Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Τομέας Τηλεπικοινωνιών Ανάπτυξη Εφαρμογής για την Ανάλυση και το Σχεδιασμό της Μετάδοσης Θερμότητας σε Ανομοιογενή Δομικά Στοιχεία Διπλωματική Εργασία του Βουγιουκλή Παύλου Επιβλέπων: Ξένος Θωμάς Καθηγητής Α.Π.Θ. 24 Οκτωβρίου 2013

2

3 Ευχαριστίες Θα ήθελα να αφιερώσω τη διπλωματική αυτή εργασία στους γονείς μου, Φώτη και Ευαγγελία, οι οποίοι και αποτελούν από τα μαθητικά μου χρόνια τους κυριότερους στηλοβάτες κάθε ακαδημαικής μου προσπάθειας. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα, Καθηγητή Θωμά Ξένο, για την αμέριστη υποστήριξη και καθοδήγηση που μου προσέφερε για θέματα σχετικά τόσο με την εκπόνηση της συγκεκριμένης διατριβής όσο και με την ολοκλήρωση των σπουδών μου στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης και τη μετέπειτα επαγγελματική μου σταδιοδρομία. Τέλος, νοιώθω την ανάγκη να ευχαριστήσω τον αδερφικό μου φίλο Παναγιώτη για όλη τη συμπαράσταση και υποστήριξη που μου προσέφερε στις δύσκολες στιγμές των σπουδαστικών μου χρόνων. 3

4 4

5 Περίληψη Η παρούσα διπλωματική εργασία αποτελεί μια προσπάθεια ανάπτυξης μιας εφαρμογής για την ανάλυση και το σχεδιασμό της μετάδοσης θερμότητας σε ανομοιογενή δομικά στοιχεία. Μια τέτοιου είδους εφαρμογή θα μπορούσε να απαλλάξει τους εκάστοτε μηχανικούς από την ιδιαίτερα χρονοβόρα διαδικασία του υπολογισμού της ισοδύναμης θερμικής αγωγιμότητας, λ eq, σε οπτοπλίνθους με ανομοιογενή γεωμετρικά χαρακτηριστικά. Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα βασικά χαρακτηριστικά του προγραμματιστικού περιβάλλοντος MATLAB R, τα οποία και οδήγησαν στην επιλογή του για τις ανάγκες μιας τόσο απαιτητικής υπολογιστικά εφαρμογής. Επιπλέον, πραγματοποιείται μια συνοπτική ανάλυση των αλγοριθμικών τεχνολογιών που εφαρμόζονται στο τελικό παραδοτέο πρόγραμμα. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται εκτενέστερα η μαθηματική διατύπωση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων, που είναι ένας εκ των αλγορίθμων που χρησιμοποιούνται στο πρόγραμμα. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων αποτελεί μια αριθμητική μέθοδο, η οποία χρησιμοποιείται ευρύτατα για την επίλυση προβλημάτων οριακών συνθηκών. Η υ- λοποίησή της βασίζεται στον τεμαχισμό του υπό μελέτη σώματος ή χώρου σε μικρότερες υποπεριοχές που ονομάζονται πεπερασμένα στοιχεία καθώς και στη μεταξύ τους σύνδεση, μέσω κατάλληλων κόμβων. Το τρίτο κεφάλαιο αφορά βασικές έννοιες και παραμέτρους σύμφωνα με το πρότυπο EN 1745, στις οποίες βασίστηκε η υλοποίηση της εφαρμογής. Οι έννοιες αυτές σχετίζονται με το συντελεστή θερμικής αγωγιμότητας, τον υπολογισμό των εκάστοτε θερμικών αντιστάσεων και τη χρήση γενικών σχέσεων για τον υπολογισμό του συντελεστή θερμοπερατότητας ποικίλων γεωμετριών. Στο τελευταίο κεφάλαιο γίνεται η παρουσίαση του γραφικού περιβάλλοντος της τελικής εφαρμογής. Παρέχονται πληροφορίες για τις λειτουργικές προδιαγραφές της και δίνονται οδηγίες στο χρήστη για την ορθή χρησιμοποίησή της. Τέλος, παρουσιάζονται παραδείγματα υπολογιστικών αποτελεσμάτων για 2 διαφορετικές γεωμετρίες δομικών στοιχείων, όπως αυτές υλοποιήθηκαν από το πρόγραμμα. 5

6 6

7 Περιεχόμενα Ευχαριστίες 3 Περίληψη 5 1 MATLAB R Εισαγωγή Ιστορική αναδρομή Χαρακτηριστικά γνωρίσματα Περιγραφή των αλγορίθμων Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων Στάδια της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων Διακριτοποίηση του δομικού στοιχείου Επιλογή κατάλληλης προσεγγιστικής συνάρτησης Παραγωγή του πίνακα ακαμψίας και του διανύσματος φορτίου για κάθε πεπερασμένο στοιχείο Συνάθροιση Επίλυση του συστήματος Υπολογισμός δευτερευόντων χαρακτηριστικών Θερμική Αγωγιμότητα Βασικές έννοιες σύμφωνα με EN Συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας λ Καθορισμός του λ U,dry Μετατροπή λόγω υγρασίας Θερμικές αντιστάσεις σύμφωνα με ISO Θερμική αντίσταση ομοιογενών επιπέδων Επιφανειακές αντιστάσεις Διάκενα με μήκος και πλάτος πολύ μεγαλύτερα του πάχους Διάκενα με μήκος και πλάτος πολύ μικρότερα του πάχους Χρήση σχέσεων για οποιαδήποτε γεωμετρία στοιχείου

8 4 Η Εφαρμογή Γενικές πληροφορίες Περιγραφή της εφαρμογής Αποτελέσματα Οπτόπλινθος (mm) Οπτόπλινθος (mm) Βιβλιογραφία 37 8

9 Κεφάλαιο 1 MATLAB R 1.1 Εισαγωγή Το MATLAB R, του οποίου η ονομασία αποτελεί ακρωνύμιο της λέξης Matrix Laboratory, είναι μία υψηλού επιπέδου γλώσσα προγραμματισμού εντατικών υπολογισμών, προσανατολισμένη στην επεξεργασία δεδομένων με τη μορφή πινάκων. Το MATLAB είναι κατάλληλο για ανάλυση μεγάλου όγκου δεδομένων, σχέδιαση αλγορίθμων καθώς και ανάπτυξη ποικίλων μαθηματικών μοντέλων και εφαρμογών. Είναι αξιοσημείωτο ότι ενσωματώνει τη δυνατότητα υπολογιστικών και γραφικών διαδικασιών σε ένα ιδιαίτερα ευέλικτο περιβάλλον, το οποίο προσφέρεται για επίλυση ενός μεγάλου επιστημονικού εύρους αριθμητικών προβλημάτων. Αναπτύχθηκε από τη MathWorks το 1984, αποτελώντας το πρώτο προϊόν της νεοϊδρυθείσας εταιρείας. Η πρώτη έκδοσή του MATLAB ήταν αποκλειστικά γραμμένη στη γλώσσα προγραμματισμού C και στα χρόνια που ακολούθησαν ενσωματώθηκαν σε αυτό κομμάτια αντικειμενοστραφή κώδικα C++ και Java. Αρχικά υιοθετήθηκε από ερευνητές και μηχανικούς στο χώρο των συστημάτων ελέγχου, αλλά η χρησιμοποίησή του εξαπλώθηκε γρήγορα και σε άλλους επιστημονικούς κλάδους. Υπολογίστηκε ότι το 2004 το MATLAB είχε περισσότερους από ένα εκατομμύριο χρήστες, τόσο σε ακαδημαικούς όσο και σε επιχειρησιακούς κύκλους. Μερικοί από τους τομείς στους οποίους εφαρμόζεται εντατικά η χρήση του σήμερα είναι: Αριθμητική Ανάλυση Γραμμική Άλγεβρα Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας και Ηχου Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Προσομοίωση Ηλεκτρικών και Μηχανικών Συνθέσεων 9

10 1.2 Ιστορική αναδρομή Ο Cleve Moler, πρόεδρος του τμήματος επιστήμης υπολογιστών του University of New Mexico, ξεκίνησε την ανάπτυξη του MATLAB στα τέλη της δεκαετίας του Στόχος του ήταν να προσφέρει στους φοιτητές του πρόσβαση στο LINPACK και EISPACK χωρίς να χρειάζεται να μάθουν Fortran. Σύντομα επεκτάθηκε και σε άλλα πανεπιστήμια και η προσπάθειά του βρήκε θερμούς υποστηρικτές από το χώρο των εφαρμοσμένων μαθηματικών. Ο Jack Little, αναγνώρισε την ενδεχόμενη εμπορική αξία του εκπονήματος του Moler και σε συνεργασία με το Steve Bangert, οι τρεις τους αφιερώθηκαν στην ολοκλήρωση της εφαρμογής. Επανέγραψαν τον κώδικα του MATLAB σε C και ίδρυσαν την εταιρεία MathWorks το 1984, με γνώμονα τη περαιτέρω βελτίωση και ανάπτυξή του. Οι προγραμματιστικές αυτές βιβλιοθήκες που δημιούργησαν έγιναν γνωστές με το όνομα JACKPAC. Το 2000 ο κώδικας του MATLAB επανασχεδιάστηκε και ενσωματώθηκε σε αυτόν ένα νέο πακέτο βιβλιοθηκών για τη διαχείριση πινάκων, γνωστό και ως LAPACK. 1.3 Χαρακτηριστικά γνωρίσματα Τα σημαντικότερα χαρακτηριστικά του MATLAB, τα οποία και το καθιέρωσαν σαν μια από τις πλέον χρησιμοποιημένες προγραμματιστικές πλατφόρμες της σημερινής πραγματικότητας είναι η ολοένα μεγαλύτερη βάση δεδομένων built-in αλγορίθμων, η πλατφορμική ουδετερότητα και η δυνατότητα ανάπτυξης γραφικού περιβάλλοντος για τις εκάστοτε εφαρμογές. 1. Αλγοριθμική Βάση Δεδομένων: Το MATLAB παρέχει μια τεράστια βάση δεδομένων με αλγόριθμους ποικίλων μαθηματικών μοντέλων και αναλύσεων. Σαν αποτέλεσμα, παρέχεται στον εκάστοτε προγραμματιστή η δυνατότητα να υλοποιεί το λογισμικό του, χωρίς να απαιτείται από αυτόν η συγγραφή πάμπολων γραμμών κώδικα, απλοποιώντας σχεδιαστικά το έργο του. Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτή η βάση δεδομένων ενημερώνεται με κάθε νέα έκδοση του MATLAB και ταυτόχρονα ο κάθε χρήστης έχει πρόσβαση σε αυτήν, έτσι ώστε να είναι δυνατή η παραμετροποίηση των αλγορίθμων στις ανάγκες του. 2. Πλατφορμική Ουδετερότητα: είναι η ικανότητα ενός προγράμματος να λειτουργεί σε ποικίλα υπολογιστικά περιβάλλοντα, χωρίς να πραγματοποιούνται αλλαγές στον αρχικό του κώδικα. Κάθε πρόγραμμα σε MATLAB μεταγλωτίζεται σε ένα συγκεκριμένο format, το οποίο ονομάζεται bytecode και το οποίο μπορεί να εκτελεστεί από οποιοδήποτε λειτουργικό σύστημα ή συσκευή με MATLAB Compiler Runtime, Ο MATLAB Compiler Runtime διατείθεται από τη Mathworks για Microsoft R Windows R, Mac OS καθώς και για μια μεγάλη ποικιλία διανομών Linux. 3. Γραφικό Περιβάλλον Χρήστη: Κάθε Graphical User Interface καθιστά την εκάστοτε εφαρμογή ευκολότερα προσβάσιμη στον απέδευτο στον προγραμματισμό χρήστη. Το 10

11 MATLAB διαθέτει την πλατφόρμα GUIDE, GUI Development Environment, η οποία παρέχει ένα κατάλληλο σετ εντολών για τη δημιουυργία γραφικών, για την πιο απολαυστική αλληλεπίδραση του χρήστη με το εκάστοτε πρόγραμμα. Οι παραπάνω λόγοι καθιστούν το MATLAB το ιδανικό περιβάλλον προγραμματισμού για την ανάπτυξη μιας εφαρμογής για την Ανάλυση και το Σχεδιασμό της Μετάδοσης Θερμότητας σε Ανομοιογενή Δομικά Στοιχεία, η οποία και μελετάται στην παρούσα διπλωματική εργασία. 1.4 Περιγραφή των αλγορίθμων Για την υλοποίηση της εφαρμογής, για την Ανάλυση και το Σχεδιασμό της Μετάδοσης Θερμότητας σε Ανομοιογενή Δομικά Στοιχεία, απαιτήθηκε η χρησιμοποίηση συγκεκριμένων αλγορίθμων για τη πραγματοποίηση όλων των πολύπλευρων απαιτούμενων λειτουργικών προδιαγραφών. 1. Αλγόριθμος εισαγωγής σχεδίου: Η εφαρμογή διαθέτει κατάλληλες διαδικασίες για την αναγνώριση ενός εκάστοτε σχεδίου δομικού στοιχείου που θα εισαχθεί. Ο αποδεκτός τύπος του αρχείου είναι AutoCAD DXF με κατάλληξη.dxf. Ο AutoCAD DXF αποτελεί ακρωνύμιο της λέξης Drawing Interchange Format. Είναι ένας τύπος αρχείου αναπαραστάσης CAD δεδομένων, ο οποίος αναπτύχθηκε από την Autodesk R το 1982 με κύριο γνώμονα την ευελιξία του νέου εκπονήματός της AutoCAD R ως προς τη διαχείριση και μεταφορά των σχεδίων μεταξύ των διαφόρων προγραμμάτων εκείνης της εποχής. Ο αλγόριθμος, που εφαρμόζεται, αναγνωρίζει όλες τις οντότητες, που εμφανίζονται στο εκάστοτε σχέδιο, αποθηκεύοντας συγκεκριμένα δεδομένα για τις συντεταγμένες και τις διαστάσεις τους. Γνωρίζοντας τις διαστάσεις του εκάστοτε δομικού στοιχείου καθώς και τις συντεταγμένες και διαστάσεις της κάθε ανώμαλης περιοχής του, το πρόγραμμα είναι σε θέση να προχωρήσει με τη διαδικασία εκτέλεσης των απαιτούμενων υπολογισμών. 2. Αλγόριθμος υπολογισμού θερμορροής: εισάγονται οι οριακές συνθήκες, εσωτερική και εξωτερική θερμοκρασία, για να υπολογιστεί με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων η θερμοκρασία σε ολόκληρο το δομικό στοιχείο σαν συνάρτηση των συντεταγμένων μήκους και πλάτους. Η ροή θερμότητας υπολογίζεται ουσιαστικά σύμφωνα με το νόμο του Fourier. Περισσότερες λεπτομέρειες για τα βήματα λειτουργίας του συγκεκριμένου αλγορίθμου παρουσιάζονται στο Κεφάλαιο Αλγόριθμος υπολογισμού θερμικής αντίστασης R g διακένων: Στον αλγόριθμο αυτό εκτελούνται όλοι οι απαραίτητοι υπολογισμοί για την εύρεση της θερμικής αντίστασης και αγωγιμότητας του κάθε διακένου του εκάστοτε σχεδίου. Οι τιμές αυτές αποθηκεύονται και χρησιμοποιούνται κατάλληλα μέσα σε ολόκληρη την εφαρμογή, καθώς σε συνδιασμό με τον αλγόριθμο εισαγωγής σχεδίου, καθιστούν γνωστή τη τιμή της 11

12 θερμικής αγωγιμότητας σε κάθε σημείο της γεωμετρίας του δομικού στοιχείου. Περισσότερες λεπτομέρειες για τα βήματα λειτουργίας του συγκεκριμένου αλγορίθμου παρουσιάζονται στο Κεφάλαιο 3. 12

13 Κεφάλαιο 2 Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων 2.1 Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων Η ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method) είναι μία υπολογιστική μέθοδος εύρεσης προσεγγιστικών λύσεων σε συστήματα διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους. Εξαιτίας της ποικιλομορφίας και ευελιξίας της συγκεκριμένης μεθόδου χρησιμοποιείται ευρέως σήμερα σε ένα μεγάλο εύρος εφαρμογών ακόμη και στη βιομηχανία. Ο κύριος λόγος για τη χρησιμοποίηση αυτής της μεθόδου είναι η γεωμετρία του εκάστοτε υπό μελέτη δομικού στοιχείου με τη μεγάλη ποικιλία ως προς την κατανομή των οπών. Ενα μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων παρέχει για ένα πρόβλημα μια προσεγγιστική λύση. Η μέθοδος αυτή συνίσταται στο διαμερισμό ενός χωρίου Ω, στο οποίο και αναζητάται η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης, με γνωστές οριακές συνθήκες, σε πεπερασμένα στοιχεία απλού γεωμετρικού σχήματος. Πιο αναλυτικά, το αντικείμενο στο οποίο θέλουμε να υπολογίσουμε την κατανομή μιας μεταβλητής (π.χ. θερμοκρασία) θεωρείται ότι αποτελείται από πολλά μικρά και διαδοχικά τμήματα ή υποπεριοχές, που ονομάζονται πεπερασμένα (Finite Elements). Αυτές οι δομικές μονάδες συνδέονται μεταξύ τους σε κόμβους (nodes). Αξίζει να αναφερθεί ότι υπάρχουν περιπτώσεις όπου το εκάστοτε στοιχείο μπορεί να έχει κόμβους και στο εσωτερικό του. Στόχος είναι η εύρεση της κατανομής της μεταβλητής μέσα στο σώμα. Η κατανομή αυτής της μεταβλητής μπορεί να προσεγγιστεί από μία απλή συνάρτηση για κάθε πεπερασμένο στοιχείο. Σαν αποτέλεσμα, συγκεντρώνεται ένα πλήθος εξισώσεων, έπειτα από την εφαρμογή της μεθόδου σε κάθε επιμέρους στοιχείο, με άγνωστες τις τιμές της μεταβλητής στους κόμβους των στοιχείων. Εφαρμόζοντας τις οριακές συνθήκες του φυσικού προβλήματος (π.χ. γνωστές θερμοκρασίες στις εξωτερικές επιφάνειες) το σύστημα των εξισώσεων μπορεί να λυθεί και να βρεθεί η τελική κατανομή της μεταβλητής μέσα σε ολόκληρο το σώμα. 13

14 2.2 Στάδια της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων Στα βήματα που ακολουθούν θα γίνει μια συνοπτική περιγραφή της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων, όπως αυτή υλοποιείται από την εφαρμογή Διακριτοποίηση του δομικού στοιχείου Σε αυτό το στάδιο πρέπει να χωριστεί το σώμα σε μικρά τμήματα με αλληλοεπικαλυπτόμενες υποπεριοχές. Σαν αποτέλεσμα, πρέπει να αποφασιστεί: ο τύπος το μέγεθος ο αριθμός και η διάταξη των πεπερασμένων στοιχείων. Οσο μικρότερο είναι το μέγεθος των στοιχείων τόσο αυξάνεται η ακρίβεια της λύσης, αλλά με σημαντικό υπολογιστικό και χρονικό κόστος για την εύρυθμη λειτουργία της εφαρμογής. Αξίζει να σημειωθεί ότι πέρα από κάποια τιμή η ακρίβεια της λύσης δεν βελτιώνεται. Σχήμα 2.1: Εξαιτίας της φύσης του σώματος, οπτόπλινθου επιλέγουμε πεπερασμένα στοιχεία κυβικά ή ορθογωνικά, τα οποία είναι όμοια μεταξύ τους και εξασφαλίζουν την καλύτερη δυνατή πλήρωση της εξεταζόμενης κατασκευής. Αξίζει να αναφερθεί ότι σε ένα πρόβλημα πεπερασμένων στοιχείων υφίσταται η δυνατότητα χρησιμοποίησης και άλλων γεωμετριών. Οσο μικρότερα είναι αυτά τα στοιχεία τόσο μεγαλύτερη ακρίβεια θα έχουμε αλλά με ανάλογο υπολογιστικό κόστος. Επιπλέον, η καταγραφή όλων των μεγεθών γίνεται ως προς τις καρτεσιανές συντεταγμένες (x, y, z). Στο Σχήμα 2.2 απεικονίζεται ένα πεπερασμένο στοιχείο με μήκος 2a, πλάτος 2b και ύψος 2c και με τοπική αρίθμηση κόμβων 1 8, η οποία και παραμένει ίδια για κάθε πεπερασμένο στοιχείο. 14

15 Σχήμα 2.2: Επιλογή κατάλληλης προσεγγιστικής συνάρτησης Πρέπει να επιλεγεί ο τύπος της προσεγγιστικής συνάρτησης που αντιπροσωπεύει την άγνωστη μεταβλητή μέσα σε κάθε πεπερασμένο στοιχείο. Απαιτείται να είναι απλή υπολογιστικά και ταυτόχρονα να τηρεί κάποιες προϋποθέσεις σύγκλισης. Συνήθως επιλέγεται κάποια πολυωνυμική συνάρτηση. Στη συγκεκριμένη εφαρμογή, στόχος είναι ο καθορισμός της προσεγγιστικής έκφρασης για τη θερμοκρασία. Χρησιμοποιούνται κυβικά ή ορθογωνικά στοιχεία και σαν αποτέλεσμα χρειαζόμαστε 8 βαθμούς ελευθερίας. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι οι τιμές της θερμοκρασίας που λαμβάνονται υπόψη ανά στοιχείο αντιστοιχούν στις τιμές της θερμοκρασίας σε κάθε ένα από τους 8 κόμβους του κύβου, δηλαδή φ 1, φ 2, φ 3, φ 4, φ 5, φ 6, φ 7, φ 8. Η θερμοκρασία, επομένως, σε οποιοδήποτε σημείο προκύπτει από την Σχέση 2.1 T = φ 1 + φ 2 x + φ 3 y + φ 4 z + φ 5 xy + φ 6 xz + φ 7 yz + φ 8 xyz (2.1) 15

16 Κόμβος 1 T 1 = φ 1 φ 1 = T 1 2 T 2 = φ 1 + φ 2 2a φ 2 = T 2 T 1 2a 4 T 4 = φ 1 + φ 3 2b φ 3 = T 4 T 1 2b 3 T 3 = φ 1 + φ 2 2a + φ 3 2b + φ54ab φ 5 = T 1+T 3 T 2 T 4 4ab 5 T 5 = φ 1 + φ 4 2c φ 4 = T 5 T 1 2c 6 T 6 = φ 1 + φ 2 2a + φ 4 2c + φ 6 4ac φ 6 = T 1+T 6 T 2 T 5 4ac 8 T 8 = φ 1 + φ 3 2b + φ 4 2c + φ 7 4bc φ 7 = T 1+T 8 T 4 T 5 4bc 7 T 7 = φ 1 + φ 2 2a + φ 3 2b + φ 4 2c + φ 5 4ab + φ 6 4ac + φ 7 4bc + φ 8 abc φ 8 = T 2+T 4 +T 5 +T 7 T 1 +T 3 T 8 8abc Ομαδοποιώντας τους όρους ως προς τη θερμοκρασία του κάθε κάθε κόμβου, T i, παίρνουμε τη θερμοκρασία οπουδήποτε μέσα στο πεπερασμένο στοιχείο σαν συνάρτηση των θερμοκρασιών στις κορυφές του στοιχείου: T = N 1 T 1 + N 2 T 2 + N 3 T 3 + N 4 T 4 + N 5 T 5 + N 6 T 6 + N 7 T 7 + N 8 T 8 = 8 N i T i (2.2) i=1 Οι συναρτήσεις βάσεις, N i, ορίζονται από τις ακόλουθες σχέσεις: N 1 = (x 2a) (y 2b) (z 2c) 8abc N 5 = (x 2a) (y 2b) z 8abc N 2 = x (y 2b) (z 2c) 8abc N 6 = x (y 2b) z 8abc N 3 = (xy) (z 2c) 8abc N 7 = xyz 8abc N 4 = (x 2a) y (z 2c) 8abc N 8 = (x 2a) y z 8abc Παραγωγή του πίνακα ακαμψίας και του διανύσματος φορτίου για κάθε πεπερασμένο στοιχείο Για να ληφθούν οι εξισώσεις για τα πεπερασμένα στοιχεία, δηλαδή οι σχέσεις που συνδέουν τις θερμοκρασίες στους κόμβους των πεπερασμένων στοιχείων με τα διανύσματα φορτίου θα πρέπει να ερμηνεύσουμε τη μετάδοση θερμότητας σε μια ολοκληρωτική μορφή. Υπενθυμίζεται ότι η γενική εξίσωση αγωγής για τη μετάδοση θερμότητας σε ανομοιογενές υλικό είναι: (k(x, y, z) T ) + q = pc T t (2.3) T (λ(x, y, z) x x ) + T (λ(x, y, z) y y ) + T (λ(x, y, z) ) + q = pc T z z t (2.4) 16

17 Οπου: q: η εσωτερική παραγωγή θερμικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου και χρόνου λ(x, y, z): ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας για μη ομογενή υλικά συναρτήσει της θέσης p: η πυκνότητα του υλικού c: η ειδική θερμοχωρητικότητα του υλικού Γίνεται αντιληπτό ότι η Σχέση 2.4 είναι διαφορική εξίσωση δευτέρου βαθμού ως προς το χώρο και πρώτου βαθμού ως προς το χρόνο. Σαν αποτέλεσμα, για την επίλυση της απαιτούνται δύο οριακές συνθήκες και μια αρχική συνθήκη. Εδώ λαμβάνονται υπόψιν και οι τύποι του Neumann για τις οριακές συνθήκες του προβλήματος. Οριακές συνθήκες Για τον προσδιορισμό των οριακών συνθηκών λαμβάνονται υπόψη οι συνθήκες του Neumann και προκύπτουν: T = T 0 στην επιφάνεια S 1 (συνθήκη Dirichlet) λ(x, y, z) T x l x + λ(x, y, z) T y l y + λ(x, y, z) T z l z + q = 0 στην επιφάνεια S 2 λ(x, y, z) T x l x + λ(x, y, z) T y l y + λ(x, y, z) T z l z + h(t T ) = 0 στην επιφάνεια S 3 Αρχική συνθήκη Για τον προσδιορισμό της αρχικής συνθήκης έχουμε: T = T b : το οποίο δηλώνει την αρχική θερμοκρασία του σώματος Οπου: q: η πυκνότητα ροής στη συνοριακή επιφάνεια h: ο συντελεστής θερμικής συναγωγής l x, l y, l z : τα συνημίτονα κατεύθυνσης πάνω στη διαχωριστική επιφάνεια του διανύσματος S 1 : η επιφάνεια στην οποία έχουμε σταθερή θερμοκρασία S 2 : η επιφάνεια με σταθερή πυκνότητα θερμορροής S 3 : η επιφάνεια όπου εμφανίζεται συναγωγή 17

18 2.2.4 Συνάθροιση Μέχρι σε αυτό το σημείο έχουν βρεθεί οι χαρακτηριστικοί πίνακες για κάθε ένα πεπερασμένο στοιχείο με βάση τις τοπικές συντεταγμένες και την τοπική αρίθμηση των κόμβων που το αποτελούν. Το πρόβλημα είναι ότι υπάρχουν στοιχεία που γειτονεύουν με άλλα και άρα μοιράζονται τους ίδιους κόμβους. Σε αυτήν την περίπτωση πρέπει να σχηματιστεί το ολικό σύστημα, έτσι ώστε κάθε κόμβος να αναφέρεται μια και μόνο φορά, έτσι ώστε στην ολική αρίθμηση των κόμβων, ο καθένας έχει διαφορετική τιμή. Πραγματοποιείται η συγκέντρωση όλων των στοιχείων, αφού πρωτίστως αξιολογηθεί η συνεισφορά τους στο συνολικό πρόβλημα. Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί στους κοινούς κόμβους των εκάστοτε πεπερασμένων στοιχείων. Σαν αποτέλεσμα λαμβάνεται ο συνολικός πίνακας ακαμψίας [K] και το συνολικό διάνυσμα φορτίου {f} δημιουργώντας το ακόλουθο σύστημα: [K]{T } = {f} (2.5) Επίλυση του συστήματος Επίλυση του παραπάνω συστήματος, αφού πρώτα ληφθούν υπόψη οι οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet, οι οποίες και καθορίζουν τις τιμές σε κάποιους κόμβους Υπολογισμός δευτερευόντων χαρακτηριστικών Πραγματοποιείται υπολογισμός των εκάστοτε δευτερευόντων χαρακτηριστικών που στην περίπτωση μας είναι η θερμοροή. Η θερμορροή στις καρτεσιανές συντεταγμένες δίνεται από τον τύπο: q = q x x + q y y + q z z (2.6) q x = λ(x, y, z) T x q y = λ(x, y, z) T y q z = λ(x, y, z) T z (2.7) Επειδή όμως θα εκτελεστούν υπολογισμοί για πεπερασμένα στοιχεία οι Σχέσεις 2.7 γίνονται: q (e) x T (e) = λ(x, y, z) x q (e) y T (e) = λ(x, y, z) y q (e) z T (e) = λ(x, y, z) z (2.8) Η θερμοκρασία μέσα σε ένα πεπερασμένο στοιχείο δίνεται από τη σχέση: T (e) (x, y, z) = [N(x, y, z)]{t (e) } = 8 i=1 N i T (e) i (2.9) 18

19 T (e) x = 8 i=1 N i x T (e) i T (e) y = 8 i=1 N i y T (e) i T (e) z = 8 i=1 N i z T (e) i (2.10) Τελικά, οι συνιστώσες της θερμορροής σε κάθε στοιχείο δίνοται από τις Σχέσεις 2.11, 2.12 και q (e) x = λ(x, y, z) q (e) y = λ(x, y, z) q (e) z = λ(x, y, z) 8 i=1 8 i=1 8 i=1 N i x T (e) i (2.11) N i yß T (e) i (2.12) N i z T (e) i (2.13) Σε μορφή πινάκων οι Σχέσεις 2.11, 2.12 και 2.13 γράφονται ως εξής: q x (e) q y (e) q (e) z λ(x, y, z) 0 0 = 0 λ(x, y, z) λ(x, y, z) N 1 x N 1 y N 1 z N 2 x N 2 y N 2 z N 8 x N 8 y N 8 z T (e) 1 T (e) 2. T (e) 8 q (e) = [Λ][B]{T (e) } (2.14) 19

20 20

21 Κεφάλαιο 3 Θερμική Αγωγιμότητα 3.1 Βασικές έννοιες σύμφωνα με EN 1745 Κρίνεται απαραίτητο να επισημάνθει ότι η ανάλυση για τη μελέτη της θερμικής συμπεριφοράς ανομοιογενούς δομικού στοιχείου πραγματοποιείται για σταθερή θερμοκρασιακά κατάσταση. Στο χρήστη παρέχεται η δυνατότητα να ορίσει τις θερμοκρασίες στην αριστερή και δεξιά πλευρά του οπτοπλίνθου. Ιδιαίτερη σημασία δίνεται στην αναγνώριση του είδους στο οποίο ανήκει το κάθε πεπερασμένο στοιχείο, αν πρόκειται δηλαδή για οπτόπλινθο, κόλλα, συγκολλητική κονία ή το κενό. Σε περίπτωση που κάποιο στοιχείο δεν ανήκει εξ ολοκλήρου σε κάποιο υλικό τότε σχηματίζεται μια ισοδύναμη παράμετρος, ισοδύναμη θερμική αγωγιμότητα, με βάση το είδος και το ποσοστό των υλικών από το οποίο αποτελείται το εκάστοτε στοιχείο. 3.2 Συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας λ Βασική παράμετρος για τη μόνιμη κατάσταση αποτελεί η τιμή της θερμικής αγωγιμότητας για το κάθε στοιχείο. Ως θερμική αγωγιμότητα ορίζεται η χαρακτηριστική ιδιότητα της ύλης που προσδιορίζει την ευκολία ή δυσκολία διάδοσης της θερμότητας στο εσωτερικό ενός υλικού. Πιο αναλυτικά, ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας λ είναι η ποσότητα θερμότητας που περνά στη μονάδα του χρόνου μέσα από τις απέναντι πλευρές ενός κύβου πλευράς 1m από ομογενές υλικό, όταν η διαφορά θερμοκρασίας των επιφανειών αυτών διατηρείται σταθερή στον 1 C. Μονάδα μέτρησης του συντελεστή θερμικής αγωγιμότητας είναι W/m K. Στη συνέχεια παρουσιάζονται κάποιες προϋποθέσεις που πρέπει να λαμβάνονται υπόψη καθώς και κάποιοι υπολογισμοί σύμφωνα με το πρότυπο EN ISO Ο κατασκευαστής προϊόντων τοιχοποιίας μπορεί να θέλει να ενημερώσει σχετικά με τις τιμές σχεδιασμού της 21

22 θερμικής αγωγιμότητας είτε πρόκειται για τον οπτόπλινθο είτε για τα κονιάματα Καθορισμός του λ U,dry Οι τιμές της θερμικής αγωγιμότητας για τον τοίχο, σύμφωνα με το πρότυπο EN 1745, υπολογίζονται σύμφωνα με την παρακάτω σχέση: Οπου: d λ T,dry = 1 (3.1) U T,dry R si R se U T,dry : η θερμοπερατότητα του τοίχου σε ξηρή κατάσταση ( W m 2 K ) R si, R se : η εσωτερική και εξωτερική επιφανειακή αντίσταση d: το πάχος του τοίχου λ T,dry : η θερμική αγωγιμότητα του τοίχου σε στεγνή κατάσταση ( W m K ) Οι τιμές της θερμικής αγωγιμότητας για τη μονάδα, σύμφωνα με το πρότυπο EN 1745, υπολογίζονται σύμφωνα με την παρακάτω σχέση: Οπου: λ U,dry = λ T,dry A M λ eq,m A U (3.2) A M : το ποσοστό της περιοχής από κονίαμα στον τοίχο A U : το ποσοστό της περιοχής της μονάδας στον τοίχο d: το πάχος του τοίχου λ eq,m : η ισοδύναμη θερμική αγωγιμότητα του περιβάλλοντος υλικού (π.χ. κονιάματος) λ U,dry : η θερμική αγωγιμότητα της μονάδας ( W m K ) Μετατροπή λόγω υγρασίας Από τις λ dry τιμές για κάθε τύπο υλικού υπολογίζονται οι αντίστοιχες λ design τιμές με χρήση των συντελεστών μετατροπής για την υγρασία οι οποίοι δίνονται στο παράρτημα Α του EN ISO 1745 για κάθε τύπο υλικού. Ο υπολογισμός λοιπόν σύμφωνα με το EN ISO είναι ο εξής: 22

23 λ design = λ dry F m (3.3) Οπου: y = F m = e f ψ(ψ design ψ dry ) F m = e fu(u design u dry ) A M : το ποσοστό της περιοχής από κονίαμα στον τοίχο F m : παράγοντας μετατροπής υγρασίας f ψ : συντελεστής μετατροπής υγρασίας f u : συντελεστής μετατροπής υγρασίας ψ: η περιεκτικότητα σε υγρασία όγκος κατ όγκο u: η περιεκτικότητα σε υγρασία μάζα κατά μάζα Με παρόμοιο τρόπο από τις R dry τιμές υπολογίζονται οι R design τιμές, σύμφωνα με τον ακόλουθο τύπο: R design = R dry F m (3.4) 3.3 Θερμικές αντιστάσεις σύμφωνα με ISO Θερμική αντίσταση ομοιογενών επιπέδων Κατά την απλοποιημένη παραδοχή η ροή θερμότητας ενός δομικού στοιχείου αντιμετωπίζεται ως μονοδιάστατο μέγεθος. Οι ανταλλαγές θερμότητας θεωρούνται ανεξάρτητες από το χρόνο και ανεπηρέαστες από εξωγενείς παράγοντες. Ολα τα δομικά υλικά θεωρούνται ομογενή και ισότροπα, με σταθερά θερμοφυσικά χαρακτηριστικά και ανεπηρέαστα από τις μεταβολές της θερμοκρασίας. Η αντίσταση που προβάλλει μία ομογενής στρώση ενός δομικού στοιχείου στη ροή θερμότητας δίνεται από το γενικό τύπο: R = d λ (3.5) Οπου: R: η αντίσταση που προβάλλει στη ροή θερμότητας η συγκεκριμένη στρώση (m 2 K W ) d: το πάχος της στρώσης λ: ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας του υλικού της στρώσης ( W m K ) 23

24 Το σύνολο των θερμικών αντιστάσεων όλων των στρώσεων ενός πολυστρωματικού δομικού στοιχείου, που αποτελείται από ομογενείς στρώσεις υλικών, ορίζει την αντίσταση θερμοδιαφυγής και προκύπτει από το άθροισμα των επί μέρους αντιστάσεων της κάθε στρώσης κατά τη γενική σχέση: R L = n i=1 d i λ i = n R i (3.6) i= Επιφανειακές αντιστάσεις Ως οριζόντια θερμική ροή θεωρείται αυτή που παρουσιάζει απόκλιση μέχρι ±30 από το οριζόντιο επίπεδο. Εσωτερική επιφανειακή αντίσταση R si : η αντίσταση στη ροή θερμότητας πάνω στην εσωτερική επιφάνεια του κατασκευαστικού στοιχείου. Εξωτερική επιφανειακή αντίσταση R se : η αντίσταση στη ροή θερμότητας πάνω στην εξωτερική επιφάνεια του κατασκευαστικού στοιχείου. Επιφανειακή αντίσταση Κατεύθυνση ροής θερμότητας Προς τα πάνω Οριζόντια Προς τα κάτω R si R se

25 3.3.3 Διάκενα με μήκος και πλάτος πολύ μεγαλύτερα του πάχους Για διάκενα των οποίων το μήκος και το πλάτος είναι τουλάχιστον 10 φορές μεγαλύτερα από το πάχος, η θερμική αντίστασή τους υπολογίζεται από τον ακόλουθο τύπο: Οπου: R = R g : η θερμική αντίσταση του διακένου 1 h a + h r (3.7) 1 h r = E h r0 E = 1 ɛ ɛ 2 1 h a : ο συντελεστής αγωγιμότητας / συναγωγής h r : ο συντελεστής ακτινοβολίας E: η ικανότητα έκλυσης θερμότητας σε παρακείμενη επιφάνεια h r0 : ο συντελεστής ακτινοβολίας d: το μήκος του διακένου Μέση θερμοκρασία Συντελεστής ακτινοβολίας ( C) h r Κατεύθυνση θερμορροής Συντελεστής συναγωγής για T 5K Συντελεστής συναγωγής για T > 5K h a Προς τα πάνω max(1.95, d ) max{1.14 ( T )1/3, d } Οριζόντια max(1.25, d ) max{0.73 ( T )1/3, d } Προς τα κάτω max(0.12 d 4, d ) max{0.09 ( T )0.187 d 4, d } 25 h a

26 Σχήμα 3.1: Διάκενα με μήκος και πλάτος πολύ μικρότερα του πάχους Σχηματική αναπαράσταση διακένων, των οποίων το μήκος και πλάτος είναι τουλάχιστον 10 φόρες μικρότερα από το πάχος, φαίνεται στο Σχήμα 3.1. Οπου: b: το πλάτος του διακένου d: το μήκος του διακένου D: η ροή θερμότητας Για διάκενα των οποίων το μήκος και το πλάτος είναι τουλάχιστον 10 φορές μικρότερα από το πάχος, η θερμική αντίστασή τους υπολογίζεται από τον ακόλουθο τύπο: R = 1 h a + h r (3.8) h r = 1 h r0 ɛ ɛ d2 b 2 d b (3.9) Οπου: b: το πλάτος του διακένου d: το μήκος του διακένου ɛ 1, ɛ 2 : οι συντελεστές επιφάνειας που οριοθετούν το διάκενο Το h a εξαρτάται από το μήκος d και όχι από το πλάτος b. Σαν αποτέλεσμα, η αγωγιμότητα του κενού προκύπτει από την ακόλουθη σχέση: λ g = d R g (3.10) 26

27 3.4 Χρήση σχέσεων για οποιαδήποτε γεωμετρία στοιχείου Στις προηγούμενες ενότητες αυτού του κεφαλαίου, παρουσιάστηκε αναλυτικά ο τρόπος επιδιόρθωσης των συντελεστών αγωγιμότητας των υλικών εξαιτίας της υγρασίας και προσδιορίστηκαν οι τύποι για τον υπολογισμό της θερμικής αντίστασης διακένου και της αγωγιμότητάς του. Εχοντας αυτά τα στοιχεία και με τη βοήθεια της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων, η οποία και παρουσιάστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, προσδιορίζουμε το θερμοκρασιακό πεδίο και τη θερμορροή μέσα στον οπτόπλινθο. Σαν αποτέλεσμα, παρέχονται όλα τα απαραίτητα εργαλεία για την επίλυση του πρόβληματος για οποιαδήποτε γεωμετρία δομικού στοιχείου, λαμβάνοντας υπόψη και τη συγκολλητική κονία ή κόλλα που περιβάλλει τον οπτόπλινθο. Εστω, T η διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ του δεξιού και του αριστερού άκρου του στοιχείου και Q total η συνολική θερμορροή σε W που εισέρχεται από την αριστερή πλευρά του στοιχείου. Στην περίπτωση της ανάλυσης για μόνιμη κατάσταση η θερμοκρασία προσδιορίζεται άμεσα από τα δεδομένα και κατόπιν με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων βρίσκουμε τη συνολική θερμορροή Q total Ορίζουμε με A τη συνολική επιφάνεια της αριστερής πλευράς και προκύπτει μια μορφή θερμικής αντίστασης με την οποία μπορούμε να συγκρίνουμε διαφορετικές γεωμετρίες δομικών στοιχείων. R µ = A T Q total (3.11) Η Σχέση 3.11 αφορά την περίπτωση στην οποία συμπεριλαμβάνονται και οι επιφανειακές αντιστάσεις. Για να υπολογιστούν οι τιμές της θερμικής αντίστασης χωρίς τις επιφανειακές αντιστάσεις χρησιμοποιείται η ακόλουθη σχέση: R x = R µ R se R se (3.12) Οι παραπάνω σχέσεις λαμβάνουν υπόψη και την κόλλα ή το κονίαμα που περιβάλλει το δομικό στοιχείο, καθώς συμππεριλήφθηκαν στον υπολογισμό της θερμορροής. Για την εύρεση του ισοδύναμου συντελεστή αγωγιμότητας του συστήματος, δηλαδή οπτόπλινθος με κονία ή κόλλα εφαρμόζουμε την ακόλουθη σχέση, σύμφωνα με το πρότυπο ΕΝ 1745: Οπου: λ eq = x R x = d R x (3.13) x: η συνολική απόσταση σε m της διάδοσης θερμότητας, από το αριστέρο στο δεξί άκρο 27

28 28

29 Κεφάλαιο 4 Η Εφαρμογή 4.1 Γενικές πληροφορίες Η εφαρμογή που δημιουργήθηκε έχει στόχο τον υπολογισμό του συντελεστή της ισοδύναμης θερμικής αγωγιμότητας λ eq, equivelant thermal conductivity coefficient, ενός δομικού στοιχείου και στηρίζεται στον υπολογισμό των μεγεθών της γεωμετρίας του στοιχείου, των επι μέρους συντελεστών, εφόσον είναι γνωστό το υλικό του, με χρήση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων τον υπολογισμό του συνολικού συντελεστή. Αποτελείται από το αρχικό παράθυρο, και δύο πρόσθετα πλαίσια, ένα για περαιτέρω παραμετροποίηση των υπολογισμών και ένα για την εμφάνιση των τελικών αποτελεσμάτων. Αξίζει να αναφερθεί ότι η εφαρμογή δίνει τη δυνατότητα πλήρους αυτοματοποίησης του υ- πολογισμού του l e q, αλλά επιτρέπει και παρεμβάσεις από το χρήστη για προδιαγραφές του εκάστοτε προβλήματος διαφορετικές από τις αρχικές που έχουν προβλεφθεί από τον προγραμματιστή. Η εφαρμογή αποτελείται από ενα εκτελέσιμο αρχείο με κατάλληξη.exe και ονομασία Thermal Analysis of Unhomogenous Structural Components.exe. Εκτός από το πρόγραμμα, το οποίο και παρουσιάζεται στην παρούσα διπλωματική εργασία, στο εκτελέσιμο αρχείο συμπεριλαμβάνεται και το MATLAB Compiler Runtime, το οποίο είναι απαραίτητο για την εκτέλεση της εφαρμογής και σε περίπτωση που δεν ανιχνευτεί στο εκάστοτε σύστημα του χρήστη, εγκαθιστάται αυτόματα. Σχήμα 4.1: 29

30 4.2 Περιγραφή της εφαρμογής Στο Σχήμα 4.2 φαίνεται το κύριο παράθυρο της εφαρμογής. Διακρίνονται τα τρία βασικά κουμπιά: Open: το κουμπί για την εισαγωγή και επεξεργασία του εκάστοτε σχεδίου Preferences: το κουμπί για την τροποποίηση των παραμέτρων που χρησιμοποιούνται στους υπολογισμούς Calculate: το κουμπί για την έναρξη και την εμφάνιση των τελικών αποτελεσμάτων Σχήμα 4.2: Αξίζει να σημειωθεί, ότι το κουμπί Calculate παραμένει ανενεργό και δεν είναι δυνατή η ενεργοποίησή του από το χρήστη προτού επιλεγεί κάποιο συγκεκριμένο σχέδιο. Με τη χρήση του κουμπιού Open εμφανίζεται ένα νέο παράθυρο, τύπου File Explorer, το οποίο επιτρέπει στο χρήστη να περιηγηθεί στα αρχεία του συστήματός του, ώστε να εντοπίσει το σχέδιο του δομικού στοιχείου για το οποίο επιθυμεί να πραγματοποιήσει υπολογισμούς. Σύμφωνα με τις λειτουργικές προδιαγραφές, η εφαρμογή δέχεται μόνο αρχεία AutoCAD DXF με κατάλληξη.dxf. Για την προστασία του χρήστη από τυχόν λανθασμένες επιλογές αρχείων εισόδου, το πρόγραμμα φιλτράρει σε πραγματικό χρόνο τις εκάστοτε επιλογές, επιτρέποντας μόνο την εισαγωγή.dxf αρχείων. Το Σχήμα 4.3 είναι κατατοπιστικό για το περιβάλλον που ενεργοποιείται με το κουμπί Open. 30

31 Σχήμα 4.3: Στα Σχήματα 4.4 και 4.5 εμφανίζεται το παράθυρο ρυθμίσεων που παρουσιάζεται στο χρήστη με την ενεργοποίηση του κουμπιού Preferences καθώς και όλες οι διαθέσιμες επιλογές σε αυτό. Μέσω αυτού του παραθύρου είναι δυνατή η παραμετροποίηση των παρακάτω μεγεθών: Thermal Conductivity: η θερμική αγωγιμότητα του υλικού από το οποίο είναι κατασκευασμένο το δομικό στοιχείο External Temperature: η θερμοκρασία του δομικού στοιχείου από την εξωτερική πλευρά Internal Temperature: η θερμοκρασία του δομικού στοιχείου από την εσωτερική πλευρά Building Components: το υλικό που τυχόν περιβάλλει το δομικό στοιχείο Οποιαδήποτε στιγμή ο χρήστης πατήσει OK οι νέες παράμετροι ελέγχονται για τυχόν λανθασμένη εισαγωγή ανορθόδοξων τιμών και στη συνέχεια αποθηκεύονται σε κατάλληλη δομή για να χρησιμοποιηθούν στους μετέπειτα υπολογογισμούς. Σε κάθε νέα εκτέλεση του προγράμματος, επιλέγονται κάποιες default τιμές για τις παραπάνω παραμέτρους. Οι τιμές αυτές όπως φαίνονται και στο Σχήμα 4.4 είναι: Thermal Conductivity: 0.35 External Temperature: 5 Internal Temperature: 25 Building Component: Brick Only 31

32 Σχήμα 4.4: Σχήμα 4.5: Αξίζει να σημειωθεί ότι, για όσο χρόνο παραμένει ανοιχτό το παράθυρο Preferences, χρησιμοποιούνται κατάλληλα επίπεδα modality που αποτρέπουν την αλληλεπίδραση του χρήστη με τα υπόλοιπα παράθυρα της εφαρμογής για την αποφυγή πιθανών λανθασμένων επιλογών. Μόλις ο χρήστης ολοκληρώσει τις όποιες παραμετροποιήσεις θέλει να πραγματοποιήσει, επιστρέφει στο βασικό παράθυρο της εφαρμογής και με χρήση του κουμπιού Calculate μπορεί να οδηγηθεί στην εξαγωγή αποτελεσμάτων για το συγκεκριμένο σχέδιο δομικού στοιχείου που έχει επιλέξει. 32

33 4.3 Αποτελέσματα Παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των υπολογισμών της εφαρμογής για δύο διαφορετικές γεωμτερίες οπτοπλίνθων, οι οποίες χρησιμοποιήθηκαν σε αυτή Οπτόπλινθος (mm) Σχήμα 4.6: Οπτόπλινθος (mm) Απλός Οπτόπλινθος Οπτόπλινθος με κόλλα Οπτόπλινθος με κονίαμα πάχους 3mm πάχους 12mm q Q U R R t

34 Οπου: q (W/m): ρυθμός μετάδοσης της θερμότητας σε 1m ύψος οπτοπλίνθου Q = q h (W ): ρυθμός μετάδοσης της θερμότητας U ( W ): συντελεστής θερμικής μετάδοσης τοιχοποιίας m2 K R ( m2 K W ): επιφανειακή αντίσταση κτισμένου τούβλου, συμπεριλαμβανόμενης της κόλλας ή του κονιάματος. Περιλαμβάνει και τις επιφανειακές αντιστάσεις. R t ( m2 K W ): επιφανειακή αντίσταση κτισμένου τούβλου, συμπεριλαμβανομένων της κόλλας ή του κονιάματος. Δεν περιλαμβάνει τις επιφανειακές αντιστάσεις Οπτόπλινθος (mm) Σχήμα 4.7: Οπτόπλινθος (mm) 34

35 Απλός Οπτόπλινθος Οπτόπλινθος με κόλλα Οπτόπλινθος με κονίαμα πάχους 3mm πάχους 12mm q Q U R R t Οπου: q (W/m): ρυθμός μετάδοσης της θερμότητας σε 1m ύψος οπτοπλίνθου Q = q h (W ): ρυθμός μετάδοσης της θερμότητας U ( W ): συντελεστής θερμικής μετάδοσης τοιχοποιίας m2 K R ( m2 K W ): επιφανειακή αντίσταση κτισμένου τούβλου, συμπεριλαμβανόμενης της κόλλας ή του κονιάματος. Περιλαμβάνει και τις επιφανειακές αντιστάσεις. R t ( m2 K W ): επιφανειακή αντίσταση κτισμένου τούβλου, συμπεριλαμβανομένων της κόλλας ή του κονιάματος. Δεν περιλαμβάνει τις επιφανειακές αντιστάσεις. 35

36 36

37 Βιβλιογραφία [1] Χατζοπούλου Γεωργία. Διπλωματική Εργασία: Προσομοίωση Θερμικής Συμπεριφοράς Ανομοιογενούς Δομικού Στοιχείου με τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων. Θεσσαλονίκη, [2] R. W. Lewis, Perumal Nithiarasu και Kankanhalli Seetharamu. Fundamentals of the Finite Element Method for Heat and Fluid Flow. Wiley-Blackwell, [3] R. W. Lewis, Ken Morgan, H. R. Thomas και Kankanhalli Seetharamu. Finite Element Method in Heat Transfer Analysis. Wiley-Blackwell, [4] Κελίρης Χριστόδουλος. Διπλωματική Εργασία: Μετάδοση Θερμότητας σε Ανομοιογενές Υλικό με Χρήση Πεπερασμένων Στοιχείων. Θεσσαλονίκη, [5] Mathworks R. MATLAB: Documentation Center [6] Ορφανός Δημήτριος. Διπλωματική Εργασία: GUI για τον Αυτόματο Υπολογισμό της Ισοδύναμης Θερμικής Αγωγιμότητας Δομικού Στοιχείου ή Δοκιμής Μονάδας. Θεσσαλονίκη, [7] Κωνσταντίνος Πασπάλας. Μετάδοση Θερμότητας. Σύλλογος Μηχανολόγων - Ηλεκτρολόγων Βορείου Ελλάδος (ΣΜΗΒΕ),