ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης

Transcript

1 (Με ιδέες και υλικό από ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Καρεσιανές Συνεαγμένες Εσωερικό Γινόμενο Διανυσμάων Εξωερικό Γινόμενο Διανυσμάων Βαθμωό Γινόμενο Τριών Διανυσμάων ΔΥΝΑΜΕΙΣ Διανυσμαική Φύση ης Δύναμης Σύνθεση Δυνάμεων ΡΟΠΗ Η Έννοια ης Ροπής Ροπή Πολλών Δυνάμεων Ζεύγος Δυνάμεων ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ε. Συλιάρης από παλαιόερες διαφάνειες ου κ. Καραμπαρμπούνη) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ,, Stthis STILIARIS, UoA 5-6

2 (Με ιδέες και υλικό από ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ε. Συλιάρης από παλαιόερες διαφάνειες ου κ. Καραμπαρμπούνη) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ,, 5 6 ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εσωερικό & Εξωερικό Γινόμενο ΔΥΝΑΜΕΙΣ Διανυσμαική Φύση ALOSO I HALLIDAY RESICK WALKER , ΡΟΠΗ 4., 4.4.8,.6. YOUG REEDMA Stthis STILIARIS, UoA 5-6

3 ΔΙΑΝΥΣMΑΤΑ ΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Διάνυσμα που κααλήγει σο σημείο (, ) ουεπιπέδουκαισοσημείο (,, ) ου ρισδιάσαου χώρου σε καρεσιανές συνεαγμένες. Stthis STILIARIS, UoA 5-6

4 ΔΙΑΝΥΣMΑΤΑ ΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Διάνυσμα που κααλήγει σο σημείο (, ) ουεπιπέδουκαισοσημείο (,, ) ου ρισδιάσαου χώρου σε καρεσιανές συνεαγμένες.,, : Μοναδιαία Διανύσμαα Stthis STILIARIS, UoA 5-6 4

5 ΔΙΑΝΥΣMΑΤΑ ΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Αριθμηικά Πολλαπλάσια Άθροισμα Διανυσμάων P ( ) ( ) ( ) Διαφορά Διανυσμάων Stthis STILIARIS, UoA 5-6 5

6 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣMΑΤΩΝ ΑΤΩΝ Για α διανύσμαα (,, ) και (,, ) ου ρισδιάσαου χώρου ο εσωερικό γινόμενο ορίζεαι ως: Το εσωερικό γινόμενο δύο διανυσμάων είναι βαθμωό μέγεθος. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ Stthis STILIARIS, UoA 5-6 6

7 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣMΑΤΩΝ ΑΤΩΝ cosθ ΑΠΟΔΕΙΞΗ c cosθ cosθ ( )( ) cosθ cosθ cosθ Stthis STILIARIS, UoA 5-6 7

8 ΔΙΑΝΥΣMΑΤΙΚΗ ΑΤΙΚΗ ΦΥΣΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Δύναμη: Διανυσμαικό μέγεθος Για ον καθορισμό ης χρειάζεαι όχι μόνο ο μέρο ης αλλά και η φορά ης. Ο ακριβής ορισμός ης δύναμης θα δοθεί σε συνδυασμό με η δυναμική ης κίνησης (Νόμοι ου Νεύωνα). Σο καρεσιανό σύσημα συνεαγμένων μια δύναμη μπορεί να ορισεί πλήρως από ις ρεις συνισώσες ης, και :,, : Μοναδιαία Διανύσμαα Μέρο ης Δύναμης: Μονάδα Μέρησης (S.I.): (ewton) Stthis STILIARIS, UoA 5-6 8

9 ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΤΡΕΧΟΥΣΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Συνρέχουσες δυνάμεις: Οι δυνάμεις που εφαρμόζοναι σο ίδιο υλικό σημείο Συνισαμένη: Το διανυσμαικό άθροισμα όλων ων συνρεχουσών δυνάμεων R L i i R L i i R L i i R L i i v R R R R με,, α μοναδιαία διανύσμαα Stthis STILIARIS, UoA 5-6 9

10 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣMΑΤΩΝ ΑΤΩΝ Για α διανύσμαα (,, ) και (,, ) ου ρισδιάσαου χώρου ο εξωερικό γινόμενο δίνεαι μέσω ης ορίζουσας: Το εξωερικό γινόμενο δύο διανυσμάων είναι διανυσμαικό μέγεθος. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ,, Stthis STILIARIS, UoA 5-6

11 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣMΑΤΩΝ ΑΤΩΝ Το ανάπυγμα μιας ορίζουσας ισοδυναμεί με ο άθροισμα ριών οριζουσών : Το ανάπυγμα ης ορίζουσας μπορεί να γίνει ως προς οποιαδήποε σειρά ή σήλη με ον μνημονικό κανόνα ων προσήμων: Είναι προφανές πως ισχύει η γενίκευση, όι μια ορίζουσα n άξεως μπορεί να ανικαασαθεί με n ορίζουσες άξεως (n ) ). Stthis STILIARIS, UoA 5-6

12 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣ ΔΙΑΝΥΣMΑΤΩΝ ΑΤΩΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( sinθ θ sin θ cos ) ( Stthis STILIARIS, UoA 5-6

13 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣMΑΤΩΝ ΑΤΩΝ sinθ Γεωμερική σημασία ου Εξωερικού Γινομένου h sinθ ( ) sinθ h E Το μέρο ου εξωερικού γινομένου δύο διανυσμάων ισούαι με ο εμβαδόν ου ανίσοιχου παραλληλογράμμου που σχημαίζουν α δύο αυά διανύσμαα. Stthis STILIARIS, UoA 5-6

14 ΒΑΘΜΩΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΤΡΙΩΝ ΔΙΑΝΥΣMΑΤΩΝ ΑΤΩΝ (Scl Tiple Poduct) Ορίζεαι σαν ο μεικό γινόμενο: c ( ) και είναι ένα βαθμωό μέγεθος. c (c c c ) ( ) c c c Γεωμερική σημασία ου Τριπλού Γινομένου c ( ) c cosθ ( c cosθ) ( c cosθ) E V Το ριπλό γινόμενο διανυσμάων ισούαι με ον όγκο ου ανίσοιχου παραλληλεπιπέδου που σχημαίζουν α ρία διανύσμαα. Stthis STILIARIS, UoA 5-6 4

15 ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Ροπή: Η ικανόηα μιας δύναμης να θέει σε περισροφή ένα σώμα Άξονας Περισροφής θ Άξονας Περισροφής θ : Η κάθεη συνισώσα ης δύναμης σο διάσημα : Η απόσαση ου άξονα περισροφής από ο φορέα ης δύναμης (βραχίονας) [ sin( θ )] Μέρο ης ροπής [ sin( θ )] sin(θ ) Stthis STILIARIS, UoA 5-6 5

16 ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Διανυσμαικός ορισμός ης ροπής Μέρο: sin(θ ) Καεύθυνση: Κάθεη σο επίπεδο επιβαικής ακίνας δύναμης ( ) O θ Φορά: Καθοριζόμενη από ον κανόνα ου ανίχειρα ου δεξιού χεριού Μονάδα μέρησης: m (S.I.) Η ροπή δύναμης ορίζεαι πάνοε ως προς κάποιο συγκεκριμένο σημείο αναφοράς. Μεαόπιση ης δύναμης καά μήκος ου άξονα εφαρμογής αφήνει αναλλοίωη ην ροπή ης. Αλλαγή ου σημείου αναφοράς αλλάζει ην ροπή ης δύναμης. Stthis STILIARIS, UoA 5-6 6

17 ΡΟΠΗ ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ Διανυσμαικός Διανυσμαικός ορισμός ορισμός ης ης ροπής ροπής ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Γραφή Γραφή σε σε μορφή μορφή ορίζουσας ορίζουσας Stthis STILIARIS, UoA 5-6 7

18 ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Ειδική Περίπωση: Υπολογισμός ροπής δύναμης που βρίσκεαι σο επίπεδο ΧΥ k j O i Με βάση ον διανυσμαικό ορισμό ης ροπής P(, ) Συνισώσες ης :, Ροπή ης : Ροπή ης : Συνολικό μέρο ροπής: με καεύθυνση καά μήκος ου άξονα. i j k ( ) k Stthis STILIARIS, UoA 5-6 8

19 ΡΟΠΗ ΠΟΛΛΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Υπολογισμός ροπής πολλών δυνάμεων ως προς ο σημείο Ο, όαν αυές έχουν κοινό σημείο εφαρμογής (συνρέχουσες) L Ν P Ο Η συνισαμένη δύναμη μπορεί να ανικαασήσει ένα σύσημα συνρεχουσών δυνάμεων σε ένα σώμα: Επιφέρει ο ίδιο αποέλεσμα αναφορικά με μεαοπίσεις και περισροφές. R : L Ν L ( L ) R R Συνισαμένη ων συνρεχουσών Stthis STILIARIS, UoA 5-6 9

20 ΡΟΠΗ ΠΟΛΛΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Προσοχή! Εάν οι δυνάμεις δεν έχουν κοινό σημείο εφαρμογής (δεν είναι συνρέχουσες) όε η συνισαμένη ους δεν επιφέρει ισοδύναμα αποελέσμαα. R L i i Ο R i i i i P Μεαόπιση Περισροφή L Ν i ι i Επειδή καά κανόνα α διανύσμαα και δεν είναι κάθεα μεαξύ ους, δεν διασφαλίζεαι η ικανοποίηση ης σχέσης R για κάποιο ζηούμενο. R Stthis STILIARIS, UoA 5-6

21 ΖΕΥΓΟΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Ζεύγος Δυνάμεων: Σύσημα δύο ίσων καά μέρο αλλά με ανίθεη φορά δυνάμεων με παράλληλες διευθύνσεις. Ο Η ροπή ου ζεύγους είναι ανεξάρηη από ο σημείο ως προς ο οποίο υπολογίζεαι η ροπή. Δεν μπορεί να βρεθεί μια δύναμη που να ανικαθισά ο ζεύγος δυνάμεων. Συνισαμένη Δύναμη R Άρα, ο ζεύγος δυνάμεων δεν προκαλεί μεαφορική κίνηση. Ασκούμενη Ροπή ( ) Stthis STILIARIS, UoA 5-6

22 ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΟΛΛΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Ένα σύσημα πολλών δυνάμεων μπορεί πάνα να ανικαασαθεί με μια δύναμη και ένα ζεύγος δυνάμεων. P Ο R Ο R R L i i L i Ν ι i Η συνισαμένη δύναμη R διέρχεαι από ο σημείο υπολογισμού ης ροπής Ο, ώσε να μην συνεισφέρει σην ροπή. Το ζεύγος δυνάμεων οποθεείαι σε επίπεδο κάθεο σην συνολική ροπή. Stthis STILIARIS, UoA 5-6