Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Ενότητα: Στοιχειώδεις ειδικές συναρτήσεις Όνομα Καθηγήτριας: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους.

3 Ενότητα Συνάρτηση Γάµµα Μια από τις πιο απλές και πιο σηµαντικές συναρτήσεις είναι η συνάρτηση Γάµµα. Η ϑεωρία για την συνάρτηση Γάµµα αναπτύχθηκε στην προσπάθεια της γενίκευσης του παραγοντικού ϕυσικών αριθµών, δηλαδή ϑέλοντας να ϐρεθεί µια έκφραση, που να επεκτείνει το! ϕυσικός αριθµόςσε οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό. Το γνωστό γενικευµένο ολοκλήρωµα : αποδεικνύεται ότι ισούται µε!, δηλαδή : e t t dt, N e t t dt!, N.. Αν αντικατασταθεί ο ϕυσικός αριθµός µε ένα αυθαίρετο πραγµατικό αριθµό x, µε την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωµα συγκλίνει, αυτό ϑα αποτελεί τη γενίκευση, που Ϲητείται. Ετσι εισήχθη η συνάρτηση Γάµµα, πρώτα από τον Σουηδό Μαθηµατικό Leoard-Euler 7 78, ως εξής : Γx η οποία επεκτάθηκε και στους µιγαδικούς αριθµούς. e t t x dt, x >. Ορισµός.: Euler Η συνάρτηση Γz ορίζεται από το ολοκλήρωµα Euler πρώτου είδους : Γz και συγκλίνει για κάθε z C, µε Rez >. e t t z dt. Σηµείωση.: Ο συµβολισµός Γz για την συνάρτηση Γάµµα, οφείλεται στον Legedre το έτος 89. Λόγω της µεγάλης σπουδαιότητας της, η συνάρτηση Γάµµα µελετήθηκε, εκτός από τον Euler και από άλλους σπουδαίους µαθηµατικούς, όπως τους Legedre, Gauss, Guderma, Liouville, Weirstrass, Hermite κ.ά.. Πρόταση.: Η συναρτησιακή εξίσωση που ικανοποιεί η συνάρτηση Γάµµα είναι : Γz + zγz, z C, µɛ Rez >..4 Απόδειξη. Στην ισότητα., ϑέτουµε όπου z το z + και ολοκληρώνουµε κατά παράγοντες, οπότε προκύπτει : Γz+ e t t z dt lim α α e t t z dt lim α [ e t t z ] α t+z e t t z dt zγz.

4 Σηµείωση.: Αν z N, τότε εφαρµόζοντας διαδοχικά την.4 και λαµβάνοντας υπ οψιν µας ότι : έχουµε : Γ e t dt.5 Γ + Γ Γ... Γ.5!, δηλαδή καταλήγουµε ότι : Γ +!, N..6 Αποδεικνύεται, λοιπόν, ότι η συνάρτηση Γάµµα µπορεί να ϑεωρηθεί επέκταση του παραγοντικού ϕυσικών αριθµών, σε οποιονδήποτε µιγαδικό αριθµό z, µε Rez >. Πρόταση.: Η συνάρτηση Γάµµα είναι παντού αναλυτική στο µιγαδικό επίπεδο, εκτός από τα σηµεία z,,,..., όπου η συνάρτηση Γάµµα έχει απλούς πόλους. Απόδειξη. Χρησιµοποιώντας την σχέση.4, µπορούµε να γράψουµε : Γz + z + Γz + z + z + Γz + z + z +... z + zγz z Γz όπου z είναι το σύµβολο του Pochhammer, που ορίζεται για τους µιγαδικούς αριθ- µούς z C και για τους ϕυσικούς N από τη σχέση : z zz +... z +, N και z..7 Οπότε, η συνάρτηση Γάµµα µπορεί να επεκταθεί και στο µιγαδικό ηµιεπίπεδο Rez, ως εξής : Γz + Γz.8 z όπου Rez >, N και z / Z,,,.... Προφανώς, η σχέση.8 αποδεικνύει την Πρόταση.. Πρόταση.: Ισχύει η κάτωθι ισότητα : e pt t z dt Γz p z, Rep >, Rez >..9 Απόδειξη. Θέτουµε pt u στο ολοκλήρωµα, τα άκρα του δεν αλλάζουν και έχουµε : e pt t z dt e u u p z du p p z e u u z du Γz p z. 4

5 Αλλοι Ορισµοί για τη συνάρτηση Γάµµα Ορισµός.: Euler 79 και Gauss 8 Εστω z C µε Rez >, τότε η συνάρτηση Γάµµα ορίζεται ως εξής : Γz lim p Γ p z,. όπου Γ p z p! p z zz +... z + p p z z + z + z... + z.. p Ορισµός.: Weirstrass Για κάθε z R, εκτός από τους αρνητικούς ακεραίους {,,... } ισχύει : Γz zeγz + z e z p. p p όπου γ είναι η σταθερά Euler, που ορίζεται ως εξής : γ lim + p + + p l p, Πρόταση.4: Οι ορισµοί.,. και. της συνάρτησης Γάµµα, είναι ισοδύναµοι. Απόδειξη. Για να αποδείξουµε την ισοδυναµία των ορισµών. και., ϑεωρούµε τη συνάρτηση f z t t z dt, Rez >, N.. τ και ολοκληρώνοντας κατά παράγοντες διαδοχι- Κάνουµε τον µετασχηµατισµό t κά, η. γράφεται : f z z τ τ z dτ z z z z z + z! zz +... z + τ τ z dτ τ τ z+ dτ τ z+ dτ z! zz +... z + z +.4 Λαµβάνοντας υπ όψιν µας ότι : lim t e t παίρνουµε το όριο του στην., οπότε προκύπτει : lim f z lim t t z dt 5 e t t z dt Γz.

6 z! Λόγω της.4, lim zz +... z + ορισµών. και.. Γz, δηλαδή ισχύει η ισοδυναµία των Για να αποδείξουµε την ισοδυναµία των ορισµών. και., παρατηρούµε ότι επειδή η. µπορεί να γραφεί : p z e z l p e zl p p e z+ z + + z p Γ p z e γz z z + z +... p z z + p ez+ + + z p e γz z p e γz + z z k k e z z + e z z z p +... e z + p e z k..5 Η ισότητα.5 αν πάρουµε το όριο p, µας δίνει την ισοδυναµία τον ορισµών. και.. Συνάρτηση Βήτα Ορισµός.: Η συνάρτηση Βήτα ορίζεται ως εξής : Bx, y t x t y dt, µε Rex > και Rey >.. Ορισµός.: Η συνάρτηση Βήτα δίνεται από το ολοκλήρωµα Bx, y π si x φ cos y φ dφ, µε Rex > και Rey >.. Σηµείωση.: Ο ορισµός. προκύπτει από τον ορισµό. ϑέτοντας όπου t si φ, dt si φ cos φ dφ, µε φ π. Ορισµός.: Η συνάρτηση Βήτα δίνεται από το ολοκλήρωµα Bx, y u x du, µε Rex > και Rey >.. + u x+y Σηµείωση.: Ο ορισµός. προκύπτει από τον ορισµό. ϑέτοντας όπου t u + u, t + u, dt du, µε u <. + u Πρόταση.: Η συνάρτηση Βήτα συνδέεται µε τη συνάρτηση Γάµµα µέσω της σχέσης : Bx, y ΓxΓy Γx + y..4 6

7 Απόδειξη. Από τον ορισµό. της συνάρτησης Γάµµα, έχουµε : ΓxΓy e t t x dt e u u y du e u+t u y t x dt du..5 Στο διπλό αυτό ολοκλήρωµα κάνουµε την αλλαγή των µεταβλητών : t w si φ και u w cos φ, όπου w < και φ π, οπότε dtdu J dwdφ, όπου J είναι η Ιακωβιανή ορίζουσα και ισούται µε : t t w φ J si φ w si φ cos φ cos φ w cos φ si φ w si φ cos φ u w u φ και επειδή t + u w, η.5 παίρνει τη µορφή : ΓxΓy από όπου προκύπτει η.4. e w w x+y dw Ιδιότητες της συνάρτησης Βήτα π Υποθέτοντας ότι Rex >, Rey >, ισχύουν οι ιδιότητες :. Bx, y By, x. Bx +, y x Bx, y, Bx, y + y x + y si x φ cos y φ dφ Γx + ybx, y Bx, y x + y. Bx, +! x +, N και x είναι το σύµβολο του Pochhammer όπως ορίζεται από την.7. Απόδειξη. Η απόδειξη των ιδιοτήτων γίνεται, λαµβάνοντας υπ όψιν µας τις ισότητες.4 και.4.. Προφανές.. Bx +, y Bx, y +. Bx, + Γx + Γy Γx + + y ΓxΓy + Γx + y + ΓxΓ + Γx xγxγy x + yγx + y x Bx, y x + y yγxγy x + yγx + y y Bx, y x + y Γx!.7 x + Γx x! x +. Πρόταση.: Ισχύει η σχέση : ΓzΓ z π, z C µε < Rez <..6 siπz 7

8 Απόδειξη. Χρησιµοποιώντας τη σχέση.4 και το γεγονός ότι Γ, έχουµε : ΓzΓ z ΓBz, z..7 Από τον ορισµό. της συνάρτησης Bx, y, έχουµε : Bz, z t z + t dt π siπz..8 Η δεύτερη ισότητα στην.8 αποδεικνύεται µε τη ϐοήθεια των µιγαδικών συναρτήσεων ϐλ., π.χ., Μιγαδική Ανάλυση, Ν.Αρτεµιάδης, σελ.. Από τις.7 και.8, προκύπτει η.6. Πρόταση.: Ισχύει ότι Γ π. Απόδειξη. Χρησιµοποιώντας την.6 για z, προκύπτει ότι : [ ] π [ ] Γ si π Γ π Γ π..9 Πρόταση.4: Να δειχθεί ο τύπος διπλασιασµού του Legedre: Γz z ΓzΓ z +, Rez >.. π Απόδειξη. Χρησιµοποιούµε τη σχέση. και έχουµε : Bz, z Θέτοντας t siθ, έχουµε : t t z dt Bz, z π cos z θdθ z π z t 4 z dt. π cos z θdθ B, z z ΓzΓ z Γz +.. Οπότε από τις. και.9, προκύπτει η.. Πρόταση.5: Να δειχθεί ότι : Γ π! π..! 8

9 Απόδειξη. Εφαρµόζουµε την αναδροµική σχέση.4, κατ επανάληψη, οπότε προκύπτει : Γ + Γ + Γ Γ... Γ... 5 π π π! π.! Σηµείωση.: Ο τύπος. προκύπτει και από τον τύπο., ϑέτοντας όπου z το N. Συνάρτηση ψz Ορισµός.: Η συνάρτηση ψz ορίζεται ως το πηλίκο της παραγώγου της συνάρτησης Γz προς τη συνάρτηση Γz, δηλαδή : ψz Γ z Γz d l Γz, z,,,..... dz Πρόταση.: Η συνάρτηση ψz ικανοποιεί τη σχέση : ψz + ψz +, z,,,..... z Απόδειξη. Χρησιµοποιούµε τη σχέση. ϑέτοντας όπου z το z +, οπότε προκύπτει : ψz + Γ z + Γz + d.4 l Γz + d dz dz lzγz d l z + l Γz dz z + d dz l Γz z + ψz. Πρόταση.: Η συνάρτηση ψz ικανοποιεί τις παρακάτω σχέσεις : α ψz + ψz + k,,,.... z + k β ψz ψ z π, z, ±, ±, ta πz 9

10 Απόδειξη. α Η απόδειξη αυτής της σχέσης ϑα γίνει χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της επαγωγής : Για : ψz + ψz + z, που ισχύει ϐλέπε.. Εστω ότι ισχύει για m, δηλαδή ψz + m ψz + Θα δείξουµε ότι ισχύει για m +, δηλαδή ψz + m + ψz + m k z + k..5 m k Το πρώτο µέλος της αποδεικτέας σχέσης µπορεί να γραφεί : ψz + m + ψz + m + z + m m.5 ψz + k η οποία είναι η.6. Άρα η. ισχύει για κάθε N. z + k..6 z + k + m z + m ψz + ϐ Η απόδειξη αυτής της σχέσης, ϐασίζεται στην.6. Πράγµατι : ψz ψ z d dz l Γz + d dz l Γ z d dz si πz π cos πz π π si πz ta πz. k z + k, lγzγ z.6 d dz l π si πz 4 Συνάρτηση Σφάλµατος Ορισµός 4.: Η συνάρτηση σφάλµατος ορίζεται ως το ολοκλήρωµα erfx x e t dt, x >. 4. π Ορισµός 4.: Η συµπληρωµατική συνάρτηση σφάλµατος ορίζεται ως το ολοκλήρωµα erfcx e t dt, x >. 4. π x Πρόταση 4.: Η συνάρτηση σφάλµατος και η συµπληρωµατική συνάρτηση σφάλµατος ικανοποιούν την ισότητα : erfx + erfcx. 4.

11 Απόδειξη. Παρατηρούµε ότι : erfx + erfcx e t dt. 4.4 π Για τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος άκρα ολοκλήρωσης ϑα είναι ίδια, οπότε έχουµε : e t dt, ϑέτουµε t u tdt du. Τα e t dt e u u / du e u u / du Γ.9 π. 4.5 Οπότε από τις 4.4 και 4.5 προκύπτει η 4.. Ασκήσεις Ασκηση. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώµατα : x 5 e x dx, x e x dx, e t t dt, 4 dx, l, x 5 x dx, 6 x π/ cos θ si θ dθ, 7 π/ ta θ dθ, 8 y + y 4 dy, 9 5 β α x α p β x q dx, p >, q >, β > α, π/ Λύση : x x 4 / dx, ta / θdθ, >, 4 x e xp dx, p >, 6 x 5 e x dx x m dx, m, N, > m +, x + a x dx, >, u x e u du. x 6 e x dx Γ6 5! x x dx, Θέτουµε x t dx dt. Τα άκρα της ολοκλήρωσης δεν αλλάζουν, οπότε : t e x e x t dx dt t e t dt t 4 e t dt! Γ Θέτουµε t x dt dx. Τα άκρα της ολοκλήρωσης δεν αλλάζουν, οπότε :

12 e t t dt t / e t dt x / e x dx Γ/ x /e x dx x / e x dx π π 4 Θέτουµε l x t x et x e t, dx e t dt. Για x, το t και για x, το t, οπότε το ολοκλήρωµα : dx l t x e t dt t e t dt Γ! x dx x / x / dx x Γ/ Γ/ π Γ/ π Γ Γ + Γ Γ! π π π π/ π/ cos θ si θ dθ! Γ 5 Γ 5 π/ π/ ta θ dθ si / θ cos / θ dθ Γ/4Γ/4 Γ x x dx B, cos θ si θ dθ B, Γ/4Γ/4 π/ Γ Γ Γ 7 si θ cos θ dθ B 4, 4 8 Θέτουµε y 4 u y u /4, dy 4 u /4 du και y u /. Τα άκρα της ολοκλή- ϱωσης δεν αλλάζουν, οπότε : y + y dy 4 4 B 4, 4 4 u / + u 4 u /4 du 4 Γ/4Γ/4 Γ 4 Γ/4Γ/4 αφού 4 x x 4 και 4 + y y 4 u /4 du u /4 + u 4 + u du 9 Θέτουµε x α β αu x β αu + α, dx β αdu και β x β α β αu β α u, για x α, το u και για x β, το u, οπότε : β α x α p β x q dx β α p+q u p u q β αdu β α p+q+ u p+ u q+ du β α p+q+ Bp +, q +

13 p+q+ Γp + Γq + β α. Γp + q + Θέτουµε x u, dx du, για x, το u και για x, το u, οπότε : x x dx 6 4u u du 6 u u du u u 4 du 6 6 ΓΓ4!! B, 4 6 Γ + 4 6! Θέτουµε x 4 u x u /4, dx 4 u /4 du. Τα άκρα της ολοκλήρωσης δεν αλλάζουν, οπότε : 4 x x 4 / dx u 4 u du 4 B 4, Γ/4Γ/ 5 4 Γ5/ Γ/4Γ/ 5 Γ5/ u / u / 4 u /4 du 4 Γ/4Γ/ 4 Γ u /4 u / du Γ/4Γ/ Γ7/ Θέτουµε x a t x at w at /, dx a/ t dt. Τα άκρα της ολοκλήρωσης δεν αλλάζουν, οπότε : x m a m+ a m+ a m+ x + a dx π/ at m/ at + a a/ t dt a + m t m+ + t dt a m+ B m +, m + a m+ Γ m + Γ m + ta θ / dθ + B, π/ Γ m+ t m/ t + t dt t m+ m+ + t + m+ dt Γ m+ Γ m+ + m+ si / θ cos / θ dθ Γ + Γ Γ ++ π/ Γ + si + θ cos θ dθ Γ 4 Θέτουµε x t x t /, dx t dt, για x, το t και για x, το t, οπότε : x dx t t dt B, Γ Γ Γ + Γ Γ t t dt

14 5 Θέτουµε x p t x t /p, dx p t p dt, για x, το t και για x, το t, οπότε : x e xp dx t /p e t p t p dt p t + p e t dt p Γ + p 6 Θέτουµε u t u t /, udu dt. Τα άκρα της ολοκλήρωσης δεν αλλάζουν, οπότε : u x e u du t / x e t dt t t x / e t dt t x e t dt Γx. Ασκηση. Να αποδειχθεί ότι : Λύση : π/ Γνωρίζουµε ότι : Bx, y π/ cos + φ dφ B, + cos + φ dφ!,,,,... +! π/ π/ si x φ cos y φ dφ. Εδώ έχουµε : π/ si φ cos + φ dφ si φ cos + φ dφ π! Γ + + π!. + Γ + Γ/Γ + Γ π!4! +! π! +!. Ασκηση. Να δειχθεί ότι : Λύση : Bx, y Bx +, y + Bx, y +. Γx + Γy ΓxΓy + Bx +, y + Bx, y + + Γx + + y Γx + + y xγxγy x + yγx + y + yγxγy Γx + y ΓxΓy x + y x + yγx + y ΓxΓy Bx, y. Γx + y Ασκηση 4. Χρησιµοποιώντας την ισότητα Γa a π ΓaΓ a + Γ a +, 4

15 να αποδειχθεί ότι : ψa ψa + ψ a + + ψ a + + l. Λύση : Παίρνουµε τον λογάριθµο και στα δύο µέλη της δοθείσας ισότητας, οπότε προκύπτει : l Γa a l lπ + l Γa + l Γ a + + l Γ a +. Στη συνέχεια, παραγωγίζουµε ως προς a την προκύπτουσα ισότητα : Γ a Γa l + Γ a Γa + Γ a + Γa + + Γ a + Γa + ψa l + ψa + ψ a + + ψ a +. Ασκηση 5. Να δειχθεί ότι : Λύση : ψ e t l t dt. ψ Γ x Γ x Γx x x e t l t dt. Ασκηση 6. Να αποδειχθεί ότι : Λύση : ψz x t x e t dt x [ ψz + ψ z + ] + l. Θα χρησιµοποιήσουµε τον τύπο διπλασιασµού του Legedre: ψz d dz l Γz d [ z dz l d dz [ d dz ΓzΓ π ] z + [ l z l π + l Γz + l Γ z + ] z l + ψz + ψ z + ] l + t x e t l t dt x [ ψz + ψ z + ]. 5

16 Βιβλιογραφία Μασσαλάς Χ. Ειδικές Συναρτήσεις, Cuteberg. Σιαφαρίκας Π. 9 Ειδικές Συναρτήσεις, Εκδόσεις Πανεπιστηµίου Πατρών. Hochstadt H. 986 The fuctio of Mathematical Physics, Dover Publicatios, Ic. N.Y.. Lebedev N.N. 97 Special fuctios ad their Applicatios, Dover Publicatios. Luke Y. L. 969 The special fuctios ad their Approximatios-Volume I, Academic Press. 6