Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων. ηµήτριος Βαρσάµης Καθηγητής Εφαρµογών

Transcript

1 Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων ηµήτριος Βαρσάµης Καθηγητής Εφαρµογών

2 Πεδίο Συχνοτήτων Απόκριση συχνότητας LTI συστήµατος µε συνάρτηση µεταφοράς Hz). Σε ένα LTI σύστηµα µε συνάρτησηµεταφοράς Hz), εφόσον ο µοναδιαίος κύκλος βρίσκεται στην περιοχή σύγκλισης της, η απόκριση συχνότητας προκύπτει αν θέσουµε z = j e ω Έτσι µπορούµε να βρούµε το πλάτος και την φάση j H e ω ) της απόκρισης της συχνότητας. j H e ω ) Το µέτρο και όρισµα ενός µιγαδικού αριθµού w=x+jy δίνονται w x y y w = tan x = +

3 Παράδειγµα µε συνάρτησηµεταφοράς Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας, το πλάτος και η φάση του συστήµατος H z = 3+ 2z ) 1 j Θέτουµε z e ω και έχουµε H e = + Με την βοήθεια της ταυτότητας του Euler jx e = cos x+ jsin x έχουµε = ) 3 2 ) cos ω) sin ω) H e = + e = + + j = = 3+ 2cosω 2j sinω e

4 Παράδειγµα µε συνάρτησηµεταφοράς Το πλάτος της απόκρισης συχνότητας είναι ) 3 2cosω 2jsinω 3 2cosω) 2sinω) H e = cosω Η φάση της απόκρισης συχνότητας είναι ω H e = + = 3+ 2cosω ) 1 2sin 3 2 cosω 2 j sinω) tan 2 2 = + = + + =

5 Απόκριση Συχνότητας Εποµένως, σε ένα LTI σύστηµα περιγραφόµενο από εξισώσεις διαφορών ή από ψηφιακά δικτυώµατα, µπορούµε να υπολογίσουµε την απόκριση συχνότητας αφού πρώτα υπολογίσουµε την συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος.

6 Παράδειγµα µε εξισώσεις διαφορών Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας, το πλάτος και η φάση του συστήµατος 1 1 y n x n x n x n 2 2 ) = 1) + ) + + 1) Εφαρµόζουµε τονµετασχηµατισµό Ζκαιέχουµε ) ) ) ) ) ) ) 1 1 Y z 1 1 = + + = X z Y z z X z X z zx z z z 1 1 = H z z z

7 Παράδειγµα µε εξισώσεις διαφορών j Θέτουµε z = e ω και έχουµε ) 1 1 H e = e + 1+ e 2 2 j ω j ω j ω Με την βοήθεια της ταυτότητας του Euler jx e = cos x+ jsin x έχουµε H e ) = 1+ cos ω) + jsin ω) + cos ω) + jsin ω) = = 1+ 2cosω j Άρα H e ω j ω και H e ω = ) 1 2cos ) 0 = + )

8 Απόκριση Συχνότητας Την συνάρτηση µεταφοράς µπορούµενατην γράψουµε σερητήµορφή µε την βοήθεια των µηδενικών και των πόλων του συστήµατος. Έστω ένα σύστηµα που έχει Κ µηδενικά και Λ πόλους και περιγράφεται από την σχέση ) H z = A Κ 1 1 qz ) κ κ = 1 Λ 1 1 p z ) λ λ= 1 όπου q τα µηδενικά και p οι πόλοι του συστήµατος

9 Απόκριση Συχνότητας Η παραπάνω σχέση µπορεί να γραφεί ισοδύναµα ) H z = Az και θέτουµε Κ Λ Κ κ = 1 Λ λ= 1 ) ) = Ae H e z z q ) κ z p ) = Λ Κ κ = 1 Λ j e ω Κ λ e q ) κ e p ) λ λ= 1 και έχουµε

10 Απόκριση Συχνότητας Άρα το πλάτος θα είναι ίσο ) H e = A κ = 1 Λ e p ) λ λ = 1 και η φάση θα είναι ίση Κ e q ) κ ) ) ) H e = A+ ω Λ Κ + e q e p ) κ λ Κ Λ κ= 1 λ= 1

11 Παράδειγµα µε πόλους Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας, το πλάτος και η φάση του συστήµατος z H z) = 2 z 1 Το σύστηµα έχειµηδενικό το 0 και πόλους το 1 και το 1 j Θέτουµε z = e ω και έχουµε ) e H e = e 1 e + 1 ) )

12 Παράδειγµα µε πόλους Άρα ) H e 1 1 = 2sinω και e 1 = = = ω ω 2 2cosω 2+ 2cosω j 1) j e e + 1) j ω ) j ω j ω 1) j ω 1) H e = e e e + = 1 sinω 1 sinω = ω tan tan cosω 1 cosω+ 1

13 Ιδανικά Φίλτρα Ανάλογα µε τη µεταβολή του πλάτους της απόκρισης συχνότητας σε σχέση µε τησυχνότητατασυστήµατα διακρίνονται στις ακόλουθες κατηγορίες: Χαµηλοπερατά Low pass) Υψηπερατά High pass) Ζωνοπερατά Band pass) Ζωνοφρακτικά Band stop)

14 Ιδανικά Φίλτρα Χαµηλοπερατά Low pass): Το πλάτος έχει µεγάλες τιµές για χαµηλές τιµές της συχνότητας και µικρές τιµές για υψηλές τιµές της συχνότητας. Στην ιδανική περίπτωση το πλάτος της απόκρισης συχνότητας µεταβάλλεται στο σχήµα He ) 1 -π -ω c ω c π ω

15 Ιδανικά Φίλτρα Υψηπερατά High pass): Το πλάτος έχει µεγάλες τιµές για υψηλές τιµές της συχνότητας και µικρές τιµές για χαµηλές τιµές της συχνότητας. Στην ιδανική περίπτωση το πλάτος της απόκρισης συχνότητας µεταβάλλεται όπως στο σχήµα He ) 1 -π -ω c ω c π ω

16 Ιδανικά Φίλτρα Ζωνοπερατά Band pass): Το πλάτος έχει µεγάλες τιµές σε µία ζώνη τιµών της συχνότητας και µικρές τιµές εκτός της ζώνης αυτής. Στην ιδανική περίπτωση το πλάτος της απόκρισης συχνότητας µεταβάλλεται όπως στο σχήµα He ) 1 ω -π ω 1 ω 22 -ω 2 -ω 1 π

17 Ιδανικά Φίλτρα Ζωνοφρακτικά Band stop): Το πλάτος έχει µικρές τιµές σε µία ζώνη τιµών της συχνότητας και µεγάλες τιµές εκτός της ζώνης αυτής. Στην ιδανική περίπτωση το πλάτος της απόκρισης συχνότητας µεταβάλλεται όπως στο σχήµα He ) -1 ω -π ω 1 ω 22 -ω 2 -ω 1 π

18 Θέσεις πόλων και µηδενικών Ένας πόλος της συνάρτησης µεταφοράς συµβάλει στην αύξηση του πλάτους και της φάσης της απόκρισης συχνότητας όσο η κυκλική συχνότητα πλησιάζει την γωνία του πόλου. Ένα µηδενικό της συνάρτησης µεταφοράς συµβάλει στην µείωση του πλάτους και της φάσης της απόκρισης συχνότητας όσο η κυκλική συχνότητα πλησιάζει την γωνία του µηδενικού.

19 Θέσεις πόλων και µηδενικών Με βάση αυτά τα συµπεράσµατα κατάλληλες θέσεις των πόλων και των µηδενικών είναι χαρακτηριστικές γιατασυστήµατα που εξετάζονται ως φίλτρα συχνοτήτων. Συστήµατα µε πόλους που έχουν µέτρο κοντά στην µονάδα, γωνίες κοντά στο 0 και µε µηδενικά µε γωνίες κοντά στο π λειτουργούν ως χαµηλοπερατά φίλτρα Συστήµατα µε πόλους και µηδενικά σε θέσεις αντίθετες από αυτές των χαµηλοπερατών φίλτρων είναι φίλτρα υψηπερατά Συστήµατα µε πόλους κοντά στον φανταστικό άξονα λειτουργούν ως ζωνοπερατά φίλτρα.

20 Θέσεις πόλων και µηδενικών Το σύστηµα µεσυνάρτηση µεταφοράς ) 0.2 H z = 1 0.8z 1 έχει πόλο τον 0.8 και είναι χαµηλοπερατό όπως φαίνεται από τα διαγράµµατα πλάτους και φάσης

21 Θέσεις πόλων και µηδενικών Το σύστηµα µεσυνάρτηση µεταφοράς 1 1+ z H z) = z z έχει πόλους το 0.7±0.3j και µηδενικά το 0 και το 1 είναι χαµηλοπερατό

22 Θέσεις πόλων και µηδενικών Το σύστηµα µεσυνάρτηση µεταφοράς 1 1+ z H z) = z z 0.29z έχει πόλους το 0.7±0.3j και το 0.5 και µηδενικά το 0 διπλό και το 1 είναι χαµηλοπερατό

23 Θέσεις πόλων και µηδενικών Το σύστηµα µεσυνάρτηση µεταφοράς ) 0.2 H z = z 1 έχει πόλο το 0.8 και είναι υψηπερατό όπως φαίνεται από τα διαγράµµατα πλάτους και φάσης

24 Θέσεις πόλων και µηδενικών Το σύστηµα µεσυνάρτηση µεταφοράς ) 1 H z = z z z 3 έχει πόλους το 0.7±0.3j και το 0.5 και µηδενικά το 0 τριπλό είναι υψηπερατό

25 Θέσεις πόλων και µηδενικών Το σύστηµα µεσυνάρτηση µεταφοράς 2 1 z H z) = z z έχει πόλους ±0.2±0.7j 0.8 και µηδενικα ±1 και 0 διπλό είναι ζωνοπερατό