό Κέρδος = 97 Είναι βέλτιστη; Άλλες Ειδικές Καταστάσεις (). Αποκλεισμός διαδρομών Σε πρόβλημα ελαχιστοποίησης θέτουμε το μοναδιαίο κόστος μεταφοράς του αντίστοιχου κελιού ίσο με άπειρο, δηλαδή ίσο με Μ. Σε πρόβλημα μεγιστοποίησης, θέτουμε ως μοναδιαίο κέρδος μεταφοράς το Μ. UΥπενθύμιση, η άριστη λύση (κόστος 8) Παράδειγμα: η άριστη λύση με αποκλεισμό του Ε3Π1 Ο Πίνακας Μεταφοράς της βέλτιστης με αποκλεισμό κελιού 3 Νέο Κόστος: = 8 (> 8)? Γενικό Παράδειγμα 1: από τη Διοίκηση Παραγωγής Μία αλυσίδα αρτοποιείων τροφοδοτεί χώρους μαζικής εστίασης. Η παραγωγή λαμβάνει χώρα σε τρεις εγκαταστάσεις Φ1, Φ και Φ3, με ημερήσια δυναμικότητα,, και 1 κιλά αντιστοίχως και απορροφάται από τέσσερις πελάτες Π1, Π, Π3 και Π. Το κόστος πρώτων υλών, εργασίας κλπ για ένα κιλό ψωμί είναι 1χμ. Άλλα κόστη (π.χ. πάγια έξοδα) επιβαρύνουν κάθε κιλό προϊόντος προς 1, 1 και χμ αντιστοίχως για Φ1, Φ, Φ3. Το προϊόν μεταφέρεται στους πελάτες με ιδιόκτητα οχήματα της επιχείρησης. Όλες οι απαιτούμενες μεταφορές επιβαρύνουν το κόστος κάθε τεμαχίου άρτου με τις τιμές του ακόλουθου πίνακα ανάλογα με τον πελάτη στον οποίο καταλήγει Δεδομένα του γενικού παραδείγματος 1 Κόστη σχετικά με τη διακίνηση προϊόντων (χρηματικές μονάδες ανά τεμάχιο προϊόντος που διακινείται) Π1 Π Π3 Π Φ Φ Φ3 1 Άλλα στοιχεία του προβλήματος Η (χονδρική) τιμή πώλησης του προϊόντος είναι διαφορετική για κάθε πελάτη, ανάλογα με τη σύμβαση και ανέρχεται στις χμ για τον Π1, χμ για το Π, χμ για τον Π3 και χμ για τον Π (τιμές ανά τεμάχιο). Οι καθημερινές απαιτήσεις των πελατών είναι κατά μέσο όρο οι εξής: Π1:, Π:, Π3:7 και Π: (κιλά άρτου). Η εγκατάσταση Φ δεν αποστέλλει στον πελάτη Π3 λόγω διαφωνίας που προέκυψε μεταξύ των διοικήσεων των δύο εταιρειών. UΥπολογισμοί περιθωρίου κέρδους Υπολογισμός περιθωρίου κέρδους για κάθε περίπτωση παραγωγής και ικανοποίησης της ζήτησης Π1 Π Π3 Π Φ1 111= 111=8 111= 111=7 Φ 111= 111=7 111= 111= Φ3 1= 1=7 1= 11= UΑρχικός πίνακας μεταφοράς (ΒΔ) Αφού εντοπίσετε το πρόβλημα που καλείται να λύσει η επιχείρηση να εφαρμόσετε τη μέθοδο μεταφοράς για να βρείτε την άριστη λύση

6 81 Σύστημα u 1= u 1 v 1 = u 1 v =8 u v = 7 u v 3 = M u 3 v 3 = u 3 v = u v = Δηλαδή: u 1 = v 1 = v =8 u = v 3 = M u 3 = M v = M u = Μ Υπολογισμός κόστους ευκαιρίας 13 c13 v3 = (M) := M 1 c1 v = 7 (M) := M 1 c1 u v1 = () = c u v = () (M) := M 31 c31 u3 v1 = M := M 3 c3 u3 v = 7 M 8 := M 1 c1 u v1 = M := M c u v = M 8 := M 3 c3 u v3 = M (M) = UΑρχικός πίνακας μεταφοράς με το μονοπάτι ανακατανομής 83 UΜετά από έξι επαναλήψεις (βέλτιστη λύση) Συνολικό κέρδος = Γενικό Παράδειγμα Η «Snowobil Ltd» επιθυμεί να στείλει παλέτες με πέδιλα του σκι από τα δύο εργοστάσιά της (Ε1 και Ε) σε τρεις αποθήκες κέντρα διανομής (Α1, Α και Α3). Η προσφορά των εργοστασίων Ε1 και Ε είναι και 1 παλέτες αντίστοιχα, ενώ, η ζήτηση στις τρεις αποθήκες ανέρχεται σε 1, και 1 παλέτες, αντίστοιχα. Στον ακόλουθο πίνακα βλέπετε το μοναδιαίο κόστος μεταφοράς (χρ. μονάδες) μίας παλέτας, από κάθε εργοστάσιο προς κάθε κέντρο διανομής. Α1 Α Α3 Ε1 8 7 Ε 9 Ποιο πρόβλημα αντιμετωπίζει η επιχείρηση; Ξεκινήστε με τη μέθοδο Vogl για να το επιλύσετε. Αν υπάρχει εναλλακτική λύση να την εντοπίσετε. Γενικό Παράδειγμα (επίλυση 1) Εφαρμογή της μεθόδου Vogl, πρώτα εξισορροπείται Προέλευση Α1 Α Α3 Supply Διαφορές Ε Ε Duy 1 1 Dand Διαφορές 7 Γενικό Παράδειγμα (επίλυση ) Εφαρμογή της μεθόδου Vogl Α1 Α Α3 Supply Διαφορές 8 7 Ε1 1, 1 9 Ε 1 1 Duy 1 1 Dand Διαφορές 7 3 1, 1 Γενικό Παράδειγμα (επίλυση 3) Εφαρμογή της μεθόδου Vogl Α1 Α Α3 Supply Διαφορές 8 7 Ε1 1, 1, 1 9 Ε 1 1 Duy 1 1 Dand Διαφορές 3 7 1, 1, Γενικό Παράδειγμα (επίλυση ) Ολοκλήρωση της μεθόδου Vogl (τετριμμένο προφανές) Α1 Α Α3 Supply Διαφορές 8 7 Ε , 1, 1 9 Ε 1 1 1, 1, Duy 1 1 Dand Διαφορές Γενικό Παράδειγμα (επίλυση ) Αρχική βασική εφικτή λύση (βρέθηκε με τη μέθοδο Vogl) Α1 Α Α3 Supply ui 8 7 Ε Ε Duy Dand 1 1 vj 7 7 Κόστος της αρχικής λύσης = 1*7 1* 1* * 1* = χ.μ. Ακολουθεί ο έλεγχος αριστότητας 9 Γενικό Παράδειγμα (επίλυση ) Υπολογισμός των ui και vj u1= u1 v = 7 v = 7 u1 v3 = v3 = u v1 = v1 = 7 u v3 = u = u3 v = u3 = 7 Υπολογισμός των ij 11 = 8 u1 v1 = 8 7 = 1 = 9 u v = 9 () 7 = 31 = u3 v1 = (7) 7 = 33 = u3 v3 = (7) = 1 (έχουν ήδη τοποθετηθεί στον προηγούμενο πίνακα) (έχουν ήδη τοποθετηθεί στον προηγούμενο πίνακα) Δεν υπάρχουν αρνητικά κόστη ευκαιρίας (οπότε ;;;;)????? 91 Γενικό Παράδειγμα (επίλυση ανακεφαλαίωση) Δεν υπάρχουν αρνητικά κόστη ευκαιρίας βρέθηκε η άριστη λύση Δεν χρειάστηκε να προχωρήσουμε στη διαδικασία MODI αφού η αρχική λύση που βρέθηκε με τη μέθοδο Vogl ήταν άριστη Το κόστος της άριστης λύσης ανέρχεται σε χ.μ. Υπάρχει ένα μηδενικό κόστος ευκαιρίας εναλλακτική άριστη λύση Για να βρεθεί η εναλλακτική άριστη λύση, εκτελούμε ανακατανομή των εκχωρήσεων βρίσκοντας το κατάλληλο μονοπάτι ανακατανομής για το κελί Duy A1 (31 = ) 9 Γενικό Παράδειγμα (εύρεση εναλλακτικής λύσης) Α1 Α Α3 Supply Ε Ε 1 1 Duy 1 1 Dand 1 1 Ανακατανέμονται 1 παλέτες (το μικρότερο φορτίο με σήμανση ) 93 Γενικό Παράδειγμα (η εναλλακτική άριστη λύση) Α1 Α Α3 Supply Ε1 8 7 Ε Duy 1 1 Dand 1 1 Συνολικό κόστος = *7 * 1* 1* * = Η εναλλακτική είναι εκφυλισμένη Η μηδενική βασική μεταβλητή μπορεί να βρίσκεται είτε στο κελί Ε1Α3 είτε στο κελί ΕΑ1 9 Το πρόβλημα της εκχώρησης (assignnt probl, αντιστοίχηση, ανάθεση) Είναι ειδική περίπτωση του προβλήματος μεταφοράς όπου η προσφορά και η ζήτηση είναι μονάδες Κατανομή των πόρων με αντιστοιχία ένα προς ένα Ανάθεση εκτέλεσης εργασιών σε άτομα Εντοπισμός της ιδανικής αντιστοίχισης Απαρίθμηση; Σύνηθες Κριτήριο ελαχιστοποίηση κόστους (χρόνου) ή μεγιστοποίηση κέρδους (ικανοποίησης, χρησιμότητας κ.λπ) Ισορροπημένα ή μη ισορροπημένα 9 Παράδειγμα 1 (εκχώρηση ελεγκτών της «Λογιστική Ε.Π.Ε.») Χρόνος διεκπεραίωσης εργασίας Εργασία Συνεργάτης 1 η η 3 η η η η 7 η 1. Αλέκος Στέφανος Ιωάννα Αργύρης Έλσα Σταμάτης Κώστας Πηνελόπη Είναι ισορροπημένο (?) 9

7 97 UΤο γραμμικό μοντέλο του παραδείγματος 1 U Μεταβλητές απόφασης: Xij = ή 1 δυαδική μεταβλητή (binary) που υποδηλώνει αν ο i συνεργάτης αναλαμβάνει (1) ή δεν αναλαμβάνει () την j εργασία. Αντικειμενική συνάρτηση: Miniiz z= 1Χ11 1Χ1 Χ17 1Χ1 1Χ Χ7. 1Χ81 11Χ8 7Χ87 Uμε περιορισμούς = αν ήταν ισορροπημένο Uτης «Προσφοράς»: 1) Χ11 Χ1 Χ13 Χ1 Χ1 Χ1 Χ17 1 ) Χ1 Χ Χ3 Χ Χ Χ Χ7 1 7) Χ71 Χ7 Χ73 Χ7 Χ7 Χ7 Χ77 1 8) Χ81 Χ8 Χ83 Χ8 Χ8 Χ8 Χ87 1 Uτης «Ζήτησης»: 1) Χ11 Χ1 Χ31 Χ1 Χ1 Χ1 Χ71 Χ81 = 1 ) Χ1 Χ Χ3 Χ Χ Χ Χ7 Χ8 = 1 ) Χ1 Χ Χ3 Χ Χ Χ Χ7 Χ8 = 1 7) Χ17 Χ7 Χ37 Χ7 Χ7 Χ7 Χ77 Χ87 = 1 και Χij = ή 1 για i=1,,,8 και j=1,, 7 Το γενικό γραμμικό μοντέλο του προβλήματος εκχώρησης (ισορροπημένο) Miniiz i 1 j 1 c ij x ij μοναδιαίο κόστος εκχώρησης με περιορισμούς μία ακριβώς ανάθεση για τον καθένα xij 1 i = 1,,..., j 1 κάθε εργασία ανατίθεται σε ακριβώς έναν xij 1 j = 1,,..., i 1 πλήθος εργασιών xij,1, i=1,,..., και j=1,,..., και ατόμων = Το γραμμικό μοντέλο του παραδείγματος 1 στο WinQSB Η άριστη λύση με τη μέθοδο siplx Η άριστη λύση με τoν Ουγγρικό (?) Αλγόριθμο Παράδειγμα (συγκρότηση ομάδας σκυταλοδρομίας κολύμβησης) O προπονητής μίας ομάδας κολύμβησης θέλει να συγκροτήσει την ομάδα που θα λάβει μέρος στο αγώνισμα x μικτή ομαδική ανδρών (σκυταλοδρομία). Έχει στη διάθεσή του αθλητές οι οποίοι είναι γενικά καλοί σε περισσότερα από ένα στυλ κολύμβησης (αν κάθε αθλητής ήταν καλύτερος από κάθε άλλον σε ένα μόνο στυλ τότε δεν θα είχαμε πρόβλημα για να λύσουμε). Στον ακόλουθο πίνακα βλέπετε τους χρόνους των πέντε κολυμβητών (δευτερόλεπτα) για τα μέτρα σε κάθε στυλ κολύμβησης. Ποιοι θα μπουν στην ομάδα σκυταλοδρομίας; Ελεύθερο Πρόσθιο Ύπτιο Πεταλούδα Παναγιώτης 7, 3,1 3, 8, Γιώργος, 7,,,1 Νίκος 7, 31, 9, 9,1 Γιάννης,1 8,3 3 7,8 Μανώλης 7 3,3 3,3 9, H Ουγγρική Μέθοδος (1) H Ουγγρική Μέθοδος () H Ουγγρική Μέθοδος (αναλυτικά) Παράδειγμα 3 (1) Ο πίνακας κόστους μετατρέπεται σε πίνακα κόστους ευκαιρίας Δεν προσθέτουμε προσφορά ή ζήτηση Υπάρχει ομοιότητα με τη μέθοδο Vogl Στόχος: να βρεθεί πίνακας με ένα (τουλάχιστον) μηδενικό κόστος ευκαιρίας σε κάθε γραμμή και στήλη (τα οποία μηδενικά να καλύπτονται με γραμμές κάλυψης πλήθους όση και η διάσταση του προβλήματος) Βήμα 1 ο :Κατασκευή του πίνακα κόστους ευκαιρίας Βήμα ο :Είναι η τρέχουσα βέλτιστη; Αν όχι συνέχισε, διαφορετικά πήγαινε στο Βήμα. Βήμα 3 ο :Βελτίωση του πίνακα κόστους ευκαιρίας. Πήγαινε στο Βήμα. Βήμα ο :Εντόπισε τη βέλτιστη λύση Βήμα 1 ο : Κατασκευή του πίνακα κόστους ευκαιρίας: Αφαίρεσε το μικρότερο κόστος κάθε σειράς από κάθε σειρά. Μετά, κάνε το ίδιο και με κάθε στήλη. Βήμα ο : Έλεγχος αριστότητας: Χάραξε (ελάχιστου πλήθους) γραμμές κάλυψης των μηδενικών. Αν το πλήθος των γραμμών είναι ίσο με τη διάσταση του πίνακα τότε πήγαινε στο Βήμα, διαφορετικά συνέχισε. Βήμα 3 ο : Βελτίωση του πίνακα κόστους ευκαιρίας: Αφαιρούμε το μικρότερο μη καλυμμένο στοιχείο από όλα τα μη καλυμμένα στοιχεία του πίνακα και το προσθέτουμε σε όλα τα στοιχεία όπου τέμνονται γραμμές κάλυψης. Πήγαινε στο Βήμα. Βήμα ο : Εντοπισμός βέλτιστης λύσης: Στη σειρά ή στήλη που έχει ακριβώς ένα Τρία συνεργεία αναλαμβάνουν τρεις εργασίες. «Κόστος» οι ημέρες. Πίνακας κόστους των πιθανών εκχωρήσεων Σ1 7 7 Σ Σ3 8 3 Εφαρμόζεται σε ισορροπημένο πρόβλημα ελαχιστοποίησης μηδενικό στοιχείο κάνουμε εκχώρηση. Αν δεν υπάρχει σειρά ή στήλη με ένα μηδενικό στοιχείο επιλέγουμε αυτήν με τα λιγότερα μηδενικά. «Διαγράφουμε» τη σειρά και στήλη της εκχώρησης και επαναλαμβάνουμε το Βήμα μέχρι να εξαντληθούν οι εκχωρήσεις Παράδειγμα 3 () Βήμα 1: Πίνακας μειωμένος ως προς τις σειρές: Παράδειγμα 3 (3) Βήμα : Παράδειγμα 3 () Προσθαφαίρεση του μικρότερου ακάλυπτου στοιχείου (=1) Παράδειγμα 3 () Βήμα : Σ1 3 3 Σ 1 Σ3 Πίνακας μειωμένος και ως προς τις στήλες (πίνακας κόστους ευκαιρίας) Σ1 3 Σ Σ3 1 Σ1 3 Σ Σ3 1 γραμμές κάλυψης < διάσταση (=3) το μικρότερο ακάλυπτο στοιχείο (=1) Σ1 3 Σ Σ3 1 Σ1 1 Σ 1 Σ3 Σ1 1 Σ 1 Σ3 3 γραμμές κάλυψης = διάσταση (=3) Συνεχίζουμε στο Βήμα (εντοπισμός άριστης λύσης) Επιστρέφουμε στο Βήμα (γραμμές κάλυψης)

8 113 Παράδειγμα 3 () Μοναδικό μηδενικό στοιχείο: Σ1Ε3 εκχώρηση και διαγραφή Σ1Ε3 Παράδειγμα 3 (7) Βήμα (συνέχεια): Μοναδικό Μηδενικό στοιχείο: ΣΕ εκχώρηση και διαγραφή ΣΕ Παράδειγμα 3 (8) Βήμα (ολοκλήρωση): Μεταφορά των αποτελεσμάτων της διαδικασίας στον Πίνακα κόστους Επιστροφή στο Παράδειγμα (1) Πίνακας χρόνων κολύμβησης: Σ1 1 Σ 1 Σ3 Εναλλακτικά, μηδενικό στοιχείο Σ3Ε1 και διαγραφή Σ3Ε1 Σ1 1 Σ 1 Σ3 Σ1 7 7 Σ Σ3 8 3 Ελεύθερο Πρόσθιο Ύπτιο Πεταλούδα Παναγιώτης 7, 3,1 3, 8, Γιώργος, 7,,,1 Νίκος 7, 31, 9, 9,1 Γιάννης,1 8,3 3 7,8 Μανώλης 7 3,3 3,3 9,3 Σ1 1 Σ 1 Και τελικά απομένει το Σ3Ε1 στο οποίο γίνεται η τελευταία εκχώρηση. Οπότε οι αναθέσεις είναι Σ1 Ε3, Σ Ε και Σ3 Ε1 με συνολικό ελάχιστο «κόστος» = 1 εργάσιμες ημέρες. Το πρόβλημα δεν είναι ισορροπημένο (Υπερβάλλουσα προσφορά) Προσθέτουμε Εικονική στήλη με μηδενικά κόστη Σ Παράδειγμα () Ισορροπημένο πρόβλημα: Παναγιώτης 7, 3,1 3, 8, Γιώργος, 7,,,1 Νίκος 7, 31, 9, 9,1 Γιάννης,1 8,3 3 7,8 Μανώλης 7 3,3 3,3 9,3 Παράδειγμα (3) Βήμα 1: Πίνακας μειωμένος ως προς τις σειρές (ίδιος γιατί απλά αφαιρείται η εικονική): Παναγιώτης 7, 3,1 3, 8, Γιώργος, 7,,,1 Νίκος 7, 31, 9, 9,1 Γιάννης,1 8,3 3 7,8 Μανώλης 7 3,3 3,3 9,3 Πίνακας μειωμένος και ως προς τις στήλες (πίνακας κόστους ευκαιρίας) Παράδειγμα () Βήμα : Παναγιώτης,8,9,8 3,1 Γιώργος Νίκος 3,,3 3,9 Γιάννης 1,7 1,1,,7 Μανώλης, 3,1,7, Παράδειγμα () Προσθαφαίρεση του μικρότερου ακάλυπτου στοιχείου (=1,1) Παναγιώτης,8,9,8 3,1 Γιώργος Νίκος 3,,3 3,9 Γιάννης 1,7 1,1,,7 Μανώλης, 3,1,7, Παναγιώτης,8,9,8 3,1 Γιώργος Νίκος 3,,3 3,9 Γιάννης 1,7 1,1,,7 γραμμές κάλυψης < διάσταση (=) το μικρότερο ακάλυπτο στοιχείο (=1,1) Παναγιώτης 1,7 3,8 3,7 Γιώργος 1,1 Νίκος,1 3,,8,9 Γιάννης, 3,3 1, Μανώλης 1,, 3,1 Μανώλης, 3,1,7, Επιστρέφουμε στο Βήμα (γραμμές κάλυψης) Παράδειγμα () Βήμα : Παράδειγμα (7) Προσθαφαίρεση του μικρότερου ακάλυπτου στοιχείου (=,) Παράδειγμα (8) Βήμα : Παράδειγμα (9) Προσθαφαίρεση του μικρότερου ακάλυπτου στοιχείου (=,9) Παναγιώτης 1,7 3,8 3,7 Γιώργος 1,1 Νίκος,1 3,,8,9 Γιάννης, 3,3 1, Μανώλης 1,, 3,1 Παναγιώτης 1,7 3,8 3,7 Γιώργος 1,1 Νίκος,1 3,,8,9 Γιάννης, 3,3 1, Μανώλης 1,, 3,1 Παναγιώτης 1,1 3,8 3,1 1, Γιώργος, 1,7 Νίκος 1, 3,,,3 Γιάννης,7 1 Μανώλης,9, Παναγιώτης 1,1 3,8 3,1 1, Γιώργος, 1,7 Νίκος 1, 3,,,3 Γιάννης,7 1 Μανώλης,9, 3 γραμμές κάλυψης < διάσταση (=) το μικρότερο ακάλυπτο στοιχείο (=,) Παναγιώτης 1,1 3,8 3,1 1, Γιώργος, 1,7 Νίκος 1, 3,,,3 Γιάννης,7 1 Μανώλης,9, 3 γραμμές κάλυψης < διάσταση (=) το μικρότερο ακάλυπτο στοιχείο (=,9) Παναγιώτης,,9,, Γιώργος,, Νίκος,,3 1,3 1, Γιάννης,7 1,9 Μανώλης 1,1,1 1, Επιστρέφουμε στο Βήμα (γραμμές κάλυψης) Επιστρέφουμε στο Βήμα (γραμμές κάλυψης) Παράδειγμα (1) Βήμα : Παναγιώτης,,9,, Γιώργος,, Νίκος,,3 1,3 1, Γιάννης,7 1,9 Μανώλης 1,1,1 1, Παράδειγμα (11) Προσθαφαίρεση του μικρότερου ακάλυπτου στοιχείου (=,) Παναγιώτης,,9,, Γιώργος,, Νίκος,,3 1,3 1, Γιάννης,7 1,9 Μανώλης 1,1,1 1, Παράδειγμα (1) Βήμα : Παναγιώτης,,9 1,7 Γιώργος, 1,1 3,1 Νίκος,,3,8,9 Γιάννης,,,9 Μανώλης 1,1 3, 1,1 Παράδειγμα (13) Μοναδικό μηδενικό στοιχείο: Πρόσθιο Γιάννης εκχώρηση και διαγραφή: Πρόσθιο Γιάννης (επίσης, Νίκος Εικονική, Ύπτιο Γιώργος) Παναγιώτης,,9 1,7 Γιώργος, 1,1 3,1 Νίκος,,3,8,9 Γιάννης,,,9 Μανώλης 1,1 3, 1,1 γραμμές κάλυψης < διάσταση (=) το μικρότερο ακάλυπτο στοιχείο (=,) Παναγιώτης,,9 1,7 Γιώργος, 1,1 3,1 Νίκος,,3,8,9 Γιάννης,,,9 Μανώλης 1,1 3, 1,1 γραμμές κάλυψης = διάσταση (=) Συνεχίζουμε στο Βήμα (εντοπισμός άριστης λύσης) Παναγιώτης,,9 1,7 Γιώργος, 1,1 3,1 Νίκος,,3,8,9 Γιάννης,,,9 Μανώλης 1,1 3, 1,1 Επιστρέφουμε στο Βήμα (γραμμές κάλυψης)

9 19 Παράδειγμα (1) Μοναδικό μηδενικό στοιχείο: Ελεύθερο Μανώλης εκχώρηση και διαγραφή: Ελεύθερο Μανώλης (επίσης, Νίκος Εικονική και Ύπτιο Γιώργος) Παράδειγμα (1) Μοναδικό μηδενικό στοιχείο: Ύπτιο Γιώργος εκχώρηση και διαγραφή: Ύπτιο Γιώργος (επίσης, Νίκος Εικονική) Παράδειγμα (1) Μοναδικό μηδενικό στοιχείο: Πεταλούδα Παναγιώτης εκχώρηση και διαγραφή: Πεταλούδα Παναγιώτης (επίσης, Νίκος Εικονική) Παράδειγμα (17) Βήμα (ολοκλήρωση): Μεταφορά των αποτελεσμάτων της διαδικασίας στον Πίνακα κόστους (χρόνου): Παναγιώτης,,9 1,7 Παναγιώτης,,9 1,7 Παναγιώτης,,9 1,7 Παναγιώτης 7, 3,1 3, 8, Γιώργος, 1,1 3,1 Γιώργος, 1,1 3,1 Γιώργος, 1,1 3,1 Γιώργος, 7,,,1 Νίκος,,3,8,9 Νίκος,,3,8,9 Νίκος,,3,8,9 Νίκος 7, 31, 9, 9,1 Γιάννης,,,9 Γιάννης,,,9 Γιάννης,,,9 Γιάννης,1 8,3 3 7,8 Μανώλης 1,1 3, 1,1 Μανώλης 1,1 3, 1,1 Μανώλης 1,1 3, 1,1 Μανώλης 7 3,3 3,3 9,3 Παναγιώτης,,9 1,7 Παναγιώτης,,9 1,7 Παναγιώτης,,9 1,7 Οπότε, οι αναθέσεις είναι Παναγιώτης Πεταλούδα, Γιώργος Ύπτιο, Νίκος Γιώργος, 1,1 3,1 Γιώργος, 1,1 3,1 Γιώργος, 1,1 3,1 Εικονική, Γιάννης Πρόσθιο και Μανώλης Ελεύθερο με συνολικό ελάχιστο χρόνο Νίκος,,3,8,9 Νίκος,,3,8,9 Νίκος,,3,8,9 8,, 8,3 7 = 19,1 δευτερόλεπτα. Γιάννης,,,9 Γιάννης,,,9 Γιάννης,,,9 Μανώλης 1,1 3, 1,1 Μανώλης 1,1 3, 1,1 Μανώλης 1,1 3, 1,1 Και φυσικά, απομένει η εκχώρηση Νίκος Εικονική Επίλυση με τη Άλλες ειδικές περιπτώσεις Παράδειγμα Μεγιστοποίηση Παράδειγμα (1) μέθοδο siplx Αποκλεισμός ανάθεσης: Θέτουμε κόστος = Μ (ή κέρδος = Μ) Ας λύσουμε το Παράδειγμα 3 ως πρόβλημα μεγιστοποίησης. Μετατρέπουμε τον πίνακα σε πίνακα κόστους ευκαιρίας Πολλαπλές άριστες λύσεις: Ένδειξη: δεν μπορεί να βρεθεί σειρά Δηλαδή, οι αριθμοί παριστάνουν εισόδημα (χρηματικές μονάδες) μεγιστοποίησης. Για τον σκοπό αυτό, αφαιρούμε κάθε στοιχείο του ή στήλη με μοναδικό μηδενικό κατά το Βήμα. Επιλέγουμε Πίνακας εσόδων των εκχωρήσεων πίνακα από το μεγαλύτερό του στοιχείο, που είναι το 8 (Σ3Ε). αυθαίρετα μεταξύ των πολλαπλών μηδενικών. Πίνακας κόστους ευκαιρίας για το πρόβλημα μεγιστοποίησης Μεγιστοποίηση: Μετατρέπουμε πρώτα τον πίνακα εισοδημάτων (ή κέρδους) σε πίνακα κόστους ευκαιρίας μεγιστοποίησης, Σ1 7 7 Σ Σ3 8 3 Σ1 1 1 Σ 3 3 αφαιρώντας κάθε στοιχείο του πίνακα από το μεγαλύτερό του Σ3 3 στοιχείο (εξαιρούνται οι εικονικές σειρές ή στήλες.) Κατόπιν, προχωράμε με τον πίνακα που προέκυψε σαν να ήταν Συνεχίζουμε με τον παραπάνω πίνακα σαν να ήταν ο αρχικός πίνακας προβλήματος ελαχιστοποίησης. πίνακας κόστους Παράδειγμα () Παράδειγμα (3) Παράδειγμα () Παράδειγμα () Βήμα 1: Βήμα : Πίνακας μειωμένος ως προς τις σειρές: Μοναδικό μηδενικό στοιχείο: Σ3Ε εκχώρηση και διαγραφή Σ3Ε (επίσης, Ε3Σ) Μοναδικό μηδενικό στοιχείο: Σ1Ε1 εκχώρηση και διαγραφή Σ1Ε1 (επίσης, Ε3Σ) Σ1 3 Σ1 Σ 1 1 Σ3 3 Πίνακας μειωμένος και ως προς τις στήλες (πίνακας κόστους ευκαιρίας) Σ 1 Σ3 3 3 γραμμές κάλυψης = διάσταση (=3) Σ1 Σ 1 Σ3 3 Σ1 Σ 1 Σ3 3 Σ1 Σ 1 Σ3 3 Συνεχίζουμε στο Βήμα (εντοπισμός άριστης λύσης) Σ1 Σ 1 Σ3 3 Σ1 Σ 1 Σ3 3 Και φυσικά, η τελευταία εκχώρηση είναι στο Ε3Σ Παράδειγμα () Βήμα (ολοκλήρωση): Μεταφορά των αποτελεσμάτων της διαδικασίας στον αρχικό πίνακα εσόδων: Σ1 7 7 Σ Σ3 8 3 Οπότε, οι αναθέσεις είναι Σ1 Ε1, Σ Ε3 και Σ3 Ε με συνολικό εισόδημα 7 8 = χρηματικές μονάδες. 11