i) Nα βρεθεί το µέτρο της δύναµης που συγκρατεί την αλυσίδα. ii) Αν καταργηθεί η δύναµη, ποια θα είναι η επιτάχυνση εκκίνησης της αλυσιδας;

Transcript

1 Mια λεπτή αλυσιδα µάζας, τοποθετείται πάνω στην λεία εξωτερική επιφάνεια ακλόνητης σφαίρας ακτίνας R. Η αλυσίδα έχει µήκος πr/ και ισορροπεί µε την βοήθεια µιας οριζόν τιας δύναµης, η οποία εφαρµόζεται στο άκρο της Α που βρίσκεται στο ανώτατο σηµείο της σφαίρας σχ. ) το δε επίπεδο της αλυσίδας είναι κατακόρυφο. i) Nα βρεθεί το µέτρο της δύναµης που συγκρατεί την αλυσίδα. ii) Αν καταργηθεί η δύναµη, ποια θα είναι η επιτάχυνση εκκίνησης της αλυσιδας; Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Θεωρούµε ένα στοιχειώδες τµήµα της αλυσίδας µήκους ds, που φαίνεται εκ του κέντρου Ο της σφαίρας υπό γωνία dφ και του οποίου η θέση καθορίζεται από την γωνία φ της επιβατικής του ακτίνας µε την κατακόρυφη ΟΑ. Το τµήµα αυτό ισορροπεί υπό την επίδραση του βάρους του d w της δυναµής επαφής d N από την λεία σφαίρα που έχει ακτινική διεύθυνση και τις Σχήµα δυνάµεις T και T +d T από τα εκατέρωθεν αυτού τµήµατα της αλυσιδας, οι οποίες δυνάµεις είναι εφαπτοµενικές της σφαίρας. Εφαρµόζοντας για το θεω ρούµενο τµήµα της αλυσίδας συνθήκη ισορροπίας κατά την εφαπτοµενική διεύ θυνση ε) παίρνουµε την σχέση:

2 T + dt + dw"$/ - %) - T = dt + ds"µ = dt + Rd"µ" = dt = -R"µd ) όπου ρ η γραµµική πυκνότητα της αλυσίδας, ίση µε /πr. Oλοκληρώνοντας την ) κατα µήκος της αλυσίδας παίρνουµε: dt) = -"R µ$d$) T B - T A = R "$% AB) % / T B - T A = R "$ % ' - "$ ) + T B - T A = -R * [ ] / Όµως η τάση Τ Α της αλυσίδας στο άκρο της Α είναι ίση µε F στο δέ άκρο της Β είναι ίση µε µηδέν, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: F = R = % R F = $ "R/' ) ος Τρόπος H αλυσίδα ισορροπεί υπό την επίδραση του βάρους της w, της οριζόντιας δύνα µης F που εφαρµόζεται στο άκρο της Α και της δύναµης επαφής N από την λεία επιφάνεια της σφαίρας. Η δύναµη N ως συνισταµένη των στοιχειωδών ακτινικών δυνάµεων επαφής που δέχονται τα στοιχειώδη τµήµατα στα οποία µπορεί να διαµεριστεί η αλυσίδα είναι και αυτή ακτινική δύναµη θεωρηµα Σχήµα Varinion), δηλαδή ο φορέας της διέρχεται από το κέντρο Ο της σφαίρας σχ. ). Εξάλλου λόγω της ισορροπίας της σφαίρας οι τρεις δυνάµεις είναι συνεπίπε δες και οι φορείς τους τέµνονται στο ίδιο σηµείο Μ, τα δε µέτρα τους ικανοποι ούν τις συνθήκες ισορροπίας, που έχουν την µορφή:

3 N x - F = " N y - w = Nµ" = F ' N$%" = :) " = F/ F = " ) Από το σχήµα ) προκύπτει ότι εφφ=αμ/αμ=x C /R όπου x C η x-συντεταγµένη του κέντρου µάζας C της αλυσίδας ως προς το ορθογώνιο σύστηµα αξόνων Οxy, οπότε η σχέση ) γράφεται: F = x C /R ) Όµως η συντεταγµένη x C υπολογίζεται από την σχέση: x C = x C = xd) : d) = x"ds) : "ds) AB) AB) AB) AB) xds) : ds) 3) AB) AB) Σχήµα 3 όπου x η τετµηµένη ένος τυχαίου στοιχειώδους τµήµατος ds της αλυσίδας µάζας d, του οποίου η επιβατική ακτίνα σχηµατίζει γωνία φ µε τον άξονα Οx σχ. 3). Η σχέση 3) γράφεται: x C = % / R"$Rd$) : Rd$) % / % / x C = R "$d$) : d$) x C = R µ" % / [ ] / : / x C = R [µ" / ) - µ ] : " / x C = R/ ) Συνδυάζοντας τις σχέσεις ) και ) παίρνουµε: F = / ii) Όταν καταργηθεί η δύναµη F η αλυσίδα θα ολισθαίνει πάνω στην σφαίρα

4 και την χρονική στιγµή t= που εκκινεί, κάθε κρίκος της θα έχει µόνο επιτρό χια επιταχυνση εφαπτοµενική επιτάχυνση) ενώ η κεντροµόλος επιτάχυνσή του ακτινική επιτάχυνση) θα είναι µηδενική, διότι η ταχύτητα των κρίκων είναι µηδενική. Εφαρµόζοντας για το στοιχειώδες τµήµα ds της αλυσίδας τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατα την εφαπτοµενική διεύθυνση ε) παίρ νουµε την σχέση: T + dt + dw"$/ - %) - T = da dt + ds"µ = dsa $ dt = -R"µd + Ra $ d 5) όπου a το µέτρο της επιτάχυνσης όλων των κρίκων της αλυσίδας κατά την στιγµή t= της εκκίνησής της. Oλοκληρώνοντας την 3) κατα µήκος της αλυσί δας παίρνουµε: Σχήµα dt) = -"R µ$d$) + "Ra d$) AB) % / % / / R T B - T A = R[ "$%] + a ' T B - T A = R "$ % ' - "$ ) + + R% * a, T B - T A = -R + R" a Όµως οι τάσεις Τ Α, Τ Β της αλυσίδας στις άκρες της Α και Β είναι µηδενικές, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: = -R + R" a R"a = R a = / " P.M. fysikos

5 Στην διάταξη του σχήµατος 5) στο δοκάρι Δ έχει στερεωθεί το ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου φυσικού µή κους, του οποίου το άλλο άκρο είναι ελευθερο. Πάνω στο δοκάρι έχει τοποθετηθεί µικρό σώµα, το οποίο παρουσιάζει µε το δοκάρι τρι βή, ενώ το δοκάρι µπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο οριζόντιο έδα φος. Δίνουµε στο σύστηµα ταχύτητα v και κάποια στιγµή το ελατή ριο συναντά κατακόρυφο τοίχο και αρχίζει να συµπιέζεται. i) Nα βρεθεί η ελάχιστη τιµή του συντελεστή οριακής τριβής µεταξύ δοκαριού και σώµατος, ώστε το σώµα να µη ολισθαίνει πάνω στο δο κάρι στην διάρκεια που το ελατήριο συµπιέζεται. ii) Eάν ο συντελεστής οριακής τριβής είναι ο µισός εκείνου που υπο λογίστηκε προηγουµένως, να βρέθει µετά πόσο χρόνο αφ ότου άρχισε η συµπίεση του ελατηρίου θα αρχίσει η ολίσθηση του σώµατος και ποια θα είναι η µέγιστη συµπίεση του ελατηρίου; iii) Nα βρεθεί ο συνολικός χρόνος συµπίεσης του ελατηρίου και να παρασταθεί γραφικά σε συνάρτηση µε τον χρόνο η τριβή µεταξύ σώµα τος και δοκαριού κατά την διάρκεια που το ελατήριο συµπιέζεται. Δίνεται η µάζα του σώµατος, η µάζα 3 του δοκαριού και η σταθε ρά k=/του ελατηρίου, όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας. ΛYΣH: i) Mε την προϋπόθεση ότι το σώµα δεν ολισθαίνει σε σχέση µε το δοκά ρι, τότε εκτελεί ως προς το ακίνητο έδαφος οριζόντια αρµονική ταλάντωση, µε γωνιακή συχνότητα ίση προς την γωνιακή συχνότητα ω της α.α,τ. του συστή µατος δοκάρι-σώµα, η οποία δίνεται από την σχέση: = k 3 + = = ) Σχήµα 5 Eξετάζοντας το σώµα κατά µια τυχαία χρονική στιγµή, που η αποµάκρυνσή του σε σχέση µε την θέση ισορροπίας του O είναι x, παρατήρουµε ότι αυτό δέχεται το βάρος του και την πλάγια δύναµη από το δοκάρι, η οποία αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T, η οποία αποτελεί την δύναµη επαναφοράς του σώµατος στην θέση ισορροπίας του O. Έτσι για το µέτ ρο της T θα ισχύει η σχέση:

6 T= x ) T= x ) Την στιγµή που η συσπείρωση του ελατηρίου παίρνει την µεγαλύτερη τιµή της x το µέτρο της στατικής τριβής παίρνει την µέγιστη τιµή Τ ax για την οποία ισχύει: T ax = x 3) Για να µη ολισθαίνει όµως το σώµα πάνω στο δοκάρι καθώς το ελατήριο συµπι έζεται πρέπει η T ax να µη υπερβαίνει την οριακή τριβή, δηλαδή πρέπει να ισχύ ει: 3) T ax µn x µ µ x όπου µ ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ σώµατος και δοκαριού. Eφαρµό ζοντας για το σύστηµα σώµα-δοκάρι το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας κατά τον χρόνο που το ελατήριο συµπιέζεται, παίρνουµε την σχέση: ) v + = + kx v = x x = v 5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις ) και 5) παίρνουµε: µ v µ ax = v 6) όπου µ ax η ζητούµενη µεγιστη τιµή του συντελεστή µ. ii) Εάν o συντελεστής µ είναι µ ax /, τότε το σώµα θα ολισθήσει πάνω στο δο κάρι πριν ολοκληρώθεί η µέγιστη συµπίεση x του ελατηρίου και αυτό θα συµ βεί την χρονική στιγµή t * για την οποία ισχύει η σχέση: µ ax ),6) = x * v = x * x * = v 5) x * = x 7) όπου x * η αποµάκρυνση του σώµατος την χρονική στιγµή t *. Αν ληφθεί ως αρχή µέτρησης του χρόνου η στιγµή που το ελατήριο αρχίζει να συµπιέζεται και ως θετική φορά στην διεύθυνση κίνησης του συστήµατος η φορά της ταχύ τητας v, τότε θα ισχύει: 7) x * = x µ"t * x / = x µ"t * µ"t * = /

7 ) t * = "/6 t * = 3 8) To µέτρο της ταχύτητας του σώµατος και του δοκαριού την χρονική στιγµή t * θα είναι: v * = x "$t * = x "$% / 6) v * = v "$ / 6) = 3v / 9) Eφαρµόζοντας εξάλλου για το σύστηµα δοκάρι-ελατήριο το θεώρηµα µεταβολής της µηχανικής ενέργειας από την στιγµή t * µέχρις την στιγµή της µέγιστης συµπίεσης του ελατηρίου όπου και µηδενίζεται η ταχύτητά του, παίρνουµε την σχέση: - 3v * - 9v 8 ) = µ ax + k x ax - x * + x ax - x * - 9v + x ax - x * ) = v 6),9) x ax - x * ) ) x ax - x * ) = v x ax - x * 5),7) ) -9v + x ax " - v $ $ = v x ax - v % " % -9v + x ax - v = v x ax - v x ax - v x ax - v = ) Η ) είναι εξίσωση δευτέρου βαθµού ως προς x ax και έχει ρίζες πραγµατικές και ετερόσηµες. Δεκτή είναι η θετική ρίζα: x ax = v 8 + v + 6v 8 x ax = v + 5v 8 = v + 3 5) x ax = v ) ) iii) Aς εξετάσουµε την κίνηση του δοκαριού από την στιγµή t * που αρχισε η ολίσθηση του σώµατος πάνω σ αυτό, µέχρις την στιγµή της µέγιστης συµπίε

8 σης του ελατηρίου. Το δοκάρι δέχεται κατά την διεύθυνση της κίνησής του την δύναµη F " από το συµπιεσµένο ελατήριο και την τριβή ολίσθησης T ' από το σώµα, συµφωνα δε µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα θα ισχύει: Σχήµα 6 3 d x dt = T'+F " 3 d x dt = µ ax 6) - kx 3 d x dt = v - x d x dt + 3 x = v µε d x dt + ' x = " ) ' = 3 και = v Η ) είναι µια µη οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερους συντελεστές και δέχεται µερική λύση της µορφής: x = "' = v 3 = v Η λύση της αντίστοιχης οµογενούς της ) είναι της µορφής: x = Aµ "'t + ) όπου Α, φ σταθερές ποσότητες που θα βρεθούν από τις αρχικές συνθήκες κλινησης του δοκαριού. Η γενική λύση της ) είναι: xt) = x + x = v + Aµ "'t + ) 3) Παραγωγίζοντας την 3) ως προς τον χρόνο παίρνουµε την ταχύτητα vt) του δοκαριού, δηλαδή θα έχουµε: vt) = dxt) dt = A'"$'t + %) )

9 H 3) για t= δίνει: x * = v + Aµ" v = v + Aµ" Aµ" = 3v H ) για t= δίνει: 5) v * = A'"$% 3v = A 3 "$ A"$ = 3v 6) Aπό 5) και 6) παίρνουµε: A = 9v 6 + 9v = 9v " + $ % και A = 3v 5 = 3v 5 " = 3v /) / 3v /) / = = "$% ' * ), + Την χρονική στιγµή t * της µέγιστης συµπίεσης του ελατηρίου ισχύει v= και τότε η ) δίνει: = A'"$'t' * +%) "$'t' * +%) = 't' * +" = / t' * = $ " ' % - ' ) = 3 / " - *+,-. $ ' ) % 3 Ο συνολικός χρόνος t ολ συµπίεσης του ελατηρίου είναι: t " = t * + t' * = $%' + * - 3 / ), t " = $%' + * - 3 / ), 3 7) Η αλγεβρική τιµή της τριβής που δέχεται το σώµα από το δοκάρι µεταβάλλεται

10 µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση: Σχήµα 7 T = ' ) - x = - x "µt, t t * - µ ax, t * t t $% T = ' ) - v µ"t, t t * - v, t * t t $% T = ' ) - v - v µ"t, t t *, t * t t $% 8) H γραφική παράσταση της 8) φαίνεται στο σχήµα 7). Παρατήρηση: Aπό την σχέση 3) που δίνει την αποµάκρυνση του δοκαριού σε συνάρτηση µε τον χρόνο, στην περίπτωση που έχει αρχίσει η ολίσθηση του σώµατος πάνω σ αυτό, µπορούµε να υπολογίσουµε την συνολική συσπείρωση x ax του ελατη ρίου, θέτοντας ηµω t+φ)=, οπότε θα έχουµε: x ax = v + A = v + 3v 5 x ax = v ) δηλαδή επανευρίσκουµε µε άλλο τρόπο την σχέση ). P.M. fysikos Δύο σφαιρίδια Α και Β της ίδιας µάζας είναι στερεωµένα στις άκρες ίδανικού ελατηρίου φυσικού µήκους και

11 σταθεράς k. To σύστηµα κρατείται στο πεδίο βαρύτητας της Γης µε το ελατήριο συµπιεσµένο κατά x, ενώ ο γεωµετρικός του άξονας σχηµα τίζει γωνία θ<π/ µε την κατακόρυφη διευθυνση. Κάποια στιγµή που θεωρείται ως αρχή του χρόνου το σύστηµα αφήνεται ελευθερο. i) Nα εκφράσετε το µήκος του ελατηρίου σε συνάρτηση µε τον χρόνο. ii) Ποιες είναι οι χρονικές εκφράσεις των διανυσµάτων θέσεως των σφαιριδίων ως προς το σηµείο εκκίνησης Ο του κέντρου µάζας τους; ΛΥΣΗ: i) Στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους κάθε σφαιρίδιο δέχεται το βά ρος του w και την δύναµη από το παραµοφφωµένο ελατήριο. Οι δυνάµεις αυτές αναγόµενες στο κέντρο µάζας C του συστήµατος, που βρίσκεται στο µέ σον της ευθείας που συνδέει τα δύο σφαιρίδια, δίνει για το κέντρο µάζας συνι σταµένη δύναµη ίση µε w, διότι οι δυνάµεις f, f από το ελατήριο είναι αντί θετες. Αυτό σηµαίνει ότι όταν το σύστηµα αφεθεί ελεύθερο το κέντρο µάζας του θα εκτελεί κατακόρυφη πτώση, δηλαδή θα κινείται πάνω στην κατακόρυφη ευθεία Οy µε επιτάχυνση ίση προς την επιτάχυνση της βαρύτητας. Εξάλλου οι ροπές των βαρών των σφαιριδίων περί το C είναι κάθε στιγµή αντίθετες οι δε αντίστοιχες ροπές των δυνάµεων f, f είναι µηδενικές, που σηµαίνει ότι το σύστηµα δεν περιστρέφεται περί το κέντρο µάζας του. Εξάλλου ένας παρατηρη Σχήµα 8 τής που βρίσκεται στο κέντρο µάζας αντιλαµβάνεται ότι τα σφαιρίδια βρίσκον ται σε κατάσταση έλλειψης βαρύτητας, διότι τα βάρη τους εξουδετερώ νονται από τις αδρανειακές δυνάµεις D Alebert - που είναι υποχρεωµέ νος να δέχεται επί των σφαιριδίων, δηλαδή στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας κάθε σφαιρίδιο δέχεται µόνο την δύναµη από το παραµορφωµένο ελατή ριο. Εφαρµόζοντας ο παρατηρητής αυτός λογουχάρη για το σφαιρίδιο Α τον δεύ τερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνει την σχέση: d r = f dt d -r r /) = k - r) r dt - d r dt = k - r) d r dt + k r = k

12 d r dt + r = k µε = k όπου r το διάνυσµα θέσεως του σφαιριδίου ως προς το C, r η απόσταση των δύο σφαιριδίων την στιγµή που ο παρατηρητής εξετάζει το σύστηµα και r το µοναδιαίο διάνυσµα της ευθείας ΑΒ, που για τον παρατηρητή είναι σταθερό. H ) αποτελεί µια µη οµογενή διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής: r = + Aµ "t + ) ) όπου Α, φ σταθερές ποσότητες που θα προκύψουν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του σφαιριδίου Α στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας. Παραγω γίζοντας την ) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε: dr/dt = A"$t + %) 3) Tην στιγµή t= που το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο είναι r=-x και dr/dt= οπότε οι 9) και ) δίνουν: ) - x = + Aµ" = A$%" ' ) -x = Aµ" $%" = ' A = -x = " / $ % Έτσι η σχέση 9) παίρνει την µορφή: r = - x µ "t + / ) r = - x "$t ) ii) Ύστερα από χρόνο t αφότου το σύστηµα αφέθηκε ελευθερο το κέντρο µάζας του C µετατοπίστηκε κατακόρυφα προς τα κάτω κατά το το διάνυσµα OC, για το οποίο ισχύει η σχέση: OC = t / 5) Tην ίδια στιγµή για το διάνυσµα CA µπορούµε να γράψουµε την σχέση: CA = r = -r r ) / r = - - x "$t) r / 6) Eάν R είναι το αντίστοιχο διάνυσµα θέσεως του σφαιριδίου Α ως προς το Ο, εκ του σχήµατος 8) προκύπτει η διανυσµατική σχέση: R = OC + r 5),6) R = t / - - x "$t) r / R R = t - x j - "$t) %µ i + " j ) i = -µ" - x $%t) + t - $%" - x $%t [ )] j 7)

13 Για το αντίστοιχο διάνυσµα θέσεως R του σφαιριδίου Β θα έχουµε: R = OC + r = OC - r 5),6) R = t / + - x "$t) r / R R = t - x j + "$t) %µ i + " j ) i + t + $%" - x $%t = µ" - x $%t) [ )] j 8) Παρατηρήσεις: Α Mπορούµε να καταλήξουµε στην διαφορική εξίσωση ) µε άλλο τρόπο χωρίς να χρησιµοποιήσουµε το σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας, παρατηρώντας ότι στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους ο δευτερος νόµος κίνησης του Νεύτω να για τα σφαιρίδια Α και Β δίνει τις σχέσεις: a = + f a = + " f a ) = a - " ) a ) = a - f - f f a - a = f / 9) όπου a, a οι αντίστοιχες επιταχύνσεις των Α και Β. Όµως η διανυσµατική διαφορά a - a εκφράζει την σχετική επιτάχυνση a " του σφαιριδίου Α ως προς το Β, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: r ) a " = f / d r - ) d -r r / - r r / - d r dt dt = k - r ) = f dt ) = k - r d r dt r + k r = k Β Η παρουσία του οµογενούς βαρυτικού πεδίου καθιστά το σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας C µη αδρανειακό, όµως αφήνει αναλλοίωτη την σχετική κίνηση του ενός σφαιριδίου ως προς το άλλο, δηλαδή είτε η κίνηση αυτή ανα φέρεται στο αδρανειακό σύστηµα του εδάφους είτε στο µή αδρανεικό σύστηµα του κέντρου µάζας C περιγράφεται µε την ίδια εξίσωση. Αυτό σηµαίνει ότι ένας παρατηρητής που έχει εγκατασταθεί στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας δεν είναι σε θέση να διαπιστώσει µε τοπικά πειράµατα την ύπαρξη του βαρυτι κού πεδίου, δηλαδή το σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας στην περίπτωση αυτή συµπεριφέρεται ως αδρανειακό. Αυτό το αποτέλεσµα ουσιαστικά αποτελεί την ουσία της γενικής θεωρίας της Σχετικότητας Γενική θεωρία της βαρύτη τας). P.M. fysikos

14 Mια σπείρα εύκαµπτης αλυσίδας βάρους w και ακτίνας r, είναι τοποθετηµένη πάνω σε λείο ορθό κώνο ύψους h, του οποίου η βάση έχει ακτίνα R σχ. 9). O κατακόρυφος άξονας του κώ νου διέρχεται από το κέντρο της αλυσίδας και είναι κάθετος στο επί πεδό της. Nα βρεθεί η τάση της αλυσίδας στις εξής περιπτώσεις: i) όταν το σύστηµα κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω µε επιτάχυν ση a και ii) όταν το σύστηµα περιστρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα περί τον γεωµετρικό άξονα του κώνου. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας. ΛYΣH: i) Θεωρούµε ένα στοιχειώδες τµήµα της αλυσίδας, το οποίο φαίνεται εκ του κέντρου της O υπό γωνία dφ. Tο τµήµα αυτό της αλυσίδας δέχεται το βάρος του d w, την δύναµη επαφής d N από την παράπλευρη επιφάνεια του κώνου, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην επιφάνεια αφού θεωρείται λεία και τις δυνάµεις T και T στις άκρες του από τα εκατέρωθεν τµήµατα της αλυ σίδας, οι οποίες είναι εφαπτοµενικές της αλυσίδας και έχουν το ίδιο µέτρο, διό τι όλοι οι κρίκοι της τεντώνονται οµοιόµορφα λόγω της συµµετρίας τους περί Σχήµα 9 τον άξονα του κώνου. Εφαρµόζοντας για το στοιχείο αυτό κατά τον κατακόρυ φο άξονα Οy τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: dn y - dw = da dnµ" - d = da dnµ" = da + ) ) όπου d η µάζα του στοιχείου που εξετάζουµε. Όµως η συνισταµένη των δυνά µεων που δέχεται το στοιχείο αυτό της αλυσίδας κατά τον οριζόντιο άξονα Ox

15 είναι ίση µε µηδέν, δηλαδή θα ισχύει: dn x - T x - T x = dn"$ - T %µd / ) - T %µ d / ) = dn"$ = T%µ d / ) ) όπου T το κοινό µέτρο των δυνάµεων T και T. Διαιρώντας τις σχέσεις ) και ) κατά µέλη παίρνουµε: µ" $%" = da + ) da + ) ' Tµd / ) Td " = da + ) Td$ T = da + ) "d$ 3) όπου τεθηκε ηµdφ/) dφ/, διότι η γωνία dφ τείνει στο µηδέν. Εξάλλου λόγω της οµοιοµορφίας των κρίκων της αλυσίδας µπορούµε να γράψουµε την σχέση d/dφ-/π, ενώ η γεωµετρία του προβλήµατος δίνει εφθ=r/h. Έτσι η σχέση 3) γράφεται: T = ha + ) R ) Παρατήρηση: Aν το σύστηµα κώνος-αλυσίδα ηρεµεί, τοτε a= και η τάση σε κάθε κρίκο της αλυσίδας θα έχει µέτρο h/πr. Aν το σύστηµα εκτελεί ελευθερη πτώση, τότε a=- και η ) δίνει Τ=. ii) Στην περίπτωση που το σύστηµα περιστρέφεται περί τον κατακόρυφο άξονα Οy µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα, εξετάζοντας πάλι ένα στοιχείο της αλυσίδας παρατηρούµε ότι αυτό εκτελεί οριζόντια κυκλική κίνηση που σηµαί νει ότι οι κατακόρυφες δυνάµεις που δέχεται έχουν µηδενική συνισταµένη, ένω οι οριζόντιες δυνάµεις εχουν συνισταµένη που κάθε στιγµή αποτελεί για το στοιχείο κεντροµόλο δύναµη. Θα έχουµε εποµένως τις σχέσεις: dn y - dw = " -dn x + T x + T x = d r $ dnµ" - d = ) -dn$%" + T µ d / ) + T µd / ) = d' r* dnµ" - d = ) -dn$%" + Tµ d / ) = d' r* dnµ" = d ) dn$%" = Td - d' r * :) µ" $%" = d Td - d' r " = $rd% Td% - $rd% r

16 $r " = T - $r% r Όµως η µάζα της αλυσίδας συνδέεται µε την γραµµική της πυκνότητα ρ, µέσω της σχέσεως =πrρ, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται; " = /$ T - % r / $ R h = T - " r RT - " rr = h T = h + rr) "R P.M. fysikos Mια βαρειά πλάκα µάζας αφήνεται να ολισθή σει σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολισθήσεως n. Eπί της πλά κας έχει στερεωθεί δια πακτώσεως και κάθετα προς την πλάκα οµογενής ράβδος µήκους και µάζας. Να δείξετε ότι λόγω της πακτώσεως αναπτύσσεται στην βάση της ράβδου µηχανική ροπή, της οποίας να προσδιορίσετε τα χαρακτηριστικά. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Ένας ακίνητος παρατηρητής καταγράφει επί του συστήµατος πλάκαράβδος τις εξής δυνάµεις σχ. ): i) τo βάρος w της πλάκας, που αναλύεται στην κάθετη προς το κεκλιµένο επί πεδο συνιστώσα w y και στην παράλληλη προς αυτό συνιστώσα ii) το βάρος w της ράβδου, που αναλύεται στις αντίστοιχες συνιστώσες w y, w x και w x Σχήµα iii) την αντίδραση του κεκλιµένου επιπέδου επί της πλάκας, που αναλύεται στην τριβή ολισθήσεως T και στην κάθετη αντίδραση N.

17 Το σύστηµα εκτελεί µεταφορική κίνηση στην διάρκεια της οποίας το κέντρο µάζας του µετατοπίζεται προς τα κάτω κατά την διεύθυνση x και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα ισχύει η σχέση: w x + w x - T = + )a µ"+ µ" - nn = + )a + )µ" - nn = + )a ) όπου a η επιτάχυνση του κέντρου µάζας. Όµως κατά την διεύθυνση του άξονα y το κέντρο µάζας δεν επιταχύνεται, οπότε ισχύει: -w y - w y + N = + )"$ = N ) Συνδυάζοντας τις ) και ) προκύπτει η σχέση: + )µ" - n + )$%" = + )a a = µ" - n$%") 3) Ας δούµε πως σκέπτεται ένας παρατηρήτης που βρίσκεται πάνω στην πλάκα. Αυτός είναι ένας ευθύγραµµα επιταχυνόµενος παρατηρητής µε επιτάχυνση a και εξετάζοντας την ράβδο διαπιστώνει ότι αυτή ηρεµεί στο σύστηµα αναφοράς του υπό την επίδραση των δυνάµεων που δέχεται από το περιβάλλον της, αλλά και της αδρανειακής δύναµης D Alebert - a που θεωρείται ότι ενεργεί στο Σχήµα κέντρο µάζας της ράβδου. Αν ο παρατηρήτης αυτός αποδεχθεί ότι η δράση της πακτώσεως επί της ράβδου είναι µια δύναµη F A σχ. ), της οποίας ο φορέας τέµνει την βάση της ράβδου τοµή της ράβδου µε την πλάκα) στο Α, τότε λόγω της ισορροπίας της ράβδου µπορεί να γράφει την σχέση: ") A = a/ - w d = a/ - µ" / = a = µ" ) Eίναι προφανές ότι η σχέση ) εµπεριέχει λάθος που προέκυψε από την λαθε

18 µένη εκτίµηση του επιταχυνόµενου παρατηρητή για την φύση της αντίδρασης πακτώσεως επί της ράβδου, υποστηρίζοντας ότι η αντίδραση αυτή εκφράζεται µε την δύναµη F A. Ο παρατηρητής µετά από σκέψη επανεκτιµά ότι το λάθος αυτό αίρεται αν στο άθροισµα Στ) Α προστεθεί ένας διορθωτικός προσθετέος τ Π που εκφράζει µηχανική ροπή, της οποίας η αλγεβρική τιµή ικανοποιεί την σχέ ση: 3) a/ - µ" / + $ = µ" - n$%")/ - µ" / + ' = " = n$% / 5) Με τον τρόπο αυτόν ο επιταχυνόµενος παρατηρητής συµπεραίνει ότι η αντίδ ραση της πακτώσεως επί της ράβδου έχει δυικό χαρακτήρα, δηλαδή εκφράζεται µε µια δύναµη F A που µπορεί να την υπολογίσει από την ισορροπία της ράβδου και µε µια µηχανική ροπή ", που αποτελεί την ροπή πακτώσεως στην βάση της ράβδου. Παρατήρηση: O αδρανειακός παρατήρητης µπορεί και αυτός να καταλήξει στην ύπαρξη ροπής πακτώσεως επί της ράβδου σκεπτόµενος ως εξής: Αν η ράβδος δεχόταν από την πλάκα µόνο την δύναµη F A τότε, λόγω της µεταφορικής κίνησης της ράβδου, πρέπει να θεωρήσει µηδενικό το άθροισµα των ροπών των δυνάµεων περί το κέντρο µάζας της πράγµα που δεν µπορεί να συµβαίνει αφού είναι βέβαιο ότι ο φορέας της F A δεν διέρχεται από το κέντρο µάζας. Πράγµατι αν αυτό συνέβαινε τότε η F A θα εξουδετέρωνε την συνιστώσα w y του βάρους της ράβδου, ενώ η συνιστώσα w x θα προσέδινε στο κέντρο µά ζας επιτάχυνση µέτρου ηµφ, που σύµφωνα µε την σχέση 3) είναι διαφορετικό από το µέτρο της επιτάχυνσης a. Για να εξαλείψει ο αδρανειακός παρατηρητής την παραπάνω παραδοξότητα δέχεται την ύπαρξη της ροπής πακτώσεως ", η οποία εξουδετερώνει την ροπή της F A περί το κέντρο µάζας της ράβδου, δηλα δή ο παρατηρητής αυτός γράφει την σχέση: " - F Ax / = " = F Ax / 6) όπου F Ax η παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα της F A. Εξάλ λου, εφαρµόζοντας ο αδρανειακός παρατηρητής για το κέντρο µάζας της ράβδου τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα παίρνει την σχέση: 3) µ" - F Ax = a µ" - F Ax = µ" - n$%") F Ax = n"$ 7) Συνδυάζοντας τις σχέσεις 6) και 7) καταλήγει την σχέση:

19 " = n$% / που είναι ίδια µε εκείνη που προτείνει ο επιταχυνόµενος παρατηρήτης. Μια σύντοµη περιγραφή της κατάστασης πακτώσεως ενός στερεού σώµατος Ένα στερεο σώµα Σ) είναι πακτωµένο µέσα σ ένα άλλο στερεό Σ ), όταν ένα µέρος του Σ) έχει εισχωρήσει στο Σ ), ώστε να σχηµατιστεί µια κοιλότητα του ίδιου σχήµατος µε το τµήµα που έχει εισχωρήσει και έτσι η επαφή των δύο σω µάτων γίνεται επί όλων των σηµείων της επιφάνειας της κοιλότητας. Όταν στο στερεό σώµα Σ) επιδράσουν εξωτερικές δυνάµεις, τότε κάθε είδους σχετική του κίνηση ως προς το Σ ) είναι αδύνατη. Ας δεχθούµε ότι οι εξωτερικές δυνά µεις επί του Σ) είναι οµοεπίπεδες και αναγόµενες στο σηµείο Α δίνουν µόνο Σχήµα συνισταµένη δύναµη F " σχ. ). Ας δεχθούµε ακόµη ότι η επαφή των δύο σω µάτων είναι χωρίς τριβή, οπότε οι στοιχειώδεις δυνάµεις d f που δέχονται τα στοιχεία του Σ) που είναι σε επαφή µε τα τοιχώµατα της κοιλότητας θα είναι κάθετα κατανεµηµένες στα τοιχώµατα. Οι δυνάµεις d f αναγόµενες σε ένα σηµείο Ο του επιπέδου των εξωτερικών δυνάµεων, θα δίνουν εν γένει µια συνι σταµένη δύναµη R και ένα συνιστάµενο ζεύγος ροπής ". Εάν το σώµα Σ ) είναι ακίνητο, αναγκαστικά και το Σ) λόγω της πακτώσεως θα είναι ακίνητο, οπότε οι δυνάµεις R και F " θα αποτελούν ζεύγος µε ροπή αντίθετη της ", δηλαδή θα ισχύουν οι σχέσεις: R = - F " και " = - r " F $% ) όπου r το διάνυσµα θέσεως του Α ως προς το Ο. Η δύναµη R και η µηχανική ροπή " αποτελούν τις αντιδράσεις της πακτώσεως επί του σώµατος Σ) και η µεν R ονοµάζεται δύναµη αντίδρασης της πακτώσεως, η δε ροπή " ονοµάζε ται ροπή πακτώσεως. Παρατηρούµε ότι η R είναι ανεξάρτητη του σηµείου αναγωγής Ο των δυνάµεων επαφής d f, ενώ η ροπή " εξαρτάται από την θέση του Ο σύµφωνα µε την σχέση: " = - r " F $% ) P.M. fysikos

20 Τα σώµατα Σ, Σ του σχήµατος 3) έχουν την ίδια µάζα και συνδέονται µε οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k και φυσικού µήκους, ισορροπούν δε πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος. Κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή του χρόνου το σώµα Σ δέ χεται οριζόντια δύναµη βραχείας διάρκειας µε αποτέλεσµα να αποκ τήσει στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους αρχική ταχύτητα v. i) Να εξετασθεί το είδος κίνησης των σωµάτων Σ και Σ στο σύστη µα αναφοράς του κέντρου µάζας τους. ii) Nα βρεθούν οι χρονικές στιγµές που η απόσταση των σωµάτων γίνεται µέγιστη και ελάχιστη για πρώτη φορά αφ ότου τέθηκαν σε κίνηση και να βρεθούν οι δύο αυτές αποστάσεις. ΛΥΣΗ: i) Tην χρονική στιγµή t= το κεντρο µάζας των σωµάτων βρίσκεται στο µέσον C του ελατηρίου, αφού τα σώµατα έχουν ίσες µάζες και η ταχύτητά του v C συνδέεται µε τις ταχύτητες των δύο σωµάτων, σύµφωνα µε βασική ιδιότητα του κέντρου µάζας, µέσω της σχέσεως: + ) v C = v + v C = v / ) Ένας παρατηρητής που µετέχει της κινήσεως του κέντρου µάζας είναι ένας αδρανειακός παρατηρητής, ο οποίος αντιλαµβάνεται τα έξής: Σχήµα 3 α. Τα σώµατα Σ και Σ την χρονική στιγµή t= έχουν στο δικό του σύστηµα αναφοράς ταχύτητες v, και v, που ικανοποιούν τις σχέσεις: και v, = v - v C = v - v / = v / ) v, = - v C = - v / 3) β. Τα σώµατα είναι στερεωµένα στις άκρες δύο οριζόντιων ελατηρίων που βρίσ κονται εκατέρωθεν του κέντρου µάζας C των σωµάτων, το καθένα έχει φυσικό µήκος / και σταθερά k, οι δε άλλες τους άκρες είναι στερεωµένες σε σταθε ρό σηµείο που είναι το κέντρο µάζας των σωµάτων. γ. Την χρονική στιγµή t= τα σώµατα βρίσκονται στις θέσεις ισορροπίας τους

21 Ο και Ο που απέχουν από το C την ίδια απόσταση / και διεγείρονται, ώστε την στιγµή αυτή ν αποκτήσουν ταχύτητες v, και v, που οι φορείς τους βρίσ κονται πάνω σε µια οριζόντια ευθεία x x που διέρχεται από το C και έχει την διεύθυνση του άξονα των ελατηρίων. Λαµβάνοντας ο παρατηρητής ως θετική φορα πάνω στον άξονα x x την φορά της ταχύτητας v, ισχυρίζεται για το σώµα Σ ότι εκτελεί α.α.τ. µε αρχική φάση φ =, αφού την στιγµή t= βρίσκεται στην θέση ισορροπίας του και κινείται κατά την θετική φορά, η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης αυτής είναι = k/ το δε πλάτος της δίνεται από την σχέση: x, = v ), x, = v k ) Για το σώµα Σ ο παρατηρητής ισχυρίζεται ότι και αυτό εκτελεί α.α.τ. µε αρχική φάση φ =π, διότι την στιγµή t= βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του και κινείται κατα την αρνητική φορά, η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης αυτής είναι = k/ το δε πλάτος της ακολουθεί την σχέση: x, = v 3), x, = v k Οι αλγεβρικές τιµές των αποµακρύνσεων x, x των σωµάτων Σ και Σ από τις θέσεις ισορροπίας τους Ο και Ο είναι ηµιτονοειδείς συναρτήσεις του χρό νου t, της µορφής: 5) και ) x = x, µ" t x = v 5) x = x, µ" t + ) k µ " $ x = - v k t % ' 6) k µ " $ k t % ' 7) ii) Οι αλγεβρικές τιµές των αποµακρύνσεων από το κέντρο µάζας C έχουν την µορφή: και X = - + v X = - v k µ " $ k µ " $ k t % ' 8) k t % ' 9) Οι σχέσεις 8) και 9) εφαρµοζόµενες την χρονική στιγµή t=π/ω =π/ω δίνουν:

22 και X = - + v X = - v k X = - + v k X = - v k = - v k = - v k k ) ) Την στιγµή αυτή η απόσταση των δύο σωµάτων είναι: X + X = - v k ) Εξάλλου οι σχέσεις 8) και 9) την χρονική στιγµή t=3π/ω =3π/ω δίνουν: X = - - v k X = - - v k = + v k 3) και X = + v k X = + v k = + v k ) Την στιγµή αυτή η απόσταση των δύο σωµάτων είναι: X + X = + v k 5) Από τις σχέσεις ), 5) προκύπτει ότι τις χρονικες στιγµές t = /k/ και t =3 /k/ η απόσταση των δύο σωµάτων γίνεται ελάχιστη αντιστοίχως µέ γιστη για πρώτη φορά αφ ότου τέθηκαν σε κίνηση, οι δε αποστάσεις αυτές είναι: d in = - v k και d ax = + v k P.M. fysikos Το σύστηµα του σχήµατος ) αποτελείται από µικρό σώµα µάζας, από δοκάρι µάζας και από ιδανικό ελατή ριο σταθεράς k. To ελατήριο είναι οριζόντιο και οι άκρες του είναι στερεωµένες στο σώµα και στο δοκάρι. Tο σύστηµα κρατείται ακίνητο µε το ελατήριο συµπιεσµένο κατά x και κάποια στιγµή που θεωρείται ως αρχή του χρόνου αφήνεται ελεύθερο. Nα βρεθούν οι εξισώσεις κί νησης του σώµατος και του δοκαριού στο σύστηµα αναφοράς του εδά φους. Να θεωρήσετε ασήµαντες τις τριβές σε όλες τις επαφές και γνωστή

23 την οριζόντια απόσταση α του κέντρου µάζας του δοκαριού από το άκρο Α του ελατηρίου. ΛΥΣΗ: Επειδή σε όλες τις επαφές οι τριβές θεωρούναι ασήµαντες το σύστηµα δοκάρι-σώµα είναι µηχανικά µονωµένο και όταν αφεθεί ελεύθερο θα κινείται ώστε το κέντρο µάζας του C να παραµένει ακίνητο ως προς το έδαφος. Eάν x, x είναι οι προβολές πάνω στον oριζόντιο άξονα x x των διανυσµάτων θέσεως CC, CC των κέντρων µάζας C, C του σώµατος και του δοκαριού αντιστοί χως ως προς το C, θα έχουµε τις σχέσεις: x + x = x + + x - x = " $ x - x = " -x - + x - x = $ x = x / " x + x = x - $ ) Σχήµα όπου η οριζόντια προβολή του σταθερού διανύσµατος C A και x το διανυσ µα θέσεως του C ως προς το άκρο Α του ελατηρίου. Οι σχέσεις 5) αναφέρονται στα µέτρα των διανυσµάτων x, x, και x και µας επιτρέπουν να υπολογί σουµε τις µεταβλητές ποσότητες x, x σε συνάρτηση µε το εκάστοτε µήκος x του ελατηρίου. Θεωρώντας τις σχέσεις ) ως σύστηµα δύο εξισώσεων µε αγνώ στους τα x, x παίρνουµε από την λύση του τις σχέσεις: x = x - ) ) και x + = x - ) + Εφαρµόζοντας για το σώµα τον δευτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνου µε: d ) x d " x - ) % = -F dt " $ ' = -kx - ) dt $ + ' d x$ + " dt = -kx - ) 3) % όπου το φυσικό µήκος του ελατηρίου. Όµως η ποσότητα / + αποτε λεί την ενεργό µάζα α του συστήµατος σώµα-δοκάρι, οπότε η 3) γράφεται: d x dt = -kx - ) d x dt + kx = k

24 d x dt + = k " µε = k " ) H ) αποτελεί µια µη οµογενή διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθε ρούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής: x = + Aµ "t + ) 5) όπου Α, φ σταθερές ποσότητες που θα προκύψουν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του σώµατος. Παραγωγίζοντας την 5) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε: dx dt = A"$t + %) ) " + $ % dx dt = A')*'t + +) 6) Tην στιγµή t= που το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο είναι x=-x και dx /dt= οπότε οι 5) και 6) δίνουν: - x = + Aµ" = A$%" ' ) -x = Aµ" $%" = ' A = -x = " / $ % Έτσι η σχέση 5) παίρνει την µορφή: x = - x µ "t + / ) x = - x "$t 7) Mε βάση την 7) οι σχέσεις ) γράφονται: x = - - x "$%t ) ) και x + = - - x "$%t + οι οποίες αποτελούν τις ζητούµενες εξίσώσεις κίνησης του σώµατος και του δοκαριού αντιστοίχως. Παρατήρηση: Mπορούµε να καταλήξουµε στην διαφορική εξίσωση 3) µε άλλο τρόπο παρατη ρώντας ότι, επειδή το σύστηµα σώµα-δοκάρι είναι µηχανικά µονωµένο η ορµή του διατηρείται σταθερή στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους και µάλιστα κάθε στιγµή είναι ίση µε µηδέν, δηλαδή ισχύει η σχέση: v + v = 8) όπου v, v οι ταχύτητες σώµατος και δοκαριού αντιστοίχως την στιγµή που ε ξετάζουµε το σύστηµα. Παραγωγίζοντας την 8) ως προς τον χρόνο παίρνουµε: d v dt + d v dt = a + a = 9) όπου a, a οι αντίστοιχες επιταχύνσεις σώµατος και δοκαριού. Ένας παρατη ρητής που βρίσκεται πάνω στο δοκάρι και ακινητεί ως προς αυτό είναι ένας µη

25 αδρανειακός παρατηρητής που αντιλαµβάνεται ότι η σχετική κίνηση του σώµα τος ως προς το δοκάρι πραγµατοποιείται υπό την επίδραση της δύναµης F " από το ελατήριο και της αδρανειακής δύναµης D Alebert - a, οπότε εφαρ µόζοντας τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα παίρνει την σχέση: F " - a = a $ 9) ) = F " + a / a $ ) όπου a " η σχετική επιτάχυνση του σώµατος ως προς το δοκάρι. Όµως το γινό µενο a αποτελεί στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους την δύναµη F ", οπό τε η ) γράφεται: F " + F " / ) = a $ F + " % = a )* $ ' F " = a % % $ ' * F + " = a $ ' * ) + ) -kx - ) = d x $ dt " + % η οποία είναι η έξίσωση 3). P.M. fysikos