ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ Διδάσκων: Δρ. Ριζιώτης Βασίλης Μόνιμη ΆκυκληΡοή

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

3 Αστρόβιλη ροή Δυναμικό της ταχύτητας Ω = u =0 αστρόβιλο πεδίο Φ= Φ( ) u = Φ( ) ( Φ) = Φ = 0 συνθήκη ασυμπίεστου ρευστού u + p U = c ρ εξίσωση Benoulli n Φ = F Φ = 0 στερεό σώμα, F( ) = 0 Φ U οριακές συνθήκες

4 Αστρόβιλη ροή Δυναμικό της ταχύτητας Ω = u =0 αστρόβιλο πεδίο φ= φ( ) q= φ( ) πεδίο διαταραχής u= U+ q= U+ φ( ) ( φ) = φ = 0 συνθήκη ασυμπίεστου ρευστού u + p U = c ρ εξίσωση Benoulli n φ = F φ = F U στερεό σώμα, F( ) = 0 φ 0 οριακές συνθήκες

5 Δυναμικό πηγής A f( ) = = A A 0 0 f( ) = = = A 1 A = lim Δ Δ n ds D 0 D S θεώρημα Gauss ολοκληρώνοντας σε μια σφαίρα όπου A A A = = e 3 A 1 A = lim e e ds = Δ D 0 ΔD 0 sphee

6 Δυναμικό πηγής Έστω φ( ) = A ή φ( ) = A u () A A A = = = e 3 q = 4πA η παροχή ρευστού που εξέρχεται από όγκο που περιλαμβάνει το κέντρο της πηγής q1 φ( ) = 4 π q u () = 4π 3 και αν το κέντρο της πηγής δεν ορίζεται στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων φ( ) u () q 1 = π 4 0 q 0 = 4π το κέντρο της πηγής

7 Δυναμικό πηγής Σε καρτεσιανές συντεταγμένες q 1 φ(x,y,z) = 4 π (x x 0) + (y y 0) + (z z 0) q x x0 u(x,y,z) = 4 π (x x 0) + (y y 0) + (z z 0) q y y0 u(x,y,z) = 4 π (x x 0) + (y y 0) + (z z 0) q z z0 u(x,y,z) = 4 π (x x 0) + (y y 0) + (z z 0) x 3/ y 3/ z 3/ 1/ (x,y,z ) 0 (x 0,y 0,z 0)

8 Επαλληλία Παράλληλης ροής Πηγής (ημιάπειρο σώμα) σημείο ανακοπής θ=π, R = q 4πU π q θ=, T = 4πU q θ= 0, L = μέγιστη ακτίνα 4 π U

9 Επαλληλία Παράλληλης ροής Πηγής-Καταβόθρας (αξονοσυμμετρικό σώμα) c Vmax 1 c 1 x = 0, = 1+ U a 1 + ( /a) c A c a + c = 4 a U δύο σημεία ανακοπής

10 Δυναμικό διπόλου Φ(P) q 1 1 q 1 = = 4π 1 4π 1 q 1 Φ(P) = lim 1 l cosθ 4 π 1 l 0 q ql µ 1 Φ(P) qlcos θ μ cosθ = = 4π 4π μ= μ e μ διάνυσμα στην κατεύθυνση l Φ(P) μcos θ 1μ = = 4π 3 4π 3

11 Δυναμικό διπόλου Φ( ) 1 μ ( 0 ) = 4 π 3 0 u () 1 μ ( 0 ) = π μ x Φ(x,y,z) = 4 π x + y + z Φ(R,θ,φ) μ cosθ = π 4 R ( ) 3/ Φ(,θ,x) μ x = 4 π (x + ) 3/

12 Δίπολο σε παράλληλη ροή (ροή γύρω από σφαίρα) R s μ = π U 1/3 δύο σημεία ανακοπής μ θ s = 0, π, Rs = π U 1/3

13 Ροή γύρω από σφαίρα Πηγή: Pinciples of ideal-fluid aeodynamics - Kaamcheti K., Wiley

14 Παράλληλη και κάθετη άκυκλη ροή Μόνιμη Άκυκλη Ροή

15 Άκυκλη ροή γύρω από σώματα Πηγή: Pinciples of ideal-fluid aeodynamics - Kaamcheti K., Wiley

16 Γραμμική θεωρία μικρών διαταραχών φ= φ( ) q= φ( ) u= U + q= U + φ( ) ( φ) = φ = 0 ϕ 1 ϕ 1 ϕ ϕ = θ x 0 n φ = F φ = F U στερεό σώμα, F( ) = R(x) = 0 φ 0 οριακές συνθήκες

17 Γραμμική θεωρία μικρών διαταραχών q ϕ 1 ϕ ϕ φ( ) (u, u, u ) (,, ) x = = θ x = θ U = (U sinα sinθ,usinαcosθ,ucosα)

18 Γραμμική θεωρία μικρών διαταραχών Εύρος ισχύος Μόνιμη Άκυκλη Ροή ϕ dr = u = U cosα U sinα sinθ γραμμικοποιημένη έκφραση συνοριακής συνθήκης Ισχύει για: << dr λεπτό σώμα (slende body) << R L L το μήκος του σώματος επομένως u,u u x x << U F << x

19 Γραμμική θεωρία μικρών διαταραχών Εύρος ισχύος Δεν ισχύει: κοντά σε σημεία ανακοπής ux = U σε στρογγυλεμένα άκρα dr dr dr

20 Αξονοσυμμετρική ροή γύρω από λεπτό αξονοσυμμετρικό σώμα ϕ = u = U dr γραμμικοποιημένη συνοριακή συνθήκη μη εισχώρησης 1 dξ ϕ (,x) = q(ξ) 4 π 0 (x ξ) + L ϕ 1 = = L dξ u(,x) (,x) q(ξ) 4 π 0 (x ξ) + ( ) 3/ ϕ 1 = = L (x ξ) dξ u(,x) (,x) q(ξ) x 4 π 0 (x ξ) + ( ) x 3/

21 Αξονοσυμμετρική ροή γύρω από λεπτό αξονοσυμμετρικό σώμα ϕ dr = u = U γραμμικοποιημένη συνοριακή συνθήκη μη εισχώρησης L 0 q(ξ) dξ = 0 συνθήκη δημιουργίας κλειστού σώματος 4 π ((x ξ) + ) L 1 dξ dr q(ξ) u 3/ = = U 0 = R(x) με βάση τις υποθέσεις λεπτού σώματος μεταφέρουμε τη συνοριακή συνθήκη στον άξονα x. Το ολοκλήρωμα της συνοριακής συνθήκης απειρίζεται όταν ξ και καθώς 0 x

22 Αξονοσυμμετρική ροή γύρω από λεπτό αξονοσυμμετρικό σώμα αποδεικνύεται ότι ( u ) = 0 q(x) π οπότε q(x) u u 0 = = U R = R(x) π ( ) ( ) dr dr q(x) = π U R U ds S = π R

23 Κάθετη ροή γύρω από λεπτό αξονοσυμμετρικό σώμα φ = u = W sinθ συνοριακή συνθήκη κάθετης ροής φ(,x,θ) L 1 sinθ dξ = μ(ξ) 4π 0 (x ξ) + 3/ L φ 1 sinθ dξ u(,x,θ) = = μ(ξ) 4π (x ξ) + 3/ 0 L 3 sinθ dξ μ(ξ) 5/ 4π 0 (x ξ) + L 1 φ 1 cosθ dξ θ = = μ(ξ) 3/ 0 u(,x,θ) θ 4π (x ξ) + L φ 3 (x ξ) sinθ dξ x = = μ(ξ) 5/ 0 u(,x,θ) x 4π (x ξ) +

24 Κάθετη ροή γύρω από λεπτό αξονοσυμμετρικό σώμα φ = u = W sinθ συνοριακή συνθήκη κάθετης ροής 4π μ(ξ) μ(ξ) = W sinθ (x ξ) 4π + (x ξ) + L L 1 sinθ dξ 3 sinθ dξ 3/ 5/ 0 0 = R(x) Όπως και στην περίπτωση της αξονικής ροής μεταφέρουμε τη συνοριακή συνθήκη στον άξονα του σώματος

25 Κάθετη ροή γύρω από λεπτό αξονοσυμμετρικό σώμα για 0 αποδεικνύεται ότι μ(x) u = sinθ 0 π ( ) οπότε η συνοριακή συνθήκη γράφεται ( ) ( ) μ(x) π u u = sinθ= W R sinθ 0 = R( x) μ(x) = π W R = W S(x)

26 Κατανομή της πίεσης σε αξονοσυμμετρικά σώματα p p U q p = = q ρ U U U C αξονική ροή u dr = x C(R,x) p U = R(x) κάθετη ροή u C(R,x,θ) p = ( usinθ + uθ cosθ) W + u θ W = R(x) ροή σε γωνία πρόσπτωσης ή γωνία απόκλισης α C(R,x,θ) p α sin θ α cosθ u x dr u θ u θ = + U U U = R(x)

27 Κατανομή της πίεσης σε αξονοσυμμετρικά σώματα p p U q p = = q ρ U U U C αξονική ροή u dr = x C(R,x) p U = R(x) κάθετη ροή u C(R,x,θ) p = ( usinθ + uθ cosθ) W + u θ W = R(x) ροή σε γωνία πρόσπτωσης ή γωνία απόκλισης α C(R,x,θ) p α sin θ α cosθ u x dr u θ u θ = + U U U = R(x)

28 Κατανομή των δυνάμεων σε αξονοσυμμετρικά σώματα z = = F p n da p n R dθ ds A A y = = 0 0 M p n da n) p R dθ ds A A ds ( dθ R x n= sinψ e + cosψ cosθ e + cosψ sinθ e x y z dr = e + cosθ e + sinθ e ds ds ds x y z ds ψ dr R x

29 Κατανομή των δυνάμεων σε αξονοσυμμετρικά σώματα z dfx ρ dr ds = U R Cp dθ+ p π 0 y π dfy ρ U R C p cosθ dθ = π dfz ρ U R C p sinθ dθ = 0 0 ds R dθ x L π dr My = x+ R sinθ p R dθ 0 0 R ds ψ dr x

30 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.