Καθ. Βλάσης Κουµούσης

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης

2 Κελύφη Εκ Περιστροφής Μεµβρανική Θεωρία Παραµόρφωση w K.K K.K υ

3 3 Κάτοψη Παράλληλος θ 0 θ θ 0 θ r dθ ds ds r dθ

4 4 Τοµή - Μεσηµβρινός υ w φ K.K ds φ ds r dθ dφ K.K Ορισµοί: ε φ ε θ ( d ) (6.) d ( d ) 0 (6.) d Η µετατόπιση συνεισφέρει στην παραµόρφωση εφ µόνο κατά µη γραµµικό τρόπο. 0

5 5. Παραµόρφωση ε φ υ ds w φ υ + dφ φ r - w dφ r dφ w w+ dφ φ K.K ds + d φ φ dφ r dφ dφ + dφ (6.3) r φ Ο όρος d φ δηλώνει την επαύξηση. r φ ( ) ds ds + ds ( r w) dφ + dφ r φ (6.4)

6 6 rd φ + dφ wdφ w dφ rd φ ds ds ds + ( ds) ds φ r φ εφ ds ds rd φ (6.5) w εφ w r φ r r φ (6.6) Ο όρος w είναι συγκριτικά µικρός. r φ w εφ r φ r (6.7) Η τελευταία σχέση ισχύει για κάθε z αντικαθιστώντας το r µε το r -z.. Παραµόρφωση ε θ ΚΑΤΟΨΗ r r rdθ θ dθ dθ ds + ds r + dθ θ r + dθ θ

7 7 dθ dθ + dθ (6.8) r θ w inφ r υ w φ υ cφ Μεταβολή ακτίνας λόγω µετατόπισης: r υ cφ winφ (6.9) ( ) θ ( ) ds + ds ds rd + ds rd θ εθ ds r dθ ( r + r) dθ + dθ r θ r θ, θ rd θ +, θ dθ + rd θ r dθ r r θ

8 8, θ υcφ winφ r, θ + (6.0) r r r r Ο όρος r r, θ r είναι συγκριτικά µικρός. υ w εθ + cφ inφ r θ r r (6.) 3. Παραµόρφωση γ φθ Α r dθ r dθ r Γ + dθ θ υ+ dθ θ Γ Α υ rdφ γ γ r r + dr Β r + dφ r + dr φ ( r + dr ) ( ) r Β + dφ υ+ dφ φ φ ΑΒ rdφ (6.)

9 ΑΒ rdφ ΑΓ rdφ ο 9 ΑΓ rdφ (6.3) ο Ισχύουν οι ακόλουθες εκφράσεις: d θ γ θ rd θ + dθ θ γ θ r + θ γ θ (6.4) r και γ dφ dr φ rd φ dφ φ r dr (6.5) r φ r r dφ + Όµως dr r d c φ φ. Άρα: γ cφ r φ r (6.6) Επίσης: γφθ γθφ γ + γ + cφ r θ r φ r (6.7) Οπότε τελικά:

10 0 γ φθ cφ r φ r θ (6.8) ιατηρώντας όλους τους όρους, έχουµε την ακόλουθη έκφραση:, φdφ dr, θ dθ r γφθ γ + γ + rdθ + dθ rdφ + υ dφ, θ, φ, θdθ( rd φ + υ, φdφ) +, φdφ r cφdφ ( r dθ +, θdθ) r ( rd θ +, θdθ)( rd φ + υ, φdφ), θ r, θ +, θ υ, φ + rο, φ r cφ +, φ υ, θ r cφ dφdθ rο r r + r, θ + rο, φ +, φ υ, θ dφdθ (6.9) οπότε: γ φθ r + r + r r + + r r + r + r + υ, θ cφ, θ ο, φ cφ, θ υ, φ, φ υ, θ rο, θ ο, φ, φ, θ (6.0) Όταν r, r >>, τότε: γ φθ, θ, φ cφ + + (6.) r r r ο ο ο Όταν r, r <, τότε ποιοι όροι είναι σηµαντικοί?

11 ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΑ ΚΕΛΥΦΗ ΚΑΜΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Από τις γενικές εξισώσεις των κελυφών εκ περιστροφής µε την παρακάτω αλλαγή µεταβλητών λαµβάνουµε: d r dφ (6.) φ όπου φ και θ. N N + + q 0 (6.3) N N Q q 0 r Q Q N + q 0 r (6.4) (6.5) M M + Q 0 (6.6) M M + Q 0 (6.7) Επιπλέον ισχύουν οι ακόλουθες κινηµατικές σχέσεις: w ε, ε +, γ + r (6.8) β w w, β r (6.9) k w, β k β w r (6.30)

12 β β w τ + r (6.3) Οι παραπάνω εξισώσεις και σχέσεις επιδέχονται απλοποιήσεις, οι µέγιστες των οποίων επιτυγχάνονται µε βάση τις παραδοχές Dnnell.. Ο όρος Q / r στην η εξίσωση αµελείται Άρα οι εξισώσεις γίνονται: N N N + + q 0 N + + q 0 (6.3) (6.33) M M M N + + q 0 r (6.34) Έτσι:. Καµπυλότητες επηρεάζονται ελάχιστα από την επέκταση κατά,, τ w w w (6.35) οι σχέσεις αυτές ισχύουν και στην θεωρία πλακών. Με βάση τα παραπάνω, σκόπιµη είναι η διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας ως προς τις µετακινήσεις, και w. N K v ε + ε (6.36) N K v ε + ε (6.37)

13 3 N N Ghγ (6.38) [ ] M Dk + vk (6.39) [ ] M Dk + vk (6.40) M M Gh 3 τ / (6.4) K Eh, D Eh ( v ) ( v ) 3 (6.4) Αντικαθιστώντας προκύπτουν : v + v v w P r (6.43) v + v w P r (6.44) h 4 w w+ v P r + + r (6.45) όπου P P ( v ) q (6.46) Eh ( v ) q (6.47) Eh ( v ) P q (6.48) Eh

14 4 και 4 ( ) (6.49) ( ) ( ) + (6.50) Για την περίπτωση των εξισώσεων Dnnell προκύπτει περαιτέρω δυνατότητα αποσύζευξής τους ως εξής: Παραγωγίζοντας την η δύο φορές ως προς και µετά ως προς και επιλύοντας για τους µικτούς όρους λαµβάνουµε αντίστοιχα: P v v w v (6.5) + v P v v w 3 4 (6.5) όπου για κυκλικό κυλινδρικό κέλυφος r α. Παραγωγίζοντας την η µία φορά ως προς και µία ως προς λαµβάνουµε: v + v w P (6.53) Αντικαθιστώντας τις δύο παραπάνω σχέσεις προκύπτει : 3 3 w v w P P v P v v ( ) (6.54) Με αντίστοιχη διαδικασία για τη η εξίσωση προκύπτει :

15 5 3 3 P P P v w w + v + + v v (6.55) Τέλος, παραγωγίζοντας την προτελευταία ως προς και την τελευταία ως προς και 4 εφαρµόζοντας τον τελεστή ( ) στην 3 η εξίσωση λαµβάνουµε: h v w P P P P w+ P v ( + v) (6.56) που αποτελούν τις εξισώσεις Dnnell, χαρακτηριστικό των οποίων η αποσύζευξη, δηλαδή επιλύεται η 3η και στην συνέχεια η η και η. Οι αποδεκτές συνοριακές συνθήκες σε κάθε µία από τις δύο πλευρές µε σταθ. N N ή (6.57) T T ή (6.58) V V ή w w (6.59) και σε δύο πλεύρες µε S σταθ. M M ή β β (6.60) N N ή (6.6) N N ή (6.6) V V ή w w (6.63) V V ή w w (6.64)

16 ΚΥΚΛΙΚΕΣ ΕΞΑΜΕΝΕΣ ΚΑΜΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ 6 ( ) p γ h h t α α

17 7 α dφ N φ Q + dq Μ + dμ Μ φ Μ Μ φ N φ Q Q + N p (6.65) φ M Q 0 (6.66) όπου M K w (6.67)

18 N φ 8 ( v ) D w (6.68) και K Et 3 ( v ) (6.69) D Et ( v ) (6.70) δηλαδή 4 εξισώσεις µε 4 αγνώστους Nφ, Q, M, w. M + N p (6.7) φ ( ) ( ) 4 Kw + D v w p (6.7) Επίλυση για σταθερό πάχος t : ( ) ιαφορική εξίσωση µε σταθερούς συντελεστές : 4 Kw + D v w p (6.73) Εισάγοντας την παράµετρο: / w Ce λ (6.74) ( ) προκύπτει η χαρακτηριστική εξίσωση 4 D v κ 3 ( v ) (6.75) 4K t 4 4 λ + 4κ 0 (6.76)

19 η οποία έχει 4 λύσεις λ ( i) µπορεί να εκφραστεί ως : 9 ± ± κ, δηλαδή ζεύγη συζυγών µιγαδικών. Η λύση κ κ 3 4 κ κ κ κ w e c c + c in + e c c + c in (6.77) Για τις συνοριακές συνθήκες χρειάζεται: κ / κ w κe c c + c + c + κ / κ + κe c + c c c ( ) c ( ) ( ) c ( ) κ in κ in (6.78) Επίσης: c κ/ κ/ 3 4 κκ κ κ κ κ M e c in c c e c in c c (6.79) 3 c κκ κ / κ κ Q e 3 ( c c) c ( c c) in + 3 κκ κ / κ κ e 3 ( c3 c4) c ( c3 c4) in + (6.80) Παρατηρώντας τη συµπεριφορά της λύσης, οι όροι µε συντελεστές c και c µειώνονται µε το, ενώ οι c 3, c 4 αντιθέτως αυξάνουν. Θεωρώντας τον πυθµένα άκαµπτο ισχύει ότι w 0, w 0 για 0. Τελικά: κ c κ γ κ w h he h e κ in + Et κ (6.8)

20 0 κ κ κ c κ Nφ γ h he + h e in κ κ κ γ t κ c κ M h e + he in κ ( v ) κ κ γ tκ κ c κ Q h e + e in κ κ ( v ) (6.8) (6.83) (6.84) Άκαµπτος Πυθµένας Πλάκα Οροφής t P X t Για 0 και w 0, ισχύει ότι M X. w γα X D Kκ ( v ) (6.85)

21 Από θεωρία πλακών προκύπτει ότι: 3 P ω + 8 v K v ( + ) ( + ) X (6.86) όπου K Et 3 ( v ) (6.87) γα P δ 0 + D 8 δ ( v ) K ( + v) α + Kκ K v 3 ( + ) (6.88) (6.89) και δ 0 δx 0 + (6.90) από όπου προκύπτει το υπερστατικό µέγεθος Χ και µετά τα ω, Ν φ, Μ, Q. Αν P 0, τότε: ( + v) ( ) 3 κ γα K κ w e in D( v ) Kκ + + v (6.9) M κ γα KKκ κ e c D( v) Kκ + ( + v) (6.9) Αν P 0 και η δεξαµενή είναι άδεια, τότε:

22 P α w 8κ Kκ + K + v 4 ( ) e κ κ in (6.93) M P Kκ κ e c 4 Kκ + K + v ( ) κ (6.94)