5.3 Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ιάχυσης.
|
|
- Ἀσκληπιός Βιτάλης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 3 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. 5.3 Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ιάχυσης. Στην ενότητα που ακολουθεί ϑα λύσουµε τα ΠΑΤ για την εξίσωση διάχυσης : το οµογενές και το µη οµογενές. Το ΠΑΤ της εξίσωσης διάχυσης περιγράφει τη διάδοση ϑερµότητας σε οµογενές µέσο, σε µία χωρική διάσταση, όπου δεν έχουµε σύνορα. ηλαδή η µεταβλητή x η οποία περιγράφει τη χωρική διάσταση εκτείνεται από το ως +. Εξαιτίας της ϕύσης της εξίσωσης διάχυσης δεν µπορούµε να ακολουθήσουµε µέθοδο ανάλογη µε αυτή της κυµατικής εξίσωσης. Οι λόγοι για αυτή τη διαφορά έχουν τη ϱίζα τους στο ότι οι δύο αυτές εξισώσεις, ανήκουν η κάθε µία σε διαφορετική οικογένεια διαφορικών εξισώσεων όπως ϑα δούµε και κατά τη µελέτη ταξινόµησης των Μ Ε δεύτερης τάξης. Για να επιλύσουµε την εξίσωση διάχυσης ϑα ϐασιστούµε στις ιδιότητες των λύσεων της. Ιδιότητες τις οποίες µπορούµε να δείξουµε ότι ισχύουν χωρίς να χρειάζεται να γνωρίζουµε εκ των προτέρων ποιες είναι αυτές οι λύσεις Η Οµογενής Εξίσωση ιάχυσης. Θεωρούµε το ΠΑΤ για την οµογενή εξίσωση διάχυσης u t k u =, < x < +, t > (5.3.1) u(x, ) = Φ(x), < x < + (ΑΣ) (5.3.) Σκοπός µας είναι να δείξουµε ότι η λύση της οµογενούς εξίσωσης διάχυσης πρέπει να έχει τη µορφή όπου u(x, t) = S(x, t) = S(x y, t)φ(y)dy (5.3.3) 1 4kπt e x (5.3.4) Για να το δείξουµε αυτό ϑα στηριχτούµε στις παρακάτω ιδιότητες που πρέπει να έχει µία λύση της οµογενούς εξίσωσης διάχυσης. Αν η u(x, t) είναι λύση της εξίσωσης διάχυσης, τότε 1. Η µετατοπισµένη u(x y, t) είναι επίσης λύση.. Οποιαδήποτε παράγωγος της u (π.χ. u t, u x, u xx,... ) είναι επίσης λύση. 3. Η u( ax, at) για οποιοδήποτε a > είναι επίσης λύση. 4. Εξαιτίας της γραµµικότητας της διαφορικής εξίσωσης, οποιοσδήποτε γραµµικός συνδυασµός λύσεων είναι επίσης λύση της οµογενούς εξίσωσης διάχυσης και τέλος, 5. Το ολοκλήρωµα λύσεων είναι επίσης λύση. Εποµένως αν S(x, t) είναι µία λύση της εξίσωσης διάχυσης, τότε αφού και η S(x y, t) είναι λύση ϑα ισχύει ότι και η έκφραση v(x, t) = S(x y, t)g(y)dy (5.3.5) είναι λύση για οποιαδήποτε συνάρτηση g(y) µε την προυπόθεση ότι το ολοκλήρωµα συγκλίνει (ορίζεται δηλαδή). Ασκηση 5.7. Να αποδειχθεί η ιδιότητα (3) πιο πάνω. [ Υπόδειξη : Είναι απλή εφαρµογή του κανόνα της αλυσίδας. ] Εκδοση : 18 Ιουνίου 16
2 5.3. Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ιάχυσης. 31 Εύρεση Λύσης. Θα ξεκινήσουµε στηριζόµενοι στην ιδιότητα (3) η οποία υπαγορεύε ότι οι λύσεις της οµογενούς εξίσωσης διάχυσης πρέπει να έχουν την εξής συναρτησιακή εξάρτηση ( ) x Q(x, t) = P t Αυτό συµβαίνει διότι όπως πολύ εύκολα µπορεί να δειχθεί ο µετασχηµατισµός x ax t at ο οποίος είναι γνωστός ως µετασχηµατισµός κλίµακας αφήνει την εξίσωση αναλοίωτη. Αν ϑέλουµε τώρα να µην αλλάζει και η Q(x, t) αυτή ϑα πρέπει να εξαρτάται από τις µεταβλητές x και t µε τέτοιο τρόπο ώστε να µην αλλάζει η συναρτησιακή της εξάρτηση µε το µετασχηµατισµό κλίµακας. Σε πρακτικό επίπεδο αυτό σηµαίνει ότι ϑα πρέπει να εξαρτάται από ένα τέτοιο συνδυασµό των x και t που δεν αλλάζει ούτε και αυτός µε το µετασχηµατισµό. Ο µόνος τέτοιος συνδυασµός είναι όµως ο λόγος x t όπως πολύ εύκολα µπορεί να δειχθεί. Τώρα, για λόγους που ϑα διευκολύνουν τους υπολογισµούς µας πιο µετά ϑα απαιτήσουµε η Q(x, t) να είναι της µορφής Q(x, t) = g (p), µε p = (δηλαδή διαιρούµε απλώς τον λόγο x t το σταθερό όρο 1 4k ) x Θα δούµε στην πορεία ότι η λύση µπορεί να καθοριστεί πλήρως αν απαιτήσουµε και τις εξής ειδικές αρχικές συνθήκες : Q(x, ) = 1, x > Q(x, ) =, x < ΑΣ για την Q (5.3.6) Είναι προφανές ότι οι ΑΣ που µόλις απαιτήσαµε δεν επηρεάζονται από τον µετασχηµατισµό κλίµακας, οπότε µπορούµε να προχωρήσουµε ελεύθερα. Το µεγάλο κέρδος µε τη χρήση της νέας µεταβλητής p = x είναι η πολύ απλή µορφή που παίρνει η εξίσωση διάχυσης ως προς την p, η οποία µετασχηµατίζεται πλέον σε Σ Ε! Οντως t = dg(p) p dp t = 1 x g (p) = 1 t t pg (p) = dg(p) p dp = 1 g (p) Q = d ( ) p dp = 1 g οπότε t k Q = 1 [ 1 t pg (p) 14 ] g = g + pg (p) = (5.3.7) Εκδοση : 18 Ιουνίου 16
3 3 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. Η εξίσωση στην οποία µόλις καταλήξαµε είναι γραµµική οµογενής δεύτερης τάξης Σ Ε η οποία όµως, εξαιτίας της µορφής της, µέσω του µετασχηµατισµού h(p) = g (p) µετατρέπεται στην πρώτης τάξεως Με τη χρήση του ολοκληρωτικού παράγοντα αυτή λύνεται εύκολα και δίνει τη λύση και εποµένως, h (p) + ph(p) = (5.3.8) μ(p) = e pdp = e p h(p) = g (p) = C 1 e p (5.3.9) Q(x, t) = g(p) = C 1 x/ e p dp + C (5.3.1) η οποία έχει νόηµα προφανώς µόνο για t >. ΜΕ την εφαρµογή των αρχικών συνθηκών ηια την Q ϑα προσδιορίσουµε τώρα τις σταθερές C 1 και C. Για τον έλεγχο των αρχικών συνθηκών ϑα πρέπει πάντα να ϑυµόµαστε ότι t >, έτσι πρκύπτει ότι πρέπει να ϑεωρήσουµε τα εξής όρια Για x > Για x < Q(x, ) = lim t + Q(x, t) = C 1 διότι lim 1 t + = αν x >. Αντίστοιχα διότι lim 1 t + = αν x <. Το ολοκλήρωµα Q(x, ) = lim t + Q(x, t) = C 1 e x dx e p dp + C = 1 (5.3.11) e p dp + C = (5.3.1) είναι γνωστό ως ολοκλήρωµα Gauss ή ολοκλήρωµα Euler-Poisson ή ολοκλήρωµα Poisson. Το ενδιαφέρον µε αυτό το ολοκλήρωµα είναι ότι ενώ δεν υπάρχει έκφραση για το αόριστο ολοκλήρωµα e x dx, το γενικευµένο ολοκλήρωµα e x dx µπορεί να υπολογιστεί! Εκδοση : 18 Ιουνίου 16
4 5.3. Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ιάχυσης. 33 Ασκηση 5.8. Να δειχθεί ότι e x dx = π [ Υπόδειξη : Χωρίς να ανησυχείτε για την αυστηρότητα των ϐηµάτων, ακολουθήστε την εξής διαδικασία 1. Θεωρείστε το (x e +y ) dxdy και δείξτε ότι R R (x e +y ) dxdy = e x dx. Κατόπιν αλλάξτε µεταβλητές σε πολικές. ηλαδή από (x, y) σε (r, θ) και µέσω αυτής της αλλαγής δείξτε ότι (x e +y ) dxdy = π ] R Είναι εύκολο να διεχθεί ότι εφόσον e x dx = π, τότε e x dx = Ασκηση 5.9. Να δειχθούν τα παραπάνω δύο αποτελέσµατα. Ετσι, Τελικά, οι αρχικές συνθήκες για την Q δίνουν C 1 π + C = 1 C 1 π + C = } C 1 = 1 π C = 1 π και e x dx = π (5.3.13) Q(x, t) = x/ e p dp, t > (5.3.14) π Εχοντας πλέον, µία λύση δεν πρέπει να ξεχνάµε ότι αυτή αποτελεί µία ειδική λύση και µόνο. Για την εύρεση της γενικής µοναδικής λύσης του ΠΑΤ, ϑα χρησιµοποιήσουµε τις ιδιότητες (1, ) και (5) των λύσεων της εξίσωσης διάχυσης και ϑα της δώσουµε τη µορφή u(x, t) = S(x y, t)φ(y)dy, t > (5.3.15) Εκδοση : 18 Ιουνίου 16
5 34 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. µε Φ(x) να είναι η αρχική συνθήκη του ΠΑΤ και όπου έχουµε ορίσει S(x, t) = = 1 πkt e x /, t > (5.3.16) Η u είναι όντως µία λύση λόγω των ιδιοτήτων (1, ) και (5) και µένει να δειχθεί ότι ικανοποιεί την αρχική συνθήκη u(x, ) = Φ(x) για να αποδειχθεί οριστικά και η µοναδικότητα της λύσης του οµογενούς ΠΑΤ για την εξίσωση διάχυσης (Εδώ ϑα ϕανεί και η αναγκαιότητα της χρήσης της στην έκφραση της γενικής λύσης). Πράγµατι, u(x, t) = (x y, t)φ(y)dy = (x y, t)φ(y)dy = y = Q(x y, t)φ(y) + Q(x y, t)φ (y)dy (5.3.17) διότι ισχύει πως (x y, t) = y (x y, t). Η υπόθεση που κάνουµε τώρα είναι ότι για y πολύ µεγάλο ισχύει πως Φ(y) = και έτσι (εδώ ϐλέπουµε και τον λόγο για τη χρήση της στην έκφραση της γενικής λύσης : βοηθά στην παραγοντική ολοκλήρωση!), u(x, t) = u(x, ) = u(x, ) = x Q(x y, t)φ (y)dy Q(x y, )Φ (y)dy Φ (y)dy = Φ(y) x = Φ(x) (5.3.18) όπου στο τελευταίο ολοκήρωµα τα όρια καθορίζονται από τις ΑΣ της Q, διότι εφόσον το όρισµα της Q είναι το x y, τότε για x y > x > y ισχύει πως Q = 1, ενώ για x y < x < y ισχύει πως Q = (Εδώ ϐλέπουµε και τον λόγο για τον οποίο απαιτήσαµε τις ειδικές ΑΣ για την Q.) Άρα, η µοναδική λύση του ΠΑΤ για την οµογενή εξίσωση διάχυσης είναι η u(x, t) = 1 4πkt e (x y) / Φ(y)dy, t > (5.3.19) Τονίζεται ότι η παραπάνω µορφή δεν έχει νόηµα για t = παρά µόνο αυστηρά για t >. Η συνάρτηση S(x, t) = = 1 πkt e x /, t > (5.3.) Εκδοση : 18 Ιουνίου 16
6 5.3. Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ιάχυσης. 35 είναι γνωστή ως Gaussian ή Συνάρτηση Πηγή (Source Function) ή Συνάρτηση Green ή ϑε- µελιώδης λύση της εξίσωσης διάχυσης. Μας δίνει τη λύση του ΠΑΤ της εξίσωσης διάχυσης για οποιαδήποτε αρχικά δεδοµένα Φ. Στο σχήµα που ακολουθεί δίνουµε ορισµένα γραφήµατα της S για διάφορες τιµές του t. Σχήµα 5.9: Η ϑεµελιώδης λύση της εξίσωσης διάχυσης για διάφορες τιµές του t είναι εύκολο να δειχθεί ότι για την S ισχύει όπου ϑεωρήσαµε τη µεταβλητή q = S(x, t)dx = 1 π x dq = dx. e q dq = 1 (5.3.1) Είναι εύκολο να δώσουµε τη ϕυσική ερµηνεία της S, αν ϑεωρήσουµε τη διάδοση ϑερµότητας σε µία ϱάβδο (µονοδιάστατο πρόβληµα δηλαδή): Αν η S(x y, ) µας δίνει το αποτέλεσµα της ύπαρξης ενός ζεστού σηµείου y τη χρονική στιγµή t =, τότε η S(x y, t) µας δείχνει πως αυτό το ζεστό σηµείο κρυώνει και εξαπλώνεται κατά µήκος της ϱάβδου, στα διάφορα σηµεία x δηλαδή, όσο περνά ο χρόνος. Η ερµηνεία αυτή προκύπτει από την εξής προσέγγιση της έκφρασης για την u(x, t) u(x, t) = S(x y, t)φ(y)dy i S(x y i, t)φ(y i ) y i (5.3.) όπου ο όρος S(x y i, t)φ(y i ) y i µας δίνει το πως εξαπλώνεται προσεγγιστικά µε το χρόνο το ποσό ϑερµότητας, Φ(y i ), που είναι συγκεντρωµένο αρχικά στο διάστηµα y i. Η λύση είναι κατά προσέγγιση τότε το άθροισµα όλων των συνεισφορών των διαστηµάτων y i. Παρατηρήσεις. Εκδοση : 18 Ιουνίου 16
7 36 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. Η έννοια της ϑεµελιώδους λύσης είναι πολύ σηµαντική έννοια για τους Γραµµικούς ιαφορικούς Τελεστές και υπάρχει ο εξής ορισµός για αυτήν, αν ϑεωρήσουµε ένα τυχαίο Γραµµικό ιαφορικό Τελεστή L LS(x, x ) = δ(x x ) όπου µε x εννοούµε ένα τυχαίο διάνυσµα του R n και µε τον τόνο δεν εννοούµε παραγώγιση αλλά απλώς κάποιο άλλο σηµείο, ενώ η δ(x) είναι η συνάρτηση δέλτα του Dirac. για να αποφύγουµε όµως τις επιπλέον δυσκολίες που ϑα προέκυπταν από την εισαγωγή αυτού του ορισµού προτιµήσαµε τον υπολογισµό της S µέσω των ιδιοτήτων αναλλοιώτητας της κυµατικής εξίσωσης. Η S(x, t) ορίζεται για όλα τα (πραγµατικά) x και για όλα τα t >. Η S(x, t) ειναι ϑετική και άρτια. ηλαδή, S(x, t) = S( x, t) Το ολοκλήρωµα για την u(x, t) είναι συνήθως αδύνατον να υπολογιστεί αναλυτικά µε στοιχειώδεις συναρτήσεις Αν ϑεωρήσουµε τη συνάρτηση σφάλµατος της στατιστικής, τότε Ασκηση 5.1. Να λυθεί το ΠΑΤ [ Υπόδειξη : Erf(x) = π x e p dp, Erf() = Q(x, t) = Erf( x ) u t k u =, < x < +, t > (5.3.3) u(x, ) = e x, < x < + (ΑΣ) (5.3.4) [ ( ) ] (x y) e (x y) / e x = exp + y όπου ο εκθέτης γίνεται συµπληρώνοντας το τετράγωνο Ετσι (x y) + y =... = (y + kt x) u(x, t) =... = e kt x ] Παρατηρείστε ότι u(x, ) για x. Ασκηση Να λυθεί το Οµογενές ΠΑΤ για την εξίσωση διάχυσης. + kt x u t k u =, < x < +, t > (5.3.5) u(x, ) = e 3x, < x < + (ΑΣ) (5.3.6) Εκδοση : 18 Ιουνίου 16
8 5.3. Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ιάχυσης. 37 Ταχύτητα ιάδοσης ιάχυσης. Εξαιτίας του γεγονότος ότι η u(x, t) εξαρτάται για τη χρονική στιγµή t από το ολοκλήρωµα από ως της χωρικής µεταβλητής y συµπεραίνουµε ότι όλος ο χώρος επηρεάζει ταυτόχρονα τη λύση! Με άλλα λόγια η εξίσωση διάχυσης προβλέπει άπειρη ταχύτητα διάδοσης του ϕαινοµένου σε αντίθεση µε την κυµατική εξίσωση i Ενέργεια. Μπορούµε να ορίσουµε ενέργεια και για την εξίσωση διάχυσης. Οντως, αν u t ku xx είναι η εξίσωση διάχυσης, τότε προφανώς, ( ) ( ) ( u t k u u ) u = t u u k u = 1 t ( u ) + ( k u u ) + k ( ) u = (5.3.7) Σε αντίθεση µε την κυµατική εξίσωση, εδώ ϑα ϑεωρήσουµε, για ευκολία, ότι η µεταβλητή x είναι πεπερασµένης εµβέλειας. ηλαδή < x < L. Τότε µε ολοκλήρωση ως προς x προκύπτει L ( ) 1 t u k u u L + k αν επιπλέον ϑεωρήσουµε οµογενείς Dirichlet ΣΣ, τότε, u(, t) = u(l, t) = και L d dt ( ) 1 t u + k L L ( ) 1 u = k L L ( ) u dx = (5.3.8) ( ) u dx = ( ) u dx (5.3.9) Στον παραπάνω τύπο το αριστερό µέλος είναι ο ϱυθµός µεταβολής της ενέργειας ενώ το δεξί µέλος είναι µία ποσότητα µικρότερη ή ίση του µηδενός. Άρα, έχουµε ότι de dt (5.3.3) δηλ., η ενέργεια της διάχυσης µειώνεται σε αντίθεση µε την ενέργεια του κύµατος που παραµένει σταθερή. Εκδοση : 18 Ιουνίου 16
9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Παράρτηµα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1.1Πίνακες Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων Πίνακες Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων. Για τις τριγονωµετρικές συναρτήσεις ισχύουν οι εξής ταυτότητες. sin a = cos( π cos a = sin( π a) (1.1.1) a) (1.1.) sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b (1.1.3) cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b (1.1.4) sin a = s sin a cos a (1.1.5) cos a = cos a sin a = cos a 1 = 1 sin a (1.1.6) sin a cos b = 1 [sin(a + b) + sin(a b)] (1.1.7) cos a sin b = 1 [sin(a + b) sin(a b)] (1.1.8) sin a sin b = 1 [cos(a b) cos(a + b)] (1.1.9) cos a cos b = 1 [cos(a + b) + cos(a b)] (1.1.1) sin a sin b = sin(a + b) sin(a b) (1.1.11) cos a cos b = sin(a + b) sin(a b) (1.1.1) cos a sin b = cos(a + b) cos(a b) (1.1.13) 154
10 1.1. Πίνακες Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων. 155 Σηµαντικά είναι τα εξής ολοκληρώµατα sin[(a b)x] sin(ax) sin(bx)dx = (a b) sin[(a + b)x] (a + b) + C, a b (1.1.14) sin (ax)dx = x 1 4a sin(ax) + C = x 1 sin(ax) cos(ax) + C (1.1.15) a cos(ax) cos(bx)dx = sin[(a b)x] (a b) + sin[(a + b)x] (a + b) + C, a b (1.1.16) cos (ax)dx = x + 1 4a sin(ax) + C = x + 1 sin(ax) cos(ax) + C (1.1.17) a cos[(a b)x] cos[(a + b)x] sin(ax) cos(bx)dx = + C, a b (a b) (a + b) (1.1.18) sin(ax) cos(ax)dx = 1 a cos (ax) + C (1.1.19) Για την ειδική περίπτωση όπου a = mπ L, b = nπ L τότε ισχύει ότι L sin( mπ L x) cos(nπ L cos[(m n)π] x)dx = L π(m n) { L, + π(m + n) = L L cos[(m + n)π] π(m + n) π ( m ), m n + L π(m n) + m n = άρτιος m n = περιττός (1.1.) διότι, αν m n = άρτιος m + n = άρτιος και αντίστοιχα αν m n = περιττός m + n = περιττός Εκδοση : 18 Ιουνίου 16
11 Βιβλιογραφία Asmar, Nakhle H. (4). Partial Differential Equations With Fourier Series and Boundary Value Problems. NJ: Pearson-Prentice Hall. Courant, Richard and David Hilbert (196). Methods of Mathematical Physics, Vol II. New York: Wiley. Evans, Lawrence C. (1). Partial Differential Equations. nd. Providence: American Mathematical Society. Folland, Gerald B. (199). Fourier Analysis and its Applications. Belmont, California: Wadsworth. Fowler, A.C. (5). Techiniques of Applied Mathematics. Mathematics Institute, Oxford University. Freiling, Gerhard, Vjatcheslav Yourko (8). Lectures on Differential Equations of Mathematical Physics, A First Course. New York: Nova Science Publishers. Haberman, Richard (4). Applied Partial Differential Equations, With Fourier Series and Boundary Value Problems. 4th. NJ: Pearson/Prentice-Hall. (13). Elementary Applied Partial Differential Equations, With Fourier Series and Boundary Value Problems. 5τη. NJ: Prentice-Hall, Inc. Pinchover, Yehuda, Jacob Rubinstein (5). An Introduction to Differential Equations. Cambridge: Cambridge University Press. Powers, David L. (6). Boundary Value Problems and Partial Differential Equations. Fifth. Amsterdam: Elsevier. Snider, Arthur David (1999). Partial Differential Equations, Sources and Solutions. NJ: Prentice Hall. Spivak, Michael (1994). Λογισµός σε Πολλαπλότητες, Μια Μοντέρνα Προσέγγιση στα Κλασσικά Θεω- ϱήµατα του Προχωρηµένου Λογισµού. Ηράκλειο : Πανεπιστηµικές Εκδόσεις Κρήτης. Strauss, Walter A. (8). Partial Differential Equations, An Introduction. νδ. Hoboken, NJ: Wiley. Ανδρέας, Ζούπας (9). Μαθηµατικά ΙΙ. Ηλεκτρονικά Αρχεία, Μαθηµατικά ΙΙ. Σηµειώσεις για το Μάθηµα Μαθηµατικά ΙΙ, του Πρώτου Ετους του Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστήµιου Θεσσαλίας. άσιος, Γεώργιος (1991). Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις. Πάτρα: άσιος. Ζούπας, Ανδρέας (11). Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις. Ηλεκτρονικά Αρχεία, Εκπαιδευτικό Υλικό για το µάθηµα : ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ. Σηµειώσεις για το Μάθηµα ιαφορικές εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, του 4 ου Εξαµήνου του Τµήµατος Μηχανολόγων Μηχανικών του Πανεπιστήµιου Θεσσαλίας. 156
Μ Ε: Αναλυτικό Πρόγραµµα- Υλη Μαθήµατος 2017
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Μ Ε: Αναλυτικό Πρόγραµµα- Υλη Μαθήµατος 2017 Αντικείµενο του µαθήµατος είναι η µελέτη Μερικών ιαφορικών Εξισώσεων. Τον όρο Μερική ια- ϕορική Εξίσωση ϑα συµβολίζουµε µε (Μ Ε). Η ιστοσελίδα του
Διαβάστε περισσότεραΜΔΕ: Αναλυτικό πρόγραμμα - Ύλη Μαθήματος 2018
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΜΔΕ: Αναλυτικό πρόγραμμα - Ύλη Μαθήματος 2018 Αντικείμενο του μαθήματος είναι η μελέτη Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων. Τον όρο Μερική Διαφορική Εξίσωση θα συμβολίζουμε με (ΜΔΕ). Η ιστοσελίδα
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι
Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης του Π.Α.Τ.: y = f ( x, y), y( x ) (Θεώρημα Picard) ' Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι
Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Βασικά θεωρήματα για τις γραμμικές Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου.
Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Ανδρέας Ζούπας 22 Ιανουαρίου 203 Οι λύσεις απλώς προτείνονται και σαφώς οποιαδήποτε σωστή λύση είναι αποδεκτή! Θέµα-
Διαβάστε περισσότεραΎπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ
Κεφάλαιο 3 Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφέρουμε τις συνθήκες ύπαρξης και μοναδικότητας ΠΑΤ μη γραμμικών ΔΕ. Στο εδάφιο 3.1, θα παρουσιάσουμε την προσεγγιστική μέθοδο
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι
Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Εισαγωγικές έννοιες και ταξινόμηση Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότερα7η ιεθνής Μαθηµατική Εβδοµάδα Θεσσαλονίκη Μαρτίου 2015 Ολοκληρωτικές εξισώσεις: τριτοβάθµια και δευτεροβάθµια εκπαίδευση
7η ιεθνής Μαθηµατική Εβδοµάδα Θεσσαλονίκη 18 22 Μαρτίου 215 Ολοκληρωτικές εξισώσεις: τριτοβάθµια και δευτεροβάθµια εκπαίδευση Κυριαζής Χρήστος Πρωτοπαπάς Ελευθέριος 1 Ενότητες παρουσίασης Εισαγωγικές έννοιες
Διαβάστε περισσότεραΜερικές ιαφορικές Εξισώσεις
Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας, Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος 38334 18 Ιουνίου 16 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή. 1.1 Γενικές
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις
Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Ενότητα: Ρίζες των συναρτήσεων Bessel Όνομα Καθηγήτριας: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΜερικές ιαφορικές Εξισώσεις
Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας, Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος 38334 18 Ιουνίου 216 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή. 2 1.1
Διαβάστε περισσότεραM. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =
Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,
Διαβάστε περισσότεραΜερικές ιαφορικές Εξισώσεις
Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας, Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος 38334 18 Ιουνίου 16 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή. 1.1 Γενικές
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ολοκλήρωση
Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας
Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι ικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 207 Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Επισκόπηση γνωστών εννοιών. -8. Σειρές πραγµατικών αριθµών..2 Σειρές συναρτήσεων..3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα. Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y
ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,
Διαβάστε περισσότερα4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-
Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει
Διαβάστε περισσότεραΟι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών
Διαβάστε περισσότεραΜερικές ιαφορικές Εξισώσεις
Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος 38334 7 Ιουνίου 214 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή. 3 1.1
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας
Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Τα προβλήµατα µεταδόσεως θερµότητας (ή θερµικής αγωγιµότητας heat conduction), µε την υπόθεση ισχύος του νόµου Fourier, διέπονται από
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικός Υπολογισµός Ι
Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 8 : Το ιακριτό Μοντέλο Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι
Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Σ.Δ.Ε. γραμμικές 1 ης τάξης, Σ.Δ.Ε. Bernoulli και Riccatti Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων
Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017
Πανεπιστηµιο Πατρων Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 217 Θ1. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 z. (αʹ) Να ϐρεθεί
Διαβάστε περισσότεραΜερικές ιαφορικές Εξισώσεις
Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος 38334 7 Ιουνίου 14 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή. 3 1.1 Γενικές
Διαβάστε περισσότερα1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων
Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x
Διαβάστε περισσότερα< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1
Διαβάστε περισσότεραΗ Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)
Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Δομή Διάλεξης Το παρατηρήσιμο μέγεθος της θεσης και τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας (συνεχές φάσμα ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων) Οι τελεστές της θέσης
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac)
Συνεχές ϕάσµα Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Στην κβαντική µηχανική τα ϕυσικά µεγέθη παρίστανται µε αυτοσυζυγείς τελεστές. Για έναν αυτοσυζυγή τελεστή ˆΩ = ˆΩ είναι γνωστό ότι οι ιδιοτιµές του
Διαβάστε περισσότερα5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών
Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι
Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Σ.Δ.Ε. 1 ης τάξης ανώτερου βαθμού, ορθογώνιες τροχιές Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.
5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα
Διαβάστε περισσότεραy 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.
Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις
Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Ενότητα: Στοιχειώδεις ειδικές συναρτήσεις Όνομα Καθηγήτριας: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου 1. Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση 2. Κρουστική Συνάρτηση ή
Διαβάστε περισσότεραΜερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότερα11 Το ολοκλήρωµα Riemann
Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την
Διαβάστε περισσότεραx=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).
3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,
ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικός λογισµός. y(x + Δx) y(x) dy dx = lim Δy
Διαφορικός λογισµός ΦΥΣ 111 - Διαλ.5 1 Έστω y = f(x) µια συναρτησιακή σχέση της µεταβλητής y ως προς την µεταβλητή x: y = f(x) = αx 3 + bx 2 + cx + H παράγωγος του y ως προς το x ορίζεται ως το όριο των
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σειρά Fourier Ορθοκανονικές Συναρτήσεις Στοεδάφιοαυτόθαδιερευνήσουμεεάνκαικάτωαπό
Διαβάστε περισσότεραΣτο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή ) εξίσωση Helmholtz σε D χωρικές διαστάσεις :
Η Εξίσωση Helmholtz Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή εξίσωση Helmholtz σε χωρικές διαστάσεις : ( + k Ψ ( r f( r ( k (6 Η εξίσωση αυτή συνοδεύεται (συνήθως από συνοριακές συνθήκες
Διαβάστε περισσότεραΚυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)
Διαβάστε περισσότερα14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων
14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.
Διαβάστε περισσότεραΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών
54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 3. H κυµατική εξίσωση.
3 Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ 3 H κυµατική εξίσωση Θα αναζητήσουµε το µαθηµατικό νόµο που διέπει την ταλάντωση ελαστικού νήµατος/χορδής για µικρές κατακόρυφες µετατοπίσεις Yποθέτουµε ότι η χορδή έχει οµοιόµορφη
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Παράγωγος
Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις
Διαβάστε περισσότεραΟρια Συναρτησεων - Ορισµοι
Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 3 Σεπτεµβρίου 205 Εισαγωγή Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως προκύπτει η ιδέα του ορίου στην προσπά- ϑεια να ορίσουµε την
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)
1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.
Διαβάστε περισσότερατη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n
Διαβάστε περισσότεραx(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville
Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς
Διαβάστε περισσότερα4 Συνέχεια συνάρτησης
4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000
Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 2/2000 Μηχανική ΙI Λογισµός των µεταβολών Προκειµένου να αντιµετωπίσουµε προβλήµατα µεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) όπως τα παραπάνω, όπου η ποσότητα που θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 6 Ιανουαρίου 013 1 Ασκήσεις 1.1 Ασκήσεις Επανάληψης 1. είξτε ότι : ηµ x + 3συν y 5.. Να αποδείξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότερα.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887
Ολοκλήρωση κατά Gauss Ενώ στους τύπους Newton-Cotes χρησιµοποιούσαµε τις τιµές της συνάρτησης σε ισαπέχοντα σηµεία, στους τύπους ολοκλήρωσης κατά Gauss τα σηµεία xj και τα βάρη wj επιλέγονται, έτσι ώστε
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών
Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή. Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις
Κεφάλαιο Εισαγωγή Θα παρουσιάσουμε τις διαφορικές εξισώσεις και τα αντίστοιχα προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών που θα συναντήσουμε στα επόμενα κεφάλαια. Επίσης, θα δούμε ορισμένες ιδιότητες και
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρια Αριθµων Προβληµατα
Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
[] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ β) Ας είναι ux (, ) = x+ cos( π ) και vx (, ) = cos( π x) το πραγματικό και το φανταστικό μέρος
Διαβάστε περισσότεραE = P t = IAt = Iπr 2 t = J (1)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ασκηση 1. Η ενέργεια που παραδίδεται στο αυτί µας σε χρόνο
Διαβάστε περισσότεραΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ KAI ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ O μετασχηματισμός lc-ο αντίστροφος μετασχηματισμός
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού
Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων
Περιεχόμενα Πρόλογος Κατάλογος Σχημάτων v xv 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης 21 1.1 Γενικότητες........................... 21 1.2 Εισαγωγή............................ 24 1.2.1 Γεωμετρικές θεωρήσεις στο πρόβλημα της
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Εισαγωγικές εξετάσεις για το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα - Μέρος 2ο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εισαγωγικές εξετάσεις για το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα - Μέρος 2ο ΠΡΟΣΟΧΗ: Τα θέµατα που ακολουθούν καλύπτουν ένα ευρύ φάσµα διαφόρων περιοχών των Μαθηµατικών. Αυτό
Διαβάστε περισσότεραu = x t t = t 0 = T = x u = = s t = = s u = u bat 1 + T c = 343 m/s 273
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : //5 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 7//5 Σηµείωση : Επιτρέπεται
Διαβάστε περισσότερα1 Το ϑεώρηµα του Rademacher
Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Διαβάστε περισσότεραΑόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Ακ. Ετος 2018-2019 Θεωρούµε µια συνάρτηση f : I R, όπου το I είναι διάστηµα του R. Ορισµός Μια συνάρτηση F : I R λέγεται αντιπαράγωγος ή αρχική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Ιουνίου 005 Από τα κάτωι Θέµατα καλείσε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη
Διαβάστε περισσότεραΓεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Χειµερινό Εξάµηνο 2016-2017 Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου εύτερη Εργασία 1. Βρείτε δύο διαφορετικά παραδείγµατα συστηµάτων στο
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, 6-7 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΠΙΚ. ΚΑΘ. ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους 6-7. Περιοδικές Συναρτήσεις) Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R περιοδική
Διαβάστε περισσότεραΟι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.
Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε
Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές
Διαβάστε περισσότεραX(t) = A cos(2πf c t + Θ) (1) 0, αλλού. 2 cos(2πf cτ) (9)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 05-6 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις - Τυχαίες ιαδικασίες Ασκηση. Εστω
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 13 ο, 30 Οκτωβρίου 2008 (9:00-11:00).
Μάθηµα ο 0 Οκτωβρίου 008 (9:00-:00) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Άσκηση 9 Έστω ένα κβαντικό σύστηµα το οποίο περιγράφεται από τρεις ενεργειακές καταστάσεις (ιδιοτιµές ενέργειας
Διαβάστε περισσότερα