ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. 1 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 1 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative Commons. για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

3 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ / ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Ομάδα τεχνικών εφαρμοσμένων μαθηματικών για την επίλυση πρακτικών και πραγματικών προβλημάτων Στατιστική Οικονομικές Τεχνικές Μαθηματικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Ακέραιος Προγραμματισμός Μη Γραμμικός Προγραμματισμός Ενός Κριτηρίου Πολυκριτηριακός Δυναμικός Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 3

4 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.) Σπουδαιότερες «εφευρέσεις» της επιστήμης Δυνατότητα χρήσης για την επίλυση εξαιρετικά μεγάλου πλήθους προβλημάτων Προσέγγιση ακόμη και μη γραμμικών προβλημάτων με τις τεχνικές του γραμμικού προγραμματισμού Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 4

5 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Κατανομή περιορισμένων πόρων ανάμεσα σε «ανταγωνιστικές» δραστηριότητες κατά το βέλτιστο δυνατό τρόπο Προγραμματισμός παραγωγής Βέλτιστη σύνθεση προϊόντος Προβλήματα μεταφοράς Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 5

6 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Παραγωγή δύο οικοδομικών υλικών Εργοστάσιο Ε παράγει οικοδομικά υλικά για τους σκοπούς της κατασκευαστικής βιομηχανίας μιας συγκεκριμένης περιοχής. Το εργοστάσιο ειδικεύεται στην εξαγωγή δύο ευρέως χρησιμοποιούμενων προϊόντων (Α και Β). Τα προϊόντα αυτά έχουν μεγάλη ζήτηση από τις κατασκευαστικές εταιρίες, γι αυτό το Ε μπορεί να πουλήσει όλη την παραγωγή των Α και Β με κέρδη 00 /t για το Α και 300 /t για το Β. Μερικοί από τους πόρους που απαιτούνται για την παραγωγή των προϊόντων διατίθενται σε περιορισμένες ποσότητες. Κατ αρχήν, η απαίτηση και για τα δύο προϊόντα Α και Β οφείλεται, κατά ένα μεγάλο ποσοστό, στα ιδιαίτερα κολλώδη τους χαρακτηριστικά, που είναι αποτέλεσμα της χρήσης ενός ειδικού συστατικού Γ που προστίθεται κατά τη μίξη. Επομένως, κάθε τόνος προϊόντος Α που παράγεται απαιτεί 1m 3 του συστατικού Γ και κάθε τόνος προϊόντος Β που παράγεται απαιτεί m 3 του συστατικού Γ. Αυτό το υλικό διατίθεται σε περιορισμένες ποσότητες, δηλαδή μόνο 30m 3 του Γ είναι διαθέσιμα στην παραγωγή κάθε εβδομάδα. Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 6

7 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Παραγωγή δύο οικοδομικών υλικών Δεύτερον, κάθε υλικό πρέπει να αποθηκευτεί σε ξεχωριστό προστατευτικό κιβώτιο, απαίτηση που περιορίζει ακόμη περισσότερο τις διατιθέμενες ποσότητες των δύο προϊόντων Α και Β, εφόσον συνολικά τα κιβώτια φύλαξης των Α και Β έχουν χωρητικότητα 0t. Το μηχάνημα είναι σε θέση να αναμίξει έναν τόνο ενός προϊόντος κάθε φόρα, ενώ η διαδικασία μίξης απαιτεί hr εργασίας για το Α και 1hr εργασίας για το Β για να ολοκληρωθεί. Τέλος, ο χειριστής του μηχανήματος που ανακατεύει το μίγμα μπορεί να εργαστεί για μέγιστο αριθμό ωρών τις 36hrs ανά εβδομάδα. Αυτοί οι περιορισμοί συνοψίζονται στον Πίνακα που ακολουθεί. ΠΟΡΟΙ ΠΡΟΪΟΝ Α ΠΡΟΪΟΝ Β ΔΙΑΤΙΘΕΜΕΝΑ Συστατικό Γ 1 tons tons 30 tons Χωρητικότητα κιβωτίου 1 tons 1 tons 0 tons Χρόνος μίξης hr 1 hr 36 hr Κέρδος Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 7

8 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σκοπός της μελέτης βελτιστοποίησης Ανάπτυξη ενός στρατηγικού σχεδίου λειτουργίας της διαδικασίας παραγωγής υλικών: «Ποια είναι η βέλτιστη διαδικασία παραγωγής για το εργοστάσιο Ε, δεδομένων των παραπάνω στοιχείων;» Καθορισμός της ποσότητας κάθε προϊόντος που πρέπει να παράγεται κάθε εβδομάδα, ούτως ώστε να επιτυγχάνεται μεγιστοποίηση των συνολικών κερδών από τις πωλήσεις: Μεγιστοποίηση συνολικού εβδομαδιαίου κέρδους με ταυτόχρονη ικανοποίηση τεσσάρων συνθηκών παραγωγής Το συνολικό απόθεμα του συστατικού Χ δεν μπορεί να υπερβαίνει τη μέγιστη καθοριζόμενη ποσότητα κάθε εβδομάδας Η μηχανή μίξης δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για περισσότερες από 36 hr εβδομαδιαίως Η αποθηκευτική χωρητικότητα κάθε εβδομάδας για το προϊόν Α δεν μπορεί να υπερβαίνεται Η αποθηκευτική χωρητικότητα κάθε εβδομάδας για το προϊόν Β δεν μπορεί να υπερβαίνεται Έστω ότι: x 1 ο αριθμός των τόνων του προϊόντος Α, που παράγονται κάθε εβδομάδα x ο αριθμός των τόνων του προϊόντος Α, που παράγονται κάθε εβδομάδα Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 8

9 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Μαθηματική διατύπωση Να μεγιστοποιηθεί το συνολικό εισόδημα αντικειμενική συνάρτηση (objective value) z = 00x x, όπου x 1, x οι μεταβλητές του προβλήματος ή μεταβλητές αποφάσεων (decision variables) με τους ακόλουθους περιορισμούς (constraints): i. Κάθε τόνος Α απαιτεί 1m 3 Γ και κάθε τόνος Β απαιτεί m 3 Γ, ενώ διατίθενται μόνο 30m 3 προϊόντος Γ x 1 + x 30 ii. Η χωρητικότητα των κιβωτίων φύλαξης είναι 0m 3 x 1 + x 0 iii. Κάθε τόνος Α απαιτεί hr μίξης και κάθε τόνος Β απαιτεί 1hr μίξης, ενώ το μηχάνημα μίξης δουλεύει το πολύ 36hr ανά εβδομάδα x 1 + x 36 iv. Δεν μπορούν να παραχθούν αρνητικές ποσότητες x 1, x 0 Συνολικά: βελτιστοποίηση max 00 x x υπό τους περιορισμούς s.t. x1 + x x1 + x 30 0 x1 + x 36 x, x 0 1 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 9

10 Παραγώμενοι τόνοι του προϊόντος B (x) Περιορισμός i: x1 + x = Παραγώμενοι τόνοι του προϊόντος Α (x1) Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 10

11 Περιορισμός iv: x1, x μη αρνητικά 34 Παραγώμενοι τόνοι του προϊόντος B (x) Παραγώμενοι τόνοι του προϊόντος Α (x1) Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 11

12 Παραγώμενοι τόνοι του προϊόντος B (x) Περιορισμός ii: x1 + x = Παραγώμενοι τόνοι του προϊόντος Α (x1) Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 1

13 Περιορισμός iv: x1, x μη αρνητικά Παραγώμενοι τόνοι του προϊόντος B (x) Περιορισμός iii: x1 + x = 36 Περιορισμός ii: x1 + x = 0 Περιορισμός i: x1 + x = Παραγώμενοι τόνοι του προϊόντος Α (x1) Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 13

14 Παραγώμενοι τόνοι του προϊόντος B (x) Γωνιακά σημεία (κορυφές του κυρτού πολυγώνου) Περιοχή εφικτότητας (εφικτή περιοχή) Παραγώμενοι τόνοι του προϊόντος Α (x1) Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 14

15 ΠΕΡΙΟΧΗ ΕΦΙΚΤΟΤΗΤΑΣ Ορισμός: Η περιοχή μέσα στην οποία βρίσκονται οι λύσεις που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ονομάζεται περιοχή εφικτότητας ή εφικτή περιοχή ή επιτρεπτή περιοχή (feasible region). Βασική ιδιότητα: Η επίλυση προβλημάτων Γ.Π. είναι εφικτή, διότι η περιοχή εφικτότητας είναι κυρτός χώρος (convex domain). Στην ιδιότητα αυτή βασίζονται οι αλγόριθμοι υπολογισμού. Υπενθύμιση: Τα σημεία P 1, P,, P n ενός συνόλου σχηματίζουν κυρτό χώρο, όταν για κάθε ζεύγος P 1 και P αυτού το τμήμα που τα συνδέει ανήκει επίσης στο σύνολο. P1 P1 P Κυρτοί χώροι P Μη κυρτοί χώροι Ζητούμενο αποτελεί η εύρεση του σημείου εκείνου, το οποίο βελτιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση. Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 15

16 ΕΥΡΕΣΗ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΛΥΣΗΣ ΜΕ ΓΩΝΙΑΚΑ ΣΗΜΕΙΑ Αποδεικνύεται ότι η βέλτιστη λύση βρίσκεται (εντός) στα «σύνορα» (γωνίες του κυρτού πολυγώνου) της περιοχής εφικτότητας. ΓΡΑΦΙΚΑ Η βέλτιστη λύση μπορεί να βρεθεί γραφικά με τη χρήση της αντικειμενικής συνάρτησης. Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 16

17 ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΛΥΣΗΣ Α ΤΡΟΠΟΣ: Με γωνιακά σημεία Παραγώμενοι τόνοι του προϊόντος B (x) Ζεύγη τιμών: 1. ( 0, 0) z = 0. ( 0, 15) z = (10, 10) z = (16, 4) z = 4100 Παραγώμενοι τόνοι του προϊόντος Α (x1) 5. (18, 0) z = 3600 Αναζητούμε τη μέγιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, άρα max z = 5000 για x 1 = 10 tons και x = 10 tons. Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 17

18 ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΛΥΣΗΣ Β ΤΡΟΠΟΣ: Γραφικά με την αντικειμενική συνάρτηση Παραγώμενοι τόνοι του προϊόντος B (x) z = 600 z = 400 z = 4800 Παραγώμενοι τόνοι του προϊόντος B (x) z z = Παραγώμενοι τόνοι του προϊόντος Α (x1) Παραγώμενοι τόνοι του προϊόντος Α (x1) Η αντικειμενική συνάρτηση λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της max z = 5000 όταν x 1 = 10 tons και x = 10 tons. Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 18

19 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΕΡΙΤΤΟΥ ΚΑΙ ΑΔΥΝΑΤΟΥ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥ Παραγώμενοι τόνοι του προϊόντος B (x) Παραγώμενοι τόνοι του προϊόντος B (x) x 1 + x 40 0 x 1 + x Παραγώμενοι τόνοι του προϊόντος Α (x1) Παραγώμενοι τόνοι του προϊόντος Α (x1) Περιττός Περιορισμός Αδύνατο Πρόβλημα Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 19

20 ΤΥΠΟΙ ΛΥΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Α. Προβλήματα με μοναδικό βέλτιστο x 10 (α) Μοναδικό βέλτιστο x1 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 0

21 Β. Προβλήματα με βέλτιστα εναλλάξ σημαντική η κλίση της αντικειμενικής συνάρτησης x 10 (β) Bέλτιστα εναλλάξ x1 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 1

22 Γ. Προβλήματα με μη εφικτή λύση x 10 (γ) Μη εφικτή λύση x1 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

23 Δ. Προβλήματα μη φραγμένα εφικτό πρόβλημα, αλλά μη φραγμένο (unbounded) x 10 (δ) Μη φραγμένη λύση x1 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 3

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ Στόχος του Γ.Π. είναι να προσδιορίσει τις τιμές των μεταβλητών του προβλήματος (x 1, x,, x n ) που να βελτιστοποιούν (μεγιστοποιούν ή ελαχιστοποιούν) την αντικειμενική συνάρτηση. max/ min z= cx 1 1+ cx cx n n ( ) ( ) a x + a x a x =,, b a x + a x a x =,, b a x + a x a x =,, b n n n n ( ) m1 1 m mn n m μεταβλητές προβλήματος xi ( i = 1,..., n) xi 0 παράμετροι προβλήματος c ( i = 1,..., n) μεταβλητές απόφασης περιορισμοί i a ( i = 1,..., m j = 1,..., n) b ij i n m ( i = 1,..., m) Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 4

25 Για τη διατύπωση και επίλυση ενός γραμμικού προβλήματος πρέπει να ικανοποιούνται οι κάτωθι προϋποθέσεις: 1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ (Linearity) Όλες οι συναρτήσεις του προβλήματος (αντικειμενική συνάρτηση & περιορισμοί) πρέπει να είναι γραμμικές ως προς το x. Δεν επιτρέπεται «αλληλεπίδραση» μεταξύ των μεταβλητών «Προσέγγιση» με γραμμικές 1.1. Αναλογικότητα (proportionality) 1.. Προσθετικότητα (additivity). ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ (divisibility) Κάθε δραστηριότητα (μεταβλητή) πρέπει να είναι συνεχής άπειρα διαιρετή Για μεγάλες τιμές του x η διαιρετότητα αγνοείται ως προϋπόθεση Για μικρές τιμές του x 0.1 χρησιμοποιούμε τον Ακέραιο Προγραμματισμό 3. BEBAIOTHTA (certainty) Όλες οι παράμετροι του προβλήματος είναι γνωστές με βεβαιότητα Ανάλυση Ευαισθησίας Στοχαστικός Προγραμματισμός Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 5

26 1.ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Πραγματοποιείται δημοσκόπηση που αφορά στην επιλογή μέσου μεταφοράς. Η μελέτη περιλαμβάνει λεωφορεία και ταξί. Οι χρήστες χωρίζονται σε ηλικιακές κατηγορίες ανεξάρτητα από την οικονομική τους κατάσταση: μέχρι 9 έτη έτη άνω των 65 ετών. Το κόστος της δημοσκόπησης (σε ευρώ) σε συνάρτηση με την ηλικία και το μέσο μεταφοράς που χρησιμοποιείται : Χρήστης Μέσο Μέχρι 9 ετών ετών Άνω των 65 ετών Λεωφορείο x 11 () x 1 (4) x 31 () Ταξί x 1 (1,5) x (5) x 3 (3) Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 6

27 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Απαιτήσεις για τη δημοσκόπηση: Το συνολικό δείγμα να περιλαμβάνει τουλάχιστον 4000 άτομα. Το 30% των χρηστών να είναι τουλάχιστον μέχρι 9 έτη και το πολύ 40% αυτών να είναι άνω των 65 ετών. Τουλάχιστον 700 χρήστες να είναι άνω των 65 ετών. Τουλάχιστον 1000 χρήστες να ανήκουν στην κατηγορία ετών ανεξάρτητα μέσου μεταφοράς. Τουλάχιστον το 60% των συνολικών μεταφερόμενων να χρησιμοποιεί λεωφορεία. Το πολύ 45% των συνολικών μεταφερόμενων να χρησιμοποιεί ταξί. Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 7

28 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Στόχος: Η ελαχιστοποίηση του κόστους της δημοσκόπησης. Η αντικειμενική συνάρτηση είναι : min z = x 11 +1,5x 1 + 4x 1 + 5x + x x 3. Περιορισμοί σύμφωνα με τις απαιτήσεις : x 11 + x 1 + x 1 + x + x 31 + x x 11 + x 1 0,3 (x 11 + x 1 + x 1 + x + x 31 + x 3 ) x 31 + x 3 0,4 (x 11 + x 1 + x 1 + x + x 31 + x 3 ) x 31 + x x 1 + x 1000 x 11 + x 1 + x 31 0,6 (x 11 + x 1 + x 1 + x + x 31 + x 3 ) x 1 + x + x 3 0,45 (x 11 + x 1 + x 1 + x + x 31 + x 3 ) x 1,x,x x 11, x 1, x 1, x, x 31, x 3 0. Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 8

29 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ M-S EXCEL ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ Οι βασικότερες αρχές για τον χειρισμό του SOLVER είναι οι παρακάτω: Κάθε μεταβλητή του προβλήματος πρέπει να αντιστοιχιστεί σε ένα κελί του φύλλου εργασίας. Οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης και των περιορισμών τοποθετούνται σε κελιά. Η αντικειμενική συνάρτηση αντιστοιχίζεται σε ένα κελί, το οποίο μετά την επίλυση θα πάρει ως τιμή τη βέλτιστη τιμή της (αν υπάρχει). Τα δεξιά μέλη των περιορισμών τοποθετούνται σε κελιά. Τα αριστερά μέλη περιορισμών, αλλά και η αντικειμενική συνάρτηση προκύπτουν ως πράξεις κελιών. Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 9

30 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ M-S EXCEL Α) Εισαγωγή των δεδομένων Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 30

31 B6:G6 B7:G7 I5 A1 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ M-S EXCEL Στο φύλλο εργασίας εισήχθησαν : Αντιστοιχούν οι μεταβλητές x11, x1, x1, x, x31, x3 Εισάγονται οι τιμές κόστους ανά κατηγορία χρήστη Αντικειμενική συνάρτηση sumproduct(b6:g6;b7:g7) Αριστερό μέλος 1ου περιορισμού sum(b6:g6) C1 Δεξιό μέλος 1ου περιορισμού 4000 Α14 Αριστερό μέλος ου περιορισμού 0.5*B6+0.5*C6-0.5*D6-0.5*E6-0.5*F6-0.5*G6 C14 Δεξιό μέλος ου περιορισμού 0 Α16 Αριστερό μέλος 3ου περιορισμού 0.6*F6+0.6*G6-0.4*B6-0.4*C6-0.4*D6-0.4*E6 C16 Δεξιό μέλος 3ου περιορισμού 0 Α18 Αριστερό μέλος 4ου περιορισμού SUM(F6:G6) C18 Δεξιό μέλος 4ου περιορισμού 800 Α0 Αριστερό μέλος 5ου περιορισμού SUM(D6:E6) C0 Δεξιό μέλος 5ου περιορισμού 1000 Α Αριστερό μέλος 6ου περιορισμού 0.4*B6+0.4*D6+0.4*F6-0.6*C6-0.6*E6-0.6*G6 C Δεξιό μέλος 6ου περιορισμού 0 A4 Αριστερό μέλος 7ου περιορισμού -0.45*B6+0.55*C6-0.45*D6+0.55*E6-0.45*F6+0.55*G6 C4 Δεξιό μέλος 7ου περιορισμού 0 A6-A8 Αριστερό μέλος 8ου, 9ου, 10ου περιορισμού: C7, E7, G7 C6-C8 Δεξιό μέλος 8ου, 9ου, 10ου περιορισμού: 300 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 31

32 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ M-S EXCEL Β)Αναφορά επίλυσης Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 3

33 . ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Υποστύλωμα απαιτεί τουλάχιστον 15 cm διαμήκους οπλισμού (νευροχάλυβα S500). Διατίθεται οπλισμός διαμέτρων 14, 16, 0 Aπαραίτητη η τοποθέτηση τουλάχιστο 8 διαμήκων ράβδων στο υποστύλωμα, από τις οποίες οι 4 να είναι 0. Δεν είναι επιθυμητή η τοποθέτηση διαμήκους οπλισμού συνολικού εμβαδού πάνω από 0 cm. Να βρεθεί ΠΓΠ το οποίο να ελαχιστοποιεί τον αριθμό των απαιτούμενων ράβδων. Έστω Λύση x 1 ο αριθμός των απαιτούμενων ράβδων 14 x ο αριθμός των απαιτούμενων ράβδων 16 x 3 ο αριθμός των απαιτούμενων ράβδων 0. Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 33

34 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Εμβαδόν ράβδου cm Εμβαδόν ράβδου cm Εμβαδόν ράβδου cm Η αντικειμενική συνάρτηση θα είναι: min z = x 1 + x + x 3 Περιορισμός απαιτούμενου οπλισμού: Περιορισμός μέγιστου οπλισμού: 1,54 x 1 +,01 x + 3,14 x ,54 x 1 +,01 x + 3,14 x 3 0 Περιορισμός συνολικού αριθμού ράβδων: x 1 + x + x 3 8. Περιορισμός αριθμού ράβδων 0: x 3 4 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 34

35 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Αφού αναφερόμαστε σε πλήθος ράβδων: x 1, x, x 3 ακέραιοι. Το ΠΓΠ είναι: min z = x 1 + x + x 3 s.t. 1,54 x 1 +,01 x + 3,14 x ,54x +,01x + 3,14x 0 x 1 + x + x 3 8 x 3 4 x 1, x, x 3 ακέραιοι x 1, x, x 3 0. Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 35

36 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ M-S EXCEL Α) Εισαγωγή των δεδομένων : Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 36

37 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ M-S EXCEL Στο φύλλο εργασίας εισήχθησαν : D4:F4 Αντιστοιχούν οι μεταβλητές x 1, x, x 3 H Αντικειμενική συνάρτηση sum (D4:F4) A9 Αριστερό μέλος 1ου περιορισμού 1.54*D4+.01*E4+3.14*F4 C9 Δεξιό μέλος 1ου περιορισμού 15 Α11 Αριστερό μέλος ου περιορισμού 1.54*D4+.01*E4+3.14*F4 C11 Δεξιό μέλος ου περιορισμού 0 Α13 Αριστερό μέλος 3ου περιορισμού sum(d4:f4) C13 Δεξιό μέλος 3ου περιορισμού 8 Α15 Αριστερό μέλος 4ου περιορισμού F4 C15 Δεξιό μέλος 4ου περιορισμού 4 (*) Ο περιορισμός ακέραιων μεταβλητών εισάγεται στο παράθυρο επίλυσης Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 37

38 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ M-S EXCEL Β) Αναφορά επίλυσης : Απαιτούνται τελικά 4 ράβδοι 0 και 4 ράβδοι 14 στο υποστήλωμα. Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 38

39 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX (Dantzig & Charnes 1950) Ορισμός: Αλγεβρική διαδικασία που χρησιμοποιείται για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων BHMA 1ο: Η μέθοδος ξεκινά από μία λύση, στην οποία ορισμένες μεταβλητές είναι ίσες με μηδέν, ενώ οι υπόλοιπες m μεταβλητές είναι εύκολα προσδιορίσιμες από ένα σύστημα m εξισώσεων. Ο αλγόριθμος «ανταλλάσσει» μία από τις μηδενικές μεταβλητές με μία από τις μη μηδενικές μεταβλητές και λύνει πάλι το σύστημα. ΒΗΜΑ ο: Η «ανταλλαγή» επαναλαμβάνεται μέχρι τη βέλτιστη λύση. Κάθε λύση αντιστοιχεί σε γωνία και η ανταλλαγή σε μετακίνηση. Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 39

40 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX (Dantzig & Charnes 1950) Ιδιότητες: Κάθε νέα λύση δίνει καλύτερη τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση Ο αλγόριθμος δεν ελέγχει όλες τις πιθανές λύσεις, αλλά ένα κλάσμα αυτών Παρατηρήσεις: Η κάθε εναλλαγή δεν είναι τυχαία, αλλά η καλύτερη δυνατή από γειτονικές γωνίες Η επίλυση βήμα προς βήμα δεν έχει νόημα χρήση Tableau Simplex Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 40

41 Να βρεθούν { x 1, x } ώστε: max z = 00 x x 1 s.. t x + x 30 1 x + x 0 1 x + x 36 1 x, x 0 1 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Μετατροπή προβλήματος σε κανονική μορφή προσθήκη μιας πρόσθετης μεταβλητής (slack variable) s i 0 στο αριστερό σκέλος κάθε περιορισμού i max z = 00 x x 1 s.t. x + x + s = x + x + s = 0 1 x + x + s = x, x, s, s, s Οι πρόσθετες μεταβλητές s i έχουν σημαντική φυσική εξήγηση Στη βέλτιστη λύση ποιο είναι το υπόλοιπο του συστατικού Χ ( ) ( ) ( ) s = 30 x + x 1 1 s = 0 x + x 1 s = 36 x + x 3 1 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 41

42 O ΑΡΧΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ SIMPLEX x 1 x s 1 s s ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ (ΕΙΣΕΡΧΟΜΕΝΗΣ) ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ x 1 x s 1 s s Επιλογή στήλης μεταβλητής με τον πλέον αρνητικό συντελεστή στην τελευταία γραμμή «οδηγός στήλη» με μεγαλύτερο διαφυγόν κέρδος Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 4

43 ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΗΣ ΑΠΕΡΧΟΜΕΝΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ x 1 x s 1 s s ΠΙΝΑΚΑΣ SIMPLEX ΥΣΤΕΡΑ ΑΠΟ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ x 1 x s 1 s s 3 1/ 1 1/ / 0-1/ / 0-1/ Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 43

44 ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΗΣ ΕΙΣΕΡΧΟΜΕΝΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΠΕΡΧΟΜΕΝΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ x 1 x s 1 s s 3 1/ 1 1/ / 0-1/ / 0-1/ ΤΕΛΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ SIMPLEX x 1 x s 1 s s Άρα : x = 10, x = 10, z = 5000, s = s = 0, s = 6 και διαφυγόντα κέρδη = 0 * * * * * * Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 44

45 ΔΥΪΚΟΤΗΤΑ Η θεωρία της δυϊκότητας αποτελεί μία από τις σημαντικότερες ανακαλύψεις από τα πρώτα στάδια ανάπτυξης του γραμμικού προγραμματισμού. Για κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορούμε να διατυπώσουμε ένα αντίστοιχο δυϊκό πρόβλημα (dual problem), το οποίο σχετίζεται με το αρχικό πρωτεύον (primal problem) ως προς τη λύση του. Το δυϊκό πρόβλημα περιέχει ιδιαίτερα σημαντικές πληροφορίες για τη βέλτιστη λύση του πρωτεύοντος. Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 45

46 ΕΞΑΓΩΓΗ ΔΥΪΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΠΡΩΤΕΥΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Πρωτεύον (Π) Δυϊκό (Δ) Να βρεθούν { x 1,x,...,x n} Να βρεθούν { y 1, y,..., ym} max z c1x1 + cx cnxn s.t. α x + α x α x β α x + α x α x β α x + α x α x β x, x,..., x n n n n m1 1 m mn n m 1 n min θ s.t. β1y1 + βy βmym α11y1 + α1y αm1ym c1 α1 y1 + α y αm ym c α1n y1 + αn y αmn ym cn y, y,..., y 0 1 m ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν max z s.t. Πρωτεύον (Π) 00x x x x x { x, } , 1 x 300x x x x x Να βρεθούν min θ s.t. 30y y 1 y y , Δυϊκό (Δ) { y, y, } 1 y 3 0y y y y + + +, 36y 3 y y y Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 46

47 ΔΥΪΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ Πρακτική χρησιμότητα στην κατανόηση του προβλήματος Η λύση του δυϊκού προβλήματος είναι συχνά ευκολότερη Βοηθά στην απόκτηση ανώτατου και κατώτατου ορίου για τη βέλτιστη λύση ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΗΜΑΣΙΑ Δυϊκές τιμές: Δυϊκή τιμή y j που αντιστοιχεί σε ένα περιορισμό j καλείται η αύξηση της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης, η οποία θα προκύψει από αύξηση κατά μία μονάδα στην τιμή β j του περιορισμού αυτού Επιπλέον κόστος: Επιπλέον κόστος ε i μιας μεταβλητής i καλείται η μεταβολή, την οποία πρέπει να υποστεί ο συντελεστής της μεταβλητής αυτής στην αντικειμενική συνάρτηση, προκειμένου η μεταβλητή αυτή να πάρει θετική τιμή στη βέλτιστη λύση Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 47

48 ΤΕΛΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ SIMPLEX x 1 x s 1 s s Τελική λύση: Ποσότητες : Δυϊκές τιμές: Σχόλια: * * * * * * x = 10, x = 10, s = s = 0, s = 6, z = * * * y = 100, y = 100, y = Αν η επιχείρηση είχε μία πρόσθετη μονάδα συστατικού Χ στη διάθεσή της, θα μπορούσε να αυξήσει το εισόδημα κατά 100. Ομοίως για φύλαξη. Αντίθετα, μία παραπάνω μονάδα συστατικού Γ δε θα οδηγούσε σε αύξηση εισοδήματος. Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 48

49 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ «Μελέτη & Ανάλυση» βέλτιστης λύσης, όταν μεταβάλλονται ορισμένες σταθερές συνθήκες ή προϋποθέσεις. Επιχειρούμε δηλαδή να εντοπίσουμε τις παραμέτρους του προβλήματος που θεωρούνται κρίσιμες για την επίλυση του και την ευαισθησία της λύση σε μεταβολή των παραμέτρων. Επίδραση στη βέλτιστη λύση i. Μεταβολή στους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης ii. Διαθεσιμότητα περιορισμών iii. Τεχνολογικοί συντελεστές περιορισμών iv. Προϋπόθεση γραμμικότητας v. Εισαγωγή νέας μεταβλητής Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 49

50 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ Συγκεκριμένα η γραφική λύση μας δίνει πληροφορίες που αφορούν: Την άριστη λύση του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού. Το διαχωρισμό των περιορισμών σε δεσμευτικούς ή χαλαρούς Δεσμευτικοί όταν συμμετέχουν στη λύση. Στην περίπτωση αυτή η λύση του προβλήματος επαληθεύεται σαν ισότητα. Χαλαροί όταν δε συμμετέχουν στη λύση. Στην περίπτωση αυτή η λύση επαληθεύεται σαν ανισότητα. Τις δυικές τιμές. Το εύρος αριστότητας των αντικειμενικών συντελεστών, δηλαδή, την αλλαγή που μπορούμε να κάνουμε σε ένα αντικειμενικό συντελεστή χωρίς να αλλάξει η βέλτιστη λύση. Το εύρος εφικτότητας των δεξιών μελών των περιορισμών, δηλαδή, την αλλαγή που μπορούμε να κάνουμε σε ένα δεξιό μέλος περιορισμού χωρίς να αλλάξει η εφικτή περιοχή ή χωρίς να αλλάξει η δυική τιμή του περιορισμούς. Εύρος εφικτότητας ορίζεται το διάστημα των δεξιών μελών των περιορισμών στο οποίο η εφικτή περιοχή παραμένει ίδια. Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 50

51 ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ (Προβλήματα Δικτύων) Τα παρακάτω προβλήματα αξίζουν ιδιαίτερης μελέτης, καθώς συναντώνται συχνά και εμφανίζουν κάποια ιδιομορφία ως προς τη διατύπωση ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ Γεωγραφικό δίκτυο Οργανωτικό δίκτυο i. Μεταφορών / Μεταφόρτωσης ii. Συντομότερης διαδρομής iii. Ροής σε δίκτυο iv. Ανάθεσης v. Προγραμματισμού δυναμικού Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 51

52 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ Τα προβλήματα μεταφορών αποτελούν ειδική κατηγορία των προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού. Πρόκειται για προβλήματα: i. Μεταφοράς ατόμων ii. Καθορισμού διαδρομών iii. Αποστολής αγαθών Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 5

53 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ-ΔΙΑΝΟΜΗ ΚΑΥΣΙΜΩΝ Εταιρεία επεξεργασίας και διανομής καυσίμων διαθέτει 3 διυλιστήρια που εξυπηρετούν 4 πόλεις. Το κάθε διυλιστήριο μπορεί να παρέχει τις εξής ποσότητες καυσίμων θέρμανσης (σε lt) : διυλιστήριο 1: 35 εκατομμύρια, διυλιστήριο : 50 εκατομμύρια, διυλιστήριο 3: 40 εκατομμύρια. Οι απαιτήσεις καυσίμων σε κάθε πόλη είναι οι εξής (σε lt) : Πόλη 1: 45 εκατομμύρια, Πόλη :0 εκατομμύρια. Πόλη 3: 30 εκατομμύρια, Πόλη 4: 30 εκατομμύρια. Το κόστος μεταφοράς (σε Ευρώ) από διυλιστήριο σε πόλη 1 εκατομμυρίου lt καυσίμων θέρμανσης είναι ανάλογο της απόστασης ανάμεσα σε αυτά και φαίνεται στον πίνακα που ακολουθεί: Από Προς Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 53

54 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Στόχος : Να ελαχιστοποιηθεί το κόστος μεταφοράς. Μαθηματική διατύπωση Η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος είναι: min z = 8x x x x x 1 + 1x + 13x 3 + 7x x x x x 34 Για κάθε διυλιστήριο i (i=1,, 3) και πόλη j (j= 1,,3,4) η μεταβλητή x ij αντιστοιχεί σε εκατομμύρια λίτρων καυσίμων που μεταφέρονται από τo διυλιστήριο i στην πόλη j. Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν στην προσφορά (δυνατότητες διυλιστηρίων) και στη ζήτηση (απαιτήσεις κάθε πόλης) καυσίμων. Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 54

55 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Περιορισμοί που αφορούν στις δυνατότητες κάθε διυλιστηρίου-προσφορά καυσίμων : x 11 + x 1 +x 13 + x ο διυλιστήριο x 1 + x + x 3 + x 4 50 ο διυλιστήριο x 31 + x 31 + x 33 + x ο διυλιστήριο Περιορισμοί που αφορούν στις απαιτήσεις κάθε πόλης- ζήτηση καυσίμων : x 11 + x 1 + x η πόλη x 1 + x + x 3 0 η πόλη x 13 + x 3 + x η πόλη x 14 + x 4 + x η πόλη Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 55

56 ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ Χαρακτηριστικά προβλημάτων μεταφορών : Ομάδα m σημείων προσφοράς. Ομάδα n σημείων ζήτησης. Συνάρτηση κόστους για οποιαδήποτε μετακίνηση από σημείο προσφοράς σε σημείο ζήτησης. Πιο συγκεκριμένα : Αν : x ij η ποσότητα των μετακινούμενων ειδών. c ij το κόστος μεταφοράς μιας μονάδας του είδους. i το σημείο προσφοράς, j το σημείο ζήτησης. s i οι δυνατότητες προσφοράς του σημείου προσφοράς i. d j οι ανάγκες του σημείου ζήτησης j. Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 56

57 ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ Το πρόβλημα μεταφορών διατυπώνεται με την εξής γενική μορφή: s.t. min m n i= 1 j= 1 cij xij n j= 1 m i= 1 ( i m) xij si = 1,..., ( j n) xij dj = 1,..., x ij 0 για κάθε i= 1,,m και j =1,,n Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 57

58 ΙΣΟΡΡΟΠΗΜΕΝΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ Ισορροπημένο πρόβλημα μεταφορών όταν: m si = n i= 1 j= 1 dj Όταν δηλαδή η συνολική ζήτηση ισούται με τη συνολική προσφορά. Στην περίπτωση αυτή οι περιορισμοί προσφοράς και ζήτησης είναι δεσμευτικοί. Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 58

59 ΙΣΟΡΡΟΠΗΜΕΝΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ Η γενική μορφή του προβλήματος μετατρέπεται σε: min m n i= 1 j= 1 cij xij s.t. n j= 1 ( i = m) xij= si 1,..., m i= 1 ( j = n) xij= dj 1,..., x ij 0 για κάθε i= 1,,m και j =1,,n Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων 59

60 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα Πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση.