ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Transcript

1 ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Για κάθε γραµµικό και χρονικά αναλλοίωο σύσηµα συνεχούς χρόνου ισχύει όι η απόκριση y() ου όαν αυό διεγείρεαι από είσοδο x() δίνεαι από η σχέση: y () = x( ) h ( ) d = x () h () Η συνάρηση h(), η οποία είναι η έξοδος ου συσήµαος όαν αυό διεγείρεαι από η συνάρηση δ() καλείαι κρουσική απόκριση (impulse response) ου συσήµαος. Η άσκηση αυή αφορά ση χρήση ου Malab για ον υπολογισµό ης συνέλιξης y δοσµένων ων σηµάων x, h. Γραφικός προσδιορισµός ης συνέλιξης Για να υπολογίσουµε ην έξοδο ενός ΓΧΑ συσήµαος µε η βοήθεια ου ολοκληρώµαος ης συνέλιξης για κάθε χρονική σιγµή ακολουθούµε α βήµαα: Βήµα: Ανάκλαση: Ανασρέφουµε ένα από α δύο σήµαα π.χ ην κρουσική απόκριση, δηλαδή προσδιορίζουµε ην h(-). Θα µπορούσαµε να είχαµε ανασρέψει ο x() Βήµα: Χρονική Μεαόπιση: Μεαοπίζουµε ην h(-) καά και έσι προσδιορίζουµε ην h(-). 3 Βήµα: Πολλαπλασιασµός: Προσδιορίζουµε ο γινόµενο x() h(-).

2 4 Βήµα: Ολοκλήρωση ή Εµβαδοµέρηση: Ολοκληρώνουµε ο γινόµενο αυό. 5 Βήµα:Επανάληψη: Τα βήµαα αυά επαναλαµβάνοναι για ις διάφορες ιµές ου χρόνου. Ας δούµε ένα παράδειγµα. Έσω ο ΓΧΑ (Γραµµικό χρονικά αµεάβληο) σύσηµα µε κρουσική απόκριση h() = exp(-)u(). Έσω η είσοδος x() που έχει ην ιµή.6 για - < <.5, ην ιµή.3 για.5 < < 3, και είναι αλλού. Τα σήµαα x και h φαίνοναι σο παρακάω σχήµα: Impulse response h() and inpu signal x() h() x() Τα παραπάνω διαγράµµαα προέκυψαν σο Malab πληκρολογώνας ην εξής σειρά ενολών:» h=linspace(,,);» h=exp(-h);

3 » h=[ h];» h=[ h];» x=[ ];» x=[ ];» plo(h,h,x,x)» grid» xlabel('')» axis([-5 ]) % Αλλαγή ων ορίων ων αξόνων» ile('impulse response h() and inpu signal x()')» gex('x()')» gex('h()') Οι ενολές gex χρησιµοποιήθηκαν για να βάλουν ις εικέες x(), h() δίπλα σις ανίσοιχες καµπύλες. Για να ξαναδούµε α σήµαα ου παραδείγµαος µε έσω εδώ ο x ανεσραµµένο: Impulse response h() and ime-reversed inpu signal x(-).9.8 h() x(-)

4 Η ουσιασική αλλαγή σην προηγούµενη σειρά ων ενολών ήαν όι η γραφική παράσαση έγινε µε ανισροφή ου διανύσµαος x ου χρόνου για ο x, δηλαδή» plo(h,h,-x,x) Ας περάσουµε ώρα σον υπολογισµό ης συνέλιξης. Προφανώς, επειδή η ιµή ου x δεν είναι σαθερή παρά µόνο καά µήµαα, ο ολοκλήρωµα ου γινοµένου h()x(-) θα πρέπει να υπολογισεί ξεχωρισά για α διάφορα µήµαα. Σο παραπάνω σχήµα ο =. Για <-, δεν υπάρχει επικάλυψη ανάµεσα σα γραφήµαα ων h() και x(-), συνεπώς ο y()=. Ας ο δούµε αυό σ ένα σχήµα για =-: Impulse response h() and shifed ime-reversed inpu signal x(-) h().6 x(--) Πώς προέκυψε ο παραπάνω; Απλά προσθέονας ο σο διάνυσµα x:

5 >> plo(h,h,--x,x) Αν >-, όε υπάρχει µη-µηδενική επικάλυψη ων δύο σηµάων. Για <<.5 υπάρχει επικάλυψη µε ο h() µόνο ου µήµαος ου x µε ιµή.6. Σο διάσηµα αυό, δηλαδή <<.5, ο ολοκλήρωµα υπολογίζεαι ως εξής ( ) () ( ) ( ).6.6 y = x h d = e d = e ed = =.6 e ( e e ) =.6( e ), < <.5 Σο ακόλουθο σχήµα φαίνεαι η καάσαση για =-.3. Impulse response h() and shifed ime-reversed inpu signal x(-.3-) h().6 x(-.3-) Ξανά, η ενολή γραφικής παράσασης ήαν >> plo(h,h,-.3-x,x) Η επόµενη περίπωση είναι να επικαλύπεαι µε ο h() ολόκληρο ο κοµµάι ου x µε ιµή.6 ενώ ο κοµµάι.3 να επικαλύπεαι µόνο µερικά. Αυό συµβαίνει για.5<<3, και φαίνεαι σο παρακάω σχήµα για ην περίπωση =.

6 Η ιµή ου συνελικικού ολοκληρώµαος υπολογίζεαι όε ως εξής :.5.5 ( ) ( ) y ( ) =.6e d +.3e d =.6e ed+.3e ed= =.6 e ( e e ) +.3 e ( e e ) =.3 e ( + e e ),.5 < < 3 Impulse response h() and shifed ime-reversed inpu signal x(-) h() x(-) Η ελευαία περίπωση είναι να επικαλύποναι πλήρως α δύο σήµαα, κάι που συµβαίνει για >3: Impulse response h() and shifed ime-reversed inpu signal x(4-) h() x(4-)

7 Το ολοκλήρωµα υπολογίζεαι ως εξής : ( ) ( ) y ( ) =.6e d +.3e d =.6e ed+.3e ed=.5.5 = + = + > e ( e e ).3 e ( e e ).3 e ( e e e), 3 Και να πώς µπορούµε να παρασήσουµε γραφικά ο συνολικό αποέλεσµα ης συνέλιξης:.5 Convoluion y()=x()*h() y() Το ελευαίο σχήµα προέκυψε πληκρολογώνας» y=[-:.:.5];» y=.6*(-exp(-y-));» y=[.5:.:3];» y=.3*(+(exp(.5)-*exp(-))*exp(-y));» y3=[3:.:];

8 » y3=.3*(exp(3)+exp(.5)-*exp(-))*exp(-y3);» y=[-5 y y y3];» y=[ y y y3];» plo(y,y)» grid» xlabel('')» ylabel('y()')» ile('convoluion y()=x()*h()') ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Σα παραπάνω διαθέαµε ην αναλυική περιγραφή ων δύο συνελισσόµενων σηµάων και υπολογίσαµε η συνέλιξή ους βρίσκονας αναλυικά ο ανίσοιχο ολοκλήρωµα. Ας δούµε ώρα πώς µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε ις λειουργίες ου Malab όχι µόνο για να κάνουµε ις γραφικές παρασάσεις αλλά και για ν αποφύγουµε ον αναλυικό υπολογισµό ου ολοκληρώµαος. Ευυχώς ο Malab διαθέει έοιµη funcion για ον υπολογισµό ου παραπάνω αθροίσµαος, ην conv. Εδώ όµως πρέπει να προσέξουµε µια σηµανική λεποµέρεια: Η conv «θεωρεί» όι α σήµαα διακριού χρόνου x, h είναι αιιαά. Έσι, για να ην εφαρµόσουµε σο παράδειγµά µας, θα πρέπει πρώα να θεωρήσουµε όι ο x ολισθαίνει καά προς α δεξιά ώσε να γίνει κι αυό αιιαό. Είναι πρόβληµα αυό; Καθόλου, αφού ο σύσηµά µας είναι χρονικά αµεάβληο. Θα ξέρουµε όι και η έξοδος έχει υποσεί ην ίδια ολίσθηση, άρα θα πρέπει να θυµηθούµε να ην επαναφέρουµε ση θέση ης. Για ο παράδειγµα ων σηµάων που συζηήσαµε παραπάνω, η συνέλιξη µπορεί να υπολογισεί µε ις ακόλουθες ενολές:» =[:.:.5]; % Τ=. Αυό ο σηµείο θα γίνει πιο καθαρό όαν θα έχουµε µάθει η συνέλιξη διακριού χρόνου σο πεδίο χρόνου και σο πεδίο συχνόηας.

9 » =[.5+.:.:4];» 3=[4.:.:]; % Θεωρούµε α σήµαα σο διάσηµα [,]» x=[.6*ones(size()).3*ones(size()) zeros(size(3))];» h=exp(-[ 3]);» yc=conv(x,h)*.; % Προσέγγιση ου ολοκληρώµαος από άθροισµα» plo([-,-:.:9],[ yc]) % Ολισθαίνουµε καά προς % αρισερά, αλλάζονας ο διάσηµα % [,] σο [-,9].» axis([-5.5])» grid» xlabel('')» ylabel('y()')» ile('coninuous-ime convoluion approximaed by a discree one') Το αποέλεσµα, που φαίνεαι παρακάω, είναι µια καλή προσέγγιση αυού που βρήκαµε αναλυικά:.5 Coninuous-ime convoluion approximaed by a discree one y()

10 Άσκηση: Έσω γραµµικό χρονικά αναλλοίωο σύσηµα που έχει κρουσική απόκριση () h όαν η είσοδος ου είναι ο σήµα: () x Υπολογίσε ην απόκρισή ου, όπως κάναµε σα παραπάνω, δηλαδή:. Αναλυικά (κάνονας και η γραφική παράσαση ων σηµάων x, h σα διάφορα σάδια ου υπολογισµού ου ολοκληρώµαος), και. Προσεγγισικά, µε η βοήθεια ης συνέλιξης διακριού χρόνου (conv). Ακολουθεί η αναλυική λύση ης άσκησης µε χρήση ου συνελικικού ολοκληρώµαος. Παραηρούµε όι ο γινόµενο h(-) x() είναι ίσο µε µηδέν για κάθε ιµή ου χρόνου µικρόερη ου µηδενός. Έσι η έξοδος ου συσήµαος είναι ( ) =, < y = αλλου, =, αλλου. Χρησιµοποιώνας η σχέση ης συνέλιξης η έξοδος ου συσήµαος δίνεαι από η σχέση (προσπαθήσε να βγάλεε ο παρακάω αποέλεσµα και µόνοι σας): y() = x( ) h( ) d = όαν < 3. Σην περίπωση όπου η καοπρική µορφή ης κρουσική απόκριση έχει µεαοπισεί καά < η έξοδος ου συσήµαος είναι ίση µε

11 y () = h ( ) d = 4. Σην περίπωση όπου η καοπρική µορφή ης κρουσική απόκριση έχει µεαοπισεί καά 3. η έξοδος ου συσήµαος είναι ίση µε y () = h ( ) d = ( ) 3 5. Τέλος ο γινόµενο h ( ) x( ) είναι ίσο µε µηδέν για κάθε ιµή ου χρόνου µεγαλύερη ή ίση µε 3. Η έξοδος, λοιπόν, ου συσήµαος είναι: y () = / < / < ( 3 ) / < 3 αλλου x() ΓΧΑ Σύσηµα y ( ) 3 3 Όλα α παραπάνω απεικονίζοναι αναλυικά σην επόµενη σελίδα ου φυλλαδίου σας.

12 x () Γραµµικό σύσηµα h( ) y x h d () = ( ) ( )? h( ) < h ( ) x( ) < h ( ) 3 x( ) < 3 x( ) h ( ) < 3 3 x( ) 3 h ( ) 3 3 x ( ) h ( ) 3

13 Το Mfile ConvolvGUI είναι ένα εργαλείο ου MaLab σχεδιασµένο ώσε να σας βοηθήσει σην οπική καανόηση ης διαδικασίας ης συνέλιξης. Για να εγκαασήσεε ον κώδικα σπίι σας καεβάσε ο αρχείο ConvolveGui.zip και σώσε α αρχεία σον καάλογο work ου Malab. Για να ρέξεε ον κώδικα, εισάγεε ην ενολή» convolvegui σο MaLab promp. Θα δηµιουργηθεί ένα γραφικό παράθυρο λειουργιών όπως παρακάω όπου µπορείε να δοκιµάσεε συνελίξεις διαφόρων σηµάων συνεχούς χρόνου.