ΟΔΗΓΙΕΣ ΑΥΤΟΔΙΟΡΘΩΣΗΣ +ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Transcript

1 Οδηγίες αυτοδιόρθωσης+λύσεις των θεμάτων προσοσμοίωσης στα Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 05 ΟΔΗΓΙΕΣ ΑΥΤΟΔΙΟΡΘΩΣΗΣ +ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 05 Μερικές χρήσιμες οδηγίες:. Μετά την ολοκλήρωση της τρίωρης εξέτασης, σημείωστε τις βαθμολογικές μονάδες που λάβατε σύμφωνα με τις επόμενες υποδείξεις.. Επιμερίστε ισοδύναμα οποιδήποτε βήμα έχετε κάνει για τη λύση του κάθε υποερωτήματος κάθε θέματος. 3. Είναι χρήσιμο, αφού δείτε την πλήρη λύση οποιουδήποτε υποερωτήματος που δεν το ολοκληρώσατε, να ξαναπροσπαθήσετε να γράψετε την ορθή λύση μόνοι σας. 4. Συμπληρώστε τον επόμενο πίνακα, σύμφωνα με τις οδηγίες κατανομής μονάδων που βρίσκονται μέσα στις λύσεις: ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΘΕΜΑ Δ Παρατηρήσεις Α Β. Γ. Δ. Α Β. Γ. Δ. Α3 Β3. Γ3. Δ3. Α4 Γ4. Δ4. Δ4. α. Δ4. β. γ. δ. ε. ΣΥΝΟΛΟ ΜΟΝΑΔΩΝ: ΣΥΝΟΛΟ ΜΟΝΑΔΩΝ: ΣΥΝΟΛΟ ΜΟΝΑΔΩΝ: ΣΥΝΟΛΟ ΜΟΝΑΔΩΝ: ΓΕΝΙΚΟ ΣΥΝΟΛΟ ΜΟΝΑΔΩΝ

2 Οδηγίες αυτοδιόρθωσης+λύσεις των θεμάτων προσοσμοίωσης στα Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 05 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, απόδειξη στη σελίδα 50 του σχολικού βιβλίου (8 ΜΟΝΑΔΕΣ). Α. Θεωρία, ορισμός στη σελίδα 87 του σχολικού βιβλίου (4 ΜΟΝΑΔΕΣ). Α3. Θεωρία, ορισμός στη σελίδα 4 του σχολικού βιβλίου (3 ΜΟΝΑΔΕΣ). Α4. (ΑΠΟ ΜΟΝΑΔΕΣ Η ΚΑΘΕ ΣΩΣΤΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ) α. Σωστό. β. Σωστό. γ. Λάθος. δ. Σωστό. 0 P A ε. Λάθος ( το σωστό είναι, αφού αν A έχουμε P A ) ΘΕΜΑ Β Έστω τα ενδεχόμενα: Α: Το όχημα να είναι ανασφάλιστο. Β: Το όχημα να μην έχει περάσει ΚΤΕΟ. Από την περιγραφή των δεδομένων του προβλήματος προκύπτει ότι: 00 P( A) P( B) P( A B) Β. Ζητάμε την πιθανότητα του ενδεχομένου: A B και άρα έχουμε: 3 P( A B) P( A) P( B) P( A B) Β. Ζητάμε την πιθανότητα του ενδεχομένου: ( A B) ( B A) και άρα,αφού τα ενδεχόμενα ( A B) και ( B A) είναι ασυμβίβαστα έχουμε: P( A B) ( B A)] P( A B) P(( B A) P( A) P( A B) P( B) P( A B) Β3. Ζητάμε την πιθανότητα του ενδεχομένου: ( A B) και άρα έχουμε: Comment [D]: ΜΟΝΑΔΑ Comment [D]: ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΜΟΝΑΔΑ Comment [D3]: 3 ΜΟΝΑΔΕΣ Comment [D4]: ΜΟΝΑΔΕΣ Comment [D5]: ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΜΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ Comment [D6]: ΜΟΝΑΔΕΣ 3 7 P( A B) P( A B) 0 0

3 Οδηγίες αυτοδιόρθωσης+λύσεις των θεμάτων προσοσμοίωσης στα Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 05 ΘΕΜΑ Γ Γ. Το πλάτος c των κλάσεων είναι: R 0 c Αν i ( i,...5) είναι τα κέντρα των κλάσεων θα έχουμε: Comment [D7]: ΜΟΝΑΔΑ Comment [D8]: ΜΟΝΑΔΑ Επειδή πρόκειται για παρατηρήσεις i ( i,...5) περιττού πλήθους θα έχουμε ότι: Το κάτω άκρο της ης c κλάσης θα είναι και άρα οι κλάσεις είναι: [58, 6) [6,66) [66,70) [70,74) [74,78) Comment [D9]: ΜΟΝΑΔΑ Comment [D0]: ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΜΙΑ ΚΛΑΣΗ 0,4 ΜΟΝΑΔΕΣ Γ. Έχουμε: F 0,6 f f f 0,6 () 3 3 f f f3 f4 f5 () Από τις () και () έχουμε: f4 f5 0,4 (είναι οι κλάσεις που περιέχουν τουλάχιστον 70 τόνους ανακυκλώσιμων υλικών). Έχουμε 4 ( f4 f5), αφού το κριτήριο εμπορίας ενός υλικού ( 70 ) πληρούν τα υλικά που ανήκουν στην 4 η και 5 η κλάση. Άρα, θα είναι: 4 ( f f ) 4 0, 40 0 υλικά ανακυκλώνει η επιχείρηση. 4 5 Γ3. Σύμφωνα με τα προηγούμενα οι δύο πρώτες στήλες συμπληρώνονται άμεσα. Αναλύοντας τα δεδομένα θα έχουμε: 4 4 N4 4 N4 5 N4 4 0, ,8 (3) 5 N 5 5 F f f f f o o ( f f ) f f 0,3 (4) f f 3 f3 4 f4 5 f5 68,8 (5) Comment [D]: ΜΟΝΑΔΑ Comment [D]: ΜΟΝΑΔΑ Comment [D3]: ΜΟΝΑΔΕΣ Comment [D4]: ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΥΟ ΠΡΩΤΕΣ ΣΤΗΛΕΣ: 0,5 ΜΟΝΑΔΕΣ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΜΙΑ ΕΠΟΜΕΝΗ:,5 ΜΟΝΑΔΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΗΣΗ ΚΑΘΕ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ (5 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ fi:) 0,4 MONAΔΕΣ

4 Οδηγίες αυτοδιόρθωσης+λύσεις των θεμάτων προσοσμοίωσης στα Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 05 Από τις σχέσεις () και (3) έχουμε f4 0, και από την σχέση () έχουμε f5 0, Από τις σχέσεις () και (4) έχουμε f3 0, 3 Η σχέση (5) γίνεται 60 f 64 f 8,8 που με την (4) αποτελεί σύστημα εξισώσεων με αγνώστους τις f, f 0,0 f και του οποίου η λύση είναι. f 0,0 Σύμφωνα με τα παραπάνω ο πίνακας συμπληρωμένος φαίνεται ως ακολούθως (από τον τύπο fi, i,,, 4, 5 βρίσκουμε τα ) : Κλάσεις [, ) Κέντρα κλάσεων i i f i % [58, 6) 60 0,0 0 [6, 66) ,0 30 [66, 70) ,30 60 [70,74) 7 8 0,0 80 [74,78) ,0 00 i F Γ4. Το ιστόγραμμα συχνοτήτων προκύπτει εύκολα και το πολύγωνο συχνοτήτων προκύπτει ενώνοντας με ευθύγραμμα τμήματα τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων που σχηματίζονται (λαμβάνοντας δύο ακόμη υποθετικές κλάσεις, στην αρχή και στο τέλος, με συχνότητα 0). Comment [D5]: 4 ΜΟΝΑΔΕΣ Comment [D6]: 3 ΜΟΝΑΔΕΣ ΘΕΜΑ Δ Δ. Για τη συνάρτηση Εχουμε διαδοχικά: f ( ) ln πρέπει: 0 και Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το διάστημα 0,. Comment [D7]: 3 ΜΟΝΑΔΕΣ

5 Οδηγίες αυτοδιόρθωσης+λύσεις των θεμάτων προσοσμοίωσης στα Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 05 Για τη συνάρτηση αριθμών. g( ) e 3 3 3, το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο των πραγματικών Comment [D8]: ΜΟΝΑΔΑ Δ. Μονοτονία της συνάρτησης f : Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα 0, με παράγωγο: f ( ) 0, για κάθε 0, Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0,. Μονοτονία της συνάρτησης g : αφού ισχύει 0 Comment [D9]: ΜΟΝΑΔΕΣ Comment [D0]: ΜΟΝΑΔΕΣ Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο: g ( ) e e 3, 3 Επειδή e για κάθε το πρόσημο της g ( ) εξαρτάται από το πρόσημο του τριωνύμου 3 για το οποίο έχουμε: 3 0, αν, 3 0, αν, 3 0, αν, Επομένως η συνάρτηση g είναι: Γνησίως αύξουσα στο διάστημα, Γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, και Γνησίως αύξουσα στο διάστημα, Στον επόμενο πίνακα φαίνεται η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης g : f f

6 Οδηγίες αυτοδιόρθωσης+λύσεις των θεμάτων προσοσμοίωσης στα Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 05 Ακρότατα της συνάρτησης g Comment [D]: ΜΟΝΑΔΕΣ Η g παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο, το Η g παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο το, το 6 g() e e g() e e 3 5 Δ3. Έχουμε: PA e e e e e e f ( ) ln ln ln ( ) ( ) ln lim lim f f lim lim P A B lim g( ) e e lim g( ) e lim e e e e Επομένως το ενδεχόμενο A B είναι βέβαιο. Τώρα από τον προσθετικό νόμο των πιθανοτήτων έχουμε διαδοχικά: PA B PA PB PA B P B PA B PB PA B P B P A B Δ4. Έχουμε διαδοχικά για τη διακύμανση και την μέση τιμή του δείγματος: και s P B P A B s s s B P AB P B P A P A B P B P A P A B P P( A) P( B) P( A B) P A B Δ4.. Ο συντελεστής μεταβολής C.V. είναι: s 0, C. V και επομένως το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. Δ4.. Επειδή η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί κανονική κατανομή θα έχουμε ότι οι τιμές που ανήκουν στο διάστημα 3, 5 είναι αυτές που ανήκουν στο διάστημα s, s, επομένως το ,5%, δηλαδή 0,35 P ενώ οι τιμές που ανήκουν στο διάστημα, 5 είναι αυτές που ανήκουν στο διάστημα Comment [D]: 4 ΜΟΝΑΔΕΣ Comment [D3]: 4 ΜΟΝΑΔΕΣ Comment [D4]: ΜΟΝΑΔΑ Comment [D5]: ΜΟΝΑΔΑ Comment [D6]: ΜΟΝΑΔΑ Comment [D7]: ΜΟΝΑΔΕΣ Comment [D8]: ΜΟΝΑΔΑ s, s, επομένως το ,5%. Άρα το πλήθος των τιμών του

7 Οδηγίες αυτοδιόρθωσης+λύσεις των θεμάτων προσοσμοίωσης στα Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 05 δείγματος των 00 παρατηρήσεων που ανήκουν στο διάστημα, 5 είναι 8, Comment [D9]: ΜΟΝΑΔΑ Σας ευχόμαστε Καλή συνέχεια