Διπλωματική εργασία: Υπεραγώγιμη διασύνδεση συνεχούς ρεύματος- Απόσβεση μεταβατικών φαινομένων μέσω παθητικών κυκλωμάτων Foster

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Διπλωματική εργασία: Υπεραγώγιμη διασύνδεση συνεχούς ρεύματος- Απόσβεση μεταβατικών φαινομένων μέσω παθητικών κυκλωμάτων Foster Ονοματεπώνυμο: Μαλούτα Έλλη Επιβλέπων καθηγητής: Λαμπρίδης Δημήτρης Θεσσαλονίκη, Νοέμβριος 26

2

3 Περίληψη Η παρούσα διπλωματική εργασία έχει στόχο τη βέλτιστη απόσβεση μεταβατικών φαινομένων σε μια υπεραγώγιμη διασυνδετική γραμμή συνεχούς ρεύματος μέσω παθητικών κυκλωμάτων τύπου foster. Τα κυκλώματα foster είναι συγκεντρωμένα ισοδύναμα κυκλώματα των οποίων η χαρακτηριστική μεταβάλλεται με τη συχνότητα. Πρόκειται για κυκλώματα που έχουν εφαρμογή κυρίως στον τομέα των τηλεπικοινωνιών και επιχειρείται να ερευνηθεί η επίδρασή τους στην απόκριση του συγκεκριμένου συστήματος. Για το σκοπό αυτό, μελετάται ο τρόπος σύνδεσης και διαστασιολόγησης τους. Στο πρώτο σκέλος της εργασίας παρουσιάζεται το μοντέλο της υπεραγώγιμης διασύνδεσης δύο στιβαρών εναλλασσόμενων δικτύων, χρησιμοποιώντας μετατροπείς πηγής τάσης (VSC). Στη συνέχεια, υπολογίζεται η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος, υπό τη μορφή της ισοδύναμης σύνθετης αντίστασης του. Μέσω κατάλληλης προσαρμογής της συνάρτησης αυτής, εντοπίζονται οι ευσταθείς πόλοι και τα μηδενικά του συστήματος και βάση αυτών υλοποιείται η διαστασιολόγηση των foster. Στο δεύτερο σκέλος της εργασίας πραγματοποιούνται οι διάφορες προσομοιώσεις, με σκοπό την αποτύπωση της απόκρισης του συστήματος τόσο στη μόνιμη κατάσταση λειτουργίας όσο και σε μια σειρά σφαλμάτων που του υποβάλλονται. Σε επόμενο στάδιο, προστίθενται και τα διάφορα κυκλώματα foster και γίνεται σύγκριση και αξιολόγηση των αποτελεσμάτων. Συνοψίζοντας, σημειώνονται οι διαφοροποιήσεις που παρατηρούνται στις αποκρίσεις κατ αντιστοιχία με τον διαφορετικό τρόπο υπολογισμού των foster και δίνονται ορισμένες κατευθυντήριες γραμμές για περαιτέρω έρευνα. 2

4 Abstract This dissertation thesis aims at the optimal damping of several transients applied in a superconducting direct current system by integrating passive circuits of type foster. Fostercircuits are lumped element equivalent circuits, whose characteristic varies with frequency. Such circuits are applicable especially in the field of telecommunications and therefore their influence in the response of this particular system is investigated. In order to accomplish this, the thesis focuses on the way in which the foster-circuits should be connected to the system, as well as on their sizing. In the first part, the model incorporating a superconducting cable which connects two stiff ac networks using voltage source converters (VSC), is presented. Then, the transfer function of the system is calculated by defining the equivalent impedance of the system. Through the fitting of this function, the stable poles and residues of the system are located and so, the sizing of the foster-circuits is made according to them. In the second part of the thesis, several simulations take place, in order to examine the response of the system during its steady state operation, as well as when it is subjected to a series of transients. Next, several foster-circuits are connected to the system and the new results are compared and assessed. In conclusion, the differentiations remarked due to the different foster-circuits are highlighted and some advice for further research is given. 3

5 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ. Λαμπρίδη Δημήτρη, επιβλέποντα καθηγητή, για την πολύτιμη ευκαιρία που μου έδωσε να ασχοληθώ με το συγκεκριμένο θέμα και για την ουσιαστική καθοδήγηση που μου προσέφερε. Θα ήθελα, επίσης, να ευχαριστήσω τον Δημήτρη Δούκα για την εξαιρετική συνεργασία μας και για τις συμβουλές που μου έδωσε συνολικά για την εκπόνηση της παρούσας εργασίας, καθώς και τον Ανδρέα Χρυσοχό για την πολύτιμη βοήθεια του. Τέλος, ευχαριστώ τους φίλους και την οικογένεια μου για την υποστήριξη που μου προσέφεραν όλο αυτό το διάστημα. 29 Οκτωβρίου 26 4

6 Περιεχόμενα Περίληψη... 2 Abstract... 3 Ευχαριστίες... 4 Περιεχόμενα... 5 Λίστα σχημάτων... 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ... Η έννοια της υπεραγωγιμότητας.... Εισαγωγή....2 Υπεραγωγιμότητα....3 Υπεραγώγιμο καλώδιο... 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Το μοντέλο προσομοίωσης Το μοντέλο προσομοίωσης στο Simulink AC ΜΕΡΟΣ DC ΜΕΡΟΣ Μπλοκ ελέγχου... 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενσωμάτωση κυκλωμάτων τύπου foster σε ηλεκτρικά κυκλώματα Συνάρτηση Μεταφοράς και Απόκριση Συχνότητας Υπολογισμός της συνάρτησης μεταφοράς Vector fitting (VF) Θεωρία των foster Συνδεσμολογία και διαστασιολόγηση foster Εφαρμογή των κυκλωμάτων foster στο υπό μελέτη μοντέλο Για αφόρτιστο καλώδιο Για προσαρμοσμένο καλώδιο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

7 Προσομοίωση μεταβατικών φαινομένων Προσομοίωση κατά την μόνιμη κατάσταση λειτουργίας Προσομοίωση μεταβατικών φαινομένων DC βραχυκύκλωμα Τριφασικό βραχυκύκλωμα Διφασικό βραχυκύκλωμα Μονοφασικό βραχυκύκλωμα Σχολιασμός και σύγκριση αποτελεσμάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ Προσομοίωση μεταβατικών φαινομένων σε σύστημα με ενσωματωμένα κυκλώματα foster Για αφόρτιστο καλώδιο Για προσαρμοσμένο καλώδιο Προσομοίωση με πόλους Προσομοίωση με 2 πόλους Συμπεράσματα/Συγκριτικά διαγράμματα DC Βραχυκύκλωμα Τριφασικό βραχυκύκλωμα Διφασικό βραχυκύκλωμα Μονοφασικό βραχυκύκλωμα Συνοπτικοί πίνακες ΚΕΦΑΛΑΙΟ Συμπεράσματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ Προτάσεις για περαιτέρω έρευνα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8... Βιβλιογραφία... ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α... 2 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β

8 Λίστα σχημάτων Σχήμα Προσδιορισμός υπεραγωγιμότητας από την ρευματική πυκνότητα, την θερμοκρασία και το μαγνητικό πεδίο... 2 Σχήμα 2 Χαρακτηριστική V-I υπεραγώγιμου καλωδίου... 3 Σχήμα 3 Το μοντέλο προσομοίωσης... 4 Σχήμα 4 Μοντέλο πηγής στο Simulink... 5 Σχήμα 5 Μοντέλο μετασχηματιστή στο Simulink... 6 Σχήμα 6 Μοντέλο αυτεπαγωγής γραμμής στο Simulink... 7 Σχήμα 7 Μοντέλο γέφυρας μετατροπής στο Simulink... 7 Σχήμα 8 Το DC μέρος του συστήματος στο Simulink... 8 Σχήμα 9 Το μοντέλο του υπεραγώγιμου καλωδίου στο Simulink... 2 Σχήμα Διατομή υπεραγώγιμου καλωδίου... 2 Σχήμα Αναπαράσταση της συνάρτησης μεταφοράς ενός συστήματος Σχήμα 2 Αναπαράσταση της απόκρισης συχνότητας ενός συστήματος Σχήμα 3.α Σύνδεση foster σε σειρά Σχήμα 3.b Σύνδεση foster παράλληλα Σχήμα 4 Αποτελέσματα fitting Σχήμα 5 Το μέτρο και η φάση της μετρούμενης σύνθετης αντίστασης Σχήμα 6 Μέτρηση της σύνθετης αντίστασης του κυκλώματος Σχήμα 7 Σύγκριση της σύνθετης αντίστασης των foster για διαφορετική δειγματοληψία Σχήμα 8 Αποτελέσματα fitting χρησιμοποιώντας πόλους Σχήμα 9 Αποτελέσματα fitting χρησιμοποιώντας 2 πόλους Σχήμα 2 Αποτελέσματα fitting χρησιμοποιώντας 3 πόλους Σχήμα 2 Αποτελέσματα fitting χρησιμοποιώντας 44 πόλους

9 Σχήμα 22 Αποτελέσματα fitting χρησιμοποιώντας 6 πόλους Σχήμα 23 Τα dc ρεύματα στους σταθμούς και Σχήμα 24 Τα ρεύματα που ρέουν στον θετικό και αρνητικό πόλο του καλωδίου σε μεγέθυνση Σχήμα 25 Το ρεύμα που ρέει στον τρίτο αγωγό-μανδύα γείωσης σε πλήρη κλίμακα και σε μεγέθυνση Σχήμα 26 Η dc τάση στα άκρα του καλωδίου σε πλήρη κλίμακα και σε μεγέθυνση Σχήμα 27 Η ανταλλαγή ενεργού ισχύος (πάνω) και άεργου ισχύος (κάτω) μεταξύ των σταθμών Σχήμα 28 To dc ρεύμα της γραμμής κατά το dc βραχυκύκλωμα Σχήμα 29 Το ρεύμα που ρέει στον αγωγό γείωσης κατά το dc βραχυκύκλωμα Σχήμα 3 Η dc τάση του καλωδίου σε πλήρη κλίμακα και σε μεγέθυνση κατά το dc βραχυκύκλωμα Σχήμα 3 Η ενεργός και άεργος ισχύς στους σταθμούς και 2 κατά το dc βραχυκύκλωμα Σχήμα 32 Η dc τάση στα άκρα του καλωδίου κατά το τριφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 33 Το dc ρεύμα του καλωδίου κατά το τριφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 34 Το ρεύμα που ρέει στον αγωγό γείωσης κατά το τριφασικό βραχυκύκλωμα... 5 Σχήμα 35 Η ενεργός και άεργος ισχύς στους σταθμούς και 2 κατά το τριφασικό βραχυκύκλωμα... 5 Σχήμα 36 Η dc τάση στα άκρα του καλωδίου σε πλήρη κλίμακα και σε μεγέθυνση κατά το διφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 37 Το dc ρεύμα του καλωδίου κατά το διφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 38 Το ρεύμα που ρέει στον αγωγό γείωσης κατά το διφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 39 Η ενεργός και άεργος ισχύς στους σταθμούς και 2 κατά το διφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 4 Η dc τάση στα άκρα του καλωδίου σε πλήρη κλίμακα και σε μεγέθυνση κατά το μονοφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 4 Το dc ρεύμα του καλωδίου κατά το μονοφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 42 Το ρεύμα που ρέει στον αγωγό γείωσης κατά το μονοφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 43 Η ενεργός και άεργος ισχύς στους σταθμούς και 2 κατά το μονοφασικό βραχυκύκλωμα

10 Σχήμα 44 H dc τάση του καλωδίου κατά το dc βραχυκύκλωμα Σχήμα 45 Το ρεύμα στον θετικό και αρνητικό πόλο του καλωδίου κατά το dc βραχυκύκλωμα... 6 Σχήμα 46 Η μεταφορά ενεργού και άεργου ισχύος κατά το dc βραχυκύκλωμα... 6 Σχήμα 47 Η dc τάση του καλωδίου κατά το τριφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 48 Το ρεύμα στον θετικό και αρνητικό πόλο του καλωδίου κατά το τριφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 49 Η μεταφορά ενεργού και άεργου ισχύoς κατά το τριφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 5 Η dc τάση και ρεύμα του καλωδίου κατά το διφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 5 Η ενεργός και άεργος ισχύς κατά το διφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 52 Η dc τάση και ρεύμα κατά το μονοφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 53 Η ενεργός και άεργος ισχύς κατά το μονοφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 54 H dc τάση του καλωδίου κατά το dc βραχυκύκλωμα Σχήμα 55 Το ρεύμα στον θετικό και αρνητικό πόλο του καλωδίου κατά το dc βραχυκύκλωμα... 7 Σχήμα 56 Η ενεργός και άεργος ισχύς στον υποσταθμό κατά το dc βραχυκύκλωμα... 7 Σχήμα 57 Η dc τάση του καλωδίου κατά το τριφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 58 Το ρεύμα στον θετικό και αρνητικό πόλο του καλωδίου κατά το τριφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 59 Η ενεργός και άεργος ισχύς στον υποσταθμό κατά το τριφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 6 Η dc τάση και ρεύμα κατά το διφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 6 Η ενεργός και άεργος ισχύς στον υποσταθμό κατά το διφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 62 Η dc τάση και ρεύμα κατά το μονοφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 63 Η ενεργός και άεργος ισχύς στον υποσταθμό κατά το μονοφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 64 H dc τάση του καλωδίου κατά το dc βραχυκύκλωμα Σχήμα 65 Το ρεύμα στον θετικό και αρνητικό πόλο του καλωδίου κατά το dc βραχυκύκλωμα... 8 Σχήμα 66 Η ενεργός και άεργος ισχύς στον υποσταθμό κατά το dc βραχυκύκλωμα... 8 Σχήμα 67 Η dc τάση του καλωδίου κατά το τριφασικό βραχυκύκλωμα

11 Σχήμα 68 Το ρεύμα στον θετικό και αρνητικό πόλο του καλωδίου κατά το τριφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 69 Η ενεργός και άεργος ισχύς στον υποσταθμό κατά το τριφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 7 Η dc τάση και ρεύμα κατά το διφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 7 Η ενεργός και άεργος ισχύς στον υποσταθμό κατά το διφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 72 Η dc τάση και ρεύμα κατά το μονοφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 73 Η ενεργός και άεργος ισχύς στον υποσταθμό κατά το μονοφασικό βραχυκύκλωμα Σχήμα 74 Σύγκριση των αποκρίσεων των διάφορων κυκλωμάτων foster στο dc βραχυκύκλωμα... 9 Σχήμα 75 Σύγκριση των αποκρίσεων των διάφορων κυκλωμάτων foster στο τριφασικό βραχυκύκλωμα 9 Σχήμα 76 Σύγκριση των αποκρίσεων των διάφορων κυκλωμάτων foster στο διφασικό βραχυκύκλωμα.. 92 Σχήμα 77 Σύγκριση των αποκρίσεων των διάφορων κυκλωμάτων foster στο μονοφασικό βραχυκύκλωμα... 93

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η έννοια της υπεραγωγιμότητας. Εισαγωγή Η μεταφορά της ηλεκτρικής ενέργειας μέσω HVDC (high-voltage, direct current) συστημάτων έγκειται στην χρήση συνεχούς ρεύματος, έναντι του εναλλασσόμενου που χρησιμοποιείται στα AC συστήματα. Τα HVDC συστήματα προτιμώνται για την μεταφορά ενέργειας σε μεγάλες αποστάσεις, καθώς αποτελούν μια οικονομικότερη λύση και παρουσιάζουν μικρότερες απώλειες. Επιπλέον δεν τίθενται περιορισμοί κατά την υποθαλάσσια μεταφορά, σε αντίθεση με την περίπτωση του εναλλασσόμενου ρεύματος, όπου λόγω της μεγάλης χωρητικότητας του καλωδίου, μειώνεται η μέγιστη δυνατή απόσταση μεταφοράς. Ακόμη, χάρη στα συστήματα αυτά επιτυγχάνεται η διασύνδεση ασύγχρονων AC δικτύων μέσω του ελέγχου της ροής ισχύος. Τέλος, οι μικρότερες διαστάσεις του απαιτούμενου εξοπλισμού για την λειτουργία των HVDC συστημάτων, τα καθιστούν πιο φιλικά προς το περιβάλλον. [].2 Υπεραγωγιμότητα H έννοια της υπεραγωγιμότητας ανακαλύφθηκε από τον Kamerlingh Onnes το 9 και βρήκε μετέπειτα πολλές εφαρμογές στα συστήματα ηλεκτρικής ενέργειας. Οι εφαρμογές αυτές έχουν να κάνουν με τη χρήση υπεραγώγιμων υλικών ως στοιχεία ηλεκτρικού εξοπλισμού για την παραγωγή και διανομή της ηλεκτρικής ενέργειας όπως σε μηχανές, γεννήτριες, μετασχηματιστές και καλώδια μεταφοράς ρεύματος. Η συμβολή τους είναι σημαντική τόσο στην αποτελεσματικότητα του δικτύου στο οποίο είναι ενσωματωμένα, όσο και στην εξοικονόμηση μεγέθους και βάρους του εξοπλισμού. Τα πλεονεκτήματα αυτά σχετίζονται με την κατασκευή των υπεραγωγών, οι οποίοι σε χαμηλές θερμοκρασίες έχουν κατά αρκετές τάξεις μεγέθους μικρότερη ειδική αντίσταση σε σχέση με τους συμβατικούς αγωγούς. Αυτή η ιδιότητα συνεπάγεται την μεταφορά ισχύος χωρίς την εμφάνιση απωλειών στην μόνιμη κατάσταση λειτουργίας, μειώνοντας έτσι την πολυπλοκότητα και το κόστος του συστήματος. Οι παράγοντες που καθορίζουν την υπεραγωγιμότητα ή μη των

13 υλικών, είναι η πυκνότητα του ρεύματος, η θερμοκρασία λειτουργίας και το μαγνητικό πεδίο όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα. Για κάθε έναν από αυτούς τους παράγοντες υπάρχει ένα κρίσιμο σημείο (J c, T c, H c ) πάνω από την τιμή του οποίου το υλικό παύει να είναι υπεραγώγιμο αλλά γίνεται συμβατικό. [2] Σχήμα Προσδιορισμός υπεραγωγιμότητας από την ρευματική πυκνότητα, την θερμοκρασία και το μαγνητικό πεδίο.3 Υπεραγώγιμο καλώδιο Όσον αφορά τα υπεραγώγιμα καλώδια, η βασική αρχή που διέπει την λειτουργία τους είναι η ψύξη των αγώγιμων κραμάτων που αποτελούν τους πόλους του καλωδίου μέχρι μια κρίσιμη θερμοκρασία, κάτω από την οποία η ειδική αντίσταση τους μηδενίζεται. Αρχικά, τα κράματα αυτά απαιτούσαν η κρίσιμη θερμοκρασία να είναι μικρότερη από Κ, όμως σταδιακά εξελίχθηκαν και πλέον χρησιμοποιούνται υπεραγωγοί υψηλής θερμοκρασίας, HTS (High Temperature Superconductors) με θερμοκρασία λειτουργίας 77 Κ. Η θερμοκρασία διατηρείται μικρότερη ή ίση της κρίσιμης μέσω κυκλώματος ψυκτικού ρευστού- στις σημερινές εφαρμογές χρησιμοποιείται κυρίως υγρό άζωτο-, το οποίο αναλόγως της γεωμετρίας κατασκευής ρέει γύρω ή στο εσωτερικό των αγωγών, και απάγει τη θερμότητα που τείνει να θερμάνει το καλώδιο λόγω της διαφοράς θερμοκρασίας με το έδαφος. 2

14 Η V-I χαρακτηριστική ενός υπεραγώγιμου καλωδίου δίνεται στο παρακάτω σχήμα, στο οποίο απεικονίζεται η πτώση τάσης κατά μήκος του καλωδίου συναρτήσει του ρεύματος που το διαρρέει. Ορίζοντας ως κρίσιμο ρεύμα, την τιμή του ρεύματος που αντιστοιχεί σε πτώση τάσης ίση με μv/cm, γίνεται αντιληπτό ότι η μετάβαση ενός καλωδίου από υπεραγώγιμο σε συμβατικό δεν γίνεται ακαριαία αλλά σταδιακά. [2] Σχήμα 2 Χαρακτηριστική V-I υπεραγώγιμου καλωδίου Παρά το γεγονός ότι χάρη στα υπεραγώγιμα καλώδια επιτυγχάνεται η ελαχιστοποίηση των απωλειών στις γραμμές μεταφοράς, ανακύπτουν κάποια προβλήματα. Ένα βασικό πρόβλημα που προκύπτει λόγω της μηδενικής αντίστασης -και το οποίο καλείται να επιλύσει η παρούσα εργασία- είναι η έλλειψη απόσβεσης κατά την διάρκεια μεταβατικών φαινομένων. Μεταβατικά φαινόμενα τα οποία προκύπτουν είτε από σφάλματα στη γραμμή μεταφοράς, είτε από αλλαγή στη ροή ισχύος, είτε από διακοπτικούς χειρισμούς μπορεί να οδηγήσουν σε ταλαντώσεις και σε διαταραχές όπως υπερτάσεις οι οποίες καθυστερούν να αποκατασταθούν. 3

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Το μοντέλο προσομοίωσης Το σύστημα που μελετήθηκε για την προσομοίωση των μεταβατικών φαινομένων είναι ένα σύστημα διασύνδεσης δύο AC δικτύων. Η διασύνδεση περιλαμβάνει μετασχηματιστές, αυτεπαγωγές γραμμής, γέφυρες μετατροπής και υπεραγώγιμο καλώδιο. Προκειμένου να γίνει η ανάλυση του συστήματος έγινε μοντελοποίηση αυτού με την βοήθεια του πακέτου Simulink του προγράμματος MATLAB. Ακολουθεί αναλυτική περιγραφή των επιμέρους στοιχείων του μοντέλου. 2. Το μοντέλο προσομοίωσης στο Simulink Σχήμα 3 Το μοντέλο προσομοίωσης Να σημειωθεί ότι σαν στοιχεία αναφοράς χρησιμοποιήθηκαν: Η συνολική μεταφερόμενη ενεργός ισχύς ίση με 6 MW ή.8 pu από τον σταθμό στον σταθμό 2. Η συνολική μεταφερόμενη άεργος ισχύς ίση με 2 MVar ή.6 pu. Η τάση στα διασυνδεόμενα δίκτυα ορίστηκε στα 4 kv, στους σταθμούς στα 5 kv και στις γέφυρες μετατροπής στα 245 kv. 4

16 2.. AC ΜΕΡΟΣ I. AC διασυνδεόμενο δίκτυο Σχήμα 4 Μοντέλο πηγής στο Simulink Τα δύο δίκτυα εναλλασσόμενης τάσης εκατέρωθεν της υπεραγώγιμης γραμμής διαστασιολογούνται σύμφωνα με τις προδιαγραφές του ελληνικού δικτύου μεταφοράς με υπερυψηλή τάση [3]. Επομένως, κάθε δίκτυο προσομοιώνεται με μια πηγή τάσης 4 kv εν σειρά με μια σύνθετη αντίσταση, με λόγο X/R=9.67. Το ρεύμα βραχυκύκλωσης του δικτύου σε τάση 42 kv (.5 pu) είναι 4 ka. Θέτοντας ως μεγέθη βάσης στο pu σύστημα την ονομαστική τάση και την ονομαστική ισχύ, η οποία για το εξεταζόμενο σύστημα ορίστηκε στα 2 MVA, ο υπολογισμός της αντίδρασης του δικτύου προκύπτει ως εξής: Zb = U n 2 S n = 42 2 =8 Ω (2.) Zgrid = U k I k = =6.622 Ω ή Zgrid =.758 pu (2.2) 5

17 Zgrid = R 2 + X 2 =6.622 Rgrid =.6236 Ω (2.3) και Χ R =9.67 Xgrid = 6.3 Ω (2.4) II. Μετασχηματιστής Σχήμα 5 Μοντέλο μετασχηματιστή στο Simulink Ο μετασχηματιστής χρησιμοποιείται για να υποβιβάσει την τάση από το επίπεδο του δικτύου δηλαδή από τα 4 kv στο επίπεδο της γέφυρας μετατροπής που έχει οριστεί στα 5 kv. Η συνδεσμολογία των τυλιγμάτων του μετασχηματιστή είναι Yd, ώστε τυχόν ομοπολική συνιστώσα ρεύματος στον αστέρα να μην μετασχηματίζεται σε τάση στο δευτερεύον. [4] Η συνολική διαμήκης αντίδραση του μετασχηματιστή επιλέγεται.5 pu,.75 pu σε κάθε τύλιγμα, με μηδενική αντίσταση, ούτως ώστε να εξεταστεί η δυσμενέστερη περίπτωση απόσβεσης. Επίσης, η αντίδραση και η αντίσταση του κλάδου μαγνήτισης επιλέγονται 5 pu, ώστε να θεωρείται πρακτικά ανοιχτό κύκλωμα. 6

18 III. Αυτεπαγωγή γραμμής Σχήμα 6 Μοντέλο αυτεπαγωγής γραμμής στο Simulink Η αυτεπαγωγή γραμμής (phase reactor) χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της ενεργού και της άεργου ισχύος μέσω του ελέγχου του ρεύματος που τη διαρρέει. Η αυτεπαγωγή λειτουργεί σε συνδυασμό με τους μετασχηματιστές ως ένα εν σειρά χαμηλοπερατό φίλτρο, φιλτράροντας το ρεύμα των ac δικτύων. Οι αυτεπαγωγές επιλέγονται με τιμή.5 pu. Σε σειρά με την αυτεπαγωγή προστίθεται μια αντίσταση.5 pu, η οποία προσομοιώνει τις συνολικές απώλειες του ac μέρους. IV. Γέφυρα μετατροπής Σχήμα 7 Μοντέλο γέφυρας μετατροπής στο Simulink Το μοντέλο χρησιμοποιεί μετατροπείς πηγής τάσης (Voltage Source Converters), οι οποίοι υλοποιούνται με δυο εξαπαλμικές γέφυρες με διακόπτες IGBT, εκ των οποίων η μία λειτουργεί ως ανορθωτής και η άλλη ως αντιστροφέας. Παράλληλα σε κάθε διακόπτη υπάρχει συνδεδεμένη μια αντιπαράλληλη δίοδος, η οποία επιτρέπει στη γέφυρα να λειτουργεί και στα τέσσερα τεταρτημόρια, επιτρέποντας αντιστροφή της ροής ισχύος. Η παλμοδότηση των διακοπτών γίνεται με διαμόρφωση εύρους παλμών PWM (pulse width modulation), με συχνότητα φέροντος σήματος 35 Hz (27η αρμονική), ώστε ο λόγος mf= f s f να είναι περιττός 7

19 και πολλαπλάσιος του 3, επομένως να ελαχιστοποιούνται οι διακοπτικές αρμονικές που δημιουργούνται. [5] 2..2 DC ΜΕΡΟΣ To DC τμήμα του συστήματος αποτελείται από τους πυκνωτές στήριξης, τα πηνία εξομάλυνσης, τα φίλτρα τρίτης αρμονικής και το μοντέλο με το οποίο αναπαρίσταται το υπεραγώγιμο καλώδιο. Η σύνδεση των στοιχείων αυτών φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ακολουθεί αναλυτική περιγραφή της λειτουργίας κάθε στοιχείου καθώς και της διαστασιολόγησης του. Σχήμα 8 Το DC μέρος του συστήματος στο Simulink Πηνίο εξομάλυνσης Τα πηνία εξομάλυνσης τοποθετούνται σε κάθε πόλο του dc μέρους με στόχο την μείωση των αρμονικών και του πλάτους της κυμάτωσης στο dc ρεύμα. Το πηνίο εξομάλυνσης δημιουργεί μαζί με τον πυκνωτή στήριξης ένα κύκλωμα LC, του οποίου η συχνότητα συντονισμού εμφανίζεται στα ισχυρά μεταβατικά φαινόμενα. Γι αυτό και η κατάλληλη διαστασιολόγηση του είναι πολύ σημαντική. Τελικά η τιμή που επιλέχθηκε για την αυτεπαγωγή είναι τα mh. Αυτεπαγωγή τέτοιου μεγέθους αφενός κρατά την κυμάτωση του ρεύματος σε πολύ χαμηλά επίπεδα, αφετέρου δεν αποθηκεύει πολλή μαγνητική ενέργεια στα τυλίγματά της. Αυτό είναι πολύ σημαντικό γιατί σε περίπτωση σφάλματος το σύστημα δεν καθυστερεί να επανέλθει στην αρχική του κατάσταση. 8

20 Πυκνωτής στήριξης Οι πυκνωτές στήριξης τοποθετούνται ανάμεσα στους πόλους και τη γη, με στόχο τη στήριξη της dc τάσης και τη μείωση της κυμάτωσης της. Επιπλέον απορροφούν ένα μέρος των αρμονικών που εγχέονται στο dc μέρος. Η επιλογή της χωρητικότητας είναι πολύ σημαντική και καθορίζεται από την σταθερά χρόνου του πυκνωτή, δηλαδή του χρόνου που απαιτείται για να φορτιστεί ο πυκνωτής υπό ονομαστική τάση. Στο συγκεκριμένο μοντέλο επιλέχθηκε έπειτα από δοκιμές η τιμή των 24 μf. Φίλτρο 3 ης αρμονικής Το φίλτρο 3 ης αρμονικής αποτελείται από δύο πυκνωτές που συνδέονται παράλληλα στους πόλους και το κοινό τους άκρο συνδέεται μέσω αντίστασης και αυτεπαγωγής στη γη. Να σημειωθεί ότι ο κλάδος αντίστασης-αυτεπαγωγής χρησιμοποιείται εξίσου από τα φίλτρα των δύο πόλων. Οι μετατροπείς δημιουργούν σχετικά μεγάλη τρίτη αρμονική τάσης στο θετικό και τον αρνητικό πόλο, ωστόσο όχι στη συνολική dc τάση. [5] Παρόλα αυτά, το φίλτρο τρίτης αρμονικής είναι απαραίτητη διάταξη σε πολλές dc διασυνδετικές γραμμές. Οι διαστάσεις του φίλτρου είναι: C=2 μf, L=46.98 mh, R=47.37 mω Υπεραγώγιμο καλώδιο Για την προσομοίωση του υπεραγώγιμου καλωδίου χρησιμοποιήθηκε ένα διπολικό ομοαξονικό καλώδιο με τρεις αγωγούς, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. [6] Το καλώδιο θεωρούμε ότι τοποθετείται σε βάθος ενός μέτρου και η ειδική αντίσταση του εδάφους επιλέγεται ίση με Ωm. Tο συνολικό μήκος της διασύνδεσης λαμβάνεται ίσο με km. Να σημειωθεί στο σημείο αυτό, ότι στα dc καλώδια δεν υπάρχει όριο στο μήκος τους, αφού τα χωρητικά ρεύματα αμελούνται, σε αντίθεση με τα ac καλώδια όπου μετά από κάποιο όριο τα χωρητικά ρεύματα και άρα οι απώλειες αυξάνουν σημαντικά. Ο μανδύας του καλωδίου γειώνεται στα δυο του άκρα μέσω αυτεπαγωγών συνολικής αυτεπαγωγής 2 mh, ώστε να περιοριστεί το ρεύμα που επάγεται σε αυτόν. Σημειώνεται επίσης ότι το καλώδιο προσομοιώνεται με γραμμή διανεμημένων στοιχείων. Η κυρίαρχη μεταβατική συχνότητα (dominant transient frequency), δηλαδή η συχνότητα με την οποία το πεδίο ανάμεσα στους δυο αγωγούς, οδεύει από το ένα άκρο του καλωδίου στο άλλο, είναι Hz. Με βάση αυτήν την συχνότητα υπολογίστηκαν και οι παράμετροι R L C του καλωδίου. Βασική επίσης παράμετρος που λήφθηκε υπόψιν και θα αναλυθεί και σε επόμενο κεφάλαιο, είναι η χαρακτηριστική αντίσταση του καλωδίου. Ισχύει ότι όταν η αντίδραση ενός φορτίου δεν είναι ίση με τη χαρακτηριστική αντίσταση της γραμμής μεταφοράς που το τροφοδοτεί -στην περίπτωση μας του καλωδίου- δημιουργείται ανακλώμενο κύμα στον τερματισμό της, και στάσιμο κύμα κατά μήκος της γραμμής από το συνιστάμενο κύμα. Από την προσομοίωση του 9

21 καλωδίου, η χαρακτηριστική αντίσταση του καλωδίου για την κυρίαρχη μεταβατική συχνότητα προέκυψε περίπου 9.8 Ω. [7] Σχήμα 9 Το μοντέλο του υπεραγώγιμου καλωδίου στο Simulink Για την καλύτερη κατανόηση της διάταξης κάθε αγωγού του καλωδίου παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα η διατομή του. Σχήμα Διατομή υπεραγώγιμου καλωδίου 2

22 2.2 Μπλοκ ελέγχου Στόχος του μπλοκ ελέγχου είναι η μετατροπή της τριφασικής ac ισχύος σε dc ισχύ υψηλής ποιότητας. Για να συμβεί αυτό, ο έλεγχος μεταβάλλει την τοπολογία του δικτύου- μέσω κατάλληλης παλμοδότησης των διακοπτών στα άκρα της γραμμής-, έτσι ώστε η πολική dc τάση να παραμένει σταθερή και ίδια και στα δύο άκρα του καλωδίου κάθε χρονική στιγμή. Σε διαφορετική περίπτωση, η διαφορά δυναμικού ανάμεσα στα δύο άκρα έχει ως αποτέλεσμα την εκφόρτιση και επαναφότιση των χωρητικών στοιχείων του καλωδίου, με συνέπεια την απώλεια ισχύος κατά μήκος του. Οι δυο σταθμοί λειτουργούν ανεξάρτητα. Ο έλεγχος κάθε σταθμού έχει δυο βαθμούς ελευθερίας, δηλαδή κάθε σταθμός ελέγχει δύο μεγέθη, τα οποία καθορίζονται από τον χαρακτήρα των διασυνδεόμενων δικτύων. Οι σταθμοί αυτού του μοντέλου συνδέουν δυο στιβαρά δίκτυα (άπειροι ζυγοί), οπότε ο σταθμός που λειτουργεί ως ανορθωτής ελέγχει την ενεργό και άεργο ισχύ (P Q), ενώ ο σταθμός 2 που έχει τη λειτουργία αντιστροφέα, ελέγχει την dc τάση και την άεργο ισχύ (Vdc Q). Βασική προϋπόθεση για την υλοποίηση του ελέγχου, είναι ο μετασχηματισμός των τριφασικών μεγεθών σε ένα στρεφόμενο διφασικό σύστημα, το οποίο θα λειτουργεί με την επιθυμητή ταχύτητα. Ο μετασχηματισμός ονομάζεται dq και γίνεται με τη χρήση του μετασχηματισμού Park. Αρχικά, το πλάτος των dq ποσοτήτων γίνεται ίσο με το μέγιστο πλάτος του αντίστοιχου τριφασικού μεγέθους και στη συνέχεια μέσω ενός PLL (phase lock loop), το στοιχείο του d άξονα ευθυγραμμίζεται με τη φάση Α του τριφασικού μεγέθους. Στον έλεγχο του μοντέλου, χρησιμοποιούνται δυο βρόγχοι ανάδρασης σε σειρά (κασκωδικός έλεγχος). Ο εξωτερικός βρόγχος ελέγχει τη βασική φυσική παράμετρο (ενεργό ή άεργο ισχύ), ενώ ο εσωτερικός ελέγχει μια πιο γρήγορα μεταβαλλόμενη παράμετρο. Στο σταθμό λοιπόν, η στιγμιαία τιμή ισχύος του προηγούμενου κύκλου δειγματοληψίας αφαιρείται από την ισχύ αναφοράς, διαμορφώνοντας το σφάλμα ισχύος. Τα σφάλματα ενεργού και άεργου ισχύος εισάγονται σε PI ελεγκτές με σκοπό το μηδενισμό τους. Η έξοδος του ελεγκτή ενεργού ισχύος αποτελεί το ρεύμα αναφοράς στον άξονα d, ενώ η έξοδος του ελεγκτή άεργου ισχύος το ρεύμα αναφοράς στον άξονα q. Το ρεύμα αναφοράς αποτελεί την είσοδο στον εσωτερικό βρόχο ελέγχου. Αντίστοιχα λειτουργεί και ο εξωτερικός έλεγχος στον σταθμό 2, έχοντας αυτή την φορά ως μεγέθη εισόδου την άεργο ισχύ και την dc τάση. Ο εσωτερικός βρόχος ελέγχου συγκρίνει το ρεύμα αναφοράς που έχει δημιουργήσει ο εξωτερικός βρόχος ελέγχου με το ρεύμα της προηγούμενης δειγματοληψίας και δημιουργεί το σφάλμα ρεύματος. Αυτό περνάει στη συνέχεια από έναν PI ελεγκτή με σκοπό το μηδενισμό του. Σημειώνεται, επίσης ότι το μοντέλο ενσωματώνει κλάδο ενεργού απόσβεσης και περιοριστή ρεύματος, στοιχεία που βελτιώνουν την απόκριση στα μεταβατικά φαινόμενα. Τέλος, εφαρμόζεται η μέθοδος του προς τα πίσω υπολογισμού για την αντιμετώπιση του κορεσμού ολοκληρωτή (συσσώρευση μεγάλων σφαλμάτων σύγκρισης στην είσοδο των ολοκληρωτών που 2

23 οφείλονται σε ραγδαίες μεταβολές των μεγεθών αναφοράς και προκαλούν υπερύψωση της ελεγχόμενης μεταβλητής). [8] 22

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ενσωμάτωση κυκλωμάτων τύπου foster σε ηλεκτρικά κυκλώματα Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφεται η θεωρία που διέπει τα κυκλώματα τύπου foster. Επίσης αναλύεται ο τρόπος σύνδεσης τους στο υπό μελέτη μοντέλο καθώς και ο τρόπος διαστασιολόγησης τους. Βασική προϋπόθεση για τον υπολογισμό των κυκλωμάτων foster, αποτελεί η μελέτη της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος, ώστε να εντοπιστούν οι πόλοι και τα μηδενικά, όπως θα εξηγηθεί και στη συνέχεια. Επομένως, γίνεται μια γενική αναφορά σχετικά με τον ορισμό και κατόπιν τον τρόπο υπολογισμού της συνάρτησης μεταφοράς. Ειδικότερα προσδιορίζεται η μορφή και ο υπολογισμός αυτής, με βάση τα δεδομένα του υπό μελέτη συστήματος. 3. Συνάρτηση Μεταφοράς και Απόκριση Συχνότητας Συνάρτηση μεταφοράς καλείται ο λόγος της εξόδου ενός συστήματος προς την είσοδο του, χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό του Laplace και θεωρώντας τις αρχικές συνθήκες μηδενικές. Αν ορίσουμε ως συνάρτηση εισόδου την X(s) και ως συνάρτηση εξόδου την Y(s) ισχύει ότι: H(s) = Y(s) X(s) και η γραφική τους αναπαράσταση είναι αντίστοιχα η ακόλουθη: Σχήμα Αναπαράσταση της συνάρτησης μεταφοράς ενός συστήματος Στα ηλεκτρικά κυκλώματα η συνάρτηση μεταφοράς εκφράζεται μέσω των εξής συναρτήσεων : της σύνθετης αντίστασης (με ανοιχτή την είσοδο ή την έξοδο), της σύνθετης αγωγιμότητας (με βραχυκυκλωμένη την είσοδο ή την έξοδο), του καταμεριστή ή αλλιώς διαιρέτη ρεύματος και 23

25 του καταμεριστή τάσης. Η επιλογή της εκάστοτε συνάρτησης έχει να κάνει με τις εξισώσεις κατάστασης που επιλέγονται κάθε φορά για την ανάλυση του συστήματος. [9] Κατ αντιστοιχία ορίζεται και η απόκριση συχνότητας ενός συστήματος, με την διαφορά ότι χρησιμοποιεί τον μετασχηματισμό Fourrier αντί για τον Laplace. Η μετατροπή της μιας συνάρτησης στην άλλη προκύπτει από την αλλαγή μεταβλητής s=ωj. Και συνεπώς έχουμε την ακόλουθη αναπαράσταση : Σχήμα 2 Αναπαράσταση της απόκρισης συχνότητας ενός συστήματος 3.2 Υπολογισμός της συνάρτησης μεταφοράς Ο πιο απλός τρόπος υπολογισμού της συνάρτησης μεταφοράς ενός συστήματος είναι κυκλωματικά. Αναλυτικότερα. Υπολογίζονται οι γενικές διαφορικές εξισώσεις του συστήματος και ορίζονται οι μεταβλητές κατάστασης. Οι γενικές διαφορικές εξισώσεις πρέπει να είναι συναρτήσει των μεταβλητών κατάστασης, των παραγώγων αυτών καθώς και των μεταβλητών που αναπαριστούν την είσοδο και την έξοδο. Όλες οι άλλες μεταβλητές, οι οποίες καλούνται ενδιάμεσες, απαλείφονται. 2. Οι εξισώσεις που απομένουν έπειτα από την απαλοιφή των εξισώσεων που συνδέονται με τις ενδιάμεσες μεταβλητές (ενδιάμεσες εξισώσεις) θα πρέπει να είναι τόσες όσες οι εξισώσεις κατάστασης. Επιλύονται αυτές ως προς την πρώτη παράγωγο των μεταβλητών κατάστασης και έτσι προκύπτουν οι εξισώσεις κατάστασης. 3. Γράφονται οι εξισώσεις που ορίζουν τις εξόδους. Όπως και στο βήμα οι εξισώσεις πρέπει να είναι μόνο συναρτήσει των μεταβλητών κατάστασης, των παραγώγων αυτών καθώς και των μεταβλητών που αναπαριστούν την είσοδο και την έξοδο. Τέλος οι παράγωγοι των μεταβλητών κατάστασης αντικαθίστανται χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις κατάστασης και έτσι προκύπτουν οι εξισώσεις εξόδου. [] Μαθηματικά η παραπάνω διαδικασία εκφράζεται μέσω των εξισώσεων: X =A X+B U (3.) Y = C X + E U (3.2) 24

26 Όπου X, U, Y συμβολίζουν τις μεταβλητές κατάστασης και τις μεταβλητές εισόδου και εξόδου αντίστοιχα. Υπολογίζοντας τον μετασχηματισμό Laplace των παραπάνω εξισώσεων έχουμε Οπότε λόγω της (3.3) έχουμε ότι sx(s) X() = AX(s) + BU(s) (3.3) Y(s) = CX(s) + EU(s) (3.4) X(s) = (si A) [X() + BU(s)] (3.5) Και αντικαθιστώντας την (3.5) στην (3.4) προκύπτει η έξοδος του συστήματος συναρτήσει της εισόδου και της αρχικής κατάστασης Y(s) = [C (si A) B + E] U(s) + C (si A) X() (3.6) Αγνοώντας την αρχική κατάσταση και δεδομένου ότι Y(s) = H(s) U(s) Τελικά προκύπτει ότι η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος ισούται με H(s) = C (si A) B + E Ωστόσο, η ανάγκη εστίασης στους πόλους και τα μηδενικά του συστήματος-όπως θα εξηγηθεί και στη συνέχεια-, οδήγησε στην ανάγκη έκφρασης της ρητής συνάρτησης μεταφοράς ως άθροισμα μερικών κλασμάτων δηλαδή στην μορφή H(s i ) = N c n n= s i a n + d + s i h Όπου a n είναι οι πόλοι του συστήματος c n τα μηδενικά και d οι σταθεροί όροι. Ένα τρόπος υπολογισμού της συνάρτησης σε αυτήν την μορφή είναι μέσω της διαδικασίας vector fitting (VF). Όπως επεξηγείται στην επόμενη ενότητα, η διαδικασία αυτήν διευκολύνει πολύ την μοντελοποίηση και ανάλυση συστημάτων. 3.3 Vector fitting (VF) Ένα από τα σημαντικά προβλήματα που προκύπτουν κατά την μοντελοποίηση μεταβατικών φαινομένων στα ηλεκτρικά συστήματα είναι η ακριβής προσομοίωση των αποτελεσμάτων που μεταβάλλονται με την συχνότητα, όταν η προσομοίωση γίνεται στο πεδίο του χρόνου. Τέτοια αποτελέσματα μπορεί να προκύπτουν για παράδειγμα από τα δινορεύματα που επάγονται σε 25

27 αγώγιμα υλικά και η συσχέτιση τους με την συχνότητα ουσιαστικά ανακύπτει λόγω των πυκνωτών και των αυτεπαγωγών που υπάρχουν στο σύστημα. Μια πιθανή λύση στο παραπάνω πρόβλημα θα μπορούσε να προκύψει από την συνέλιξη, αλλά κάτι τέτοιο δεν είναι υπολογιστικά λειτουργικό, λόγω των πολλών χρονικών βημάτων σε κάθε προσομοίωση. Επομένως, μια πιο αποτελεσματική μέθοδος αποτελεί η αντικατάσταση της απόκρισης συχνότητας του συστήματος από μια απλοποιημένη ρητή συνάρτηση (rational function) χαμηλότερης τάξης και έπειτα η εφαρμογή επαναληπτικών συνελίξεων. Ο υπολογισμός αυτής της προσεγγιστικής συνάρτησης κρίνεται συνεπώς πολύ σημαντικός για την μοντελοποίηση και ανάλυση των συστημάτων. Για τον λόγο αυτόν έχουν γίνει πολλές έρευνες αναφορικά με την βέλτιστη προσαρμογή της συνάρτησης απόκρισης -γνωστή διαδικασία στην βιβλιογραφία ως fitting- και έχουν προταθεί διάφορες μεθοδολογίες για τον σκοπό αυτό. [] Η κοινή αναφορά όλων των διαφορετικών μεθοδολογιών στηρίζεται στον υπολογισμό των πόλων και των μηδενικών της συνάρτησης. Γι αυτό και η προσαρμοσμένη συνάρτηση έχει την παρακάτω μορφή: f(s) = N c n n= s a n + d + s h Όπου a n οι πόλοι και c n τα μηδενικά. Να σημειωθεί ότι η συνάρτηση που προκύπτει παρουσιάζει ευστάθεια, δηλαδή οι πόλοι της είτε είναι μιγαδικοί είτε πραγματικοί, κείνται στο αριστερό ημιεπίπεδο. Για την υλοποίηση της διαδικασίας vector fitting στο Matlab, έχουν συγγραφεί διάφορες «υπορουτίνες» (subroutine), που μπορεί να βρει κανείς στην βιβλιογραφία. [2] Ωστόσο, μια πολύ εύκολη και άμεση μέθοδος είναι μέσω της συνάρτησης rationalfit. Η συνάρτηση αυτή δέχεται ουσιαστικά την αρχική συνάρτηση μεταφοράς για ένα συγκεκριμένο εύρος συχνοτήτων και επιστρέφει μια προσεγγιστική μορφή αυτής. Αναλυτικότερα η συνάρτηση rationalfit έχει τα εξής ορίσματα: Τις συχνότητες για τις οποίες θέλουμε να γίνει η ανάλυση. Πρόκειται για ένα διάνυσμα θετικών αριθμών. Τα δεδομένα που επιθυμούμε να προσαρμόσουμε. Πρόκειται είτε για έναν ΝxΝ πίνακα μιγαδικών αριθμών για το εύρος συχνοτήτων που ορίστηκε παραπάνω, είτε για ένα διάνυσμα μιγαδικών αριθμών. Στον προγραμματισμό ο όρος υπορουτίνα (subroutine) αναφέρεται σε μια σειρά εντολών δομημένες ως μία μονάδα, οι οποίες εκτελούν μία συγκεκριμένη λειτουργία. Η μονάδα αυτή χρησιμοποιείται μέσα σ ένα πρόγραμμα, όποτε αυτή καλείται να εκτελέσει την συγκεκριμένη λειτουργία. Ταυτόσημοι είναι οι όροι: συνάρτηση, ρουτίνα, διαδικασία και υποπρόγραμμα. 26

28 Την ανοχή σφάλματος. Πρόκειται για μια τιμή που μετριέται σε db και έχει ως προεπιλογή την τιμή -4. Την παράμετρο καθυστέρησης. Παίρνει τιμές από το μηδέν μέχρι το ένα. Η παράμετρος αυτή ελέγχει κατά πόσο η συνάρτηση καθυστερεί να προσεγγίσει (fit) τα δεδομένα. Την παράμετρο επαναλήψεων. Πρόκειται για ένα διάνυσμα δύο θετικών αριθμών που καθορίζει το διάστημα μεταξύ του οποίου θα βρίσκεται ο αριθμός των επαναλήψεων. Αυξάνοντας την τιμή της παραμέτρου, αυξάνεται ο χρόνος εκτέλεσης του αλγορίθμου, αλλά αυξάνεται η ακρίβεια των αποτελεσμάτων. Προεπιλεγμένη τιμή η [4 2]. Τον αριθμό των πόλων. Ορίζεται είτε μέσω ενός μη αρνητικού αριθμού, είτε μέσω ενός μη αρνητικού διανύσματος δύο τιμών που εκφράζουν τον ελάχιστο και μέγιστο αριθμό πόλων αντίστοιχα. Προεπιλεγμένη τιμή η [ 48]. Την λογική παράμετρο TendsToZero που παίρνει την τιμή true ή false και δείχνει την ασυμπτωτική συμπεριφορά της ρητής συνάρτησης καθώς η συχνότητα τείνει στο άπειρο. Όταν έχει την τιμή true τότε η συνάρτηση επιστρέφει την μεταβλητή D ίση με το μηδέν, ενώ όταν είναι false επιστρέφει μια μη μηδενική τιμή για την μεταβλητή D. Την λογική παράμετρο WaitBar που παίρνει την τιμή true ή false και καθορίζει εάν θα εμφανίζεται η μπάρα αναμονής κατά την εκτέλεση του αλγορίθμου ή όχι. Έχει προεπιλεγμένη την τιμή false που αντιστοιχεί σε μη εμφάνιση της μπάρας αναμονής. Η συνάρτηση επιστρέφει ένα ή περισσότερα αντικείμενα (rational function object) που αποτελούνται από τις εξής παραμέτρους: Το διάνυσμα Α που αποτελεί τους πόλους της συνάρτησης. Τα στοιχεία του διανύσματος είναι μιγαδικοί αριθμοί. Το διάνυσμα C που αποτελεί τα μηδενικά της συνάρτησης και τα στοιχεία του οποίου είναι επίσης μιγαδικοί αριθμοί. Την μεταβλητή D που εκφράζει την αντιστάθμιση της απόκρισης συχνότητας και έχει ως προεπιλεγμένη την τιμή. Την μεταβλητή Delay που εκφράζει την χρονική καθυστέρηση απόκρισης και έχει επίσης προεπιλεγμένη την τιμή. Την μεταβλητή Name που είναι ένας πίνακας χαρακτήρων για την ανάγνωση του από τον χρήστη. [3] Συνδυάζοντας τις παραπάνω παραμέτρους σχηματίζεται η νέα συνάρτηση η οποία είναι της μορφής : n F(s) = ( Ck + D) e sτ, s = j2πf s Ak k= 27

29 Για τον έλεγχο της ακρίβειας της διαδικασίας προσαρμογής, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η συνάρτηση freqresp η οποία δέχεται σαν ορίσματα το αντικείμενο που προέκυψε από την συνάρτηση rationalfit καθώς και το αντίστοιχο εύρος συχνοτήτων και επιστρέφει την απόκριση συχνότητας για αυτό το εύρος. Έτσι απεικονίζοντας (plot) τα αρχικά δεδομένα συναρτήσει της συχνότητας και τα αντίστοιχα που προέκυψαν μέσω της διαδικασίας rationalfit για τις ίδιες συχνότητες, μπορούμε να έχουμε σαφή εικόνα της προσαρμογής. [4] 3.3 Θεωρία των foster Το θεώρημα του Foster (Foster Reactance Theorem) το οποίο βρίσκει εφαρμογή στον τομέα της σύνθεσης και ανάλυσης ηλεκτρικών κυκλωμάτων, αποδείχτηκε από τον Ronald Martin Foster το 924. Σύμφωνα με το θεώρημα αυτό, η αντίδραση ενός παθητικού και χωρίς απώλειες δικτύου δύο ακροδεκτών, αυξάνει μονότονα με την συχνότητα. Το θεώρημα αυτό γενικεύεται και για τις επιδεκτικότητες, έχοντας σαν αποτέλεσμα οι πόλοι και τα μηδενικά ενός συστήματος να μεταβάλλονται με την συχνότητα. [5] Δεδομένου ότι η θέση των πόλων αποτελούν σημαντική ένδειξη της ευστάθειας ενός συστήματος, γίνεται αντιληπτό ότι υπολογίζοντας την συνολική αντίδραση μπορούμε να έχουμε μια σαφή εικόνα της ποιότητας της απόκρισης του συστήματος. Στην θεωρία των ηλεκτρικών κυκλωμάτων και της ανάλυσης συστημάτων σε γενικότερο πλαίσιο, τα κυκλώματα foster βασίζονται στην παραπάνω αρχή. Πρόκειται για παθητικά κυκλώματα των οποίων η συνολική ισοδύναμη αντίσταση αυξάνεται μονότονα με την συχνότητα. Η γραφική αναπαράσταση αυτής καθορίζει τον αριθμό των απαιτούμενων παθητικών στοιχείων, ανάλογα με τους συντονισμούς που εμφανίζει. [6] Τα κυκλώματα foster έχουν μεγάλη εφαρμογή στον τομέα των τηλεπικοινωνιών, όπως είναι για παράδειγμα η χρήση τους για την μοντελοποίηση κεραιών. Η σύνδεση τους γίνεται είτε παράλληλα είτε σε σειρά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: 28

30 Σχήμα 3.α Σύνδεση foster σε σειρά Σχήμα 3.b Σύνδεση foster παράλληλα Συνδυάζοντας τις παραπάνω έννοιες, στόχος της παρούσας εργασίας είναι η δημιουργία ενός κυκλωματικού μοντέλου που θα αποτελείται μόνο από παθητικά κυκλώματα τύπου foster με βάση τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος. Η συμβολή αυτού του μοντέλου θα είναι η όσο το δυνατόν βέλτιστη απόσβεση των μεταβατικών φαινομένων. Παρακάτω θα αναλυθεί ο τρόπος σύνδεσης τους καθώς και ο τρόπος διαστασιολόγησης τους. 3.4 Συνδεσμολογία και διαστασιολόγηση foster Όπως αναφέρθηκε, τα κυκλώματα foster βρίσκονται σε άμεση συνάφεια με την συνολική σύνθετη αντίσταση του συστήματος. Η εξάρτηση αυτή πρακτικά γίνεται αντιληπτή μέσω των πόλων και των μηδενικών της συνάρτησης. Αναλυτικότερα, ο αριθμός των πόλων καθορίζει τον αριθμό των foster που θα συνδεθούν, ενώ η μαθηματική τους μορφή, δηλαδή εάν πρόκειται για μιγαδικούς ή πραγματικούς αριθμούς, καθορίζει τα επιμέρους ηλεκτρικά στοιχεία κάθε foster. Τα foster μπορούν να υπολογιστούν είτε με βάση την επιθυμητή συνάρτηση σύνθετης αντίστασης και άρα με βάση την συνδεσμολογία σε σειρά (Σχήμα 3.α), είτε με βάση την επιθυμητή συνάρτηση σύνθετης αγωγιμότητας και άρα με βάση την παράλληλη συνδεσμολογία (Σχήμα 3.b). Ακολουθεί η διαδικασία ακριβούς υπολογισμού τους. Ns Z(s) = Ro + s L + C s l s + ( + l= Rs) C c l s + ( l= l Rc) + l L c c l s + R l Nc (3.7) 29

31 ενώ η συνολική σύνθετη αγωγιμότητα είναι της μορφής : Ns Υ(s) = Go + s C + L s s + l s + R l= l L c l s + R c l= l + C c c l s + G l Nc (3.8) Όπου Ν s ο αριθμός των πραγματικών πόλων και N c ο αριθμός των μιγαδικών πόλων. Στην παρούσα εργασία επιλέχθηκε τα κυκλώματα foster να συνδεθούν σε σειρά. Η σύνδεση τους γίνεται παράλληλα με τους δύο πόλους του υπεραγώγιμου καλωδίου ώστε να φιλτράρουν το συχνοτικό περιεχόμενο της μεταβατικής απόκρισης της dc τάσης και να αποτελέσουν εναλλακτική αγώγιμη διαδρομή για τις υψίσυχνες αρμονικές. Επομένως κάθε πραγματικός πόλος προσομοιώνεται με μια αντίσταση παράλληλα συνδεδεμένη σε έναν πυκνωτή, ενώ κάθε μιγαδικός πόλος προσομοιώνεται από τον παράλληλο συνδυασμό ενός πυκνωτή, μιας αντίστασης και ενός κλάδου που αποτελείται από μια αντίσταση σε σειρά με ένα πηνίο. [7] Επιπλέον έχοντας σαν δεδομένο ότι η συνάρτηση μεταφοράς είναι της μορφής: c n H(s i ) = N n= + d + s i h (3.9) s i a n Εξισώνοντας τις σχέσεις 3.7 και 3.9 προκύπτουν: Ro = d L = h C s n = s c n R s n = c n s a n s (n=,2,,ns) 3

32 C n c = 2c n r 2c n r2 R c n = a r n c r n + a i n c n i 2c n r3 L c n = (c r2 n + c i2 i2 n ) a n R n s = 2c n r2 (a n r c n r + a n i c n i ) (c n r2 + c n i2 ) a n i2 (n=,2,,nc) Όπου c n c = c n r + c n i Και a n c = a n r + a n i Οι παραπάνω υπολογισμοί προϋποθέτουν την σύνδεση των foster σε σειρά. Για παράλληλη σύνδεση, οι αντίστοιχες σχέσεις μεταβάλλονται και τα επιμέρους στοιχεία των foster αποκτούν διαφορετικές τιμές, όπως αναλύεται στην πηγή [8]. 3.5 Εφαρμογή των κυκλωμάτων foster στο υπό μελέτη μοντέλο Η ανάγκη ενσωμάτωσης παθητικών κυκλωμάτων στο dc μέρος του συστήματος για την απόσβεση μεταβατικών φαινομένων, οδήγησε στην ιδέα προσθήκης κυκλωμάτων τύπου foster. Επιχειρείται η βέλτιστη διαστασιολόγηση τους προκειμένου να γίνει όσο το δυνατόν καλύτερη απόσβεση των σφαλμάτων. Η βασική αρχή πάνω στην οποία στηρίζεται όλη η ανάλυση είναι η απαίτηση η χαρακτηριστική αντίσταση του καλωδίου να ισούται με την συνολική σύνθετη αντίσταση του φορτίου. Σε διαφορετική περίπτωση, δημιουργείται ανακλώμενο κύμα στον τερματισμό της και στάσιμο κύμα κατά μήκος της γραμμής από το συνιστάμενο κύμα. Η ανάλυση έγινε σε δύο επίπεδα. Στην πρώτη περίπτωση θεωρήθηκε ότι το καλώδιο είναι αφόρτιστο (ανοιχτοκυκλωμένο άκρο), οπότε προκύπτει η απαίτηση η χαρακτηριστική αντίσταση του καλωδίου να ισούται με την ισοδύναμη σύνθετη αντίσταση των κυκλωμάτων foster που συνδέονται. 3

33 Στην δεύτερη περίπτωση θεωρήθηκε ότι το καλώδιο είναι προσαρμοσμένο βάση όλων των επιμέρους στοιχείων που εξετάστηκαν στον κεφάλαιο 2 για το ac μέρος. Οπότε προκύπτει η απαίτηση η χαρακτηριστική αντίσταση του καλωδίου να ισούται με τον παράλληλο συνδυασμό της χαρακτηριστικής αντίστασης του φορτίου και της ισοδύναμης σύνθετης αντίστασης των κυκλωμάτων foster. Να σημειωθεί ότι στην περίπτωση αυτήν, μελετάται και μετριέται η σύνθετη αντίσταση μόνον της μιας πλευράς του ac μέρους καθώς το σύστημα είναι συμμετρικό και τα αποτελέσματα είναι ισοδύναμα. Τέλος, αναφέρεται ότι η ανάλυση πραγματοποιήθηκε για εύρος συχνοτήτων από μέχρι 5 Hz Για αφόρτιστο καλώδιο Όπως προαναφέρθηκε τα foster τοποθετούνται παράλληλα με τους δύο πόλους του υπεραγώγιμου καλωδίου σε συνδεσμολογία σειράς. Για την αποφυγή ύπαρξης πολλών άγνωστων μεταβλητών, θεωρήθηκε η συνολική ισοδύναμη σύνθετη αντίσταση των κυκλωμάτων foster ως Zfost για το εύρος συχνοτήτων που μας ενδιαφέρει. Εφόσον αυτό επιλέχθηκε να είναι από το μέχρι τα 5 Hz, to Ζfost ορίστηκε ως ένα διάνυσμα θέσεων με κατάλληλη δειγματοληψία. Για να ικανοποιείται η παραπάνω συνθήκη επομένως, πρέπει η χαρακτηριστική αντίσταση του καλωδίου Zch να ισούται με την συνολική αντίσταση των foster Zfost. Να αναφερθεί στο σημείο αυτό, ότι τα δεδομένα για την χαρακτηριστική αντίσταση του καλωδίου προέκυψαν από την βιβλιογραφία και η μέτρηση αυτής έγινε μέσω του προγράμματος EMTP-ATP. [6] Έχοντας επομένως τιμές της συνολικής σύνθετης αντίστασης των foster σε μορφή διανύσματος για το εύρος συχνοτήτων που μας ενδιαφέρει, γίνεται μέσω της συνάρτησης rationalfit στο Matlab η προσαρμογή αυτών των τιμών. Στο επόμενο σχήμα παρατηρείται η προσεγγιστική αναπαράσταση των δεδομένων. Επειδή τα δεδομένα είναι μιγαδικοί αριθμοί, τα αποτελέσματα της προσέγγισης παρουσιάζονται ως προς το μέτρο και το όρισμα τους. Με μπλε χρώμα αναπαρίστανται τα αρχικά δεδομένα και με πράσινο η προσαρμογή αυτών. 32

34 Impedance (ohms) Frequency (Hz) Phase (deg) Frequency (Hz) Σχήμα 4 Αποτελέσματα fitting Στην περίπτωση του αφόρτιστου καλωδίου, οι πόλοι και τα μηδενικά που προέκυψαν από την διαδικασία του fitting είναι πραγματικοί αριθμοί. Βάση όσων προηγήθηκαν, γίνεται αντιληπτό ότι τα κυκλώματα foster υλοποιούνται μόνο από R C στοιχεία, όπως μπορεί να διαπιστώσει και ο αναγνώστης στα παράρτημα Β Για προσαρμοσμένο καλώδιο Αρχικά υπολογίζεται η συνολική σύνθετη αντίσταση μετά την γέφυρα μετατροπής, δηλαδή η ισοδύναμη αντίσταση του phase reactor, του μετασχηματιστή και της πηγής τάσης που προσομοιώνει το AC δίκτυο συναρτήσει της συχνότητας. Αυτό επιτυγχάνεται στο Simulink μέσω του Z measurement block. Το μπλοκ αυτό αποτελείται από δυο εισόδους και μετράει την αντίσταση μεταξύ των σημείων στα οποία συνδέεται. Ουσιαστικά αποτελείται από μια πηγή ρεύματος Iz η οποία συνδέεται μεταξύ των εισόδων του μπλοκ και από έναν μετρητή τάσης Vz που συνδέεται στους ακροδέκτες της πηγής ρεύματος. Η αντίσταση προκύπτει έτσι ως η συνάρτηση μεταφοράς H(s) του μοντέλου με είσοδο το ρεύμα της πηγής και έξοδο την μετρούμενη τάση. H(s) = Vz(s) Iz(s) 33

35 Σε τριφασικά συστήματα προσδιορίζεται και ένας συντελεστής πολλαπλασιασμού. Στην συγκεκριμένη περίπτωση που θέλαμε να μετρήσουμε την ορθή συνιστώσα της σύνθετης αντίστασης, έπρεπε ο συντελεστής αυτός να οριστεί ίσος με.5, διαφορετικά θα γινόταν ο διπλάσιος υπολογισμός. [9] Για την αναπαράσταση της συνολικής σύνθετης αντίστασης συναρτήσει της συχνότητας χρησιμοποιείται η εντολή Impediance vs Frequency Measurement του Powergui μπλοκ. Παρουσιάζεται παρακάτω το μέτρο και η φάση της μετρούμενης σύνθετης αντίστασης όπως εμφανίζονται μέσω του προγράμματος. Να σημειωθεί στο σημείο αυτό ότι στην μέτρηση δεν συμπεριλαμβάνεται η ισοδύναμη αντίσταση της γέφυρας μετατροπής και του dc τμήματος που συνδέεται στο υπεραγώγιμο καλώδιο (πυκνωτές στήριξης, πηνία εξομάλυνσης φίλτρα 3 ης αρμονικής) γιατί αυξάνει αρκετά η πολυπλοκότητα της μετρούμενης αντίστασης, καθώς παρουσιάζονται περισσότεροι συντονισμοί, με αποτέλεσμα να είναι αδύνατον να προσεγγιστούν με καλή ακρίβεια. 5 Impedance (ohms) Frequency (Hz) Phase (deg) Frequency (Hz) Σχήμα 5 Το μέτρο και η φάση της μετρούμενης σύνθετης αντίστασης 34

36 Σχήμα 6 Μέτρηση της σύνθετης αντίστασης του κυκλώματος Στην συνέχεια τα δεδομένα αποθηκεύονται με την μορφή δύο διανυσμάτων. Το ένα (freq) εκφράζει την συχνότητα, η οποία ξεκινά από το και φτάνει την τιμή 5 με βήμα 2. Επομένως, προκύπτει ένα διάνυσμα 25 θέσεων και ένα δεύτερο διάνυσμα (Zload) που εκφράζει τις αντίστοιχες τιμές της σύνθετης αντίστασης και είναι επίσης 25 θέσεων. Σε αυτήν την περίπτωση η συνθήκη για τον υπολογισμό της σύνθετης αντίστασης των foster είναι διαφορετική. Συγκεκριμένα, θα πρέπει ο παράλληλος συνδυασμός του Zfost και του συνολικού φορτίου που μετρήθηκε ως Zload να ισούται με την χαρακτηριστική αντίσταση του καλωδίου Zch. Έτσι προκύπτει μια εξίσωση με μοναδικό άγνωστο το Zfost. Zfost = Zch Zload Zload Zch Να αναφερθεί στο σημείο αυτό, ότι κρίθηκε απαραίτητη η μείωση της δειγματοληψίας καθώς η επεξεργασία δεδομένων ήταν δυσμενής και ο χρόνος προσομοίωσης πολύ μεγάλος. Έτσι έγινε γραμμική παρεμβολή στις τιμές του διανύσματος Zfost και προέκυψε ένα διάνυσμα θέσεων. Aντίστοιχη μεταβολή έγινε στο διάνυσμα των συχνοτήτων που λήφθηκαν με βήμα 5 Hz. Στο παρακάτω σχήμα γίνεται η σύγκριση των διανυσμάτων. Με μπλε χρώμα αναπαρίσταται το αρχικό διάνυσμα ενώ με πράσινο αυτό που προέκυψε από την γραμμική παρεμβολή. Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει απόκλιση στις τιμές. 35

37 3 25 Impedance (ohms) Frequency (Hz) Σχήμα 7 Σύγκριση της σύνθετης αντίστασης των foster για διαφορετική δειγματοληψία Σε επόμενο στάδιο γίνεται fitting των δεδομένων που χαρακτηρίζουν τα foster (Zfost) μέσω της συνάρτησης rationalfit, όπως αναλύθηκε στην παραπάνω παράγραφο. Μεταβάλλοντας τον αριθμό των πόλων με τον οποίο επιθυμούμε να γίνει η προσαρμογή των δεδομένων, αλλάζει προφανώς και το αποτέλεσμα του fitting. Αυξάνοντας τους πόλους η προσέγγιση είναι πολύ καλύτερη όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. Παρ όλα αυτά, ο μεγάλος αριθμός των πόλων αυξάνει τον αριθμό υλοποίησης των κυκλωμάτων foster όπως θα δειχτεί και έτσι αυξάνεται η πολυπλοκότητα του συστήματος. Η διαδικασία επαναλήφθηκε μέχρις ότου το αποτέλεσμα του fitting να είναι το καλύτερο δυνατό. Παρακάτω παρατίθενται τα αποτελέσματα ως προς το μέτρο και την φάση του Zfost όπως προέκυψαν για fitting με, 2, 3, 44 και 6 πόλους. 36

38 3 Impedance (ohms) Frequency (Hz) 5 Phase (deg) Frequency (Hz) Σχήμα 8 Αποτελέσματα fitting χρησιμοποιώντας πόλους 4 Impedance (ohms) Frequency (Hz) 5 Phase (deg) Frequency (Hz) Σχήμα 9 Αποτελέσματα fitting χρησιμοποιώντας 2 πόλους 37

39 4 Impedance (ohms) Frequency (Hz) 5 Phase (deg) Frequency (Hz) Σχήμα 2 Αποτελέσματα fitting χρησιμοποιώντας 3 πόλους 4 Impedance (ohms) Frequency (Hz) Phase (deg) Frequency (Hz) Σχήμα 2 Αποτελέσματα fitting χρησιμοποιώντας 44 πόλους 38

40 3 Impedance (ohms) Frequency (Hz) Phase (deg) Frequency (Hz) Σχήμα 22 Αποτελέσματα fitting χρησιμοποιώντας 6 πόλους Με βάση τον κώδικα που παρατίθεται στο Παράρτημα Α και που βασίζεται στους τύπους υπολογισμού των επιμέρους στοιχείων κάθε foster -όπως περιγράφηκαν στο κεφάλαιο 3.4- γίνεται η υλοποίηση των κυκλωμάτων foster για κάθε μια από τις παραπάνω περιπτώσεις. Ο κώδικάς επιστρέφει έναν πίνακα 4 στηλών, ενώ ο αριθμός των γραμμών μεταβάλλεται ανάλογα με τον αριθμό των κυκλωμάτων που απαιτούνται κάθε φορά. Η πρώτη στήλη αναφέρεται στην αντίσταση, η δεύτερη στον πυκνωτή, η τρίτη στην αντίσταση που συνδέεται σε σειρά με το πηνίο και η τέταρτη στο πηνίο. Στο παράρτημα Β παρατίθεται το συνολικό μοντέλο μετά την ενσωμάτωση των κυκλωμάτων foster. Τα κυκλώματα που προέκυψαν για περισσότερους από 3 πόλους δεν μπορούν να προσομοιωθούν από το matlab. Αυτό συμβαίνει γιατί τα αποτελέσματα που ανακύπτουν από την διαδικασία της προσαρμογής (fitting) δεν είναι απαραίτητα ρεαλιστικά σε κυκλωματικό επίπεδο. Η διαδικασία του fitting κάνει μια καθαρά μαθηματική προσέγγιση. Το γεγονός αυτό εξηγείται καθώς προκύπτουν αρνητικές τιμές για κάποιες από τις αντιστάσεις, κάτι που δεν έχει φυσική υπόσταση. Επιπλέον κάποιες τιμές είναι πολύ μεγάλες ή αντίστοιχα πολύ μικρές και το matlab αδυνατεί να προσομοιώσει αυτήν την διαφορά μεταξύ των τιμών. Έτσι από την μια πλευρά η συνολική σύνθετη αντίσταση είναι η επιθυμητή, η υλοποίηση της από την άλλη πλευρά αποτυγχάνει λόγω των επιμέρους στοιχείων που την απαρτίζουν. 39

41 Αυτό είναι ένα βασικό μειονέκτημα της συνάρτησης rationalfit αλλά και της διαδικασίας «vector fitting» συνολικά, το οποίο έχει αποτελέσει αντικείμενο πολλών ερευνών. Η βασική ιδέα επίλυσης του προβλήματος έγκειται σε μια διαφορετική επεξεργασία των δεδομένων έτσι ώστε να μην προκύπτουν αρνητικές τιμές, γνωστό στην βιβλιογραφία ως passivity enforcement. Κάποιες έρευνες έχουν εστιάσει στην επεξεργασία των δεδομένων αφότου έχει γίνει η διαδικασία του rationalfit, δηλαδή η μεταβολή των τιμών των πινάκων Α και C. Κάποιες άλλες έρευνες εστιάζουν σε έναν τελείως διαφορετικό τρόπο fitting των αρχικών δεδομένων, χωρίς δηλαδή την χρήση της συνάρτησης rationalfit. Ο αναγνώστης μπορεί να βρει περισσότερες πληροφορίες πάνω σε αυτό το θέμα στις παρακάτω πηγές [2] [2]. 4