Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού Χρόνου - DTFT. Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 1

Transcript

1 Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού Χρόνου - DTFT Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 1

2 Γενικά Μορφές Μετασχηµατισµού Fourir Σήµατα που αντιστοιχούν στους τέσσερους τύπους µετασχηµατισµών α Μετασχηµατισµός Fourir FT β Σειρά Fourir FS γ Μετασχηµατισµός Fourir ιακριτού χρόνου DTFT δ ιακριτή σειρά Fourir DFS Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 2

3 α. Σήµατα συνεχούς χρόνου µη περιοδικά FT: Φάσµα συνεχές µή περιοδικό 2π ft f xt dt Χ 2π ft xt X f df xt xf t Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 3 f

4 β. Σήµατα συνεχούς χρόνου περιοδικά FS: Φάσµα ιακριτό µή περιοδικό xt 1 t 2π mft X mf x t dt p t xt p X mf 2π mft XmF t F f Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 4

5 γ. Σήµατα διακριτού χρόνου συνεχούς συχνότητας DTFT: Φάσµα συνεχές περιοδικό 1 2π f T x T X f df f s XT ιακριτό µη περιοδικό σήµα Χf π f T 2 X f x T f s f Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 5

6 δ. Σήµατα διακριτού χρόνου περιοδικά DFS: Φάσµα διακριτό - περιοδικό XT ιακριτό περιοδικό σήµα Xf Not: DFS is closly rlatd to th DFT Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 6

7 Μετασχηµατισµός Fourir ιακριτού χρόνου - DTFT Ορισµός ΟΜετασχηµατισµός Fourir ιακριτού Χρόνου DTFT X x ο αντίστροφος Ι-DTFT 1 π x X d 2π π Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 7

8 X x 1. O DTFT µετασχηµατίζει ένα διακριτό σήµα x σε µία µιγαδικής τιµής συνάρτηση Χ που παίρνει τιµές για κάθε ψηφιακή συχνότητα. 2. Ο DTFT ορίζεται για τιµές του σήµατος σε όλο το διάστηµα από - ές + 3. Αποτελεί την πλέον χρήσιµη εκ τν µορφών του µετ/σµού Fourir αναφορικά µε τη µελέτη συµπεριφοράς τν συστηµάτν Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 8

9 Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 9 DTFT βασικών σηµάτν k k X δ 1 0 δ X δ δ-κ a u... a a X 1 1

10 Παράδειγµα 1 Να βρεθεί ο DTFT της ακολουθίας : xu+2-u-3 x u+ 2 u 3 δ 2 + δ 1 + δ + δ δ + 2 X Αντικαθιστώντας την ακολουθία x στον τύπο του DTFT x [ δ δ δ + δ 1 + δ 2] cos+ 2cos2 si si Ral-valud Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 10

11 Παράδειγµα 1 Παράδειγµα 2 Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 11

12 Παράδειγµα 2 Να βρεθεί ο DTFT της ακολουθίας : Αντικαθιστώντας την ακολουθία X x x { , 0.5, 0.5,...} στον τύπο του DTFT και κάνοντας τις πράξεις θα έχουµε : x { } Χ cos+ 0.5 si 1.25 cos 1 2 Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 12

13 Ιδιότητες του DTFT Περιοδικότητα Ο Μετασχηµατισµός Fourir ιακριτού Χρόνου είναι περιοδικός ς προς µε περίοδο 2π Συµµετρία Ισχύει µόνο για πραγµατικά σήµατα Χ R Im 2 Χ + π * Χ Χ { } R Χ Χ { } { } Im Χ Χ { } Λόγ τν παραπάν για τη σχεδίαση του Χ αρκεί µισή περίοδος 0 π Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 13

14 Ιδιότητες του DTFT συνέχεια Γραµµικότητα Για δύο ακολουθίες x 1, x 2 ισχύει : 1 2 DTFT 1 ax bx ax bx2 + + Μετατόπιση στο χρόνο Συνέλιξη DTFT o o X x { * } { } { } F x x F x F x X Χ 1 2 Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 14

15 Ιδιότητες του DTFT συνέχεια Μετατόπιση στο πεδίο τν συχνοτήτν DTFT 0 0 x X Πολλαπλασιασµός περιοδική συνέλιξη Ενέργεια θεώρηµα Parsval φασµατική πυκνότητα ενεργείας Φ π DTFT 1 θ θ x y X Y dθ 2π π Ε x x Χ d 2π Φ Χ π 2 π π Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 15

16 Πίνακας Ιδιοτήτν DTFT Ιδιότητα Ακολουθία DTFT Γραµµικότητα Μετατόπιση στο Χρόνο Αντιστροφή στο Χρόνο Μετατόπιση συχνότητας Συνέλιξη στο Χρόνο Παραγώγιση ax + by ax + by x 0 0 X x X 0 x X x * y X Y x 0 dx d Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 16

17 Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 17

18 Χρήση του DTFT στη µελέτη LTI συστηµάτν x διέγερση L[. ] y απόκριση Θα ασχοληθούµε µε συστήµατα που είναι γραµµικά & ανεξάρτητα της µετατόπισης liar tim ivariat LTI Περιγράφονται µε: 1. Εξίσση ιαφορών 2. Κρουστική απόκριση Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 18

19 x διέγερση L[. ] y απόκριση y M m 0 b N m x m a k y k k 1 y h * x δ LTI- Σύστηµα h Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 19

20 Απόκριση Συχνότητας και DTFT Ορισµός Είναι ο DTFT της κρουστικής απόκρισης H h Η Η χαρακτηρίζει ένα σύστηµα στοπεδίο της συχνότητας όπς η h στο χρόνο y x h Y X H X H Y Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 20

21 Υπολογισµός της Η Βάσει του ορισµού από την impuls rspos: H h [ ] Εφαρµόζοντας το DTFT στην εξίσση διαφορών : Ν M Ν M k k ky k bx k k k Y b k X k 0 k 0 k 0 k 0 a [ ] [ ] a Y H X M k 0 Ν k 0 b a k k k k Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 21

22 Παράδειγµα Εύρεση του H από την εξίσση διαφορών y -0.8 y-1 + x - x-1 Υ -0.8 Υ - + Χ - Χ - Υ [ Υ - ] Χ [1- - ] Η Y 1 Χ Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 22

23 Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 23 Απόκριση συχνότητας και µιγαδική εκθετική διέγερση Απόκριση στη διέγερση x o 1 ο k k H k h k h h y o o o o o δηλαδή η µιγαδική-εκθετική διέγερση διαµορφώνεται από την απόκριση συχνότητας του συστήµατος

24 Απόκριση σε ηµιτονικό σήµα x Acos ο ο + H y A H cos ο o δηλαδή η απόκριση συχνότητας Η του συστήµατος αφενός µεταβάλλει το πλάτος του ηµιτονικού σήµατος σύµφνα µε τοµέτρο του Η και αφετέρου την φάση σύµφνα µε τηφάσητουη. Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 24

25 NOTES: 1. LTI systms do ot altr th iput frqucy. 2. Η απόκριση σε ηµιτονικό σήµα ονοµάζεται απόκριση στη σταθερή κατάσταση stady stat rspos. Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 25

26 ΠΑΑ : 5-6 & 6-7 Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 26