Το τοίχωμα ενός φούρνου αποτελείται από 15cm πυρίμαχο τούβλο, θερμικής αγωγιμότητας k=1.5w/mk.

Transcript

1 Πρόβλημα ο Το τοίχωμα ενός φούρνου αποτελείται από 5cm πυρίμαχο τούβλο, θερμικής αγωγιμότητας.5w/mk. Η θερμοκρασία στην εσωτερική του επιφάνεια μετρήθηκε και βρέθηκε ίση με 8 C ενώ η εξωτερική ήταν 5 ο C σε σταθερή κατάσταση. Πόση είναι η ροή της θερμότητας επί 4 ώρες από τη μία πλευρά του φούρνου διαστάσεων.8 m ; Λύση: Θεωρούμε ροή θερμότητας κατά μια διεύθυνση (κάθετα προς το τοίχωμα), όπως δείχνει το σχήμα.. H μετάδοση θερμότητας γίνεται με Αγωγή, από το τοίχωμα προς το τοίχωμα.. Ισχύει ο νόμος του Furier: q& A d d q& q& A q& A A q &.5 W mk (8 5) K.5m W 3 m 3 W q& q& A 3.8 m m [W] Τελικά, Q & q& [Wh] 5. [Wh] [J] 44.7 [MJ]

2 Πρόβλημα ο Σωλήνας περνάει μέσα από δωμάτιο η θερμοκρασία του οποίου είναι 5 ο C. Η εξωτερική του διάμετρος είναι d εξ. 7mm. Η θερμοκρασία στην επιφάνεια του είναι ο C, ενώ η αφετικότητά του υλικού του σωλήνα, που δεν είναι μονωμένος, ισούται με.8. Αν ο επιφανειακός συντελεστής μεταφοράς θερμότητας είναι h 5[W/m K], ποια είναι η ταχύτητα απώλειας θερμότητας ανά μονάδα μήκους του σωλήνα; Λύση: W. Το ζητούμενο είναι η θερμική ισχύς ανά m m.. Μεταφορά Θερμότητας,Q h, συμβαίνει από την επιφάνεια του σωλήνα στον αέρα του δωματίου. 3. Ακόμα, αφού, η διαφορά θερμοκρασίας σωλήνα δωματίου είναι τόσο μεγάλη (75 ο C), ο σωλήνας ακτινοβολεί υπολογίσιμο ποσό θερμότητας, Q r, στο περιβάλλον. Λόγω των () και (3) ανωτέρω, γίνεται αντιληπτό ότι οι ολικές θερμικές απώλειες είναι ίσες με το άθροισμα των επιμέρους απωλειών. q & q& h + q& r h A ( s b ) + ε A σ ( 4 s 4 περ. ) Για τον κυλινδρικό σωλήνα ισχύει: Α π d Συνεπώς, q& h (π d ) ( s b ) + ε (π d ) σ ( s 4 περ. 4 ) q& 5 W m K (π.7[m]) ( 5) C W m K 4 ( )K 4 W W W m 998 m m Σχόλι: Αξίζει να σημειωθεί ότι η q r είναι της ίδιας τάξης μεγέθους με την q h και τούτο λόγω της υψηλής θερμοκρασίας του σωλήνα και της χαμηλής Τ περ. αλλά και διότι το h έχει μικρή τιμή επειδή, προφανώς, η μεταφορά θερμότητας γίνεται με ελεύθερη ροή.

3 Πρόβλημα 3 ο Ο θερμός αέρας ενός φούρνου διαχωρίζεται από το περιβάλλον, που βρίσκεται σε θερμοκρασία 5 ο C μέσω τοιχώματος από πυρότουβλο πάχους 5cm με.5 W mk και ε.8. Στην εξωτερική επιφάνεια του φούρνου η θερμοκρασία είναι ο C. Ο επιφανειακός συντελεστής μεταφοράς θερμότητας από την εξωτερική επιφάνεια στο περιβάλλον W είναι h m K. Ποια είναι η θερμοκρασία στο εσωτερικό τοίχωμα του φούρνου; Λύση: Σύμφωνα με τις διαλέξεις, είναι φανερό ότι: από το () στο () έχουμε Αγωγή (q ) και από το () στο περιβάλλον έχουμε Μεταφορά Θερμότητας(q h ) Βάσει της αρχής διατήρησης της ενέργειας, έχουμε: q& - q& q& () i apq Για μόνιμη θερμική κατάσταση (steady state), ισχύει q αποθ. Επομένως, λόγω της αρχής διατήρησης της ενέργειας,. q & i q& () q& q& + q& (3) h r Συνεπώς, βάσει των σχέσεων για τα q&, q& h και q& r προκύπτει: A - i h A ( s περ. ) + ε Α σ ( 4 s 4 περ. ) (4) Επειδή Τ s, αντικαθιστούμε στην (4) τις τιμές των δεδομένων και έχουμε:

4 .5 W (73 + ) W mk. 5 m K (373 98)Κ +.8 (567-8 W m K 4 ) ( )Κ 4 W 5 m + 5 W m W m Λύνουμε ως προς Τ και παίρνουμε Τ 373 ο Κ +.5m W W m.5 mk 373Κ + Κ 575Κ 3 ο C

5 Πρόβλημα 4 ο Θεωρούμε έναν υαλοπίνακα ύψους 8m, πλάτους.5m, πάχους 8mm και W αγωγιμότητας.78 mk. Υπολογίστε τις απώλειες θερμότητας διαμέσου του υαλοπίνακα και τη θερμοκρασία, Τ, στην εσωτερική επιφάνειά του. Η θερμοκρασία του δωματίου είναι ο C ενώ του περιβάλλοντος είναι ο C. Οι συντελεστές μεταφοράς για την εσωτερική και εξωτερική επιφάνεια του W υαλοπίνακα είναι h mk και h W 4 mk αντίστοιχα και περιλαμβάνουν και την ακτινοβολία. Λύση: Θεωρούμε μόνιμη κατάσταση (steady state). Το πρόβλημα περιλαμβάνει Αγωγή Θερμότητας διαμέσου του υαλοπίνακα και Μεταφορά από τις επιφάνειές του. Ο καλύτερος τρόπος, λοιπόν, να αντιμετωπιστεί είναι με τη χρήση της έννοιας της θερμικής αντίστασης. Σχεδιάζουμε το διάγραμμα της θερμικής αντίστασης, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Δεδομένου ότι η επιφάνεια του υαλοπίνακα είναι Α.8m.5m.m, υπολογίζονται οι αντιστάσεις: R i R h, K.8333 ha W W. m mk R [ m].8 K.855 A W W.78. m mk R R h, K.83 ha W W 4. m mk Αφού όλες οι αντιστάσεις είναι εν σειρά, η ολική αντίσταση θα είναι:

6 R t R h, + R + R h, K W O ρυθμός μετάδοσης θερμότητας( Q & ) μέσω του υαλοπίνακα, σε μόνιμη κατάσταση δίνεται από τη σχέση: - & i ή Q R t Q& b R - h Συνεπώς, C ( ) C.7 [ K / W] 66[W] Γνωρίζοντας το ρυθμό μετάδοσης θερμότητας, η θερμοκρασία στην εσωτερική επιφάνεια του υαλοπίνακα μπορεί να προσδιοριστεί από τη σχέση & b.6 Q R - h W mc b Q& R h Τ [ ο C] 66[W] C.8333 W.[ C] Σημείωση: Η διαφορά σε βαθμούς Κελσίου [ ο C] και Κέλβιν [Κ] είναι ίσες αριθμητικά και ενεργειακά ισοδύναμες.

7 Παράδειγμα 5 ο Θεωρητική Βάση: Σε περιοχές όπου η θερμοκρασία παραμένει κάτω από τους C για παρατεταμένη περίοδο του χρόνου, το πάγωμα του νερού σε υπόγειους σωλήνες είναι ένα μεγάλο πρόβλημα. Ευτυχώς, το έδαφος παραμένει σχετικά ζεστό κατά τη διάρκεια των περιόδων αυτών και χρειάζονται αρκετές εβδομάδες ώστε θερμοκρασίες κάτω του μηδενός να φθάσουν στα υδάτινα αποθέματα στο υπέδαφος. Επίσης, πρέπει να τονιστεί ότι το έδαφος συμβάλλει αποτελεσματικά στην προστασία του νερού από θερμοκρασίες κάτω του μηδενός τον χειμώνα. Πρόβλημα: Το έδαφος σε μια συγκεκριμένη τοποθεσία είναι πλήρως καλυμμένο από κομμάτια πάγου στη θερμοκρασία των ο C για μια συνεχή περίοδο 3 μηνών. Τα δεδομένα για το έδαφος στη συγκεκριμένη περιοχή είναι.4w/m ο C, α.5-6 m /s (σχ. ). Υποθέτοντας μια αρχική σταθερή θερμοκρασία 5 ο C για το έδαφος. Προσδιορίστε το ελάχιστο βάθος τοποθέτησης των σωλήνων στο έδαφος ώστε να μην παγώνει το νερό κατά την ως άνω περίοδο των 3 μηνών. Υπέδαφος Σχήμα Λύση: Οι σωλήνες νερού είναι τοποθετημένοι στο υπέδαφος για να αποφευχθεί το πάγωμα. Το ελάχιστο βάθος τοποθέτησης τους προσδιορίζεται στη συνέχεια. Ανάλυση : Η θερμοκρασία του εδάφους που περιβάλλει τις σωλήνες, σύμφωνα με το πρόβλημα, θα πρέπει να φτάσει τους C μετά από 3 μήνες στην περίπτωση που έχουμε το ελάχιστο βάθος. Διαφορετικά, για μεγαλύτερο βάθος η θερμοκρασία θα φτάσει τους ο C μετά από περίοδο πέρα των τριών μηνών.

8 Έτσι έχουμε h at (, t) i ( ). 5 ( ) 6 ξ.36 αφού h at Παρατηρούμε ότι t (9days)(4h/day)(36s/h) sec Επιπλέον, ξ at.36 (.5 6 m / sec)( m Για το λόγο αυτό, οι σωλήνες πρέπει να τοποθετηθούν τουλάχιστον 77cm κάτω από την επιφάνεια του εδάφους ώστε να αποφύγουμε το πάγωμα κάτω από συγκεκριμένες ακραίες χειμερινές συνθήκες. Εναλλακτική λύση: Η λύση του προβλήματος μπορεί να προσδιοριστεί και με τον εξής τρόπο Τ(,t), i 5, s -[ ο C] (, t) - i s i erfc at ( ) 5 ( ) erfc at.6 ξ at.37 (.5 6 m / sec)( m Ο συντελεστής ξ προκύπτει από πίνακα ότι είναι ξ.37. Όπως και προηγουμένως, η διαφορά στην τιμή οφείλεται σε οπτικό σφάλμα στα διαγράμματα Heisler.

9 Πρόβλημα 6 ο Ένα άτομο βρέθηκε νεκρό στις 5μμ σε ένα δωμάτιο του οποίου η θερμοκρασία είναι C. Η θερμοκρασία του σώματος όταν βρέθηκε ήταν 5 ο C. O συντελεστής μεταφοράς θερμότητας στο χώρο όπου βρέθηκε το σώμα, εκτιμήθηκε ότι είναι h8w/m C. Θεωρώντας ότι το ανθρώπινο σώμα είναι ένας κύλινδρος με 3cm διάμετρο και.7m ύψος, υπολογίστε την ώρα του θανάτου του ατόμου. Λύση: Ένα σώμα βρέθηκε ενώ είναι ακόμη ζεστό. Ο χρόνος θανάτου πρέπει να εκτιμηθεί. Υποθέσεις:. Το σώμα μπορεί να θεωρηθεί ως ένας κύλινδρος με 3cm διάμετρο και.7m ύψος.. Τα θερμικά δεδομένα του σώματος και ο συντελεστής μετάδοσης της θερμότητας είναι σταθερά. 3. Το ποσοστό της ακτινοβολούμενης ενέργειας θεωρείται αμελητέο. 4. Το άτομο ήταν υγιές όταν πέθανε, με θερμοκρασία σώματος 37 C. Δεδομένα: Κατά μέσο όρο το ανθρώπινο σώμα περιέχει 7% νερό και κατά συνέπεια μπορούμε να δεχτούμε ότι το σώμα έχει τα παρόμοιες ιδιότητες με αυτές του νερού, στη μέση θερμοκρασία (37+5)/3 C,.67W/m C, ρ996g/m 3,C p 478J/g ο C

10 Τις τιμές αυτές τις παίρνουμε από Πίνακες. Το χαρακτηριστικό μήκος του σώματος,(v/a C ), είναι ίσο με: V πr π(.5m) (.7m) C A r r (.5m)(.7m) (.5m) C π π + π + π O αριθμός Bit είναι ισούται με:.689m h Bi C (8W / m C)(.689m).89 >..67W / m C Συνεπώς, το σύστημα ανάλυσης δεν είναι εφαρμόσιμο. Όμως, μπορούμε ακόμα να το χρησιμοποιήσουμε για να φτάσουμε σε μια πρόχειρη εκτίμηση της ώρας θανάτου. Το b σε αυτήν την περίπτωση είναι ίσο: b ha pc V p h pc p C (996g / m 3 8W / m C )(478J / g C)(.689m).79 5 s Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στην ακόλουθη εξίσωση ( t) Bt 5 5 (.79 s ) t i e e 37 Λύνουμε τη σχέση αυτή ως προς t και λαμβάνουμε: t 43.86s.h Επομένως, με μια πρόχειρη εκτίμηση το άτομο πέθανε ώρες πριν το σώμα βρεθεί και, κατά συνέπεια, η ώρα του θανάτου είναι 5πμ. Αυτό το παράδειγμα αποδεικνύει την αξία της θερμικής ανάλυσης.

11 Πρόβλημα 7: Παράδειγμα εφαρμογής οριακών συνθηκών: Τοίχωμα με διαφορετικά ζεύγη οριακών συνθηκών. Θεωρούμε μόνιμη μονοδιάστατη μετάδοση θερμότητας με αγωγή, σε μεγάλο επίπεδο τοίχωμα, πάχους και με σταθερή θερμική αγωγιμότητα, χωρίς εσωτερική παραγωγή θερμότητας q *. Ł ł Να παραχθούν σχέσεις για τη μεταβολή της θερμοκρασίας, (), στο τοίχωμα για τα ακόλουθα ζεύγη οριακών συνθηκών. η d() Ø W ø - q& 4Œ d œ και ( ) 5[ C] º cm ß η d() Ø W ø d() Ø W ø - q& 4Œ d œ και - q& 5 º cm Œ œ ß d º cm ß 3 η d() Ø W ø d() Ø W ø - q& 4Œ d œ και - q& 4 º cm Œ œ ß d º cm ß Λύση: Κατ αρχήν θεωρούμε μετάδοση θερμότητας μονοδιάστατη (κατά μήκος του ), d dt, με σταθερή θερμική αγωγιμότητα (cnst.) και χωρίς μόνιμη ( ) εσωτερική παραγωγή θερμότητας q *. Ł ł Επομένως, η διαφορική εξίσωση που χαρακτηρίζει το πρόβλημα είναι: d (Π7.) d d Η γενική λύση είναι η: c d cd d () c +, (Π7.) c όπου c, c είναι σταθερές. (Π7.3) Η σχέση Π7. προκύπτει από τη σχέση (.77), του δευτέρου μαθήματος, για μονοδιάστατη ροή και μηδενική παραγωγή θερμότητας εντός του τοιχώματος. Προσοχή: Οι ειδικές λύσεις της διαφορικής εξίσωσης που αντιστοιχούν σε κάθε ζεύγος των παραπάνω οριακών συνθηκών έχουν ως εξής:

12 η Οριακή Συνθήκη: Σ αυτήν περίπτωση καθορίζονται δύο οριακές συνθήκες στο ίδιο όριο, και συγκεκριμένα το έχουμε: d d c (Π7.4) Αντικαθιστούμε την Π7. στην η οριακή συνθήκη. Η εφαρμογή της συνθήκης αυτής μας δίνει: d() q& 4 W m - q& -c q& c - d [ ] και ( ) c() + c () c + c c Αντικατάσταση των c και c στην Π7.3 δίνει την ειδική λύση: q () & + [ W m ] [ C] 4 - W m + 5 Για ( ) 5[ C] Για ( ) ( 5 - )[ C] -5[ C] [ C] - [ C m] + 5[ C] Από τα παραπάνω βλέπουμε ότι είναι δυνατόν να καθοριστούν δύο οριακές συνθήκες στο ίδιο σύνορο και δεν υπάρχει ανάγκη ορισμού των σε διαφορετικές τοποθεσίες. Στην πραγματικότητα υπάρχει μοναδική λύση όταν καθορίζονται οριακές συνθήκες στο ίδιο σύνορο. η Οριακή Συνθήκη: Σ αυτήν την περίπτωση δίδονται οι ροές θερμότητας στα δύο σύνορα. Εφαρμογή των οριακών συνθηκών δίνει: d q - q& -c q& c - και d & d - d q& q& -c q& c - Καθώς q & q&, δεν υπάρχει λύση. Αυτό είναι αναμενόμενο διότι θεωρούμε ότι η θερμοκρασία είναι σταθερή παρέχοντας θερμότητα και από τις δύο πλευρές του τοίχου πράγμα αδύνατο.

13 3 η Οριακή Συνθήκη Στην περίπτωση αυτή, εφαρμογή των οριακών συνθηκών θα οδηγήσει στην ίδια σχέση δύο φορές, δηλ.: q& - c που μας πληροφορεί ότι: q& () - + c Αυτή η λύση αντιπροσωπεύει μια οικογένεια γραμμών που έχουν κλίση - q&. Η λύση του προβλήματος μας λέει ότι η θερμότητα που προστίθεται από τη μια πλευρά του τοίχου ισούται με τη θερμότητα που αφαιρείται από την άλλη πλευρά. Αυτό όμως είναι αποτέλεσμα του γεγονότος ή της υπόθεσης ότι η μετάδοση θερμότητας είναι μόνιμη και συνεπώς η δεύτερη οριακή δεν παρέχει πληροφορίες για τη λύση του προβλήματος. Συνεπώς δεν υπάρχει μοναδική λύση για το πρόβλημα αυτό.

14 Πρόβλημα 8 Θεωρούμε την πλάκα βάσης ενός ηλεκτρικού σίδερου ισχύος [W] πάχους.5[cm], επιφάνειας A3[cm ] και θερμικής αγωγιμότητας 5[W/m C]. Η εσωτερική επιφάνεια της πλάκας υπόκειται σε σταθερή παραγωγή θερμότητας που δημιουργείται από τις αντιστάσεις θέρμανσης του ηλεκτρικού σίδερου. Η εξωτερική επιφάνειά του χάνει θερμότητα προς το περιβάλλον λόγω μεταφοράς. Το περιβάλλον έχει θερμοκρασία [ C]. Ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας λαμβάνεται ίσος με h 8[ W m C]. Αγνοώντας τις απώλειες θερμότητας λόγω ακτινοβολίας, να ευρεθεί μια έκφραση για τη μεταβολή της θερμοκρασίας στην εσωτερική και εξωτερική επιφάνεια. Λύση: Η μετάδοση θερμότητας θεωρείται μόνιμη και μονοδιάστατη καθώς η επιφάνεια της πλάκας είναι μεγάλη σε σχέση με το πάχος της. Υποθέτουμε ότι η επάνω πλάκα του θερμοστάτη είναι καλά μονωμένη με αποτέλεσμα η παραγόμενη θερμότητα να μεταδίδεται αποκλειστικά στην πλάκα προς την άλλη πλευρά που βλέπει στο περιβάλλον. Η εσωτερική επιφάνεια της πλάκας υπόκειται σε ομοιόμορφη παραγωγή θερμότητας με ρυθμό: * * Q [W] Ø W ø q 4 Œ.3[m ] œ (Π8.) A º m ß bάshv Η εξωτερική πλευρά υπόκειται σε μεταφορά θερμότητας. Θεωρούμε άξονα κάθετο στην επιφάνεια της πλάκας με αρχή την εσωτερική επιφάνεια της πλάκας. Η διαφορική εξίσωση που διέπει τη μετάδοση της θερμότητας μέσα στην πλάκα d είναι: (Π8.) d με οριακές συνθήκες τις: - d() Ø W ø q& 4Œ œ (Π8.3) d º m ß - d() d και h ( () - ) (Π8.3) Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης Π8. λαμβάνεται με δύο διαδοχικές ολοκληρώσεις που δίνουν: d c (Π8.5) d

15 και () c+ c, με c, c σταθερές (Π8.6) Εφαρμογή της ης Οριακής Συνθήκης δίνει: d() q& - q& -c q& c - (Π8.7) d Λαμβάνοντας υπ όψιν ότι d c και () c + c η εφαρμογή της ης οριακής d συνθήκης θα μας δώσει: - d() h d ( () - ) [( c + c ) - ] - c h (Π8.8) Αντικατάσταση της σχέσης (Π8.) και λύση ως προς c μας δίνει: c c - - c h q& + h q& + h Αντικατάσταση των c και c στη γενική εξίσωση μας (Π8.6) δίνει: - () + q& + Ł h ł Για και έχουμε την απάντηση στα ερωτήματα της άσκησης: - () + q& + Ł h ł 533 [ C] [ C] Ø W ø.5[m] + 4 Œ m œ º ߣ 5 W m 8 W m + [ C] [ C] 4 και [ ] [ W m ] () + q& + C + Ł h ł 8[ W m C] ł 5 [ C]

16 Πρόβλημα 9 Θεωρούμε επίπεδο τοίχο πάχους.6[m] και θερμικής αγωγιμότητας.[w/m C]. Ο τοίχος καλύπτεται με πλακίδια πορσελάνης (λευκού χρώματος) τα οποία παρουσιάζουν συντελεστή εκπομπής (emissivity) ε.85 και συντελεστή ηλιακής απορρόφησης α.6 όπως φαίνεται στο σχήμα (Π9.). Η εσωτερική επιφάνεια του τοιχώματος διατηρείται μόνιμα σε θερμοκρασία i 3[K], ενώ η εξωτερική επιφάνεια εκτίθεται σε ηλιακή ακτινοβολία ισχύος q & 8 W m. slar [ ] Η εξωτερική επιφάνεια έχει θερμικές απώλειες λόγω ακτινοβολίας στο περιβάλλον, το οποίο βρίσκεται σε θερμοκρασία [Κ]. Να υπολογιστεί η θερμοκρασία στην εξωτερική επιφάνεια του τοιχώματος και τη μετάδοση θερμότητας στον τοίχο υπό μόνιμες συνθήκες. Τι θα γινόταν σε περίπτωση που δεν προσέπιπτε ηλιακή ακτινοβολία στην εξωτερική επιφάνεια; Λύση:. Η μετάδοση θερμότητας είναι μόνιμη καθώς δεν υπάρχει μεταβολή των εξωτερικών παραγόντων που επηρεάζουν τη μετάδοση θερμότητας.. Το πρόβλημα είναι μονοδιάστατο καθώς ο τοίχος θεωρείται μεγάλος σε σύγκριση με το πάχος του τοιχώματος. 3. Θεωρούμε άξονα κάθετο στην επιφάνεια του τοίχου, με αρχή την εσωτερική επιφάνεια του τοίχου. Σχήμα Π9. α 3[K] Εσωτ. Επιφάνεια Εξωτ. Επιφάνεια i 3[K] Η διαφορική εξίσωση του προβλήματος είναι η: d d (Π9.) με οριακές συνθήκες: () 3[K] (Π9.α) και es ( () ) 4 [ - space ] 4 - aq& slar d() - (Π9.β) d

17 όπου space [K]. Η γενική λύση η οποία προκύπτει με δύο διαδοχικές ολοκληρώσεις είναι: () c +, c (Π9.3) όπου c, c σταθερές. Εφαρμογή της πρώτης οριακής συνθήκης δίνει: () c (Π9.4) Γνωρίζοντας ότι d c και () c + c c + (Π.9.5) d η εφαρμογή της δεύτερης οριακής συνθήκης θα μας δώσει: d() es( () ) - aq& slar -c es( c + ) - aq& slar (Π9.6) d Για την απλοποίηση της παραπάνω σχέσης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Αντικαθιστούμε το c + με το ίσον του στην Π9.6 (), λύνουμε ως προς c και προκύπτει: c aq& slar - es 4 (Π9.7) Αντικατάσταση των c και c στη γενική εξίσωση (Π.9.5) θα δώσει: aq& - es 4 () slar + (Π9.8) η οποία είναι η γενική λύση της εξίσωσης και είναι συνάρτηση της εξωτερικής θερμοκρασίας. Για θα μας δώσει: Ł ł 4 Παρατήρηση: Η εξίσωση αυτή λύνεται με προγράμματα επίλυσης μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ή με προσεγγιστικές μεθόδους.

18 π.χ.: Γίνεται αρχική πρόβλεψη της, έστω 3[Κ] Αντικαθιστούμε την τιμή αυτή στο δεξί μέλος της σχέσης Π9.8. Τότε η Π9.8 δίνει: 9.[K] Αντικαθιστούμε διαδοχικά τις τιμές που θα παίρνουμε στο δεξί μέλος της εξίσωσης Π9.8. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρις ότου η θερμοκρασία να συγκλίνει σε μια τιμή. Στην περίπτωση μας θα πάρουμε: () () (3) (4) (5) 9.[ K] 93.[ K] 9.6[ K] 9.7[ K] 9.7[ K] Αντικατάσταση της στη γενική εξίσωση θα μας δώσει: () -.5 m - [ ] + 3[K] Από την παραπάνω εξίσωση βλέπουμε ότι η εξωτερική θερμοκρασία είναι μικρότερη της εσωτερικής. Η ροή θερμότητας θα είναι προς την εξωτερική επιφάνεια παρ όλη την απορρόφηση την ηλιακής ακτινοβολίας και θα ισούται με: & -. [ ] ( 39.7 [ )[ K ] ] W mk.6 m q 46 [ W / m ] Στην περίπτωση απουσίας ηλιακής ακτινοβολίας είναι q& slar και τελικά αποδεικνύεται ότι: 84.9[ K] δηλαδή θα υπάρχει μια μείωση της τάξεως των 8[Κ].

19 Πρόβλημα ο Να διερευνηθεί η πιθανή ύπαρξη ενός βέλτιστου πάχους μόνωσης για συστήματα σωληνώσεων. Συγκεκριμένα, αν και η αντίσταση στην αγωγιμότητα αυξάνεται με την πρόσθεση μόνωσης, ωστόσο η αντίσταση στην μετάδοση θερμότητας με μεταφορά μειώνεται λόγω της αύξησης της εξωτερικής επιφάνειας. Επομένως είναι πιθανόν να υπάρχει ένα πάχος μόνωσης που να ελαχιστοποιεί ή να μεγιστοποιεί τις απώλειες θερμότητας. Δηλ. να έχουμε μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση της συνολικής αντίστασης στη μετάδοση θερμότητας. Θα διερευνήσουμε το ζήτημα αυτό λαμβάνοντας υπόψη το παρακάτω πρόβλημα.. Ένας λεπτότοιχος χάλκινος σωλήνας ακτίνας r i χρησιμοποιείται για τη μεταφορά ενός ψυκτικού μέσου και ευρίσκεται σε μια θερμοκρασία Τ i η οποία είναι μικρότερη από τη θερμοκρασία του περιβάλλοντος αέρα a, γύρω από τον σωλήνα (βλ. σχήμα Π4.). Υπάρχει, άραγε, ένα βέλτιστο πάχος μόνωσης το οποίο να σχετίζεται με βελτιστοποίηση των θερμικών απωλειών ;. Επιβεβαιώστε το παραπάνω αποτέλεσμα με υπολογισμό της συνολικής θερμικής αντίστασης ανά μονάδα μήκους του σωλήνα διαμέτρου [mm], έχοντας τα παρακάτω πάχη μονώσεων:,, 5,,, και 4 [mm]. Η μόνωση αποτελείται από κυψελοειδή ύαλο, και ο συντελεστής θερμικής μεταφοράς της εξωτερικής επιφάνειας είναι h5 [W/m Κ]. Λύση: Δεδομένα : Ακτίνα r i και θερμοκρασία i ενός λεπτότοιχυ χάλκινου σωλήνα ο οποίος θα είναι μονωμένος από τον περιβάλλοντα αέρα. Να προσδιοριστεί:. Εάν υπάρχει ένα βέλτιστο πάχος μόνωσης το οποίο ελαχιστοποιεί το ρυθμό μεταφοράς θερμότητας.. Η θερμική αντίσταση η οποία σχετίζεται με μόνωση κυψελοειδούς ύαλου μεταβαλλόμενης πυκνότητας. Υποθέσεις:. Συνθήκες σταθερής κατάστασης.. Μονοδιάστατη μετάδοση θερμότητας ακτινικά. 3. Μηδαμινή θερμική αντίσταση αγωγιμότητας από τα τοιχώματα του σωλήνα. Σχήμα Π.: Λεπτότοιχος σωλήνας ακτίνας r i περιβάλλεται από μονωτικό ακτίνας r πάχος r -r. Η θερμική αντίσταση στην αγωγή, R. Η αντίσταση στη μεταφορά θερμότητας είναι R c. Θεωρούμε ότι το τοίχωμα του σωλήνα έχει αμελητέα συνολική θερμική αντίσταση.

20 4. Σταθερές ιδιότητες της μόνωσης. 5. Μηδαμινή ανταλλαγή ακτινοβολίας μεταξύ της εξωτερικής επιφάνειας της μόνωσης και του περιβάλλοντος. Ιδιότητες: Έστω ότι η θερμοκρασία είναι 85 Κ, και ότι,55[w/mk] για την κυψελοειδή ύαλο. Ανάλυση:. Η αντίσταση στη μετάδοση θερμότητας μεταξύ του ψυκτικού μέσου και του αέρα κυριαρχείται από την αγωγή θερμότητας στη μόνωση και την μετάδοση θερμότητας στο περιβάλλον μέσω μεταφοράς. Επομένως, το θερμικό κύκλωμα δίδετε στο σχήμα (Π.Α), όπου οι αντιστάσεις αγωγής και μεταφοράς ανά μονάδα μήκους ακολουθούν στις εξισώσεις (Π.) και (Π.), αντίστοιχα. r R ln, βλ. σχέση.8, στη η Διάλεξη p Ł ri ł (Π.) R h, βλ. παράγραφο στην η Διάλεξη prh (Π.) Η συνολική θερμική αντίσταση ανά μονάδα μήκους του σωλήνα δίδεται από την σχέση: R tt r ln + (Π.3) p Ł ri ł prh Επομένως, ο ρυθμός μετάδοσης θερμότητας ανά μονάδα μήκους του σωλήνα είναι: & i a (Π.4) Q' R - tt Ένα βέλτιστο πάχος μόνωσης θα σχετιζόταν με την τιμή του r ο οποίος θα ελαχιστοποιούσε το Q & ' ή θα μεγιστοποιούσε το R. Ο προσδιορισμός της τιμής αυτής του r επιτυγχάνεται με το θεώρημα του Rlle που απαιτεί να μηδενισθεί η πρώτη παράγωγος του R tt ως προς r, δηλ. tt dr tt (Π.5) dr

21 Παραγωγίζουμε την σχέση (Π..3) και μηδενίζουμε την παράγωγο. Προκύπτει: - pr pr h (Π.6) ή mn r (Π.7) h Το r αυτό είναι ίσο με : r r i + Drmn. όπου Dr mn r - ri Για να προσδιορίζουμε αν το αποτέλεσμα αυτό δηλ. η τιμή του r μεγιστοποιεί ή ελαχιστοποιεί τη συνολική αντίσταση, πρέπει να προσδιορισθείη δεύτερη παράγωγος. Συνεπώς: d R dr tt pr + 3 pr h (Π.8) Θέτουμε στην Π4.8 την τιμή του r, r μον / h, η οποία μηδενίζει την Π.5. Προκύπτει ότι η τιμή της ης mn παραγώγου στο σημείο αυτό ( r ) ισούται με: h d R dr tt p ( h) Ł - ł 3 p h 3 > (Π.9) Επειδή το αποτέλεσμα είναι πάντα θετικό, συνεπάγεται πως όταν η ακτίνα της mn μόνωσης, είναι r τότε η συνολική αντίσταση είναι ελαχίστη και όχι μεγίστη. h Συνεπώς ένα βέλτιστο πάχος μόνωσης δεν υφίσταται σε σχέση με την μείωση των απωλειών. Από τα παραπάνω αποτέλεσμα είναι πιο λογικό να σκεφθούμε προς την κατεύθυνση της κρίσιμης τιμής ακτίνας μόνωσης. r cr h (Π.) Εάν r cr > ri, το Q & ' αυξάνεται με αύξηση του r που προκύπτει με πρόσθεση μόνωσης πάχους Δr μ στην r i, δηλ. r i +Δr μ r.

22 Αντίθετα, αν r cr < ri, το Q & ' μειώνεται με αύξηση του r, δηλ. με την όποια προσθήκη μονωτικού υλικού.. Εάν h[5 W/m K] και.55[w/mk], η κρίσιμη ακτίνα είναι ίση με: [ W mk].55 cr.[m] [cm] 5 W m r [ K] Άρα r cr > ri και η μετάδοση θερμότητας, δηλ. οι απώλειες θερμότητας θα αυξηθούν με πρόσθεση μόνωσης μέχρι και: rcr - ri (. -.5)[m].6[m] Περαιτέρω αύξηση του πάχους μόνωσης αρχίζει να μειώνει τις απώλειες στο σωλήνα όπως δείχνει το σχήμα (Π.) τις απώλειες στο σώμα. Οι θερμικές αντιστάσεις που αντιστοιχούν στις καθορισμένες ποσότητες της μόνωσης μπορούν να υπολογισθούν με τις σχέσεις (Π.) και (Π.) αναπαρίστανται όπως στο σχήμα Π. Σχόλια:. Η επίδραση της κρίσιμης ακτίνας αποκαλύπτεται από το γεγονός ότι, ακόμα και για μόνωση [mm], η συνολική αντίσταση δεν είναι τόσο μεγάλη όσο η τιμή για καθόλου μόνωση.. Αν r cr > ri, όπως και σε αυτή την περίπτωση, η συνολική αντίσταση μειώνεται και ο ρυθμός απώλειας θερμότητας συνεπώς αυξάνεται με την προσθήκη της μόνωσης. Αντιστρόφως, εάν r cr < ri, κάθε προσθήκη μόνωσης θα ηύξανε την συνολική αντίσταση και επομένως θα εμείωνε την απώλεια θερμότητας. Αυτή η συμπεριφορά θα ήταν επιθυμητή για ροή ατμού διαμέσου του σωλήνα, όπου η μόνωση προστίθεται για να ελαττωθούν οι απώλειες θερμότητας προς το περιβάλλον. 3. Για ακτινικά συστήματα, το πρόβλημα της ελάττωσης της συνολικής αντίστασης στις εφαρμογές της μόνωσης υπάρχει μόνο για σωλήνες μικρής διαμέτρου και για μικρούς συντελεστές αγωγιμότητας. Για μια τυπική μόνωση όπου».3[w/mκ] και για ελεύθερη μεταφορά θερμότητας στον αέρα, όπου (h» [W/m K]) προκύπτει: r cr (/h)».3[m]. Τέτοια μικρή τιμή μας δηλώνει ότι κανονικά r cr < ri και ότι δεν πρέπει να μας απασχολούν οι επιδράσεις της κρίσιμης ακτίνας, σε συνηθισμένων διαμέτρων σωλήνες. 4. Στην περίπτωση ορθογώνιων τοιχωμάτων, η επιφάνεια είναι κάθετη στη διεύθυνση της ροής της θερμότητας και είναι μάλιστα σταθερή. Άρα δεν υπάρχει κρίσιμη τιμή για το πάχος της μόνωσης. Η συνολική αντίσταση πάντα αυξάνεται με αύξηση του πάχους της μόνωσης.

23 Πρόβλημα ο Το παράθυρο με το διπλό τζάμι που φαίνεται στο σχήμα Π. έχει κάθετο ύψος.8[m], πλάτος [m] και αποτελείται από ένα διπλό φύλλο τζαμιού διαχωριζόμενο από κενό αέρα [cm] σε ατμοσφαιρική πίεση. Εάν η θερμοκρασία στις δύο επιφάνειες του διπλού υαλοπίνακα τζαμιού έχει μετρηθεί ίση προς [ ο C] και [ C], αντίστοιχα να προσδιοριστεί ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας δια μέσου του παραθύρου. Λύση: Σχήμα Π. Τα δύο τζάμια ενός διπλού παραθύρου διατηρούνται σε συγκεκριμένες θερμοκρασίες. Πρέπει να καθοριστεί ο ρυθμός μεταφοράς της θερμότητας δια μέσου του παραθύρου. ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ:. Σταθερές καταστάσεις λειτουργίας.. Ο αέρας είναι ένα ιδανικό αέριο. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ: Οι ιδιότητες του αέρα στην μέση θερμοκρασία των ( + ) 7[ C] 8[K] και σε πίεση atm είναι οι ακόλουθες ( βλ. φάκελο πίνακες για τον αέρα).46 [W/m C]

24 Pr.77 ν.4χ -5 [m/s] - b.357[k ] f 8[K] Τ f η θερμοκρασία του ορίακου στρώματος σε Κ + f c d Ανάλυση: Ουσιαστικά, έχουμε μια περιοχή που περικλείεται από ένα ορθογώνιο και εντός αυτού υπάρχει αέρας. Η χαρακτηριστική απόσταση σε αυτή την περίπτωση είναι η απόσταση μεταξύ των δύο γυάλινων. επιφανειών, d.[m]. Τότε, ο αριθμός Rayleigh είναι: gb Ra 3 - ( - ) d ( 9.8[m / s ](.357 )[K ]( - )[K] )(.[m] ) n Pr -5 (.4 [m s] ) hc Ο αριθμός Nusselt όπου, N u, χρησιμοποιείτε για τον προσδιορισμό του επιφανειακού συντελεστή μεταφοράς θερμότητας. Σε αυτήν την περίπτωση δίνεται από την σχέση: Nu.97Ra / 4 Ł H d ł [m] ( ) / 4. 3 Ł.[m] ł - / 9 Τότε: A H.8[m] [m].6[m ] W.3.46 N N u u και h h m C. 63 c d.m Επόμενος W ( )[ C] Q& - Ø ø - ha [m ] 5.9[W] d Œ Ł m C œ º ß ł.[m]. W Q h A D ή Q.63.6m ( - ) C m C Οι θερμικές απώλειες μέσου του παραθύρου είναι ισχύος 5.9[W]

25 ΣΥΖΗΤΗΣΗ: Θυμηθείτε ότι ο αριθμός Nusselt της τάξης του Nul για ένα κάλυμμα ανταποκρίνεται σε καθαρή αγωγή θερμότητας μέσω του καλύμματος. O αέρας στο διάκενο σ' αυτήν περίπτωση παραμένει σταθερός, και δεν παρατηρείται καμία φυσική αγωγή θερμότητας. Ο αριθμός Nusselt στην περίπτωσή μας είναι Nu.3 φορές μεγαλύτερος από την καθαρή αγωγή. Η αύξηση της μεταφοράς θερμότητας οφείλεται στην φυσική που αναπτύσσεται στο διάκενο. Πρόβλημα ο - Μετάδοση θερμότητας μέσω σφαιρικού καλύμματος Οι δύο ομοκεντρικές σφαίρες διαμέτρων D [cm] και D 3[cm] που φαίνονται στο αντίστοιχο σχήμα, διαχωρίζονται από στρώμα αέρα πίεσης [atm]. Οι θερμοκρασίες στην επιφάνεια των δύο σφαιρών είναι Τ 3[Κ] και Τ 8[Κ], αντίστοιχα. Να καθορίσετε τον ρυθμό μετάδοσης της θερμότητας από την εσωτερική σφαίρα προς την εξωτερική μέσω φυσικής αγωγής. Λύση: Οι δύο επιφάνειες του σφαιρικού καλύμματος διατηρούνται σε καθορισμένες θερμοκρασίες. Θα πρέπει να καθοριστεί ο ρυθμός μετάδοσης της θερμότητας μέσω του καλύμματος. Παραδοχές:. Ύπαρξη σταθερών συνθηκών λειτουργίας.. Ο αέρας θεωρείται ιδανικό αέριο. Ιδιότnτες: Οι ιδιότητες του αέρα σε μια μέση θερμοκρασία (Τ + Τ )/(3+8)/3Κ και σε μια πίεση [atm] είναι:,6[w/m C]

26 Pr,7 ν,57-5 b.333[k 3[K] - ] Ανάλυση:. Έχουμε ένα σφαιρικό κλειστό χώρο γεμάτο με αέρα. Το χαρακτηριστικό μήκος στην περίπτωση αυτή είναι η απόσταση μεταξύ των δύο σφαιρών η ο αρίθμος Reynlds ισύται με: - [ ].333[K ] ( 3-8 )[K] (.5[m] ) -5 (.57 [ m s] ) 9.8 m s 3 5 (.7) 4.73 Στη συνέχεια ο φυσικός αριθμός ΝusseΙt από αγωγή θερμότητας μπορεί να προσδιορισθεί από την σχέση: Nu.8Ra ( 4.73 ) Επομένως, ο αέρας στο σφαιρικό κλειστό χώρο θα δράσει ως σταθερό ρευστό του οποίου η θερμική αγωγιμότητα είναι 4.37 φορές μεγαλύτερη από αυτήν του αέρα, ως αποτέλεσμα της φυσικής αγωγής. Η μέση επιφάνεια στη περίπτωση αυτή δίδεται από την σχέση: A pd D p.[m].3[m].88[m και Q& Nu [ ] ( 38 - ) C [m ].6 W m - A C ] 8 [K] 7.[W].5[m] Συνεπώς, οι θερμικές απώλειες από το εσωτερικό της σφαίρας στο εξωτερικό της με ρυθμό 7.[W]. Περαιτέρω ανάλυση: Ας υποθέσουμε ότι οι επιφάνειες των σφαιρών είναι μαύρες ( συντελεστής εκπομπής ε). Ο ρυθμός της μεταδοσης θερμότητας μεταξύ των δύο σφαιρών μέσω εκπομπής ακτινοβολίας είναι: Q & rad eas 4 4 ( - ) p (.[m]) 3.9[W] [ W m K ] ( 3-8 )[K ]

27 Συνεπώς, η μεταφορά θερμότητας από ακτινοβολία έχει μεγαλύτερη τιμή από την μεταφορά θερμότητας από φυσική θερμότητα σε αυτή την περίπτωση. Ο συντελεστής εκπομπής μιας πραγματικής επιφάνειας είναι μικρότερος από, και άρα η μεταφορά θερμότητας από ακτινοβολία σε ένα πραγματικό διάκενο θα είναι λιγότερη. Παρόλα αυτά η ακτινοβολία παραμένει σημαντική συνηστώσα και αξίζει τον κόπο να υπολογιστεί. Πρόβλημα 3 ο Το διάγραμμα δείχνει ένα κωνικό τμήμα κατασκευασμένο από πυροκεράμιο. Είναι κυκλικής εγκάρσιας τομής διαμέτρου D α, όπου α.5. Η μικρή πλευρά είναι μήκους 5[mm] και η μεγάλη 5[mm]. Η θερμοκρασία στην μια άκρη είναι 4[Κ], ενώ στην άλλη 6[Κ] με την πλάγια επιφάνεια να είναι καλά μονωμένη.. Να δοθεί μια έκφραση για την κατανομή της θερμοκρασίας Τ() σε συμβολική μορφή, θεωρώντας μονοδιάστατες συνθήκες. Να απεικονίσετε με τη βοήθεια ενός σκίτσου αυτή την κατανομή της θερμοκρασίας.. Υπολογίστε τον ρυθμό θερμότητας q& διαμέσου του κώνου.

28 Λύση: Δεδομένα: Αγωγή σε ένα κωνικό τμήμα κυκλικής εγκάρσιας τομής διαμέτρου D α, όπου α.5. Ζητούμενα:. Η κατανομή της θερμοκρασίας Τ(). Ο ρυθμός θερμότητας q X. Υποθέσεις:. Σταθερές συνθήκες. Μονοδιάστατη αγωγή κατά την διεύθυνση χ 3. Όχι εσωτερική παραγωγή θερμότητας, q * 4. Σταθερές ιδιότητες Ιδιότητες: Από σχετικό πίνακα προκύπτει για το πυροκεράμιο στους (5 Κ): W 3.46 mk Ανάλυση:. Από τη στιγμή που η αγωγή θερμότητας συμβαίνει κάτω από σταθερές και μονοδιάστατες συνθήκες, χωρίς εσωτερική παραγωγή θερμότητας, ο ρυθμός θερμότητας q& είναι μια σταθερά ανεξάρτητη του. Μπορεί λοιπόν για τον καθορισμό της κατανομής της θερμοκρασίας, να χρησιμοποιηθεί ο νόμος Furier: d q& -A, όπου (π.3.) d p D p a A (π.3.) 4 4

29 Χωρίζουμε μεταβλήτες από την (π.3.) και χρησιμοποιουμε τα Α (π.3.) σ αυτήν προκύπτει: 4 p q& a d - d (π.3.3) Ολοκληρώνοντας από έως κάθε μέσα στον κώνο, και θεωρώντας πάντα τα μεγέθη q και σταθερά, προκύπτει ότι 4 q& p a d - d (π.3.4) Επομένως, 4 p q& a - Ł + - ł ( - ) (π.3.5) και λύνοντας ως προς Τ έχουμε: () 4 q& - p a Ł - ł (π.3.6) Παρά το γεγονός ότι η ποσότητα q& είναι σταθερή, παραμένει ακόμη άγνωστη. Παρόλα αυτά, μπορεί να καθοριστεί υπολογίζοντας την παραπάνω έκφραση για, όπου Τ( ) Τ. Επομένως: ή (π.3.6) για ΧΧ γράφεται: 4 q& - p a Ł - ł (π.3.7) Λύνουμε ως προς q& : ( - ) p a q& (π.3.8) 4 - Ł ł. Αντικαθιστώντας το q X στην έκφραση του Τ(), (π.3.6) η κατανομή της θερμοκρασίας Τ() γράφεται :

30 Ø ø Œ - œ ( ) Œ Ł ł () œ + - (π.3.9) Œ œ Œ - œ Œº Ł ł œß Από αυτό το αποτέλεσμα, η θερμοκρασία μπορεί να υπολογιστεί ως συνιστώσα του και η κατανομή της θα είναι η ακόλουθη. Να σημειωθεί πως από τη στιγμή που από το νόμο του Furier ισχύει: d d - p 4 q& a (π.3.) συνεπάγεται πως η κλίση της θερμοκρασίας και η ροή της θερμότητας μειώνεται με την αύξηση του. Η σχέση (π.3.) εξάγετε εύκολα από την (π.3.3). Αντικαθιστώντας τις αριθμητικές τιμές για τον ρυθμό θερμότητας q& φθάνουμε στο αποτέλεσμα: q& p [ W mk] ( 4-6) 4 - Ł.5[m].5[m] ł [K] -.[W] Σχόλια: Όταν η παράμετρος α αυξάνεται, η υπόθεση της μονοδιάστατης αγωγής γίνεται λιγότερο ισχυρή. Δηλαδή, η υπόθεση δεν είναι πλέον σωστή όταν το εμβαδόν της εγκάρσιας τομής μεταβάλλεται σε συνάρτηση με την απόσταση.