ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ. Νίκος Μυλωνάς Βασίλης Παπαδόπουλος. Βοήθηµα διδάσκοντα

Transcript

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ Νίκος Μυλωνάς Βασίλης Παπαδόπουλος Βοήθηµα διδάσκοντα Εκδόσεις Τζιόλα

2

3 Περιεχόµενα Πιθανότητες 5 3 ιακριτές τυχαίες µεταβλητές 37 4 Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές 45 5 Πολυδιάστατες τυχαίες µεταβλητές 63 6 Βασικές έννοιες - Περιγραφική Στατιστική 77 7 Εκτιµητική, διαστήµατα εµπιστοσύνης 8 8 Ελεγχοι υποθέσεων 99 3

4 4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

5 Κεφάλαιο Πιθανότητες `Ασκηση. Αν οι πιθανότητες των γεγονότων A, B είναι 0, 3 και 0, 6 αντίστοιχα και της ένωσης τους 0,8 να υπολογιστούν οι πιθανότητες των γεγονότων )A B ) B A 3)(A B) 4)(A B) 5)A B 6) A B 7)(A B) (A B) 8)A B 9)A B 0) A B )(A B) (B A) ) A B 3)A B 4) A B ίνονται οι πιθανότητες και Ϲητείται να υπολογιστούν οι πιθανότητες: ) Σύµφωνα µε το Θεώρηµα.5, ισχύει ) Σύµφωνα µε το Θεώρηµα.7, ισχύει 3) Σύµφωνα µε το Θεώρηµα., ισχύει 4) Σύµφωνα µε το Θεώρηµα., ισχύει 5) Σύµφωνα µε την (.5) 6) Σύµφωνα µε την (.6) P(A)=0,3, P(B)=0,6 και P(A B)=0,8 P(A B)=P(A)+P(B) P(A B)=0, P(B A)=P(B) P(A B)=0,5 P((A B) )= P(A B)=0,9 P((A B) )= P(A B)=0,. P(A B )=P((A B) )=0,9 P(A B )=P((A B) )=0,. 7) P[(A B) (A B)] = P[(A B) (B A)] = P(A B)+P(B A)=0,7 (ϐλ. Ορισµό.), αφού P(A B) = P(A) P(A B)=0,3 0,=0, 8) P(A B)=P(B A)=0,5 9) Λόγω των (.4) και (.6), P(B A) = P(B) P(A B)=0,3 0,=0,5 5

6 6 P(A B)=P(A B )=P((A B) )=0,. 0) P(A B )=P(A B)=P(B A)=0,5. ) P(A B)=P(A )+P(B) P(A B)=0,8, αφού ) Λόγω της (.4), 3) Ισχύει αφού και 4) Σύµφωνα µε τον Ορισµό., αφού P(A )= P(A)=0,7. P(A B )=P(A B)=0, P(A B )=P(A)+P(B ) P(A B )=0,5, P(A B )=P(A B)=0, P(B )= P(B)=0,4 P((A B) (B A))=P(A B)+P(B A)=0,7, (A B) (B A)=. `Ασκηση.9 Σε ένα τυχερό παιχνίδι η πιθανότητα να κερδίσει ο παίκτης Α είναι 30%, η πιθανότητα να κερδίσει ο Β 40% και η πιθανότητα να κερδίσουν και οι δύο είναι 5%. Να υπολογιστεί η πιθανότητα: α) Να κερδίσει τουλάχιστον ένας εκ των Α, Β. ϐ) Να µην κερδίσει κανένας από τους Α και Β. γ) Να κερδίσει µόνο ένας από τους Α και Β. δ) Να κερδίσει ο Β και να µην κερδίσει ο Α. ε) Να µην κερδίσουν και οι δύο. στ) Να χάσουν και οι δύο. Ϲ) Να χάσει τουλάχιστον ένας από τους Α και Β. Θεωρούµε τα ενδεχόµενα ίνονται A κερδίζει ο παίχτης Α και B: κερδίζει ο παίχτης Β. P(A)= 30 0, P(B)= Ζητείται να υπολογιστούν οι πιθανότητες: α) Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα.5, ισχύει και P(A B)= 5 00 P(A B)=P(A)+P(B) P(A B)= ϐ) Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα., ισχύει P((A B) )= P(A B)= γ) P[(A B) (B A)]=P(A B)+P(B A)= όπου P(A B)=P(A) P(A B)= 5 00 και P(B A)=P(B) P(A B)= 5 00

7 δ) P(B A)= ε) P((A B) )= P(A B)= στ) P((A B) )= P(A B)= Ϲ) P(A B )=P((A B) )= ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΘΑΝ ΟΤΗΤΕΣ 7 Ασκηση.7 Από ένα κουτί που περιέχει 4 άσπρες και 5 µαύρες σφαίρες παίρνουµε τυχαία σφαίρες. Ποια η πιθανότητα οι σφαίρες που πήραµε: α) Να είναι και οι δύο µαύρες. ϐ) Να είναι διαφορετικού χρώµατος. γ) Τουλάχιστον µια από αυτές να είναι µαύρη. α) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου E a Οι επιλεγµένες σφαίρες είναι µαύρες, είναι P(E a )= n(e a) n(ω), όπου n(ω)=( 9 )= 9!!7! =36 το πλήθος των στοιχείων του δειγµατοχώρου Ω (πλήθος διάδων που ϕτιάχνονται από τις 9 σφαίρες) και n(e a )=( 5 )= 5!!3! =0, το πλήθος των στοιχείων του E a (πλήθος διάδων που ϕτιάχνονται από τις 5 µαύρες σφαίρες). Εποµένως ϐ) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου P(E a )= E β Οι επιλεγµένες σφαίρες είναι διαφορετικού χρώµατος, είναι P(E β )= n(e β) n(ω), όπου n(e β ) το πλήθος των διάδων στις οποίες οι σφαίρες είναι διαφορετικού χρώµατος, το οποίο είναι ίσο µε Εποµένως γ) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου είναι όπου n(e β )=4 5=0. P(E β )= 0 36 = 5 9. E γ Τουλάχιστον µια από τις επιλεγµένες σφαίρες είναι µαύρη, το πλήθος στοιχείων του ενδεχοµένου E γ P(E γ )= P(E γ), n(e γ )=( 4 )= 4!!! =6 Οι επιλεγµένες σφαίρες είναι άσπρες,

8 8 οπότε P(E γ )= P(E γ)= 6 36 = 6 = 5 6. Ασκηση.30 Ενα κουτί περιέχει 6 µαύρες και 8 άσπρες σφαίρες. Επιλέγουµε τυχαία τρεις σφαίρες τη µία µετά την άλλη. Αν η πρώτη σφαίρα και η δεύτερη σφαίρα επανατοπο- ϑετούνται, να υπολογιστούν οι πιθανότητες: α) Ακριβώς µία από τις δύο επιλεγµένες σφαίρες να είναι άσπρη. ϐ) Τουλάχιστον µία από τις δύο επιλεγµένες σφαίρες να είναι άσπρη. γ) Το πολύ µία από τις δύο επιλεγµένες σφαίρες να είναι άσπρη. δ) Η πρώτη σφαίρα να είναι άσπρη ή η δεύτερη µαύρη. ε) Καµία από τις δύο σφαίρες να µην είναι άσπρη. στ) Τουλάχιστον δύο από τις τρεις επιλεγµένες σφαίρες να είναι άσπρες. Ϲ) Το πολύ δυο από τις τρεις επιλεγµένες σφαίρες να είναι άσπρες. α) Το ενδεχόµενο γράφεται όπου όπου E a Ακριβώς µία από τις δύο επιλεγµένες σφαίρες είναι άσπρη, E a =A M M 3 M A M 3 M M A 3, A i Η i επιλεγµένη σφαίρα είναι άσπρη, i=,,3 M i Η i επιλεγµένη σφαίρα είναι µαύρη, i=,,3. Τα ενδεχόµενα A M M 3,M A M 3 και M M A 3 είναι ξένα µεταξύ τους, οπότε P(E a )=P(A M M 3 )+P(M A M 3 )+P(M M A 3 ), Επειδή η πρώτη σφαίρα και η δεύτερη σφαίρα επανατοποθετούνται, οι πιθανότητες των ενδεχοµένων A i και M i είναι n(a i )= 8 4 και n(m i)= 6 4, και τα ενδεχόµενα A,M,M 3 είναι ανεξάρτητα, οπότε P(A M M 3 )=P(A )P(M )P(M 3 )= =0,05. `Οµοια P(M A M 3 )=P(M M A 3 )=0,05, οπότε η(i) δίνει P(E a )=3 0,05=0,35. (i) ϐ) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου E β : τουλάχιστον µια από τις επιλεγµένες σφαίρες είναι άσπρη είναι όπου P(E β )= P(E β ) (ii) E β =M M M 3 και τα ενδεχόµενα M,M,M 3 είναι ανεξάρτητα, οπότε P(E β )=P(M ) P(M ) P(M 3 )= = =0,079 οπότε η(ii) δίνει γ) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου E γ : το πολύ µια σφαίρα είναι άσπρη είναι P(E β )= 0,079=0,9

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΘΑΝ ΟΤΗΤΕΣ 9 P(E γ ) = P(A M M 3 M A M 3 M M A 3 M M M 3 ) P(E γ ) = P(A )P(M )P(M 3 )+P(M )P(A )P(M 3 )+P(M )P(M )P(A 3 ) +P(M )P(M )P(M 3 ) 8 = ( ) 864 = = =0,39 δ) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου E δ : η πρώτη σφαίρα είναι άσπρη ή η δεύτερη είναι µαύρη όπου P(E δ )= P(E δ ) (iv) E δ =M A A 3 M A M 3 τα ενδεχόµενα M A A 3 και M A M 3 είναι ξένα µεταξύ τους, εποµένως οπότε η(iv) δίνει P(E δ ) = P(M A A 3 )+P(M A M 3 ) P(E δ ) = P(M )P(A )P(A 3 )+P(M )P(A )P(M 3 ) P(E δ ) = P(E δ ) = =0,45 P(E δ )= 0,45=0,755 ε) Το ενδεχόµενο E ǫ : καµιά από τις δυο σφαίρες να µην είναι άσπρη γράφεται του οποίου η πιθανότητα είναι E ǫ =M M M 3 M M A 3 P(E ǫ ) = P(M M M 3 )+P(M M A 3 ) = P(M )P(M )P(M 3 )+P(M )P(M )P(A 3 ) στ) Το ενδεχόµενο γράφεται = 0,079+0,05=0,84 E στ : τουλάχιστον δύο από τις τρεις σφαίρες είναι άσπρες τα ενδεχόµενα είναι ξένα µεταξύ τους, εποµένως E στ =A A M 3 A M A 3 M A A 3 A A A 3 P(E στ ) = P(A A M 3 )+P(A M A 3 )+P(M A A 3 )+P(A A A 3 ) = 3 ( 8 4 ) 6 4 +( ) = = =0,6 Ϲ) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου γράφεται ως E ζ : Το πολύ δύο από τις τρεις σφαίρες είναι άσπρες P(E ζ )= P(E ζ )= ( 8 4 )3 = =0,8

10 0 Ασκηση.3 Ο Άκης, η Λίζα και 4 άλλα παιδιά κάθονται σε 6 καρέκλες στη σειρά τυχαία. Ποια η πιθανότητα ο Άκης να κάθεται δίπλα στη Λίζα; Η πιθανότητα του ενδεχοµένου E Ο Άκης κάθεται δίπλα στη Λίζα, είναι P(E)= n(e) n(ω), όπου n(ω) = 6! το πλήθος των στοιχείων του δειγµατοχώρου Ω (πλήθος µεταθέσεων 6 αντικειµένων) και n(e)=5 4!, το πλήθος των τρόπων µε τους οποίους ο Άκης κάθεται δίπλα στη Λίζα. Εποµένως P(E)= 5 4! 6! = 3. Ασκηση.3 α) Πόσες λέξεις των 5 γραµµάτων ϕτιάχνονται µε τα γράµµατα Α, Β, Γ, και Ε µε επανάληψη; ϐ) Να υπολογιστεί η πιθανότητα µια τέτοια λέξη να µην περιέχει ϕωνήεν. α) Το πλήθος των λέξεων αυτών είναι ίσο µε τον αριθµό διατάξεων των 5 γραµµάτων σε πεντάδες µε επανάληψη, δηλαδή 5 5. ϐ) Η πιθανότητα µια τέτοια λέξη να µην περιέχει ϕωνήεν είναι ίση µε P(E)= P(E )= =0, Ασκηση.33 Επιλέγουµε τυχαία πέντε ϕύλλα από µία τράπουλα των 5 ϕύλλων. Να υπολογιστεί η πιθανότητα: α) και τα πέντε ϕύλλα να είναι κούπες, ϐ) η επιλεγµένη πεντάδα να είναι τρεις άσσοι και δύο δεκάρια, γ) η επιλεγµένη πεντάδα να είναι δύο ντάµες, δύο πεντάρια και ένας ϱήγας. α) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου E a Και τα πέντε ϕύλλα είναι κούπες, είναι P(E a )= n(e a) n(ω), όπου n(ω)=( 5 5 )= 5! 5!47! = το πλήθος των στοιχείων του δειγµατοχώρου Ω (πλήθος πεντάδων που ϕτιάχνονται από τα 5 ϕύλλα) και n(e a )=( 3 5 )= 3! 5!8! =87, το πλήθος των στοιχείων του E a (πλήθος πεντάδων που ϕτιάχνονται από τις 3 κούπες). Εποµένως P(E a )= =0,

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΘΑΝ ΟΤΗΤΕΣ ϐ) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου E β Η επιλεγµένη πεντάδα είναι τρεις άσσοι και δύο δεκάρια, είναι P(E β )= n(e β) n(ω). Το πλήθος των στοιχείων του E β είναι (τρεις άσσοι από τους 4 και δύο δεκάρια από τα 4) Εποµένως n(e β )=( 4 3 )( 4 P(E a )= 4! 4! )= 3!!!! =4 6=4, =9, γ) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου E γ προκύπτουν δύο ντάµες, δύο πεντάρια και ένας ϱήγας, είναι P(E γ )= n(e γ) n(ω). Το πλήθος των στοιχείων του E γ είναι (δύο ντάµες από τις 4, δύο πεντάρια από τα 4 και ένας ϱήγας από τους 4) Εποµένως n(e γ )=( 4 )( 4 P(E γ )= 4! 4! ) 4=!!!! 4=44, =5, Ασκηση.34 Να δειχθεί ότι για κάθε n,k N µε n>k ισχύει n k = n k +k n k. n k +k n k = = = = = = = (n )! (n k)! +k (n )! [n (k )]! (n )! (n k )! +k(n )! (n k)! (n )! (n k )! +k (n )! (n k)(n k )! (n )! (n k )! (+ k (n k) ) (n )! n (n k )!(n k) (n )!n (n k)(n k )! n! (n k)! = n k Β Βλ. άσκ..7

12 Ασκηση.35 Τέσσερις οδηγοί ϐάζουν ϐενζίνη κάθε ευτέρα στα αυτοκίνητα τους επιλέγοντας τυχαία ένα από τα 6 πρατήρια της περιοχής. Να υπολογιστεί η πιθανότητα µια ευτέρα και οι 4 οδηγοί να ϐάλουν ϐενζίνη σε δύο πρατήρια. Η πιθανότητα του ενδεχοµένου είναι E Οι 4 οδηγοί ϐάζουν ϐενζίνη σε δύο πρατήρια P(E)= n(e) n(ω), όπου n(ω)=6 4 (αριθµός τρόπων κατανοµής 4 διακριτών σφαιριδίων σε 6 κελιά) και n(e)=( 6 )4 = 6!!4! 4 =5 4 ο αριθµός τρόπων κατανοµής 4 διακριτών σφαιριδίων σε από τα 6 κελιά, οπότε P(E)= =5 ( 3 ) 4 =0,85. Ασκηση.36 Να δειχθεί ότι το πλήθος λέξεων των πέντε γραµµάτων που ϕτιάχνονται από τα γράµµατα Α, Β, Γ,, Ε, Ζ, Η, Θ, Ι, Κ χωρίς επανάληψη είναι ίσο µε το άθροισµα του πλήθους λέξεων των πέντε γραµµάτων που ϕτιάχνονται από τα Β, Γ,, Ε, Ζ, Η, Θ, Ι, Κ χωρίς επανάληψη συν 5 ϕορές το πλήθος λέξεων των τεσσάρων γραµµάτων που ϕτιάχνονται από τα Β, Γ,, Ε, Ζ, Η, Θ, Ι, Κ χωρίς επανάληψη. Το πλήθος λέξεων των πέντε γραµµάτων που ϕτιάχνονται από τα γράµµατα Α, Β, Γ,, Ε, Ζ, Η, Θ, Ι, Κ χωρίς επανάληψη είναι ίσο µε 0 5, το πλήθος λέξεων των πέντε γραµµάτων που ϕτιάχνονται από τα Β, Γ,, Ε, Ζ, Η, Θ, Ι, Κ χωρίς επανάληψη είναι 9 5 και το πλήθος λέξεων των τεσσάρων γραµµάτων που ϕτιάχνονται από τα Β, Γ,, Ε, Ζ, Η, Θ, Ι, Κ χωρίς επανάληψη είναι 9 4. Εποµένως πρέπει να δείξουµε ότι το οποίο δείχνουµε στην `Ασκηση = , Ασκηση.37 Στη Μ. Βρετανία οι αριθµοί των αυτοκινήτων αποτελούνται από 3 γράµµατα ακολουθούµενα από 3 ψηφία. Να υπολογιστεί η πιθανότητα µία πινακίδα να περιέχει: α) Τα γράµµατα A,B,C. ϐ) Τα γράµµατα P,Q,R χωρίς επανάληψη. γ) Τα γράµµατα Α, Β και τα ψηφία 0,. δ) Τα γράµµατα A,B,C και τα ψηφία 7, 8, 9 χωρίς επανάληψη. α) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου E a Η πινακίδα περιέχει τα γράµµατα A,B,C είναι P(E a )= n(e a) n(ω),

13 όπου n(ω)= ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΘΑΝ ΟΤΗΤΕΣ 3 (αριθµός διατάξεων των 6 γραµµάτων ανά 3 µε επανάληψη επί το πλήθος διατάξεων των 0 ψηφίων ανά 3 µε επανάληψη) και n(e a )= (αριθµός διατάξεων των 3 γραµµάτων A,B,C ανά 3 µε επανάληψη επί το πλήθος διατάξεων των 0 ψηφίων ανά 3 µε επανάληψη), οπότε P(E a )= =( 3 6 ) 3 =0,005. ϐ) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου E β Η πινακίδα περιέχει τα γράµµατα P,Q,R χωρίς επανάληψη είναι P(E β )= n(e β) n(ω), όπου n(e β )=3! 0 3 (αριθµός µεταθέσεων των 3 γραµµάτων P,Q,R επί το πλήθος διατάξεων των 0 ψηφίων ανά 3 µε επανάληψη), οπότε P(E β )= 3! 03 3! = 6 3=0, γ) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου E γ Η πινακίδα περιέχει τα γράµµατα A,B και τα ψηφία 0, είναι P(E γ )= n(e γ) n(ω), όπου n(e γ )=( )( ) (αριθµός διατάξεων των 6 γραµµάτων που περιέχουν τα Α, Β, ανά 3 µε επανάληψη, επί το πλήθος διατάξεων ανά 3 µε επανάληψη των 0 ψηφίων που περιέχουν τα 0 και ), οπότε P(E γ ) = ( )( ) =( ( 4 6 ) 3 )( ( 8 0 ) 3 ) = 0,04. δ) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου E δ Η πινακίδα περιέχει τα A,B,C και τα 7, 8, 9 χωρίς επανάληψη είναι όπου P(E δ )= n(e δ) n(ω), n(e δ )=3! 3! (αριθµός µεταθέσεων των 3 γραµµάτων P,Q,R επί αριθµός µεταθέσεων των 3 ψηφίων 7, 8, 9), οπότε P(E δ )= 3! 3! =, Ασκηση.38 Τρεις παίκτες Α, Β, Γ ϱίχνουν ένα τετραεδρικό Ϲάρι (από τη ϱίψη του προκύπτει,, 3 ή 4 µε ίσες πιθανότητες) µε τη σειρά αυτή. Κερδίζει όποιος ϕέρει πρώτος 4. Να ϐρεθεί η πιθανότητα να κερδίσει: α) ο Α ϐ) ο Β γ) ο Γ.

14 4 α) Το ενδεχόµενο γράφεται όπου Επειδή τα ενδεχόµενα E ai είναι ξένα µεταξύ τους, E a Κερδίζει ο παίκτης Α E a =E a E a... E ai Κερδίζει ο παίκτης Α στην i ϱίψη, i=,,... P(E a )=P(E a )+P(E a )+... (i) Επειδή η πιθανότητα επιτυχίας σε µια ϱίψη είναι 4 και αποτυχίας 3 4, Επίσης, επειδή το E a γράφεται ως P(E a )= 4. E a Και οι 3 παίκτες αποτυγχάνουν στην πρώτη ϱίψη και ο Α επιτυγχάνει στην δεύτερη, P(E a )= =(3 4 )3 4. `Οµοια P(E a3 )=( 3 4 ) 3 ( 3 4 )3 4 =(3 4 )6 4, οπότε η(i) δίνει P(E a ) = 4 +(3 4 )3 4 +(3 4 ) = 3 4 (+(3 4 ) +( ) 4 ) = 4 = = 6 37 ( 3 4 ) 3 ϐ) `Οµοια προκύπτει ότι η πιθανότητα του ενδεχοµένου E β Κερδίζει ο παίκτης Β είναι P(E β )=P(E β )+P(E β )+... (ii) Επίσης, επειδή το E β γράφεται ως E β Ο παίκτης Α αποτυγχάνει στην πρώτη ϱίψη και ο Β επιτυγχάνει στην πρώτη ϱίψη, Επίσης, επειδή το E β γράφεται ως P(E β )= E β Και οι 3 παίκτες αποτυγχάνουν στην πρώτη ϱίψη, ο Α αποτυγχάνει στην δεύτερη και ο Β επιτυγχάνει στην δεύτερη, P(E β )=( )3 44. `Οµοια P(E β3 )=( ) ( )3 44 =(3 3 4 )6 44,

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΘΑΝ ΟΤΗΤΕΣ 5 οπότε P(E β ) = (3 3 4 )3 44 +(3 3 4 ) = (+(3 4 ) +( ) 4 ) = 3 44 ( ) 3 = = 37 `Οµοια προκύπτει ότι P(E γ ) = ( ) ( ) = (+(3 4 ) +( ) 4 ) = ( ) = = Ασκηση.39 Ενα κουτί περιέχει 5 άσπρες χάντρες και 4 µαύρες. Παίρνουµε τυχαία µία χάντρα και στη συνέχεια άλλη µία. Να ϐρεθεί η πιθανότητα η µία χάντρα να είναι άσπρη και η άλλη µαύρη: α) Αν η πρώτη χάντρα επανατοποθετήθηκε. ϐ) Αν η πρώτη χάντρα δεν επανατοποθετήθηκε. α) Το ενδεχόµενο γράφεται E Η µία χάντρα είναι άσπρη και η άλλη µαύρη, όπου όπου E=A M M A, A i Η i επιλεγµένη σφαίρα είναι άσπρη, i=, M i Η i επιλεγµένη σφαίρα είναι µαύρη, i=,. Τα ενδεχόµενα A M και M A είναι ξένα µεταξύ τους, οπότε P(E)=P(A M )+P(M A ), (i) Επειδή η πρώτη σφαίρα επανατοποθετείται, οι πιθανότητες των ενδεχοµένων A i και M i είναι n(a i )= 5 9 και n(m i)= 4 9, και τα ενδεχόµενα A,M είναι ανεξάρτητα, οπότε

16 6 `Οµοια οπότε η(i) δίνει P(A M )=P(A )P(M )= =0,47. P(M A )=0,47, P(E)= 0,47=0,494. ϐ) Στην περίπτωση αυτή (µη επανατοποθέτηση) το πλήθος των στοιχείων του δειγµατοχώρου Ω είναι ίσο µε το πλήθος διάδων που ϕτιάχνονται από τις 9 χάντρες n(ω)=( 9 )= 9!!7! =36 και το πλήθος των στοιχείων του E είναι ίσο µε το πλήθος διάδων χαντρών διαφορετικού χρώµατος n(e)=4 5=0, Εποµένως P(E)= 0 36 =0,556. Ασκηση.40 Πόσες είναι όλες οι λέξεις (µε,,3,4 ή 5 γράµµατα) που µπορούµε να ϕτιάξουµε µε τα γράµµατα Α, Β, Γ,, Ε χωρίς επανάληψη. Το πλήθος των λέξεων µε,,3,4 ή 5 γράµµατα που µπορούµε να ϕτιάξουµε µε τα γράµµατα Α, Β, Γ,, Ε χωρίς επανάληψη είναι !=5+ 5! 3! + 5!! + 5!! +5!=35. Ασκηση.4 Πόσες λέξεις µπορούµε να ϕτιάξουµε µε όλα τα γράµµατα της λέξης ΒΙΟΛΟΓΙΑ ; Επειδή η λέξη αυτή των 8 γραµµάτων περιέχει Ι και Ο, µε τα γράµµατα της µπορούµε να σχηµατίσουµε 8!!! =0080. Ασκηση.4 Μια οικογένεια αποτελείται από τον πατέρα, τη µητέρα και οκτώ παιδιά. α) Σε ένα γάµο οικογένεια έχει κληθεί να στείλει 4 άτοµα. Αν τα άτοµα αυτά επιλεχθούν τυχαία να υπολογιστεί η πιθανότητα να πάνε στο γάµο: i) Και οι δύο γονείς. ii) Ενας από τους δύο γονείς. iii) Κανένας από τους γονείς. ϐ) Αν τα οκτώ παιδιά χωριστούν τυχαία σε δύο οµάδες των τεσσάρων ατόµων, να υπολογιστεί η πιθανότητα τα δύο µεγαλύτερα αδέλφια να είναι στην ίδια οµάδα. α) i) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου E Καλούνται οι δύο γονείς είναι P(E )= n(e ) n(ω)

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΘΑΝ ΟΤΗΤΕΣ 7 όπου n(ω) = αριθµός συνδυασµών 0 ατόµων ανά 4 = ( 0 4 )= 0! 4!6! = 0 n(e ) = αριθµός συνδυασµών 8 ατόµων (παιδιά) ανά = ( 8 )= 8!!6! = 8, οπότε P(E )= 8 0 =0,33. ii) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου E Καλείται ένας από τους δύο γονείς είναι P(E )= n(e ) n(ω) όπου n(e ) = αριθµός συνδυασµών 8 ατόµων (παιδιά) ανά 3 = ( 8 3 )= 8! 3!5! = 56=, οπότε P(E )= 0 =0,533. iii) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου E 3 εν καλείται κανένας από τους δύο γονείς είναι P(E 3 )= n(e 3) n(ω) όπου n(e 3 ) = αριθµός συνδυασµών 8 ατόµων (παιδιά) ανά 4 = ( 8 4 = 70, )= 8! 4!4! οπότε P(E 3 )= 70 0 = 3.

18 8 Ασκηση.43 Οι πινακίδες αυτοκινήτων σε µια χώρα αποτελούνται από 3 γράµµατα, από τα 4 του αλφαβήτου της, ακολουθούµενα από ένα τετραψήφιο αριθµό (χωρίς µηδενικά στην αρχή). Να ϐρεθεί η πιθανότητα η πινακίδα ενός τυχαία επιλεγµένου αυτοκινήτου: α) να ξεκινάει µε Α, ϐ) να περιέχει τουλάχιστον ένα Α, γ) να περιέχει ακριβώς ένα Α, δ) να περιέχει τουλάχιστον ένα Α ή ένα Β, ε) να περιέχει τα Α και Β (τουλάχιστον µία ϕορά το καθένα), στ) να µην περιέχει κανένα άρτιο ψηφίο, Ϲ) να περιέχει τουλάχιστον ένα µηδέν, η) να µην περιέχει το, ϑ) να µην περιέχει δύο ίδια γράµµατα (δηλαδή και τα τρία γράµµατα της να είναι διαφορετικά). Το πλήθος των στοιχείων του δειγµατοχώρου είναι (πλήθος διατάξεων 4 γραµµάτων σε τριάδες µε επανάληψη επί 9 (το πρώτο ψηφίο είναι,,...,9) επί πλήθος διατάξεων 0 ψηφίων σε τριάδες µε επανάληψη (τα άλλα 3 ψηφία του αριθµού) α) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου n(ω)= E a Η πινακίδα ξεκινάει µε Α είναι (πλήθος διατάξεων 4 γραµµάτων σε διάδες µε επανάληψη επί 9 (για τα ψηφία,,...,9) επί πλήθος διατάξεων 0 ψηφίων σε τριάδες µε επανάληψη) οπότε η πιθανότητα του είναι ϐ) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου n(e a )= , P(E a )= n(e a) n(ω) = = 4 =0,04. E β Η πινακίδα περιέχει τουλάχιστον ένα Α είναι P(E β )= P(E β ), όπου E β Η πινακίδα δεν περιέχει κανένα Α. Το πλήθος στοιχείων του E β είναι (πλήθος διατάξεων των 3 γραµµάτων (πλήν του Α) σε τριάδες µε επανάληψη επί 9 (για τα ψηφία,,...,9) επί πλήθος διατάξεων 0 ψηφίων σε τριάδες µε επανάληψη) οπότε n(e β )= , P(E β ) = n(e β ) n(ω) = = (3 4 ) = 0,0. γ) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου E γ Η πινακίδα περιέχει ακριβώς ένα Α είναι n(e γ )= , οπότε η πιθανότητα του είναι

19 δ) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου P(E γ )= n(e γ) n(ω) = =0,5. E δ Η πινακίδα περιέχει τουλάχιστον ένα Α ή ένα Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΘΑΝ ΟΤΗΤΕΣ 9 είναι όπου P(E δ )= P(E δ ), E δ Η πινακίδα δεν περιέχει κανένα Α ή Β. Το πλήθος στοιχείων του E β είναι (πλήθος διατάξεων των γραµµάτων (πλην των Α, Β) σε τριάδες µε επανάληψη επί 9 (για τα ψηφία,,...,9), επί το πλήθος διατάξεων 0 ψηφίων σε τριάδες µε επανάληψη) οπότε n(e δ )= , P(E δ ) = n(e δ ) n(ω) = = ( 4 ) = 0,30. ε) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου E ǫ Η πινακίδα περιέχει τα Α και Β (τουλάχιστον µία ϕορά το καθένα) είναι n(e ǫ )=( 3 ) = , οπότε η πιθανότητα του είναι στ) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου P(E ǫ )= n(e ǫ) n(ω) = = 4 3=0,00. E στ Η πινακίδα δεν περιέχει κανένα άρτιο ψηφίο είναι (πλήθος διατάξεων 4 γραµµάτων σε τριάδες µε επανάληψη επί πλήθος διατάξεων 5 ψηφίων (,3,5,7,9) σε τετράδες µε επανάληψη) οπότε η πιθανότητα του είναι Ϲ) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου n(e στ )= , P(E στ )= n(e στ) n(ω) = =0,069. E ζ Η πινακίδα περιέχει τουλάχιστον ένα µηδέν είναι P(E ζ )= P(E ζ ), όπου E ζ Η πινακίδα δεν περιέχει κανένα µηδέν. Το πλήθος στοιχείων του E ζ είναι (πλήθος διατάξεων των 4 γραµµάτων σε τριάδες µε επανάληψη επί πλήθος διατάξεων 9 ψηφίων (,,...,9) σε τετράδες µε επανάληψη) n(e ζ )=43 9 4, οπότε P(E ζ )= n(e ζ ) n(ω) = =0,7.

20 0 η) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου E η Η πινακίδα δεν περιέχει το είναι n(e η )= , οπότε η πιθανότητα του είναι ϑ) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου P(E η )= n(e η) n(ω) = =0,648. E θ Η πινακίδα δεν περιέχει δύο ίδια γράµµατα είναι n(e θ )= = 4!! 9 03 = , (πλήθος διατάξεων των 4 γραµµάτων σε τριάδες χωρίς επανάληψη επί 9 (για τα ψηφία,,...,9) επί πλήθος διατάξεων 0 ψηφίων σε τριάδες µε επανάληψη) οπότε η πιθανότητα του είναι P(E θ )= n(e θ) n(ω) = =0,878. Ασκηση.44 Σε ένα λαχείο κληρώνεται ένας αριθµός από έως Να ϐρεθεί η πιθανότητα ο αριθµός που κληρώθηκε: α) Να έχει τουλάχιστον δύο ίδια ψηφία. ϐ) Να περιέχει 3 ϕορές το ίδιο ψηφίο. α) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου είναι όπου E a Ο αριθµός περιέχει τουλάχιστον δύο ίδια ψηφία P(E a )= P(E a), E a Ο αριθµός δεν περιέχει ίδια ψηφία. Το πλήθος στοιχείων του E a είναι ίσο µε (το πρώτο ψηφίο δεν µπορεί να είναι µηδέν) το πλήθος αριθµών µε ένα ψηφίο (9) συν πλήθος αριθµών µε δύο διαφορετικά ψηφία (9 9) συν πλήθος αριθµών µε 3 διαφορετικά ψηφία (9 9 ) συν πλήθος αριθµών µε 4 διαφορετικά ψηφία (9 9 3 ) συν πλήθος αριθµών µε 5 διαφορετικά ψηφία (9 9 4 ) συν πλήθος αριθµών µε 6 διαφορετικά ψηφία (9 9 5 ) συν ένα, οπότε n(e a ) = = 9(+9+ 9! 7! + 9! 6! + 9! 5! + 9! 4! )+ = 6857 οπότε P(E a )= =0,83. ϐ) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου E β Ο αριθµός που κληρώθηκε περιέχει 3 ϕόρες το ίδιο ψηφίο είναι n(e b )=n 3 +n 4 +n 5 +n 6, όπου n 3,n 4,n 5 και n 6 το πλήθος των τριψήφιων, τετραψήφιων, πενταψήφιων και εξαψήφιων αριθ- µών αντίστοιχα µε 3 ίδια ψηφία. Προφανώς n 3 =9.

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΘΑΝ ΟΤΗΤΕΣ Το πλήθος των τετραψήφιων αριθµών που περιέχουν 3 ϕορές το είναι (το µηδέν δεν µπορεί να είναι πρώτο ψηφίο) 8+( 3 ) 9=35 (8 είναι οι αριθµοί,3,...,9 και το πλήθος των αριθµών που έχουν πρώτο ψηφίο το είναι ίσο µε το πλήθος των τρόπων επιλογής ϑέσεων από τις 3 στις οποίες υπάρχει επί το πλήθος των τρόπων επιλογής ενός ακόµη ψηφίου από τα 0,,3...,9). `Ιδιο προκύπτει το πλήθος των τετραψήφιων που περιέχουν 3 ϕορές το ή το 3 ή... το 9. Το πλήθος των τετραψήφιων που περιέχουν 3 ϕορές το 0 είναι 9 (αριθµοί 000,000,...,9000) `Αρα το πλήθος των τετραψήφιων µε 3 ίδια ψηφία είναι n 4 =9 35+9=34. Το πλήθος των πενταψήφιων αριθµών που περιέχουν 3 ϕορές το είναι ίσο µε το άθροισµα του πλήθους πενταψήφιων µε πρώτο ψηφίο το και του πλήθους πενταψήφιων µε πρώτο ψηφίο διάφορο του 0 και του (αυτός ο χωρισµός γίνεται επειδή το µηδέν δεν µπορεί να είναι πρώτο ψηφίο) ( 4 ) 9 +8( 4 3 ) 9=774. `Ιδιο προκύπτει το πλήθος των πενταψήφιων αριθµών που περιέχουν 3 ϕορές το ή το 3 ή... το 9. Το πλήθος των πενταψήφιων που περιέχουν 3 ϕορές το 0 είναι 9( 4 3 ) 9=34 (9 είναι οι τρόποι επιλογής του πρώτου ψηφίου από τα,,...,9 και( 4 3 ) είναι οι τρόποι επιλογής των ϑέσεων των τριών 0 από τις 4. Το επί 9 είναι για τους τρόπους επιλογής του άλλου ϕηφίου από τα,,...,9). `Αρα το πλήθος των πενταψήφιων αριθµών µε 3 ίδια ψηφία είναι n 5 = =790. Το πλήθος των εξαψήφιων αριθµών που περιέχουν 3 ϕορές το είναι ίσο µε το άθροισµα του πλήθους εξαψήφιων µε πρώτο ψηφίο το και του πλήθους εξαψήφιων µε πρώτο ψηφίο του 0 και του ( 5 ) 93 +8( 5 3 ) 9 =3770. `Ιδιο προκύπτει το πλήθος των εξαψήφιων αριθµών που περιέχουν 3 ϕορές το ή το 3 ή... το 9. Το πλήθος των εξαψήφιων αριθµών που περιέχουν 3 ϕορές το 0 είναι 9( 5 3 ) 9 =790 (9 είναι οι τρόποι επιλογής του πρώτου ψηφίου από τα,,...,9 και( 5 3 ) είναι οι τρόποι επιλογής των ϑέσεων των τριών 0 από τις 5. Το επί 9 είναι για τους τρόπους επιλογής των άλλων δύο ϕηφίων από τα,,...,9). Στα παραπάνω µετρήσαµε δύο ϕορές τους αριθµούς που περιέχουν δύο τριάδες ίδιων ψηφίων, όπως π.χ τον, οπότε πρέπει να αφαιρέσουµε από τα παραπάνω πλήθη το πλήθος αυτών των εξαψήφιων αριθµών, το οποίο είναι ίσο µε (ο χωρισµός γίνεται επειδή το µηδέν δεν µπορεί να είναι πρώτο ψηφίο)

22 ( 9 ) 6! 3!3! +9 5! 3!! =80 (( 9 ) 6! είναι το πλήθος τρόπων επιλογής ψηφίων από τα,,...,9 επί τον αριθµό µεταθέσεων 3!3! 6 αντικειµένων εκ των οποίων τα τρία είναι ίδια και τα άλλα τρία ίδια και 9 αριθµών µε 3 µηδενικά και 3 άλλα ίδια ψηφία, π.χ 000). `Αρα το πλήθος των εξαψήφιων αριθµών µε 3 ίδια ψηφία είναι n 6 = = ! 3!! είναι το πλήθος Ασκηση.45 Στο ασανσέρ ενός κτηρίου 8 ορόφων µπαίνουν 6 άτοµα στο ισόγειο. Αν ο καθένας κατεβαίνει τυχαία σε ένα όροφο, να ϐρεθεί η πιθανότητα: α) Να κατέβουν όλοι στον ίδιο όροφο. ϐ) Να κατέβουν όλοι σε διαφορετικούς ορόφους. γ) Να κατέβουν άτοµα στον δεύτερο όροφο. δ) Να κατέβουν άτοµα στον δεύτερο όροφο και στον τέταρτο. ε) Ο Α και ο Β να κατέβουν στον δεύτερο όροφο. στ) Να κατέβουν όλοι στον τρίτο και τέταρτο ορόφο. Ϲ) Να κατέβουν όλοι σε δύο ορόφους. Το πλήθος των στοιχείων του δειγµατοχώρου είναι ίσο µε τον αριθµό τρόπων κατανοµής 6 διαφο- ϱετικών σφαιριδίων σε 8 κελιά, οπότε α) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου n(ω)=8 6. E a Κατεβαίνουν όλοι στον ίδιο όροφο είναι n(e a )=8, οπότε η πιθανότητα του είναι ϐ) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου P(E a )= n(e a) n(ω) = 8 8 6= 8 5=0, E β Κατεβαίνουν όλοι σε διαφορετικούς ορόφους είναι ίσο µε τον αριθµό τρόπων κατανοµής 6 διαφορετικών σφαιριδίων σε 8 κελιά µε το πολύ ένα σφαιρίδιο σε κάθε κελί, οπότε οπότε η πιθανότητα του είναι γ) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου n(e β )= 8 6= 8!! =060, P(E β )= n(e a) n(ω) = = 8 5=0,077. E γ Κατεβαίνουν άτοµα στον δεύτερο όροφο είναι ίσο µε τον αριθµό τρόπων επιλογής ατόµων από τα 6 (συνδυασµοί των 6 ανά ) επί τον αριθµό τρόπων κατανοµής 4 διαφορετικών σφαιριδίων σε 7 κελιά µε το πολύ ένα σφαιρίδιο σε κάθε κελί, οπότε οπότε η πιθανότητα του είναι n(e γ )=( 6 )74 = 6!!4! 74 =5 7 4 =36.05,

23 δ) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου P(E γ )= n(e γ) n(ω) = =0,37. ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΘΑΝ ΟΤΗΤΕΣ 3 E δ Κατεβαίνουν άτοµα στον δεύτερο όροφο και στον τέταρτο είναι ίσο µε τον αριθµό τρόπων επιλογής ατόµων από τα 6 ( άτοµα κατεβαίνουν στον δεύτερο όροφο) επί τον αριθµό τρόπων επιλογής ατόµων από τα 4 ( άτοµα κατεβαίνουν στον τέταρτο όροφο) επί τον αριθµό τρόπων κατανοµής διαφορετικών σφαιριδίων σε 6 κελιά µε το πολύ ένα σφαιρίδιο σε κάθε κελί (τα υπόλοιπα δύο άτοµα κατεβαίνουν στους άλλους 6 ορόφους), οπότε οπότε η πιθανότητα του είναι ε) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου n(e δ )=( 6 )( 4 )6 = 6! 4! 4!!!! 6 =340, P(E δ )= n(e δ) n(ω) = =0,0. E ǫ Ο Α και ο Β κατεβαίνουν στον δεύτερο όροφο είναι ίσο µε τον αριθµό τρόπων κατανοµής 4 διαφορετικών σφαιριδίων σε 8 κελιά (τα υπόλοιπα 4 άτοµα κατεβαίνουν σε κάποιον από τους 8 ορόφους), οπότε οπότε η πιθανότητα του είναι n(e ǫ )=8 4, P(E ǫ )= =0,06. στ) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου E στ όλοι κατεβαίνουν στον τρίτο και τέταρτο όροφο είναι ίσο µε τον αριθµό τρόπων κατανοµής 6 διαφορετικών σφαιριδίων σε κελιά, οπότε οπότε η πιθανότητά του είναι n(e στ )= 6, P(E στ )= 6 8 6=0,000. Ϲ) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου E στ όλοι κατεβαίνουν σε δύο ορόφους είναι ίσο µε τον αριθµό τρόπων επιλογής δύο ορόφων από τους 8, επί τον αριθµό τρόπων κατανοµής 6 διαφορετικών σφαιριδίων σε κελιά, οπότε οπότε η πιθανότητά του είναι n(e z )=( 8 )6 = 8!!6! 6 =79, P(E z )= =0,0068. Ασκηση.47 Επιλέγουµε τυχαία 5 ϕοιτητές από ένα τµήµα 0 ϕοιτητών. Να υπολογισθούν οι πιθανότητες: α) Να επιλεγεί ο ϕοιτητής Α. ϐ) Να επιλεγεί ο Α και ο Β. γ) Να επιλεγεί ο Α και να µην επιλεγεί ο Β. δ) Να µην επιλεγούν οι ϕοιτητές Α, Β και Γ. ε) Να επιλεγεί τουλάχιστον ένας από τους Α, Β ή Γ.

24 4 α) Η πιθανότητα να επιλεγεί ο Α είναι P = n n(ω) όπουn το πλήθος συνδυασµών που περιέχουν τον Α, το οποίο είναι ίσο µε το πλήθος συνδυασµών των 9 ανά 4, οπότε n(ω) = ( 0 5 )= 0! 5!5! =5504 n = ( 9 4 )= 9! 4!5! =3876. Εποµένως P = =0,5. ϐ) Η πιθανότητα να επιλεγούν οι ϕοιτητές Α και ο Β είναι P = n n(ω) όπου n το πλήθος τριάδων που περιέχουν τον Α και τον Β, το οποίο είναι ίσο µε το πλήθος συνδυασµών 8 ανά 3, οπότε n =( 8 3 )= 8! 3!5! =86. Εποµένως P = =0,053. γ) Η πιθανότητα να επιλεγεί ο ϕοιτητής Α και να µην επιλεγεί ο Β είναι P 3 = n 3 n(ω) όπου n 3 το πλήθος των συνδυασµών που περιέχουν τον Α και δεν περιέχουν τον Β, το οποίο είναι ίσο µε το πλήθος συνδυασµών 8 ανά 4, οπότε n 3 =( 8 4 )= 8! 4!4! =3060. Εποµένως P 3 = =0,97. δ) Η πιθανότητα να µην επιλεγεί κανένας από τους Α, Β ή Γ είναι P 4 = n 4 n(ω) όπου n 4 το πλήθος πεντάδων που δεν περιέχουν τους Α, Β και Γ, το οποίο είναι ίσο µε το πλήθος συνδυασµών των άλλων 7 ϕοιτητών σε πεντάδες, οπότε n 4 =( 7 5 )= 7! 5!! =688 και P 4 = n 4 n(ω) = =0,09 ε) Η πιθανότητα να επιλεγεί τουλάχιστον ένας από τους Α, Β ή Γ είναι P 5 = P 4 = 0,09=0,89.

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΘΑΝ ΟΤΗΤΕΣ 5 Ασκηση.48 Για ένα παίκτη του γκολφ η πιθανότητα επιτυχούς ϐολής όταν ϕυσάει είναι 0,3 ενώ όταν δεν ϕυσάει 0,6. Αν η πιθανότητα να ϕυσάει είναι 0,, να υπολογιστούν οι πιθανότητες: α) `Ενας παίκτης να πετύχει µια ϐολή. ϐ) Να µην ϕυσάει µε δεδοµένο ότι πέτυχε η ϐολή ενός παίκτη. Αν E Η ϐολή είναι επιτυχής και οπότε η πιθανότητα να πετύχει µία ϐολή είναι A Φυσάει P(A)=0,, P(E A)=0,3 και P(E A )=0,6 P(E)=P(E A)P(A)+P(E A )P(A )=0,3 0,+0,6( 0,)=0,54. ϐ) Η πιθανότητα να µην ϕυσάει µε δεδοµένο ότι πέτυχε η ϐολή είναι P(A E)= P(E A )P(A ) P(E) = 0,6 ( 0,) 0,54 =0,889. Ασκηση.49 `Ενας παίκτης του πόκερ παίρνει τυχαία 5 ϕύλλα από µία τράπουλα των 5 ϕύλλων. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες ο παίκτης: α) Να έχει 4 άσσους. ϐ) Να έχει άσσους. γ) Να έχει τουλάχιστον έναν άσσο. δ) Να έχει 4 καρέ, δηλαδή 4 όµοια (π.χ. 4 άσσους, 4 ϐαλέδες, 4 δυάρια,... ). ε) Να έχει ϕουλ του άσσου, δηλαδή 3 άσσους και ένα Ϲευγάρι (π.χ. Κ ή εξάρια). στ) Να έχει ένα οποιοδήποτε ϕουλ. Οι πιθανότητες των ενδεχόµενων E i Υπάρχουν i άσσοι στα πέντε ϕύλλα, όπου i=0,,,3,4, είναι P(E i )= n(e i) n(ω), όπου n(ω)=( 5 5! )= 5 5!47! = το πλήθος των στοιχείων του δειγµατοχώρου Ω (πλήθος συνδυασµών 5 ανά 5). Επίσης: α) Το πλήθος των στοιχείων του E 4 είναι n(e 4 )=48 (4 άσσοι και ένα από τα άλλα 48 ϕύλλα) οπότε P(E 4 )= n(e 4) n(ω) = =0,000. ϐ) Το πλήθος n(e ) των στοιχείων του E είναι (δύο άσσοι και τρία άλλα ϕύλλα) το γινόµενο του αριθµού διάδων από τους τέσσερις άσσους επί το πλήθος των τριάδων που γίνονται από τα άλλα 48 ϕύλλα, δηλαδή οπότε n(e )=( 4 )( ! 48! )=!! 3!45! =03776, P(E )= n(e ) n(ω) = =0,0399. γ) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου Γ Υπάρχει τουλάχιστον ένας άσσος στα πέντε ϕύλλα,

26 6 είναι P(Γ)= P(Γ ), όπου n(γ )=( 48 5 )= 48! 5!43! = ο αριθµός πεντάδων που δεν περιέχουν κανέναν άσσο (πλήθος συνδυασµών των άλλων 48 ϕύλλων ανά 5). Εποµένως P(Γ)= =0,34. δ) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου Υπάρχουν 4 όµοια στα πέντε ϕύλλα, είναι P( )=P( )+P( )+...+P( 3 ), όπου i Υπάρχουν 4 όµοια i στα πέντε ϕύλλα, i=,,...,3. Σύµφωνα µε το (α) P( i )=0,000, οπότε P( )=3 0,000=0,003. ε) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου E Υπάρχουν 3 άσσοι και ένα Ϲευγάρι στα πέντε ϕύλλα, είναι P(E)= n(e) n(ω). Το n(e) είναι ίσο µε το γινόµενο του πλήθος τρόπων επιλογής 3 άσσων από τους 4 (συνδυασµοί των 4 ανά 3) επί (τα υπόλοιπα είδη ϕύλλων, δηλαδή δυάρια, τριάρια,...) επί το πλήθος τρόπων επιλογής από τα 4 του κάθε είδους (συνδυασµοί των 4 ανά ), οπότε n(e)=( 4 3 ) ( 4 4! 4! )= 3!!!! =88 88 και P(E)= =0,000. στ) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου B `Εχει ένα οποιοδήποτε ϕουλ, είναι P(B)=3P(E)=0,0044. Ασκηση.50 Αν για τα γεγονότα A,B ισχύουν P(A)= 3, P(A/B)= 4 και P(B/A )= 4 5, να υπολογιστούν οι πιθανότητες P(A B) και P(B). P(B A )= P(B A ) P(A ) = P(B) P(A B) P(A) οπότε P(B) P(A B)= 4 5 ( 3 )= 8 5. (i) = 4 5, Επειδή P(A B)= P(A B) P(B) = 4, P(B)=4P(A B),

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΘΑΝ ΟΤΗΤΕΣ 7 οπότε η(i) δίνει `Αρα 4P(A B) P(A B)= 8 5 ή P(A B)= P(B)=4P(A B)= = Ασκηση.5 Οι αριθµοί αυτοκινήτων σε µια χώρα µας αποτελούνται από 3 γράµµατα, από τα 5 του αλφάβητού της, ακολουθούµενα από τέσσερα ψηφία. Πόσοι τέτοιοι αριθµοί µπορούν να σχηµατιστούν µε τα γράµµατα K,Λ,M και τα ψηφία,, 4 και 5 που να µην περιέχουν: α) τρείς ϕορές το ίδιο γράµµα; ϐ) δύο ϕορές το ίδιο ψηφίο; γ) δύο ϕορές το ίδιο γράµµα ή το ίδιο ψηφίο; Το συνολικό πλήθος πινακίδων που γίνονται µε τα γράµµατα K, Λ, M και τα ψηφία,, 4 και 5 είναι n(ω)= =69. α) Το πλήθος πινακίδων που δεν περιέχουν τρείς ϕορές το ίδιο γράµµα είναι n(a)=n(ω) n(a ), όπου n(a )=3 4 4 =768, το πλήθος πινακίδων που περιέχουν τρείς ϕορές το ίδιο γράµµα, οπότε n(a)=n(ω) n(a )=69 768=644. ϐ) Το πλήθος πινακίδων που δεν περιέχουν δύο ϕορές το ίδιο ψηφίο είναι n(b)=n(ω) n(b ), όπου n(b )=4 ( 4 )4 =4 4!!! 4 =384, το πλήθος πινακίδων που περιέχουν δύο ϕορές το ίδιο ψηφίο, οπότε n(b)=n(ω) n(b )=69 384=658. `Ασκηση.53 Να υπολογισθεί η πιθανότητα να προκύψει τουλάχιστον ένα εξάρι από τη ϱίψη 5 Ϲαριών. Η πιθανότητα του ενδεχοµένου είναι A : προκύπτει τουλάχιστον ένα εξάρι από τη ϱίψη 5 Ϲαριών P(A)= P(A ) το n(a ) είναι ίσο µε το πλήθος των διατάξεων των,,3,4,5 σε πεντάδες µε επανάληψη. `Αρα, n(a )=5 5 και n(ω) το πλήθος των στοιχείων του δειγµατοχώρου (πλήθος διατάξεων των,,3,4,5,6 σε πεντάδες) οπότε n(ω)=6 5

28 8 P(A)= = (5 6 ) 5 =0,598. Ασκηση.55 άτοµα κατανέµονται τυχαία σε 3 σπίτια, Ι, ΙΙ, ΙΙΙ, έτσι ώστε σε κάθε σπίτι να µένουν 4 άτοµα. Ποια η πιθανότητα: α) οι Α, Β να µένουν στο σπίτι Ι, ϐ) οι Α, Β να µένουν στο ίδιο σπίτι, γ) ο Α να µένει στο Ι και ο Β στο ΙΙ, δ) οι Α, Β να µένουν σε διαφορετικά σπίτια, ε) οι Α, Β να µένουν στα σπίτια Ι ή ΙΙ. α) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου είναι όπου E a Οι Α, Β µένουν στο σπίτι Ι, P(E a )= n(e a) n(ω), n(ω)=( 4 )( 8 4! 8! )= 4!8! 4!4! =34650 το πλήθος των στοιχείων του δειγµατοχώρου Ω (πλήθος τρόπων χωρισµού ατόµων σε 3 διακριτές οµάδες των 4 ατόµων). Το n(e a ) είναι ίσο µε το γινόµενο του πλήθος τρόπων επιλογής ατόµων (εκτός των Α και Β) που ϑα µείνουν στο σπίτι Ι από τα υπόλοιπα 0 (συνδυασµοί των 0 ανά ) επί το πλήθος τρόπων επιλογής 4 ατόµων από υπόλοιπα 8 που ϑα µείνουν στο σπίτι ΙΙ, δηλαδή n(e a )=( 0 )( 8 4 0! 8! )=!8! 4!4! =350, οπότε P(E a )= =0,09. ϐ) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου E β Οι Α, Β µένουν στο ίδιο σπίτι, είναι οπότε n(e β )=3n(E a ), P(E β )=3P(E a )=0,73. γ) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου E γ Ο Α µένει στο Ι και ο Β στο ΙΙ, είναι ίσο µε το γινόµενο του πλήθος τρόπων επιλογής 3 ατόµων (εκτός των Α και Β) που ϑα µείνουν στο σπίτι Ι από τα υπόλοιπα 0 (συνδυασµοί των 0 ανά 3) επί το πλήθος τρόπων επιλογής 3 ατόµων (εκτός του Β) από τα υπόλοιπα 7 που ϑα µείνουν στο σπίτι ΙΙ, δηλαδή n(e γ )=( 0 3 )( 7 3 0! 7! )= 3!7! 4!3! =400, οπότε P(E γ )= =0,. δ) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου E δ Οι Α, Β µένουν σε διαφορετικά σπίτια,

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΘΑΝ ΟΤΗΤΕΣ 9 είναι P(E δ )= P(E β )= 0,73=0,77. ε) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου E ǫ Οι Α, Β µένουν στα σπίτια Ι ή ΙΙ, είναι n(e ǫ )=n +n +n 3 +n 4, όπου n το πλήθος τρόπων µε τους οποίους οι Α και Β µένουν στο σπίτι Ι, n το πλήθος τρόπων µε τους οποίους οι Α και Β µένουν στο ΙΙ, n 3 το πλήθος τρόπων µε τους οποίους ο Α µένει στο Ι και ο Β στο ΙΙ και n 4 το πλήθος τρόπων µε τους οποίους ο Α µένει στο ΙΙ και ο Β στο Ι. Σύµφωνα µε το (α) και σύµφωνα µε το (γ) n =n =350, n 3 =n 4 =400, οπότε P(E ǫ )= =0,44. Ασκηση.56 Σε µια τάξη 5 ατόµων τα παιδιά χωρίζονται τυχαία σε 3 οµάδες δραστηριοτήτων των 5 ατόµων. Η µία οµάδα ϑα κάνει µια εργασία στη Φυσική, η δεύτερη στην Χηµεία και η Τρίτη στους Η/Υ. Να υπολογιστεί η πιθανότητα ο Γιάννης και η Λία να ϐρεθούν στην ίδια οµάδα. Η πιθανότητα του ενδεχοµένου E Ο Γιάννης και η Λία να είναι στην ίδια οµάδα, είναι P(E)= n(e) n(ω), όπου n(ω)=( 5 5 )( 0 5 5! 0! )= 0!5! 5!5! = 5! (5!) 3= το πλήθος των στοιχείων του δειγµατοχώρου Ω (πλήθος τρόπων χωρισµού 5 ατόµων σε 3 διακριτές οµάδες, ϐλ. άσκ..55 και.63α). Το πλήθος τρόπων µε τους οποίους η Λία και ο Γιάννης µπορεί να ϐρεθούν στην πρώτη οµάδα είναι ίσο µε το γινόµενο του πλήθος τρόπων επιλογής των άλλων 3 παιδιών της πρώτης οµάδας από τα υπόλοιπα 3, επί το πλήθος τρόπων επιλογής των 5 ατόµων της δεύτερης οµάδας από τα υπόλοιπα 0 παιδιά, δηλαδή n =( 3 3 )( 0 5 3! 0! )= 3!0! 5!5! = 3! 3!5!5! =707 `Ιδιο είναι και το πλήθος τρόπων µε τους οποίους η Λία και ο Γιάννης µπορεί να ϐρεθούν στην δεύτερη ή την τρίτη οµάδα οπότε n(e)=3n =3 3! 3!5!5! =3 707=66 Εποµένως P(E)= =0,86.

30 30 Ασκηση.57 Οι γραµµατείς Α, Β και Γ εργάζονται σε έναν εκδοτικό καλύπτοντας το 55%, 30% και 5% της παραγωγής αντίστοιχα. Η πιθανότητα να κάνει τουλάχιστον ένα λάθος η Α σε µία σελίδα είναι 0,3 ενώ για τη Β και την Γ είναι 0, και 0, αντίστοιχα. Να υπολογιστεί η πιθανότητα του γεγονότος µία σελίδα µε λάθος (λάθη) έχει γραφτεί από την Α.. Θεωρώντας τα ενδεχόµενα σύµφωνα µε τα δεδοµένα, και Ϲητείται η A η σελίδα γράφτηκε από την Α B η σελίδα γράφτηκε από την Β Γ η σελίδα γράφτηκε από τη Γ Σ η σελίδα περιέχει τουλάχιστον ένα λάθος, P(A)=0,55, P(B)=0,30, P(Γ)=0,5, P(Σ/A)=0,3, P(Σ/B)=0,, P(Σ/Γ)=0, P(A/Σ). Επειδή A B Γ=Ω και τα A,B,Γ είναι ξένα µεταξύ τους, σύµφωνα µε το ϑεώρηµα του Bayes (ϑεώρ..4) P(A/Σ) = P(Σ/A)P(A) P(Σ/A)P(A)+P(Σ/B)P(B)+P(Σ/Γ)P(Γ) 0,3 0,55 = 0,3 0,55+0, 0,3+0, 0,5 = 0,688. Ασκηση.58 Από άτοµα ϕτιάχνουµε τυχαία µια επιτροπή που έχει έναν πρόεδρο, έναν γραµµατέα και 3 µέλη. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες: α) ο Α να εκλεγεί πρόεδρος, ϐ) ο Α να εκλεγεί πρόεδρος ή γραµµατέας, γ) ο Α να επιλεγεί πρόεδρος και ο Β γραµµατέας, δ) ο Α να εκλεγεί στην επιτροπή, ε) ο Α να εκλεγεί γραµµατέας και ο Β στα 3 µέλη. α) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου E a Ο Α εκλέγεται πρόεδρος, είναι P(E a )= n(e a) n(ω), όπου n(ω)= ( 0 3 το πλήθος των στοιχείων του δειγµατοχώρου Ω. Το n(e a ) είναι ίσο µε )= 0! 3!7! =5840

31 n(e a )= ( 0 3 ) = 0! 3!7! =30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΘΑΝ ΟΤΗΤΕΣ 3 οπότε P(E a )= = =0,083. ϐ) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου E είναι όπου E Ο Α εκλέγεται πρόεδρος ή γραµµατέας, P(E )=P(E a )+P(E γ ), E γ Ο Α εκλέγεται γραµµατέας. Αυτό συµβαίνει επειδή τα ενδεχόµενα E a και E γ είναι ξένα και E =E a E γ. Το n(e γ ) είναι ίσο µε n(e γ )= ( 0 3 ) = 0! 3!7! =440, οπότε Εποµένως P(E γ )= =0,09. P(E )=P(E a )+P(E γ )=0,083+0,09=0,74. γ) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου είναι ίσο µε οπότε E 3 Ο Α εκλέγεται πρόεδρος και ο Β γραµµατέας, n(e 3 )=( 0 3 δ) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου είναι ίσο µε )= 0! 3!7! =0, P(E 3 )= =0,0076. E 4 Ο Α εκλέγεται στην επιτροπή, n(e 4 )=n(e )+0 ( 9 )= !!7! =670, οπότε P(E 4 )= =0,4. ε) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου E 5 Ο Α εκλέγεται γραµµατέας και ο Β στα 3 µέλη, είναι ίσο µε n(e 5 )=0( 9 )=0 9!!7! =360, οπότε P(E 5 )= =0,03.

32 3 Ασκηση.59 Ρίχνουµε 3 Ϲάρια και καταγράφουµε τις ενδείξεις τους χωρίς σειρά. α) Πόσα είναι τα δυνατά αποτελέσµατα; Να υπολογισθούν οι πιθανότητες: ϐ) να προκύψει, και 3, γ) να προκύψει, και, δ) να προκύψει τριπλή, ε) οι ενδείξεις των 3 Ϲαριών να είναι διαφορετικές, στ) να προκύψει µια διπλή, π.χ., και 5. α) Το πλήθος των δυνατών αποτελεσµάτων είναι ίσο µε τον αριθµό τριάδων που ϕτιάχνονται από τα,,...,6 µε επανάληψη, δηλαδή τον αριθµό συνδυασµών 6 αντικειµένων ανά 3 µε επανάληψη, ( )=( 8 3 )= 8! 3!5! =56. Επειδή τα παραπάνω αποτελέσµατα (χωρίς σειρά) δεν είναι ισοπίθανα, ϑεωρούµε ως δειγµατοχώρο τις διατάξεις των 6 αριθµών ανά 3 µε επανάληψη, του οποίου τα στοιχεία είναι ισοπίθανα, οπότε `Ετσι: ϐ) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου n(ω)=6 3 =6. E β προκύπτει, και 3 είναι ίσο µε τον αριθµό των µεταθέσεων 3 αντικειµένων n(e β )=3!=6, οπότε P(E β )= 6 6 =0,08. γ) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου είναι ένα, οπότε δ) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου E γ προκύπτει, και P(E γ )= 6 =0,0046. E δ προκύπτει τριπλή είναι n(e δ )=6, οπότε ε) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου P(E δ )= 6 6 =0,08. E ǫ Οι ενδείξεις των 3 Ϲαριών είναι διαφορετικές είναι ίσο µε τον αριθµό των διατάξεων των,,...,6 σε τριάδες χωρίς επανάληψη οπότε n(e ǫ )= 6 3= 6! 3! =0, P(E ǫ )= 0 6 =0,556. στ) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου E στ προκύπτει διπλή

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΘΑΝ ΟΤΗΤΕΣ 33 είναι n(e στ )=6 ( 3 ) 5=90, οπότε P(E στ )= 90 6 =0,47. Ασκηση.6 Με πόσους τρόπους µπορούµε να χωρίσουµε 3 άτοµα σε 3 οµάδες, µία των, µία των 4 και µία των 7 ατόµων. Το πλήθος τρόπων µε τους οποίους µπορούµε να χωρίσουµε 3 άτοµα σε 3 οµάδες, µία των, µία των 4 και µία των 7 ατόµων είναι ίσο µε το γινοµένο του πλήθους τρόπων µε τους οποίους µπορούµε να επιλέξουµε άτοµα της πρώτης οµάδας από τα 3 (συνδυασµοί των 3 ανά ), επι το πλήθος τρόπων µε τους οποίους να µπορούµε να επιλέξουµε τα 4 άτοµα της δεύτερης οµάδας από τα υπόλοιπα (συνδυασµοί των ανά 4), δηλαδή ( 3 )( 4 3!! )=!! 7!4! = 3!!7!4 =5740. Ασκηση.6 Φτιάχνουµε µία οµάδα 4 ατόµων διαλέγοντας τυχαία άτοµα από 5 κορίτσια και 6 αγόρια. α) Να ϐρεθεί η πιθανότητα η οµάδα να περιέχει µόνο ένα αγόρι. ϐ) Να ϐρεθεί η πιθανότητα η οµάδα να περιέχει περισσότερα αγόρια παρά κορίτσια. α) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου E a Η οµάδα περιέχει µόνο ένα αγόρι είναι P(E a )= n(e a) n(ω), όπου n(ω)=( 4 )=! 4!7! =330 το πλήθος των στοιχείων του δειγµατοχώρου Ω (πλήθος τρόπων επιλογής 4 ατόµων από ). Το n(e a ) είναι ίσο µε το γινόµενο του πλήθος τρόπων επιλογής αγοριού από τα 6, δηλαδή 6, επί το πλήθος τρόπων επιλογής των υπολοίπων 3 κοριτσιών από τα 5, δηλαδή οπότε ϐ) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου n(e a )=6( 5 3 )=6 5! 3!! =60 P(E a )= =0,8. E β Η οµάδα περιέχει περισσότερα αγόρια παρά κορίτσια, (δηλαδή η οµάδα περιέχει 3 ή 4 αγόρια) είναι ίσο µε το άθροισµα του πλήθους των τρόπων επιλογής 3 αγοριών από τα 6 και ένός κοριτσιού από τα 5 και του πλήθος τρόπων επιλογής 4 αγοριών από τα 6, δηλαδή, σύµφωνα και µε το (α), n(e β )=( 6 3 )5+( 6 4 6! 6! )= 5+ 3!3! 4!! =5, οπότε P(E β )= =0,348.

34 34 Ασκηση.63 Με πόσους τρόπους µπορούµε να χωρίσουµε 0 διαφορετικά άτοµα σε 4 οµάδες των 5 ατόµων; α) Αν οι οµάδες είναι διακριτές. ϐ) Αν οι οµάδες δεν είναι διακριτές. α) Το πλήθος τρόπων µε τους οποίους µπορούµε να χωρίσουµε 0 άτοµα σε 4 διακριτές οµάδες των 5 ατόµων είναι ίσο µε το γινοµένο του πλήθους τρόπων µε τους οποίους µπορούµε να επιλέξουµε τα 5 άτοµα της πρώτης οµάδας από τα 0 (συνδυασµοί των 0 ανά 5), επι το πλήθος τρόπων µε τους οποίους µπορούµε να επιλέξουµε τα 5 άτοµα της δεύτερης οµάδας από τα υπόλοιπα 5 άτοµα (συνδυασµοί των 5 ανά 5), επι το πλήθος τρόπων µε τους οποίους µπορούµε να επιλέξουµε τα 5 άτοµα της τρίτης οµάδας από τα υπόλοιπα 0 άτοµα (συνδυασµοί των 0 ανά 5), δηλαδή n = ( 0 5 = = )( 5 5 )( 0 5 ) 0! 5! 0! 5!5! 0!5! 5!5! 0! (5!) 4= ϐ) Το πλήθος τρόπων µε τους οποίους να χωρίσουµε 0 άτοµα σε 4 µη διακριτές οµάδες των 5 ατόµων είναι ίσο µε το πηλίκο του παραπάνω πλήθους τρόπων δια του πλήθους µεταθέσεων των 4 οµάδων (4!), δηλαδή ! = Ασκηση.70 Η πιθανότητα να συµβεί µια πυρκαγιά σε µια πόλη σε ένα έτος είναι % και η πιθανότητα να συµβούν πυρκαγιές είναι 4%, ενώ για 3 ή περισσότερες πυρκαγιές η πιθανότητα είναι µηδενική. Αν η πιθανότητα µια πυρκαγιά να προκαλέσει σοβαρές Ϲηµιές είναι 5% να υπολογιστούν οι πιθανότητες: α) Να µην προκληθούν σε ένα έτος σοβαρές Ϲηµιές από πυρκαγιά. ϐ) Να προκληθούν σε ένα έτος σοβαρές Ϲηµιές σε ένα νοµό που έχει 3 πόλεις. Υποθέτουµε ότι οι Ϲηµιές από δύο πυρκαγιές είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους. Αν και τότε Π i : συµβαίνουν i-πυρκαγιές στην πόλη, i=, Z : συµβαίνουν σοβαρές Ϲηµιές στην πόλη P(Π )=0,, P(Π )=0,04 και P(Z Π )=0,5. α) Η πιθανότητα να προκληθούν σοβαρές Ϲηµιές στην πόλη είναι P =P(Z Π )P(Π )+P(Z Π )P(Π ) Επειδή οι Ϲηµιές από κάθε πυρκαγιά είναι µεταξύ τους ανεξάρτητες Ετσι, η(i) δίνει P(Z Π )=[P(Z Π )] =0,5 =0,065. P =0,5 0,+0,04 0,065=0,035, οπότε η πιθανότητα να µην συµβούν σοβαρές Ϲηµιές στην πόλη από τις πυρκαγιές είναι P a = P = 0,035=0,9675. ϐ) Η πιθανότητα να συµβεί σοβαρή Ϲηµιά στο νοµό µε τις 3 πόλεις είναι (i)

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΘΑΝ ΟΤΗΤΕΣ 35 όπου P = P(B), B: εν συµβαίνει σοβαρή Ϲηµιά σε καµµιά πόλη από τις 3 πόλεις Επειδή B=B B B 3 όπου B i : εν συµβαίνει Ϲηµιά στην πόλη i. Τα B,B,B 3 είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους ανά δύο, οπότε λόγω και του (α) P(B)=P(B )P(B )P(B 3 )=0, =0,9056, οπότε P = 0,9056=0,0943.

36 36

37 Κεφάλαιο 3 ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Ασκηση 3. Να υπολογιστούν για την τυχαία µεταβλητή X µε κατανοµή πιθανότητας οι πιθανότητες: α) P( X<) β)e(3x ) x - 4 f X (x) 0,5 0,4 0,5 0, α) ϐ) E(3X ) = P( X<) = P(X= )+P(X=) 4 x = f X ( )+f X ()=0,5+0,4=0,65 (3x )f X (x) = (3( ) )f X ( )+(3 )f X ()+(3 )f X () +(3 4 )f X (4) = 5 0,5+0,4+4 0,5+0 0, =,75 Ασκηση 3. Σε µία χώρα η πιθανότητα ένα παιδί που γεννιέται να είναι κορίτσι είναι 55%. Να ϐρεθεί η συνάρτηση πιθανότητας του αριθµού αγοριών µίας οικογένειας µε τρία παιδιά. Η διακριτή τυχαία µεταβλητή X αριθµός αγοριών µίας οικογένειας µε τρία παιδιά παίρνει τις τιµές 0,,,3 και ακολουθεί διωνυµική κατανοµή B(3, 0.45), οπότε οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι: f X (0) = 0,55 3 =0,66 f X () = 3 0,45 0,55 =0,408 f X () = ( 3 ) 0,45 0,55=3 0,45 0,55=0,334 f X (3) = 0,45 3 =0,09 37

38 38 Ασκηση 3.3 Ρίχνουµε ένα νόµισµα 5 ϕορές. Να υπολογιστεί η πιθανότητα να προκύψουν τουλάχιστον δύο ϕορές γράµµατα. Η διακριτή τυχαία µεταβλητή X αριθµός γραµµάτων στις 5 ϱίψεις ακολουθεί διωνυµική κατανοµή B(5,0.5), οπότε η Ϲητούµενη πιθανότητα είναι P(X ) = P(X<)= P(X=0) P(X=) = f X (0) f X () = 0,5 5 ( 5 )0,5 0,54 = 0,83 Ασκηση 3.4 Το 35% των πολιτών µίας χώρας προτιµούν για πρωθυπουργό τον Α. Να υπολογιστεί η πιθανότητα για 5 τυχαία επιλεγµένους πολίτες να προτιµούν για πρωθυπουργό τον Α : α) πέντε από αυτούς, ϐ) περισσότεροι από τέσερις, γ) το πολύ τρεις. δ) περισσότεροι από δύο. Η διακριτή τυχαία µεταβλητή X αριθµός πολιτών από τους 5 που προτιµούν για πρωθυπουργό τον Α ακολουθεί διωνυµική κατανοµή B(5, 0.35), οπότε: α) Η Ϲητούµενη πιθανότητα είναι P(X=5) = P(X=5)=f X (5) = 0,35 5 =0,005. ϐ) Η Ϲητούµενη πιθανότητα είναι (λόγω και του(β)) P(X 4) = P(X<4)= P(X 3) = 0,946=0,054. γ) Η Ϲητούµενη πιθανότητα είναι P(X 3) = P(X>3) = P(X=4) P(X=5) = f X (4) f X (5) = ( 5 4 )0,354 0,65 0,35 5 = 0,946.

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΚΡΙΤ ΕΣ ΤΥΧΑ ΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤ ΕΣ 39 δ) Η Ϲητούµενη πιθανότητα είναι P(X ) = P(X<)= P(X=0) P(X=) = f X (0) f X () = 0,65 5 ( 5 )0,35 0,654 = 0,57. Ασκηση 3.5 Σε µία χώρα η πιθανότητα ένα παιδί να είναι κορίτσι είναι 55%. α) Να ϐρεθεί η πιθανότητα σε µία οικογένεια µε πέντε παιδιά τα τρία να είναι αγόρια. ϐ) Ποιός ο αναµενόµενος αριθµός αγοριών σε µία οικογένεια έξι παιδιών και ποιά είναι η τυπική απόκλιση του αριθµού αυτού; α) Η διακριτή τυχαία µεταβλητή X αριθµός αγοριών σε µία οικογένεια πέντε παιδιών ακολουθεί διωνυµική κατανοµή B(5,0.45), οπότε η Ϲητούµενη πιθανότητα είναι ϐ) Η διακριτή τυχαία µεταβλητή P(X=3)=f X (3)=( 5 3 )0,453 0,55 =0,76. X αριθµός αγοριών σε µία οικογένεια έξι παιδιών ακολουθεί διωνυµική κατανοµή B(6,0.45), οπότε η Ϲητούµενη µέση τιµή είναι και η τυπικη απόκλιση E(X)=np=6 0,45=,7 σ X = np( p)= 6 0,45 0,55=,9. Ασκηση 3.6 Αν η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί κατανοµή Poisson µε µέση τιµή 5, να υπολογιστούν οι πιθανότητες: α) P(X ) ϐ) P(X>4). Σύµφωνα µε τον πίνακα V P(X ) = F X ()=0,5 P(X>4) = P(X 3)= F X (3)= 0,65=0,735. Ασκηση 3.7 Από ένα κουτί που περιέχει τρείς άσπρες σφαίρες και επτά µαύρες παίρνουµε τυχαία µία-µία 8 σφαίρες µε επανατοποθέτηση και καταγράφουµε το χρώµα τους. Να υπολογιστεί η πιθανότητα να υπάρχουν ακριβώς 5 άσπρες σφαίρες στις 8 επιλεγµένες. Επειδή οι σφαίρες επανατοποθετούνται, η τυχαία µεταβλητή ακολουθεί διωνυµική κατανοµή B(8, p), όπου X αριθµός άσπρων σφαιρών στις 8 επιλεγµένες

40 40 3 p= 3+7 =0,3 η πιθανότητα η επιλεγµένη σφαίρα να είναι άσπρη, οπότε η Ϲητούµενη πιθανότητα είναι P(X=5)=f X (5)=( 8 5 )0,35 0,7 3 =0,047. Ασκηση 3.8 Ρίχνουµε ένα Ϲάρι πολλές ϕορές. Να υπολογιστεί η πιθανότητα: α) Να προκύψει για πρώτη ϕορά εξάρι την τέταρτη ϕορά. ϐ) Να απαιτούνται τουλάχιστον 5 ϱίψεις ώστε να προκύψει (πρώτη ϕορά) εξάρι. γ) Να απαιτούνται το πολύ 3 ϱίψεις ώστε να προκύψει (πρώτη ϕορά) εξάρι. δ) Να απαιτούνται τουλάχιστον 6 ϱίψεις ώστε να προκύψει (πρώτη ϕορά) εξάρι µε δεδοµένο ότι απαιτούνται τουλάχιστον ϱίψεις. Η τυχαία µεταβλητή ακολουθεί γεωµετρική κατανοµή G(p), όπου X αριθµός ϱίψεων µέχρι να προκύψει εξάρι p= 6 =0,67, η πιθανότητα να προκύψει εξάρι σε µία ϱίψη, οπότε: α) Η πιθανότητα να προκύψει για πρώτη ϕορά εξάρι στην τέταρτη ϱίψη είναι P(X=4)=f X (4)=( 0,67) 4 0,67=0,097. ϐ) Η πιθανότητα να απαιτούνται το πολύ 3 ϱίψεις ώστε να προκύψει για πρώτη ϕορά εξάρι είναι P(X 3) = P(X>3)= ( p) 3 = ( 0,67) 3 =0,4 γ) Η πιθανότητα να απαιτούνται τουλάχιστον 5 ϱίψεις ώστε να προκύψει για πρώτη ϕορά εξάρι είναι (ϐλ. Πρόταση 3.) P(X 5) = P(X>4)=( p) 4 = ( 0,67) 4 =0,48 δ) Η πιθανότητα να απαιτούνται τουλάχιστον 6 ϱίψεις για να προκύψει εξάρι µε δεδοµένο ότι απαιτούνται τουλάχιστον ϱίψεις είναι (λόγω της Πρότασης 3. και του(β)) P(X>5 X>) = P(X>4+ X>) = P(X>4)=( p) 4 = ( 0,67) 4 =0,48. Ασκηση 3.9 Από µία τράπουλα τραβάµε ένα - ένα ϕύλλο µε επανατοποθέτηση τέσσερις ϕορές. Να υπολογιστεί η πιθανότητα µόνο το τέταρτο ϕύλλο να είναι άσσος. Η τυχαία µεταβλητή ακολουθεί γεωµετρική κατανοµή G(p), όπου X αριθµός ϕύλλων µέχρι να προκύψει άσσος p= 4 5 =0,077,

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΚΡΙΤ ΕΣ ΤΥΧΑ ΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤ ΕΣ 4 η πιθανότητα ένα επιλεγµένο ϕύλλο να είναι άσσος, οπότε η πιθανότητα µόνο το τέταρτο ϕύλλο να είναι άσσος είναι P(X=4)=f X (4)=( 0,077) 4 0,077=0,06. Ασκηση 3.0 Σε έναν αυτοκινητόδροµο το συνεργείο ϐλαβών επεµβαίνει µε µέση συχνότητα 3, ϕορές την ϐδοµάδα. Υποθέτοντας ότι οι ϐλάβες συµβαίνουν τυχαία, να ϐρεθούν: α) Η πιθανότητα να συµβούν (ακριβώς) τρεις ϐλάβες µία ϐδοµάδα. ϐ) Ο µικρότερος ακέραιος αριθµός n ώστε η πιθανότητα να συµβούν τουλάχιστον n ϐλάβες σε µία εβδοµάδα να είναι µικρότερη του %. α) Η τυχαία µεταβλητή X αριθµός ϐλαβών σε µία εβδοµάδα ακολουθεί κατανοµή Poisson X P o(3, ), οπότε η πιθανότητα να συµβούν (ακριβώς) τρεις ϐλάβες σε µία ϐδοµάδα είναι P(X=3)=f X (3)=e 3, 3, 3 3! =0,4. Ασκηση 3. Από ένα κουτί που περιέχει τρείς άσπρες σφαίρες και µία µαύρη επιλέγουµε τυχαία σφαίρες χωρίς επανατοποθέτηση. Να υπολογιστεί η πιθανότητα οι δύο επιλεγµένες σφαίρες να είναι: α) Μία άσπρη και µία µαύρη. ϐ) Και οι δύο άσπρες. Η τυχαία µεταβλητή X αριθµός άσπρων σφαιρών στις δύο επιλεγµένες χωρίς επανατοποθέτηση ακολουθεί υπεργεωµετρική κατανοµή µε συνάρτηση πιθανότητας f X (x)= οπότε: α) Η πιθανότητα η µία σφαίρα να είναι άσπρη είναι ( 3 x )( x ) ( 3+ ) P(X=) = = ( 3 )( ) ( 3+ 3!!!!!0! 4!!! ) =

42 4 ϐ) Η πιθανότητα και οι δύο σφαίρες να είναι άσπρες είναι P(X=) = = ( 3 )( ) ( 3+ 3!!!! 0!! 4!!! ) = Ασκηση 3. Τα λευκά σωµατιδία σε ένα ϕιλµ κατανέµονται τυχαία µε µέση τιµή,6. α) Ποιος είναι ο πιο πιθανός αριθµός λευκών σωµατιδίων σε ένα ϕιλµ; ϐ) Ποια η πιθανότητα να υπάρχουν τουλάχιστον δύο λευκά σωµατίδια σε δύο ϕιλµ; ϐ) Η τυχαία µεταβλητή X αριθµός λευκών σωµατιδίων σε δύο ϕιλµ ακολουθεί κατανοµή Poisson X Po(,6), οπότε η πιθανότητα να υπάρχουν τουλάχιστον δύο λευκά σωµατίδια σε δύο ϕιλµ είναι P(X ) = P(X<) = P(X ) = (P(X=0)+P(X=))= (f X (0)+f X ()) = (e 3, 3, 0 +e 3, 3, ) 0!! = 0,7=0,89. Ασκηση 3.3 α) Σε ένα διαγώνισµα πολλαπλών επιλογών 0 ερωτήσεων µε τέσσερις απαντήσεις, εκ των οποίων µία µόνο είναι σωστή, να υπολογισθεί η πιθανότητα ένας ϕοιτητής ϐασιζόµενος στην τύχη να απαντήσει σωστά τουλάχιστον σε 4 ερωτήσεις. ϐ) Να υπολογισθεί η πιθανότητα κάποιος να απαντήσει στην τύχη τουλάχιστον 30 από 3 ερωτήσεις που η κάθε µία έχει 8 απαντήσεις. α) Η τυχαία µεταβλητή X αριθµός σωστών απαντήσεων στις 0 ερωτήσεις ακολουθεί διωνυµική κατανοµή B(0, p), όπου p= 4 =0,5