ιονύσης Μητρόπουλος νόµος του Νεύτωνα έχει για το σωµατίδιο τη µορφή F = (2), (3).

Transcript

1 ιούσης Μηρόπουλος Σερεό ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ, ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ ΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ Έα σωµαίδιο, Ορµή, Σροφορµή Ο ος όµος ου Νεύωα σε αδραειακό και µη αδραειακό σύσηµα Γωρίζουµε όι η ορµή εός σωµαιδίου µάζας m σε κάποιο σύσηµα (Οxyz), που θα ο λέµε για ευκολία (Ο), ορίζεαι ως p v mυ (). Α ο σύσηµα είαι αδραειακό, ο ος dp όµος ου Νεύωα έχει για ο σωµαίδιο η µορφή (), όπου η συολική δύαµη που ασκείαι σ αυό ή και, δεδοµέου όι ο σωµαίδιο dυ έχει σαθερή µάζα, m ή mα (3). Επίσης, η σροφορµή ου σωµαιδίου ορίζεαι ως L mυ (4) (δηλαδή η ροπή ης ορµής ου), όπου ο διάυσµα θέσης ου σο (Ο). Α πάλι ο σύσηµα είαι αδραειακό, ο ος dl όµος ου Νεύωα µπορεί α πάρει και η µορφή (5), όπου η ροπή ης συολικής δύαµης που ασκείαι σο σωµαίδιο. εδοµέου dυ ώρα όι η ελευαία σχέση µπορεί α γραφεί m, φαίεαι όι οι δύο µορφές ου ου όµου (3) και (5) για έα σωµαίδιο είαι ισοδύαµες. Ας προσπαθήσουµε ώρα α γράψουµε ο ο όµο ου Νεύωα για ο σωµαίδιο, ως προς έα µη αδραειακό σύσηµα (O x y z ), ή για ευκολία (O ), που επιαχύεαι ως προς ο αδραειακό (Ο) µε επιάχυση α. Α είαι υ, υ οι αχύηες ου σωµαιδίου ως προς α (Ο), (O ) αίσοιχα και υ η αχύηα ου (O ) ως προς ο (Ο) όε ισχύει: dυ dυ dυ υ υ υ mα mα mα mα mα (6) όπου η συολική δύαµη που ασκείαι σο σωµαίδιο. Παραηρήσε όι ο όρος mα εκφράζει η αδραειακή δύαµη D Alembet που δέχεαι ο σωµαίδιο σο σύσηµα (O ), εποµέως ο ος όµος ου Νεύωα µπορεί α πάρει και η γωσή εαλλακική µορφή: αδρα. mα (7). Από η σχέση αυή µπορεί α προκύψει και η άλλη (ισοδύαµη για έα σωµαίδιο) µορφή ου ου όµου ου Νεύωα: ( αδρα. ) mα dυ αδρα. m Σελίδα από

2 ιούσης Μηρόπουλος Σερεό (O ) αδρα. dl όπου ο διάυσµα θέσης ου σωµαιδίου σο µη αδραειακό σύσηµα (O ), και αδρα. (O ) (8) οι ροπές σο (O ) ης συολικής πραγµαικής και ης αδραειακής δύαµης που ασκούαι σο σωµαίδιο και ο ο µέλος εκφράζει ο ρυθµό µεαβολής ης σροφορµής ου σωµαιδίου σο (O ). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ () Προσέξε όι ο µη αδραειακό σύσηµα (O ) γεικά δε είαι «προσαρηµέο» σο σωµαίδιο, ο οποίο έχει επιάχυση α ως προς ο (O ). Α όµως υποθέσουµε όι ο σωµαίδιο είαι ακίηο ως προς ο (O ), όε κααλήγουµε σε συθήκη ισορροπίας που περιλαµβάει φυσικά και η δύαµη D Alembet. () Η σχέση (8) βρίσκεαι σε πλήρη συµφωία µε σχέση που συαάµε, για η κίηση εός σωµαιδίου ως προς µη αδραειακό σύσηµα, ση βιβλιογραφία, καά η µελέη συσήµαος υλικώ σηµείω: dl (O ) α m (9) Σ Πράγµαι: Ο όρος α m ου ου µέλους ης σχέσης (9) µπορεί α γραφεί ( m α ) ή αλλιώς ( mα ) και α ο µεαφέρουµε σο ο µέλος παίρουµε η σχέση (8). Σελίδα από

3 ιούσης Μηρόπουλος Σερεό Σύσηµα σωµαιδίω, Ορµή συσήµαος, Σροφορµή συσήµαος Ο ος όµος ου Νεύωα σε αδραειακό και µη αδραειακό σύσηµα Ας υποθέσουµε ώρα όι έχουµε σωµαίδια m, m,, m που βρίσκοαι σις θέσεις,,..., σο αδραειακό σύσηµα (Oxyz). Από ο ο όµο ου Νεύωα για οποιοδήποε από αυά έχουµε: k k mα όπου είαι η εξωερική δύαµη που ασκείαι σο m και είαι οι αλληλεπιδράσεις πάω ου από όλα α σωµαίδια. Αθροίζοας για όλα α σωµαίδια, παίρουµε: k k mα Η σχέση αυή µεά η απλοποίηση ω ζευγαριώ δράσης αίδρασης γίεαι: mα Το δεύερο µέλος όµως σχείζεαι µε ο κέρο µάζας ου συσήµαος που ορίζεαι από η σχέση: m m όπου Μ η συολική µάζα ω σωµαιδίω. ή M () m Με η πρώη παραγώγιση ης () προκύπει όι ο κέρο µάζας ου συσήµαος ω σωµαιδίω κιείαι ως έα υλικό σηµείο µάζας M που η συολική ορµή ου συσήµαος εφαρµόζεαι σ αυό και είαι: M υ mυ () Με η δεύερη παραγώγιση έλος και µε αικαάσαση ση () προκύπει για η συισαµέη ω εξωερικώ δυάµεω που ασκούαι σο σύσηµα (αδιάφορο σε ποια α σωµαίδια ασκούαι) και για ο κέρο µάζας ου ο ος όµος ου Νεύωα: M α mα και ελικά η () γίεαι M α () ή M α (3) k Ας προσπαθήσουµε ώρα α γράψουµε ο ο όµο ου Νεύωα ση γεικόερη µορφή ου, µε ις ροπές ω δυάµεω. Ξεκιάµε πάλι από ο ο όµο ου Νεύωα για υχαίο σωµαίδιο: k k d ου συσήµαος : (mυ ) και παίρουµε ις ροπές και ω δύο µελώ ως προς η αρχή k k d(mυ ) ή αλλιώς: Σελίδα 3 από

4 ιούσης Μηρόπουλος Σερεό k k d ( mυ ) Αθροίζουµε για όλα α σωµαίδια: k k d L Και µεά η απλοποίηση ω ροπώ ω ζευγαριώ δράσης αίδρασης: (Ο) (Ο) (4) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ () Η επιλογή ης αρχής Ο ήα αυθαίρεη, έσι η σχέση (4) ισχύει για οποιοδήποε σηµείο ου αδραειακού συσήµαος ααφοράς (Ο): dl (5) () Σροφορµή συσήµαος και κέρο µάζας: Η σροφορµή L ου συσήµαος ω σωµαιδίω ως προς οποιοδήποε σηµείο ου αδραειακού συσήµαος, π.χ. ως προς η αρχή Ο, είαι όπως είδαµε: L L mυ m & m ( ) ( & & ), όπου είαι α διαύσµαα θέσης ω σωµαιδίω ως προς ο κέρο µάζας ου συσήµαος. Μεά ις πράξεις σο ελευαίο µέλος προκύπει: L Μ & m & ή αλλιώς L L L (6) Οι δύο όροι ου δεύερου µέλους αισοιχού ση σροφορµή ου κέρου µάζας ου συσήµαος ως προς ο αυθαίρεα επιλεγµέο σηµείο Ο ου αδραειακού συσήµαος και ση σροφορµή ου συσήµαος ως προς ο κέρο µάζας ου. Όπως ααφέρει ο Becke, η επιλογή ου σηµείου Ο είαι αυθαίρεη. Η σχέση (6) πάως έχει πρακικά αξία, α µπορεί α εφαρµοσεί ο γεικευµέος όµος (5) σο σηµείο αυό. Α ο κααλαβαίω καλά, αυό σηµαίει όι για οποιοδήποε σηµείο Ο ου αδραειακού συσήµαος ισχύει η ισοδυαµία: dl dl () (7) Σελίδα 4 από

5 ιούσης Μηρόπουλος Σερεό Τέλος, ας προσπαθήσουµε α γράψουµε κι εδώ ο ο όµο ου Νεύωα για ο σύσηµα ω σωµαιδίω, ως προς έα µη αδραειακό σύσηµα (O x y z ), ή για ευκολία (O ), που επιαχύεαι ως προς ο αδραειακό (Ο) µε επιάχυση α. Η συολική ροπή που δέχοαι α σωµαίδια ως προς (O ) είαι: (7) όπου είαι α διαύσµαα θέσης ω σωµαιδίω ως προς ο (O ). Χρησιµοποιούµε ο ο όµο ου Νεύωα για κάθε σωµαίδιο, ους µεασχηµαισµούς και & & & και η (7) γίεαι: d m ( & & ) m ( & & ) ( & m ) m & & m d (mυ) (8) Ισχύει & α και ο ελευαίος όρος σο δεξιό µέλος είαι ο ρυθµός µεαβολής ης σροφορµής ως προς ο (O ) οπόε η (8) γίεαι: α dl m (8) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Αυή ακριβώς η ελευαία σχέση: dl Σ (O ) α N m (9) η συαάµε ση βιβλιογραφία ως επέκαση ου γεικευµέου ου όµου ου Νεύωα καά ο όρο α m για η χρήση ου σε µη αδραειακά συσήµαα. Ααφέροαι ρεις περιπώσεις όπου ο όρος αυός µηδείζεαι, οπόε ο όµος ου Νεύωα παίρει η καοική µορφή ου: ) Προφαώς όα α, οπόε ο (O ) εκφυλίζεαι σε αδραειακό σύσηµα. ) Όα ο σηµείο O συµπίπει µε ο κέρο µάζας ου συσήµαος, οπόε: m Σελίδα 5 από

6 ιούσης Μηρόπουλος Σερεό 3) εδοµέου όι για ο άθροισµα αυό ισχύει: m M, όπου είαι ο διάυσµα θέσης ου κέρου µάζας σο σύσηµα (O ) και Μ η µάζα ου συσήµαος, κααλαβαίουµε όι ο φορέας ου είαι η ευθεία που εώει ο O µε ο κέρο µάζας. Α λοιπό και η επιάχυση α ου σηµείου O έχει ο ίδιο φορέα, διέρχεαι δηλαδή κι αυή από ο κέρο µάζας, όε ο εξωερικό γιόµεο ω δύο διαυσµάω είαι µηδέ οπόε µηδείζεαι πάλι ο ε λόγω όρος. Σελίδα 6 από

7 ιούσης Μηρόπουλος Σερεό Σερεό σώµα και επίπεδη κίηση. Ορµή και Σροφορµή σερεού. Ο ος όµος ου Νεύωα για η επίπεδη κίηση ου σερεού σε αδραειακό και µη αδραειακό σύσηµα. Καά η επίπεδη κίηση εός σερεού θεωρούµε όι κιείαι µε έοιο ρόπο ώσε όλα ου α σηµεία α κιούαι σε παράλληλα επίπεδα. Έσι ο κέρο µάζας ου κιείαι πάω σε ορισµέο επίπεδο (κίηση δύο διασάσεω, µεαφορά), πάω σο οποίο βρίσκοαι και όλες οι δυάµεις που ασκούαι σο σερεό (οµοεπίπεδες). Ο άξοας γύρω από ο οποίο σρέφεαι ο σερεό (περισροφή) είαι κάθεος σο ε λόγω επίπεδο και διαηρεί σαθερό ο προσααολισµό ου αφού όλες οι δυάµεις µπορού α προκαλέσου µόο ροπές καά η διεύθυσή ου. Για η µεαφορά ου σερεού ισχύει p v Mυ µε σηµείο εφαρµογής ο κέρο µάζας ου και ο ος όµος ου Νεύωα έχει η γωσή µορφή: y Mα, y Mα M (ή y α η κίηση είαι ευθύγραµµη) x α, x () Ας πάµε ώρα α γράψουµε ο ο όµο ου Νεύωα ση γεικόερη µορφή ου µε ις ροπές ω δυάµεω και για ο σερεό σώµα. Καά η µελέη συσήµαος σωµαιδίω πιο πρι για αδραειακό σύσηµα ααφοράς, είχαµε κααλήξει ση σχέση (5), ως προς οποιοδήποε σηµείο ου αδραειακού συσήµαος: dl (5) Ση συέχεια χρησιµοποιήσαµε η σχέση (6α): ισοδυαµία (7): dl L L L για α γράψουµε η dl () (7α) Η (6) µας πληροφορεί όι: Η σροφορµή εός συσήµαος ως προς οποιοδήποε σηµείο Ο αδραειακού συσήµαος µπορεί α εκφρασεί σα άθροισµα ης σροφορµής ου κέρου µάζας ου ως προς ο Ο συ ης σροφορµής ου ως προς ο κέρο µάζας ου. Ας δούµε η πρόαση αυή λίγο πιο ααλυικά: () Α ο σηµείο Ο είαι κάποιο σαθερό σηµείο και συµπίπει µε ο CM, έχουµε δηλαδή σαθερό άξοα περισροφής που διέρχεαι από ο CM, όε η σροφορµή ου CM είαι µηδεική, οπόε η (7) εκφυλίζεαι ση γωσή µας σχέση: () () (7β) Σελίδα 7 από

8 ιούσης Μηρόπουλος Σερεό () Α ο σηµείο Ο δε συµπίπει µε ο CM, αλλά είαι κάποιο σαθερό σηµείο γύρω από ο οποίο περισρέφεαι ο σερεό (από ο οποίο θα διέρχεαι και ο αίσοιχος άξοας) όε ικαοποιείαι έµµεσα η σχέση (6) αφού χρησιµοποιούµε ο θεώρηµα ου Stene! Ας δούµε έα παράδειγµα για α γίει πιο κααοηό: Η σροφορµή ης ράβδου ου σχήµαος ως προς ο σαθερό σηµείο Ο είαι: L L L L I ω I(CM) M ω M M ω 4 4 Εαλλακικά: MLω 3 L L L L L, L(CM) Mυ I(CM) ω Mω M ω Η γωιακή ης επιβράδυση η σιγµή αυή είαι: MLω 3 ΜL (Ο) Mgx I αγω Mgx αγω αγω... 3 Εαλλακικά: dl dl (Ο) Mgx Mgx Mα I(CM) αγω () ω Ο ωl/ CM L L ΜL ΜL Mgx Mαγω αγω Mgx αγω αγω... 3 () Γεικόερα έλος, ο Ο µπορεί α είαι οποιοδήποε σηµείο ου αδραειακού συσήµαος ααφοράς. Ας ο δούµε πάλι µε έα παράδειγµα: Ο κύλιδρος ου διπλαού σχήµαος κυλίεαι χωρίς / µε ω ολίσθηση µε η επίδραση οριζόιας δύαµης. Να βρείε η (m, R) CM γωιακή και η µεαφορική ου επιάχυση. Απάηση: ο κύλιδρος κάει επιαχυόµεη µεαφορική και Ο T σροφική κίηση. Z Α κυλίεαι χωρίς ολίσθηση, η ριβή Τ θα είαι σαική και: α α γω R Α αίθεα υπάρχει και ολίσθηση όε θα έχουµε ριβή ολίσθησης: Τ µν Από η µεαφορική κίηση θα έχουµε: Σ x m α T m α 3 Σ y Ν m g 4 Από η σροφική κίηση ώρα έχουµε: ( ος ρόπος, ως προς ο CM) TR I α TR mr (CM) (CM) γω γω γω (CM) ( ος ρόπος, ως προς υχαίο ακίηο σηµείο Ο ου δαπέδου) α T mrα 5 υ Σελίδα 8 από

9 ιούσης Μηρόπουλος (Ο) dl dl R R mα I(CM) αγω () Σερεό ΜR R Rmα αγω mα ΜRαγω 6 Παραηρείσε όι οι δύο ελευαίες 5 και 6 είαι ισοδύαµες, αφού από η µία µπορεί α προκύψει η άλλη (µε η βοήθεια και ης 3) Παραηρείσε ακόµα όι η 6 προκύπει µε η εφαρµογή ου ου όµου σε αδραειακό σύσηµα. Η 5 όµως µπορούµε α θεωρήσουµε όι προκύπει από η εφαρµογή ου ίδιου όµου είε σε αδραειακό είε σε µη αδραειακό σύσηµα! Α εφαρµόσουµε ο όµο ως προς ο (ακίηο) σηµείο ου χώρου από ο οποίο διέρχεαι η σιγµή αυή ο κέρο µάζας (αδραειακό σύσηµα), όε χρησιµοποιούµε η εξίσωση (7α)και µάλισα η υποπερίπωση (7β). Α όµως εφαρµόσουµε ο όµο ως προς ο (επιαχυόµεο) κέρο µάζας (µη αδραειακό σύσηµα) όε χρησιµοποιούµε η εξίσωση (9) µε η παραήρηση σε ισχύ. Το ελευαίο µε ο οποίο θα ασχοληθούµε θα είαι α σχολιάσουµε λίγο η εφαρµογή ου ου όµου ου Νεύωα ση επίπεδη κίηση ου σερεού, ως προς έα µη αδραειακό σύσηµα (O x y z ), ή για ευκολία (O ), που επιαχύεαι ως προς ο αδραειακό (Ο) µε επιάχυση α. Μεαφέρω η σχέση (9) που είχαµε βρει ση αίσοιχη περίπωση ου συσήµαος σωµαιδίω: α Γωρίζουµε κα αρχή όι ισχύει dl m m M ου CM σο σύσηµα (O ) και Μ η µάζα ου σερεού. Εποµέως, ο όρος α m µπορεί α γίει: (9α) α m α M ( Mα ) όπου είαι ο διάυσµα θέσης Α δηλαδή εισάγουµε πάλι η έοια ης αδραειακής δύαµης D Alembet, η οποία ασκείαι σο κέρο µάζας ου σώµαος, ο ε λόγω όρος εκφράζει η ροπή αυής ης δύαµης ως προς ο σηµείο O. Η σχέση (9α) µπορεί λοιπό α γραφεί: dl ( Mα ) ή αλλιώς (O ) αδρα.(o ) dl () Σελίδα 9 από

10 ιούσης Μηρόπουλος Σερεό Για α κλείσουµε, ας δούµε σα ελευαίο παράδειγµα, εαλλακικούς ρόπους λύσης για η πολύ καλή άσκηση ου Ξεοφώα (µε ο φορηγό που επιβραδύεαι και ο κιβώιο που είει α γλισρήσει προς α εµπρός, ή α ααραπεί. ( Λόγω ης επιβραδυόµεης µε α µεαφοράς ου κιβωίου έχουµε: Σ x m α T m α T m α ο Σ y Ν m g Σο µη αδραειακό σύσηµα ου φορηγού ο κιβώιο ισορροπεί, εποµέως ως προς ο σηµείο Ο όπου εφαρµόζεαι η Ν έχουµε: Σ Σ αδρα. mgx mα o γ/ γ x αo 3 x Εαλλακικά, εφαρµόζουµε ο γεικευµέο ο όµο ως προς (ακίηο) σηµείο ου χώρου, π.χ. ως προς ο Ζ (αδραειακό σύσηµα) που α βρίσκεαι σο ίδιο ύψος από ο έδαφος µε ο σηµείο Ο (ο ρυθµός µεαβολής ης σροφορµής ου σώµαος ως προς Ζ δε είαι µηδεικός, παρόλο που δε περισρέφεαι, διόι µεαβάλλεαι η αχύηα ου CM!!): dl [ ] dl Nmg Σ (Ζ) Ν(ΖΟ) mg (ZO) x (Ζ) γ Σ(Ζ) mgx mα gx α γ/ x αo 3 x (Ζ) (Z) Ζ mg Τ (CM) β CM x γ mα ο N Ο α ο κίηση Συθήκη µη ααροπής: x β/ 4 Συθήκη µη ολίσθησης: Τ µν 5 (Οι ισόηες οριακά) Και ούω καθεξής ιούσης Μηρόπουλος Σελίδα από