Κεφάλαιο 3 ο. Κυκλώματα με στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας

Transcript

1 Κεφάλαιο 3 ο Κυκλώμαα με σοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Η διαφορά μεαξύ ης ανάλυσης ων ωμικών κυκλωμάων, που μελεήσαμε ως ώρα, και ων κυκλωμάων που ακολουθούν είναι όι οι εξισώσεις που προκύπουν από ην εφαρμογή ων κανόνων ου Kirchhoff είναι διαφορικές και όχι αλγεβρικές. Αυό οφείλεαι σην παρουσία σοιχείων αποθήκευσης ενέργειας (, L) σα οποία η σχέση i-υ είναι διαφορική.

2 3.1. Μεαβαική απόκριση. Θα μελεήσουμε αρχικά η συμπεριφορά έοιων κυκλωμάων καά η μεάβασή ους από μία σαθερή καάσαση σε μία άλλη επίσης σαθερή καάσαση Κύκλωμα. Το κύκλωμα ου σχ. 3.1 αποελείαι από μία πηγή άσης, μία ανίσαση και έναν πυκνωή σε σειρά (i c =i =i). i Εφαρμόζονας ον 2 ο κανόνα ου Kirchhoff, έχουμε: υ - υ S () υ () υ () = 0 => υ s ()D υ υ S () i () 1 i d = 0, η οποία γράφεαι ισοδύναμα: 1 dυ s = di c 1 i d d c Σχ Κύκλωμα με ανίσαση dυ ή και πυκνωή σε σειρά. 1 υ d = 1 υ S Λύνουμε η διαφορική εξίσωση με ις παρακάω οριακές συνθήκες: 1 ον για =0 - => υ s (0 - )=0 και ο πυκνωής είναι αφόρισος οπόε και υ c =0 και για 0 => υ s ()=V 0 Οπόε παίρνουμε ην άση και ο ρεύμα ου πυκνωή για >0, υ () = V 0 1 e (3.1) και i = V 0 e / (3.2), όπου V 0 = I 0 η αρχική ιμή ου ρεύμαος για =0. Το γινόμενο αποελεί η σαθερά χρόνου ου κυκλώμαος. Παραηρούμε όι ση μόνιμη καάσαση, όαν δηλ. = => i =0. Με άλλα λόγια σο συνεχές (D) οι πυκνωές συμπεριφέροναι σαν ανοιχοκύκλωμα. υ () i () V 0 V 0 / 0,632V 0 0,328V 0 / (a) (b) Σχ. 3.2 Φόριση πυκνωή μέσω ανίσασης. 2 ον για =0 - => υ s (0 - )=V 0 και ο πυκνωής πλήρως φορισμένος οπόε και υ c =V 0 και για 0 => υ s ()=0 (βραχυκυκλωμένη πηγή άσης). Οπόε παίρνουμε ην άση και ο ρεύμα ου πυκνωή για >0, 32

3 υ () = V 0 e / (3.3) και i = V 0 e / (3.4) υ () i () V 0-0,328V 0 / 0,328V 0 -V 0 / (a) (b) Σχ. 3.3 Εκφόριση πυκνωή μέσω ανίσασης Κύκλωμα L. Το κύκλωμα ου σχ. 3.2 αποελείαι από μία πηγή άσης, μία ανίσαση και ένα πηνίο σε σειρά (i L =i =i). Εφαρμόζονας ον 2 ο i κανόνα ου Kirchhoff, έχουμε: υ s () D υ - Σχ Κύκλωμα με ανίσαση και πηνίο σε σειρά. L υ L υ S () υ () υ L () = 0 => υ s () i L di = 0 d Λύνουμε η διαφορική εξίσωση με ις παρακάω οριακές συνθήκες: 1 ον για =0 - => υ s (0 - )=0 και i=0 και για 0 => υ s ()=V 0. Οπόε παίρνουμε ο ρεύμα και ην άση σα άκρα ου πηνίου για >0: i L () = V 0 1 e L (3.5) και υ L () = V 0 e /L (3.6) Το κλάσμα L/ αποελεί η σαθερά χρόνου ου κυκλώμαος. Παραηρούμε όι ση μόνιμη καάσαση, όαν δηλ. = => υ L =0. Με άλλα λόγια σο συνεχές (D) α πηνία συμπεριφέροναι σαν βραχυκύκλωμα. i L () I 0 υ L () I 0 0,632I 0 0,328I 0 (a) Σχ. 3.5 Αποκαάσαση ου ρεύμαος πηνίου μέσω ανίσασης. 2 ον για =0 - => υ s (0 - )=V 0 και ο ρεύμα έχει αποκαασαθεί πλήρως σην ιμή I 0 = V 0 και για 0 => υ s ()=0 (βραχυκυκλωμένη πηγή άσης). (b) 33

4 Οπόε παίρνουμε ο ρεύμα και ην άση σα άκρα ου πηνίου για >0, i L () = I 0 e /L (3.7) και υ L () = I 0 e /L (3.8) I L () I 0 υ L () -0,328I 0 0,328I 0 -I 0 (a) Σχ. 3.6 Καάργηση ου ρεύμαος πηνίου μέσω ανίσασης. (b) Σημείωση: Από ις εκθεικές εκφράσεις ων άσεων φόρισης και εκφόρισης μπορούμε να υπολογίσουμε ο ποσοσό ους σε σχέση με η μέγιση ιμή σαν συνάρηση ης σαθεράς χρόνου ου κυκλώμαος. Οι σχέσεις αυές εφαρμόζοναι καάλληλα όσο σα κυκλώμαα όσο και σα κυκλώμαα L. Σχ. 3.7 Ποσοσιαία μεαβολή ης άσης σα άκρα ου πυκνωή και ης ανίσασης ανίσοιχα. 34

5 3.2. Απόκριση καά συχνόηα. Η απόκριση καά συχνόηα ενός κυκλώμαος ανάγεαι σον υπολογισμό ης συνάρησης μεαφοράς ου, από ην οποία μπορούμε ση συνέχεια να υπολογίζουμε ην απόκριση (σήμα εξόδου) ου κυκλώμαος σε κάθε διέγερση (σήμα εισόδου). Η συνάρηση μεαφοράς μπορεί να είναι η απολαβή άσης (λόγος ης άσης εξόδου προς ην άση εισόδου), η απολαβή ρεύμαος (λόγος ου ρεύμαος εξόδου προς ο ρεύμα εισόδου) ή και συνδυασμός αυών (άση προς ρεύμα ή ρεύμα προς άση). Η απόκριση σε ημιονικά σήμαα ή απόκριση καά συχνόηα μας παρέχει ένα μέρο για ο πώς αποκρίνεαι ο κύκλωμα σε ένα ημιονικό σήμα υχαίας συχνόηας. Δεδομένου όι η ανάλυση καά Fourier οποιουδήποε σήμαος κααλήγει σε συνδυασμό ημιονικών σημάων, έπεαι όι η απόκριση καά συχνόηα μπορεί να μας δώσει πληροφορία για ην απόκριση ου κυκλώμαος σε οποιοδήποε σήμα Σύνθεη ανίσαση. Η σύνθεη ανίσαση ενός σοιχείου ορίζεαι, κα ανισοιχία με ον νόμο ου Ohm, ως ο λόγος ης ημιονικής άσης που εφαρμόζεαι σο σοιχείο προς ο ρεύμα που ο διαρρέει και είναι συνάρηση ης συχνόηας ου ημιονικού σήμαος. Θεωρούμε δηλαδή όι εφαρμόζουμε σο σοιχείο μία ημιονική άση ης μορφής υ s () = Acosω ή σε μιγαδική μορφή V S (jω) = Αe j00 = A 0. Θα υπολογίσουμε ώρα η σύνθεη ανίσαση καθενός από α βασικά παθηικά σοιχεία ων κυκλωμάων. α) Ωμική ανίσαση Αν εφαρμόσουμε σα άκρα μιας ανίσασης άση ης μορφής: υ s () = Acosω, θα έχουμε από ον νόμο ου Ohm: i () = υ s() = A cosω. Εκφράζουμε αυές ις σχέσεις ση μιγαδική ους μορφή: V (jω) = A 0 και I (jω) = A 0. Από όπου η σύνθεη ανίσαση υπολογίζεαι ως: Ζ = V (jω) = (3.9). I (jω) Βλέπουμε δηλαδή όι η σύνθεη ανίσαση αυίζεαι με ην ωμική. 35

6 β) Πηνίο Αν εφαρμόσουμε σε πηνίο L μία άση ης μορφής: υ s () = Acosω, ο ρεύμα που θα διαρρέει ο πηνίο δίνεαι από η σχέση: i L () = 1 υ L L()d = 1 Acosωd = A sinω = A cos (ω π ) ή σε μιγαδική L ωl ωl 2 μορφή) V L (jω) = A 0 και I L (ω) = A π. Οπόε η σύνθεη ανίσαση ου ωl 2 πηνίου γράφεαι: Ζ L (jω) = V L(jω) = ωl π = jωl (3.10) I L (jω) 2 Βλέπουμε δηλαδή όι σε ένα πηνίο ο μέρο ης ανίσασης είναι ανάλογο ης συχνόηας ου σήμαος, ενώ η άση προηγείαι ου ρεύμαος καά γ) Πυκνωής Για άση διέγερσης υ s () = Acosω, ο ρεύμα σον πυκνωή θα είναι: i () = dυ c() d = dacosω d = (Aωsinω) = ωacos(ω π 2 ) ή σε μιγαδική μορφή V (jω) = A 0 και I (jω) = ωa π 2. Οπόε η σύνθεη ανίσαση ου πυκνωή γράφεαι: Z (jω) = V (jω) = 1 π = j = 1 (3.11) I (jω) ω 2 ω jω Βλέπουμε δηλαδή όι σε έναν πυκνωή ο μέρο ης ανίσασης είναι ανισρόφως ανάλογο ης συχνόηας ου σήμαος, ενώ ο ρεύμα προηγείαι ης άσης καά Κυκλώμαα με ανισάσεις, πυκνωές και πηνία. Είναι φανερό από α παραπάνω όι η ύπαρξη πηνίων ή/και πυκνωών σε ένα κύκλωμα επηρεάζει ην απόκρισή ου καά συχνόηα. Κυκλώμαα με επιλεκική συμπεριφορά ως προς η συχνόηα μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως φίλρα συχνοήων επιρέπονας ή εμποδίζονας κάποιες συχνόηες να εμφανισούν σην έξοδό ους. Ση συνέχεια θα αναφερθούμε σε κάποια πολύ απλά κυκλώμαα φίλρων Φίλρα διέλευσης χαμηλών συχνοήων (ΧΣ). α) Φίλρο ΧΣ Το κύκλωμα ου σχ. 3.8 αποελεί ένα απλό φίλρο διέλευσης ΧΣ. 36

7 V i Σχ. 3.8 Φίλρο ΧΣ. Η συνάρηση μεαφοράς (άσης) ου κυκλώμαος υπολογίζεαι από ον διαιρέη άσης που σχημαίζουν οι σύνθεες ανισάσεις ων σοιχείων ου: H(jω) = V O(jω) = Z = 1/jω V i (jω) Z 1 = 1 1jω jω η οποία μπορεί να γραφεί και ως: όπου: Η(jω) = V O H(jω) = H(jω) e j H(jω) (3.12) 1 = 1 και Η(jω) = arcan ω 1(ω) 2 1(ω/ω 0 ) 2 ω 0 με ω 0 = 1. Παραηρούμε όι για ω=0 δηλ. σο D η άση εξόδου ισούαι με ην άση εισόδου. Καθώς η συχνόηα αυξάνει, ο μέρο ης απολαβής Η(jω) μειώνεαι και για ω=ω 0 γίνεαι ίσο με 1/ 2. Η συχνόηα ω 0 ονομάζεαι συχνόηα αποκοπής ου φίλρου. Σο σχ. 3.9 φαίνεαι η μορφή ου μέρου και ης φάσης ης συνάρησης μεαφοράς ου φίλρου ΧΣ συναρήσει ης συχνόηας ου σήμαος. Φάση, deg Πλάος Σχ. 3.9 Χαρακηρισικές μεαφοράς ου φίλρου ΧΣ. β) Φίλρο ΧΣ L Ανίσοιχα μπορούμε να πάρουμε ένα φίλρο ΧΣ χρησιμοποιώνας ο κύκλωμα L ου σχ

8 V i L Σχ Φίλρο ΧΣ L. V O Όπως προηγουμένως, υπολογίζεαι η συνάρηση μεαφοράς ως: H(jω) = 1 1jωL/ (3.13), με συχνόηα αποκοπής ω 0 = L Φίλρα διέλευσης υψηλών συχνοήων (ΥΣ). α) Φίλρο ΥΣ Το κύκλωμα ου σχ αποελεί ένα απλό φίλρο διέλευσης YΣ. Vi Σχ Φίλρο YΣ. η οποία μπορεί να γραφεί και ως: όπου: Η(jω) = VO ω 1(ω) 2 = Η συνάρηση μεαφοράς (άσης) ου κυκλώμαος υπολογίζεαι από ον διαιρέη άσης που σχημαίζουν οι σύνθεες ανισάσεις ων σοιχείων ου: H(jω) = V O(jω) V i (jω) = Z = H(jω) = H(jω) e j H(jω) ω 1 = jω (3.14) 1jω jω 1(ω/ω 0 ) 2 και Η(jω) = 900 arcan ω ω 0 με ω 0 = 1. Παραηρούμε όι για ω=0 δηλ. σο D η άση εξόδου ισούαι με μηδέν. Καθώς η συχνόηα αυξάνει, ο μέρο ης απολαβής Η(jω) είνει ασυμπωικά σο 1, ενώ για ω=ω 0 γίνεαι ίσο με 1/ 2. Η συχνόηα ω 0 ονομάζεαι και πάλι συχνόηα αποκοπής ου φίλρου. Σο σχ φαίνεαι η μορφή ου μέρου και ης φάσης ης συνάρησης μεαφοράς ου φίλρου ΥΣ συναρήσει ης συχνόηας ου σήμαος. 38

9 Πλάος Φάση, deg Σχ Χαρακηρισικές μεαφοράς ου φίλρου YΣ. β) Φίλρο ΥΣ L Ανίσοιχα μπορούμε να πάρουμε ένα φίλρο YΣ χρησιμοποιώνας ο κύκλωμα L ου σχ V i Σχ Φίλρο YΣ L. L V O Όπως προηγουμένως, υπολογίζεαι η συνάρηση μεαφοράς ως: H(jω) = jωl/ 1jωL/ με συχνόηα αποκοπής ω 0 = L. (3.15), Συνονιζόμενα κυκλώμαα. α) L σειράς. Σο σχ φαίνεαι η συνδεσμολογία μιας ανίσασης, ενός πυκνωή και ενός πηνίου σε σειρά. Η σύνθεη ανίσαση ου κυκλώμαος δίνεαι από η σχέση: Z = jωl 1 1 = j(ωl jω ω ) I και ο μέρο ης από ην: V Σχ Συνονιζόμενο κύκλωμα σειράς. L Z = 2 ωl 1 ω 2 (3.16) Η ανίσαση αυή γίνεαι ελάχιση για συχνόηα: ω 0 = 1 (3.17) L Η συχνόηα αυή ονομάζεαι συχνόηα συνονισμού ου κυκλώμαος. 39

10 Ο συνελεσής ποιόηας Q δίνεαι από η σχέση: Q = 1 ω ο = ω οl (3.18) Σχ Καμπύλες απόκρισης συνονιζόμενου κυκλώμαος σειράς. Σο σχ φαίνεαι η μεαβολή ων επί μέρους ανισάσεων ων σοιχείων ου κυκλώμαος καθώς και η σύνθεη ανίσαση και ο ρεύμα, σαν συνάρηση ης συχνόηας ου εφαρμοζόμενου σήμαος. β) L παράλληλης συνδεσμολογίας. Σο σχ φαίνεαι η συνδεσμολογία μιας ανίσασης, ενός πυκνωή και ενός πηνίου σε παράλληλη σύνδεση. Η σύνθεη αγωγιμόηα ου κυκλώμαος δίνεαι από η σχέση: Y = 1 jω 1 jωl = 1 j(ω 1 I ωl ) V L και ο μέρο ης από ην: Σχ Κύκλωμα παράλληλου συνονισμού. Y = 1 2 ω 1 ωl 2 (3.19) Η αγωγιμόηα αυή γίνεαι ελάχιση για συχνόηα: Σχ Κύκλωμα παράλληλου συνονισμού. ω 0 = 1 (3.20) L Η συχνόηα αυή ονομάζεαι συχνόηα συνονισμού ου κυκλώμαος. Ο συνελεσής ποιόηας Q δίνεαι από η σχέση: Q = ω ο = (3.21) ω ο L Σο σχ φαίνεαι η μεαβολή ων επί μέρους αγωγιμοήων ων σοιχείων ου κυκλώμαος καθώς και η σύνθεη αγωγιμόηα, σαν συνάρηση ης συχνόηας ου εφαρμοζόμενου σήμαος. 40

11 Ασκήσεις: 3.1. Ένας θεικός εραγωνικός παλμός U S () με ιμή κορυφής 5V και περίοδο Τ=20msec εφαρμόζεαι σο κύκλωμα ου σχ Αν =1kΩ και =1μF, σχεδιάσε α) ην κυμαομορφή ης άσης σα άκρα ου πυκνωή U και β) ην κυμαομορφή άσης σα άκρα ης ανίσασης U. i υ s ()D υ - υ Σχ Κύκλωμα. Λύση Η σαθερά χρόνου ου κυκλώμαος είναι: ==(1kΩ)(1μF)=1msec. α) Αν αρχικά ο πυκνωής είναι αφόρισος, όαν ην χρονική σιγμή =0 εφαρμοσεί ο εραγωνικός παλμός, ο πυκνωής αρχίζει να φορίζεαι και για =5=5msec η άση σα άκρα ου θα πάρει περίπου ην ελική ης ιμή δηλ. 5V. Ενώ όαν η άση εισόδου γίνει 0 ο πυκνωής εκφορίζεαι μέσω ης ανίσασης. β) Η μορφή ης άσης σα άκρα ης ανίσασης ακολουθεί η μορφή ου ρεύμαος που διαρρέει ο κύκλωμα. Οι κυμαομορφές που προκύπουν φαίνοναι σο σχ V (Vols) U S U 5 U (msec) - 5 Σχ Κυμαομορφές ων άσεων. 3.2.Επαναλάβεε ην ίδια εργασία για =1kΩ και =10μF. 41