Κεφάλαιο Σειρές Fourier

Transcript

1 Κεφάλαιο 7 7. Σειρές Fourier Λίγο ριν το 8, ο Γάλλος μαθηματικός/φυσικός/μηχανικός Jean Baptiste Joseph Fourier έκανε μια εκληκτική ανακάλυψη. Μέσω των ενδελεχών αναλυτικών ερευνών του στις Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις ου μοντελοοιούν την διάδοση της θερμότητας σε σώματα, ο Fourier οδηγήθηκε στον ισχυρισμό ότι κάθε συνάρτηση μορεί να αρασταθεί ώς ένα άειρο άθροισμα αό στοιχειώδεις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, ημιτόνων και συνημιτόνων. Για αράδειγμα, αναλύοντας τον ήχο ου αράγεται αό ένα ιάνο, βιολί, τρομέτα ή ένα τύμανο στις τριγωνομετρικές συνιστώσες του αοκαλύτονται οι βασικές συχνότητες οι οοίες συνδυάζονται για να αράγουν το ιδιαίτερο ηχόχρωμα του κάθε μουσικού οργάνου. Η ανακάλυψη αυτή του Fourier συγκαταλέγεται ολύ εύκολα στις δέκα σημαντικότερες μαθηματικές εξελίξεις όλων των εοχών, συμεριλαμβανομένων της ανάλυσης του Newton, και της διαφορικής γεωμετρίας των Gauss και Riemann. Η ανάλυση Fourier αοτελεί λέον μια ουσιώδη συνιστώσα ολλών σύγχρονων κλάδων τόσο των εφαρμοσμένων όσο και των θεωρητικών μαθηματικών. Αοτελεί ένα ισχυρότατο αναλυτικό εργαλείο για να ειλύσουμε ένα ευρύ φάσμα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων στην φυσική, μηχανική, βιολογία, οικονομικά, ή ακόμα και για να "ακούσουμε" την κατανομή των ρώτων αριθμών! Η ανάλυση Fourier βρίσκεται στην καρδιά της εεξεργασίας ήχου, φωνής, εικόνας, σεισμικών δεδομένων και ραδιοφωνικής μετάδοσης. Πολλές σύγχρονες τεχνολογίες όως η τηλεόραση, μουσικά CD και DVD, κινητά τηλέφωνα, κινηματογραφικές ταινίες, γραφικά υολογιστών, ανάλυση δακτυλογραφικών αοτυωμάτων κ.α. έχουν τα θεμέλιά τους στην θεωρία του Fourier. Είναι ένα αό τα ισχυρότερα όλα στην φαρέτρα κάθε μαθηματικού, φυσικού, μηχανικού, όως ακριβώς η ανάλυση και η γραμμική άλγεβρα.

2 7. Τι είναι μια σειρά Fourier Ας θεωρήσουμε μια συνεχή συνάρτηση f(x) ου ορίζεται στο διάστημα [, ]. Η σειρά Fourier της f(x) ορίζεται αό την σχέση a f(x) + [ a k cos k x + b k sin k x ], k= όου το δηλώνει ότι η συνάρτηση f(x) έχει την ανααράσταση με τον άειρο γραμμικό συνδυασμό των ημιτόνων και συνημιτόνων στο δεξί μέλος της αραάνω σχέσης. Τα a k, b k ονομάζονται συντελεστές Fourier. Όως ήδη γνωρίζουμε ένα άειρο άθροισμα, ή καλύτερα σειρά, είναι ολύ ιο ευαίσθητη αό μια εερασμένη σειρά και συνεώς μια τέτοια φορμαλιστική κατασκευή ααιτεί μια ολλή ροσεχτική μαθηματική ανάλυση. Τα κύρια ερωτήματα ου θα μας ειτρέψουν να ξεκλειδώσουμε το ρόβλημα αό μαθηματική σκοιά είναι: Πότε μια άειρη τριγωνομετρική σειρά συγκλίνει? Τι είδους συναρτήσεις f(x) μορούν να αρασταθούν αό μια συγκλίνουσα σειρά Fourier? Δοσμένης μια τέτοιας συνάρτησης f(x), ως μορούμε να καθορίσουμε τους συντελεστές Fourier a k, b k ; Ειτρέεται να αραγωγίζουμε και να ολοκληρώνουμε σειρές Fourier όρο ρος όρο? Αό τα αραάνω ερωτήματα η ρώτη δουλειά ου έχουμε να κάνουμε είναι να δούμε αν μορούμε να βρούμε τους συντελεστές a k, b k, και μετά οτιδήοτε άλλο όως θέματα σύγκλισης κτλ. Το κλειδί ου ξεκλειδώνει το σεντούκι του θησαυρού Fourier είναι η ορθογωνιότητα. Δυο διανύσματα v, w στον R n είναι ορθογώνια αν και μόνο αν το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν v w =. Όως έχουμε ήδη διαιστώσει η ορθογωνιότητα, και ειδικότερα οι ορθοκανονικές βάσεις, έχουν ολύ σημαντικές συνέειες στην γραμμική άλγεβρα, όως στη ροσέγγιση συνεχών συναρτήσεων σε ένα διάστημα. Η αφετηρία είναι να ορίσουμε ένα κατάλληλο εσωτερικό γινόμενο στον αειροδιάστατο χώρο συναρτήσεων σε ένα διάστημα, το οοίο θα αίζει τον ρόλο του εσωτερικού γινομένου στο εερασμένο χώρο των οικείων μας διανυσμάτων. Για τις κλασικές σειρές Fourier, χρησιμοοιούμε το L εσωτερικό γινόμενο στο χώρο C R [, ] των συνεχών συναρτήσεων με εδίο ορισμού στο διάστημα [, ]. Δεν είναι δύσκολο να δείξει κανείς ότι το αραάνω εσωτερικό γινόμενο ικανοοιεί όλα τα αξιώματα (διγραμμικότητα, συμμετρία, θετικά ορισμένο) ενός εσωτερικού γινομένου στον (αειροδιάστατο) διανυσματικό χώρο C R [, ], των ραγματικών συνεχών συναρτήσεων στο διάστημα [, ]. Η αντίστοιχη νόρμα είναι < f, g >= f(x) g(x) x, () d f = < f, f > = f(x x. ) d

3 Λήμμα. Με το εσωτερικό γινόμενο (), οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις, cos x, sin x, cos x, sin x, ικανοοιούν τις ακόλουθες σχέσεις ορθογωνιότητας < cos k x, cos l x > = < sin k x, sin l x >= για k l, < cos k x, sin l x >=, =, cos k x = sin k x =, για κάθε για k, l, k, όου k, l μη αρνητικοί ακέραιοι. Η αόδειξη είναι καθαρά θέμα ράξεων, οότε χρησιμοοιούμε το Sage! Αόδειξη In []: def inner(f,g): return /pi * integrate(f*g,x,-pi,pi) In []: var('k l') assume(k,'integer') assume(k>) assume(l,'integer') assume(l>) print inner(cos(k*x),cos(l*x)) print inner(sin(k*x),sin(l*x)) print inner(cos(k*x),sin(l*x)) In [3]: norm_ = sqrt(inner(,)) ; print norm_ sqrt() In [4]: norm_cos = sqrt(inner(cos(k*x),cos(k*x))) ; print norm_cos In [5]: norm_sin = sqrt(inner(sin(k*x),sin(k*x))) ; print norm_sin για κάθε μη-αρνητικούς ακέραιους k, l. Το ροηγούμενο λήμμα συνεάγεται ότι οι στοιχειώδεις τριγωνομετρικές συναρτήσεις φτιάχνουν ένα ορθογώνιο σύστημα, ου σημαίνει ότι κάθε ζευγάρι συναρτήσεων είναι ορθογώνιο μεταξύ τους, ως ρος το εσωτερικό γινόμενο (). Αν αντικαθιστούσαμε το με το, τότε θα είχαμε ένα ορθοκανονικό σύστημα, ου σημαίνει ότι ειλέον όλα τα στοιχεία θα είχαν νόρμα. Όμως, το ειλέον είναι εντελώς ενοχλητικό, και είναι καλύτερα να μην το λαμβάνουμε υόψη και να χρησιμοοιούμε το.

4 Παρατήρηση: Δεν είναι τυχαίο το γεγονός ότι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι ορθογώνιες μεταξύ τους. Είναι αόρροια του γεγονότος ότι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι οι ιδιοσυναρτήσεις ενός αυτοσυζυγούς ροβλήματος συνοριακών τιμών, το οοίο είναι το "συναρτησιακό" ανάλογο της ορθογωνιότητας των ιδιοδιανυσμάτων για συμμετρικούς ίνακες στην γραμμική άλγεβρα. Αν αφήσουμε ρος το αρόν θέματα σύγκλισης τριγωνομετρικών σειρών, τότε οι σχέσεις ορθογωνιότητας χρησιμεύουν στο να καθορίσουμε τους συντελεστές Fourier a k, b k. αίρνοντας το εσωτερικό γινόμενο στα δυο μέλη της εξίσωσης a f(x) = + [ a k cos k x + b k sin k x ], k= έχουμε < f, cos l x > = a <, cos l x > + k= [ a k < cos k x, cos l x > + b k < sin k x, cos l x > ] = a l < cos l x, cos l x >=, a l δηλαδή a k = < f, cos k x >, Με αρόμοιο τρόο αίρνουμε ότι b k = < f, sin k x >, και το εσωτερικό γινόμενο της f(x) με την μονάδα δίνει a < f, >= <, > + [ a k < cos k x, > + b k < sin k x, > ] = a, k= ου εξηγεί τον λόγο ου ήραμε ως νόρμα του το. Οότε καταλήγουμε στο συμέρασμα ότι αν η σειρά Fourier συγκλίνει στην συνάρτηση f(x), τότε οι συντελεστές Fourier της σειράς καθορίζονται αίρνοντας τα εσωτερικά γινόμενα της συνάρτησης με τις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Ορισμός. Η σειρά Fourier μιας συνάρτησης f(x) ου ορίζεται στο διάστημα [, ] είναι η a f(x) + [ a k cos k x + b k sin k x ], (.a) k= της οοίας οι συντελεστές Fourier δίνονται αό τις σχέσεις των εσωτερικών γινομένων a k = < f, cos k x >= f(x) cos k x x, k =,,, (.b) d b k = < f, sin k x >= f(x) sin k x x, k =,, (.c) d

5 Η συνάρτηση f(x) δεν μορεί να είναι τελείως αυθαίρετη, αφού τουλάχιστον τα ολοκληρώματα θα ρέει να υάρχουν και να είναι εερασμένοι ραγματικοί αριθμοί. Έστω κι αν οι συντελεστές είναι εερασμένοι αριθμοί δεν υάρχει εγγύηση ότι οι σειρές ου ροκύτουν θα συγκλίνουν, και έστω κι αν συγκλίνουν δεν υάρχει εγγύηση ότι θα συγκλίνουν στην συνάρτηση f(x), έστω και κατά σημείο. Γι' αυτούς τους λόγους τείνουμε να χρησιμοοιούμε το σύμβολο αντί αυτού της ισότητας όταν γράφουμε μια σειρά Fourier. Παράδειγμα 3. Θεωρούμε την συνάρτηση f(x) = x. Οι συντελεστές Fourier της f(x) είναι: In [6]: f(x)=x ; print f x --> x In [7]: pf = plot(f,(x,-pi,pi)); pf.show(figsize=4) In [8]: def inner(f,g): return /pi * integrate(f*g,x,-pi,pi) In [9]: var('k') assume(k,'integer') a = inner(f(x),); print str('a = '), a; a(k) = inner(f(x),cos(k*x)) ; print str('ak = '), a(k); b(k) = inner(f(x),sin(k*x)); print str('bk = '), b(k); a = ak = bk = -*(-)^k/k In []: fourier4 = a/ + sum( a(k)*cos(k*x) + b(k)*sin(k*x) for k in [..4]); fourier4.show() In []: sin(4 x) + sin(3 x) sin( x) + sin(x) 3 fourier6 = a/ + sum( a(k)*cos(k*x) + b(k)*sin(k*x) for k in [..6]); fourier = a/ + sum( a(k)*cos(k*x) + b(k)*sin(k*x) for k in [..]);

6 In []: pfr4 = plot(fourier4,(x,-pi,pi),color='brown'); pfr6 = plot(fourier6,(x,-pi,pi),color='green'); pfr = plot(fourier,(x,-pi,pi),color='red'); mygraphicsarray = graphics_array([[pf,pf+pfr4],[pf+pfr6,pf+pfr]]) mygraphicsarray.show(figsize=5,ticks=[[],[]]) Παρατηρούμε ότι όσο ερισσότερους όρους εριλαμβάνουμε στην σειρά Fourier τόσο καλύτερα η τελευταία ροσεγγίζει την συνάρτησή μας f(x), όχι όμως σε όλα τα σημεία στο διάστημα [, ]. Όσους όρους και να άρουμε στην σειρά, στα άκρα του διαστήματος η σειρά εξακολουθεί να αστοχεί να βρει την ραγματική τιμή της f(x). Το φαινόμενο αυτό είναι γνωστό ως φαινόμενο Gibbs. Για αράδειγμα, αν άρουμε 5 όρους στην σειρά Fourier, τότε ροκύτει η αρακάτω ροσέγγιση In [3]: fourier5 = a/ + sum( a(k)*cos(k*x) + b(k)*sin(k*x) for k in [..5]); pfr5 = plot(fourier5,(x,-pi,pi),color='red',ticks=[pi,pi], tick_formatter=[pi,pi] ); (pf+pfr5).show(figsize=5)

7 Τι γίνεται όμως έρα αό το διάστημα [, ] ; In [4]: pfr = plot(fourier,(x,-3*pi,3*pi),color='red', \ ticks=[pi,pi], tick_formatter=[pi,pi]); (pf+pfr).show(figsize=4) Παρατηρούμε ότι η σειρά Fourier έρα αό το διάστημα [, ] δεν ακολουθεί λέον την συνάρτησή μας f(x) = x, αλλά τραβάει τον δικό της δρόμο, ο οοίος μάλιστα δείχνει να εαναλαμβάνεται εριοδικά με ερίοδο. 7. Περιοδικές εεκτάσεις συναρτήσεων Η τελευταία αρατήρηση στο ροηγούμενο αράδειγμα είναι ένα γεγονός ου έρεε να το εριμέναμε αφού οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι όλες μαζί εριοδικές συναρτήσεις με ερίοδο. Οότε αν η σειρά Fourier συγκλίνει, η οριακή συνάρτηση f (x) οφείλει και η ίδια να είναι εριοδική συνάρτηση, και μάλιστα με την ίδια ερίοδο : Μια σειρά Fourier μορεί να συγκλίνει μόνο σε μια -εριοδική συνάρτηση. Οότε είναι αράλογο να εριμένουμε η σειρά Fourier να συγκλίνει στην αεριοδική συνάρτηση f(x) = x, του ροηγούμενου αραδείγματος αντού στο R. Μαλλον θα έρεε να συγκλίνει στην - εριοδική εέκταση της f(x), η οοία ικανοοιεί f (x) = f(x) για κάθε < x. f (x + ) = f (x) για κάθε x R. Λήμμα 4. Αν f(x) είναι μια οοιαδήοτε συνάρτηση ορισμένη στο [, ], τότε υάρχει μοναδική - εριοδική συνάρτηση f (x), ου ονομάζεται η -εριοδική εέκταση της f(x), η οοία ικανοοιεί f (x) = f(x) για κάθε < x. Αόδειξη Δοσμένου x R, υάρχει μοναδικός ακέραιος m Z, τέτοιος ώστε ( m ) < x ( m + ). Η εριοδικότητα της f (x) μας οδηγεί στο να ορίσουμε Ειδικότερα, αν < x, τότε m = και συνεώς f (x) = f(x) για ένα τέτοιο x. Ο αναγνώστης καλείται να γεμίσει την αόδειξη ότι ραγματικά η συνάρτηση f (x) ου ροκύτει αό τον αραάνω τρόο είναι - εριοδική. f (x) = f (x m ) = f(x m ).

8 Παρατήρηση Η εριοδική εέκταση f (x), αό την κατασκευή της, χρησιμοοιεί την τιμή f ( ) = f () = f() στο δεξί άκρο της f. Εναλλακτικά, θα μορούσαμε να ορίσουμε f ( ) = f () = f( ), όου γενικά f( ) f(). Δεν υάρχει κανένας λόγος να είναι ροτιμητέα μια ειλογή αό την άλλη. Μάλιστα η σειρά Fourier δεν ροτιμά καμιά αό τις δύο τιμές, γιατί η σειρά Fourier συγκλίνει στην μέση τιμή των τιμών στα άκρα: f ( ) = f () = ( f() + f( ) ), η οοία σταθεροοιεί τις τιμές της f (x) στα εριττά ολλαλάσια του. Παράδειγμα 5. H -εριοδική εέκταση της f(x) = x είναι η ριονωτή συνάρτηση του αρακάτω σχήματος. Αναλυτικά η -εριοδική εέκταση f (x) είναι x m, f (x) = {, ( m ) < x < ( m + ), x = ( m ). Στο Sage υλοοιούμε ως εξής: In [5]: f(x) = x ; print f x --> x In [6]: def f_ext(x): if x % pi.n() ==. : y = else: y = f( ( x ) % (*pi.n()) ) return y In [7]: set_verbose(-) pf_ext = plot(f_ext,(x,-5*pi,5*pi),ymin=-4,ymax=4, exclude=[(*i-)*pi for i in [-..3] ], \ thickness=, ticks=[pi,pi], tick_formatter=[pi,pi]) ; pf_ext.show(figsize=5)

9 Με αυτές τις αραδοχές μορεί να αοδειχθεί ότι η σειρά Fourier ου βρήκαμε αραάνω συγκλίνει αντού στην - εριοδική εέκταση f (x). Ειδικότερα, ( ) k+ x, sin k x = { k, k= < x <, x = ±. Ο τύος αυτός, όσο αλοϊκός κι αν δείχνει, έχει εκληκτικές και μη τετριμένες συνέειες. Αν θέσουμε x = και διαιρέσουμε με, αίρνουμε την σειρά Gregory 4 = η οοία αν και ροϋήρχε της θεωρίας του Fourier, είναι ολύ δύσκολο να αοδειχθεί άμεσα. In [8]: print sum((-)^(k+)/k * sin (k*pi/),k,,oo) /4*pi In [9]: print /*fourier5(x=pi/) - pi.n()/ In []: pfr_b = plot(fourier,(x,-5*pi,5*pi),color='red'); (pf_ext+pfr_b).show(figsize=4, ticks=[pi,pi], tick_formatter=[pi,pi])

10 7.3 Τμηματικά συνεχείς συναρτήσεις Ορισμός 6. Μια συνάρτηση f(x) λέγεται τμηματικά συνεχής στο διάστημα [a, b], αν ορίζεται και είναι συνεχής εκτός ιθανά αό ένα εερασμένο λήθος σημείων a x < x < < x n b. Ειλέον, σε κάθε σημείο ασυνέχειας, θα ρέει τα λευρικά όρια f( ) = lim f(x), f( ) = lim f(x), x k x x k x + k x x + k να υάρχουν. Στα άκρα του διαστήματος [a, b] αρκεί να υάρχει μόνο το αό δεξιά όριο f( a + ), και αντίστοιχα μόνο το αό αριστερά όριο f( b ). Δεν ααιτείται η f(x) να ορίζεται στα σημεία x k. Αν η f(x) ορίζεται στα x k, δεν ααιτείται η τιμή της στα σημεία αυτά να είναι ίση με τα λευρικά όρια. Παρόμοια ορίζεται και μια τμηματικά διαφορίσιμη συνάρτηση f(x) και και γενικότερα μια τμηματικά n-φορές διαφορίσιμη σε ένα διάστημα [a, b]. Η ιο αλή τμηματικά συνεχής συνάρτηση είναι η αλματική συνάρτηση αυτή στο Sage είναι η unit_step., u(x) = { x >, x <.. Η συνάρτηση In []: p = plot(unit_step, -,,ymin=-.5,ymax=.5, exclude=[],thickness=, ticks=[[],[]]) p.show(figsize=3) 7.4 Το θεώρημα σύγκλισης των σειρών Fourier Θεώρημα 7. Έστω f (x) η -εριοδική, τμηματικά διαφορίσιμη συνάρτηση, τότε για κάθε x R, η σειρά Fourier συγκλίνει (κατά σημείο) στα f (x), αν η f (x) είναι συνεχής στο x, ( ( ) + ( ) ), αν το είναι σημείο ασυνέχειας. ( f x + f x ) x Παράδειγμα 8. Θα βρούμε την σειρά Fourier της συνάρτησης της αλματικής συνάρτησης είναι, u(x) = {, x >, x <.. Η γραφική αράσταση

11 In []: punit = plot(unit_step,-,,ymin=-.5,ymax=.5,exclude=[], thickness=); p = point((,/),size=); (punit+p).show(figsize=3,ticks=[[],[]]) Η -εριοδική εέκταση της u(x) είναι η συνάρτηση, u(x) =,, ( m ) < x < m, m < x < ( m + ), x = m, για οοιοδήοτε ακέραιο m. Με τις εόμενες δυο εντολές υλοοιούμε στο Sage την -εριοδική εέκταση της u(x) και αεικονίζουμε την γραφική της αράσταση. In [3]: def u_ext(x): if x % pi.n() ==. : y = else: y = unit_step( ( x ) % (*pi.n()) ) return y In [4]: pu_ext = plot(u_ext,-5*pi,5*pi, ymin=-.3, ymax=.3, \ exclude=[i*pi for i in [-4..5] ], ticks=[pi,[]], tick_formatter=[pi,/], \ thickness=, aspect_ratio=5 ) pu_points = point([(i*pi,/) for i in [-5..5]],size=5) (pu_ext+pu_points).show(figsize=8) Οι συντελεστές Fourier της σειράς Fourier της u(x) είναι

12 In [5]: var('k') assume(k,'integer') a = inner(unit_step(x),); print str('a = '), a; a(k) = inner(unit_step(x),cos(k*x)) ; print str('ak = '), a(k); b(k) = inner(unit_step(x),sin(k*x)); print str('bk = '), b(k); a = ak = bk = -((-)^k - )/(pi*k) Παρατηρούμε ότι οι συντελεστές b k μορούν να αλοοιηθούν εραιτέρω, ανάλογα αν ο ακέραιος k είναι εριττός ή άρτιος In [6]: assume(k,'odd') print str('if k is odd : bk = '), b(k).simplify(); forget(k,'odd') assume(k,'even') print str('if k is even: bk = '), b(k).simplify(); forget(k,'even'); print assumptions() if k is odd : bk = /(pi*k) if k is even: bk = [k is integer, k >, l is integer, l > ] Συνεώς οι συντελεστές Fourier είναι a =, a k =, και, b k = { k, k εριττός, k άρτιος. Οι ρώτοι δέκα όροι στη σειρά Fourier της u(x) είναι In [7]: fourier_u = a/ + sum( a(k)*cos(k*x) + b(k)*sin(k*x) for k in [..]); fourier_u.show() sin(9 x) 9 sin(7 x) sin(5 x) sin(3 x) sin(x) Στο αρακάτω γραφικό ανααριστούμε το μερικό άθροισμα των δέκα ρώτων όρων της σειράς Fourier της u(x) μαζί με την -εριοδική εέκταση της u(x) στην οοία συγκλίνει η σειρά Fourier. In [8]: pfu = plot(fourier_u,(x,-5*pi,5*pi), ymin=-.3, ymax=.3,color='red', aspect_ratio=5); (pu_ext+pu_points+ pfu).show(figsize=9, ticks=[pi,[]], tick_formatter=[pi,/])

13 7.5 Άρτιες και εριττές συναρτήσεις Ορισμός 9. Μια συνάρτηση λέγεται άρτια αν f( x) = f(x), σε κάθε σημείο του εδίου ορισμού της. Μια συνάρτηση λέγεται εριττή αν f( x) = f(x), σε κάθε σημείο του εδίου ορισμού της. Το άθροισμα f(x) + g(x) δυο άρτιων συναρτήσεων είναι μια άρτια συνάρτηση, και ομοίως το άθροισμα f(x) + g(x) δυο εριττών συναρτήσεων είναι μια εριττή συνάρτηση. Το γινόμενο δυο άρτιων ή εριττών συναρτήσεων είναι μια άρτια συνάρτηση, ενώ το γινόμενο μιας άρτιας με μια εριττή συνάρτηση είναι εριττή συνάρτηση. Όως έχετε ήδη μάθει στον Αειροστικό Λογισμό αν η f(x) είναι εριττή στο συμμετρικό διάστημα [ a, a], τότε το ολοκλήρωμά της στο διάστημα αυτό είναι μηδέν a f(x) d x =. a Αν η f(x) είναι άρτια στο συμμετρικό διάστημα [ a, a], τότε το ολοκλήρωμά της στο διάστημα αυτό είναι a f(x) d x = f(x) d x. a a Θεώρημα. Αν η f(x) είναι άρτια συνάρτηση τότε οι συντελεστές Fourier των ημιτόνων b k είναι μηδέν, οότε η f(x) έχει την ανααράσταση σε σειρά Fourier a f(x) + a k cos k x, a k = f(x) cos k x x, k =,,,. d k= Αν η f(x) είναι εριττή συνάρτηση τότε οι συντελεστές Fourier των συνημιτόνων a k είναι μηδέν, οότε η f(x) έχει την ανααράσταση σε σειρά Fourier f(x) a k sin k x, b k = f(x) sin k x x, k =,,. d k= Παράδειγμα. Η Sage βρίσκουμε f(x) = x είναι άρτια συνάρτηση, οότε έχει σειρά Fourier μόνο κατά συνημίτονα. Στο In [9]: def inner_even_odd(f,g,a,b): if a>=: return /pi * integrate(f*g,x,a,b) In [3]: f(x) = abs(x); print f x --> abs(x)

14 In [3]: var('k') assume(k,'integer') a = inner(f(x),); print str('a = '), a; a(k) = inner_even_odd(f(x),cos(k*x),,pi) ; print str('ak = '), a(k); b(k) = inner(f(x),sin(k*x)); print str('bk = '), b(k); a = pi ak = *((-)^k/k^ - /k^)/pi bk = In [3]: assume(k,'odd') print str('if k is odd : ak = '), a(k).simplify(); forget(k,'odd') assume(k,'even') a.simplify(); print str('if k is even: ak = '), a(k).simplify(); forget(k,'even'); print assumptions() if k is odd : ak = -4/(pi*k^) if k is even: ak = [k is integer, k >, l is integer, l > ] Συνεώς οι συντελεστές Fourier είναι b k =, a =, και 4, a k = { k, k εριττός, k άρτιος. Οι ρώτοι οχτώ όροι στη σειρά Fourier της f(x) = x είναι In [33]: fourier_abs = a/ + sum( a(k)*cos(k*x) + b(k)*sin(k*x) for k in [..8]); fourier_abs.show() 4 cos(7 x) 4 cos(5 x) 4 cos(3 x) cos(x) Αντικαταθιστώντας στην σειρά x =, τότε αίρνουμε το εξής αοτέλεσμα 8 = =, ( j + ) j= το οοίο το γνωρίζει και το Sage! In [34]: var('j') print sum(/(*j+)^,j,,oo) /8*pi^ Αλλάζοντας μεταβλητή στην άθροιση k = j +, με k =,,, τότε το Sage μας δίνει In [35]: sum(/k^,k,,oo).show() 6 Αν αντί για θέσουμε στο εκθέτη της σειράς έναν εριττό θετικό ακέραιο,.χ. 7, το Sage μας δίνει

15 In [36]: z7 = sum(/k^7,k,,oo) ; print z7 ; z7.show() zeta(7) ζ(7) Αό την βοήθεια ου μας δίνει το Sage για την συνάρτηση ζ, συμεραίνουμε ότι ρόκειται για την συνάρτηση ζ(s) του Riemann, η οοία ορίζεται αρχικά αό την σχέση k s k= ζ(s) =, όου s, είναι μιγαδικός αριθμός με ραγματικό μέρος Re(s) >, και κατόιν εεκτείνεται αναλυτικά στο C {}. Οότε με την βοήθεια των σειρών Fourier για την συνάρτηση f(x) = x, βρήκαμε ότι ζ() =. 6 Γενικότερα, αν s = n άρτιος θετικός ακέραιος, αοδεικνύεται ότι η τιμή της συνάρτησης ζ(s) είναι ένας ρητός ολλαλασισμένος με n. Η συνάρτηση ζ(s) είναι η ιο διάσημη συνάρτηση στην θεωρία αριθμών, και η ηγή του ιο εξέχοντος (και άλυτου μέχρι στιγμής) ροβλήματος στα μαθηματικά, της υόθεσης του Riemann. Η εύρεση όλων των μιγαδικών ριζών της συνάρτησης ζ(s) του Riemann, έχουν εικηρυχθεί με $ 6. Στα εόμενα δυο σχήματα αεικονίζουμε την -εριοδική εέκταση της f(x) = x, καθώς και τους ρώτους οχτώ όρους στη σειρά Fourier. In [37]: def abs_ext(x): if x % pi.n() ==. : y = else: y = f( ( x ) % (*pi.n()) ) return y abs_ext = plot(abs_ext,-4*pi-pi/3, 4*pi+pi/3, ymin=-.3, ymax=3.5, \ ticks=[pi,[pi]], tick_formatter=[pi,pi], \ thickness=, aspect_ratio= ) abs_ext.show(figsize=7) In [38]: pfabs8 = plot(fourier_abs,(x,-4*pi-pi/3,4*pi+pi/3), ymin=-.3, ymax=3.5, \ color='red', aspect_ratio=, thickness=); (pfabs8).show(figsize=7, ticks=[pi,[pi]], tick_formatter=[pi,pi])

16 7.6 Παραγώγιση και ολοκλήρωση σειρών Fourier 7.6. Ολοκλήρωση Η ολοκλήρωση είναι μια διαδικασία ου το αοτέλεσμά της είναι μια συνάρτηση ιο ομαλή αό αυτήν ου ολοκληρώνουμε. Σε αντιδιαστολή, η αραγώγιση οξύνει τα ροβλήματα ου ενδεχομένως έχει η συνάρτηση ου αραγωγίζουμε. Για αράδειγμα, το αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης u(x) του αραδείγματος 8., η οοία αρουσιάζει ασυνέχεια στο x =, είναι η x u(x) + c, η οοία είναι συνεχής στο x =. Αό την άλλη, η αράγωγος της συνεχούς συνάρτησης x είναι η u(x) η οοία αρουσιάζει ασυνέχεια στο x =. Οότε για μια συγκλίνουσα σειρά Fourier δεν θα έρεε να είχαμε κανένα ρόβλημα να την ολοκληρώσουμε όρο κατά όρο. Όμως υάρχει ένα λετό σημείο ου χρειάζεται αν ροσέξουμε. Το ολοκλήρωμα μιας εροδικής συνάρτησης δεν είναι αναγκαστικά εριοδική συνάρτηση. Το ζήτημα είναι ο σταθερός όρος στη σειρά Fourier. Έστω κι αν η σταθερή συνάρτηση είναι εριοδική συνάρτηση, το ολοκλήρωμά της, δηλαδή η x, δεν είναι με κανένα τρόο εριοδική. Το ρόβλημα αυτό ροφανώς δεν υάρχει για τους όρους με τα ημίτονα και τα συνημίτονα των οοίων τα ολοκληρώματα είναι εριοδικές συναρτήσεις. Οότε μόνο ο όρος a = f(x) x, d δηλαδή η μέση τιμή της f(x) στο διάστημα [, ] μορεί να δημιουργήσει κάοια δυσκολία στην ολοκλήρωση. Αν η μέση τιμή της f(x) στο διάστημα [, ] είναι μηδέν, τότε ισχύει το ακόλουθο: Λήμμα. Αν η f(x) είναι εριοδική συνάρτηση τότε το ολοκλήμωμά της g(x) = x f(t) d t, είναι εριοδική συνάρτηση αν και μόνο αν f(x) d x =, δηλαδή η μέση τιμή της f(x) στο [, ] είναι μηδέν. Θεώρημα 3. Αν η f(x) τμηματικά συνεχής και έχει μηδενική μέση τιμή στο [, ], τότε η σειρά Fourier της f(x), μορεί να ολοκληρωθεί όρο ρος όρο και είναι η σειρά Fourier b k a k g(x) = f(t) d t M + ( cos k x + sin k x ), k k όου M είναι η μέση τιμή της g(x) στο [, ], M = g(x) d x. x k= Γενικότερα, αν η μέση τιμή της f(x) δεν είναι μηδέν στο [, ], τότε η σειρά ου ροκύτει αό την όρο ρος όρο ολοκλήρωση της σειράς Fourier της f(x), θα εριλαμβάνει και την ταυτοτική συνάρτηση x, δηλαδή x a g(x) = f(t) d t b x + M + ( k a cos k x + k sin k x ). k k k= Υάρχουν δυο τρόοι για να ερμηνεύσουμε το αοτέλεσμα αυτό. Μορούμε να γράψουμε την σχέση a b k a k g(x) x M + ( cos k x + sin k x ), k k k= στην οοία το αριστερό μέλος είναι μια - εριοδική συνάρτηση. Εναλλακτικά, μορούμε να αντικαταστήσουμε στην αραάνω σχέση, την σειρά Fourier της x ου βρήκαμε στο αράδειγμα 3. Το αοτέλεσμα θα είναι η -εριοδική εέκταση του ολοκληρώματος με το οοίο ορίζεται η g(x).

17 7.6. Παραγώγιση Η σειρά ου ροκύτει αραγωγίζοντας την σειρά Fourier μιας συνάρτησης f(x), όρο ρος όρο, θα ρέει να αραμένει τμηματικά συνεχής. Οότε η f(x) θα ρέει να είναι δυο φορές τμηματικά διαφορίσιμη για να μορέσουμε να εφαρμόσουμε το Θεώρημα 7. της σύγκλισης. Πιο συγκεκριμένα Θεώρημα 4. Αν η f(x) έχει μια τμηματικά, δυο φορές διαφορίσιμη, τότε η σειρά Fourier της f(x), μορεί να αραγωγιστεί όρο ρος όρο και είναι f (x) (k cos k x k sin k x ). k= b k a k Παράδειγμα 5. Η αράγωγος της συνάρτησης f(x) = x είναι η συνάρτηση ροσήμου: d dx +, f(x) = sign (x) = {, x >, x <. Παραγωγίζουμε όρο ρος όρο την σειρά Fourier της x ου βρήκαμε στο Παράδειγμα. και έχουμε In [39]: fourier_abs.diff(x).show() 4 sin(7 x) 7 4 sin(5 x) 4 sin(3 x) sin(x) δηλαδή 4 sin 3 x sin 5 x sin 7 x sign x (sin x ) Αλλαγή κλίμακας Ορίσαμε την σειρά Fourier μιας συνάρτησης f(x) στο διάστημα [, ], με μήκος, ου είναι ίσο με την ερίοδο της εριοδικής εέκτασης της f(x). Όμως, δεν υάρχει κάοιος λόγος να θεωρούμε ότι υάρχει κάτι το ιδιαίτερο με το μήκος του διαστήματος αυτού. Το αντίθετο μάλιστα, στα ροβλήματα του ραγματικού κόσμου τα μήκη ράβδων, νημάτων κτλ. δεν έχουν μήκος. Γι' αυτό τον λόγο κρίνεται σκόιμο να ορίσουμε την σειρά Fourier μιας συνάρτησης f(x) σε οοιοδήοτε συμμετρικό διάστημα [ L, L], με L θετικό ραγματικό αριθμό. Ο τρόος ου θα υλοοιήσουμε την μετατροή αυτή είναι να τεντώσουμε κατάλληλα την μεταβλητή y ου διατρέχει το διάστημα [, ], έτσι ώστε τα άκρα του διαστήματος [, ] για τo y να συμέσουν με τα άκρα του διαστήματος [ L, L] ου διατρέχει το x. Αυτό ειτυγχάνεται με την αλλαγή μεταβλητής L x = y y, x.

18 Με την αλλαγή αυτή μια συνάρτηση F(y) ου αριστάνεται με την σειρά Fourier a F(y) + ( a k cos k y + b k sin k y ), k= στο [, ], με a k = f(y) cos k y y, = f(y) sin k y y, d b k d L μετατρέεται κάτω αό την αλλαγή κλίμακας x = y, σε μια συνάρτηση f(x) ου έχει την ανααράσταση σε σειρά Fourier a k x k x f(x) + ( a k cos + b k sin ), L L k= στο [ L, L], με L L a k = f(x) cos x, = f(x) sin x. L k x L d b k L k x L d L L Παράδειγμα 6. Θα βρούμε την σειρά Fourier της f(x) = x στο διάστημα [, ]. Εειδή η x είναι εριττή συνάρτηση αναμένουμε στην σειρά Fourier να μην εμφανίζονται συνημίτονα. Τροοοιούμε ανάλογα στο Sage τα ολοκληρώματα τα άκρα της ολοκλήρωσης, τους συντελεστές κτλ. και έχουμε In [4]: f(x)=x ; print f x --> x In [4]: pf = plot(f,(x,-,)); pf.show(figsize=4) In [4]: def inner_scaled(f,g,l): return /L * integrate(f*g,x,-l,l)

19 In [43]: var('k') l = assume(k,'integer') a = inner_scaled(f(x),,); print str('a = '), a; a(k) = inner_scaled(f(x),cos(k*x*pi/l),l) ; print str('ak = '), a(k); b(k) = inner_scaled(f(x),sin(k*x*pi/l),l); print str('bk = '), b(k); a = ak = bk = -*(-)^k/(pi*k) In [44]: fourier6_x_scaled = a/ + sum( a(k)*cos(k*x*pi/l) + b(k)*sin(k*x*pi/l) for k in [..6]); fourier6_x_scaled.show() sin(6 x) sin(5 x) sin(4 x) sin(3 x) sin( x) sin(x) Στο αρακάτω γραφικό αεικονίζουμε το μερικό άθροισμα των έξι ρώτων όρων της σειράς Fourier της f(x) = x στο διάστημα [, ], μαζί με την -εριοδική εέκταση της f(x) στην οοία συγκλίνει η σειρά Fourier. In [45]: def fx_ext(x): y = f( ( x ) % (.*l.n() ) ) return y In [46]: px_ext = plot(fx_ext,-5.,5, ymin=-., ymax=., \ exclude=[i for i in [-4..5] ], ticks=[,], tick_formatter=[,], \ thickness=, aspect_ratio=, plot_points=4 ) px_points = point([(i,) for i in [-3,-,,3]],size=) pf_x_6 = plot(fourier6_x_scaled,(x,-5,5), ymin=-., ymax=.,color='red', aspect_ratio=); (px_ext + px_points + pf_x_6 ).show(figsize=8) 7.8 Το φαινόμενο Gibbs Όως έχουμε ήδη αρατηρήσει στα σημεία ου η f(x) δεν είναι συνεχής, η σειρά Fourier αστοχεί να ταυτιστεί με την ραγματική τιμή της f(x). Μάλιστα αυτή η αστοχία αυτή δεν οφείλεται στην αοκοή των όρων στην σειρά Fourier. Όσους όρους και να συμεριλάβουμε στη σειρά Fourier, η τελευταία εξακολουθεί να αστοχεί και μάλιστα η αστοχία δείχνει να μην αλλάζει. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται φαινόμενο Gibbs και η αόδειξή του είναι αρκετά ονηρή. Αλλά με την βοήθεια του Sage είναι ολύ ιο εύκολο να την κατανοήσει κανείς.

20 Θεωρούμε την συνάρτηση ροσήμου sign(x) του Παραδείγματος 5. Όως είδαμε οι οχτώ ρώτοι όροι στη σειρά Fourier της sign(x) είναι οι In [47]: f_sign = fourier_abs.diff(x); f_sign.show() 4 sin(7 x) 7 4 sin(5 x) 4 sin(3 x) sin(x) In [48]: def sign_ext(x): if x % pi.n() ==. : y = else: y = sign( ( x ) % (*pi.n() ) ) return y In [49]: psign_ext = plot(sign_ext,-5*pi,5*pi, ymin=-., ymax=., \ exclude=[i*pi for i in [-5..5] ], ticks=[pi,], tick_formatter=[pi,/], \ thickness=, aspect_ratio=3 ) psign_points = point([(i*pi,) for i in [-5..5]],color = 'blue', size=) pf_sign = plot(f_sign,(x,-5*pi,5*pi), ymin=-., ymax=.,color='red', aspect_ratio=); (psign_ext + pf_sign + psign_points ).show(figsize=8) Αό το σχήμα, διαβάζοντας τις διαβαθμίσεις του γραφικού του Sage, αρατηρούμε ότι η τιμή της σειράς Fourier υερβαίνει την τιμή ου έχει η συνάρτηση για x >, ερίου κατά +., το μέγιστο. Αντίστοιχες διαιστώσεις ισχύουν και αριστερά του σημείου x =. Θέλουμε να βρούμε όση ακριβώς είναι η μεγαλύτερη αστοχία της σειράς Fourier, όσους όρους (άειρους) και να συμεριλάβουμε στην σειρά Fourier. Τα ιθανά ακρότατα της σειράς Fourier (ψάχνουμε για τοικό μέγιστο στο διάστημα (, ) ) είναι εκεί ου μηδενίζεται η ρώτη αράγωγός της για ρώτη φορά, οότε In [5]: f_sign.diff().show() 4 cos(7 x) 4 cos(5 x) 4 cos(3 x) cos(x) H μερικό άθροισμα της σειράς σειράς Fourier ου ροκύτει αό την αραγώγιση της σειράς Fourier της sign(x), όρο ρος όρο, είναι sign N 4 (x) ( cos x + cos 3 x + + cos( N ) x ). Είναι αξιοσημείωτο γεγονός ότι το άθροισμα αυτό έχει κλειστό τύο τονοοίο γνωρίζει το Sage!! Πραγματικά

21 In [5]: var('x,k,n') Out[5]: (x, k, N) In [5]: sum_ = 4/pi * sum(cos((*k-)*x), k,, N); sum_ = sum_({arctan(sin(*x),cos(*x)) : *x}).trig_simplify(); sum_3 = sum_.trig_reduce(); sum_3.show() csc(x) sin( Nx) Δηλαδή sign N (x) = sin N x sin x. Η ψηλότερη κορυφή στην αστοχία στο διάστημα (, ) είναι εκεί όου μηδενίζεται για ρώτη φορά η αραάνω αράγωγος, δηλαδή για x =. Θέτοντας την τιμή αυτή για το x στο μερικό άθροισμα της N sign N (x) βρίσκουμε ότι sin(/ N) sin(3 / N) sin ( N ) / N) sign N ( ) = ( ). N N / N 3 / N ( N )/ N Το αραάνω άθροισμα είναι ένα άθροισμα Riemann, όου ως ενδιάμεσα σημεία αίρνουμε τα μέσα των διαστημάτων = x < x < x < < x N < x N =. Οότε καθώς το N αειρίζεται, το αραάνω άθροισμα γίνεται το αρακάτω ορισμένο ολοκλήρωμα Riemann lim sign N ( ) = x, Δ x =. N N sin x x d N Με άλλα λόγια, καθώς το N αειρίζεται, η τιμή της σειρά Fourier της sign(x) στο σημείο με την μεγαλύτερη αστοχία τείνει στην τιμή του αραάνω ολοκληρώματος. Το ολοκλήρωμα αυτό υολογίζεται μόνο με αριθμητική ροσέγγιση, οότε με την βοήθεια του Sage (σε ακρίβεια e-3) βρίσκουμε In [53]: astoxia = /pi * integrate(sin(x)/x,(x,,pi)) ; print astoxia.n() Δηλαδή η τιμή της σειράς Fourier της sign(x) στο σημείο με την μεγαλύτερη αστοχία είναι , ου σημαίνει ότι η σειρά Fourier αστοχεί να βρει την σωστή τιμή της f(x) ου ροσεγγίζει, ερίου κατά.8, το οοίο είναι 9% του άλματος αό το - στο. Το ίδιο συμβαίνει για όλες τις ασυνεχείς συναρτήσεις ου αρουσιάζουν άλματα σε σημεία, δηλαδή Στο σημείο ασυνέχειας x μιας συνάρτησης f(x), η σειρά Fourier της f(x) αστοχεί να βρει την σωστή τιμή κατά 9% του άλματος ου αρουσιάζει η f(x) στο σημείο x. Υενθυμίζεται ότι το άλμα της f(x) στο x είναι ο αριθμός f( x + ) f( x ).