Ορισµός: Μερική παράγωγος ως προς x (αντ. ως προς y) στο σηµείο x,y είναι η παράγωγος της f ως προς x στο x (αντ. ως προς y στο y ( + ) ( )

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ορισµός: Μερική παράγωγος ως προς x (αντ. ως προς y) στο σηµείο x,y είναι η παράγωγος της f ως προς x στο x (αντ. ως προς y στο y ( + ) ( )"

Χαρικλώ Στεφανόπουλος
4 χρόνια πριν
Προβολές:

3 2 Έστω f: A, Α ανοικτό σύνολο και x,y A. 0 0 Ορισµός: Μερική παράγωγος ως προς x (αντ. ως προς y) στο σηµείο x,y είναι η παράγωγος της f ως προς x στο x (αντ. ως προς y στο y 0 0 ), όπου έχουµε κρατήσειτοy σταθερό και ίσο µε y0 (αντ. το x σταθερό και ίσο µε x0). ηλαδή: x y ( x,y ) 0 0 ( x,y ) 0 0 ( + ) f x h,y f x,y = lim h 0 h ( + ) f x,y h f x,y = lim h 0 h Τι σηµαίνει όµως αυτό γεωµετρικά;

4 Παράδειγµα: Έστω η συνάρτηση sin xy f( x,y ) =, x,y \ 0,0 x + y { } 2 και θέλουµε να υπολογίσουµε τηµερική παράγωγό της ως προς x στο σηµείο (1,-2). ηλαδή: x 1, 2 = ; Ο ορισµός λέει ότι κρατάµε το y σταθερό (στην περίπτωση µας σταθερό και ίσο µε -2) και παραγωγίζουµε τηνf στο σηµείο x=1.

$x,y ) =, x,y 5,5 5,5 \ 0,0 ( x + y )$

5 Έχουµε τη συνάρτησή µας sin xy f( x,y ) =, x,y 5,5 5,5 \ 0,0 ( x + y ) { }

6 Παίρνουµε τον περιορισµό της για y=-2 (δηλαδή το µέρος της συνάρτησης που αντιστοιχεί για y=-2) περιορισµός της f για y=-2

7 Aποµονώνουµε τώρα αυτόν τον περιορισµό και για να τον δούµε καλύτερα τον παρουσιάζουµε στις 2 διαστάσεις

8 Η µερική παράγωγος που αναζητούµε είναιηπαράγωγος αυτής της συνάρτησης ως προς x στο σηµείο x= Z X

9 Ηκλίσητης(ε) µας δίνει το ζητούµενο ( 1, 2) x (ε) Z X

11 2 Έστω f: A( ), Α ανοικτό σύνολο, a = ( x 0,y0) A και 2 u = u,u τυχαίο µοναδιαίο διάνυσµατου Ορισµός: Κατευθυνόµενη παράγωγος της f στο σηµείο a προς την κατεύθυνση του u ονοµάζεται ο ρυθµός µεταβολής της f κατά µήκος ευθείας που περνά από το a και είναι παράλληλη προς το u. ηλαδή: f a h u f a f x h u,y h u f x,y D uf ( a) = lim = lim h 0 h h 0 h ( + ) ( + + ) Τι σηµαίνει όµως αυτό γεωµετρικά;

12 Στη µερική παράγωγο βρίσκουµε τον περιορισµό της f ως προς µια ευθεία παράλληλη στον άξονα y ή x (µερική ως προς x ή ωςπροςy αντίστοιχα) και στη συνέχεια παραγωγίζουµε τη συνάρτηση που µας προκύπτει. Η µόνη διαφορά της κατευθυνόµενης από της µερικής παραγώγου είναι ότι τώρα περιορίζουµε τηνf ως προς µια ευθεία που περνά από ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της και είναι παράλληλη µε ένα τυχαίο µοναδιαίο διάνυσµα u. Έπειτα και πάλι παραγωγίζουµε τη συνάρτηση που µας προκύπτει. Η µερική παράγωγος δηλαδή είναι ειδική περίπτωση της κατευθυνόµενης!

13 Παράδειγµα: sin 2x + 3y 2 Έστω η συνάρτηση f( x,y ) =, ( x,y ) \{( 0,0) } και θέλουµε x + y να υπολογίσουµε την κατευθυνόµενη παράγωγο ως προς το διάνυσµα 1 1 u =, στο σηµείο (-1,-2). ηλαδή: D f 1, 2 = ; 1 1, Η καρτεσιανή εξίσωση της ευθείας που περνά από το (-1,-2) και είναι 1 1 παράλληλη στο u =, είναι η: y = x 1 Οορισµός λέει ότι περιορίζουµε τηνf στην ευθεία y = x 1 και παραγωγίζουµε τη συνάρτηση που θα µας προκύψει στο σηµείo (-1,-2).

$f( x,y ) =, x,y 3,3 3,3 \ 0,0 x + y { }$

14 Έχουµε τη συνάρτησή µας ( + 3y ) sin 2x f( x,y ) =, x,y 3,3 3,3 \ 0,0 x + y { }

15 Παίρνουµε τον περιορισµό της για y=x-1 (δηλαδή το µέρος της συνάρτησης που αντιστοιχεί για y=x-1) περιορισµός της f για y=x-1

16 Aποµονώνουµε τώρα αυτόν τον περιορισµό και για να τον δούµε καλύτερα περιστρέφουµε λίγο τους άξονες

17 Ηκατευθυνόµενη παράγωγος που αναζητούµε είναιηπαράγωγος αυτής της συνάρτησης ως προς x στο σηµείο x=-1.

19 Έστω f: A, x A d ( ) 0, Α ανοικτό σύνολο. Ορισµός: Η f είναι διαφορίσιµη στοσηµείο x 0 u: q: S 0,ε µε lim q h = 0 d γραµµική και h 0 τέτοιες ώστε f( x0 + h) = f( x0) + u( h) + h q( h) u: d ήισοδύναµα γραµµική τέτοια ώστε f( x0 + h) f( x0) u( h) lim = 0 h 0 h Τη µοναδική αυτή συνάρτηση u συµβολίζουµε µε διαφορικό της f στο 0. x df ( x 0 ) και ονοµάζουµε

20 Για d = 1 έχουµε: 0 f: A, x A, Α ανοικτό σύνολο d df ( x0)( h) = f ( x0) h, h dx Παράδειγµα : H f x = sinx + x, x 4π,4π έχει σε όλα τα σηµεία της διαφορικό εκτός από το σηµείο 3π Ας δούµε γιατοσηµείο x =. 2 x = 0 f x = sinx + x x 4π,4π

21 Για d = 1 έχουµε: 0 f: A, x A, Α ανοικτό σύνολο d df ( x0)( h) = f ( x0) h, h dx Έχουµε τηνεφαπτόµενη ευθεία. f x = sinx + x x 4π,4π Το διαφορικό είναι η ευθεία αυτή, αν την µεταφέρουµε στηναρχή των αξόνων...!

22 Για d = 1 έχουµε: 0 f: A, x A, Α ανοικτό σύνολο d df ( x0)( h) = f ( x0) h, h dx Αυτό γιατί το διαφορικό είναι εξ ορισµού γραµµική συνάρτηση και πρέπει να περνά από την αρχή των αξόνων. f x = sinx + x x 4π,4π

$0 0 1 2 0 0 1 0 0 2 1 2 Παράδειγµα : 1 1 x + y x + y H f( x,y) = e sin e, { } ( x,y) 2,2 2,2 \ ( 0,0) 1 1 Ας δούµε γιατοσηµείο,.$

23 Για d = 2 έχουµε: ( 0 0) 2 f: A, x,y A, Α ανοικτό σύνολο df x,y h,h f x,y h f x,y h, h,h x y 2 = + έχει διαφορικό σε όλα τα σηµεία της Παράδειγµα : 1 1 x + y x + y H f( x,y) = e sin e, { } ( x,y) 2,2 2,2 \ ( 0,0) 1 1 Ας δούµε γιατοσηµείο,. 1 1 f x,y e sin e, x,y 2,2 2,2 \ 0,0 { } x + y x + y =

24 Για d = 2 έχουµε: ( 0 0) 2 f: A, x,y A, Α ανοικτό σύνολο df x,y h,h f x,y h f x,y h, h,h x y 2 = f x,y e sin e, x,y 2,2 2,2 \ 0,0 { } x + y x + y = Έχουµε τοεφαπτόµενο επίπεδο. Το διαφορικό είναι το επίπεδο αυτό, αν το µεταφέρουµε στην αρχή των αξόνων...!

25 1 1 f x,y e sin e, x,y 2,2 2,2 \ 0,0 { } x + y x + y = Βλέπουµε ότιηµόνη σχέση που έχουν το διαφορικό και το εφαπτόµενο επίπεδο είναι ότι είναι παράλληλα!

27 1. f( x,y ) = x xy + y { } ( x,y) 1,1 1,1 \ ( 0,0) 0, ( x,y) = ( 0,0) Είναι ασυνεχής στο (0,0) x 0,0 = 0,0 = 0 y D u 0,0 ± ± { 1 2} 2 u \ e, e df ( 0,0)

28 2. f( x,y ) = x + y xy { } x,y 1,1 1,1 \ x,y : xy = 0 { } 0, x,y x,y : xy = 0 Είναι ασυνεχής στο (0,0) x 0,0 = 0,0 = 0 y D u 0,0 ± ± { 1 2} 2 u \ e, e df ( 0,0)

29 3. f( x,y ) = x 2 xy y { } ( x,y) 1,1 1,1 \ ( 0,0) 0, ( x,y) = ( 0,0) Είναι ασυνεχής στο (0,0) x 0,0 = 0,0 = 0 y u D 0,0 df ( 0,0)

30 4. f( x,y) = x + y Είναι συνεχής στο (0,0) x y ( 0,0 ), ( 0,0) u D 0,0 df ( 0,0)

$5. f( x,y ) = sin x ( + y ) x + y 1, x,y = 0,0 { } ( x,y) 5,5 5,5 \ ( 0,0)$

31 5. f( x,y ) = sin x ( + y ) x + y 1, x,y = 0,0 { } ( x,y) 5,5 5,5 \ ( 0,0) Είναι συνεχής στο (0,0) x 0,0 = 0,0 = 0 y u D 0,0 = 0 df ( 0,0)( h 1,h2) = 0

32 6. f( x,y ) = sin x ( + y ) x + y 0, x,y = 0,0 { } ( x,y) 4,4 4,4 \ ( 0,0) Είναι συνεχής στο (0,0) x x ( 0,0 ), ( 0,0) u D 0,0 df ( 0,0)

33 7. f( x,y ) = x 2 xy + y 0, ( x,y) = ( 0,0) { } ( x,y) 1,1 1,1 \ ( 0,0) Είναι συνεχής στο (0,0) x 0,0 = 0,0 = 0 y u D 0,0 df ( 0,0)

34 8. f( x,y ) = x 3 y + y 0, ( x,y) = ( 0,0) { } ( x,y) 1,1 1,1 \ ( 0,0) Είναι συνεχής στο (0,0) x 0,0 = 1, 0,0 = 0 y D 0,0 u 2 u \ e, e df ( 0,0) { 1 2} ± ±

35 9. f( x,y ) = xy x + y 0, ( x,y) = ( 0,0) { } ( x,y) 1,1 1,1 \ ( 0,0) Είναι συνεχής στο (0,0) x 0,0 = 0,0 = 0 y u D 0,0 x y ( x,y ), ( x,y) 2 ( x,y) και είναι και συνεχείς df ( 0,0)( h 1,h2) = 0

36 10. f( x,y ) = y ( x + y ) sin ( x,y ),, \{( 0,0) } x 0, ( x,y) = ( 0,0) Είναι συνεχής στο (0,0) x 0,0 = 0,0 = 0 y u D 0,0 x y ( x,y ), ( x,y) 2 ( x,y) και είναι ασυνεχείς df ( 0,0)( h 1,h2) = 0 Ας πάµε πιοκοντά

37 10. f( x,y ) = 1 ( x + y ) sin ( x,y) 0.08, ,0.08 \ {( 0,0) } x 0, ( x,y) = ( 0,0) + y και ακόµη πιοκοντά

38 10. f( x,y ) = 1 ( x + y ) sin ( x,y) 0.01, ,0.01 \ {( 0,0) } x 0, ( x,y) = ( 0,0) + y και ακόµη πιοκοντά

39 11. Όλες οι προηγούµενες συναρτήσεις µπορούν να θεωρηθούν ως «καλώς» συµπεριφερόµενες συναρτήσεις. Υπάρχουν όµως και πολλές άλλες f : 0,250 0,250 Είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισµού της! εν υπάρχουν µερικές παραγώγοι, κατευθυνόµενες παραγώγοι και ασφαλώς ούτε διαφορικό για κανένα σηµείο του πεδίου ορισµού της!

40 Συγγραφή Ηλεκτρονική Επεξεργασία Επιστηµονική Επιµέλεια Αν. Καθηγήτρια Λεωνή Ευαγγελάτου- άλλα (Τµήµα Μαθηµατικών) Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Φυσικής Μάιος 2004

Σχετικά έγγραφα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν