ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου].
|
|
- Άτροπος Ευφημία Γεννάδιος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ 1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1 ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f() 1 στο Η f είναι ορισμένη στο R Για κάθε έχουμε : f() f() ( )(+) ( + ) 4 8 Άρα f () 8 ( 4) Για να υπολογίσουμε την f ( ) όταν η συνάρτηση f δίνεται από έναν τύπο, υπολογίζουμε το f() f( ) 1
2 Παράδειγμα Nα εξετάσετε αν υπάρχει η παράγωγος της f() + 1, < + 1, στο Για κάθε R {} είναι : Αν <, f() f() +1 1 ( 1) ( 1) -1 Αν >, Έχουμε f() f() f() f() f() f() 1 + Άρα η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με f () 1 Για να υπολογίσουμε την f ( ) όταν η συνάρτηση f δίνεται από διπλό τύπο και το είναι το σημείο στο οποίο αλλάζει ο τύπος,υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια (α) αν το f() f( ) f() f( ) l R τότε η f παραγωγίσιμη με f ( + ) l (β)αν f() f( ) f() f( ) τότε η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο + Αν ο τύπος της f δεν αλλάζει στο εργαζόμαστε όπως στην 1 η άσκηση
3 Παράδειγμα 3 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() είναι παραγωγίσιμη στο +, > Η συνάρτηση f γράφεται f() 4, +, < f() f() Για >, έχουμε ( )(+1) ( + 1) Για <, f() f() έχουμε ( )(+3) ( + 3) 5 Έχουμε f() f() + f() f(), άρα η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 3
4 Παράδειγμα 4 Να βρείτε τις τιμές των α, β R ώστε η συνάρτηση f() α, < 1 +β, 1 να είναι παραγωγίσιμη στο 1 4 Καταρχήν, θα πρέπει η f να είναι συνεχής στο 1 γιατί διαφορετικά δεν θα είναι ούτε παραγωγίσιμη, άρα 1 + f() f() f(1) 1 Έχουμε f() +β 1+β και 1 f() 1 α α και f(1) 1+β 4 Άρα α 1+β 4 Τότε β 4 α 1 (1) α, < 1 Άρα η f θα γίνει f() +4α 1, 1 4 για να είναι παραγωγίσιμη στο 1 θα πρέπει : f() f(1) f() f(1) 1 1 Είναι f() f(1) α α α ( 1) α 1 ( +1) 1 ( 1)( +1) α 1 1 ( +1) α και f() f(1) α 1 α α 1 4α 1 + 4( 1) ( 1) (+1)( 1) ( 1) Τότε έχουμε α 1 α 1 άρα α 1 ή α 1 Τότε, λόγω της (1) είναι β 3 Άρα, για να είναι η f παραγωγίσιμη στο 1, πρέπει α 1 και β 3 ή α 1 και β 3 4
5 Αν αναζητούμε παραμέτρους ώστε μια συνάρτηση f να είναι παραγωγίσιμη στο, καταρχήν απαιτούμε η f να είναι συνεχής στο Τη σχέση που προκύπτει την αντικαθιστούμε στον τύπο της f και απαιτούμε f() f( ) + f() f( ) Τέλος λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων που προκύπτουν και προσδιορίζουμε τις παραμέτρους 5
6 Παράδειγμα 5 Δίνεται η συνάρτηση f() βρείτε την f () Να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο και να Για έχουμε: f () f (), οπότε f () f () Άρα η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο με f () Aν το είναι σημείο μηδενισμού απόλυτης τιμής, τότε η παραγωγισιμότητα της f στο f () f ( ) εξετάζεται με τον ορισμό f ( ) f () f ( ) Για υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής και στη συνέχεια εξετάζουμε αν το f () f ( ) όριο του λόγου μεταβολής, δηλαδή το υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός Στο συγκεκριμένο παράδειγμα δεν χρειάστηκε να πάρουμε περιπτώσεις για την απόλυτη τιμή 6
7 Παράδειγμα 6 Δίνεται η συνάρτηση f() -1 Να εξετάσετε αν η f παραγωγίζεται στο 1 Για < 1 έχουμε: f () f (1) 1 ( 1), οπότε f () f (1) ( ) Για > 1 έχουμε: f () f (1) 1 ( 1), οπότε f () f (1) Είναι: f () f (1) f () f (1) Άρα η συνάρτηση f δεν παραγωγίζεται στο 1 Aν το είναι σημείο μηδενισμού απόλυτης τιμής, τότε η παραγωγισιμότητα της f στο f () f ( ) f () f ( ) εξετάζεται με τον ορισμό f ( ) + f () f ( ) Για < υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής, απαλλαγμένο από την απόλυτη τιμή και στη συνέχεια εξετάζουμε αν το αριστερό πλευρικό όριο του λόγου μεταβολής, δηλαδή f () f ( ) το υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός 7
8 Αν το όριο αυτό δεν υπάρχει ή είναι ±, τότε η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο Αν το όριο αυτό υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, τότε συνεχίζουμε ως εξής: f () f ( ) Για > υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής, απαλλαγμένο από την απόλυτη τιμή και στη συνέχεια εξετάζουμε αν το δεξιό πλευρικό όριο του λόγου μεταβολής, δηλαδή το f () f ( ) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός + Σε περίπτωση που και το δεύτερο όριο είναι πραγματικός αριθμός, τότε εξετάζουμε αν τα δύο πλευρικά όρια είναι ίσα ή άνισα 8
9 Παράδειγμα 7 Δίνεται η συνάρτηση f () ηµ Να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο και να βρείτε την f () Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A [,+ ) Για > έχουμε: f() f() ηµ ηµ, οπότε f() f() ηµ 1 + Άρα η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο με f () Aν το είναι σημείο μηδενισμού υπόρριζης ποσότητας, τότε η παραγωγισιμότητα της f στο f () f ( ) εξετάζεται με τον ορισμό f ( ) f () f ( ) Για υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής και στη συνέχεια εξετάζουμε αν το f () f ( ) όριο του λόγου μεταβολής, δηλαδή το υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός 9
10 Παράδειγμα 8 Δίνεται η συνάρτηση f () + 3 Να εξετάσετε αν η f παραγωγίζεται στο 3 Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A [ 3, + ) Για > 3 έχουμε: f () f ( 3) ( 3) , οπότε f () f ( 3) 1 +, ( 3) αφού + 3 και + 3 > για ( 3, + ) + 3 Άρα η συνάρτηση f δεν παραγωγίζεται στο 3 Aν το είναι σημείο μηδενισμού υπόρριζης ποσότητας, τότε η παραγωγισιμότητα της f στο f () f ( ) εξετάζεται με τον ορισμό f ( ) f () f ( ) Για υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής και στη συνέχεια εξετάζουμε αν το f () f ( ) όριο του λόγου μεταβολής, δηλαδή το υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός 1
11 Παράδειγμα 9 Δίνεται η συνάρτηση και να βρείτε την f (1) 3, 1 f () 3, < 1 Να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο 1 Για > 1 έχουμε: Για < 1 έχουμε: Είναι: 3 f () f (1) 1 ( 1)( + + 1) f () f (1) 1 1 ( + + 1) f () f (1) 3 1 3( 1) 3, οπότε f () f (1) f () f (1) f () f (1) , οπότε Άρα η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο 1 με f (1) 3 Aν το είναι σημείο αλλαγής του τύπου της συνάρτησης, τότε η παραγωγισιμότητα της f στο εξετάζεται με τον ορισμό f () f ( ) f () f ( ) f ( ) + f () f ( ) Για > υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής και στη συνέχεια εξετάζουμε αν το f () f ( ) δεξιό πλευρικό όριο του λόγου μεταβολής, δηλαδή το υπάρχει και είναι + πραγματικός αριθμός 11
12 Αν το όριο αυτό δεν υπάρχει ή είναι ±, τότε η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο Αν το όριο αυτό υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, τότε συνεχίζουμε ως εξής: f () f ( ) Για < υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής και στη συνέχεια εξετάζουμε αν το αριστερό πλευρικό όριο του λόγου μεταβολής, δηλαδή το και είναι πραγματικός αριθμός f () f ( ) υπάρχει Σε περίπτωση που και το δεύτερο όριο είναι πραγματικός αριθμός, τότε εξετάζουμε αν τα δύο πλευρικά όρια είναι ίσα ή άνισα 1
13 Παράδειγμα 1 ηµ, Δίνεται η συνάρτηση f (), < Να εξετάσετε αν η f παραγωγίζεται στο Για > έχουμε: f() f() ηµ ηµ, οπότε f() f() ηµ 1 + Για < έχουμε: f () f (), οπότε f () f () - Είναι: f () f () f () f () Άρα η συνάρτηση f δεν παραγωγίζεται στο Aν το είναι σημείο αλλαγής του τύπου της συνάρτησης, τότε η παραγωγισιμότητα της f f () f ( ) f () f ( ) στο εξετάζεται με τον ορισμό f ( ) + f () f ( ) Για > υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής και στη συνέχεια εξετάζουμε αν το f () f ( ) δεξιό πλευρικό όριο του λόγου μεταβολής, δηλαδή το υπάρχει και είναι + πραγματικός αριθμός Αν το όριο αυτό δεν υπάρχει ή είναι ±, τότε η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 13
14 Αν το όριο αυτό υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, τότε συνεχίζουμε ως εξής: f () f ( ) Για < υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής και στη συνέχεια εξετάζουμε αν το αριστερό πλευρικό όριο του λόγου μεταβολής, δηλαδή το και είναι πραγματικός αριθμός f () f ( ) υπάρχει Σε περίπτωση που και το δεύτερο όριο είναι πραγματικός αριθμός, τότε εξετάζουμε αν τα δύο πλευρικά όρια είναι ίσα ή άνισα 14
15 Παράδειγμα 11 Δίνεται η συνάρτηση και να βρείτε την f () ηµ, f (), Να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο Για έχουμε: ηµ, οπότε f() f() ηµ ηµ f() f() ηµ ηµ 1 Άρα η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο με f () 1 Aν δίνεται ξεχωριστά η τιμή της f στο, τότε η παραγωγισιμότητα της f στο εξετάζεται f () f ( ) με τον ορισμό f ( ) f () f ( ) Για υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής και στη συνέχεια εξετάζουμε αν το f () f ( ) όριο του λόγου μεταβολής, δηλαδή το υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός 15
16 Παράδειγμα 1 Δίνεται η συνάρτηση συν, f (), Να εξετάσετε αν η f παραγωγίζεται στο Για έχουμε: συν f() f() συν 1 συν, οπότε f() f() 1 συν + γιατί 1 ( συν ) 1 > και + Άρα η συνάρτηση f δεν παραγωγίζεται στο Aν δίνεται ξεχωριστά η τιμή της f στο, τότε η παραγωγισιμότητα της f στο εξετάζεται f () f ( ) με τον ορισμό f ( ) f () f ( ) Για υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής και στη συνέχεια εξετάζουμε αν το f () f ( ) όριο του λόγου μεταβολής, δηλαδή το υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός Σημείωση: Στο συγκεκριμένο παράδειγμα ένας ος τρόπος για να αποδείξουμε ότι η f δεν παραγωγίζεται στο είναι η ασυνέχεια της f στο 16
17 ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα 1 Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο R και Αν f συνεχής στο 3 5 3, να βρείτε το f (3) f() Έστω g() f() 5 τότε g() 3 Έχουμε f() g() ( 5 ) Και 3 [g() 5 ] Τότε 3 f() και επειδή η f συνεχής στο 3 άρα f(3) f() f(3) f() Είναι g() ( 5 ) g() 5 g() 5 ( 5+) ( 3)( 5+) 3 g() ( 3)( 5+) Άρα f (3) 3 Όταν μας δίνεται ένα όριο συνάρτησης που περιέχει την f() και αναζητούμε την f ( ): 1 ο θέτουμε την συνάρτηση του αρχικού ορίου ως g() ο λύνουμε ως προς f() 3 ο χρησιμοποιούμε τη συνέχεια στο της συνάρτησης f και βρίσκουμε το f( ) 4 ο υπολογίζουμε το f() f( ) 17
18 Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση f με f() και f () 1 Να βρείτε το f3 () 8 4 Έχουμε f f() f() () 1 άρα 1 Τότε f() 1 Αλλά f 3 () 8 (f() )(f () + f() + 4) Άρα το f3 () 8 4 (f() )(f ()+f()+4) (+)( ) f() f ()+f()+4 + (Αφού f συνεχής στο ως παραγωγίσιμη δηλαδή f() f()) 1 f ()+f() Aν μας δίνεται το f ( ) και αναζητούμε κάποιο όριο, εμφανίζουμε στον τύπο της συνάρτησης του ορίου την παράσταση f() f( ) 18
19 Παράδειγμα 3 Αν f() ημ για κάθε R να βρείτε το f () Έχουμε f() ημ για κάθε R Τότε ( + 1 1) f() ημ Άρα ημ ( + 1 1) f() ημ Για : f() άρα f() (1) f f() f() f() () (λόγω της (1)) Για > : ημ Αλλά + (ημ Και + (ημ f() ημ ημ ) ημ ) ημ ( +1+1) ημ ( +1+1) + + ( +1+1) ημ ( +1+1) 1 + Άρα το + (ημ ) f() Άρα λόγω κριτηρίου παρεμβολής + f() Για < ομοίως αποδεικνύεται ότι Άρα αφού + f() f() f() f() η f παραγωγίσιμη στο με f () 19
20 Aν έχουμε διπλή ανισωτική σχέση και αναζητούμε το f ( ), δημιουργούμε την παράσταση f() f( ) στο μεσαίο μέλος και με χρήση του κριτηρίου παρεμβολής υπολογίζουμε το f() f( )
21 Παράδειγμα 4 Δίνεται συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει f( + y) 1 f() f(y) (1) και f() > για 1 κάθε,y R και f παραγωγίσιμη στο Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R Έχουμε f( + y) 1 f() f(y) για κάθε,y R 1 Για, y θα πάρουμε f() 1 1 f() f() f (), 1 1 άρα f() 1 f() 1 άρα f() (απορρίπτεται) ή f() 1() 1 Η f παραγωγίσιμη στο τότε: f () f() f() f() 1 () (3) Για να είναι η f παραγωγίσιμη στο R θα πρέπει να υπάρχει το f() f( ) για κάθε R και να είναι και πραγματικός αριθμός f() f( Είναι ) f( +h) f( ) h h 1 f( ) 1 [ f(h) 1] h h f( ) f( ) f(h) f( ) h h (1) f(h) 1 1 h h (3) 1 f( )[ 1 f(h) 1] h h f( ) 1 1 f ( ) που ανήκει στο R Άρα η f παραγωγίσιμη στο R με f ( ) f( ) 1 1 f () Aν έχουμε συναρτησιακή σχέση που αληθεύει για κάθε τιμή των μεταβλητών, y και αναζητούμε το f ( ): 1 ον επιλέγουμε κατάλληλο α R,στο οποίο η f να είναι παραγωγίσιμη και υπολογίζουμε την τιμή f(α)μέσω της συναρτησιακής σχέσης ον υπολογίζουμε το f ( ) με χρήση των τύπων f f( ( ) +h) f( ) ή h h f ( ) 1 f( o h) f( ) h 1 h 1 1
22 Παράδειγμα 5 H συνάρτηση f είναι ορισμένη στο και συνεχής στο με αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο f () Να και να βρείτε την f () Θέτουμε Είναι: g() 6 g() f () + 6 με, οπότε, οπότε ( ) f () ( )g( ) + 6 (1) f () ( )g( ) Επειδή η f είναι συνεχής στο είναι Για κοντά στο έχουμε: f () f () 8 () (1),() f () f () ( )g() + 6 ( 8) ( )g( ) [ g ( ) + 4] Άρα η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο με f () 4 Αν δε γνωρίζουμε τον τύπο της f, αλλά μας δίνεται το όριο μιας παράστασης που περιέχει την f, τότε η παραγωγισιμότητα της f στο εξετάζεται με τον ορισμό f () f ( ) f ( ) Για να υπολογίσουμε την f ( ) εργαζόμαστε ως εξής: Θέτουμε την παράσταση του ορίου ίση με g() και λύνουμε τη σχέση που προκύπτει ως προς f () Είναι f ( ) f (), επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Στη συνέχεια υπολογίζουμε το f () f ( )
23 Παράδειγμα 6 Έστω συνάρτηση f η οποία ικανοποιεί τη σχέση ηµ f() ηµ + για κάθε Αν f (), να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο και να βρείτε την f () Για είναι >, οπότε έχουμε: ημ f() ημ + ημ f () ημ + ημ f () ημ + 1 ημ f () f () ημ + 1, αφού f () Είναι: ημ 1 και ημ , f () f () οπότε από Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε Άρα η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο με f () Αν δε γνωρίζουμε τον τύπο της f, αλλά μας δίνεται μια ανισοτική σχέση για την f, τότε η f () f ( ) f ( ) υπολογίζεται με τον ορισμό f ( ) Για να υπολογίσουμε την f ( ) εργαζόμαστε ως εξής: Βρίσκουμε το f( ) θέτοντας στην ανισοτική σχέση όπου το Τροποποιούμε την ανισοτική σχέση, ώστε να δημιουργήσουμε μια νέα ανισοτική σχέση f () f ( ) για το λόγο μεταβολής Χρησιμοποιούμε το Κριτήριο Παρεμβολής 3
24 Παράδειγμα Έστω συνάρτηση f η οποία ικανοποιεί τη σχέση f () + f () +ηµ για κάθε Αν η f παραγωγίζεται στο να βρείτε την f () Η f παραγωγίζεται στο, οπότε Για από την αρχική σχέση έχουμε: Για είναι 3 f () f () f () 3 f () f(), άρα, οπότε έχουμε: f () (1) f () f () + f () +ηµ f () f () ηµ Άρα 3 3 f() f() ηµ f() f() ηµ () Είναι: 3 3 f() f() f() f() (1) + + f () + f () [ ] [ ] 3 και 3 3 ημ ημ Επομένως η σχέση () γίνεται: [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) 3 3 f () + f () f () + f () f () 1 f () + f () + f () 1 ή ( f ()) + f () + f () + f () + >, αφού το τριώνυμο ω + ω+ έχει διακρίνουσα 4< Όμως ( ) Άρα f () 1 4
25 Αν δε γνωρίζουμε τον τύπο της f, αλλά μας δίνεται μια ισότητα για την f, τότε η f ( ) f () f ( ) υπολογίζεται με τον ορισμό f ( ) Για να υπολογίσουμε την f ( ) εργαζόμαστε ως εξής: Βρίσκουμε το f ( ) θέτοντας στη δοθείσα σχέση όπου το Τροποποιούμε τη δοθείσα σχέση, ώστε να δημιουργήσουμε μια εξίσωση που θα έχει f () f ( ) άγνωστο το λόγο μεταβολής Εκμεταλλευόμαστε το γεγονός ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, f () f ( ) επομένως υπάρχει το και είναι πραγματικός αριθμός, οπότε παίρνουμε τα όρια των δύο μελών της ισότητας Προκύπτει μια εξίσωση με άγνωστο το f ( ), την οποία και λύνουμε 5
26 Παράδειγμα 8 Για ποια τιμή του α, η συνάρτηση ; + +α < f (), 3 +α + 4, είναι παραγωγίσιμη στο Καταρχάς θα βρούμε, για ποιες τιμές του α η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Για < έχουμε: Για > έχουμε: f () ( + +α ) α Επίσης είναι: Η f είναι συνεχής στο, αν και μόνο αν, Δηλαδή: 3 f () ( +α + 4) 4 + f () 4 f() f() f () + α 4 α ή α Για α { ±} η f δεν είναι συνεχής στο, άρα δεν είναι και παραγωγίσιμη στο Επομένως η αναζήτηση της παραγωγισιμότητας της συνάρτησης f στο έχει νόημα μόνο για τις τιμές α και α Για α είναι: + + f () + 4, < 3 4, Για < έχουμε: 6
27 f () f () ( + ) +, οπότε f () f () ( + ) Για > έχουμε: 3 3 f () f () ( ), οπότε f () f () ( ) + Είναι: f() f() f() f() + Άρα η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο για α Για α είναι: + + f () + + 4, < 3 4, Για < έχουμε: Για > έχουμε: f () f () ( + ) +, οπότε f () f () ( + ) f () f () 4 4 ( ), οπότε 7
28 f () f () ( + ) + Είναι: f () f () f () f () + Άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο για α Για να βρούμε τις τιμές του α για τις οποίες η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο κάνουμε τα εξής: Αρχικά βρίσκουμε τις τιμές του α, για τις οποίες η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Η αναζήτηση της παραγωγισιμότητας της συνάρτησης f στο έχει νόημα μόνο για εκείνες τις τιμές του α, για τις οποίες η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, αφού για όλες τις υπόλοιπες τιμές του α δεν τίθεται θέμα παραγωγισιμότητας στο επειδή ισχύει η πρόταση: Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε δεν είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό 8
29 Παράδειγμα 9 1, 1 Να βρείτε τις τιμές των α, β, ώστε η συνάρτηση f () α +β, > 1 παραγωγίσιμη στο 1 να είναι Αρχικά απαιτούμε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο 1 Είναι: 1 f () f () ( ) f ( 1) 1 α +β α β Η f είναι συνεχής στο 1 αν και μόνο αν, Δηλαδή: f () f () f ( 1) α β 1 β α+ 1 (1) Βρίσκουμε τα πλευρικά όρια του λόγου μεταβολής της συνάρτησης f στο 1 Για < 1 έχουμε: Για > 1 έχουμε: ( 1) 1 f () f ( 1) ( 1)( + 1) 1, οπότε (+ 1) f () f ( 1) f () f ( 1) α +β ( 1) (1) α +β + 1 α + ( α+ 1) + 1 ( α + 1)( + 1) α + 1, οπότε
30 f() f( 1) ( α + 1) 1 α Για να είναι η f παραγωγίσιμη στο 1, αρκεί: Δηλαδή: f () f ( 1) f () f ( 1) α α 3, οπότε από (1) έχουμε β 4 Για να βρούμε τις τιμές των α,β ώστε η συνάρτηση f να είναι παραγωγίσιμη στο κάνουμε τα εξής: Βρίσκουμε αρχικά μια σχέση μεταξύ των παραμέτρων α,β, η οποία προκύπτει από τη συνέχεια της f στο Στη συνέχεια βρίσκουμε μια δεύτερη σχέση μεταξύ των παραμέτρων α,β, η οποία προκύπτει από την παραγωγισιμότητα της f στο Από τις δύο αυτές σχέσεις προκύπτουν οι τιμές των α,β 3
31 ΘΕΜΑ Δ Παράδειγμα 1 Δίνεται μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει z και συνάρτηση f μη αρνητική και z παραγωγίσιμη στο 1 για την οποία ισχύει f () + f() -1 για κάθε 1 Να δείξετε ότι f (1) z 3 Έχουμε z + 1 z 1 z + 1 z z + z + 1 z 3 1 z 3 1 (1) Επίσης f παραγωγίσιμη στο 1 άρα και συνεχής με 1 f() f(1) Για 1 έχουμε f (1) + f(1) Άρα f(1)[f(1) + ] τότε f(1) ή f(1) - (απορρίπτεται) Έτσι έχουμε 1 f() Ισχύει ότι f () + f() 1 Για 1 θα πάρουμε f ()+f() 1 f()[f()+] 1 +1 [f() ][f()+] 1 [f() f(1)][f()+] 1 f() f(1) [f()+] Και τελικά f() f(1) 1 +1 f()+ Τότε f f() f(1) (1) () 1 f()+ Από (1),() f (1) z 3 31
32 Παράδειγμα Δίνεται συνάρτηση f: R R με ( 1) f() 1 (1) για κάθε R Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση e f (1) 4συν έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (,1) f (1) Έχουμε ( 1) f() 1 για κάθε R Για 1, f(1) άρα f(1) To f f() f(1) (1) 1 1 f() 1 1 Για >1, ( 1) 1 f() f() 1 +1 και 1 ( + 1) + + άρα από κριτήριο παρεμβολής 1 1 Ομοίως για <1 αποδεικνύεται ότι Άρα f παραγωγίσιμη με f (1) f() 1 1 Έχουμε την εξίσωση e - f (1) 4συν η οποία θα γίνει: f (1) e - 4συν e - 1 συν e συν e συν έστω g() e συν που είναι συνεχής στο [,1] 1 + f() και g()-1<, g(1)e-1-συν1 > διότι ισχύει ότι το συν1 είναι απολύτως μικρότερο ή ίσο του 1 Άρα g() g(1)< τότε λόγω θεωρήματος Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον (,1) ώστε g( ) άρα η εξίσωση e - f (1) 4συν έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (,1) f (1) 3
33 Παράδειγμα 3 Έστω συνάρτηση f η οποία ικανοποιεί τη σχέση f(+ y) συν f(y) + συνy f() (1) για κάθε,y Αν f () 1 να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο π και να βρείτε την f( π ) Για y από την αρχική σχέση έχουμε: f ( + ) συν f () + συν f () f () f () + f () f () Η f παραγωγίζεται στο, οπότε f (h) f () f (h) f () 1 h h h h () f() f( π) Για π θα βρούμε το όριο π π Θέτουμε π+ h και έχουμε: Όταν π το h, οπότε έχουμε: π π+ π π π+ h π h (1) f() f( ) π+ f( h) f( ) συνπ f (h) + συνh f (π) f (π) h f (h) συνh 1 συνπ + f( π) h h f() f( π) f(h) συνh 1 συνπ + f ( π) π π h h h () f (h) συνh 1 ( 1) + f ( π ) ( 1) 1+ f ( π ) 1 h h h h Άρα η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο π με f() π 1 Αν δε γνωρίζουμε τον τύπο της f, αλλά μας δίνεται μια συναρτησιακή σχέση για την f, τότε η f () f ( ) f ( ) υπολογίζεται με τον ορισμό f ( ) 33
34 Αν η συνάρτηση f ικανοποιεί μια σχέση της μορφής f ( + y), τότε για να υπολογίσουμε την f ( ) εργαζόμαστε ως εξής: Θέτουμε + h και χρησιμοποιούμε τον τύπο f ( + h) f ( ) h f ( ) h Ημερομηνία τροποποίησης: 1/11/11 34
- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν
Διαβάστε περισσότερα- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ - ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ - ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητες Κριτήριο Παρεμβολής - Τριγωνομετρικά Όρια - Όριο Σύνθετης
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του
Διαβάστε περισσότερα0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΟρισμός παραγώγου Εξίσωση εφαπτομένης
9 Ορισμός παραγώγου Εξίσωση εφαπτομένης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ι Ορισμός παράγωγου αριθμού Ορισμός 1 Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν f( f( υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ. ii) = x και. Περιπτώσεις στις οποίες η συνάρτηση είναι πολλαπλού τύπου και το x
ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ Περιπτώσεις στις οποίες βρίσκουμε την παράγωγο της f στο με τον ορισμό ~ Να βρεθούν με τη βοήθεια του ορισμού οι παράγωγοι αριθμοί των παρακάτω συναρτήσεων: i) f() = + + 4 στο =- ii) f()
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός
ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Είναι γνωστό ότι η απόδειξη ανισοτήτων είναι ένα ζήτημα που παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες για τους μαθητές. Οι δυσκολίες αυτές συνδέονται τόσο με το
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α Σ 5. Σ. Σ β Σ 6. Λ.
Διαβάστε περισσότεραΒασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x
8 Συνέχεια συνάρτησης Ορισμός της συνέχειας 8. α) Πότε μια συνάρτηση f :A λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση:, αν < f() =, αν i) Να αποδείξετε ότι f() = 7 και να
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.
Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων
Διαβάστε περισσότεραΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση
Διαβάστε περισσότεραf(x) = και στην συνέχεια
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος
Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος. Πως ορίζεται η έννοια. Το όριο. To f() f() ; f() εφόσον υπάρχει είναι μονοσήμαντα ορισμένο; εξαρτιέται από τα άκρα α, β των ( α, ) και (, β ) ;. Πως ορίζονται τα πλευρικά
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Άσκηση i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότερα- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγουσα της συνάρτησης f() =,
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x β. τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε x Α. = f (x)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..3: Κανόνες Παραγώγισης
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγισεις. Aνισοτητες. Επ ι με λ ε ι α : Τακης Τσακαλακ ος
Προσεγγισεις Aνισοτητες Επ ι με λ ε ι α : Τακης Τσακαλακ ος 1 ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Ανισοτικη σχεση παραστασεων μετρων μιγαδικου. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Προσημο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο
Διαβάστε περισσότερα2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.
Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραMαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΣυνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )
Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f
Διαβάστε περισσότερανα είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.
Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:
Διαβάστε περισσότερα5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016
5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότερα7 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 61. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε. (e + 1)dt = x 1
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 η ΕΚΑ Α 6. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε t (e + )dt για κάθε R Για δυνατούς παίκτες i) είξτε ότι e f() + f() ii) είξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε την f iii)
Διαβάστε περισσότεραΚανόνες de L Hospital
4.6 Κανόνες de L'Hospital 4.6.Α Κανόνες de L Hospital Για τα όρια πηλίκου που οδηγούν σε απροσδιόριστες μορφές, ± ± ισχύουν τα επόμενα θεωρήματα, που είναι γνωστά ως κανόνες de L Hospital Αυτοί οι κανόνες
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και
Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων Άσκηση η Να βρεθούν τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων ) x, 0, ) x x a x x x, x x x x Άσκηση η Αν : a, συνεχής στο, τέτοια ώστε x x και x x Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ, 9 Πότε μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; Απάντηση : Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο
Διαβάστε περισσότεραΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 3 + + + 3= (1) έχει ακριβώς μία πραγματική
Διαβάστε περισσότερα********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********
********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί Μία συνάρτηση f λέγεται: 1 γνησίως αύξουσα σ' ένα υποσύνολο Β του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε 1, Β με 1 < ισχύει ότι f( 1 ) < f( ) γνησίως φθίνουσα σ' ένα υποσύνολο Β
Διαβάστε περισσότεραΣυνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).
Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα
Διαβάστε περισσότεραV. Διαφορικός Λογισμός. math-gr
V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν
Διαβάστε περισσότερα13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης
3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν
Διαβάστε περισσότερααβ (, ) τέτοιος ώστε f(x
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]
Διαβάστε περισσότερα5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A
5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν η f διατηρεί πρόσημο στο α,,β ότι το
Διαβάστε περισσότεραΥΠΑΡΚΤΕΣ ΚΑΙ ΑΝΥΠΑΡΚΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΥΠΑΡΚΤΕΣ ΚΑΙ ΑΝΥΠΑΡΚΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Νίκος Ιωσηφίδης, Μαθηματικός Φροντιστής, Βέροια e-mail: iossifid@ahoo.gr Στην εισήγηση αυτή δείχνουμε πως αποδεικνύουμε ότι υπάρχει ή δεν υπάρχει συνάρτηση με δοσμένες
Διαβάστε περισσότεραΓ. ΛΥΚΕΙΟΥ. Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης. Θ. Κουτσανδρέας
Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦ. Ο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Θ. Κουτσανδρέας Γεράσιμος Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Παράγωγος αριθμός στο o R Έστω συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής
Διαβάστε περισσότεραΚαθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.
Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Στα παρακάτω γίνεται μία προσπάθεια, ομαδοποίησης των ασκήσεων επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων, συναρτησιακών μορφών, συνεχών συναρτήσεων,
Διαβάστε περισσότεραΓια την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0
5 Όριο συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση (δηλαδή όταν το βρίσκεται πολύ κοντά στο ) ή στο
Διαβάστε περισσότερα2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.
Διαβάστε περισσότερα- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ - ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ - ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητες Κριτήριο Παρεμβολής - Τριγωνομετρικά Όρια - Όριο Σύνθετης
Διαβάστε περισσότεραΚατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ
Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων.
ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f () = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σ' όλο το διάστημα Δ. Πόρισμα Αν δύο συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:
Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η
Διαβάστε περισσότερα35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης
4 5 35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε»
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ
Διαβάστε περισσότεραέχει μοναδική ρίζα στο. β. Να δείξετε ότι για κάθε x. x 2
. Έστω η συνάρτηση f: τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει f(). α. Να δείξετε ότι η εξίσωση f() έχει μοναδική ρίζα στο. β. Να δείξετε ότι γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση ρίζα στο. e για κάθε. t 3 63 e dt 7 έχει
Διαβάστε περισσότερα5.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. τότε αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x 0 και. ή df(x) dx x=x 0. lim. x 0.
Π Α Ρ Α Γ Ω Γ Ο Ι 5.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Δίνεται μιά συνάρτηση f και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Αν υπάρχει στο R, τό f()-f( ) - df( ) συμβολίζεται με f ( ) ή d Παραδείγματα:
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 3 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α) Σ 5. Σ. Σ β) Σ 6.
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις Όρια Συνέχεια
Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με
Διαβάστε περισσότερα12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Διαβάστε περισσότεραΤελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.
Δίνεται η συνάρτηση ln Τελευταία Επανάληψη α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e, δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν
Διαβάστε περισσότεραΗ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. (ii) f (x) = π. f (x)
I Παράγωγος συνάρτησης σε σηµείο Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Να βρείτε ( αν υπάρχει ) την παράγωγο της συνάρτησης f στο σηµείο (i) f () = +, = (ii) f () =, = (iii) f () = + 6, = (iv) f () = συν, = Να βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. η τιμή της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την τιμή της σε κάθε γειτονικό σημείο του x. . Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ DE L HOSPITAL Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις
ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ 35.9 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ DE L HOSPITAL Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις. ος κανόνας d L Hospital f ( 0 g( 0 f ( g ( εφόσον υπάρχουν. ος κανόνας d L Hospital f ( ± g( ± f ( g ( εφόσον υπάρχουν ΣΧΟΛΙΑ.
Διαβάστε περισσότερα7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει
8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y
Διαβάστε περισσότεραΣημαντικές παρατηρήσεις
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 5 ο ο Η έννοια της παραγώγου Να υπάρχει διάστημα της μορφής ή ή α,,β
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται
Διαβάστε περισσότεραΔιαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017
Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο
Διαβάστε περισσότεραg(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Ορισμοί α) Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α Αν η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε Β, όπου Β ένα υποσύνολο του Α, θα λέμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο Β Αν
Διαβάστε περισσότεραA N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)
Διαβάστε περισσότερα2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα
Διαβάστε περισσότεραx x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. Δίνεται η συνάρτηση f() ( )ln, >. Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [, ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Έστω (z) = z iz, z. α) Να λύσετε την εξίσωση : (z) = i. β) Αν (z) = να βρείτε το z. γ) Αν z = να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w=(z) είναι κύκλος
Διαβάστε περισσότεραΔ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε
Διαβάστε περισσότεραy = 2 x και y = 2 y 3 } ή
ΘΕΜΑ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις z = και w i =. i). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z και w. ii). Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί z,
Διαβάστε περισσότεραf( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της
ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [, ] και ισχύει f () > για κάθε (, ). Αν f() και f(), να δείξετε ότι: α. η ευθεία y τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σηµείο
Διαβάστε περισσότεραlnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΓ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών
Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων
Διαβάστε περισσότερα3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του
Διαβάστε περισσότερα