Variaţia rezistivităţii electrice a metalelor şi semiconductorilor cu temperatura

Transcript

1 Variaţia rezistivităţii electrice a metalelor şi semiconductorilor cu temperatura 1. Scopul lucrării Evaluarea comparativă a dependenţei rezistivităţii metalelor şi semiconductorilor cu temperatura. 2. Noţiuni introductive Într-un corp solid, atomii legaţi sunt aşezaţi la distanţe mici. În urma apropierii lor orbitele electronice exterioare se suprapun. Pentru atomii vecini stările energetice sunt aceleaşi astfel că principiul de excluziune al lui Pauli, care impune ca stările cu aceeaşi energie şi acelaşi spin să nu poată coexista, ar fi încălcat. Pentru a se respecta acest principiu energiile orbitelor care se suprapun se modifică, deplasându-se cu o anumită cantitate de energie. În acest fel se formează benzile energetice (efect Stark) prin despicarea nivelelor energetice individuale. Într-un cristal format din N atomi, fiecare nivel energetic discret (1s 2, 2s 2, 2p 6, ) se va transforma într-o bandă energetică având N subnivele după cum este prezentat în Fig. 1. Pentru o degenerare cu (2l+1) a unui nivel energetic vor exista Benzi energetice E E 2p 6 n=3 2s 2 n=2 1s 2 n=1 Figura 1. Formarea benzilor energetice din nivelele energetice discrete ale atomilor; a este constanta reţelei cristaline (distanţa dintre 2 atomi consecutivi). a r Nivele energetice discrete 1

2 N(2l+1) subnivele. Zonele energetice obţinute astfel reprezintă benzi permise care sunt separate prin benzi interzise (Eg). Se observă că pe măsură ce energia electronilor creşte, benzile de energie permise se lărgesc, iar cele interzise se îngustează (vezi Eg1 şi Eg2 din Fig. 1). În cazul unui corp solid există un număr destul de mare de benzi energetice care se succed. Deoarece benzile permise interioare complet ocupate nu pot participa la conducţie, pentru simplitatea modelului, se optează de cele mai multe ori pentru prezentarea ultimelor două benzi (BV şi BC). În funcţie de valoarea lui Eg, de gradul de ocupare cu electroni a benzii energetice, rezistivitate şi alte proprietăţi corpurile solide se pot împărţi în trei mari categorii: conductoare (metale), izolatoare şi semiconductoare. BC BV Ec Ev BC BI BV BC Ec BI Ev BV Eg Ec Ev (a) (b) (c) Figura 2. Reprezentarea schematică a benzilor energetice în cazul metalelor (a), semiconductorilor (b) şi a izolatorilor (c). Metalele în cazul lor nu există benzi interzise. Se formează benzi parţial ocupate din suprapunerea unei BV complet ocupate cu a unei BC libere sau parţial ocupate (vezi Fig. 2a); ρ ( m), unde ρ este rezistivitatea. Semiconductorii - în cazul lor BC este liberă, iar BV este complet sau parţial ocupată (vezi Fig. 2b); Eg < 3eV şi ( m). Izolatorii - în cazul lor BC este liberă, iar BV este complet ocupată (vezi Fig. 2); Eg > 3eV şi ( m). Din perspectiva aplicaţiilor termoelectrice, există o serie de elemente diferite în cazul metalelor faţă de cel al semiconductorilor şi care conferă valoare materialelor 2

3 semiconductoare. Dintre acestea amintim: valoarea rezistivităţii electrice (menţionată mai sus) dependenţa de temperatură a rezistivităţii electrice, semnul coeficientului de temperatură al rezistivităţii, conductivitatea electrică la temperatură foarte joasă sau influenţa impurităţilor asupra conductivităţii electrice. (a) metale Rezistivitatea electrică în cazul celor mai multe metale este determinată, la temperatura camerei, de ciocniri ale electronilor de conducţie cu reţeaua fononilor, iar la temperaturi mult mai mici (ex. heliului lichid 4K) de ciocniri cu atomi de impuritate şi imperfecţiuni mecanice care apar în reţea. Rezistivitatea netă este dată de următoarea expresie: ρ ρ T ρ i, (1) unde ρ T este rezistivitatea cauzată de fononii termici, iar i este rezistivitatea cauzată de împrăştierea electronilor pe defectele statice ale reţelei. De cele mai multe ori T este independentă de numărul de defecte atunci când concentraţia acestora este mică, iar i este independentă de temperatură. Rezistivitatea reziduală, i () este rezistivitatea extrapolată la K, deoarece valoarea lui T devine neglijabilă atunci când T. Rezistivitatea reţelei poate fi exprimată ca fiind: ρ T T ρ ρi (2) şi este aceeaşi pentru diferite tipuri de metale, chiar dacă i () poate varia semnificativ. Raportul dintre rezistivitatea materialului la temperatura camerei şi rezistivitatea reziduală reprezintă un indicator al purităţii acestuia. Partea dependentă de temperatură a rezistivităţii electrice este proporţională cu rata de ciocnire a electronilor cu fononii termici şi electronii termici. Rata de ciocnire cu fononii este proporţională cu concentraţia fononilor termici. În concluzie putem spune că rezistivitatea electrică a metalelor creşte liniar cu temperatura conform următoarei relaţii : m 1 αt ρ ρ t t, (3) 3

4 care, după înlocuirea lui din relaţia bine cunoscută R = (L/S), devine: m α t O reprezentare mai puţin riguroasă a dependenţei rezistivităţii electrice de temperatură, dar care poate contribui la formarea unei percepţii mult mai bune asupra comportamentului conductivităţii electrice ( = 1/) a metalelor este prezentată în Fig 1. ( -1 ) R R 1 t t, (4) În ultimele două expresii este rezistivitatea metalului la temperatura t ( m C), iar t este coeficientul termic al rezistivităţii metalului. Exprimând rezistivitatea electrică în funcţie de temperatura absolută se obţine: m T t t ρ α T m ρ ραt. (5) t T(K) Figura 1. Dependenţa rezistivităţii de temperatură în cazul metalelor. Derivând ultima ecuaţie în raport cu temperatura şi împărţind la se obţine: Aşadar, coeficientul termic al metalelor este pozitiv. m 1 dρ 1 dr αt. (6) ρ dt R dt 4

5 Trebuie menţionat faptul că metalele au conductivitate electrică diferită de zero indiferent cât de joasă este temperatura ceea ce înseamnă că în metale există purtători de sarcină liberi (electroni) la orice temperatură. Întrebarea care se pune este dacă fononii sunt responsabili pentru existenţa curentului de căldură în metal. În metalele pure contribuţia electronică este dominantă la toate temperaturile, în timp ce în metalele impure sau în aliajele dezordonate drumul liber mediu al electronilor este redus de ciocnirile cu impurităţi şi contribuţia fononilor poate fi comparabilă cu contribuţia electronilor. Rămâne însă important faptul că conductivitatea electrică a metalelor este foarte putin sensibilă la impurificarea metalului. În mod similar, diferiţii factori externi cum sunt radiaţiile electromagnetice, corpusculare, cîmpul magnetic sau presiunea influenţează nesemnificativ conductivitatea electrică a metalelor. (b) semiconductori Spre deosebire de dependenţa liniară a rezistivităţii electrice a metalelor, în cazul semiconductorilor rezistivitatea electrică s scade exponenţial cu creşterea temperaturii conform următoarei relaţii: s B Eg T 2kT e e, (7) ( -1 ) unde B este o constantă legată de energia de activarea conductivităţii, iar, Eg, k şi T reprezintă rezistivitatea extrapolată la T, lărgimea benzii interzise, constanta lui Boltzmann şi respectiv temperatura (vezi Fig. 2). T(K) Figura 2. Dependenţa rezistivităţii de temperatură în cazul semiconductorilor. Procedând ca şi în cazul metalelor, prin derivarea ultimei ecuaţii în raport cu temperatura şi împărţirea cu se obţine coeficientul termic al seimconductorilor t s : 5

6 s 1 dρ Eg t, (8) ρ dt 2kT α 2 care este unul negativ. De remarcat este faptul că în cazul semiconductorilor acest coeficient depinde de temperatura la care se găseşte materialul. Analizând cu atenţie expresiile de mai sus se poate observa că prin intermediul unor reprezentări grafice şi evaluarea acestora, pot fi determinaţi parametrii importanţi ai semiconductorilor. Astfel, prin înmulţirea ecuaţiei (7) cu raportul dintre lungimea şi suprafaţa semiconductorului, L/S, şi logaritmarea expresiei se obţine următoarea relaţie: ln R s 3 B 1 ln R 3 1 T (9) Dacă vom considera un caz particular, în care se vor utiliza valorile rezistenţelor R 1 şi R 2 obţinute pentru două temperaturi diferite T 1 şi T 2 şi se va ţine seama de faptul că R este o constantă, în urma reprezentării dependenţei logaritmului rezistenţei semiconductorului de inversul temperaturii se poate determina tan folosind următoarea relaţie: ln R2 ln R1 tan 3 1 1, (1) 1 T2 T1 Prin utilizarea relaţiei (7) se va putea mai apoi determina lărgimea benzii interzise E g. Spre deosebire de metale, în cazul semiconductorilor conductivitate electrică devine nulă la o anumită temperatură ceea ce înseamnă că în semiconductori nu există purtători de sarcină liberi sub acea temperatură, care se numeşte temperature de activare. De asemenea este important de menţionat faptul că impurificarea controlată a semiconductorilor poate conduce la o creştere a conductivităţii electrice cu până la şase ordine de mărime. O altă deosebire de cazul metalelor o reprezintă influenţa semnificativă pe care o au factorii externi (radiaţiile electromagnetice, corpusculare, cîmpul magnetic sau presiunea) asupra conductivităţii electrice a metalelor. 6

7 3. Desfăşurarea experimentului I. Dependenţa de temperatură a rezistenţei metalului 1. Se realizează circuitul electric (vezi Fig. 3 şi Fig. 4) 2. Se monitorizează temperatura indicată de termometru şi de Ohmetrul digital, datele se trec în Tabelul 1, aceste rezultate preliminare sunt considerate la temperatura camerei. 3. Se conectează autotransformatorul la reţeaua de 22V, iar prin rotirea tamburului spre dreapta se stabileşte în circuit un curent de 1,5 A (se va urmări indicaţia ampermetrului). 4. Se urmăresc instrucţiunile de la punctul 2, monitorizând temperatura din 5 în 5 grade precum şi valorile corespunzătoare ale rezistenţei firului metalic. Temperatura se va monitoriza în intervalul 25 9 C. Tabelul 1. Parametrii obţinuţi în urma evaluării dependenţei de temperatură a rezistenţei electrice a metalului. t ( C) R m (Ω) 7

8 autotransformator proba - metal o ~ o cuptor electric Ω A Figura 3. Schema de principiu a circuitului utilizat pentru evaluarea rezistenţei electrice cu temperatura în cazul metalelor. Figura 4. Montaj practic realizat pentru evaluarea dependenţei rezistenţei electrice cu temperatura în cazul metalelor. 8

9 autotransformator Ω proba de semiconductor o ~ o reşou electric Figura 5. Schema de principiu a circuitului utilizat pentru evaluarea rezistenţei electrice cu temperatura în cazul semiconductorilor Figura 6. Montaj practic realizat pentru evaluarea dependenţei rezistenţei electrice cu temperatura în cazul semiconductorilor. 9

10 II. Dependenţa de temperatură a rezistenţei semiconductorului 1. Se realizează circuitul electric (vezi Fig. 5 şi Fig. 6) 2. Se monitorizează temperatura indicată de termometru şi de Ohmetrul digital, datele se trec în Tabelul 2, aceste rezultate preliminare sunt considerate la temperatura camerei. 3. Se conectează autotransformatorul la reţeaua de 22 V şi se roteşte tamburul spre dreapta până la valoarea de 18 V. 4. Se urmăresc instrucţiunile de la punctul 2, monitorizând temperatura din 5 în 5 grade precum şi valorile corespunzătoare ale rezistenţei probei de semiconductor. Temperatura se va monitoriza în intervalul C. Tabelul 2. Parametrii obţinuţi în urma evaluării dependenţei de temperatură a rezistenţei electrice a semiconductorului. t ( C) R s () T (K) 1/T (K -1 ) 1 3 /T (K -1 ) lnr s () 4. Determinarea parametrilor şi rezultate Se urmăreşte obţinerea următoarelor: 1. Dependenţa rezistenţei firului metalic de temperatură (grade Celsius) 2. Obţinerea coeficientului de temperatură a rezistivităţii electrice 3. Dependenţa rezistenţei semiconductorului de temperatură (grade Celsius), dependenţa logaritmului rezistenţei semiconductorului faţă de inversul temperaturii (grade Kelvin) înmulţit cu 1 3 (coloana a şasea din Tabelul 2 în funcţie de coloana a cincea). 1

11 4. Se obţine constanta B apoi se determină lărgimea benzii interzise (ΔE g ). 5. Discutarea rezultatelor În discutarea rezultatelor se va face referire la următoarele aspecte: - analiza comparativă a dependenţei cu temperatura a rezistivităţii în cazul metalelor şi a semiconductorilor - discuţie comparativă a rezultatului obţinut în urma efectuării experimentelor cu valoarea lărgimii benzii interzise a germaniului (se cere argumentarea diferenţelor obţinute). 6. Concluzii Se vor menţiona cele mai importante rezultate obţinute în urma efectuării lucrării experimentale. 11