Μεγαλύτερες περιπέτειες

Transcript

1 Μεγαλύερες εριέειες Μεά ην ανάρηση «Ένα σύσημα σωμάων σε εριέειες» ας άμε ένα βήμα αρακάω, ση μελέη ου συσήμαος σωμάων και ης εφαρμογής ου γενικευμένου νόμου ου Νεύωνα Μια οριζόνια κυκλική λαφόρμα μάζας Μ0kg και ακίνας Rm, μορεί να σρέφεαι γύρω αό καακόρυφο άξονα z, χωρίς ριβές, ο οοίος ερνά αό ο κένρο ης Ο. Πάνω σην λαφόρμα ηρεμεί ένα σώμα μάζας mkg, δεμένο σο άκρο νήμαος μήκους 0,8m, ο άλλο άκρο ου οοίου μέσω ενός δακυλίου δένεαι σον άξονα z, έσι ώσε ο σώμα μορεί να ερισρέφεαι χωρίς να υλίγεαι ο νήμα σον άξονα. ε μια σιγμή (t 0 0) ασκείαι σην εριφέρεια ης λαφόρμας, εφαομενικά, μια οριζόνια σαθερού μέρου δύναμη,6ν, με αοέλεσμα η σιγμή t 5s η λαφόρμα να έχει αοκήσει γωνιακή αχύηα ω 0ad/s. i) Να εξεάσεε αν υάρχει ριβή μεαξύ σώμαος και λαφόρμας, με αοέλεσμα να εθεί σε ερισροφή και ο σώμα. ii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεαβολής ης σροφορμής καά (ως ρος) ον άξονα z: α) ου συσήμαος β) ης λαφόρμας και γ) ου σώμαος. σο χρονικό διάσημα 0-5s. iii) Να υολογισεί η χρονική σιγμή t η σροφορμής καά (ως ρος) ον άξονα z: α) ου συσήμαος β) ης λαφόρμας και γ) ου σώμαος. iv) Τη σιγμή t η δύναμη κααργείαι, οόε μεά αό λίγο αραηρούμε όι ο σώμα δεν γλισράει άνω σην λαφόρμα. Να υολογισεί όε η αχύηα ου σώμαος. Δίνεαι η ροή αδράνειας ης λαφόρμας, ως ρος ον άξονά ης Ι ½ ΜR. Αάνηση: i) Η σροφορμή ης λαφόρμας η σιγμή t έχει μέρο: Iω MR ω 0 0kg m 00kg m Έσω ώρα όι δεν εμφανίζεαι ριβή μεαξύ σώμαος και λαφόρμας. Τόε σο σώμα ασκείαι ο βάρος και η ανίδραση ης λαφόρμας Ν, η συνισαμένη ων οοίων είναι μηδέν και ο σώμα αραμένει ακίνηο. Για ην λαφόρμα έχουμε: z O N w

2 w+ + + aξ N Όου οι ροές, ου βάρους, ης δύναμης αό ον άξονα και ης ανίδρασης ης Ν ου α- σκείαι σο σώμα είναι μηδενικές, άρα: 0 t t 0 Rt,6 5kg m 08kg m Πράγμα άοο, οόε ρέει σην λαφόρμα να ασκείαι και κάοια άλλη δύναμη, η ροή ης οοίας να μείωσε η σροφορμή αό ην ιμή 08kg m /s σην ιμή 00kg m /s. Η δύναμη αυή είναι ριβή ου ασκείαι σην λαφόρμα αό ο σώμα. Αλλά όε και σο σώμα ασκήθηκε δύναμη ριβής, η οοία θα ο ειαχύνει με αοέλεσμα να αρχίσει να σρέφεαι γύρω αό ον άξονα. Γιαί; Ας δούμε ο αραάνω σχήμα σε κάοψη. Έσω όι ο σώμα βρίσκεαι σο σημείο Α ης λαφόρμας. Όαν αυή ειαχυνθεί, ο σημείο Α αοκά αχύηα υ υ ω με αοέλεσμα να α- σκηθεί σην λαφόρμα, αό ο σώμα, δύναμη ριβής Τ ανίθεης φοράς αό ην αχύηα. Αλλά όε η ανίδρασή ης Τ, ασκείαι σο σώμα και ο ειαχύνει. Προσέξε όι η ριβή είναι εφαόμενη σον κύκλο ακίνας. ii) Οι δυνάμεις ριβής ου ασκούναι σε λαφόρμα-σώμα, είναι εσωερικές δυνάμεις για ο σύσημα, οόε ο γενικευμένος νόμος ου Νεύωνα για ο σύσημα δίνει: o λ εξ Αλλά η δύναμη ου άξονα και α βάρη δεν έχουν ροή ως ρος ον άξονα, οόε αίρνουμε: R,6 kg m,6 kg m ην λαφόρμα ασκούναι οι ροές ης δύναμης και ης ριβής Τ. Είε η ριβή αυή είναι σαική, είε ολίσθησης, σο χρονικό διάσημα 0-5s, έχει σαθερό μέρο και συνεώς σαθερή ροή, οόε ο ρυθμός μεαβολής ης σροφορμής ης αραμένει σαθερός και ι- σχύει: 0 00 σαθ kg m 0kg m. t t 0 5 Αλλά: + O υ A T d O T

3 ,6kg m 0kg m,6kg m Οι αραάνω ρυθμοί είναι διανύσμαα άνω σον άξονα z και φορά ρος α άνω, όως έχουν σχεδιασεί σο αραάνω σχήμα. iii) ο i) ερώημα υολογίσαμε η σιγμή t η σροφορμή ης λαφόρμας 00kgm /s. Για ο σύσημα έχουμε: t Rt,6 5kg m 08kg m Όμως + o λ Με καευθύνσεις, όως σο σχήμα.. ολ - 08kgm /s-00kgm /s8kgm /s. iv) Μόλις άψει να ασκείαι η δύναμη, οι μόνες δυνάμεις ου αρουσιάζουν ροή ως ρος ον άξονα είναι οι δυνάμεις ριβής. Εξαιίας ης ριβής ο σώμα ειαχύνεαι ενώ η λαφόρμα ειβραδύνεαι. Μόλις λοιόν η αχύηα ου σώμαος άρει ιμή ίση με η γραμμική αχύηα ενός σημείου ης λαφόρμας ου αέχει καά αό ο κένρο Ο, θα άψει η άσκηση ης ριβής και ο σύσημα θα ερισρέφεαι σαν ένα σώμα με μια γωνιακή αχύηα ω κ. Αλλά οι δυνάμεις ριβής είναι εσωερικές για ο σύσημα, οόε η σροφορμή ου συσήμαος αραμένει σαθερή: ω κ ελ Οόε ο σώμα έχει αχύηα: χόλια: o λ MR + m ω κ o λ 08 ad MR + m 0 + 0,8 υ ω κ 9,57 0,8m/ s 7,66m 9,57ad ) Η αραάνω ριβή θα μορούσε να ήαν σαική και να μην υήρχε ολίσθηση ου άνω σην λαφόρμα. Αν συνέβαινε αυό, όε σο ελευαίο ερώημα θα βρίσκαμε ω κ 0ad/s, ίση δηλαδή με η γωνιακή αχύηα ης λαφόρμας η σιγμή t. ) Με βάση α ευρήμαα ου i) ερωήμαος, είναι φανερό όι μέσω ης ροής ης δύναμης σο σύσημα «μεαφέρεαι» σροφορμή 08kgm /s, ενώ η λαφόρμα «κραά» α 00 kgm /s, συνεώς α υόλοια 8 kgm /s είναι η σροφορμή ου. Η οοία όμως δίνεαι αό ην σχέση: 3

4 8 mυ υ m 5m m 0,8 Ενώ ένα σημείο ης λαφόρμας ου αέχει καά 0,8m αό ο κένρο Ο, έχει γραμμική αχύηα υ γρ ω 0 0,8m/ s 8m. Αυό σημαίνει όι υάρχει ολίσθηση και η ασκούμενη ριβή είναι ριβή ολίσθησης. 3) Θα μορούσαμε και να υολογίσουμε η ριβή, δουλεύονας είε με ην λαφόρμα, είε με ο. Ας ο κάνουμε με ο σώμα, εφαρμόζονας ο γενικευμένο νόμο ου Νεύωνα: T t mυ 0 mυ 5 T T N N t 0 t 5 Βέβαια θα μορούσαμε να δουλέψουμε και με ην ειαχυνόμενη κυκλική κίνηση και ην ειρόχια ειάχυνση ου αοκά λόγω ριβής: Οόε και άλι T mυ. t Τmα ε ενώ υα ε t 4) χόλιο για καθηγηές: αν όλα α αραάνω σας θυμίζουν ο θεώρημα ώθησης ορμής, για ην κίνηση υλικού σημείου, η σύμωση δεν είναι καθόλου υχαία! Υλικό Φυσικής-Χημείας Γιαί ο να µοιράζεσαι ράγµαα, είναι καλό για όλους Ειμέλεια: Διονύσης Μάργαρης 4

5 5