Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις O.D.E.

Transcript

1 Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις O.D.E. ΦΥΣ Διαλ.07 1 Παράδειγμα αριθμητικής λύσης φυσικού προβλήματος: Πολλοί πυρήνες είναι ασταθείς π.χ. U 35 διασπάται σε δύο πυρήνες εκπέμποντας ακτινοβολία. Η σχάση γίνεται με τυχαίο τρόπο και για αυτό μιλάμε για την πιθανότητα διάσπασης των πυρήνων ή για την μέση ζωή τους, δηλαδή το μέσο χρονικό διάστημα για να διασπαστεί περίπου το 60% της αρχικής ποσότητα του πυρήνα Αν Ν U (t) είναι ο αριθμός των πυρήνων U 35 τη χρονική στιγμή, t, τότε ο ρυθμός διάσπασης του δίδεται από τη σχέση dn U dt = -N N U Η λύση της εξίσωσης αυτής είναι (t) = N U U (0) e-t / Η σταθερά τ είναι μια σταθερά που καθορίζει το μέσο χρόνο ζωής του U 35. Όταν t=τ τότε η ποσότητα που δεν έχει διασπαστεί είναι e -1 ~0.37 q Η παραπάνω εξίσωση της ραδιενεργούς διάσπασης αποτελεί μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης q Η εξίσωση αυτή λύνεται αναλυτικά αλλά θα δοκιμάσουμε μια αριθμητική λύση ώστε να ελέγξουμε αν ο αλγόριθμος που αναπτύσσουμε δίνει τη σωστή απάντηση ώστε να τον χρησιμοποιήσουμε σε προβλήματα που δεν έχουμε αναλυτική λύση

2 Η Μέθοδος του Euler ΦΥΣ Διαλ.07 q Θα εξετάσουμε το γενικό σύστημα d y dt = f ( y,t) όπου t t 0 και ισχύει η αρχική συνθήκη: y(t 0 ) = y 0 Yποθέτουμε δηλαδή ότι το πρόβλημα ανάγεται σε πρόβλημα αρχικής τιμής: όλα τα y i ορίζονται σε κάποια αρχικό χρόνο t=t 0 και θέλουμε να ξέρουμε την εξέλιξή τους σε όλους τους μεταγενέστερους χρόνους t. Υπάρχουν ακόμα και προβλήματα συνοριακών συνθηκών όπου τα y i ορίζονται σε περισσότερα από ένα σημεία. Αυτά τα προβλήματα είναι γενικά περισσότερο δύσκολα. q Προς το παρών υποθέτουμε ότι έχουμε την μεταβλητή y και ότι ο χρόνος είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή μας. Ας σημειώσουμε ότι αν η εξίσωση είναι ανώτερου βαθμού του πρώτου (όπως οι εξισώσεις της Μηχανικής) τότε οδηγούμαστε σε σύστημα εξισώσεων και χρειαζόμαστε γραμμική άλγεβρα για να το λύσουμε, ειδικά αν είμαστε σε χώρο περισσότερο της μιας διάστασης.

3 Η Μέθοδος του Euler ΦΥΣ Διαλ.07 3 q Έστω ότι είμαστε σε μια διάσταση. Μπορούμε να γράψουμε: d y dt = Με αρχικές συνθήκες y(0)=y 0 και υ(0)=υ 0 = d dt = F ( y,t) m q Η κεντρική ιδέα πίσω από τις αριθμητικές μεθόδους είναι η διακριτοποίηση του χρόνου (της ανεξάρτητης μεταβλητής) και η αντικατάσταση των παραγώγων από πεπερασμένες διαφορές: g( y,t) = d y dt "y "t = y( t + "t) # y( t) "t q Δηλαδή είναι σα να γράφουμε: y ( t) = y t ( t 0 ) + " g [ t, y ( t ) ]d t # y 0 + g[ t 0, y 0 ]( t $ t 0 ) Δεδομένης μιας ακολουθίας χρονικών τιμών: t 0, t 1 =t 0 +Δt, t =t 0 +Δt,, όπου Δt > 0 είναι το χρονικό βήμα, γράφουμε τη λύση για τη χρονική στιγμή t n σαν y(t n ) = y n και επομένως έχουμε: Και γενικά: y 1 = y 0 + g[ t 0, y 0 ]t y n = y n 1 + g[ t n 1, y n 1 ]"t t 0 Αυτή είναι η μέθοδος του Euler

4 ΦΥΣ Διαλ.07 4 Ο αλγόριθμος του Euler q Aν εφαρμόσουμε την μέθοδο του Euler στον υπολογιστή, θα πρέπει να αναπτύξουμε τα ακόλουθα τμήματα: Ø Ø Ø Ø Εισάγουμε την αρχική συνθήκη, το μέγεθος και αριθμό των βημάτων (Δt ή Δx) που ορίζονται μέσα στο διάστημα [x 0,x n ] ή [t 0,t n ] Υπολογίζουμε τη τιμή της συνάρτησης και της εφαπτομένης στην αρχή κάθε διαστήματος Υπολογίζουμε τη τιμή της συνάρτησης στο τέλος του διαστήματος Επαναλαμβάνουμε n φορές τα βήματα και 3, όσα είναι τα βήματα που έχουμε καθορίσει βάσει του μεγέθους του βήματος και του ολικού διαστήματος Για να καθορίσουμε την ευστάθεια του αλγόριθμου θα πρέπει να τρέξουμε το πρόγραμμά μας πολλές φορές για διαφορετικές τιμές για το μέγεθος του βήματος (Δx ή Δt) και να δούμε για ποιες τιμές τα αποτελέσματα του αλγορίθμου παραμένουν σταθερά. Αυτό γιατί ο αλγόριθμος δίνει αποτελέσματα που συμφωνούν με την αναλυτική λύση για μικρές τιμές των διακριτοποιημένων διαστημάτων ενώ για μεγάλες τιμές αποκλίνει του σωστού αποτελέσματος

5 ΦΥΣ Διαλ.07 5 Επίλυση ραδιενεργούς διάσπασης με μέθοδο Euler progrm decy cll initil(y, x, dx, tu, nstep) cll Euler(y, x, dx, tu, nstep) end subroutine initil(yn, t, dt, tu, nstep) Αρχή υπορουτίνας initil write(6,*) enter t0, yn0, tmx, dt, tu red(5,*) t0, yn0, tmx, dt, tu nstep = (tmx-t0)/dt Συνολικός αριθμός βημάτων yn = yn0 Αρχικός αριθμός πυρήνων t = t0 return Επιστροφή στο κυρίως πρόγραμμα end Τέλος υπορουτίνας initil subroutine Euler(y, t, dt, tu, nstep) y o αριθμός των πυρήνων do j=1, nstep c ypologismos klisis (παραγώγου) stin rxi tou distimtos (Ρυθμός διάσπασης) dndt = -y / tu Η διαφορική είναι dn dt c ypologismos klisis sto telos tou distimtos y = y + dndt * dt t = t + dt Νέα χρονική στιγμή if (j.eq.1) open (unit=,file= decy.dt,sttus= unknown ) write(,*) t, y end do return end = "N # dn dt = " N

6 ΦΥΣ Διαλ.07 6 Γραφική Αναπαράσταση Μέθοδος Euler Ουσιαστικά αυτό που κάνουµε µε τη µέθοδο του Euler είναι να ακολουθήσουµε την εφαπτοµένη της καµπύλης της λύσης για το διάστηµα (t 1 -t 0 ) Κατόπιν υπολογίζουµε και πάλι την κλίση της καµπύλης στο νέο σηµείο και προχωρούµε µε βάση τη κλίση αυτή στο επόµενο διάστηµα Aν θυµηθούµε, από το ανάπτυγµα Tylor έχουµε: x( t) = x t 0 ( ) + x ( t)"t + 1 x ( t)"t + Χρησιµοποιώντας την κλίση σε κάθε διάστηµα ουσιαστικά χρησιµοποιούµε τη 1 η παράγωγο και αγνοούµε τους ανώτερους όρους τάξης Ο(δt ) Το σφάλµα εποµένως σε κάθε βήµα είναι της τάξης Ο(δt ) και για Ν βήµατα σε ένα συγκεκριµένο διάστηµα αυξάνει σχεδόν γραµµικά. Επειδή ο αριθµός των βηµάτων είναι ανάλογος του διαστήµατος 1/δt ουσιαστικά το σφάλµα είναι γραµµικό µε δt

7 ΦΥΣ Διαλ.07 7 Ανάπτυγµα Tylor Αν έχουµε µια πολύπλοκη συνάρτηση f(x) συνεχή και η οποία έχει συνεχείς παραγώγους τάξης n σε ένα διάστηµα α x b. Μπορούµε να εξετάσουµε τις ιδιότητες της συνάρτησης κοντά ή ακριβώς σε ένα σηµείο x=α, γράφοντάς τη µε τη µορφή ενός πολυωνύµου: ( ) f ( x) = f ( ) x= + ( x ) f ( 1) ( x) + x x= Πως προκύπτει η σχέση αυτή: f ( ) x ( )3 ( ) x= + x 3 f ( 3) x ( )n ( ) x= ++ x Μπορούµε να ολοκληρώσουµε την n-ιοστή παράγωγο οπότε θα έχουµε: ( )dx x f ( n) x = f n"1 ( ) x ( ) " f n"1 ( ) ( ) Ολοκληρώνοντας και πάλι θα έχουµε: ( )dx x x f ( n) x x = # f n"1 $ ( ) " f n"1 ( ) ( ) x ( ) % & dx = f ( n") x ( ) " f ( n") ( ) " ( x " ) f ( n"1) ( ) Συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο µετά από n ολοκληρώσεις θα έχουµε: x x x f ( n) ( x)dx n = f ( x) " f ( ) " ( x " ) f ( 1) ( ) " ( x " ) f ( ) ( )" x " ( n " 1) Αυτή η τελευταία σχέση µπορεί να γραφεί εποµένως: ( ) f ( x) = f ( ) + ( x ) f ( 1) ( ) + x f ( ) ( )n1 ( ) ++ x ( n 1) f ( n1) ( )n"1 x ( ) + n f ( n"1) ( ) x x " " " f ( n) ( x)dx n f ( n) ( x) x=

8 ΦΥΣ Διαλ.07 8 Ανάπτυγµα Tylor Καταλήξαµε στη σχέση: ( ) f ( x) = f ( ) + ( x ) f ( 1) ( ) + x x x x όπου R n ( x) = f ( n) ( x)dx n Από το θεώρηµα µέσης τιµής του ολοκληρωτικού λογισµού έχουµε: ( ) f ( x) = f ( ) + ( x ) f ( 1) ( ) + x f ( ) x # g( y)dy = ( x )g " όπου: " x ( ) ( ) ++ x f ( ) ( )3 ( ) + x ( )n1 ( n 1) 3 f ( n1) ( ) + R n ( x) Εφαρµόζοντας στον όρο R n (x) και ολοκληρώνοντας n-1 φορές θα πάρουµε: R n ( )n ( x) = x n Αν η R n (x) είναι τέτοια ώστε αναπτύγµατος Tylor f ( n) (") µορφή γνωστή ως µορφή Lngrnge lim R n n" ( x) = 0 f ( 3) Αν α=0 τότε καταλήγουµε στη λεγόµενη σειρά McLurin: καταλήγουµε στην άπειρη σειρά του ( )n ( ) ++ x f ( x) = f ( 0) + xf ( 1) ( 0) + x f ( ) ( 0) + x3 3 f ( 3) ( 0) ++ xn n f ( n) ( 0) + n f ( n) ( ) +

9 ΦΥΣ Διαλ.07 9 Ανάγκη βελτίωσης της μεθόδου του Euler q Η μέθοδος κάνει γραμμική εξέλιξη ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή και επομένως το σφάλμα ανεβαίνει σαν h Οι εξισώσεις αντιστοιχούν στο πρώτο όρο του αναπτύγματος γύρω από το σημείο t 0 ή x 0 και επομένως είναι τάξης h, Ο(h ) Η μέθοδος Euler δεν είναι ακριβής. q Ο φορμαλισμός της μεθόδου του Euler είναι ασύμμετρος. Προχωρά τη λύση μέσω του διαστήματος h αλλά χρησιμοποιεί την πληροφορία σχετικά με την παράγωγο μόνο στην αρχή του διαστήματος q Αν έχουμε τις εξισώσεις κίνησης ενός σώματος γράφουμε: q Με τη μέθοδο του Euler θα γράψουμε: n+1 = n + h n d dt = ( r, ); r n+1 = r n + h n d r dt = q Μια απλή παραλλαγή της μεθόδου είναι η χρησιμοποίηση των εξισώσεων: r n+1 = r n + h n+1 = n + h n n+1 Euler-Cromer (χρησιμοποίηση της νέας ταχύτητας) Ø Δεν κερδίζουμε όμως τίποτα σε ακρίβεια. Απλά η μέθοδος αυτή δίνει σωστότερα αποτελέσματα για μια κατηγορία προβλημάτων

10 ΦΥΣ Διαλ Κίνηση σώματος σε διαστάσεις με αντίσταση ρευστού q q Ας υποθέσουμε ότι έχουμε κίνηση ενός βλήματος με αρχική ταχύτητα υ και ότι η δύναμη drg είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας f = Dυ Η διεύθυνση της f είναι αντίθετη αυτής της υ και το μέτρο της θα είναι: f f x y f y f x = D"" x f y = D"" y f = f x + f y, "# $ = $ x + $ y υ w=mg x D = CA Επομένως μπορούμε να γράψουμε: F x = "D## x = m x, F y = " mg + D## y x = (D / m)"" x, y = g (D / m)"" y ( ) = m y Η σταθερά D εξαρτάται από την πυκνότητα του αέρα, ρ, το σχήμα Α του σώματος (επιφάνεια όπως φαίνεται από εμπρός) και από μια αδιάσταση σταθερά C που ονομάζεται σταθερά αντίστασης Ø Για ένα αρκετά μικρό χρονικό διάστημα Δt μπορούμε να τη θεωρήσουμε σταθερή Ø Στο χρονικό διάστημα Δt η μέση x(y)-συνιστώσα της επιτάχυνσης είναι α x =Δυ x /Δt, α y =Δυ y /Δt, ενώ η ταχύτητα αλλάζει κατά Δυ x =α x Δt και υ y =α y Δt Ø Επομένως στο τέλος του διαστήματος Δt η ταχύτητα έχει τιμή x + " x = x + x "t, y + " y = y + y "t Ø Aνάλογα αλλάζουν οι συντεταγμένες του σώματος (χρησιμοποιούμε τη μέση αλλαγή της ταχύτητας στο Δt) x = (" x + " x )t = " xt + " x t = " xt + 1 x(t) x + x = x + " x t + 1 x (t)

11 ΦΥΣ Διαλ Πρόγραμμα για την κίνηση βλήματος με αντίσταση αέρα progrm cnnon rel x(5000), y(5000) cll initilize(dt,v_init,thet,a_m) cll clculte(x,y,nstep,dt,v_init,thet,a_m) cll writeout(x,y,nstep) end subroutine initilize(dt,v_init,thet,a_m) dt = 0.5 seconds v_init = 700 m/s thet = 55 firing ngle A_m = 4e-5 A/m return end subroutine writeout(x,y,nstep) integer nstep rel x(nstep), y(nstep) open file(unit=0,file='cnnon.dt', > sttus='unknown') write(0,10)(x(j),y(j),j=1,nstep) 10 formt((x,f10.4)) return end subroutine clculte(x,y,nstep,dt,v_init,thet,a_m) rel x(5000),y(5000) x(1) = 0 y(1) = 0 vx = v_init * cos(thet) vy = v_init * sin(thet) istep = doit =.true. do while (doit.eq..true.) f = A_m * sqr(vx** + vy**) drg force vy = vy * dt - f * vy * dt vx = vx - f * vx * dt x(istep) = x(istep-1) + vx * dt Euler-Cromer y(istep) = y(istep-1) + vy * dt if (y(istep).le. 0.) then doit =.flse. vlim ktipise sto edfos else istep = istep + 1 endif enddo nstep = istep = -y(nstep) / y(nstep-1) eyresi simiou ptvsis x(nstep) = (x(nstep) + *x(nstep-1))/(1+) y(nstep) = 0 return end

12 Παράδειγμα: Αρμονικός ταλαντωτής ΦΥΣ Διαλ.07 1 q Οριζόντιο ελατήριο με μάζα m στο ένα άκρο του. Η εξίσωση της κίνησης είναι: m d x dt = kx όπου x η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας q Θέτουμε τις αρχικές συνθήκες x(0) και υ(0) και μετατρέπουμε την αρχική εξίσωση σε σύστημα δύο εξισώσεων πρώτου βαθμού = dx d dt dt = " k m x q Η πρακτική ερώτηση που παρουσιάζεται τώρα είναι πως μπορούμε να ελέγξουμε τις διάφορες μεθόδους αν δίνουν τα σωστά αποτελέσματα. Μια πολύ ισχυρή μέθοδος είναι αυτή των νόμων διατήρησης. Στη μηχανική όταν δεν έχουμε τριβές η ολική ενέργεια διατηρείται και μπορούμε να θέσουμε το ερώτημα κατά πόσο οι προσεγγιστικές μέθοδοι ικανοποιούν αυτή τη διατήρηση. q Οι παραπάνω εξισώσεις κίνησης της μάζας εξαρτώμενης από ελατήριο δίνουν ενέργεια Ε = mυ /+kx /. Από τη μέθοδο του Euler οι εξισώσεις είναι x n+1 = x n + n h n+1 = n + #$ ("k / m) x n %& h E n+1 = m n+1 + kx n+1 = (1 + " )E n = h k m Άρα E n+1 = (1 + ) n E 0 = (1+ n + O(n ))E 0 Η μέθοδος Euler δεν διατηρεί τη ενέργεια

13 ΦΥΣ Διαλ Σφάλμα μη διατήρηση ενέργειας q Μπορεί όμως να υποθέσουμε ότι η διαφορά για κάθε βήμα είναι μικρή αφού είναι της ίδιας τάξης μεγέθους με το σφάλμα της μεθόδου Ο(h ) q Το σφάλμα όμως είναι προσθετικό και μετά από n βήματα γίνεται nδ δηλαδή πρώτης τάξης στο δ. Αν το nδ γίνει συγκρίσιμο με τη μονάδα, η προσεγγιστική μέθοδος δεν έχει έννοια. q Το σφάλμα, όντας προσθετικό, θέτει όρια για τον αριθμό των βημάτων που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε στη μέθοδο του Euler. Για n n mx = 1 = m mx δ 1 kh Βλέπουμε ότι ο μέγιστος αριθμός των βημάτων είναι ανάλογος της μάζας και αντιστρόφως ανάλογος της σταθεράς του ελατηρίου και του βήματος. Βλέπουμε επίσης ότι η ποσότητα n mx h έχει διαστάσεις χρόνου και επειδή η περίοδος είναι ανάλογη με το m / k μας ενδιαφέρει n mx h να είναι τουλάχιστον όσο η περίοδος.

14 ΦΥΣ Διαλ Πόσο μικρό είναι το βήμα Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα Tylor βρήκαμε: y(t + t) " y(t) = t y #(t) + (t) y ##(t) + $ y(t + t) " y(t) t = dy(t) dt + t y ## (t) + Ο πρωτεύων όρος του σφάλματος εξαφανίζεται με Δt άρα είναι τάξης Ο(Δt) Στη ραδιενεργό διάσπαση, η διαφορική εξίσωση γράφτηκε: Με προσεγγιστική λύση: y(t + t) = y(t) " #y(t)t = (1" #t)y(t) y(t + t) " y(t) t Είδαμε ακόμα ότι όσο το βήμα μεγαλώνει, η λύση γίνεται ασταθής Με περίπου την ίδια ακρίβεια μπορούμε να γράψουμε τη λύση με τη μορφή: y(t + t) = y(t) " #y(t + t)t με λύση y(t + t) = y(t) 1 + "t Τα σφάλματα στην παράγωγο είναι περίπου: e = E = "#y(t) + ε m = x10-7 # y(t + t) " y(t) & $ % t ' ( = y t ) + y **t m Το σχετικό σφάλμα είναι: Παραγώγιση ως προς Δt e y = m "t + y ##"t y $ "t % & ' Βέλτιστη τιμή βήματος m Στρογγυλοποίηση αυξάνει για Δt<Δt β

15 Η μέθοδος του ενδιάμεσου σημείου ΦΥΣ Διαλ q Θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο του μέσου σημείου όπου οι εξισώσεις που χρησιμοποιούνται τώρα είναι n+1 = n + h n r n+1 = r n + h n+1 + n q Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε το μέσο όρο των δύο ταχυτήτων. Αντικαθιστώντας την έκφραση της ταχύτητας από την πρώτη εξίσωση στη δεύτερη θα έχουμε: r n+1 = r n + h n + 1 n h q Η μορφή αυτή είναι ενδιαφέρουσα. Το σφάλμα αποκοπής είναι ακόμα τάξης h στην εξίσωση της ταχύτητας αλλά για την εξίσωση θέσης, το σφάλμα αποκοπής είναι τώρα h 3. Στην πραγματικότητα, η μέθοδος αυτή δίνει πολύ πιο σωστά αποτελέσματα από τις δύο προηγούμενες για προβλήματα που εμπλέκουν κίνηση βλημάτων αλλά και πάλι για άλλη κατηγορία προβλημάτων δεν δίνει σωστά αποτελέσματα Ø Πως μπορούμε ωστόσο να αυξήσουμε την ακρίβεια της μεθόδου ώστε το σφάλμα να είναι Ο(h 3 ) τουλάχιστο

16 Η μέθοδος του ενδιάμεσου σημείου ΦΥΣ Διαλ q O λόγος για τον οποίο η μέθοδος είναι ενδιαφέρουσα φαίνεται από το γεγονός ότι αν εφαρμόσουμε την μέθοδο του Euler χρησιμοποιώντας τη παράγωγο στο ενδιάμεσο σημείο θα έχουμε: ( ) + f t + 1 t x t " # $ % & ' t = x t ( ) + f ( t) + 1 f ( q Αυτή είναι η σωστή έκφραση δεύτερης τάξης. Έχουμε κερδίσει μια τάξη μεγέθους στο σφάλμα με το να υπολογίζουμε την παράγωγο σε κάποια άλλη χρονική στιγμή q Γεωμετρικά αυτό σημαίνει το εξής: ) * + ( t)t, -. 3 t + O (t ) x(t) x(ενδιάµεσου σηµείου) Πως βρίσκουµε την παράγωγο στο ενδιάµεσο σηµείο? x(euler) Χρησιµοποιώντας τη µέθοδο του Euler: x = f ( x i,t i )t " x i+1 = x i + f x i + 1 x,t + 1 i # $ t % & ' t

17 Παράδειγμα q Έστω η συνάρτηση x t ( ) = "x( t) Η μέθοδος του Euler θα μας δώσει: dx = f (x(t),t) = x(t) h = "t dt x t + h ( ) = x(t) + hf (x(t),t) = x(t) + h(x) = x(t) hx(t) = x(t)(1 h) Η μέθοδος του ενδιάμεσου σημείου βάζοντας βήμα h/ θα δώσει: x( t + h) = x ( t ) + hf x t + h " # " # = x t = x t = x t ' ( ) " # " # $ " # $ $ % &, t + h $ % & ( ) + hf x( t) + h f x t ( ) + hf x( t) + h x( t) ( ) + h x( t) + h x( t) ( ( ),t $ ) % &,t + h * +, % & ' % " & ' = x t # $ ( ),t + h ( ) 1 h + h ΦΥΣ Διαλ Όπου στη η ισότητα αντικαταστήσαμε το όρισμα x(t+h/) της f με το ανάπτυγμά του x(t+h/) = x(t)+(h/)f(x(t),t) Ενώ στη 3 η και 4 η ισότητα αντικαταστήσαμε με f(x) = -x % & '

18 Κίνηση πλανητών ΦΥΣ Διαλ Μέθοδος Euler Μέθοδος Euler-Cromer Κινητική ενέργεια Κινητική ενέργεια Ολική ενέργεια Ολική ενέργεια Δυναμική ενέργεια Δυναμική ενέργεια

19 Κίνηση πλανητών ΦΥΣ Διαλ Μέθοδος Euler-Cromer για τροχιά με μεγάλη εκκεντρότητα (αρχική ταχύτητα π ΑU/yr, βήμα 0.0yr και 00 βήματα) Λόγω αριθμητικού σφάλματος ο πλανήτης φαίνεται να αποκτά ταχύτητα διαφυγής Ενέργεια Ίδιες συνθήκες όπως προηγουμένως αλλά για βήμα 0.005