04_Κανονική Τυπική κατανομή εύρεση εμβαδού. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.
|
|
|
- Απόστολος Μιαούλης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ν161_(262)_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 04_Κανονική Τυπική κατανομή εύρεση εμβαδού Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Κατανομές Κάθε κατανομή συχνότητας (λίστα από ζεύγη X i, f i, όπου X i = η διακριτή τιμή και f i = η συχνότητα εμφάνισής της) μπορεί να αντικατασταθεί με μια συνάρτηση. Με βάση τη συνάρτηση αυτή μπορεί να υπολογιστεί η συχνότητα εμφάνισης f i της τιμής X i συναρτήσεις = κατανομές 2 1
2 Κανονική κατανομή Η κανονική κατανομή έχει μορφή καμπάνας οι περισσότερες τιμές βρίσκονται κοντά στο μέσο όρο (μ) λίγες τιμές είναι σε μεγαλύτερη απόσταση από το μέσο όρο ελάχιστες τιμές είναι πολύ απομακρυσμένες από το μέσο όρο καμπύλη κανονικής κατανομής = συμμετρική τα αποτελέσματα της μιας πλευράς της "καμπάνας" χρησιμοποιούνται και για την άλλη πλευρά 3 Τυπική κανονική κατανομή Στην κανονική κατανομή οι τιμές της οποιασδήποτε μεταβλητής Χ, εκφράζονται στη μονάδα μέτρησης της συγκεκριμένης μεταβλητής. Για παράδειγμα οι τιμές του σωματικού ύψους εκφράζονται σε μέτρα (m), οι τιμές του σωματικού βάρους εκφράζονται σε κιλά (kg), οι επιδόσεις στο κατακόρυφο άλμα εκφράζονται σε εκατοστά (cm) κλπ. 4 2
3 Τυπική κανονική κατανομή Οι τιμές της οποιασδήποτε μεταβλητής, που ακολουθεί την κανονική κατανομή, μπορούν ωστόσο να μετασχηματιστούν σε z τυπικές τιμές, και η κανονική κατανομή να μετατραπεί σε z τυπική κατανομή. Για το μετασχηματισμό της κανονικής κατανομής σε z-τυπική κατανομή χρησιμοποιείται ο τύπος x μ z σ i όπου z = η τυπική τιμή της τιμής x i x i = η τιμή μεταβλητής Χ μ = ο μέσος όρος του πληθυσμού σ = η τυπική απόκλιση του πληθυσμού. 5 Μετασχηματίζοντας τις τιμές Χ i της μεταβλητής σε z - τυπικές τιμές μετασχηματίζεται η κανονική κατανομή σε τυπική (κανονική) κατανομή όπου: 1. η μεταβλητή Χ δεν εκφράζεται στις αρχικές τιμές μέτρησης αλλά σε μονάδες τυπικής απόκλισης 2. ο μέσος όρος της τυπικής κατανομής είναι 0 3. η τυπική απόκλιση της τυπικής κατανομής είναι ίση με 1 κανονική κατανομή z τυπική κατανομή 6 3
4 Μετατρέποντας την κανονική κατανομή σε z-τυπική κατανομή μπορούμε να περιγράψουμε τη σχετική θέση της κάθε τιμής Χ i που μετασχηματίστηκε σε λέγοντας πόσες τυπικές αποκλίσεις μακριά από το μέσο όρο βρίσκεται η συγκεκριμένη τιμή Xi και xi μ zi σ τι ποσοστό του πληθυσμού, δηλαδή τι εμβαδόν κάτω από την καμπύλη της z-τυπικής κατανομής, βρίσκεται μεταξύ δύο z-τιμών. 7 Εύρεση εμβαδού Κατά τη διαδικασία εύρεσης ενός εμβαδού κάτω από την καμπύλη της z τυπικής κατανομής θα πρέπει να γνωρίζουμε ότι εφόσον η καμπύλη της z τυπικής κατανομής είναι συμμετρική, όπως και η καμπύλη της κανονικής κατανομής από την οποία προέρχεται, το συνολικό εμβαδόν ισούται με τη μονάδα (1), ενώ το εμβαδόν της μισής καμπύλης ισούται με
5 Πίνακας της z τυπικής κατανομής στις γραμμές δίνεται η z τιμή με το πρώτο δεκαδικό της στοιχείο στις στήλες δίνεται το δεύτερο δεκαδικό στοιχείο της z τιμής στη διασταύρωση των γραμμών με τις στήλες δίνεται το εμβαδόν μεταξύ του 0 (μέση τιμή της z τυπικής κατανομής) και της εκάστοτε z τιμής. Παρατηρούμε ότι στον πίνακα της z τυπικής κατανομής υπάρχουν τιμές μόνο από το έως το , δηλαδή το μισό της μονάδας (1), που είναι το σύνολο του πληθυσμού. 9 Παράδειγμα 1: Για τον εντοπισμό του εμβαδού που αντιστοιχεί στην z τιμή 2.44 ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: 1. Ανατρέχουμε στον πίνακα της z τυπικής κατανομής 2. Εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη z τιμή με το πρώτο μόνο δεκαδικό στοιχείο, δηλαδή εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στην τιμή
6 z = Παράδειγμα 1: Για τον εντοπισμό του εμβαδού που αντιστοιχεί στην z τιμή 2.44 ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: 1. Ανατρέχουμε στον πίνακα της z τυπικής κατανομής 2. Εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη z τιμή με το πρώτο μόνο δεκαδικό στοιχείο, δηλαδή εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στην τιμή Εντοπίζουμε τη στήλη που αντιστοιχεί στο δεύτερο δεκαδικό στοιχείο της συγκεκριμένης z τιμής, δηλαδή εντοπίζουμε τη στήλη που αντιστοιχεί στην τιμή
7 z = Παράδειγμα 1: Για τον εντοπισμό του εμβαδού που αντιστοιχεί στην z τιμή 2.44 ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: 1. Ανατρέχουμε στον πίνακα της z τυπικής κατανομής 2. Εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη z τιμή με το πρώτο μόνο δεκαδικό στοιχείο, δηλαδή εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στην τιμή Εντοπίζουμε τη στήλη που αντιστοιχεί στο δεύτερο δεκαδικό στοιχείο της συγκεκριμένης z τιμής, δηλαδή εντοπίζουμε τη στήλη που αντιστοιχεί στην τιμή 4 4. Στην διασταύρωση της γραμμής που αντιστοιχεί στην τιμή 2.4 και της στήλης που αντιστοιχεί στην τιμή 4, εντοπίζουμε το εμβαδόν που αντιστοιχεί στη z τιμή
8 z = % του πληθυσμού Αυτή η τιμή (0.4927) δηλώνει ότι το 49.27% του πληθυσμού έχει επίδοση από 0 (που αντιστοιχεί στη μέση τιμή της z τυπικής κατανομής) έως z = Άσκηση 1: 1. Βάλε μια δικιά σου z τιμή (από 0.00 έως 3.99) z =.. 2. Ανέτρεξε στον πίνακα της z τυπικής κατανομής και βρες το εμβαδόν που αντιστοιχεί στην z τιμή που έβαλες Εμβαδόν =
9 17 Παράδειγμα 2: Για τον εντοπισμό του εμβαδού που ορίζεται μεταξύ των τιμών z = και z = 1.52 ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: 1. Ανατρέχουμε στον πίνακα της z τυπικής κατανομής 2. Εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη z τιμή με το πρώτο μόνο δεκαδικό στοιχείο, δηλαδή εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στην τιμή
10 z = Παράδειγμα 2: Για τον εντοπισμό του εμβαδού που ορίζεται μεταξύ των τιμών z = και z = 1.52 ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: 1. Ανατρέχουμε στον πίνακα της z τυπικής κατανομής 2. Εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη z τιμή με το πρώτο μόνο δεκαδικό στοιχείο, δηλαδή δή εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στην τιμή Εντοπίζουμε τη στήλη που αντιστοιχεί στο δεύτερο δεκαδικό στοιχείο της συγκεκριμένης z τιμής, δηλαδή εντοπίζουμε τη στήλη που αντιστοιχεί στην τιμή
11 z = Παράδειγμα 2: Για τον εντοπισμό του εμβαδού που ορίζεται μεταξύ των τιμών z = και z = 1.52 ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: 1. Ανατρέχουμε στον πίνακα της z τυπικής κατανομής 2. Εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη z τιμή με το πρώτο μόνο δεκαδικό στοιχείο, δηλαδή εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στην τιμή Εντοπίζουμε τη στήλη που αντιστοιχεί στο δεύτερο δεκαδικό στοιχείο της συγκεκριμένης z τιμής, δηλαδή εντοπίζουμε τη στήλη που αντιστοιχεί στην τιμή 2 4. Στη διασταύρωση της γραμμής που αντιστοιχεί στην τιμή 1.5 και της στήλης που αντιστοιχεί στην τιμή 2, εντοπίζουμε το εμβαδόν που αντιστοιχεί στην z τιμή
12 z = 1.52 Αυτή η τιμή (0.4357) δηλώνει ότι το 43.57% του πληθυσμού έχει επίδοση από 0 (που αντιστοιχεί στη μέση τιμή της z τυπικής κατανομής) έως z = Εφόσον η z τυπική κατανομή είναι συμμετρική, το ίδιο θα ισχύει και για την αριστερή πλευρά της καμπύλης, δηλαδή από το 0 έως την τιμή z = , όπου το εμβαδόν θα είναι επίσης Συνεπώς επίδοση από z = έως z = 1.52 θα έχει το = 87.14% του πληθυσμού
13 z = = 87.14% του πληθυσμού 25 Άσκηση 2: 1. Βάλε δύο δικές του z τιμές (από 0.00 έως 3.99) και να βρες μόνος του το εμβαδόν μεταξύ αυτών των τιμών. Η πρώτη z τιμή θα πρέπει να έχει αρνητικό πρόσημο z 1 = -.. και η δεύτερη z τιμή θα πρέπει να έχει θετικό πρόσημο. z 2 = Ανέτρεξε στον πίνακα της z τυπικής κατανομής και βρες το εμβαδόν που αντιστοιχεί στις z τιμές που έβαλες Εμβαδόν 1 =.. Εμβαδόν 2 =.. 3. Επέλεξε αν θα προσθέσεις ή θα αφαιρέσεις τα δύο εμβαδά. + - Τελικό Εμβαδόν =
14 27 Παράδειγμα 3: Για τον εντοπισμό του εμβαδού που ορίζεται μεταξύ των τιμών z = 0.62 και z = 1.95 ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: 1. Αρχικά θα πρέπει να υπολογιστεί ξεχωριστά το εμβαδόν που βρίσκεται μεταξύ της μέσης τιμής της z τυπικής κατανομής (0) και των τιμών z = 0.62 και z = Για τον υπολογισμό του εμβαδού που βρίσκεται μεταξύ της μέσης τιμής της z τυπικής κατανομής και της τιμής z = 1.95: α. Ανατρέχουμε στον πίνακα της z τυπικής κατανομής β. Εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη z τιμή με το πρώτο μόνο δεκαδικό στοιχείο, δηλαδή εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στην τιμή
15 z = Παράδειγμα 3: Για τον εντοπισμό του εμβαδού που ορίζεται μεταξύ των τιμών z = 0.62 και z = 1.95 ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: 1. Αρχικά θα πρέπει να υπολογιστεί ξεχωριστά το εμβαδόν που βρίσκεται μεταξύ της μέσης τιμής της z τυπικής κατανομής (0) και των τιμών z = 0.62 και z = Για τον υπολογισμό του εμβαδού που βρίσκεται μεταξύ της μέσης τιμής της z τυπικής κατανομής και της τιμής z = 1.95: α. Ανατρέχουμε στον πίνακα της z τυπικής κατανομής β. Εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη z τιμή με το πρώτο μόνο δεκαδικό στοιχείο, δηλαδή εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στην τιμή 1.9 γ. Εντοπίζουμε την στήλη που αντιστοιχεί στο δεύτερο δεκαδικό στοιχείο της συγκεκριμένης z τιμής, δηλαδή εντοπίζουμε τη στήλη που αντιστοιχεί στην τιμή
16 z = Παράδειγμα 3: Για τον εντοπισμό του εμβαδού που ορίζεται μεταξύ των τιμών z = 0.62 και z = 1.95 ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: 1. Αρχικά θα πρέπει να υπολογιστεί ξεχωριστά το εμβαδόν που βρίσκεται μεταξύ της μέσης τιμής της z τυπικής κατανομής (0) και των τιμών z = 0.62 και z = Για τον υπολογισμό του εμβαδού που βρίσκεται μεταξύ της μέσης τιμής της z τυπικής κατανομής και της τιμής z = 1.95: α. Ανατρέχουμε στον πίνακα της z τυπικής κατανομής β. Εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη z τιμή με το πρώτο μόνο δεκαδικό στοιχείο, δηλαδή εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στην τιμή 1.9 γ. Εντοπίζουμε την στήλη που αντιστοιχεί στο δεύτερο δεκαδικό στοιχείο της συγκεκριμένης z τιμής, δηλαδή εντοπίζουμε τη στήλη που αντιστοιχεί στην τιμή 5. δ. Στην διασταύρωση της γραμμής που αντιστοιχεί στην τιμή 1.9 και της στήλης που αντιστοιχεί στην τιμή 5, εντοπίζουμε το εμβαδόν που αντιστοιχεί στην z τιμή
17 z = 1.95 Αυτή η τιμή (0.4744) δηλώνει ότι το 47.44% του πληθυσμού έχει επίδοση από 0 (που αντιστοιχεί στη μέση τιμή της z τυπικής κατανομής) έως z = Παράδειγμα 3 (συνέχεια): 3. Για τον υπολογισμό του εμβαδού που βρίσκεται μεταξύ της μέσης τιμής της z τυπικής κατανομής και της τιμής z = 0.62: α. Ανατρέχουμε στον πίνακα της z τυπικής κατανομής β. Εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη z τιμή με το πρώτο μόνο δεκαδικό στοιχείο, δηλαδή εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στην τιμή
18 z = Παράδειγμα 3 (συνέχεια): 3. Για τον υπολογισμό του εμβαδού που βρίσκεται μεταξύ της μέσης τιμής της z τυπικής κατανομής και της τιμής z = 0.62: α. Ανατρέχουμε στον πίνακα της z τυπικής κατανομής β. Εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη z τιμή με το πρώτο μόνο δεκαδικό δ στοιχείο, δηλαδή εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στην τιμή 0.6. γ. Εντοπίζουμε την στήλη που αντιστοιχεί στο δεύτερο δεκαδικό στοιχείο της συγκεκριμένης z τιμής, δηλαδή εντοπίζουμε τη στήλη που αντιστοιχεί στην τιμή
19 z = Παράδειγμα 3 (συνέχεια): 3. Για τον υπολογισμό του εμβαδού που βρίσκεται μεταξύ της μέσης τιμής της z τυπικής κατανομής και της τιμής z = 0.62: α. Ανατρέχουμε στον πίνακα της z τυπικής κατανομής β. Εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη z τιμή με το πρώτο μόνο δεκαδικό δ στοιχείο, δηλαδή εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στην τιμή 0.6. γ. Εντοπίζουμε την στήλη που αντιστοιχεί στο δεύτερο δεκαδικό στοιχείο της συγκεκριμένης z τιμής, δηλαδή εντοπίζουμε τη στήλη που αντιστοιχεί στην τιμή 2. δ. Στη διασταύρωση της γραμμής που αντιστοιχεί στην τιμή 0.6 και της στήλης που αντιστοιχεί στην τιμή 2, εντοπίζουμε το εμβαδόν που αντιστοιχεί στην z τιμή
20 z = 0.62 Αυτή η τιμή (0.2324) δηλώνει ότι το 23.24% του πληθυσμού έχει επίδοση από 0 (που αντιστοιχεί οχ ση στην μέση τιμή της z τυπικής κατανομής) έως z = Παράδειγμα 3 (συνέχεια): 4. Εφόσον μας ενδιαφέρει το εμβαδόν που ορίζεται μεταξύ των δύο z τιμών, z = 0.62 και z = 1.95, οι οποίες είναι και οι δύο θετικές τιμές και εντοπίζονται στην δεξιά πλευρά της z τυπικής κατανομής, θα πρέπει από το εμβαδόν που αντιστοιχεί στην z = 1.95 να αφαιρεθεί το εμβαδόν που αντιστοιχεί στην z = Συνεπώς, το εμβαδόν μεταξύ των τιμών z = 0.62 και z = 1.95, δηλαδή το ποσοστό του πληθυσμού του οποίου η επίδοση θα βρίσκεται μεταξύ αυτών των τιμών, θα είναι = 24.2%
21 Άσκηση 3: 1. Βάλε δύο δικές του z τιμές (από 0.00 έως 3.99) και να βρες μόνος του το εμβαδόν μεταξύ αυτών των τιμών. Και οι δύο z τιμές θα πρέπει να έχουν θετικό πρόσημο. z 1 =.. z 2 =.. 2. Ανέτρεξε στον πίνακα της z τυπικής κατανομής και βρες το εμβαδόν που αντιστοιχεί στις z τιμές που έβαλες Εμβαδόν 1 =.. Εμβαδόν 2 =.. 3. Επέλεξε αν θα προσθέσεις ή θα αφαιρέσεις τα δύο εμβαδά. + - Τελικό Εμβαδόν =
22 Πρακτική εφαρμογή της εύρεσης εμβαδού μέσω της z τυπικής κατανομής τα δεδομένα προέρχονται από πληθυσμό που ακολουθεί την κανονική κατανομή είναι γνωστή η μέση τιμή του πληθυσμού (μ) είναι γνωστή η τυπική απόκλιση του πληθυσμού (σ) και ζητούνται πληροφορίες για τον πληθυσμό 43 Παράδειγμα 4: Αν τα δεδομένα ενός πληθυσμού, στη μεταβλητή "πιέσεις πάγκου" ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ= 100 kg και τυπική απόκλιση σ= 15 kg, τίθεται το ερώτημα τι ποσοστό του πληθυσμού έεε έχει επίδοση πάνω από 120 kg; πρέπει η κανονική κατανομή να μετατραπεί σε z τυπική κατανομή. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι θα πρέπει να υπολογιστεί η z τιμή της επίδοσης των 120 kg
23 Παράδειγμα 4: 1. Αρχικά υπολογίζεται η z 120 δηλαδή η z τιμή της επίδοσης των 120 kg, βάσει της μέσης τιμής (μ= 100 kg) και της τυπικής απόκλισης (σ= 15kg) του πληθυσμού: z x δηλαδή η τιμή Χ i =120 βρίσκεται 1.33 μονάδες τυπικής απόκλισης πάνω από το μέσο όρο (μ=100 z 100 =0) 45 Παράδειγμα 4: Για τον εντοπισμό του εμβαδού που αντιστοιχεί στην z τιμή 1.33 ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: 1. Ανατρέχουμε στον πίνακα της z τυπικής κατανομής 2. Εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη z τιμή με το πρώτο μόνο δεκαδικό στοιχείο, δηλαδή εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στην τιμή
24 z = Παράδειγμα 4: Για τον εντοπισμό του εμβαδού που αντιστοιχεί στην z τιμή 1.33 ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: 1. Ανατρέχουμε στον πίνακα της z τυπικής κατανομής 2. Εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη z τιμή με το πρώτο μόνο δεκαδικό στοιχείο, δηλαδή εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στην τιμή Εντοπίζουμε τη στήλη που αντιστοιχεί στο δεύτερο δεκαδικό στοιχείο της συγκεκριμένης z τιμής, δηλαδή εντοπίζουμε τη στήλη που αντιστοιχεί στην τιμή
25 z = Παράδειγμα 4: Για τον εντοπισμό του εμβαδού που αντιστοιχεί στην z τιμή 1.33 ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: 1. Ανατρέχουμε στον πίνακα της z τυπικής κατανομής 2. Εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη z τιμή με το πρώτο μόνο δεκαδικό στοιχείο, δηλαδή εντοπίζουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στην τιμή Εντοπίζουμε τη στήλη που αντιστοιχεί στο δεύτερο δεκαδικό στοιχείο της συγκεκριμένης z τιμής, δηλαδή εντοπίζουμε τη στήλη που αντιστοιχεί στην τιμή 3 4. Στην διασταύρωση της γραμμής που αντιστοιχεί στην τιμή 1.3 και της στήλης που αντιστοιχεί στην τιμή 3, εντοπίζουμε το εμβαδόν που αντιστοιχεί στη z τιμή
26 z = % του πληθυσμού Αυτή η τιμή (0.4082) δηλώνει ότι το 40.82% του πληθυσμού έχει επίδοση από 0 (που αντιστοιχεί στη μέση τιμή της z τυπικής κατανομής) έως z = 1.33, δηλαδή από 100 έως 120 kg. 51 Το ερώτημα που έχει τεθεί ωστόσο είναι: «τι ποσοστό του πληθυσμού έχει επίδοση μεγαλύτερη από 120 kg;» Δεδομένου ότι η καμπύλη της z τυπικής κατανομής είναι συμμετρική, το μισό της καμπύλης ισούται με
27 Άρα για τον υπολογισμό του ποσοστού του πληθυσμού που έχει επίδοση μεγαλύτερη από 120 kg, η οποία αντιστοιχεί στην z τιμή z 120 = 1.33, θα πρέπει το εμβαδόν που υπολογίστηκε προηγουμένως (0.4082) να αφαιρεθεί από το 0.5. Συνεπώς το ποσοστό του πληθυσμού που έχει επίδοση μεγαλύτερη από 120 kg θα είναι = , δηλαδή 9.18%. 53 Αν ο πληθυσμός ήταν συνολικά 300 άτομα, αυτό σημαίνει ότι (300 x 9.18)/100 = άτομα έχουν επίδοση στις πιέσεις πάγκου μεγαλύτερη από 120 kg
28 Ορισμένες φορές το ερώτημα αντιστρέφεται και αντί να απαιτείται ο υπολογισμός του εμβαδού, δηλαδή του ποσοστού του πληθυσμού, που βρίσκεται μεταξύ δύο συγκεκριμένων z τιμών, θέλουμε να εντοπίσουμε ποιες z τιμές αντιστοιχούν σε ένα συγκεκριμένο εμβαδόν. 55 Παράδειγμα 5: Μεταξύ ποιών z τιμών βρίσκεται το 95% του πληθυσμού κατανεμημένου συμμετρικά δεξιά και αριστερά του αριθμητικού μέσου; Εφόσον η καμπύλη της z τυπικής κατανομής είναι μια συμμετρική καμπύλη, αριστερά από τον αριθμητικό μέσο θα βρίσκεται το 95/2 = 47.5% του πληθυσμού και δεξιά του αριθμητικού μέσου θα βρίσκεται το υπόλοιπο μισό, δηλαδή το υπόλοιπο 47.5% του πληθυσμού. Αυτό σημαίνει ότι από την μέση τιμή της z τυπικής κατανομής μέχρι την ζητούμενη z τιμή θα βρίσκεται το 47.5% του πληθυσμού, δηλαδή το εμβαδόν θα είναι
29 Παράδειγμα 5: 1. Ανατρέχουμε στον πίνακα της z τυπικής κατανομής 2. Στο κύριο μέρος του πίνακα εντοπίζουμε την τιμή Ητιμή βρίσκεται στην διασταύρωση της γραμμής που αντιστοιχεί στην τιμή 1.9 και της στήλης που αντιστοιχεί στην τιμή 6. Το 95% του πληθυσμού βρίσκεται μεταξύ των τιμών z = 1.96 και z=
30 59 30
Έλεγχος υπόθεσης: διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης της υπόθεσης
Ν161_(262)_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 06_01_Έλεγχος_Υποθέσεων Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Υπόθεση: "μπορεί ο αριθμητικός μέσος του δείγματος να είναι ίδιος με τον αριθμητικό
Εξαρτημένα δείγματα (εξαρτημένες μετρήσεις)
Ν6_(6)_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 06_0_Έλεγχος_Υποθέσεων0 Ανεξάρτητα δείγματα Εξαρτημένα δείγματα Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ανεξάρτητα δείγματα (ανεξάρτητες μετρήσεις)
09_Μη παραμετρικοί έλεγχοι υποθέσεων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.
Ν161_(6)_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 09_Μη παραμετρικοί έλεγχοι υποθέσεων Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Όταν δεν υπάρχουν διαθέσιμες πληροφορίες για την κατανομή των πληθυσμών,
F x h F x f x h f x g x h g x h h h. lim lim lim f x
3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, ) ΘΕΜΑ Α 1 Έχουμε F h F f( h) g h f() g f( h)
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σε αντίθεση με την διακριτή τυχαία μεταβλητή, μία συνεχής τυχαία μεταβλητή παίρνει μη-αριθμήσιμο (συνεχές) πλήθος τιμών. Δεν μπορούμε να καταγράψουμε το σύνολο των τιμών
03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.
6_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Παράμετροι θέσης όταν θέλουμε να εκφράσουμε μια μεταβλητή με έναν αριθμό π.χ.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα.
ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. Στα παραπάνω ιστογράμματα, παρατηρούμε, ότι αν και υπάρχει διαφορά στη διασπορά των τιμών
Η Κανονική Κατανομή. Κανονικές Κατανομές με την ίδια διασπορά και διαφορετικές μέσες τιμές.
Η Κανονική Κατανομή 1. Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους μ και σ 2, και συμβολίζουμε Χ ~ N (μ, σ 2 ) αν έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ στο τέλος του εξαμήνου με ΑΝΟΙΧΤΑ βιβλία ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ο καθένας θα πρέπει να έχει το ΔΙΚΟ του βιβλίο ΔΕΝ θα μπορείτε να ανταλλάσετε βιβλία ή να
N161 _ (262) Στατιστική στη Φυσική Αγωγή Βιβλία ή 1 ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ στο τέλος του εξαμήνου με ΑΝΟΙΧΤΑ βιβλία ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ο καθένας θα πρέπει να έχει το ΔΙΚΟ του βιβλίο ΔΕΝ θα μπορείτε να ανταλλάσετε βιβλία ή να
Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής
Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.
ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )
Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.
Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ...
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...2
Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.
Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς
Λύσεις θεμάτων επαναληπτικών πανελληνίων εξετάσεων 2014 Στο μάθημα: «Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής» Γενικής Παιδείας ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΓΕ.Λ.
Λύσεις των θεμάτων επαναληπτικών πανελλαδικών εξετάσεων 04, Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Ημερησίων ΓΕ.Λ. Λύσεις θεμάτων επαναληπτικών πανελληνίων εξετάσεων 04 Στο μάθημα: «Μαθηματικά και Στοιχεία
Στατιστική, Άσκηση 2. (Κανονική κατανομή)
Στατιστική, Άσκηση 2 (Κανονική κατανομή) Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι μέσες παροχές όπως προέκυψαν από μετρήσεις πεδίου σε μια διατομή ενός ποταμού. Ζητείται: 1. Να αποδειχθεί ότι το δείγμα προσαρμόζεται
Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη
Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Ένα πρόβλημα Πρόβλημα: Ένας μαθητής είχε επίδοση στο τεστ Μαθηματικών 18 και στο τεστ
ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ
9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε
Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων
Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία
Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων
Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 3Α: Η Κανονική Κατανομή Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη
Η παρουσίαση που ακολουθεί, αφορά την κανονική κατανομή και σκοπό έχει τη διευκόλυνση των φοιτητών του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών
Η παρουσίαση που ακολουθεί, αφορά την κανονική κατανομή και σκοπό έχει τη διευκόλυνση των φοιτητών του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών να αντιληφθούν τη σημασία της εν λόγω κατανομής
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα
Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε
Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων
Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές
Αριθμητικά Συστήματα
Αριθμητικά Συστήματα Σε οποιοδήποτε αριθμητικό σύστημα, με βάση τον αριθμό Β, ένας ακέραιος αριθμός με πλήθος ψηφίων ν, εκφράζεται ως ακολούθως: α ν-1 α ν-2 α 1 α 0 = α ν-1 Β ν-1 + α ν-2 Β ν-2 + + α 1
Ορισμός και Ιδιότητες
ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ορισμός και Ιδιότητες H κανονική κατανομή norml distriution θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της,
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =
ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2014
ΘΕΜΑ Α A1. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του ορισμού της παραγώγου ότι (c f (x)) = c f (x), για κάθε x R Μονάδες 7 A2. Πότε μια
Μηχανική ΙI. Μετασχηματισμοί Legendre. διπλανό σχήμα ότι η αντίστροφη συνάρτηση dg. λέγεται μετασχηματισμός Legendre της f (x)
Τμήμα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 7/5/000 Μηχανική ΙI Μετασχηματισμοί Legendre Έστω μια πραγματική συνάρτηση f (x) Ορίζουμε την παράγωγο συνάρτηση df (x) της f (x) : ( x) (η γραφική της παράσταση δίνεται
1 x-μ - 2 σ. e σ 2π. f(x) =
Κανονική κατανομή Η πιο σημαντική κατανομή πιθανοτήτων της στατιστικής είναι η κανονική κατανομή. Η κανονική κατανομή είναι συνεχής κατανομή, σε αντίθεση με την διωνυμική που είναι διακριτή κατανομή. Τα
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και
7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση
Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Τι λέγεται ιστόγραμμα αθροιστικών απολύτων σχετικών συχνοτήτων; Ιστόγραμμα αθροιστικών απολύτων ή σχετικών συχνοτήτων είναι μια σειρά από
07_Έλεγχος_Συχνοτήτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.
Ν161_(6)_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 07_Έλεγχος_Συχνοτήτων Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.. 1 Σύγκριση παρατηρούμενων συχνοτήτων με τις αντίστοιχες θεωρητικές συχνότητες εωρητικές
Κατανοµές. Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται από το σχήµα του ιστογράµµατος (histogram).
Ιωάννης Παραβάντης Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μάρτιος 2010 Κατανοµές 1. Οµοιόµορφη κατανοµή Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται
Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr
Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες
ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές
4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat
4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών
7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως
Εισαγωγή στη Στατιστική
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική ΜΕΡΟΣ ΙΙ-ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΡΟΠΕΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ-ΚΥΡΤΩΣΗ II.1
Ολοκλήρωμα συνάρτησης
Ολοκλήρωμα συνάρτησης Έννοια Υπολογισμός Χρήση Αόριστο και ορισμένο ολοκλήρωμα εισαγωγικό παράδειγμα οριακού κόστους Έστω η συνάρτηση οριακού κόστους μιας επιχείρησης δίνεται από τη σχέση ΜC(q)=3q 2 +4
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς
Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 4-4-1 Εισαγωγή Όσο το n αυξάνει, η διωνυμική κατανομή προσεγγίζει... n = 6 n = 1 n = 14 Binomial Distribution:
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Χειμερινό εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Μέτρα
ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Παρασκευή, 30 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο
Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Περιγραφική Στατιστική
Περιγραφική Στατιστική Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Περιγραφική Στατιστική τεχνικές 3 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 3 / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του
ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil
Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ
Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n
2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ
.3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι
Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.
Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση
Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β;
σελ 1 από 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; 1. Σ-Λ Η σχέση με:, είναι συνάρτηση. 2. Σ-Λ Η σχέση είναι συνάρτηση.
Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς
Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι
ΗΥ-SPSS Statistical Package for Social Sciences 1 ο ΜΑΘΗΜΑ. ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΑΘ. ΚΡΟΜΜΥΔΑΣ Διδάσκων Τ.Ε.Φ.Α.Α., Π.Θ.
ΗΥ-SPSS Statistical Package for Social Sciences 1 ο ΜΑΘΗΜΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΑΘ. ΚΡΟΜΜΥΔΑΣ Διδάσκων Τ.Ε.Φ.Α.Α., Π.Θ. Στατιστική με το SPSS Ως επιστήμονες, χρειαζόμαστε τη Στατιστική για 2 κυρίους λόγους: 1. Για
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
- - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ
159141,9 64 x n 1 n
Πιθανότητες Στατιστική: Λύσεις θεμάτων. Φεβρουάριος 9. Σειρά Α Ζήτημα ο : Μία ομάδα φοιτητών μετρά 64 φορές μία απόσταση s που δεν γνωρίζουν. Τα αποτελέσματα των μετρήσεων εμφανίζονται στον διπλανό πίνακα
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως
Εισαγωγή στη Στατιστική- Κοινωνικές Στατιστικές. Διάλεξη
Εισαγωγή στη Στατιστική- Κοινωνικές Στατιστικές Διάλεξη 13-3-2015 Υπολογισμός Σταθμικού Μέσου Αριθμητικού X weighted n 1 n 1 w i w X i i Παράδειγμα Υποψήφιος της Δ' Δέσμης πήρε στις εξετάσεις τους εξής
Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική
Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR
Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους
Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο
Γ ε ν ι κ ό Λ ύ κ ε ι ο Ε λ ε υ θ ε ρ ο ύ π ο λ η ς. Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι
Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι Αριθμητικοί τελεστές Οι αριθμητικοί τελεστές είναι: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση +,-,*,/ ύψωση σε δύναμη ^ πηλίκο ακέραιης διαίρεσης δύο ακεραίων αριθμών div υπόλοιπο
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. 40. Ακόμα είναι. και F1 f και ακόμα Τέλος έχουμε F3 f1 f2 f3 F2 f. N i
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 0-06 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Θερινά ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /0/06 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Κατσαρός Δημήτρης - Συμεώνογλου Βασίλης ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό
Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ
Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι
Χειμερινό εξάμηνο 2010-2011 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Περιγραφική Στατιστική Ι users.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση
Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν
Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).
ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)
ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέµα Α A1. Για δυο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ( Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( Α Β) Α. Πότε µια συνάρτηση f µε
APEIROSTIKOS LOGISMOS I
APEIROSTIKOS LOGISMOS I ΟΛΟΗΜΕΡΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Λύσεις ασκήσεων φυλλαδίου 4. Άσκηση : Υπολογίστε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια. Αν χρειάζεται, υπολογίστε τα αντίστοιχα πλευρικά όρια. + 4 3 + +,
3. Κατανομές πιθανότητας
3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.
Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός.
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο?
![ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο?](/thumbs/27/11825610.jpg "ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο?")
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] είναι όριο? β) Για να βρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] πρέπει
Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.
7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου
( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 )
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 0 Θέμα Δίδονται οι πίνακες K= 5 4, L=, M=. 9 7 A) (8 μονάδες) Για κάθε
6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Τι κάνει η Στατιστική Στατιστική (Statistics) Μετατρέπει αριθμητικά δεδομένα σε χρήσιμη πληροφορία. Εξάγει συμπεράσματα για έναν πληθυσμό. Τις περισσότερες
ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις
ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε
Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση II
. Ο Συντελεστής Προσδιορισμού Η γραμμή Παλινδρόμησης στο δείγμα, αποτελεί μία εκτίμηση της γραμμής παλινδρόμησης στον πληθυσμό. Αν και από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων προκύπτουν εκτιμητές που έχουν
Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε οµόσηµους και ποιους ετερόσηµους; Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε ακέραιους; Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε ρητούς; Τι ονοµάζουµε απόλυτη τιµή ενός ρητού αριθµού; Τι παριστάνει η απόλυτη
Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων
Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί
7.2 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΡΗΤΟΥ
1 7.2 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΡΗΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Απόλυτη τιµή ρητού: Έστω ένας ρητός αριθµός α. Η απόλυτη τιµή του αριθµού α συµβολίζεται µε α και εκφράζει την απόσταση του σηµείου µε τετµηµένη α από την αρχή Ο του
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3
Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από
2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ
.5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ 2. Ο αριθμός των ανθρώπων που παρακολουθούν μια συγκεκριμένη τηλεοπτική εκπομπή είναι διακριτή
1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )
![1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )](/thumbs/52/29634211.jpg "1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )")
Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι β ( f () f () ) + α ηµ d β α = [f () ηµ] - [f () συν] β α. ( ) β) Αν f () = ηµ, να αποδείξετε ότι f () + f ()